三次样条插值法公式

在实际应用中，我们经常需要根据已知数据点的函数值，来估计其他位置的函数值。例如，在地理信息系统中，我们可能需要根据已知的地理坐标点，来估计其他位置的高程值。在这种情况下，我们可以使用三次样条插值法来实现。

三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内使用一个三次多项式来逼近原函数。具体而言，我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。然后，我们在每个小区间内构造一个三次多项式，使得这个多项式在该区间内与原函数的函数值和导数值都相等。

为了简化计算，我们通常使用自然边界条件来确定每个小区间的三次多项式的边界条件。自然边界条件要求在插值区间的两个端点处，三次多项式的二阶导数为零。这样一来，我们只需要求解一个关于未知系数的线性方程组，就可以得到所有小区间的三次多项式的系数。

具体而言，假设我们将插值区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。我们用S(x)表示在插值区间上的样条函数，用S''(x)表示样条函数的二阶导数。我们可以得到以下线性方程组：

h1*S''(a) + 2*(h1+h2)*S''(a+h1) + h2*S''(a+2h1) = 6/h1*(y2-

y1)

h2*S''(a+h1) + 2*(h2+h3)*S''(a+2h1) + h3*S''(a+3h1) = 6/h2*(y3-y2)

...

h(n-1)*S''(a+(n-2)h1) + 2*(h(n-1)+hn)*S''(a+(n-1)h1) + hn*S''(a+nh1) = 6/hn*(yn-y(n-1))

其中，y1, y2, ..., yn分别表示插值区间上的已知函数值。通过求解这个线性方程组，我们可以得到S''(a), S''(a+h1), ..., S''(a+nh1)的值。然后，我们可以通过插值条件求解出S(x)的系数，从而得到整个样条函数。

三次样条插值法具有很好的平滑性和局部逼近性。由于每个小区间使用的是一个三次多项式，这样的插值函数在插值区间内是连续可导的。因此，三次样条插值法可以很好地逼近原函数，并且在插值点附近的误差较小。

除了插值外，三次样条插值法还可以用于数据的平滑和曲线拟合。通过调整插值区间的个数和插值点的位置，我们可以得到不同程度的平滑效果。此外，三次样条插值法也可以用于曲线的拟合，即通过已知数据点，构造出一条平滑的曲线，以尽可能地拟合这些数据点。

在实际应用中，三次样条插值法广泛用于地理信息系统、图像处理、

金融工程等领域。例如，在地理信息系统中，我们可以利用三次样条插值法来构建地形模型，实现高程值的估计和可视化。在金融工程中，我们可以利用三次样条插值法来估计隐含波动率，从而进行期权定价和风险管理。

三次样条插值法是一种常用的数值计算方法，可以用于数据的插值、平滑和曲线拟合。它的原理简单明了，通过构造多个小区间的三次多项式，可以实现对原函数的逼近。在实际应用中，三次样条插值法具有广泛的应用前景，可以帮助我们处理各种数据分析和模型建立的问题。

MATLAB三次样条插值之三弯矩法

ＭATLＡＢ三次样条插值之三弯矩法首先说这个程序并不完善，为了实现通用（１，２，…,ｎ）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。希望能有朋友给出更好的方法。首先，通过函数saｎwanｊ得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数,接下来调用追赶法(在inteｒｓaｎwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子,然后进行多项式合并得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算改点的值。附:追赶法程序cｈase ％%%％％%%%%%%%％% fｕncｔiｏｎ [nｅwv,w,newu，neｗd]=sanwj（ｘ,y,x０,y0,y1ａ,y1b）?％三弯矩样条插值?％将插值点分两次输入，x0y０单独输入?% 边值条件a的二阶导数 y1a 和ｂ的二阶导数ｙ1b，这里建议将y１ａ和y1b换成y2a和ｙ2b,以便于和三转角代码相区别 ?n=length(x);m=leｎgth(y); ｉf m~=n?errｏｒ(＇x or y 输入有误,再来'）; end?v=ｏneｓ(ｎ-１，1);u=ｏnes(n－１,1）;d=zeros（n－１,１）;?w=２*ｏ nes(n+１)；?h0=x（１）-x0;?h=zerｏs(n-１,1); for k＝1:n-１?ｈ(k)＝x（k+1)－x（k);?enｄｖ(1)＝h0/(ｈ0+h(1）); u(1)＝1－v（1）; ｄ（１)＝6*((y（2）-y(1）)/h（1)-(y(1)-y０)/ｈ0）/(h0+ｈ(１）);?% ｆoｒ k＝2:ｎ-1?ｖ(ｋ）＝h(ｋ-１)/(ｈ(k-１)+h(ｋ)）;?u(k)=1－v(k);?d（k)＝ 6*((y(ｋ+１)-ｙ（ｋ)）/h（k）-(ｙ(k）-y(ｋ-1）)/ｈ(k－1))／(h（k-1)+h(k)); ｅnd newv=[v;1］;?newu=［1;u]； d0=6＊（(y(1)-y0)/h0-y1a)/h0; d(n)=6＊（y1ｂ-(ｙ(n）－ｙ(n-1))／ｈ(n-1))／h(ｎ-1）; newd=［d0;d]; %%%%%%％％%％％％ｆunctｉon iｎｔersａnｗj（x，y,ｘ0,y0,y1a，y1b) %三弯矩样条插值?%第一部分?n=leｎgtｈ(ｘ）;ｍ＝length(y); iｆ m~＝n?eｒror（'ｘｏｒy 输入有误，再来'); enｄ?%重新定义h?h=zｅｒｏs(n,1）; h(1)=x（1）-ｘ０; fｏr k=2:n h（k)=ｘ(ｋ)－x(k-1)；?end ％sptep1调用三弯矩函数?[a,b,c,d]=sanwj(x，ｙ,ｘ0,ｙ0,y１ａ,y1b);

三次样条算法

一、实验目的和要求（1）掌握三次样条方法的原理，加深对插值方法的理解。（2）理解三次样条在高次差值的逼近效果比多项式的优越性！（3）能构造出正确的算法结构并能实现具体问题的计算。二、实验内容和原理实验内容：三次样条插值解决具体问题：对于函数，取等距节点5,0,1,,10i i i x =-+= ，设已给出节点上的函数值以及左右两个端点的一阶导数值，按上述算法进行样条插值。实验原理：（1）、三次样条的定义：设在[a,b]上有n+1个节点，f(xi)= yi,i=0,1,2,…,n 。若S3(x)满足 1) S3(x)在每个[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1)上是不高于三次的多项式； 2) S3(x)，，在[a,b]上连续； 3) S3(xi)=yi(i=0,1,…,n)。则称S3(x)为f(x)关于节点x0,x1,…,xn 的三次样条插值函数。（2）、三次样条插值函数的边界条件：待定系数个数：4n 已知条件：补充条件：这两个条件通常在区间[a,b]的两个端点给出，称为边界条件（3）、三次样条插值函数的求法： 21()1 f x x =+)('3x s )(' '3x s 3333333(),(0,1,)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)(0)(0),(1,2,1)i i i i i i i i S x y i n S x S x i n S x S x i n S x S x i n ==??-=+=-??''-=+=-??''''-=+=-? 3011011i i+1i i i+1 20 212 021()()()()()...(1)h =x -x , x x x ()(1)(21)()(23) ()(1)()(1) i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x S x y y h m h m h h h h x x x x x x x x x x x x ??ψψ??ψψ++----=+++≤≤=-+=-+=-=-

(完整版)试求三次样条插值S(X)

给定数据表如下：试求三次样条插值S（X），并满足条件： i)S’(0.25)=1.0000, S’(0.53)-0.6868; ii) S”(0.25)= S”（0.53）=0；解：由给定数据知： h0 =0.3-0.25 - 0.05 , h 1=0.39-0.30-0.09 h 2=0.45-0.39-0.06, h 3=0.53-0.45-0.08 由μ i=h i/(h i1+h i), λ i= h i/(h i1+h i) 得: μ1= 5/14 ; λ 1= 9/14 μ2= 3/5 ; λ 2= 2/5 μ3= 3/7 ; λ 3=4/7 0.25 0.5000 ﹨ ﹨ 1.0000 ∕﹨ 0.25 0.5000 ∕ -0.9200-f[x 0,x 0, x 1 ] ﹨∕ 0.9540 ∕﹨ 0.30 0.5477 -0.7193-f[x 0,x 1,x 2 ] ﹨∕

0.8533 ∕﹨ 0.39 0.6245 -0.5440-f[x1,x2,x 3 ] ﹨∕ 0.7717 ∕﹨ 0.45 0.6708 -0.4050-f[x 2,x 3,x 4 ] ﹨∕ 0.7150 ∕﹨ 0.53 0.7280 -0.3525-f[x 3,x 4,x 5 ] ﹨∕ 0.6868 ∕ 0.53 0.7280 i)已知一节导数边界条件，弯矩方程组 ┌┐┌┐ │ 2 1 │┌M 0 ┐│-0.9200 ︳︳5/14 2 9/14 ︳︳M ︳︳-0.7193 ︳ 1 ︳3/5 2 2/5 ︳︳M 2 ︳_6 ︳-0.5440︳︳ 3/7 2 4/7 ︳︳M ︳︳-0.4050 ︳ 3

数值分析三次样条插值函数

数值分析三次样条插值函数【问题】对函数f x =ex, x∈[0,1]构造等距节点的三次样条插值函数，对以下两种类型的样条函数 1. 三次自然样条 2. 满足S′ 0 =1,S′ 1 =e的样条并计算如下误差： max{ f x1 −S x1 ,i=1,…,N} i−i−i这里xi−1为每个小区间的中点。对N=10,20,40比较以上两组节点的结果。讨论你的结果。【三次样条插值】在每一个区间[t1,t2],…,[tn−1,tn]上，S都是不同的三次多项式，我们把在[ti−1,ti]上表示S的多项式记为Si，从而， S0 x x∈[t0,t1] ∈[t1,t2] S x = S1 x x… Sn−1 x x∈[tn−1,tn] 通过在节点处函数值、一阶导数和二阶导数的连续性可以得到： Si−1 ti = yi= Si ti 1≤i≤ n−1 Si−1′ ti = Si′ ti x→ti+limS′′ x =zi=limS′′(x) x→ti− 再给定z0和zn 的值就构成了4n个条件，而三次样条插值函数共4n个系数，故可以通过这4n个条件求解三次样条函数的系数，从而求得该三次样条插值函数。特别的，当z0=zn=0 时称为自然三次样条。文本预览：一、自然三次样条插值【自然三次样条插值算法】 1.由上面的分析可知，求解三次样条函数实际上就是求解一个矩阵： u 1h 1 h1u2h2h2u3…v1 z1 v2 z2 z3=v3 … z…hn−2 n−2 vn−2 z vn−1 un−1 n−1

ih3…hn−3un−2hn−26…其中hi=ti+1−ti，ui=2(hi+hi−1)，ui=h(yi+1−yi)，vi=bi−bi−1 所以自然三层次样条插值的算法就是在得到端点的函数值，一次导数值和二次导数值，然后根据上述求解矩阵得到v，代入自然三次样条的表达式即可。 2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果： N=10 1. 计算得到zi的值为：由此可以得到各个区间的自然三次样条插值函数。文本预览： 2. 计算得到各区间中点的最大误差为：自然三次样条插值函数与原函数的图像为：可以看出两者基本吻合，与我们计算得到的最大误差符合，实验结果成立。【结果】同样的，我们可以得到该题目的结果：【分析】通过结果可以看出，区间越分越细时，区间中点的最大误差越来越小，说明自然三次样条插值越来越逼近原来的函数。 ×e1 20 ≈ 2 ×e1 40 文本预览：二、普通三次样条插值【普通三次样条插值算法】 1.在给定了S’(0)=1和S’(1)=e，类似于自然三次样条插值，但此时的矩阵有变化，因此在计算时与之前的自然三次样条插值有所区别。 2.根据题目中所给出的误差估计，计算在区间中点处的最大误差。【实验】 N=10 1.计算得到zi的值为：文本预览： 2.计算得到各区间中点的最大误差为：

三次样条插值的求解

三次样条插值的求解摘要：分段低次插值虽然解决了高次插值的振荡现象和数值不稳定现象，使得插值多项式具有一致收敛性，保证了插值函数整体的连续性，但在函数插值节点处不能很好地保证光滑性要求，这在某些要求光滑性的工程应用中是不能接受的。如飞机的机翼一般要求使用流线形设计，以减少空气阻力，还有船体放样等的型值线，往往要求有二阶光滑度（即有二阶连续导数）。因此，在分段插值的基础上，引进了一种新的插值方法，在保证原方法的收敛性和稳定性的同时，又使得函数具有较高的光滑性的样条插值。关键字:三转角方程三弯矩阵方程 0. 引言 1，三次样条函数定义1：若函数2 ()[,]S x a b C ∈,且在每个小区间上1,j j x x +⎡⎤⎦⎣上是三次多项式，其中01n a x x x b ⋯=<<<= 是给定节点，则称()s x 是节点 01,,,n x x x ⋯上的三次样条函数。若节点j x 上给定函数值 () j j y f x =(0,1,)j n ⋯= ,且 ()j j s x y = (0,1,)j n ⋯= （1.1）成立，则称 ()s x 为三次样条差值函数。从定义知，要求出()s x ，在每个应小区间1[,]j j x x + 上确定4个待定系数，共有 n 个小区间，故应确定4n 个参数，根据()s x 在[,]a b 上二阶导数连续，在节点()1,2,3,,1j x j n ⋯=-处应满足连续性条件

(0)(0),j j s x s x -=+ ''(0)(0),j j s x s x -=+ ''''(0)(0)j j s x s x -=+ （1.2）共有 3n-3个条件，再加上()s x 满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定()s x 。通常可在区间[,]a b 端点0,n a x b x ==上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种： (1) 已知两端的一节导数值，即 { ''00 ' ' ()()n n s x f s x f == （1.3） (2)两端的二阶导数已知，即 { ''''00'' '' ()()n n s x f s x f == （1.4）特殊情况下的边界条件 ''''0()()0n s x s x == （1.4）’ 称为自然边界条件（3）当()f x 是以0n x x - 为周期函数时，则要求()s x 也是周期函数，这时边界条件应满足而此时式中 , 这样确定的样条函数称为周期函数。 2.三转角方程及相应的边界条件函数s(x)的表达式，若满足假定的在节点处的值为,再由，是 ,则由分段Hermite 插值式

3.6三次样条插值

§6 三次样条函数在实践中，两点三次Hermite 插值多项式在插值节点处的光滑度不足，导致人们研究光滑度更高的插值函数。例：给定插值条件：要求分段两点三次Hermite 插值多项式。结果：在[-1,0]上为x x x +--23，在[0,1]上为x x x ++23，显然在分点处(x=0)二阶导数不存在。若在[-1,0]上为x x 5.15.03+-，在[0,1]上为x x 5.15.13+，则该分段函数在x=0处二阶可导。当然一阶导数值不可能为1(为1.5)。定义：设定义在[a,b]上的函数f(x)的型值点为),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，要求[a,b]上的分段三次插值函数 S(x)，使得),,1,0(,)(n i y x S i i ==，且],[)(2b a C x S ∈。称)(x S 为)(x f 在[a,b]上的三次样条插值函数。不同于Hermite 插值问题，此处并没有给定节点处的一、二阶导数值，但要求在节点处也二次可微。要求)(x S 满足：

(1) ),,1,0(,)(n k y x S k k == (2) )(lim )(lim x S x S k k x x x x '='-+→→，)1,,2,1(-=n k (3) )(lim )(lim x S x S k k x x x x ''=''-+→→，)1,,2,1(-=n k 此外，实际问题对三次样条插值函数在端点处的状态也有要求，即所谓的边界条件：第一类边界条件(夹持条件)： ⎩⎨ ⎧'= ''='n n y x S y x S )()(00 第二类边界条件(自然边界条件)： ⎩⎨ ⎧''=''''=''n n y x S y x S )()(00 第三类边界条件(周期性条件)： n y y =0，)(lim )(lim 0 x S x S n x x x x '='-+→→，)(lim )(lim 0 x S x S n x x x x ''=''-+→→。下面通过具体求解待定系数来证明三次样条插值多项式 )(x S 的存在性和唯一性。设)(x S 在插值节点k x 处的一阶导数值为k m ，则在每个小区间],[1+k k x x 上可按两点三次Hermite 插值多项式的算法来求得在该区间上的 ) (x S 的表达式。即当],[1+∈k k x x x 时，设

三次样条插值法公式

三次样条插值法公式三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过利用已知的数据点，构建出一个连续的光滑函数，从而对未知数据点进行估计或预测。在介绍三次样条插值法之前，我们先来了解一下插值的概念。插值是指通过已知数据点之间的关系，推导出其他位置的数据点的过程。在实际应用中，经常会遇到需要估计或预测某些数据点的情况，这时候插值就派上了用场。三次样条插值法的基本思想是将整个插值区间分成多个小区间，并在每个小区间内分别构造一个三次函数来拟合数据点。这样做的好处是可以保证整个插值函数的连续性和光滑性。具体而言，三次样条插值法的步骤如下： 1. 将插值区间分成n个小区间，每个小区间由两个相邻的数据点确定。 2. 在每个小区间内，构造一个三次函数，该函数满足通过该区间内的两个数据点，且在两个相邻小区间内的函数值、一阶导数和二阶导数均相等。 3. 根据这些条件，可以得到每个小区间内的三次函数的表达式。 4. 使用求解得到的三次函数，可以对未知数据点进行估计或预测。三次样条插值法的优点在于，它能够在保持插值函数的光滑性的同

时，较好地拟合已知数据点，并且在插值区间内的误差较小。与其他插值方法相比，三次样条插值法能够更好地处理数据点之间的不连续性和异常值。然而，三次样条插值法也存在一些限制和注意事项。首先，插值区间内的数据点必须是有序的，不能有重复值或乱序。其次，对于较大的插值区间，三次样条插值法的计算复杂度较高，可能会造成较大的计算开销。此外，三次样条插值法对于边界条件的处理也需要特别注意，常见的处理方式有自然边界条件和周期边界条件等。三次样条插值法是一种常用的数值插值方法，适用于一维数据的插值问题。它通过构造多个小区间内的三次函数，保证了插值函数的连续性和光滑性，能够较好地拟合已知数据点，并对未知数据点进行估计或预测。在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的插值方法，以获得更准确、可靠的结果。

三次样条插值计算算法

/* 三次样条插值计算算法*/ #include "math.h " #include "stdio.h " #include "stdlib.h " /* N：已知节点数N+1 R：欲求插值点数R+1 x，y为给定函数f(x)的节点值{x(i)} (x(i)

第三讲三次样条函数分析

第三讲三次样条函数分析在数学和计算机科学中，样条函数是一种常见的插值方法，用于构建一个平滑而连续的曲线来穿过一系列离散的数据点。其中，三次样条函数是最常见的一种样条函数类型。在本文中，我们将详细介绍三次样条函数的原理、方法和应用。一、三次样条函数的原理及定义三次样条函数是由一系列小区间的三次多项式组成的函数。这些小区间之间有一个平滑的连接条件，使得整个函数在连续、平滑的同时能够穿过给定的数据点。具体地说，我们设想有n个数据点(xi, yi)，这些点按照自变量x的顺序排列。则三次样条函数S(x)可以表示为： S(x) = S_i(x), (xi <= x < xi+1) 其中，S_i(x)是第i个小区间上的三次多项式，其形式为： S_i(x) = a_i + b_i(x - xi) + c_i(x - xi)^2 + d_i(x - xi)^3需要注意的是，在每个小区间上，三次样条函数满足以下条件： 1. S_i(xi) = yi ，即样条函数必须通过给定的数据点； 2. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内是三次多项式，二阶导数连续，即 S_i''(x)是一个连续的函数； 3. S_i(x)在(xi, xi+1)区间内的一阶导数也是连续的。这些条件将确保样条函数在整个区间上是连续、平滑的，并且能够穿过给定的数据点。

二、三次样条函数的构造方法为了构造三次样条函数，我们可以使用不同的方法。其中，最常用的方法是自然边界条件和固定边界条件。 1. 自然边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的二阶导数为0，即S''(x0) = S''(xn) = 0。这意味着在数据点的首尾之外，样条函数在边界处是一条平直线。使用这种方法可以得到唯一解。 2. 固定边界条件：这种方法将要求样条函数在边界处的一阶导数等于给定值。例如，如果我们希望样条函数在首尾两点处的斜率分别为m0和mn，则我们可以得到以下等式：S'(x0) = m0 和 S'(xn) = mn。这种方法可以用于控制曲线的斜率。在构造样条函数时，可以将问题转化为一个线性方程组，并使用线性代数中的解法来求解。常用的方法有三对角矩阵法和Thomas算法。利用这些方法可以高效地解决潜在的大规模问题。三、三次样条函数的应用三次样条函数广泛应用于各个领域，包括数学、计算机科学、物理学等。以下是一些常见的应用领域： 1.数据插值：三次样条函数可以通过插值方法来穿过一系列离散数据点，从而生成一条平滑的曲线。这在计算机图形学、数据可视化等领域非常有用。 2.曲线拟合：通过选择合适的数据点和边界条件，可以使用三次样条函数来拟合具有连续性和平滑性要求的曲线。例如，在线性回归中，可以使用三次样条函数来逼近数据，从而得到更准确的拟合结果。

插值法计算方法举例

插值法计算方法举例插值法是一种用来通过已知数据点的近似值来推测未知数据点的方法。它通常用于数据的平滑和预测，尤其在缺少数据或数据不完整的情况下。以下是一些插值法的具体计算方法举例： 1. 线性插值法（Linear Interpolation）：线性插值法是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点(x1, y1)和(x2, y2)，要推测处于两个数据点之间的未知点(x, y)。线性插值法通过使用已知点之间的线性关系来计算未知点的值。具体公式为：y=y1+(x-x1)*((y2-y1)/(x2-x1)) 2. 多项式插值法（Polynomial Interpolation）：多项式插值法通过使用一个低次数的多项式函数来逼近已知数据点，并预测未知数据点。常见的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。其中，拉格朗日插值使用一个n次多项式来逼近n个已知点，而牛顿插值使用差商（divided differences）和差商表来逼近已知点。具体公式为：P(x) = a0 + a1 * (x - x1) + a2 * (x - x1) * (x - x2) + ... + an * (x - x1) * (x - x2) * ... * (x - xn-1) 3. 样条插值法（Spline Interpolation）：样条插值法是一种更复杂的插值方法，它通过拟合已知数据点之间的线段和曲线，来推测未知数据点。常见的样条插值方法包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。样条插值法具有良好的平滑性和曲线性质，通常在连续数据的插值和平滑方面效果更好。具体公式为：S(x) = Si(x)，其中x属于[xi, xi+1]，Si(x)是第i 段（i = 1, 2, ..., n-1）中的插值函数。

几种常用的插值方法

几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。 1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0) 其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。 2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。 - 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为： y = Σ(yk * lk(x)) 其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为： lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i) - 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：

y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj)) 其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为： finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。 -线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。 -三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。三次样条插值具有良好的平滑性和精度。 4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。常用的径向基函数包括高斯函数和多孔径函数等。 -高斯函数径向基函数插值使用高斯函数作为局部函数进行插值，公式为： y = Σ(ωi * exp(-β * ，x - xi，^2)) 其中，ωi是权重系数，β是调节函数衰减速度的参数。 -多孔径函数径向基函数插值使用多孔径函数作为局部函数进行插值，公式为： y = Σ(ωi * ，x - xi，^2 * ln(，x - xi，))

三次样条插值自然边界条件

例：已知一组数据点(宓，/)/= 1,2,…，化，编写一程序求解三次样条插值函数s (◎满足 S () — yit i— 1, 2, . . . , 72’ 并针对下面一组具体实验数据求解，其中边界条件为s〃(().25) = (), S〃(0.53) = 0. 1)三次样条插值自然边界条件源程序： function s=splinc3(x,y,dy 1 ,dyn) %丫为节点，y为节点函教值，dyl, dyn分别为x=0.25,0.53处的二阶导m=lcngth(x)；n=lcngth(y); iFm 〜=n crrorfx or、•输入言误) return end h=zcros(Ln-l); h(n-l)=x(n)-x(n-l); for k=l:n-2 h(k)=x(k+1)-x(k)； v(k)=h(k+l)/(h(k+l)+h(k)); u(k)=l-v(k); end g(l)=3*(\<2)-y(l))/h(l)-h(l)/2*dyl; g(n)=3*(y(n)・y(ml))/h(ml)+h(n」)/2 妙dyn；for i=2:n-l gffi=3*(u(i-l)*(y(i+l)-y(i))/h Q)+v(i・l 尸(y© -y(i-l))/h(i-l)); end for i=2:n-l; A(i,i-l)=v(i-l); A(i；+l)=u(i-l); end A(n,n-l)=l; A(1,2)=l; A=A+2*cyc(n); M=zhuig£(A,g); %调用函敖，逗赶济求、I fprintfC三次样条(三对角)插這的函数表达式\N); syms X; for k=l:n-l FprimfCS%d—%d:\iAk,k+1); s(k)=(h(k)+2*(X・x(k)))・/h(k)?3・*(X・x(k+l))?2・"・(k)・・.

试求三次样条插值S(X)

试求三次样条插值S (X),并满足条件: i) S= S; ii) S” S'()=0；解：由给定数据知： h o = - , h 1= h 2= h 3= 由⑴=h i/(h il+h i), Ai= h i/(h il+h i)得: (n= 5/14 ; 入1= 9/14 2=(B/5 ; A2= 2/5 3= 3/7 ; 入3=4/7 \ \ / \ [x 0,x 0, x 1 ]

/ \ [x 0,x 1,x 2 ] \ / / \ [x1,x2,x 3 ] \ / / \ [x 2,x 3,x 4 ] \ / / \ [x 3,x 4,x 5 ] \ / / 节导数边界条件，弯矩方程组 i）已知 n 厂门

I 5/14 2 9/14 1 I M i I 1 1 I 3/5 2 2/5 M 2 _6 1 1 I 3/7 2 4/7 M 3 1 1 L 1 2 」L M 4」LJ 用追赶法解之得： M 0 = , M1 = , M 2 = M 3 = , M 4 = 三次样条插值函数为厂x 3 - x2 + + ,x€ [,] I 3_ + x + ,x€ [,] S (x) = { 3- + + x€ [,] 3_ + + x€ [,] L ii) 已知二阶导数边界条件，M 0 _ M 4 = 0，弯矩方程组厂2 9/14 0 n厂M i n 厂n I 3/5 2 2/5 | 1 M 2 I -6 I I L 0 3/7 2」L M 3」L J 用追赶法解之得： M1 = , M 2 = ，M 3 = 三次样条插值函数为厂-60269x 3 + - + , x€ [,] I 3_ + x + ,x€ [,] S( x) = { x 3 + x2 + + ， x€ [,] 3 _x2 + x + ，x€ [,]

三次样条插值

三次样条插值分段线性插值的优点：计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在计算机上实现缺点：它只能保证各小段曲线在连接点的连续性，却无法保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程技术的要求。三次Hermit 插值优点：有较好的光滑性，缺点：要求节点的一阶导数已知。从２０世纪６０年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来所谓样条(Spline)插值方法，既保留了分段低次插值多项式的各种优点，又提高了插值函数的光滑性。今天，样条插值方法已成为数值逼近的一个极其重要的分支，在许多领域里得到越来越多广泛应用。我们介绍应用最广的具二阶连续导数的三次样条插值函数。一、三次样条插值函数的定义：给定区间],[b a 上的个节点b x x x a n =<<<= 10和这些点上的函数值 ),,1,0()(n i y x f i i == 若)(x S 满足：（1）),,2,1,0() (n i y x S i i ==；（2）在每个小区间],[b a 上至多是一个三次多项式；（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。则称)(x S 为函数)(x f 关于节点的n x x x ,,,10 三次样条插值函数。二、边界问题的提出与类型单靠一个函数表是不能完全构造出一个三次样条插值函数。我们分析一下其条件个数，条件（2）三次样条插值函数)(x S 是一个分段三次多项式，若用)(x S i 表示它在第i 个子区间],[1i i x x -上的表达式，则)(x S i 形如 ],[,)(1332210i i i i i i i x x x x a x a x a a x S -∈+++= 其中有四个待定系数)3,2,1,0(=j a ij ，子区间共有n 个，所以)(x S 共有n 4个待定系数。由条件（3）)(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续，即它们在各个子区间上的连