分数简便运算技巧(二)

分数计算（二）学习提示

在五年级的课本中，我们就学习过这样的题目：

1111

12233445

+++

⨯⨯⨯⨯

，如果直接通分计算，是

对的，但是显然很麻烦。我们可以把每一个分数拆分为两个单位分数的差来计算：原式

=1111111114

1 1223344555 -+-+-+--=

（）（）（）（）=。通过拆分，使得一部分分数相互抵消，从而简便计

算。两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化为分子是1的分数来计算，所以后人常把分子是1的分数叫做埃及分数。埃及分数在分数计算中有着重要的规律。

如

111

1

(1)1

1111

(2)()(,)

1111

(3)()(,,)

2

1111

(4)()(,,,)

3

a a a a

a b a b

a b a b b a

a b c a b c

a b c a b b c

a b c d a b c d

a b c d a b c b c d

=-

⨯++

=-⨯<

⨯-

=⨯-<<

⨯⨯⨯⨯

=⨯-<<<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

（）

为两个连续自然数，且

为三个连续自然数，且

为四个连续自然数，且这一讲，我们就来研究通过分数的拆分，计算较复杂的分数计算题。

典型题解

例1、

11111 122334989999100 +++++

⨯⨯⨯⨯⨯

L

分析每项分子都是1，分母都是两个连续自然数的乘积，所以每项都可以拆成两个单位分数的差，一部分分数相互抵消，从而使计算简便。

解答原式

1111111111 122334989999100 =-+-+-++-+-

L

1

1

100

=-

99

100

=

怎么样，够简单吧。

例2、

111111 2558811111414171720 +++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

分析每项分子都是1，分母排列很有规律，但不是连续的自然数，差均为3，拆分时不要忘了每一项都乘

以1 3

解答原式=111111********* ()()()()() 32535838113141731720⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-

L

111

()

3220

3

20

=⨯-=

例3、20042004200420042004 545117221357 ++++

分析哇！数太大了吧。别急！仔细看看，分子可都是2004，不就可以看成2004乘分子都是1的分数了吗。那分母呢515,4559,117913,2211317,3571721

=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，分母是两个差是4的自然数的乘积

形式，可以拆分分数了。不过，可别忘了2004乘1 4

解答原式

11111

2004()

545117221357

=⨯++++

111111 2004()

1559913131717214

11

2004(1)

214

3340

7

=⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯

=⨯-⨯

=

题目的形式变了，可逃不脱同学们敏锐的观察力，总可以转化成我们学习过的形式。艺高人胆大，胆大可还要心细哟！

例4、

1111 123234345181920 +++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

L

分析这道题的每一项的分子都是1，分母均为3个连续自然数相乘的形式，可以用拆分分数的方法。怎么

拆比如第一项：

1111

()

12312232

=-⨯

⨯⨯⨯⨯

，依此类推，噢对了，别忘了三个连续自然数都乘

1

2

解答原式

111111111 ()()() 1223223342181919202 =-⨯+-⨯++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

L

1111111

()

12232334181919202

111

()

23802

1891

3802

189

760

=-+-++-⨯

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

=-⨯

=⨯

=

L

例5、

11

11

399

24

111111111 1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2232342399 ++++

+++++++++

L

L

分析没见过这么复杂的题，太难了！没关系，找不到思路的话可以一项一项的试算一下看有没有什么规律：

1

13122

2122232312

11

1223311343434(1)(1)2323

11

122441113454545(1)(1)(1)234234

=÷=⨯=⨯+==⨯=⨯++⨯==⨯=⨯+++⨯⨯ 发现了，发现了，都可以转化为分子都是2，而分母是两个连续自然数乘积的形式，那么最后一项就是

299100

⨯，就如同例3，可以拆分分数了。 解答 原式1111

39924334345345122323423499

=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 222223344599100

1111112()233499100112()2100

4950=

++++⨯⨯⨯⨯=⨯-+-++-=⨯-=L L 怎么样，还不算难把。灵活利用埃及分数的拆分规律，可以简便这一些看起来很复杂的分数数列计算。但要特别注意以下几点：

1、 认真审题。找准规律，灵活应用简算方法。

2、 对于比较陌生的题目，可采用试算找规律的方法，转化为学习过的题目。

3、 掌握基本方法的同时，勇于创新，寻找新的解题方法。

好了，开始我们的练习，在练习中巩固你学会的方法，并开始你新的探索！

课后自测：

1、

111123344520032004

++++⨯⨯⨯⨯L 2、111111112203042567290

++++++ 3、1111123202612420

++++L 4、555555(1484204374594864+++++首届《六一》杯六年级决赛试题）