热学第二章习题课

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第二章分子动理论的平衡态理论

◆本章学习目标

理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率，最概然速率。理解等温大气压强公式、等温大气标高、能量均分定理、理想气体内能

◆本章教学内容

1、气体分子的速率分布律

2、麦克斯韦速度分布律、相对最概然速率的速度分量分布于速率分布

3、重力场中微粒按高度的分布，等温大气压强公式、等温大气标高

4、能量按自由度均分定理，理想气体内能

◆本章重点

麦克斯韦速率分布律和速度分布律、三种速率分布、能量均分定理、理想气体内能

一、气体分子的速率分布律

在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率可以看作在0～之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这

样来定义：假设系统的总分子数为，在速率v～

v+dv之间的分子数为，则我们用来表示

在速率v～v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来说，这是它的速率处于v～v+dv之间的概率。由于和速率区间

dv的大小成正比（即dv越大则dw越大），通常用来反映气体分子的速率分布，它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数

速率分布函数的物理意义是：在速率v附

近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率；或者说，对于任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率，故也称为分子速率分布的概率密度。对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。由速率分布函数可求出：

v～v+dv区间的分子数

v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在v～v+dv区间的概率

在分布函数的曲线上，它表示曲线下一个

微元矩形的面积。

～区间的分子数可以用积分表示为

～区间的分子数在总数中占的比例，即一

个分子的速率在～区间的概率

在分布曲线上，它表示在～区间曲线下的

面积。令，则即为全部分子数N，故

有

此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分子总数的比率为1，即一个分子速率在0～区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在~区间曲线下的面积为1。

（2）统计平均速率

下面讨论如何用统计分布函数来求统计平均值。

一般来说，假定某量有个测量值，测量结果

为的有个，为的有个，…为的有个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是

其中这种形式意味着只要把各种测量值全

部加起来，再除了测量总次数，就可得；而

这种形式意味着，每一种测量值先乘以它出现的概率，然后再把每一种测量值与它对应的概率的乘积加起来得到，虽然两种方法计算的结果肯定是一样的，但作为方法本身来说，还是有区别的。

同理，该量测量的方均值（先平方后再求平均值）应该是

实际上只要把上面的式中的用来代替就

达到上式。

对于总分子数很大的平衡态气体，由于分子

速率在之间的分子数有个，这个分子

的速率严格来说肯定是不相同的，但差别极其微小，因此可以近似认为这个分子速率都是等于

的。所以这个分子的速率加起来等于

，全部气体分子的速率加起来等于

，故分子的平均速率

式中这种形式，意味着把每个分子的速率全部加起来，然后再除以总分子数就是；而

这种形式则意味着先计算速率与速率在

区间的概率的乘积，然后再全部将它们相

加得出。

同理，方均速率只要将上式中的用代替即可很方便地写出

若进一步要求方均根速率只要将开方即可：

从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或

，实际上只要给定速率分布函数就可以

了，可见速率分布函数的重要性。

还有一个常用的速率，也是与速率分布函数直接有关的，这就是最概然速率。它的定义是，

速率分布函数（）曲线峰值所对应的速率。

其物理意义是，在附近单位速率区间内的分子

数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率

区间内的概率最大。

根据求极值的方法，令

即可求出。最概然速率、平均速率和方均

根速率统称为速率分布的特征速率。

【例1】一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；

（2）速率在0～v0/2范围内的粒子数；

（3）粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。

【解】

（1）按上图所示的速率分布曲线形状，应有

k为0～v0之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得

故速率分布函数为

（2）速率在范围内的分子数为：

（3）由和，可得粒子的平均速率

方均速率

故方均根速率

最概然速率是具有最大值，即速率分布

曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得

二、麦克斯韦速率分布律

理想气体在平衡态下，分子的速率分布函数为

这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布律。式中，T为理想气体平衡态的热力学温度，m为气体分子的质量，k为玻耳兹曼常量。上式表达的分布规律从数学形式上看是较为复杂的，从下面的曲线可以更清楚地看到它的特点。

（a）同种气体，不同温度

（b）同一温度，不同气体

麦克斯韦速率分布曲线

三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值

三个特征速率

作为平衡态的理想气体系统，它的热运动常用最概然速率、平均速率和方均根速率来表征。按前面讲述的定义和计算方法，利用麦克斯韦速