选修1-2复数导学案

3.1.1数系的扩充与复数的概念
【学习要求】
1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
【学法指导】
可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.
【知识要点】
1．复数的有关概念 （1）复数
①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．
②表示方法：复数通常用字母____表示，即________． （2）复数集
①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系
（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧
实数(b ＝0)
虚数(b ≠0)⎩⎪⎨
⎪
⎧
纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)
（2）集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.
【问题探究】
探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 问题2 如何理解虚数单位i?
问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．
①2＋3i ；②－3＋1
2
i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.
跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． （1）实部为－2的虚数； （2）虚部为－2的虚数； （3）虚部为－2的纯虚数； （4）实部为－2的纯虚数．
例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6
m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)
m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
探究点二 两个复数相等
问题1 两个复数能否比较大小？
问题2 两个复数相等的充要条件是什么？
例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6
x ＋1
＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．
【当堂检测】
1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5
D ．±2，1
2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )
A ．±1
B ．±I
C ．±2i
D ．±2i
3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．
其中正确命题的个数为 ( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
【课堂小结】
1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．
【课后作业】
3.1.2 复数的几何意义
【学习要求】
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.
2．掌握实轴、虚轴、模等概念.
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
【学法指导】
通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．
【知识要点】
1．复数的几何意义
（1）复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． （2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．
2．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →
的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________
【问题探究】
探究点一 复数与复平面内的点
问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2 判断下列命题的真假：
①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．
例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．
跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；
（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量
问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？
例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．
跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－1
2－2i 的模，并比较它们的大小．
跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）|z |＝2；（2）|z |≤3.
【当堂检测】
1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
2．当2
3<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．在复平面内，O 为原点，向量OA →
对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →
对应的复数为 ( ) A ．－2－i
B ．－2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________
【课堂小结】
1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应； 2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
【课后作业】
3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【学习要求】
1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．
【学法指导】
复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．
【知识要点】
1．复数加法与减法的运算法则
（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________.
（2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义
如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →
2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．
【问题探究】
探究点一 复数加减法的运算
我们规定，复数的加法法则如下：
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：
问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 例1 计算：
（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； （2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； （2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).
探究点二 复数加减法的几何意义
问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求： （1）AO →
对应的复数； （2）对角线CA →
对应的复数； （3）对角线OB →
对应的复数．
跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
探究点三 复数加减法的综合应用
例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.
跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.
【当堂检测】
1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝1
2－2i ，则z 1＋z 2等于
( )
A ．0
B ．32＋52I
C ．52－52i
D ．52－32
i
2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于
( )
A ．1＋i
B ．1＋3
C ．－1－i
D ．－1－3i
3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →
对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限
【课堂小结】
1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
【课后作业】
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
【学习要求】
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．
【学法指导】
复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.
【知识要点】
1．复数的乘法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律
对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ，有
交换律 z 1·z 2＝________ 结合律
(z 1·z 2)·z 3＝____________ 乘法对加法的分配律 z 1(z 2＋z 3)＝______________
3．共轭复数
如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i
＝____________________
【问题探究】
探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？
问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？ 例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)； （2）(1＋2i)2； （3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
.
跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于
( )
A ．1＋i
B ．5＋5i
C ．－5－5i
D ．－1－i
（2）复数
i 2＋i 3＋i 4
1－i
等于 ( )
A ．－12－12i
B ．－12＋12I
C ．12－1
2
i
D ．12＋12
i
探究点二 共轭复数及其应用
问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？
例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .
跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．
【当堂检测】
1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )
A ．1＋3i
B ．3＋3i
C ．3－i
D ．3 3．复数i －2
1＋2i
等于 ( )
A ．i
B ．－I
C ．－45－3
5
i
D ．－45＋35
i
4．复数z ＝2－i
2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【课堂小结】
1．复数代数形式的乘除运算
（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题． 3．复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
【课后作业】
习题课
【学习要求】
巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．
【双基检测】
1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i
2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝1
3．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
5．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )
【题型解法】
题型一 复数的四则运算
例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋
(4－8i )2－(－4＋8i )2
11－7i ； （2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6
z ＋1的模．
跟踪训练1 （1）已知
z
1＋i
＝2＋i ，则复数z 等于
( )
A ．－1＋3i
B ．1－3i
C ．3＋i
D ．3－i
（2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋i 1－i 2 011等于
( )
A ．－i
B ．－1
C ．i
D ．1
题型二 复数的几何意义
例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．
跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．
题型三 两个复数相等
例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .
跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．
【课堂小结】
1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化； 2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；
3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．
【课后作业】
章末复习课 【知识结构】
【题型解法】
题型一 分类讨论思想的应用
例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．
跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2
（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．
题型二 数形结合思想的应用
例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .
跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；
（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．
题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z 是复数，z ＋2i ，
z
2－i
均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .
题型四 类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多
项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有
（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋
3＝－i(k ∈Z)； （2）(1±i)2＝±2i ；
（3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋
1＝ω(ω∈N *)等；
（4）(12±3
2
i)3＝－1；
（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )i
a ＋
b i ＝i ，
利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：
（1）(1－i)(－12＋3
2i)(1＋i)；
（2）－23＋i 1＋23i
＋(21－i )2 006
.
跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 011
1－i。