2022秋冀教版九年级数学上册 典中点 第二十六章综合素质评价

第二十六章综合素质评价

一、选择题(1～10题每题3分，11～16题每题2分，共42分) 1．【教材P 107做一做改编】cos 45°的值为( )

A ．1

2

B ．1

C ．22

D ． 2

2．【教材P 106练习T 2变式】在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠

A 的正切值为( ) A ．3

B ．1

3

C ．1010

D ．31010

3．【教材P 123复习题A 组T 1(3)改编】如图，若点A 的坐标为(1，3)，则∠1＝( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．75°

4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，

则tan ∠ABC 的值为( ) A.3

5

B.34

C.105

D ．1

5．在△ABC 中，若⎪⎪⎪

⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( )

A ．45°

B ．60°

C ．90°

D ．105°

6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝43，

那么AD 的长为( ) A ．6

B ．4

C.8

3

D.43

7．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，BC ＝8，AC ＝15，设∠

BCD ＝α，则cos α的值为( ) A.8

7

B.78

C.817

D.1517

8．如图，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于P 的北偏东30°方向，且

相距20 n mile.客轮以60 n mile/h 的速度沿北偏西60°方向航行2

3 h 到达B 处，那么tan ∠ABP 的值等于( ) A.12

B ．2

C.55

D.255

9．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知AB ＝4，

BC ＝5，则cos ∠EFC 的值为( ) A.34

B.43

C.35

D.45

10．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO ＝α，彩电后

背AD 平行于前沿BC ，且与BC 的距离为60 cm ，若AO ＝100 cm ，则墙角O 到前沿BC 的距离OE 是( ) A ．(60＋100sin α) cm B ．(60＋100cos α) cm C ．(60＋100tan α) cm D ．以上选项都不对

11．【教材P 118例2改编】如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，

坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 m B ．28 m C ．30 m D ．46 m

12．如图①是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B

之间的距离为8 cm(如图②)，边缘AC ＝BD ＝60 cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )

A ．(603＋8)cm

B ．(602＋8)cm

C ．64 cm

D ．68 cm

13．如图，已知在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则

CD 的长为( ) A.863

B ．4 3

C.823

D ．4 2

14．如图，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝3

5，则下列结

论中正确的有( ) ①DE ＝3 cm ； ②BE ＝1 cm ；

③菱形的面积为15 cm 2； ④BD ＝210 cm.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

15．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1∶2，则等腰三角形顶角的度数为( )

A ．30°

B ．50°

C ．60°或120°

D ．30°或150°

16．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，点C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据求出A，B间距离的有()

A．1组B．2组C．3组D．4组

二、填空题(17，19题每题3分，18题4分，共10分)

17．【教材P123复习题A组T1(1)变式】cos 60°＋

2

2sin 45°＋3tan 30°＝________．

18．如图，在△ABC中，sin B＝1

3，tan C＝

2

2，AB＝3，则AC的长为________，△ABC

的面积为________．

19．如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为__________米．(结果保留根号)

三、解答题(20，21题每题8分，22～25题每题10分，26题12分，共68分) 20．计算：

(1)tan 30°cos 60°＋tan 45°cos 30°；

(2)(π－5)0＋4＋(－1)2 023－3tan 60°.

21．在△ABC中，∠C＝90°.

(1)已知c＝23，∠A＝30°，求∠B，a，b；

(2)已知a＝56，∠A＝45°，求∠B，b，c.

22．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.

(1)若∠A＝60°，求BC的长；

(2)若sin A＝4

5，求AD的长．

23．如图①，“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端.2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图②，航拍无人机以9 m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6 s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150 m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)

24．某校数学实践活动小组利用无人机测算某越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1 500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°.

(1)填空：∠A＝________°，∠B＝________°；

(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

25．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短的边长为1，△ABC的顶点都在格点上．

(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；

(2)在(1)的条件下，连接AD，求tan ∠BAD的值．

26．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5千米处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处是村庄N.

(1)求M，N两村庄之间的距离；

(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村庄到P站的距离之

和最短，求这个最短距离之和．

(参考数据：sin 36.5°≈0.6，cos 36.5°≈0.8，tan 36.5°≈0.74)

答案

一、1．C2．A3．C 4.B5．C6．B

7．D8．A9．D10．A11．D

12．D点拨：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图．∵AC＝60 cm，∠PCA＝30°，

∴AE＝1

2AC＝30 cm.

同理可得BF＝30 cm，

∴通过闸机的物体的最大宽度为30＋8＋30＝68(cm)．故选D. 13．A14．C

15．D点拨：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A＝1

2，则∠A＝30°；

当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC)＝1

2，则180°－∠BAC＝30°，所

以∠BAC＝150°.

16．C点拨：对于①，可由AB＝BC·tan ∠ACB求出AB的长；对于②，由BC＝

AB tan ∠ACB ，BD＝

AB

tan ∠ADB

，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知

△DEF∽△DBA，则DE

EF＝

BD

AB，可求出AB的长；对于④无法求得AB的长，故

有①②③共3组，故选C.

二、17．2 18．3；3 2

2 19．(43－4)

三、20．解：(1)原式＝33×12＋1×32＝36＋

32＝23

3.

(2)原式＝1＋2－1－3＝－1. 21．解：(1)∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，

∴∠B ＝60°.

∵sin A ＝a c ，sin B ＝b

c ， ∴a ＝c ·sin A ＝23×

1

2＝3， b ＝c ·sin B ＝23×3

2＝3. (2)∵∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝45°.∴b ＝a ＝5 6. ∴c ＝a 2＋b 2＝10 3. 22．解：(1)在Rt △ABE 中，

∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6， tan A ＝BE AB ，

∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3. 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°， CD ＝4，sin E ＝CD

CE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝4

12＝8.

∴BC ＝BE －CE ＝6 3－8. (2)∵∠ABE ＝90°，sin A ＝45＝BE

AE ， ∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x . 由勾股定理可得AB ＝3x ， 又∵AB ＝6，∴3x ＝6，解得x ＝2.

∴BE ＝8，AE ＝10.

∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4

DE ， 解得DE ＝16

3.

∴AD ＝AE －DE ＝10－163＝14

3.

23．解：设无人机距地面x m ，直线AB 与“南天一柱”所在直线相交于点D ，如图，

由题意得∠CAD ＝37°，∠CBD ＝45°.

在Rt △ACD 中，

∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝x

AD ≈0.75， ∴AD ≈43x m. 在Rt △BCD 中，

∵tan ∠CBD ＝CD BD ＝x

BD ＝1， ∴BD ＝x m. ∵AD －BD ＝AB ， ∴4

3x －x ≈9×6，∴x ≈162.

∵162＞150，∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全． 24．解：(1)30；45

(2)如图，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ， 则PM ＝QN ＝450米，MN ＝PQ ＝1 500米，

在Rt △APM 中，∵tan A ＝PM

AM ，

∴AM＝PM

tan 30°＝450

3

3

＝4503(米)．

在Rt△QNB中，∵tan B＝QN NB，

∴NB＝

QN

tan 45°＝

450

1＝450(米)，

∴AB＝AM＋MN＋NB＝4503＋1 500＋450≈2 729(米)．

答：隧道AB的长度约为2 729米．

25．解：(1)如图所示，点D即为所求．

(2)如图，连接BD.

∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，

∴∠EBD＝∠EDB＝45°，

BD＝BE2＋DE2＝12＋12＝ 2.

易知BF＝AF＝2，∠BF A＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝BF2＋AF2＝22＋22＝2 2.

∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.

∴tan ∠BAD＝BD

AB＝

2

2 2

＝

1

2.

26．解：(1)如图，过点M作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB于点E.

易知四边形AEDC为矩形，

∴AC＝DE，AE＝DC.

在Rt△ACM中，∵∠CAM＝36.5°，AM＝5千米，

sin∠CAM＝CM

AM≈0.6，

cos∠CAM＝AC

AM≈0.8，

∴CM≈3千米，AC≈4千米．

在Rt△ANE中，∵∠NAE＝90°－53.5°＝36.5°，AN＝10千米，

sin∠NAE＝NE

AN≈0.6，

cos∠NAE＝AE

AN≈0.8，

∴NE≈6千米，AE≈8千米．

∴MD＝CD－CM＝AE－CM≈5千米，ND＝NE－DE＝NE－AC≈2千米，

∴MN＝MD2＋ND2≈52＋22＝29(千米)．

即M，N两村庄之间的距离约为29千米．

(2)如图，作点N关于AB的对称点G，连接MG交AB于点P，连接NP.

点P即为土特产收购站．

∴PM＋PN＝PM＋PG＝MG，NG＝2NE≈12千米，∴DG＝NG－DN≈10千米．在Rt△MDG中，MG＝MD2＋DG2≈52＋102＝125＝55(千米)．

∴这个最短距离之和约为55千米．