北师大版八年级上册数学平方根及算数平方根经典讲义

第二讲 平方根及算数平方根

【考纲要求】

掌握平方根及算数平方根的概念及运算 【教学重难点】

1.平方根、算术平方根的概念，体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，掌握它的表示方法；

2.平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根. 【重难点命题方向】

（一）什么是平方根？

【例1】问题1 要剪出一块面积为25 cm 2

的正方形纸片，纸片的边长应是多少？

问题2 已知圆的面积是16πcm 2，求圆的半径长．

★ 反思与小结：以上两个具体例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题： 已知某数的平方，要求这个数．用式子来表示就是如果x 2＝a ，求x 的值．

概括 如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（也叫a 的二次方根）， 【举一反三】： 的平方=49,所以49的平方根是 的平方=1.21,所以1.21的平方根是 的平方=2536,所以2536

的平方根是

建议:同学们把1—20的平方数记熟，以便求它们的平方根.

211= , 212= ,213= ,214= ,215= ,

216= , 217= ,218= ,219= ,220= ,

（二）平方根有什么性质呢?

【例2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根：①100；②0.64；③0；④-1

归纳平方根的性质：

一个正数有 个平方根，它们 ；0有 个平方根，它是 ；负数 平方根． 【举一反三】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由．

(1)－64；(2)0；(3)(－4)2

．

★反思与小结：学习平方根，必须考虑两个问题：一个数有没有平方根？有几个？同学们

常在这两个问题上犯错误，其一错在：求一个正数的平方根时，只计算出了正的平方根；其二错在：误认为负数有平方根且是一个负数。 （三）一个非负数a 的平方根的表示法．

一个非负数a 的平方根的表示法．记作“2a ±”．这里，符号“2

”，读作“二次根号”，

“2a ”读作“二次根号a ”．当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根

号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”．一般地，如果x 2＝a (a ≥0)，那么a 的平方根可以

表示为x =a ±

．例如，9的平方根记作9±，读作正负根号9．

（四）求一个数的平方根——开平方运算

求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方．平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根． 【例3】列式求下列各数的平方根：

0.0001； 179； （–16）2，

， 144121， 15， 0.64， 410-， 0)65(．

解答：

★反思与小结：求一个数的平方根时，根号前的“±”号一定要写，它是区别平方根和算术平方根的

主要特征．另外，需注意

（1）求带分数的平方根时，要将带分数先化成假分数．

（2）注意区分(–a )2

与–a 2

（a ≠0），(–a )2

的平方根是±a ，而–a 2

是一个负数，它没有平方根．

【例4】针对训练：

（1）4的平方根是（ ）

A ． 2

B ．16

C ．2±

D ．±16

（2）若3＋a 是25的平方根，則a 是（ ）的平方根．

(A) 4 (B) 8 (C) 4或64 (D) 8或64

反思与小结：因为过去学到的运算其结果都是惟一的，所以刚开始接触平方根时，大家

对于一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，不大习惯．而本例的解决过程中连续两次用到平方根的意义，稍不注意便会出错，多数会错在仅得到a 的一个值，致使误选成A ．

（五）什么是算术平方根？

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作a ，读作“a 的算术平方根”．那么0的算术平方根是 ；负数的算术平方根

【例5】下列说法正确的是（ ）．

（A ）91-

的算术平方根是31 （B ）91-的平方根是3

1

-

（C ）91的算术平方根是31- （D ）91的平方根是3

1

±

★反思与小结：对于平方根和算术平方根的理解误区有两个，其一是认为任何数都有平方根；其二是

将平方根和算术平方根混淆，实际上平方根与算术平方根是既有区别又有联系的两个概念，区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有1个；联系在于正数的负平方根是它算术平方根的相反数．

【举一反三】求下列各数的算术平方根：(1) 36 ； (2) 2.89 ； (3) 9

7

1．（4）81 (六)针对练习:

【例6】(1)求下列各式的值，并说明它们各表示的意义：

(2)一个自然数算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）

A ．1a +

B ．2

1a +

C ．21a +

D ．1a +

（3）化简：16＝ ． （4）（2017黔西南州）

的平方根是 ．

★反思与小结：弄清上面各式的意义： a （a >0）表示a 的算术平方根，而–a （a >0）表示a 的

负的平方根，±a 则为正数a 的两个平方根。

【例7】若将三个数11,7,3-表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________________．

【例8】（1）满足2-＜x ＜5的整数x 是 ；

【点拨】先对2-

和5估算．

（2）估算31－2的值（ ）

A ．在1和2之间

B ．在2和3之间

C ．在3和4之间

D ．在4和5之间 （3）（2017湖北宜昌）在﹣2，0，3，

这四个数中，最大的数是（ ）

5

4

3

2

1

-1

-2