2019届高三联考(全国I卷)数学(文)试题(解析版)

求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件 ，然后根据公式
9.△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知
，则 B＝
求得概率.
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 式可得 【详解】
2
结合余弦定理可得 ，从而可得结果.
，
，再由正弦定理可得 ，
，由辅助角公
13.已知单位向量 的夹角为 60°，则
________．
【答案】 【解析】 【分析】
先利用平面向量的数量积公式求出 量的模为 1，即可得结果.
，再利用数量积的运算，化简
，将 代入，结合单位向
【详解】
，
，故答案为 . 【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标 运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公 式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解 决．列出方程组求解未知数．
B 是正确的；
对于选项 C：2 月份业务量同比增长率为 53%，而收入的同比增长率为 30%，所以 C 是正确的；
对于选项 D，1，2，3，4 月收入的同比增长率分别为 55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.
本题选择 D 选项.
【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2
2
A. 2018 年 1~4 月的业务量，3 月最高，2 月最低，差值接近 2000 万件
B. 2018 年 1~4 月的业务量同比增长率均超过 50%，在 3 月底最高
C. 从两图来看，2018 年 1~4 月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致
D. 从 1~4 月来看，该省在 2018 年快递业务收入同比增长率逐月增长
11.已知 是奇函数
的导函数，当
时，
，则不等式
A.
B.
【答案】B
【解析】
C.
D.
【分析】
构造函数
，可得
为奇函数且在 上单调递增，根据奇偶性可得
调递增，原不等式化为
【详解】令
，当
，从而可得结果.
时，
，
在 上单调递增，
为奇函数， 也是奇函数，且在 上单调递增，
由
化为
的解集为 在 上单
得
，
，
的解集为
，故选 B.
（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
15.已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的高为 6，AB＝4，点 D 为棱 BB1 的中点，则四棱锥 C—A1ABD 的表面积是 ________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直三棱柱的性质判断
的底面为直角梯形，四个侧面中，有三个直角三角形，一个等腰三角形，
4.设 ， 满足约束条件
，则
的取值范围是（ ）A.Leabharlann B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，目标函数为两点连线的斜率，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，
把最优解的坐标代入目标函数，利用数形结合得结论.
2
2
【详解】
画出
表示的可行域，
表示可行域内的点 与点
连线的斜率，
由
2
，
即
，
，又
，
，故选 D. 【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果 式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
10.在直角坐标系 中， 是椭圆 ：
入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为
时函数图象的变
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.
【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
12.已知函数 只有一个 使
， ，则 的最大值为（ ）
，对任意 恒有
，且在区间 上有且
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
2
2
【分析】 由题意得到 满足的关系式，然后结合题意分类讨论确定 ω 的最大值即可.
【详解】由题意知
其中正方体的棱长为 4，圆柱的底面半径为 2，高为 4，
则组合体的体积：
.
本题选择 B 选项.
【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线
面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常
用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
能力.
2
2
8.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两 个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数 值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的 结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为
的左焦点， 分别为左、右顶点，过点 作 轴的垂
线交椭圆 于 ， 两点，连接 交 轴于点 ，连接 交 于点 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率
为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合几何性质找到 a,c 的关系即可确定椭圆的离心率。
【详解】如图，连接 BQ，则由椭圆的对称性易得∠PBF=∠QBF，∠EAB=∠EBA，所以∠EAB=∠QBF，所
，
；
此时 的值不大于 ，应执行：
，
；
此时 的值不大于 ，应执行：
，
；
此时 的值不大于 ，应执行：
，
；
此时 的值不大于 ，应执行：
，
；
此时 的值不大于 ，应执行：
，
；
此时 的值大于 ，应跳出循环，
即 时程序不跳出循环， 时程序跳出循环，
结合选项可知空白的判断框内可以填入的是 .
本题选择 B 选项.
【点睛】本题主要考查流程图的运行过程，补全流程图的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解
或 时，
都成立，舍去；
③.当 k=17 时，
当
时，
，此时 可使 ，
当且仅当
时，
综上可得：ω 的最大值为 .
2
都成立，
成立，
2
本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解 能力，属于难题.
二、填空题：本大题共 4 小题．将答案填在答题卡中的横线上．
，则
，
其中
，
又 f(x)在（ ， ）上有且只有一个最大值，且要求 最大，
则区间（ ， ）包含的周期应最多，
所以 分类讨论：
，得 0< ≤30，即
，所以 k≤19.5.
①.当 k=19 时，
当
时，
，此时 可使 ，
所以当
或 时，
都成立，舍去；
成立，
②.当 k=18 时，
当
时，
，此时 可使 ，
成立，
所以当
，得
，
由图知， 的范围是
， ，故选 A.
【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步
骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的
最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）
将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5.函数
的图象大致为
A.
B.
C.
D.
2
2
【答案】C 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除 ；由
，排除 ；由
，排除 ，从而可得结果.
【详解】由
，得 为偶数，图象关于 轴对称，排除 ；
，排除 ；
，排除 ，故选 C. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命 题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面
以 ME//BQ.
因为△PME∽△PQB，所以
，
因为△PBF∽△EBO，所以
，从而有
，
又因为 M 是线段 PF 的中点，所以
.
本题选择 C 选项.
【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范
2
2
围)，常见有两种方法：
①求出 a，c，代入公式 ； ②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式) 两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)．