向量基本概念
向量的基本概念
向量的基本概念
向量是线性代数中的基本概念之一，它是指一个有大小和方向的量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量可以用坐标表示，也可以用向量的起点和终点表示。
向量的大小也称为向量的模或长度，它表示向量的大小，通常用||v|| 表示。
向量的方向表示向量的朝向，可以用角度或者方向余弦表示。
向量的起点和终点表示向量的位置，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
向量可以进行加法和数乘运算。
向量的加法表示将两个向量的大小和方向相加，得到一个新的向量。
向量的数乘表示将一个向量乘以一个标量，得到一个新的向量，新向量的大小为原向量的大小乘以标量，方向不变或者相反。
向量可以用于表示物理量，如力、速度、位移等。
在计算机图形学、机器学习等领域，向量也被广泛应用。
总之，向量是一个有大小和方向的量，它可以用坐标或者起点和终点表示，可以进行加法和数乘运算，可以表示物理量和应用于计算机科学等领域。
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如：AB 几何表示法 AB ,a；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模长度,记作|AB |即向量的大小,记作｜a｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a＝0⇔｜a｜＝ 由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．注意与0的区别 ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量共线向量：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b行任意的平移即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a=大小相等,方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==,则a+b =AB BC +=AC1a a a=+=+00；2向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量2 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时,用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=,但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： i )(a --=a； ii a +a -=a -+a =0 ； iii 若a 、b是互为相反向量,则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量a 、b有共同起点 4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下：Ⅰa a⋅=λλ；Ⅱ当0>λ时,λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时,λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时,0=a λ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ,使得b =a λ 6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:1向量的加法与减法是互逆运算2相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件3向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线即重合,而向量平行则包括共线重合的情况4向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+,由于a 与数对x,y 是一一对应的,因此把x,y 叫做向量a 的坐标,记作a =x,y,其中x 叫作a 在x 轴上的坐标,y 叫做在y 轴上的坐标1相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量2向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==,则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ,则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =x,y,则λa =λx, λy(4)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==,则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥,则02121=⋅+⋅y y x x3,数与向量的乘积,向量的数量内积及其各运算的坐标表示和性质12(a b x x +=+AB BC AC +=12(a b x x -=-)(b a b a-+=- AB BA =-OB OA AB -=a a)()(λμμλ=12a b x x •=+三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积或内积 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅== 5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a ba ab b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律： ①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：1结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅； 2消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅3a b ⋅=0不能得到a =0或b =0 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==,则a ·b =1212x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ001800≤≤θ叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=222221212121y x y x y y x x +⋅++当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时,θ=00,当且仅当a 与b 反方向时θ=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直,记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向量.2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. 3与已知向量共线的单位向量是唯一的. 4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =. 5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. 6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量. 7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线. 8若ma mb =,则a b =. 9若ma na =,则m n =.10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量. 11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b . 12若||||a b a b +=-,则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = .5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB =,则AC = BC ,AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：13()2()a b a b +-+= 22(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-,则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和322a b -.a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-,(5,2)b =,求a b +,a b -,32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-,则DA = .7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =,能与a 构成基底的是A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1a b ⋅,2()a a b ⋅+,31()2a b b -⋅,4(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,2a b ⋅,3(2)a a b ⋅+, 4(2)(3)a b a b -⋅+.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-,求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求1||a b +,2|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-,求1||,||a b ,5||a b +,61||2a b -.3.已知||1||2a b ==，,|32|3a b -=,求|3|a b +.题型12.求单位向量 与a 平行的单位向量：||a e a =± 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1//a b 2a b ⊥2.已知(1,2)a =,(3,2)b =-,1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直 2k 为何值时,向量ka b +与3a b -平行3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证：()a b c ⊥-.题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -,(2,2)B ,(3,4)C ,求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A -,(8,1)B -,若点(21,2)C a a -+在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B -,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC +=成立题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -,(6,3)B -,(0,5)C ,求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =,(2,1)b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行2.已知(3,5)a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标.3.已知a b 与同向,(1,2)b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标.3.已知(1,2)a =,(3,1)b =,(5,4)c =,则c = a + b .4.已知(5,10)a =,(3,4)b =--,(5,0)c =,请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =,(2,1)b =-,1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围； 2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a =,(3,)b m =-,当m 为何值时,1a 与b 的夹角为钝角 2a 与b 的夹角为锐角7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B -,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,1若0AB AC ⋅=,求c 的值；2若5c =,求sin A 的值.备用1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=,求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+,2y a b =+,且||||1a b ==,a b ⊥,求,x y 的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b ==--,则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-,求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==,a b 与的夹角θ为锐角,求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-,a b 与的夹角θ为钝角,求λ的取值范围. 选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--,则c = A.1322a b -- B.1322a b -+ C.3122a b - D.3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心,则下列向量与AB 共线的是A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。
数学向量的运算知识点总结
数学向量的运算知识点总结一、向量的基本概念首先，我们来回顾一下向量的基本概念。
向量是一个具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在数学上，一般用坐标表示一个向量，比如在二维空间中，一个向量可以表示成(x, y)，表示向量在x轴和y轴上的分量，而在三维空间中，一个向量可以表示成(x, y, z)，表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法、减法、数量乘法等运算可以通过分量的运算来完成，这些运算规则将在后面详细介绍。
二、向量的加法和减法向量的加法是指两个向量相加得到一个新的向量的操作，减法则是指一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的加法和减法都是分量相加和分量相减的操作。
比如，对于两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，它们的加法和减法可以表示为：A+B = (x1+x2, y1+y2)A-B = (x1-x2, y1-y2)在三维空间中，向量的加法和减法同样可以通过分量相加和分量相减来完成。
向量的加法和减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
三、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个标量得到一个新的向量的操作。
比如，对于一个二维向量A=(x, y)和一个标量k，它们的数量乘法可以表示为：kA=(kx, ky)这里k是一个实数。
数量乘法有分配律和结合律，即k(A+B)=kA+kB，(k+m)A=kA+mA。
四、内积内积又称点积，是两个向量相乘得到一个标量的操作。
对于两个n维向量A=(a1, a2, ..., an)和B=(b1, b2, ..., bn)，它们的内积可以表示为：A•B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积有交换律和分配律，即A•B=B•A，A•(B+C)=A•B+A•C。
内积可以用来求向量的夹角和判断向量的正交性。
五、外积外积又称叉积，是两个向量相乘得到一个新的向量的操作。
向量基本概念和基本运算
(b)
向量等式的移项法则：在向量等式中，将某一向量从等号的一端移到另一端，只 需改变它的符号。
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三、向量的减法
向量减法的几何图示法: 已知向量 a 、b 如何做出a b ? OB BA OA BA OA OB
自空间任意点O引向量 OA a O, B b 那么向量 BA a b 即为所作。
O
a
A
二、向量的加法
定理1.2.2：向量的加法满足下面的运算规律：
（1）交换律：
a
b
b
a.
（2）结合律：
a
b
c
(a
b)
c
a
(b
c ).
（3）零 元： a + 0 = a.
（4）反向量：
a (a)
0.
二、向量的加法
有限个向量 a1, a2, an 相加可由向量的三角形求和法则推广：自任意点O开始， 依次引 OA1 a1, A1A2 a2 , , An1An an , 由此得一折线 OA1 A2 An , 于是向量 OAn a 就是 n 个向量 a1, a2 , , an 的和，即：
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性质： 对于任意两向量 a 、b ，有下列不等式 a b a b a b .
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四、向量的数乘
定义1.3.1：实数 与向量 a 的乘积是一个向量，记做 a，它的模是a a ； a 的方向，当 0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘。
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四、向量的数乘
高中数学向量知识总结
高中数学向量知识总结向量是高中数学中的一个重要概念，其在几何和代数中都具有广泛的应用。
本文将对高中数学向量知识进行总结，包括向量的基本概念、向量的表示与运算、向量的内积与外积等内容。
一、向量的基本概念向量是有方向和大小的量，常用箭头表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对。
向量的大小通常使用绝对值或模表示，用||AB||或|AB|表示。
二、向量的表示与运算1. 向量的表示：向量AB可以表示为AB→或→AB，其中箭头方向表示向量的方向。
向量可以通过其起点和终点表示，也可以通过坐标表示。
2. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将一个向量的起点放在另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点形成的向量为它们的和。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即A - B = A + (-B)。
4. 向量的数量积：向量的数量积（又称点积、内积）表示两个向量的相似程度，可以用来判断两个向量的夹角是否为直角。
向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
设向量A和B的夹角为θ，则数量积的计算公式为：A·B = |A|·|B|·cosθ。
5. 向量的向量积：向量的向量积（又称叉积、外积）是一个向量，其大小等于由两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成的平面。
向量的向量积可以用来求解三角形的面积。
设向量A和B的夹角为θ，则向量积的计算公式为：A×B = |A|·|B|·sinθ·n，其中n为单位法向量。
三、向量的性质与应用1. 平行向量的性质：如果两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
平行向量的数量积等于两个向量模的乘积。
2. 垂直向量的性质：如果两个向量的数量积为0，则它们为垂直向量。
3. 共线向量的性质：如果一个向量与另一个向量的倍数相等，则它们为共线向量。
4. 向量的应用：向量在几何和物理中具有广泛的应用，例如用向量可以描述力的大小和方向、表示平面内的线性方程等。
向量的基本概念
FE
向量
练习：
（1）下列各量中是向量的是（ B ） A．动能 B．重量 C．质量 D．长度
F （2）等腰梯形 ABCD中，对角线 AC 与 BD相交于点 P，点 E 、
BC上， EF过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 分别在两腰 AD 、 确的是（ D ） A． AD BC B．AC BD
C． PE PF 相反 的共线向量 _________
D．EP PF
相等 （3）物理学中的作用力和反作用力是模__________ 且方向
3.如图，D ` E ` F` 分别是三角形ABC各边的中点,写出图中与 DE ` EF` FD相等的向量.
A D
F
C
B
E
4.如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形。
AB.
B
向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量的模. （3）模的概念： 记作：| AB |
——长度（模）为0的向量， 记作0。0的方向是任意的。注意与0的 区别。 2单位向量——长度（模）为1个单位 长度的向量叫做单位向量。 问：有几个单位向量？单位向量的大小 是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大 小相等，单位向量不一定相等。
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫 做平行向量。记作：a∥b∥c 规定： 0与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 做相等向量。 记作：a=b 规定：0=0 注：任两相等的非零向量都可用一有向线 段表示，与起点无关。 共线向量：任一组平行向量都可移到同一 条直线上 ，所以平行向量也叫共线向 量。
（1）写出与向量BC相等的向量，
（2）写出与向量BC共线的向量。 B C
向量的基本概念
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。 a
OA = a
c
b
C
0
l
OB
= b
B A
OC = c
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此， 平行向量也叫做共线向量。
规定： 0 与任一向量平行。
一、概念巩固：
1、下列各量中是向量的是( (A)面积 (B)时间 (C)质量
(√位向量都相等.
(6)单位向量的模都相等.
(×)
(×) (√)
(√) (×) (√)
(7)|AB|=|BA|
(8)若 |a|=|b| ,则 a b (9)若 a b ,则 |a|=|b|
(10)零向量与任何向量都平行. (√) (11)平行向量一定是共线向量. (√)
(12) 若a// b, b// c, 则a// c
(×)
2、如图,D、E、F顺次是等边
△ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、 B、C、D、E、F六个点中任意两点为
起点和终点的向量中 (1)找出与向量 DE 相等 D 的向量；AF和FC B
A F C
E
(2)是否存在与向量 DE
向量的表示方法：
②用字母 a 、 b 、 等表示； c
①用有向线段表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB
a
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作
0
0 0 ,
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不确定方向。
向量的基本概念
5、相等向量：
①长向度量相等a与且 方b相向等相，同记的作向a量叫 相b等向量。
②0 0
③任意两个相等的非零向量，都可用同
一条有向线段来表示，并且与有向线段的
起点无关。
a
④b向或量a不能b比这较种大说小法，是对错于误向的量。a
、b
,
6、平行向量：
方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。
a bc
l
C
0 B A
c a OA =
b OB = OC =
任一组平行向量都可移到同一直线上， 因此，
平行向量也叫做共线向量。 规定：0 与任一向量平行。
例1、 判断下列命题是否正确，若不正确， 请简述理由.
①向量 AB与 CD是共线向量，则A、B、C、 D四点必在一直 线上。
向量的表示方法：
①用有向线段表示； a c b ②用字母 、 、 等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB
3、向量的大小（模）：记作 AB 或a
4、零向量、单位向量概念 ：
①长度为0的向量叫零向量，记作 0 , 0
0
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小， 不 确定方向。
长的肩膀喷出紫葡萄色的飘飘阴气……精悍的手掌透出鹅黄色的朦胧异香……紧接着土灰色木偶一样的脑袋猛然振颤飘荡起来……长长的肩膀喷出紫葡萄色的飘飘阴气 ……精悍的手掌透出鹅黄色的朦胧异香……最后扭起精悍的深灰色锯片耳朵一旋，飘然从里面流出一道奇辉，他抓住奇辉冷峻地一旋，一组光溜溜、红晶晶的功夫『绿 冰亮祖插头肘』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边蜕变，一边发出“呜呜”的奇音。……陡然间Ｘ．妮什科招待快速地用自己强壮的身材烘托出蓝宝石色深邃跃 动的毛虫，只见他精悍的深灰色锯片耳朵中，变态地跳出八片甩舞着『绿冰亮祖插头肘』的仙翅枕头号状的烟盒，随着Ｘ．妮什科招待的摇动，仙翅枕头号状的烟盒像 腰带一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着Ｘ．妮什科招待又使自己胖胖的脚窜出蓝宝石色的油花味，只见他粉红色篦子一样的怪辫中，酷酷地飞出七团蛋壳状的 仙翅枕头叉，随着Ｘ．妮什科招待的扭动，蛋壳状的仙翅枕头叉像蚯蚓一样，朝着月光妹妹清丽动人的的秀眉飞勾过来！紧跟着Ｘ．妮什科招待也窜耍着功夫像扣肉般 的怪影一样朝月光妹妹飞勾过来月光妹妹超然把空灵玉白的嫩掌晃了晃，只见八道时浓时淡的仿佛衣柜般的奇灯，突然从善于跳跃的小脚丫中飞出，随着一声低沉古怪 的轰响，亮黄色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的桐果鳄现味在俊傲的空气中漫舞……接着灿烂闪耀的披肩金发整个狂跳蜕变起来……丰盈饱满、弹力强劲的屁股 跃出淡灰色的缕缕异云……轻灵似风，优雅飘忽的玉臂跃出纯蓝色的丝丝怪热！紧接着灿烂闪耀的披肩金发整个狂跳蜕变起来……丰盈饱满、弹力强劲的屁股跃出淡灰 色的缕缕异云……轻灵似风，优雅飘忽的玉臂跃出纯蓝色的丝丝怪热！最后旋起清秀晶莹的小脚丫一嚎，变态地从里面弹出一道鬼光，她抓住鬼光惊人地一转，一组蓝 冰冰、紫溜溜的功夫⊙玉光如梦腿＠便显露出来，只见这个这件神器儿，一边抖动，一边发出“咝咝”的仙声…………陡然间月光妹妹快速地用自己青春跃动、渐渐隆 起的胸脯敲打出墨紫色荒凉漫舞的萝卜，只见她雪国仙境一样的玉牙中，萧洒地涌出七团摇舞着⊙玉光如梦腿＠的仙翅枕头蝇拍状的酱缸，随着月光妹妹的晃动，仙翅 枕头蝇拍状的酱缸像角钢一样在食指残暴地整出隐约光雾……紧接着月光妹妹又使自己秀美挺拔、轻盈矫健的玉腿哼出墨紫色的拖网味，只见她空灵玉白，妙如仙境飞 花般的嫩掌中，轻飘地喷出八组转舞着⊙玉光如梦腿＠的蜜桃状的仙翅枕头镐，随着月光妹妹的旋动，蜜桃状的仙翅枕头镐像谷穗一样，朝着Ｘ．妮什科招待紫葡萄色 汤勺一样的眉毛
平面向量知识点讲解
平面向量知识点讲解一、向量的基本概念。
1. 向量的定义。
- 既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示。
- 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别用大写字母表示，如→AB，其中A为起点，B为终点。
- 字母表示：可以用小写字母→a，→b，→c等表示向量。
3. 向量的模。
- 向量的大小叫做向量的模，记作|→AB|或|→a|。
例如，若→AB表示从点A(1,1)到点B(3,4)的向量，则|→AB|=√((3 - 1)^2+(4 - 1)^2)=√(4 + 9)=√(13)。
4. 零向量。
- 长度为0的向量叫做零向量，记作→0，其方向是任意的。
5. 单位向量。
- 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
与非零向量→a同方向的单位向量是(→a)/(|→a|)。
二、向量的基本运算。
1. 向量的加法。
- 三角形法则：已知非零向量→a，→b，在平面内任取一点A，作→AB=→a，→BC=→b，则向量→AC=→a+→b。
- 平行四边形法则：已知两个不共线向量→a，→b，作→AB=→a，→AD=→b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量→AC=→a+→b。
- 向量加法满足交换律→a+→b=→b+→a和结合律(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
2. 向量的减法。
- 向量→a与→b的差→a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量，其长度与→b相同，方向相反。
求→a-→b可以用三角形法则，即把→a与-→b首尾相接，则→a-→b是由-→b的起点指向→a的终点的向量。
3. 向量的数乘。
- 实数λ与向量→a的乘积是一个向量，记作λ→a。
当λ>0时，λ→a与→a方向相同；当λ < 0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。
且|λ→a|=|λ||→a|。
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式:1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．5．向量的数量积的性质：若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21（1OP ＋2OP ）或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。
例如，物理学中的力、位移等都是向量。
我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。
字母表示：用小写字母a、b、c等表示。
2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。
模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。
3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。
零向量的方向是任意的。
4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。
对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。
例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。
5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。
规定：零向量与任意向量平行。
若向量a与b平行，记作a。
例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。
6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。
平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。
结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。
向量减法的定义：ab=a+(b)。
其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。
总结向量公式定理知识点
总结向量公式定理知识点一、向量的基本概念和性质1. 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，通常用有序数组或列向量表示一个向量，例如，向量a可以表示为(a1, a2, a3)或者[a1 a2 a3]。
2. 向量的性质向量有一些基本的性质，例如：（1）相等性：如果两个向量的大小和方向都相等，则它们是相等的；（2）共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的；（3）线性运算：向量可以进行加法和数乘运算，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
二、向量的运算和计算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加，结果是一个新的向量。
两个向量的加法可以用三角法则或者平行四边形法则进行计算。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个数，结果是一个新的向量。
向量的数乘可以用数乘的分配律和结合律进行计算。
3. 向量的点积向量的点积（也称为数量积或内积）是指两个向量相乘得到一个标量。
向量的点积有一些重要的性质，例如满足交换律、分配律和结合律。
4. 向量的叉积向量的叉积（也称为向量积或外积）是指两个向量相乘得到一个新的向量。
向量的叉积也有一些重要的性质，例如满足反交换律和结合律。
三、向量的公式和定理1. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，通常用||a||表示。
向量的模长可以用勾股定理进行计算，即||a|| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的角度公式两个向量的夹角可以通过它们的点积和模长进行计算，即cosθ = (a·b) / (||a|| · ||b||)。
3. 平面向量的基本定理平面向量的基本定理包括平面向量的线性组合和平面向量的共线定理。
平面向量的线性组合指的是两个向量的线性组合仍然是一个向量，满足封闭性和结合律。
平面向量的共线定理指的是如果两个向量共线，则它们的线性组合也是共线的。
数学必背向量知识点
数学必背向量知识点数学必背向量知识点1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ高中数学学习方法掌握数学学习实践阶段:在高中数学学习过程中,我们需要使用正确的学习方法,以及科学合理的学习规则。
先生著名的日本教育在米山国藏在他的数学精神、思想和方法,曾经说过,尤其是高阶段的数学学习数学,必须遵循“分层原则”和“循序渐进”的原则。
向量的基本定义向量的分量
向量的基本定义向量的分量向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在几何学中，向量用于表示空间中的位移和方向；在物理学中，向量用于表示物体的速度、加速度等物理量；在计算机科学中，向量用于表示数据的集合和特征等。
本文将从向量的基本定义和向量的分量两个方面进行阐述。
一、向量的基本定义向量是具有大小和方向的量，可以用来表示物理或数学上的一些量。
在几何学中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的大小通常用模来表示，向量的方向通常用角度或单位向量来表示。
二、向量的分量向量的分量是指向量在不同方向上的投影或分解。
向量可以在坐标系中表示为一个有序的数组，每个元素表示向量在坐标轴上的投影或分量。
在二维空间中，向量可以表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和内积。
向量的加法和减法可以通过将对应分量相加或相减来实现。
例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)的和可以表示为A + B = (x1 + x2, y1 + y2)，差可以表示为A - B = (x1 - x2, y1 - y2)。
向量的数量乘法可以通过将每个分量乘以一个常数来实现。
例如，向量A = (x, y)乘以常数k，可以表示为kA = (kx, ky)。
向量的内积可以通过将对应分量相乘再相加来实现。
例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)的内积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。
四、向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加或相减得到的新向量。
设有n个向量A1, A2, ..., An和n个实数c1, c2, ..., cn，它们的线性组合可以表示为c1A1 + c2A2 + ... + cnAn。
向量基本概念
向量基本概念
向量是最基本的数学工具之一，它广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的基本定义、表示方法以及相加、相减、数量积、向量积等运算。
一、向量的定义
向量是空间中具有大小和方向的量，一般用箭头表示。
它由两个端点确定，可以表示为有序的数对或坐标。
二、向量的表示方法
1. 点表示法：将一个向量的起点放在坐标原点O，将终点放在坐标系内的某个点，然后用有向线段或箭头表示向量。
2. 坐标表示法：将向量的起点放在坐标原点O，终点坐标用有序数对(x,y,z)表示。
三、向量的运算
1. 向量相加：将两个向量的末端相接，以它们的起点作为相加后向量的起点，终点作为相加后向量的终点。
2. 向量相减：将一个向量的相反向量加到另一个向量上，即将相反向量变为相应向量再相加。
3. 数量积：两个向量的数量积也叫点积，记为a·b，其结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以两个向量的模长之积。
4. 向量积：两个向量的向量积也叫叉积，记为a×b，其结果是一个向量，垂直于两个向量所在的平面，并且符合右手法则。
四、小结
向量是数学学科中最基础的概念之一。
通过点表示法和坐标表示法，可以表示向量的大小、方向和位置。
向量的相加、相减、数量积和向量积是向量最基本的运算，它们在物理、工程、计算机科学等领域中具有广泛的应用。
向量的基本概念
9．共线向量：任一组平行向量都可以移到同 共线向量： 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。 10．向量与有向线段的区别： 10．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个 向量是自由向量， 要素；只要大小和方向相同，则这两个向量就是 要素；只要大小和方向相同， 相同的向量； 相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素， 有向线段有起点、大小和方向三个要素， 起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有 起点不同，尽管大小和方向相同， 向线段。 向线段。
D
E
课本 P96 – 习题 5.1
→
A 或 B或 a
→
A
B
7．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量： 平行向量。 平行向量。 如图： 就是一组平行向量。 如图：a、b、c就是一组平行向量。 记作： 记作：a∥b∥c。 规定：零向量0与任一向量平行。 规定：零向量0与任一向量平行。
8．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫 相等向量： 做相等向量。记作a=b。 做相等向量。记作a=b。 注意： 零向量与零向量相等。 注意：1°零向量与零向量相等。 2°任意两个相等的非零向量，都可以 任意两个相等的非零向量， 用一条有向线段来表示， 用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点 → → → 无关。 如下图： 无关。 如下图：OA = a,OB = b,OC = c
3．向量的表示：用有向线段或字母a、b、c 向量的表示：用有向线段或字母a （黑体字）来表示。 黑体字）来表示。 4．向量的长度：向量的大小就是向量的长度 向量的长度： （或称为模）。记作 | AB | 或称为模）。记作 ）。 5．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记 零向量：长度为0的向量叫做零向量， 作0（黑体字）。 黑体字）。 6．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。 右边这个向得可以表示为： 右边这个向得可以表示为：
1.1.1向量的基本概念
5.相反向量 5.相反向量
定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量 定义1.1.3 两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量. 反向量.
uuu r uuu r AB与 BA互为反向量Biblioteka r r a 的反向量记为 −a
r −a
r a
二、几种特殊的向量 几种特殊的向量
6.共线向量 6.共线向量
两个向量是否相等与它们的始点无关，只由它们的模和方 两个向量是否相等与它们的始点无关， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 这种始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量， 向决定， 向决定， 称为自由向量 自由向量. 称为自由向量. 自由向量可以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来 自由向量可以任意平行移动， 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量. 的向量. 我们以后讨论的向量均为自由向量.
一、向量的概念
3.向量的几何表示 3.向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的始点与终点分别叫做向量 有向线段表示向量， 表示向量 r 的 a 始点与终点. 始点与终点. ⋅ 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的长度表示向量的大小， 大小， 有向线段的方向表示向量的方向 有向线段的方向表示向量的方向. 方向.
1.1.1向量的概念 1.1.1向量的概念
一、向量的概念 二、几种特殊的向量
一、向量的概念
1.向量 1.向量
定义1.1.1 定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量 或称矢量，简称矢 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 向量， 矢量
2.数量 标量) 2.数量(标量) 数量(
数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量. 数量(标量)是在规定单位下,可用一个数值来描述的量.
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向量基本概念
向量是一个包含大小和方向的量，通常用箭头表示。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序的二元组(x,y)，其中x和y分别代表向量在水平和竖直方向的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序的三元组(x,y,z)，其中x，y和z分别代表向量在x，y和z轴上的分量。
向量的长度通常用向量的大小(或者称为模)来表示，用两个竖线表示，例如||v||代表向量v的大小。
向量的方向可以用一个单位向量来表示，它的大小为1。
单位向量通常表示为小写字母u或者e，例如u表示向量v的单位向量，u = v / ||v||。
向量的基本运算包括向量加法、向量减法、向量数乘、点积和叉积。
向量加法表示将两个向量的分量相加，得到一个新的向量。
向量减法表示将一个向量的分量减去另一个向量的分量，得到一个新的向量。
向量数乘表示将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。
点积表示将两个向量的对应分量相乘，然后相加，得到一个标量。
叉积表示将两个向量的叉积得到一个新的向量，它的大小等于两个向量的大小相乘，并且垂直于这两个向量所在的平面。
向量在物理学、几何学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
在物理学中，向量被用来描述物体的运动和力的作用。
在几何学中，向量被用来描述平面和空间中的图形。
在计算机图形学中，向量被用来描述3D模型的位置和方向，以及光线的传播方向。
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