江苏省专转本高等数学真题

江苏省 2018年普通高校专转本选拔考试

高等数学 试题卷

一、单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）

(本内容由史老师誊写)

1.当x 0→时，下列无穷小与()sin 2f x x x =同阶的是( )

A. cos 2x 1-

B.

1

C. x 31-

D. ()231x 1+-

2.设函数(),2x a

f x x x b -=++若x 1=为其可去间断点，则常数,a b 的值分别为 ( )

A. ,12-

B. ,12-

C. ,12--

D. ,12

3.设函数()(),1x

f x 1x ϕ-=+其中()x ϕ为可导函数，且()13ϕ'=，则()f 0'等于（

）

A. 6-

B. 6

C. 3-

D. 3

4.设()2x F x e =是函数)(x f 的一个原函数，则()x f x dx '⎰等于（ ） A. ()2x 1

e x 1C 2-+ B.

()2x e 2x 1C -+

C. ()2x 1e x 1C 2++

D. ()2x e 2x 1C ++

5.下列反常积分发散的是（ ）

A.0x

e dx -∞⎰ B. 311dx x +∞⎰ C. 21dx 1x +∞-∞+⎰ D. 01

dx 1x +∞+⎰

6.下列级数中绝对收敛的是（ ）

A. n

n=1∞（） B. n

n=1

121n ∞

+-∑（

）

C. n=1sin 2n n ∞

∑ D. n

n=133n ∞-∑（）

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）

7.设lim()lim sin 1

x x 0x 2

1ax x x →→∞+=，则常数a = .

8.

设函数)y x 0=>，则y '= .

9.设(,)z z x y =是由方程2z xyz 1+=确定的函数,则

z x ∂=∂= . 10.曲线432y 3x 4x 6x 12x =+--的凸区间为 .

11.已知空间三点(,,),(,,),(,,)M 111A 110B 212，则AMB ∠的大小为 .

12.幂级数1(4)5n

n n x n ∞

=+⋅∑的收敛域为 . 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）

13.求极限lim[]ln()

22x 011x 1x →-+. 14.设()y y x =是由参数方程323x xt t 10y t t 1⎧-+-=⎪⎨=++⎪⎩确定的函数，求t 0

dy dx = . 15.求不定积分

⎰. 16.计算定积分()ln 2

12x 1xdx +⎰.

17.求通过点(,,)M 123及直线x 13t y 14t z 15t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩

的平面方程.

18.求微分方程()323y 2x y dx 2x dy 0-+=的通解.

19.设(,)x z xf y y

=，其中函数f 具有一阶连续偏导数，求全微分dz 20.计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中 {(,)()

,}22D x y x 1y 10y x =-+≤≤≤.

四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）

21.证明：当x 0>

时，ln x <

.

22.设函数(), (), x 0f t dt x 0F x x 0x 0

⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰，其中)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且()lim x 0f x 1x →=.证明： ()F x '时在点x 0=处连续.

五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）

23.设D 由曲线弧 cos (

)y x x 42ππ=≤≤ 与sin ()y x x 4ππ=≤≤及x 轴所围成的平面图形，试求；

（1）D 的面积；

（2）D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.

24.设函数()f x 满足方程()()()f x 3f x 2f x 0'''-+=，且在x 0=处取得极值1，试求：

（1）函数)(x f 的表达式；

（2）曲线()()f x y f x '=的渐近线.