第二讲 参数方程 章末复习方案 课件(人教A选修4-4)

能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆 锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题． [例 8] AB 的长． 已知点 P(3,2)平分抛物线 y2＝4x 的一条弦 AB，求弦
[解]
设弦 AB 所在的直线方程为 (t 为参数)，
x＝3＋tcos α y＝2＋tsin α
x
由②得 cos θ＝
1. t－ t
y
x2 y2 ∴ 1 2＋ 1 2＝1. t＋ t t－ t 1 1 它表示中心在原点，长轴长为 2|t＋ t |，短轴长为 2|t－ t |，焦 点在 x 轴上的椭圆． 当 t＝± 时，y＝0，x＝± 1 2sin θ，x∈[－2,2]， 它表示在 x 轴上[－2,2]的一段线段． kπ x 1 (2)当 θ≠ 2 (k∈Z)时，由①得sin θ＝t＋ t . y 1 由②得cos θ＝t－ t .
求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线 上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根 据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的 最值、位置关系等问题．
[例 4]
x＝2＋3cos θ 设曲线 C 的参数方程为 y＝－1＋3sin
θ
(θ 为参数)，
，即圆心为(1，－1)，半径为 4 的圆
22 4 － 2 ＝ 62，
2
[例 7]
t x＝－1＋2 直线 y＝ 3t 2
(t 为参数)与圆 x2＋y2＝a(a>0)相
交于 A、B 两点，设 P(－1,0)，且|PA|∶|PB|＝1∶2，求实数 a 的 值．
[解]
法一：直线参数方程可化为：y＝ 3(x＋1) ，
x2 y2 x2 y2 平方相减得sin 2θ－cos 2θ＝4，即4sin 2θ－4cos 2θ＝1， 它表示中心在原点，实轴长为 4|sin θ|，虚轴长为 4|cos θ|， 焦点在 x 轴上的双曲线． 当 θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，它表示 y 轴； π 1 当 θ＝kπ＋2(k∈Z)时，y＝0，x＝± (t＋ t )． 1 1 ∵t＋ t ≥2(t＞0 时)或 t＋ t ≤－2(t＜0 时)， ∴|x|≥2.∴方程为 y＝0(|x|≥2)，它表示 x 轴上以(－2,0)和 (2,0)为端点的向左、向右的两条射线.
2
4· π＝8. sin 24
8
[例 9]
过点 B(0， －a)作双曲线 x2－y2＝a2 右支的割线 BCD，
又过右焦点 F 作平行于 BD 的直线，交双曲线于 G、H 两点． |BC| |BD| 求证：|GF|· ＝2. |FH|
[证明] 为
当 a＞0 时，设割线的倾斜角为 α，则它的参数方程
∵cos 2t＋sin 2t＝1，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4. 由于 0≤t≤π，∴0≤sin t≤1. 从而 0≤y＋2≤2，即－2≤y≤0. ∴ 所 求 的 曲 线 的 参 数 方 程 为 (x － 1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝ 4( － 2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
7 10 直线 l 的方程为 x－3y＋2＝0， 则曲线 C 上到直线 l 距离为 10 的 点的个数为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
[解析]
曲线 C 的标准方程为：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，
它表示以(2，－1)为圆心，半径为 3 的圆， |2＋3＋2| 因为圆心(2， －1)到直线 x－3y＋2＝0 的距离 d＝ ＝ 10 7 10 10 7 10 7 10 且 3－ 10 < 10 ，故过圆心且与 l 平行的直线与圆相交的 两点为满足题意的点．
[例 2]
x＝1＋2cos t 已知曲线的参数方程为 y＝－2＋2sin
t
(0≤t≤π)，
把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形？
[解]
x＝1＋2cos t， 由曲线的参数方程 y＝－2＋2sin t，
得
x－1＝2cos t， y＋2＝2sin t.
法二：将直线参数方程代入圆方程得 t2－t＋1－a＝0 设方程两根为 t1、t2，则 3 Δ＝1－4(1－a)>0⇒a>4. t1＋t2＝1，t1· ＝1－a.(*) t2 由参数 t 的几何意义知 |PA| t1 1 |PA| t2 1 |PB|＝－t2＝2或|PB|＝－t1＝2. t1 1 由t ＝－2，解得 a＝3. 2
y＝ 3x＋1 联立方程 2 2 x ＋y ＝a
消去 y，得：4x2＋6x＋3－a＝0. 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)(不妨设 x1<x2)，则
Δ＝36－16(3－a)>0，① 3 x1＋x2＝－2，② 3－a x1·2＝ 4 ，③ x |PA| －1－x1 1 |PB|＝ x2＋1 ＝2，④ 由①②③④解得 a＝3.
代入方程 y2＝4x 整理得 t2sin 2α＋4(sin α－cos α)t－8＝0①
∵点 P(3,2)是弦 AB 的中点，由参数 t 的几何意义可知，方 程①的两个实根 t1、t2 满足关系 t1＋t2＝0 sin α－cos α＝0 π ∴0≤α＜π，∴α＝4. ∴|AB|＝|t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝
x＝tcos α y＝－a＋tsin
α
(t 为参数)．①
则过焦点 F 平行于 BD 的直线 GH 的参数方程为
x＝ 2a＋tcos y＝tsin α
α
(t 为参数)．②
将①代入双曲线方程，得 t2cos 2α＋2atsin α－2a2＝0. 设方程的解为 t1，t2， 2a2 则有|BC|· |BD|＝|t1t2|＝|cos 2α|， a2 同理，|GF|· |FH|＝|cos 2α|. |BC| |BD| ∴|GF|· ＝2， |FH| 当 a＜0 时，同理可得上述结果．
(t 为参数且 t2>3)
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方 程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲 线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注 意 x，y 的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使 得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
[答案] 2
[例 6] 弦长．
x＝－1＋2t 求直线 y＝－2t
x＝1＋4cos θ 被曲线 y＝－1＋4sin
θ
截得的
[解]
x＝－1＋2t， 直线 y＝－2t，
的普通方程为 x＋y＋1＝0
x＝1＋4cos θ 曲线 y＝－1＋4sin
θ 则圆心(1，－1)到直线 x＋y＋1＝0 的距离 |1－1＋1| 2 d＝ 2 2 ＝ 2 1 ＋1 设直线被曲线截得的弦长为 t，则 t＝2 ∴直线被曲线截得的弦长为 62.
(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；
(2)选取适当的参数；
(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；
(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程．
[例1] 过点P(－2,0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A、B两点， 设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
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[解] 设 M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 x ＝ty－2 x＝ty－2 由 2 2 消去 x 得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0 x ＋y ＝1
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4t 2t ∴y1＋y2＝ ，则 y＝ . 1＋t2 1＋t2 －2 2t2 x＝ty－2＝ 2－2＝ 1＋t 1＋t2 由 Δ＝(4t)2－12(1＋t2)>0 得 t2>3. x＝ －22 1＋t ∴M 的轨迹的参数方程为 y＝ 2t 1＋t2
[答案] B
[例 5]
x＝3cos α， y＝3sin α，
x＝2＋t， (2012· 北京高考)直线 y＝－1－t，
(t 为参数)与曲线
(α 为参数)的交点个数为________．
[解析]
2 2
直线的普通方程为 x＋y－1＝0，圆的普通方程为 x2
2 ＋y ＝3 ，圆心到直线的距离 d＝ 2 ＜3，故直线与圆的交点个数 是 2.
[例 3]
1 x＝t＋ t sin θ， ① 已知参数方程 y＝t－1cos θ， ② t
(t≠0)．
(1)若 t 为常数，θ 为参数，方程所表示的曲线是什么？ (2)若 θ 为常数，t 为参数，方程所表示的曲线是什么？
[解]
(1)当 t≠± 时，由①得 sin θ＝ 1
1， t＋ t