黄金分割论文

黄金分割及应用

李新英摘要：黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用，许多艺术家自觉地被黄金分割的魅力所诱惑，从而使数学与艺术创作紧密的结合起来，创造了不少不朽的名著。

关键词：黄金分割；艺术创作；斐波那契数列

1.引言

大千世界的万事万物都有其独特的结构形式，因而关于形体的结构比例也是多种多样的。人们最常见的一种和谐比例关系，就是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”，又称“黄金段”或“黄金律”。黄金分割指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。0.618被公认为最具审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：

1/0.618=1.618

[1]

(1-0.618)/0.618=0.618

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。其无穷魅力再许多伟大的作品中都有体现。

2.神奇美妙的黄金分割

2.1黄金分割的起源与数学证明

公元前4世纪，古希腊著名的数学家、天文学家欧多克斯，他曾研究过大量的比例问题，提出“中外比”。虽然最先系统研究黄金分割的是欧多克斯，但是，现在人一般认为，黄金分割是由公元前6世纪的毕达哥拉斯发现的。用C点分割木棒AB，整段AB 与长段CB之比，等于长段CB与短段AC之比。

毕达哥拉斯还发现，把较短的一段放在较长的一段上面，也产生同样的比例，这一规律可以重复下去。

经计算得出结沦：长段a（CB）与短段b（AB）之比为1:0.618，其比值为0.618。可用下面的等式表达

a：b= ( a +b) ：a

即长段长度的平方又恰等于整个木棒与短段长度的乘积，即

2

a= (a+b) b

在《几何原本》一书中，欧几里得将黄金分割做了系统的论述，这一神奇的比例关系，后来被古希腊著名哲学家、美学家柏拉图誉为“黄金分割律”，简称“黄金律”、“黄金比”。19世纪威尼斯数学家帕乔里将黄金分割律誉为“神赐的比例”。文艺复兴时期，许多艺术大师把黄金分割与人们的审美联系在一起。黄金分割更被广泛的应用于艺术创作之中。

黄金分割是古希腊人的重大发现，表现为数学命题：已知一线段，试把它分成两部分，使长的一段为短的一段和原线段的比例中项。

例：设原线段常为a，分成长为一段长为x，那么短的一段长为a-x。如图

则 ()x a a x -=2 解此方程得a a x 618.02

1

5≈-=

于是得黄金分割的精确作图

以上是分割点在原线段上的情况。如果分割点在已知线段的延长线上，

()0,222=---=a ax x a x a 于是得相应的作图

黄金分割在几何学上，成为分已知线段为“中外比”。广义上说

618.02

1

5≈-,618.12

1

5≈+均是黄金分割数或者黄金分割。 2.2黄金分割与裴波那数列

裴波纳奇数与黄金分割有何关系？数列存在这样的递推关系：121==F F ，

*12,N n F F F n n n ∈+=++。前几项为,21,13,8,5,3,2,1,1……则数列{}n F 叫做斐波那契数列，简

称F-数列。它是13 世纪意大利数学家Fibonacci 在研究小兔问题时提出的。 裴波纳奇数数列的递推关系式：

()⎩⎨

⎧

≥+===++是自然数和a ,3112

21n a a a a a a n n n

看下列比值：

()1111→= ()25.021→= ()3667.032

→≈ ()46.053→= ()5625.085→= ()66184.0138

→≈ ()7619.02113→≈ ()86176.03421→≈ ()96182.055

34→≈

显然这些数越来越接近0.618.这表明裴波纳奇数列中任意相邻两项（前项比后项）都可用来近似地表示0.618.随着项数的增加，这些比值与0.618的误差越来越小。数学严格论证如下：

因为裴波纳奇数列的通项⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a 251251[2]

，则618.02

150

5151,0515151511515121521525125112512512

51125

1251512512515111

1

1

1

1

1

11lim

lim lim lim

lim

lim lim ≈-=∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+--⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-⨯---=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--+=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+∞

→+∞→∞→+∞

→+++∞

→++∞

→+∞→n n n n n n

n n n

n n n n n

n n n n

n n n n

n a a a a

另外，F-数列在分析方面有一个非常优美的结[]4

果:1

lim

n

n n F F ϕ→∞+=. 这使得黄金分割

与F-数列的联系更加紧密。因此，它们在应用上也有很多共同之处，斐波那契数列和黄金分割法相似，他们的区别在于斐波那契数列每次的缩短率不是常数，而是由斐波那契数列决定的。 3 黄金分割法的应用

1953 年，美国的弗基提出0.618 法获得大量应用, 特别是工程设计方面.20 世纪70 年代初，我国著名数学家华罗庚在应用优选法方面做出了杰出贡献，使得黄金分割法在我国得以推广，并取得了很大的成就，以下给出黄金分割法在生产生活及计算数学中的应用实例[]4。

3.1 黄金分割法的基本思想及优选法

黄金分割法, 也叫0.618 法，是黄金分割在优选法上应用的一种方法,是优化计算