第12章 双正交小波及小波包

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第12章 双正交小波及小波包
我们在上一章给出了正交小波的构造方法。

正交小波有许多好的性质，如
)()(),(',,'
k k t t k j k j -=δφφ，)()(),(',,'
k k t t k j k j -=δψψ，0)(),('
,,=t t k j k j ψφ ，
此外，尺度函数和小波函数都是紧支撑的，有着高的消失矩等等。

Daubechies 给出的正交小波的构造方法可以方便的构造出所需要的小波(如DBN ，SymN ，CoifN)。

但是，正交小波也有不足之处，即)(t φ和)(t ψ都不是对称的，尽管SymN 和CoifN 接近于对称，但毕竟不是真正的对称，因此，这在实际的信号处理中将不可避免地带来相位失真。

)(t φ和)(t ψ的不对称性来自所使用的共轭正交滤波器组)(0z H 和)(1z H 的不对称性。

我
们已在7.8节讨论了具有线性相位的双正交滤波器组的基本概念，给出了可准确重建的双正交滤波器组的设计方法。

本章，我们把这些内容引入到小波分析，给出适合小波变换的双正交滤波器组准确重建的条件，给出双正交条件下的多分辨率分析及双正交小波的构造方法，最后简要讨论小波包的基本概念
12.1 双正交滤波器组
现在，我们结合小波变换的需要来研究双正交滤波器组的内在关系及实现准确重建的条件。

所谓“小波变换的需要”是指在用)(0z H 对)(0z a 分解时需要将)(0z H 和
)(1z H 的系数作时间上的翻转，即用的是)(10-z H 及)(11-z H ，或
)()(00n h n h -=,)()(11n h n h -=，见(10.6.1)式及图10.6.2。

将图10.6.2的正变换和图
10.6.3的反变换结合起来，我们可得到如图12.1.1所示的一级分解和重建的类似于两通道滤波器组的信号流图。

注意，图中用于重建的滤波器不再是图10.6.3中的)(0z H 和
)(1z H ，而是)(ˆ0
z H 和)(ˆ1z H ，它们分别是)(0z H 和)(1z H 的对偶滤波器。

有关“对偶”的概念见1.6节，在下面的讨论中将涉及对偶滤波器的作用。

现在我们来分析该图中各信号之间的关系及实现PR 的条件。

由第七章关于两通道滤波器组的理论，我们有
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图12.1.1 双正交滤波器组
)2()()(001n h n a n a *=
)2(),()2()(0000n k h k a n k h k a k
-=-=∑ (12.1.1a)
)2()()(101n h n a n d *=
)2(),()2()(101
n k h k a n k h k a k
-=
-=
∑ (12.1.1b)
)(ˆ)()(ˆ)()(ˆ1
'10'10n h n d n h n a n a *+*=
∑∑-+-=l
l
l n h l d l n h l a )2(ˆ)()2(ˆ)(110
1
(12.1.2)
将(12.1.1)式代入(12.1.2)式，有
)2(ˆ)2(),()(ˆ0
000l n h l k h k a n a l
--=∑
)2(ˆ)2(),(1
1
l n h
l k h k a l
--+
∑
(12.1.3)
(12.1.1)式是用一组向量{}Z k n n k h n k h ∈--,),2(),2(10对)(0n a 作分析，(12.1.3)式是
用一组对偶向量{}
Z l n l n h l n h ∈--,),2(ˆ),2(ˆ1
0对)(0n a 作综合。

(12.1.3)式还可表为 )
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)()2(ˆ),2()(ˆ0
000k a l n h l k h n a l
∑--=
)()2(ˆ),2(0
1
1
k a l n h
l k h l
∑--+
(12.1.4)
显然，如果
)()2(ˆ),2(0
0k n l n h l k h -=--δ
(12.1.5a)
)()2(ˆ),2(1
1k n l n h l k h -=--δ
(12.1.5b)
则
)(2)(ˆ00n a n a
= 从而实现了准确重建。

(12.1.5)式的含意是，在图12.1.1中，同一条支路上的两个滤波器
)(ˆ),(0
0n h n h 或)(ˆ),(11n h n h 的偶序号位移之间是正交的。

但是该式没有涉及上下支路两个滤波器之间的关系。

我们更关心的是这些滤波器系数的移位可否构成小波分析中的基函数。

下面的两个定理清楚地回答了该问题。

定理12.1 对图12.1.1所示的两通道滤波器组，对任意的输入信号)(0n a ，其准确重建的充要条件是：
0)(ˆ)()(ˆ)(1
*10*0=+++ωπωωπωH H H H (12.1.6a) 及
2)(ˆ)()(ˆ)(1
*
10*
0=+ωωωωH H H H
(12.1.6b)
证明：仿照(7.1.5)式的导出，有
[]
)()(ˆ)()(ˆ)(2
1)(ˆ0111010
0z A z H z H z H z H z A --+=
[]
)()(ˆ)()(ˆ)(2
10111010z A z H z H z H z H --+-+
--
(12.1.7)
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式中)(0z A 、)(ˆ0
z A 分别是)(0n a 和)(ˆ0n a 的z 变换，)(0z A -是混迭分量。

因此，为消除混迭失真，应有
0)(ˆ)()(ˆ)(1
11010=-+---z H z H z H z H
(12.1.8a)
为保证系统的准确重建，应有
k cz z H z H z H z H ---=+2)(ˆ)()(ˆ)(1
11010
(12.1.8b)
式中c 和k 均为常数。

令1=c ，0=k ，(12.1.8)式对应的频率表示是：
0)(ˆ)()(ˆ)(1
*10*0=+++ωπωωπωH H H H 2)(ˆ)()(ˆ)(1
*10*0=+ωωωωH H H H 于是定理得证。

对比图7.1.1的两通道滤波器组，其对应的PR 条件是（见(7.1.5)式）：
0)()()()(1100=-+-z G z H z G z H
(12.1.9a)
2)()()()(1100=+z G z H z G z H
(12.1.9b)
将(12.1.9)和(12.1.8)式相比较可以看出，在双正交滤波器组的情况下，我们分别用
)(ˆ0
z H 、)(ˆ1z H 代替了)(0z G 和)(1z G ，并在分析滤波器组中，用)(10-z H 、)(11-z H 分别代替了)(0z H 和)(1z H 。

其实，(12.1.8)式导出的原理和(12.1.9)式是完全一样的。

由(12.1.6a)式，有
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++*
*02)(ˆ)(ˆ)()()()(101010ωωπωπωωωH H H H H H
(12.1.10)
可求出
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⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡**)()()(det 2)(ˆ)(ˆ0110πωπωωωωH H H H H
(12.1.11)
式中
)()()()()(det 0110πωωπωωω+-+=H H H H H
(12.1.12)
显然，为了保证对偶滤波器)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 是稳定的，)(det ωH 在ππω~-=的范围内应该非零。

为了保证)(ˆ0
z H 和)(ˆ1z H 是FIR 的，)(det ωH 应取纯延迟的形式。

仿照(7.2.16)式对)(0z G 和)(1z G 的定义，我们可给出在双正交条件下对偶滤波器和分析滤波器之间的关系：
)(ˆ)(0
)12(1πωωω+=*+-H e H l j
(12.1.13a)
)()(ˆ0
)12(1πωωω+=*+-H e H l j
(12.1.13b)
或
)(ˆ)(10
)12(1-+--=z H z z H l
(12.1.14a)
)()(ˆ10
)12(1-+--=z H z z H l
(12.1.14b)
假定0=l ，它们对应的时域关系是
)1(ˆ)1()(0
11n h n h n --=+
(12.1.15a)
)1()1()(ˆ0
11n h n h n --=+
(12.1.15b)
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注意，上述时域、频域关系均是在图12.1.1中的交叉方向上给出的，它正好反映了双正交滤波器组的特点。

将(12.1.13)式代入(12.1.6)式，我们可得到如下的关系：
2)(ˆ)()(ˆ)(0
000=+++**πωπωωωH H H H
(12.1.16a)
或
2)(ˆ)()(ˆ)(1
111=+++**πωπωωωH H H H (12.1.16b)
及
0)(ˆ)()(ˆ)(1
010=+++*
*
πωπωωωH H H H
(12.1.17a)
或
0)(ˆ)()(ˆ)(0
101=+++**πωπωωωH H H H
(12.1.17b)
至此，我们给出了在双正交滤波器组中的若干基本关系，即
(1) 去除混迭条件：(12.1.6a)式； (2)
PR 条件
：(12.1.6b)式；
(3) 保证PR 条件和滤波器均为FIR 的情况下，四个滤波器在时域和频域的关
系：(12.1.13)式～(12.1.17)式。

回顾在共轭正交滤波器组的情况下，我们经常用到的功率互补关系，即
2)()(2
020=++πωωH H ，
或
2)()()()(0000=+++*
*
πωπωωωH H H H
(12.1.18)
显然，若)()(ˆ0
0z H z H =，则(12.1.16a)式即变成(12.1.18)式，也即双正交滤波器组变成了正交滤波器组。

有了以上讨论的基础，我们可给出在小波分析中要用到的“基”的概念。

定理12.2[8] 如果图12.1.1中的四个滤波器)(0z H ，)(1z H ，)(ˆ0
z H 和)(ˆ1z H 满足准
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确重建条件，且它们的傅里叶变换均是有界的，则
Z l l n h l n h ∈--)},2(ˆ),2(ˆ{1
0 和 Z l l n h l n h ∈--)},2(),2({10 是)(2
R L 中的双正交Riesz 基。

证明：为证明0h 、1h 、0
ˆh 及1ˆh 的偶序号项移位是双正交的，我们需要证明如下三个关系成立：
)()2(),(ˆ0
0n n k h k h δ=-
(12.1.19a)
)()2(),(ˆ1
1n n k h k h δ=-
(12.1.19b)
及
0)2(),(ˆ)2(),(ˆ0
110=-=-n k h k h n k h k h
(12.1.19c)
由(12.1.16a)式，有
[]
1)(ˆ)()(ˆ)(2
10000=+++**πωπωωωH H H
H 该式对应的时域关系是
)()2()(ˆ)2(ˆ0
0n n k h k h
n h h k δ=-=*∑∞
-∞
=
(12.1.20)
于是(12.1.19a)式得证。

同理，由(12.1.16b)式可证明(12.1.19b)式，而(12.1.17)式对应的时域关系即是(12.1.19c)式。

这样，(12.1.19)式给出了三组正交关系。

若0h ，0
ˆh ，1h ，1ˆh 的偶序号位移能够构成)(2
R L 中的双正交Riesz 基，它们还需满足如下的条件：
[]ππω,-∈∀，有A
k B k 1)2(ˆ12
≤+≤∑∞
-∞=πωθ
(12.1.21)
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此即(10.2.11)式。

式中0>A ，0>B ，)(ˆωθ是θ的傅里叶变换，此处θ代表0h ，0
ˆh ，1h 或1ˆh 。

由本定理所给的条件，即它们的傅里叶变换都是有界的，所以(12.1.21)式满足，因此0h ，0
ˆh ，1h 及1ˆh 的偶序号移位构成)(2
R L 中的双正交Riesz 基。

于是定理得证。

我们之所以说这些序列为“双正交”基，是因为在图12.1.21中的滤波器组中，上下
支路各自是正交的，即0h 和其对偶0
ˆh 正交，1h 和其对偶1ˆh 正交；同时，上下支路交叉正交，即0h 正交于 1ˆh ，1h 正交于0
ˆh 。

注意，在双正交滤波器中，我们并没有强调)(0z H 和)(1z H 之间的正交关系，而这一正交关系是共轭正交滤波器组中的基本关系。

由此读者可搞清正交和双正交的区别。

总之，在小波的多分辨率分析中，使用正交滤波器组时，分解滤波器和重建滤波器是相同的，而在双正交小波分析中，分析滤波器是0H 和
1H ，而综合滤波器是它们的对偶，即0
ˆH 和1ˆH 。

此外，(12.1.19a)和 (12.1.19b)的双正交关系与本章开头所给出的(12.1.5)式的关系是一致的，只不过(12.1.19)式更简洁。

12.2 双正交小波
上一节我们讨论了双正交滤波器的基本概念、PR 条件及各滤波器时域、频域的关系。

本节，我们将把双正交滤波器组的概念引入双正交小波变换，给出类似第十章的多分辨率分析。

由(9.8.18)和 (9.8.19)式，信号)(t x 的离散小波变换是：
Z k j t t x dt t t x k j WT k j k j x ∈==⎰,)(),()()(),(,,ψψ
(12.2.1)
令),()(k j WT k d x j =，则)(k d j 称为小波系数，也即)(t x 的DWT 。

我们可由)(k d j 重建)(t x 。

由(9.8.20)式，有
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∑
∑∑∑
∞
=∞
-∞
=∞
=∞
-∞
===00,,,)(ˆ)(),()(ˆ)()(j k j k k j k j k j j
t t t x t k d
t x ψ
ψψ
(12.2.2)
式中)(ˆ,t k j ψ
是)(,t k j ψ的对偶小波。

由以上两式可以看出，小波)(,t k j ψ用于信号的分析，对偶小波)(ˆ,t k j ψ
用于信号的综合。

在正交小波的情况下，)()(ˆ,,t t k j k j ψψ=。

我们在第十章详细讨论了离散小波变换的多分辨率分析，引出了尺度函数)(t φ，证明了在)(2
R L 中存在正交基)(,t k j φ和)(,t k j ψ，给出了)(,t k j φ、)(,t k j ψ和正交滤波器组的关系，即二尺度差分方程和(10.4.7)和(10.4.8)式的频域关系。

在双正交滤波器组的情况
下，分解滤波器(0H ，1H )和重建滤波器(0
ˆH ，1ˆH )将产生两个尺度函数(φ，φˆ)和两个小波函数(ψ，ψ
ˆ)。

其中φ和ψ对应信号的分解，而φˆ和ψˆ对应信号的重建。

它们和0H ，0
ˆH ，1H 及1ˆH 相应的时域和频域的关系是：
∑∞
-∞
=-=n n t n h t )2()(2)(0φφ
(12.2.3a)
∑∞
-∞
=-=n n t n h
t )2(ˆ)(ˆ2)(ˆ0
φφ
(12.2.3b)
∑∞
-∞
=-=n n t n h t )2()(2)(1φψ
(12.2.4a)
∑∞
-∞
=-=n n t n h t )2(ˆ)(ˆ2)(ˆ1
φψ
(12.2.4b)
及
)()(2
1
)2(0ωωωΦ=
ΦH
(12.2.5a)
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)(ˆ)(ˆ2
1)2(ˆ0ωωωΦ=Φ
H
(12.2.5b)
)()(2
1
)2(1ωωωΦ=
ψH
(12.2.6a)
)(ˆ)(ˆ2
1)2(ˆ1ωωωΦ=ψ
H
(12.2.6b)
定理10.3给出了在正交滤波器组情况下)(0ωH 和)(1ωH 的关系，即(10.5.1)式。

对应双正交滤波器组，这一关系变成：
2)(ˆ)()(ˆ)(0
*00*0=+++πωπωωωH H H H
(12.2.7)
此即(12.1.6a)式。

由(12.1.13)式，令0=l ，则分解和重建滤波器之间有如下关系：
)(ˆ)(1011---=z H z z H ，或)(ˆ)(0
1πωωω+=*-H e H j
(12.2.8a)
)()(ˆ1011---=z H z z H ，或)()(ˆ0
1πωωω+=*-H e H j
(12.2.8b)
同正交小波时一样，我们要求)(t φ和)(ˆt φ
都是低通的，)(t ψ和)(ˆt ψ都是带通的。

对应的，要求)(0z H 和)(ˆ0
z H 是低通的，)(1z H 和)(ˆ1z H 是高通的，即
0)(ˆ)(00===πωωωH
H
(12.2.9a)
0)(ˆ)(011===ωωωH
H
(12.2.9b)
⎰⎰==1)(ˆ)(dt t dt t φφ
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(12.2.10a)
⎰⎰==0)(ˆ)(dt t dt t ψψ
(12.2.10b)
由(12.1.16)式，有
2)(ˆ)(000==ωωωH
H ，及 2)(ˆ)(000===ωωωH H (12.2.11a)
2)(ˆ)(11==πωωωH
H ，及 2)(ˆ)(11===πωωωH H
(12.2.11b)
类似(10.4.14)式，可由(12.2.5)式导出
∏∞
==Φ1
02)
2()(j j H ωω
(12.2.12a)
∏∞==Φ1
02)2(ˆ)(ˆj j H ωω
(12.2.12b)
类似(10.4.15)式，可由(12.2.6)式导出
∏∞==ψ2
012)
2(2)2/()(j j H H ωωω
(12.2.13a)
∏∞==ψ2
012)2(ˆ2)2/(ˆ)(ˆj j H H ωωω
(12.2.13b)
由上面的讨论可知，在“双正交”的情况下，我们在第七章及第十章所讨论的滤波
器组及两尺度差分方程各增加了一套“对偶”，即0H ，0
ˆH ；1H ，1ˆH ；φ，φ和ψ，ψ
ˆ。

上面各节给出了它们所应满足的时域及频域关系。

下面的定理将给出双正交小波基的存在性。

定理12.3[42,5,8] 假定存在两个恒正的三角多项式)(ωp 和)(ˆωp
，使得
)(2)2
()2()2()2(2
02
0ωπω
πω
ωω
p p H p H =+++
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(12.2.14a)
)(ˆ2)2
(ˆ)2
(ˆ)2
()2
(ˆ2
020ωπωπωωωp p H p H
=+++
(12.2.14b)
并假定 )(0ωH 、)(ˆ0ωH
在2
~2ππ-内非零，则 1． 由(12.2.12)式定义的)(t φ和)(ˆt φ
属于)(2
R L ，且满足双正交关系 )()(ˆ),(n n t t δφ
φ=-
(12.2.15)
2． 两个小波函数序列)(,t k j ψ和)(ˆ,t k j ψ
是)(2
R L 中的双正交Riesz 基，即 )()()(ˆ),('',,'
'
k k j j t t k j k j --=δδψ
ψ
(12.2.16)
该定理的证明见文献[42]。

有了)(2
R L 中的双正交基，我们可对)(t x 作如下的分解：
)(ˆ)(),()(,0,t t t x t x k j j k k j ψ
ψ∑
∑
∞
=∞
-∞
==
)()(ˆ),(,0,t t t x k j j k k j ψψ
∑
∑
∞
=∞
-∞
==
(12.2.17)
既然)(,t k j ψ，)(ˆ,t k j ψ
是)(2
R L 中的Riesz 基，则必然存在常数0>A ，0>B ，使得
2
2
,,2
)()
(),()(t x B t t x t x A k
j k j ≤≤∑ψ
(12.2.18a) 2
2
,,2
)(1)(ˆ),()(1t x A
t t x t x B k
j k j ≤
≤∑ψ
(12.2.18b)
由上面的讨论可知，在双正交的情况下，我们并不要求}{
,k
j ψ和}{',k j ψ之间是正交
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的，也不要求}{,k j φ和}{
,k
j ψ之间，以及其对偶函数}ˆ{,k
j φ和}ˆ{,'k j ψ之间是正交的，仅要求}{,k j φ和}ˆ{',k
j φ之间以及}{,k
j ψ和}ˆ{'',k j ψ
之间是正交的，也即(12.2.15)和(12.2.16)式。

正交性的放宽是使)(0z H 及)(1z H 具有线性相位，从而使)(t φ和)(t ψ更具有对称性，从而减小了相位失真。

在第十章的多分辨率分析中，我们假定
},,{close ,Z k j V k j j ∈=φ
(12.2.19a)
},,{close ,Z k j W k j j ∈=ψ
(12.2.19b) 并有
11++⊕=j j j W V V ，j j V W ⊥
(12.2.19c)
在双正交情况下，尺度函数k j ,φ及其对偶k
j ,ˆφ将产生两个空间。

除了(12.2.19a)和(12.2.19b)式的关系外，还有
},,ˆ{close ˆ,Z k j V k
j j ∈=φ
(12.2.20a) 及
},,ˆ{close ˆ,Z k j W k j j ∈=ψ
(12.2.20b)
j V 和j V
ˆ的嵌套关系是
ΛΛ1101+-⊃⊃⊃⊃⊃j j V V V V V
(12.2.21a)
ΛΛ1101ˆˆˆˆˆ+-⊃⊃⊃⊃⊃j j V V V V V
(12.2.21b)
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此时，j W 不再是j V 的正交补空间，但j V ，j V
ˆ，j W 和j W ˆ之间有如下关系： j j W
V ˆ⊥， j j W V ⊥ˆ
(12.2.22a)
j j j W V V ⊕=-1，j j j W V V
ˆˆˆ1⊕=-
(12.2.22b)
由1.7节关于正交基的性质，有
0)2(ˆ)2(=+Φ
+Φ*
∞
-∞
=∑πωπωk k k
(12.2.23a)
0)2(ˆ)2(=+ψ
+ψ*
∞
-∞
=∑πωπωk k k
(12.2.23b)
双正交小波下的快速算法和正交基小波下的快速算法基本相同，区别是在重建时使用的
是对偶滤波器)(ˆ0
z H 和)(ˆ1z H 。

具体的分解方程和重建方程是： ∑∞
-∞
=---=
*=k j j j n k h k a
n h n a n a )2()()2()()(01
01 （12.2.24a ）
∑∞
-∞
=---=
*=k j j j n k h k a
n h n a n d )2()()2()()(11
11 (12.2.24b)
)(ˆ)()(ˆ)()(1
'0'1n h n d n h n a n a j j j *+*=- ∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=-+-=
k j
k j
k n h k d
k n h k a
)2(ˆ)()2(ˆ)(1
(12.2.25) 式中)('
n a j ，)('
n d j 分别是)(n a j ，)(n d j 作二插值得到的序列，见图12.1.1。

12.3 双正交小波的构造
双正交小波的构造包括)(t ψ，)(ˆt ψ
，)(t φ及)(ˆt φ的构造，而它们又都源于分解滤
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波器)(0z H 、)(1z H 及用于重建的对偶滤波器)(ˆ0z H 和)(ˆ1z H 。

(12.1.14)式给出了)(1z H 、)(ˆ1z H 和)(ˆ0
z H 及)(0z H 的关系，因此，双正交小波构造的核心问题是)(0z H 和)(ˆ0
z H 的构造，这和正交小波的构造过程是一样的。

如同第十一章关于正交小波的讨论，在具体给出双正交小波的构造方法之前，先讨论一下有关支撑范围、消失矩等有关的有关问题。

1． 支撑范围
如果)(0n h 和)(ˆ0
n h 都是FIR 滤波器，由(12.2.3)和(12.2.4)式，)(t φ，)(ˆt φ，)(t ψ及)(ˆt ψ将都具有有限支撑。

若)(0n h 和)(ˆ0
n h 的支撑范围分别是21N n N ≤≤，21ˆˆN n N ≤≤，则)(t φ和)(ˆt φ的支撑范围分别是[]2
1,N N 和[]
21ˆ,ˆN N ，而小波函数)(t ψ和)(ˆt ψ
的支撑范围分别是[8] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-21ˆ,21ˆ1221N N N N 和⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+-21ˆ,21ˆ1
221N N N N
它们的长度都是2/)ˆˆ(1
212N N N N -+- 2． 消失矩
)(t ψ和)(ˆt ψ消失矩的数目取决于)(0ωH 和)(ˆ0ωH 在πω=处零点的数目。

由定理11.1，若)(0ωH 在πω=处有p 阶零点，则)(t ψ有p 阶消失矩。

同理，若)(ˆ0
ωH 在πω=处有p ˆ阶零点，则)(ˆt ψ有p ˆ阶消失矩。

因此，在构造)(0z H 和)(ˆ0
z H 时，应尽量让它们在πω=处有高阶的重零点。

3． 规则性
此处不再详细讨论，其一般结论是：
a) 由(12.2.4a)式，)(t φ和)(t ψ有着相同的规则性；
b) )(t φ和)(t ψ的规则性随着)(0ωH 在πω=处零点数的增加而增加；
367 / 49
c) )(ˆt φ和)(ˆt ψ的规则性也是随着)(ˆ0
ωH 在πω=处零点数的增加而增加； d) 如果)(0ωH 和)(ˆ0
ωH 在πω=处有不同的零点数，则)(t ψ和)(ˆt ψ的规则性也不相同。

4． 对称性
之所以使用双正交小波，其目的是使)(0z H ，)(1z H 及其对偶滤波器具有线性相位，同时也使)(t φ和)(t ψ都具有对称性。

除Haar 小波外，在正交小波的情况下，上述
对称性是不可能实现的。

如果)(0n h ，)(ˆ0
n h 具有奇数长且以0=n 为对称，则)(t φ和)(ˆt φ
是以0=t 为对称的，而)(t ψ和)(ˆt ψ是相对位移位中心为对称的。

如果)(0n h ，)(ˆ0
n h 具有偶数长且以2/1=n 为中心作对称，则)(t φ和)(ˆt φ是以2/1=t 为中心作对称，而)(t ψ和)(ˆt ψ
以其位移中心作反对称。

显然，若)(0n h ，)(1n h 是对称的，则图12.1.1中的)(10-z H ，)(1
1-z H 都可改记为
)(0z H 和)(1z H ，也即在对)(n a j 作分解时无需再将)(0n h 和)(1n h 翻转。

5. )(0z H 及)(ˆ0
z H 的构造 由于要求)(0z H 及)(ˆ0
z H 具有线性相位，因此，它们的频率响应可表为：
)()(00ωωωH e H jk =
(12.3.1a)
)(ˆ)(ˆ0ˆ0ωωωH e H
k j =
(12.3.1b)
这是和Daubechies 正交小波的一个主要区别。

在实际工作中，我们总选取)(0n h 和)(ˆ0
n h 为实值序列。

因此，又有
368 / 49
)()(00ωω-=H H ，)(ˆ)(ˆ0
0ωω-=H H
(12.3.2)
由(12.2.12)式，必有)()(ωω-Φ=Φ。

同理，我们总是选择)(t φ为实函数，因此又有
)()(t t -=φφ，即尺度函数)(t φ以0=t 为对称。

同样的结论适用于)(ˆt φ。

若)(t φ和)(ˆt φ
以2/1=t 为对称，例如，Haar 小波的尺度函数即是如此。

此时要求)(0ωH 、)(ˆ0
ωH 仍是偶对称，但要增加一个移位因子，即
)()(00ωωωH e H j =-，)(ˆ)(ˆ0
0ωωωH e H j =-
(12.3.3)
现在的问题是，如何找到合适的)(0z H 及)(ˆ0
z H ，使其所形成的滤波器组为双正交滤波器组，也即保证)(t φ、)(ˆt φ
及)(t ψ，)(ˆt ψ的双正交条件，即满足：
2)(ˆ)()(ˆ)(0
000=+++**πωπωωωH H H H 也即(12.1.16a)式。

习惯上将该式两边取共轭，即
2)(ˆ)()(ˆ)(0
000=+++**πωπωωωH H H H
(12.3.4)
Cohen ，Daubechies 给出了不同类型的双正交小波的结构方法[42, 5]，其要点是：
(1). 令)(0ωH 固定，假定)(ˆ0
ωH 是(12.3.4)式的解，若)()(00ωω-=H H ，则
[]
)(ˆ)(ˆ2
1)(000ωωω-+='H H H
也是(12.3.4)式的解。

将该式代入(12.3.4)式即可验证。

(2).
因为)(0n h 、)(ˆ0n h 是实序列，)(0ωH 、)(ˆ0
ωH 满足(12.3.2)式，所以
369 / 49
)(0ωH 、)(ˆ0
ωH 均应是实系数的三角多项式，它们可分别写成
)(cos 2cos 2)(020ωωωP H l
⎪⎭⎫
⎝
⎛
=
(12.3.5a)
和
)(cos ˆ2cos 2)(ˆ0ˆ
20ωωωP H l ⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
(12.3.5b)
的形式。

若)(0ωH 、)(ˆ0
ωH 按(12.3.3)式的形式对称，则它们可表为 )(cos 2cos 2)(01
22
/0ωωωωP e
H l j +-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=
(12.3.6a)
)(cos ˆ2cos 2)(ˆ01
ˆ22/0ωωωωP
e H l j +-⎪
⎭⎫ ⎝
⎛=
(12.3.6b)
的形式。

(3). 将(12.3.5)和(12.3.6)式分别代入(12.3.4)式，有
2)cos (ˆ)cos (2sin )(cos ˆ)(cos 2cos 002002=--⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ωωωωωωP
P P P k
k
(12.3.7)
对应(12.3.5)式，l
l k ˆ+=；对应(12.3.6)式，1ˆ++=l l k 。

由于2/)cos 1(2sin 2
ωω-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛，所以)(cos 0ωP ，)(cos ˆ0
ωP 均可以表示为2sin 2ω的函数，再令
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛
=⎪⎭⎫ ⎝⎛2sin
ˆ2sin 2sin 20202ωωωP P P
(12.3.8)
则(12.3.7)式可表示为：
370 / 49
2)2(cos 2sin )2(sin 2cos 2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
ωωωωP P k
k
(12.3.9)
(4). 令2
sin 2
ω
=y ，则(12.3.9)式又可表为如下的Bezout 方程：
1)1()()1(=-+-y P y y P y k
k
(12.3.10)
该方程和(11.4.5)式是一样的，区别只是)(y P 所表示的内容。

只要能求出)(y P ，由
(12.3.8)式，即可得到)(0y P 和)(ˆ0y P ，从而可按(12.3.5)或(12.3.6)式构造出)(0z H 和)(ˆ0
z H 。

(5). (12.3.10)式的解由下式给出：
)21(1)(1
0y R y y m m k y P k
m k m -+⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∑-=
(12.3.11)
这和(11.4.7)式的结果是一样的，式中)(y R 是一奇对称多项式，即)1()(y R y R --=。

当
l l k ˆ+=时， )(0z H 、)(ˆ0z H 以0=n 为对称
1ˆ++=l l k 时，)(0z H 、)(ˆ0
z H 以2/1=n 为对称 选用不同的R ，对)(ˆ)()(0
0y P y P y P =作不同的分解可得到不同类型的双正交小波。

Daubechies 重点给出了基于样条函数的双正交小波的构造方法，同时也给出了)(0z H 、
)(ˆ0
z H 长度接近相等的基于样条函数的双正交小波的构造方法，现分别给以讨论。

12.4 双正交样条小波
样条函数是分段光滑且在连结点处具有一定光滑性的一类函数，它在数值逼近方面获得了广泛的应用。

其中基数B 样条(Cardinal B-Spline)函数具有最小的支撑范围且又容易在计算机上实现，因此被认为是构造小波函数的最佳候选者之一。

m 次B 样条函数)(t N m 是一阶B 样条函数)(1t N 自身作1-m 次卷积所得到的，
371 / 49
而)(1t N 正是Haar 小波的尺度函数，即 ⎩⎨⎧=0
1
)(1t N
其它
1
0<≤t
(12.4.1)
所以
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=*=02)()()(112t t t N t N t N
其它
211
0<≤<≤t t (12.4.2)
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧---*0)
3(21)2/3(432/)()()(22
2123t t t t N t N t N ＝＝
其它
32211
0<≤<≤<≤t t t (12.4.3) 依次类推，有
)()()()()()(11211t N t N t N t N t N t N m m m **=*=--
)()()(111t N t N t N ***=Λ
(12.4.4)
Battle 和Lemarie 用上述的样条函数构造了小波[8]，其思路是令尺度函数)(ˆt φ等于)(t N m 。

考虑到)(ˆt φ
往往以0=t 为对称，所以令 1=m
)()(ˆ1
t N t =φ
(12.4.5)
2=m
⎩
⎨⎧-=+=01)1()(ˆ2t t N t φ
其它
1
≤t
(12.4.6)
372 / 49
3=m
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧----+=0)2(2/1)21(4/3)1(5.0)1()(ˆ2
223
t t t t N t ＝＋φ 其它
21100
1<≤<≤<≤-t t t (12.4.7)
3,2,1=m 时的)(ˆt φ如图12.4.1所示。

由该图可以看出，)(1t N 是不连续的，)(2
t N 连续但一阶导数不连续，而)(3t N 的一阶导数是连续的，曲线已比较光滑。

当m 增大时，
)(t N m 会变得更光滑。

373 / 49
图12.4.1 由)1(+t N m 得到尺度函数
很容易证明(12.4.4)式所决定的)(t N m 的傅里叶变换是
m
m j m
j e j e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---2/2/sin 12/ωωωωω
(12.4.8)
而对移位后的)1()(ˆ+=t N t m
φ，其傅里叶变换为
m
j e ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=Φ
-2/2/sin )(ˆ2
/ωωωεω
(12.4.9)
如果m 为偶数，式中0=ε，若m 为奇数，则式中1=ε。

分析(12.4.6)式，我们发现
)12(ˆ2
1)2(ˆ)12(ˆ21
)1()(ˆ2
-+++=+=t t t t N t φφφφ
374 / 49
(12.4.10)
满足我们在第十章所讨论的二尺度差分方程。

同时，可求出
2cos 3231)2(ˆ22
ωπω+=+Φ∑∞
-∞
=l l
(12.4.11)
是有界的。

当3=m 时，
)22(ˆ4
1)12(ˆ43)2(ˆ43)12(ˆ41
)1()(ˆ3
-+-+++=+=t t t t t N t φφφφφ
(12.4.12)
同样也满足二尺度差分方程，同理可求出
ωωπω22
cos 30
1
cos 3013158)2(ˆ++=
+Φ
∑∞
-∞
=l l
(12.4.13)
因此，在3,2,1=m 时不同的)(ˆt φ
可构成一个多分辨率分析。

由1.7节关于正交基频域的性质，由于(12.4.11) 和(12.4.13)式的右边不等于1，因此)(ˆt φ的整数移位之间不构成正交基。

由(9.8.40)式，我们可将)(ˆt φ
“正交化”，即令
2
1
2)2(ˆ)(ˆ)(ˆ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+ΦΦ
=Φ
∑∞-∞=⊥k l πωωω
(12.4.14)对)(ˆω⊥Φ
作反变换，得尺度函数)(ˆt φ，则)(ˆn t -φ，Z n ∈可形成一族正交基。

再由第十章的方法可得到正交归一的小波函数。

在双正交的情况下，我们可不必对)(ˆt φ作(12.4.14)式的正交化，而直接用)(t N m
作适当移位后的)(ˆt φ
作为尺度函数，如(12.4.5)～(12.4.7)式所示。

这样选定)(ˆt φ后，Daubechies 令(12.3.11)式中的)21(y R -等于零，并令1)(ˆ0
=y P 。

)()(0y P y P =，从而
375 / 49
得到了在双正交条件下样条小波分析滤波器)(0z H 和重建滤波器)(ˆ0
z H 的系数，即
N
H ˆ02cos 2)(ˆ⎪⎭⎫ ⎝
⎛=ωω，l N
ˆ2ˆ=
(12.4.15a)
N
j e H ˆ2/02cos 2)(ˆ⎪⎭⎫
⎝
⎛=-ωωω，1ˆ2ˆ+=l N
(12.4.15b)
m
l l m N m m l l H ⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=∑-+=2sin 1ˆ2cos 2)(21
ˆ00ωωω，l N 2=
(12.4.16a)
m
l l m N j m m l l e H ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
=∑+=-2sin ˆ2cos 2)(2ˆ
02/0ωωωω，12+=l N (12.4.16b) (12.4.15a)和 (12.4.15b)分别对应(12.3.5b)式和 (12.3.6b)式，而(12.4.16)式是(12.3.5a)式、(12.3.6a)式和(12.3.11)式的结合。

由(12.4.15)式可以看出，)(ˆ0
ωH 仅和l ˆ有关，而和l 无关；由(12.4.16)式，)(0ωH 不但和l 有关，而且还和l ˆ有关，也即)(0
ωH 取决于N 和N ˆ。

给定不同的N 和N ˆ，就可求出一对)(0ωH 和)(ˆ0
ωH 。

将(12.4.15)式和(12.4.8)及(12.4.9)式相比较可以看出，尺度函数)(t φ的傅里叶变换的“阶次m ”和)(ˆ0
ωH 中的N ˆ等价，也即1ˆ-N 即是得到)(t φ时由)(1t N 卷积的次数，或称之为)(t φ的“阶次”。

现给出不同N 和N ˆ组合情况下)(0z H 、)(ˆ0
z H 、)(t φ、)(ˆt φ、)(t ψ和)(ˆt ψ的系数。

情况1.
令1ˆ=N
，则必有0ˆ=l ，由(12.4.15b)式，有
376 / 49
[]
ωωωωωj j j j e e e e
H ---+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=122
22)(2/2/2
/0 所以[]
注， )1(2
2
)(ˆ10-+=z z H
即
{}707.0,707.0)(ˆ0
=n h
令1=N ，则必有0=l ，由(12.4.16b)式，有
m
m j j j m m e e e H ∑=--⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=002/2
/2/02cos 122)(ωωωωω )1(2
2
ωj e +=
[注]：Daubechies 在文献[5]中令ωj e z
-=，故和本书定义的ωj e z =有区别。

所以 )1(2
2
)(10-+=z z H 即
{}707.0,707.0)(0=n h
在1ˆ=N
时的尺度函数)(ˆt φ即是Haar 尺度函数，即1)(ˆ=t φ，对10≤≤t ，其余为零。

又由于在1ˆ==N N 时的)()(ˆ0
0z H z H =，由(12.2.12b)式，必有)(ˆ)(t t φφ=。

易知在该情况下的小波函数即是Haar 小波，即
⎪⎩
⎪⎨⎧-==011
)(ˆ)(t t ψ
ψ
其它
12/12/10<≤<≤t t 我们知道， Haar 小波属正交小波，即DB1，但因为它是对称的，故又属双正交小
波。

我们记在该情况下的)(t φ，)(ˆt φ
，)(t ψ和)(ˆt ψ分别为)(ˆ1t φ，)(1.1t φ，)(1.1t ψ及)(ˆ1.1t ψ。

前面的1代表N ˆ，后面的1代表N ，以下均相同。

在1ˆ=N
的情况下，我们再令3=N ，则必有1=l ，由(12.4.16b)式，有
377 / 49
m
m j j j m m m e e e H ⎪⎭⎫
⎝
⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=∑=--2cos 1122)(1
03
2/2
/2/0ωωωω
[]
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⋅+++=---2438
22ωωω
ωω
j j j j j e e e e e
所以
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++++-=---321201611612121161161
2)(z z z z z z H
因为N
ˆ仍为1，所以， )(ˆ1t φ不变，)(3.1t φ，)(3.1t ψ及)(ˆ3.1t ψ可由上一节的公式推出。

但MATLAB 中的wavefun.m 文件可用来产生这些函数，如图12.4.2所示。

情况2：令2ˆ=N
，则1ˆ=l ，由(12.4.5a)式，有 )2(4
2)2(cos 2)(ˆ20ωωωωj j e e H
-++== )2(4
2
)(ˆ10-++=z z z H
再令2=N ，则1=l ，由(12.4.16a)式，有
m
m m m H ⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑=2sin 12cos 2)(21
02
0ωω
ω )4)(2(8
2ωωωω
j j j j e e e e ----++=
即
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+++-=
--212081414341812)(z z z z z H
按此方法类推，读者不难得出在不同N ˆ和N 的组合下的)(ˆ0
z H 及)(0z H ，如表12.4.1所示。

N
ˆ和N 的合适组合是： 1ˆ=N
，
5,3,1=N 2ˆ=N ， 8,6,4,2=N 3ˆ=N
，
9,7,5,3,1=N
由该表可以看出，)(ˆ0
z H 和)(0z H ，特别是)(0z H ，若不考虑前面的2，其分母的系数都是2的整次幂，因此有利于在计算机上快速实现。

此外，在不同的N
ˆ值下，
378 / 49
)(ˆt φ
都是精确已知的，这些都是样条点双正交小波的优点。

在不同组合下的)(t φ，)(ˆt φ
，)(t ψ及)(ˆt ψ如图12.4.2~12.4.6所示。

其中图12.4.2给出的是1ˆ=N ，3=N 和5时的)(t φ及)(t ψ。

图中左边标的“bior 1.3 phi-D ”，即是指双正交小波的尺度函数
)(t φ，对应1ˆ=N
，3=N ，“D ”代表分解，右边图标的“psi ”指的是“ψ”。

以下各图的标法均相同。

另外，图中的横坐标是MATLAB 按正的坐标求出的，这和12.3节所给出的支撑范围有区别。

图12.4.2 1ˆ=N
，5,3=N 时用于分解的)(t φ和)(t ψ 图12.4.5给出的是1ˆ=N
，2ˆ=N ，3ˆ=N 和4ˆ=N 时的)(ˆt φ(图中标为phi-R ，R 代表重建)。

显然，1ˆ=N
时的)(ˆt φ即是Haar 尺度函数，它即是图12.4.1的(a)图。

而2ˆ=N
时的)(ˆt φ即是图12.4.1(b)，3ˆ=N 时的)(ˆt φ即是图12.4.1(c)。

它们分别是
379 / 49
)(1t N ，)(2t N 和)(3t N 。

显然，图中4ˆ=N 时的)(ˆt φ应是)(4
t N 。

注意，)(ˆt φ只和N ˆ有关，而和N 无关。

图12.4.6给出的是1ˆ=N
， 3=N ；2ˆ=N ，2=N ；3ˆ=N ，3=N 和3ˆ=N ，5=N 时的)(ˆt ψ。

显然，)(ˆt ψ不仅和N ˆ有关，而且也和N 有关。

图12.4.4，3ˆ=N
，9,7,5,3=N 时用于分解的)(t φ和)(t ψ
381 / 49
12.4.5，43,2,1ˆ和=N
时用于重建的)(ˆt φ
图12.4.6，1=N
， 3=N ；2=N ，2=N ；3=N ，3=N 和3=N ，5=N 时用于重建的)(ˆt ψ
表12.4.1给出了在3,2,1ˆ=N 时N 取不同值时2/)(ˆ0z H ，2/)(0
z H 的系数，由于在2ˆ=N
，6=N 和8，3ˆ=N ，7,5=N 和9时的)(0z H 的系数过长，故表中没有列入，详细数据可参考文献[5]。

由以上讨论可知，按(12.4.15)或(12.4.16)式构造出的)(ˆ0z H 及)(0z H 的长度差别甚大，且N 越大，这一差别越明显。

由(12.1.15a)式，)(ˆ0
n h 的长度决定了)(1n h 的长度。

这样，一对分解滤波器)(0z H 和)(1z H 的长度将会有着明显的不同。

这在一些应用中将会带来不便和麻烦，特别是在语音和图像处理方面。

)(ˆ0z H 和)(0z H 长度不同的原因在于对)(ˆ)()(0
0y P y P y P =的分解，即(12.4.15)和
382 / 49
(12.4.16)式是在假定1)(0=y P ，)()(0y P y P =情况下得到的。

若对)(y P 作另外形式的分解，即
)(ˆ)(1)(001
0y P y P y m m k y P m
k m =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∑-=，l l k ˆ+=，1)(ˆ0≠y P
(12.4.17)
然后将)(0y P 和)(ˆ0y P 分别代入(12.3.5)和(12.3.6)式，则可得到保证在双正交条件下且长度接近的)(ˆ0
z H 和)(0z H 。

Daubechies 令[5]
[]∏∏==+--=2
11
2
21
)Re 2()()(J j i i J j i y y z y y y A
y P
(12.4.18)
表12.4.1 )(ˆ0
z H ，)(0z H 的系数
式中)~1(1J j y j =为)(y P 的一阶实根，2~1,J i y i =是)(y P 的共扼复根，然后在保
证)(0y P 、)(ˆ0y P 系数始终为实数的情况下，考虑j y ，i y 对)(0y P 和)(ˆ0
y P 的分配。

在4ˆ=N
，4=N ，即2ˆ==l l 的情况下，有 m
m m m m m y m m y P ⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑==2sin 33)(23
03
0ω
即
[]
16
/540131208131405)(32123----+-+-+-=z z z z z z z P
它有两个实根，即3289.01=z ，0470.32=z ，两对共扼复根，即
2432.02841.04,3j z ±=，7390.10311.26,5j z ±=。

又由于
2
42/2/ˆ
224222cos 2cos ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪
⎭⎫
⎝
⎛
=⎪⎭⎫
⎝⎛--ωωωωωωj j j j l l
e e e e
令ω
j e
z =，则上式等效为[
]
16/46421
2
--++++z z
z z 。

它即属于)(ˆ0
z H ，也属于)(0z H 。

若将上面分解出的零点1z 和2z 赋给)(ˆ0z H ，则)(ˆ0
z H 的长度为7。

将余下的4,3z 和6,5z 赋给)(0z H ，则)(0z H 的长度为9。

这样，二者的长度基本相等，即满足了
(12.3.9)式，且又具有对称性。

当5ˆ=N
，5=N 时，存在两种分解方式。

相应的系数如表12.4.2所示。

4ˆ=N ，4=N 时的φˆ，φ，ψ
ˆ和ψ如图12.4.7所示，5ˆ==N N 时的φˆ，φ，ψˆ和ψ如图12.4.8所示。

图12.7.7 ˆ,N
，4N =时用于分解的)(t φ,)(t ψ及用于重建的)(ˆt φ，)(ˆt ψ
图12.4.8 ˆ,N
，5N =时用于分解的)(t φ,)(t ψ及用于重建的)(ˆt φ，)(ˆt ψ 表11.4.2 具有接近长度的双正交小波对应的滤波器系数
385 / 49
386 / 49
12.5 正交小波包
第十章讨论的多分辨率分析将)(2
R L 空间逐层进行分解，如将0V 分成1V 和1W ，再将
1V 分成2V 和Λ,2W ，其中110W V V ⊕=，221W V V ⊕=，及j Z
j W V +∈⊕=0。

对同一尺度
j ，j V 是低频空间，j W 是高频空间，因此，信号)(t x 在j V 中的展开系数)(n a j 反映了
信号的“概貌”，而在j W 中的展开系数)(n d j 反映了信号的“细节”，也即)(t x 的小波系数。

由于这种分解具有恒Q 性质，即在高频端可获得很好的时域分辨率而在低频端可获得很好的频域分辨率，因此，这种分解相对均匀滤波器组和短时傅里叶变换有着许多突出的优点，因此获得了广泛的应用。

但这种分解仅是将j V 逐级往下分解。

而对j W 不再作分解。

将1W 和2W 相比，显然，
1W 对应最好的时域分辨率，但是有着最差的频域分辨率。

这在既想得到好的时域分辨率
又想得到好的频域分辨率的场合是不能满足需要的。

当然，在任何情况下，时域－频域分辨率之间都要受到不定原理的制约，但是，我们毕竟可根据工作的需要在二者之间取得最好的折中。

例如，在多分辨率分解的基础上，我们可将j W 空间再作分解，如图12.5.1所示。

图12.5.1 0V 空间的逐级分解
0=j 1=j 2
=j 3
=j
387 / 49 在该图的分解中，任取一组空间进行组合，如果这一组空间：①能将空间0V 覆盖；②相互之间不重合，则称这一组空间中的正交归一基的集合构造了一个小波包(wavelet packet)。

显然，小波包的选择不是唯一的，也即对信号分解的方式不是唯一的。

如在图12.5.1中，我们可选择
①
31V ，31W ，32V ，32W ，33V ，33W ，34V ，34W ；
② 31V ，31W ，21W ，22V ，22W ； ③ 1V ，22V ，22W
等不同空间来组合，它们都可覆盖0V ，相互之间又不重合。

如何决定最佳的空间组合及寻找这些空间中的正交归一基便是小波包中的主要研究内容。

图12.5.1的空间分解可用图12.5.2的滤波器组来实现。

注意，在实现各级的卷积时，图中滤波器01,H H 的系数要事先翻转，即将()i h n 变成(),0,1i h n i -= 。

图12.5.2 图12.5.1的滤波器组实现
由该图可以看出，基于小波包的信号分解也是用一对滤波器)(0z H 和)(1z H 来实现的。

在第十章的多分辨率分析中，我们详细讨论和论证了在j V 和j W 中分别存在正交归一基)(,t k j φ和)(,t k j ψ，它们和共轭正交镜像滤波器组)(0z H 、)(1z H 有如下关系：
388 / 49
∑∞
-∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛k j j k t k h t 102)(22φφ
(12.5.1a)
∑∞-∞
=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛k j j k t k h t 112)(22
φψ
(12.5.1b)
当0=j 时，有
()()∑∞
-∞
=-=k k t k h t 2)(20φφ
(12.5.2a)
()()∑∞
-∞
=-=k k t k h t 2)(21φψ
(12.5.2b)
此即二尺度差分方程。

式中，)(0k h 、)(1k h 有如下关系：
)1()1()(01k h k h k --=
(12.5.3)
在上述的多分辨率分析中，当将j V 分解成1+j V 和1+j W 时，j V 中的正交归一基基)(,t k j φ产生了两个正交归一基)(,1t k j +φ和)(,1t k j +ψ，它们分别属于1+j V 和1+j W ，生成办法即是(12.5.1)式的二尺度差分方程。

由此我们可以设想，在图12.5.1中，将1W 分解生成21W 和
22W 时，1W 中的正交归一基)(,1t k ψ也将会依照二尺度差分方程分别生成21W 和22W 中的
正交归一基。

如果这一结论正确，则图12.5.1中的各个子空间将都存在正交归一基。

文献[8]证明了这个一般结论。

该结论可由下述定理来描述：
定理12.5 令)(,t k j θ是空间j U 中的正交归一基，)(0k h ，)(1k h 是满足(12.5.3)式的一对共轭正交滤波器，令
∑∞
-∞
=-+-=
k j
j k t k h t )2
()()(0
1
θθ
(12.5.4a)
389 / 49
∑∞
-∞
=-+-=
k j
j k t k h t )2
()()(1
11
θθ
(12.5.4b) 则
Z k t t k j k j ∈++)},(),({1
,10,1θθ
是j U 中的正交归一基。

该定理的证明见文献[8]。

显然，令0j U ，1j U 分别是)(0,1t k j +θ和)(1
,1t k j +θ所产生的空
间。

自然有
11
101+++=⊕j j j U U U
(12.5.5)
在图12.5.1中，0V 中有正交基)(,0t k φ，1V 中有正交基)(,1t k φ，1W 中有正交基
)(,1t k ψ。

按定理12.5，由)(,1t k ψ可生成21W ，22W 中的正交基。

依次类推，我们可得到
图12.5.1中任一子空间中的正交归一基。

对于给定的尺度j ，在图12.5.1中，共有j
2个子空间。

为了讨论的方便，我们将图中的子空间统一标记为0
j W ，Λ,1
j W ，1
2-j j W 。

如3=j ，共有03W ，Λ,13W ，7
3W 个子
空间。

显然，p
j
W 2对应每一次剖分的低频部分，而1
2+p j
W 对应其高频部分，
12,,1,01-=-j p Λ。

令每一个子空间的正交归一基为)(,t p k j ψ。

由(12.5.1) 及(12.5.4)式，
有
()()∑∞
-∞
=-+--=k j
p
j p
k t k h t 2
)(2
2
)
1(2ψψ
(12.5.6a)
()()∑∞
-∞
=-+-+-=k j
p
j p k t k h t 2
)(2
2
1
)
1(1
2ψψ
(12.5.6b)
390 / 49
及
)2(),2()(2)1(20k t t k h j p j p -=-+-ψψ
(12.5.7a)
)2(),2()(2)1(121k t t k h j p j p -=-+-+ψψ
(12.5.7b)
由(12.5.5)式，有
p j p j p j W W W =⊕+++1
21
21
(12.5.8)
显然，当0=p 时，000W W p =即是空间0V ，基函数)()2(0
k t k t j p -=--ψψ即是0V 中
的正交归一基)(k t -φ，也即尺度函数。

由图12.5.1也可看出，1
j W 即是我们在第十章讨论过的多分辨率分析中的空间j W ，因此1j W 中的正交归一基)2(1
k t j
--ψ即是j W 中的正
交归一基)(,t k j ψ，也即小波函数。

由(12.5.6)式，令0=j ，则
()()∑∞
-∞
=-=
k p
p
k t k h t 2)(2
2ψψ
(12.5.9a)
()()∑∞
-∞
=+-=
k p
p k t k h t 2)(2
1
1
2ψψ
(12.5.9b)
按照上述思路，只要我们给定了0V 中的尺度函数)(t φ及相应的小波函数)(t ψ，由(12.5.6)，或(12.5.9)式即可递推地求出小波包分解中各个子空间中的基函数)(2,t p
k j ψ和
)(12,t p k j +ψ。

例12.5.1 对Harr
小波，21)1()0(00=
=h h ，2
1
)0(1=h ，
2
1
)1(1-
=h
由(12.5.6)式，有
()()∑=+-=1
0021
2)(2k j p j p j k t k h t ψψ
()()∑=++-=
1
1121
2)(2k j p j p j k t k h t ψψ
当0=j 时，
()()()122000
01-+=t t t ψψψ ()()()12200001
1
--=t t t ψψψ 当1=j 时，
()()()1220
10
10
2-+=t t t ψψψ
()()()12201011
2
--=t t t ψψψ ()()()12211112
2
-+=t t t ψψψ ()()()12211113
2
--=t t t ψψψ )(01t ψ，)(11t ψ的宽度都是T 2，而)(~)(3
202t t ψψ的宽度为T 4。

3,2,1=j 时的)(t p j ψ分
别示于图12.5.3a ，b 和c 。

图12.5.3
由Harr 小波生成的小波包
(a) )(01t ψ,)(1
1t ψ
(b)
)(~)(3
202t t ψψ (c)
)(~)(7
303t t ψψ
例12.5.2
令0V 空间中的)(t φ为“DB5”小波对应的尺度函数，当3
=j 时，求出7303~W W 中的小波基)(~)(7
303t t ψψ如图12.5.4所示。

393 / 49
图12.5.4
3=j 时，由“DB5”小波生成的)(~)(7303
t t ψψ 上述两例的分解过程可以形象地表为一个二进制的树结构，如图12.5.5所示。

图中结点处的数值即为),(p j 。

MATLAB 中的plottree 命令文件可画出此结构图。

令)()(2
R L t x ∈，则
)(),()(),()(0
00n t t x n t t x n a -=-=ψφ
(12.5.10)
是)(t x 在空间0
00W V =中的“概貌”。

我们把它当作一个树状滤波器组的输入信号。

在
小波
)
0,0()
0,1()1,1()
0,2()
1,2()
2,2()
3,2()0,3()1,3()2,3()3,3()4,3()5,3()6,3()
7,3(
图12.5.5
3=j 时的二进制树结构图
包的分解中，对任意的结点),(p j ，则
)(),()(t t x n d p j p j ψ=
为)(t x 在该结点(或子空间p j W )处的小波包系数，它是)(t x 和基函数)2(n t j
p
--ψ作内
积的结果。

下述定理给出了小波包系数的快速计算方法。

定理12.6 在小波包的分解中，在结点),1(p j +处的小波包系数由下式给出
∑∞
-∞
=+-=
*=m p j
p j
p j k m h m d
k h k d k d
)2()()2()()(0021
(12.5.11a)
∑∞
-∞
=++-=
*=m p j
p j
p j k m h m d
k h k d k d
)2()()2()()(11121
(12.5.11b)
而在结点),(p j 处的小波包系数p
j d 可由下式重建：
)()()()()(11
21021k h k d k h k d k d p j p j p j
*+*=+++((
(12.5.12)
式中)(21k d p j +(和)(1
21k d p j ++(分别是)(21k d p j +和)(1
21k d p j ++每两个点插入一个零后所得到的序
列。

该定理的证明类似于定理10.6和定理10.7，此处不再讨论。

2=j 时的分解与重建如图12.5.6a 和b 所示。

图中)(0
0n d 即是)(0n a 。

在图（a ）中，当实现各级的卷积时，图中滤波器01,H H 的系数同样要事先翻转，即将()i h n 变成(),0,1i h n i -= 。

02
12
32
2
2。