弹塑性力学习题及答案

1

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第二章

2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 答案 (1)pi iq qj jk

pk δδδδδ=;

答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;

解：(3)()ijp klp ki lj

ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。

2.2证明：若ij

ji a a =，则0ijk jk e a =。

（需证明）

2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：

2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a c

b a b b b

c a b c c a c b c c

证：因为1

231

111232221

2

33

3

3i i i i i i i i i i i i i i

i i i i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

， 所以

1

231111232221

2

33

3

3

1

231

1112322212

333

3det det()i i

i i i i i i

i i i i i i

i i

i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

即得 123111

2

123222123333

[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。

2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：

()()()()()()⨯⋅⨯=⋅⋅-⋅⋅a b c d a c b d a d b c 证明：()()⨯⨯=a b c d ⋅

2 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试

求矢量u 在新坐标系中的分量。

答案： 112cos sin u u u θθ'=+，

212sin cos u u u θθ'=-+，

33u u '=。

2.6设有二阶张量ij i j T =⊗T e e 。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T 在新坐标系

中的分量11T ''、12T ''、13T ''和33T ''。 提示：坐标变换系数与上题相同。 答案：

11221122122111cos2sin2222T T T T T T

T θθ''+-+=

++， 12211221221112cos2sin2222

T T T T T T

T θθ''-+-=++，

131323cos sin T T T θθ''=+， 3333T T ''=。

2.7设有3n

个数12n i i i A ⋅⋅⋅，对任意m 阶张量12m j j j B ⋅⋅⋅，定义 121212

12

n m

n

m

i i i j j j i i i j j j C A B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

若1212n m i i i j j j C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为n m +阶张量，试证明12n i i i A ⋅⋅⋅是n 阶张量。

证：为书写简单起见，取2n =，2m =，则

2.8设A 为二阶张量，试证明tr =I A A ⋅⋅。 证：

2.9设a 为矢量，

A 为二阶张量，试证明：

(1)()T T ⨯=-⨯a A A a ，(2)()T T ⨯=-⨯A a a A

证：(1) ()()()T T T T ji i j k k ji i k jkn n A a A a e -⨯=-⊗⨯=-⊗A a e e e e e ()T ji k jkn i n jn k jki i n A a e A a e =-⊗=-⊗e e e e k k jn j n a A =⨯⊗=⨯a A e e e 。 证：(2) ()T T -⨯=a A

图2.4

3

2.10已知张量T 具有矩阵

123[]456789=⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

T

求T 的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：

2.11已知二阶张量T 的矩阵为

310[]130001-=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

T

求T 的特征值和特征矢量。 解：

2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：

αβ=+⊗A I m m ，=⊗+⊗B m n n m

其中，α和β是实数，m 和n 是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为

()()αβαβ⋅=+⊗⋅=+A m I m m m m ，

所以m 是A 的特征矢量，αβ+ 是和其对应的特征值。设a 是和m 垂直的任意单

位矢量，则有

()αβα⋅=+⊗⋅=A a I m m a a

所以和m 垂直的任意单位矢量都是A 的特征矢量，相应的特征值为α，显然α是特

征方程的重根。 令

2)-m n e

，3)+m n e ，123⨯e =e e 则有

23)m e +e

，23)-n e +e 上面定义的i e 是相互垂直的单位矢量。张量B 可以表示成 1122330=⊗-⊗⊗B e e e e +e e

所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是3e 、1e 和2e 。