第三章稳定性和代数稳定判据

稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
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稳定的充要条件和属性
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
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C(s)
解：系统的闭环特征方程为
0.2s3 (0.2 )s2 s K 0
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劳斯行列表为： s 3
0.2
1
s 2 0.2
K
s1 1 0.2K
0
0.2
s0
K
系统作等幅振荡，所以存在一对虚根。且 s1,2 5 j ，这相 当于劳斯阵列中有一行全为0，在本例中，要求 s1 行为0，
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劳斯判据
二、 劳斯稳定性判据 （一）、劳斯判据
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的充要条件为：
由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列所有元素都为正。
sn an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
部分特征根可由辅助方程式求得： (s2 2)(s2 4) 0
s1,2 2 j 此时系统是不稳定的。
s3,4 2 j
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例：下图是某控制系统的方块图，若系统以的角频率 5rad / s
作等幅振荡，试确定此时K和 的值。
R(s)
K
s(0.2s 1)(s 1)
故第一列不全为正，系统不 稳定。由于第一列元素符号 改变次数为2，说明s右半平面 有两个极点。
2
3
,
2
3
3
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劳斯判据特殊情况
劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程有对称于复数 平面原点的根。至少有下述几种情况之一出现，如：大小相等符
号相反的一对实根 (s )，或一对共轭虚根 (s j)，或两对
实部相反的共轭复根 (s j) 。 在这种情况下，系统必然不稳定。
例如: (s2 1)(s2 25)(s 2) s5 2s4 24s3 48s2 25s 50
[处理办法]：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对 此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行。大小相等， 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为 偶次幂的，它的根是一部分特征根。
有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面 的左半部,则系统的暂态分量随时间增加逐渐消失为零，这种系 统是稳定的。如果有一个或一个以上的闭环特征根位于s平面右 半部或虚轴上，则此系统是不稳定的。
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充要条件说明
如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时 间单调增长；
第五节 系统的稳定性和代数 稳定判据
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稳定的充要条件和属性
一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首 要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环 境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作 用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如 何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制 理论的基本任务之一。
不稳定。
I m S平面
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稳临 定界
不 稳
Re
区稳 定
定区
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充要条件说明
注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结 构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极 点有关，与零点无关。
设线性系统的特征方程为 ansn an1sn1 a1s a0 0 则该系统稳定的必要条件为： 1、特征多项式所有的系数符号相同； 2、特征多项式所有系数都不为零。 （无缺项） 如果系统的特征方程成不满足上述条件，则可立即断定系统 是不稳定的。如果满足上述条件，系统不一定是稳定的，因 为它只是必要条件。
an1
an1
sn
an
an2 an4
s n1 an1 an3 an5
s n2 b1
b2
b3
an an4
s n3 c1
c2
c3
b2
an1 an5 an1an4 anan5 s n4Biblioteka Baidu
an1
an1
d1
d2
d3
s0
g1
an an6
b3
an1 an7 an1an6 anan7
an1
an1
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劳斯判据
an1 an3
c1
b1
b2 b1an3 b2an1
b1
b1
sn s n1
an1 an5
c2
b1
b3 b1an5 b3an1
b1
b1
sn2 s n3 sn4
an1 an7
s0
c3
b1
b4 b1an7 b4an1
b1
b1
d1
c1b2
b1c2 c1
依次类推。可求得
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如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项 是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系 统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期 振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。
从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于
s5 1
1
s4 2
3
s 3 0.5 1.5
s2 9
5
s1 32 0
9
s0 5
0
4
5
0 -1 3 0（ 2）
0
0
1
0
0（
9 32
）
0
劳斯阵第一列有负数， 系统是不稳定的。其 符号变化两次，表示 有两个极点在s的右半 平面。
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劳斯判据特殊情况
劳斯阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。
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[例]：
s5 4s4 3s3 3s2 2s 2 0
s5 1 3 2 s4 1 3 2
s3 0 0 0 4 6 0
辅助方程为：s4 3s2 2 0 ， 求导得：4s3 6s 0 ，
用系数代替全零行的系数，继 续完成劳斯列表。
s2 3 2
C(s)
[解]：闭环系统的传递函数为：
(s)
s3
K 5s2
4s
K
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特征方程为： s3 5s2 4s K 0
劳斯行列表为：
s3 1
4
s2 5
K
s1 20 K 0
5
s0 K
为使系统稳定，劳斯行列表第一列元素全部为正，即：
K0 20 K 0 所以，K的取值范围是 0 K 20
s0
1
00
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稳定。由于第一列元素符号
改变次数为2 ，说明s右半平
面有两个极点。
2
2
,
2
2
1
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[例] s4 s3 2s2 2s 3 0
s4 1 2 3
s3 1 2 0
s2 0( ) 3 0
s1 2 3 0 0 2 3
s0
3
00
令 0 ，则 2 3
而第一列其他元素全大于0，所以有：
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K 0
0
且 1 0.2K 0
①
0.2
由辅助方程 (0.2 )s2 K 0 ，可以解得一对共轭虚根：
K
s1,2 j
5 j
0.2
所以，
K 25
0.2
②
联立式①和②得：
K 10 0.2
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d2
c1b3 b1c3 c1
ei , fi , gi ,...( i 1,2,...)
an
an2 an4
an1 an3 an5
b1 b2 b3
c1 c2 c3
d1 d2 d3
g1
d3
c1b4
b1c4 c1
10
劳斯判据例子
[例]：特征方程为：a3s3 a2s2 a1s a0 0 ，试判断稳定性。
s n2 b1
b2
b3
s n3 c1
c2
c3
s n4 d1
d2
d3
s0 g1
劳斯阵的前两行由特征方程的系数 组成。
第一行为1，3，5，…项系数组成，
第二行为2，4，6，…项系数组成。
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劳斯判据
以下各项的计算式为：
an an2
b1
an1 an3 an1an2 anan3
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0 1 6 8 s 4 2 12 16 0 1 6 8 s3 0 0 0 0 1 3 0
s2 3 8 0 0 s1 1 0 0 0
3 s0 8 0 0 0
辅助方程为：s4 6s2 8 0 ， 求导得：4s3 12s 0 ，
或 s3 3s 0 ，用系数代替全 零行的系数，继续完成劳斯列 表。
2
s1 2
3
s0 2
部分特征根可由辅助方程式求得： s4 3s2 2 0
得： (s2＋1)(s2 2) 0
s1、2 j
s3、4 2 j
此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。
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劳斯判据特殊情况
[例]： s6 2s5 8s4 12s3 20s2 16s 16 0
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(1)
(s)
10(s 5) s3 4s2 s
(2)
(s)
s3
10 2s2
s
1
(3)
(s)
s3
k 3s
4
不稳定 不稳定 不稳定
(4)
(s)
(s
s 1 1)( s 2
4)
不稳定
但对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以 下描述的代数稳定性判据。
[解]：劳斯阵为：
s3
a3
a1
s2
a2
a0
s1 a2a1 a3a0
0
a2
s0
a0
0
稳定的充要条件为： ❖ a3, a2 , a1, a0 均大于零
❖且a1a2 a3a0 0
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[例]：已知系统得结构图如下，试确定使系统稳定的K值范围。
R(s)
K s(s 1)(s 4)
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劳斯判据特殊情况
特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：
用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；
劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不 稳定。表示s右半平面上有极点，极点个数等于劳斯阵列第一列 系数符号改变的次数。
[例]：系统的特征方程为： s5 2s4 s3 3s2 4s 5 0
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不用解方程，用劳斯阵列表可判断线 性系统的稳定性，这是劳斯判据的优点。 但是，它不能给出系统的品质指标，这是 劳斯判据的不足。
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小结
线性系统稳定的充要条件 劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳
斯阵的排列和判稳方法）
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[处理办法]：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出 劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的
符号相反，计作一次符号变化。
[例] s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1
令 0 ，则 2 2
故第一列不全为正，系统不
s3 2 2 0
s2 0( ) 1 0
s1 2 2 0 0 2 2