定积分的应用
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定积分的应用
一10、求平面图形的面积
（1）在直角坐标系下计算面积
若平面图形是由连续曲线
)
(x
f
y=)
(x
g
y=
与直线a
x=，)
(b
a
b<
=
围成，则图形的
面积为
dx
x
g
x
f
A
b
a
)
(
)
(-
=⎰
特别地
①当
)
,
{
,
)
(
,
)
(b
a
x
x
g
x
f∈
≡
>
。
图？
dx
x
f
A
b
a
)
(
⎰=
②当
)
,
{
,)
(
)
(b
a
x
x
g
x
f∈
≥
图？
dx
x
g
x
f
A
b
a
⎰-
=)
(
)
(
(
③当
)
,
{
,
)
(b
a
x
x
g∈
≡
图？
dx
x
f
A
b
a
)
(
⎰=
④设曲线
)
(
)
(
)
(
:β
α≤
≤
⎩
⎨
⎧
=
=
Γt
t
y
y
t
x
x
，其中
]
,
[
)
(β
α
c
t
x∈
'
，
)
(≥
x
，
)
(t
x
严格单调，且
α
=
)
(a
x
，
b
x=
)
(β
，则曲线
b
y
a
x=
=
Γ,
,
及x轴所围
成的曲边梯形的面积为
dx
t
x
t
y
A⎰'
=
β
α
)
(
)
(
同理若平面图形由连续曲线
)
(
,
)
(
),
(b
a
b
y
a
y
y
g
x
y
f
x<
=
=
=
=与
围成，则图形的面积
为
dy
y
g
y
f
A
b
a
)
(
)
(-
=⎰
注：此公式可直接由上述公式得出（将
y x 与对调）
⑤在极坐标下计算面积
如图，
)(),(21θθβθαθr r r r D ====及，由
围成
))()(,(21θθβαr r <<
则面积
θ
θθβ
α
d r r A ))()((2
12
122-=
⎰ 图？
特别地：当0)(1
≡θr 时，θ
θβ
α
d r A )(21
22
⎰=
图？
11、求平面曲线的弧长
设曲线 β
α≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x x L ,)()(:则弧长
dt
t y t x S ⎰'+'=β
α
)()(2
2
特别地：
（1）
b x a x y y L ≤≤=,)(:，则
dx
y S b
a
⎰'
+=
2
1
（2）
b y a y x x L ≤≤=,)(:，则
dy
y x S b
a
⎰
'+=
)(12
12、求空间物体的体积
（1）已知平行截面面积的立体体积
⎰
=
b
a
dx
x A V )(
（2） 旋转体体积
dx
x f V b
a
x )(2
⎰
=π