华东师范大学茆诗松《概率论与数理统计教程》第8章 方差分析与回归分析资料
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)(课后习题 方差分析与回归分析)【圣才出品】
第8章 方差分析与回归分析一、方差分析1．在一个单因子试验中，因子A有三个水平，每个水平下各重复4次，具体数据如下：表8-1试计算误差平方和s e、因子A的平方和S A与总平方和S T，并指出它们各自的自由度．解：此处因子水平数r＝3，每个水平下的重复次数m＝4，总试验次数为n＝mr＝12．首先，算出每个水平下的数据和以及总数据和：T1＝8＋5＋7＋4＝24．T2＝6＋10＋12＋9＝37．T3＝0＋1＋5＋2＝8．T＝T l＋T2＋T3＝24＋37＋8＝69．误差平方和S e由三个平方和组成：于是而2．在一个单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下重复次数分别为5，7，6，8．那么误差平方和、A的平方和及总平方和的自由度各是多少？解：此处因子水平数r＝4，总试验的次数n＝5＋7＋6＋8＝26，因而有误差平方和的自由度因子A的平方和的自由度总平方和的自由度3．在单因子试验中，因子A有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差σ2的估计值是多少？解：此处因子水平数r＝4，每个水平下的试验次数m＝3，误差平方和S e由四个平方组成，它们分别为于是其自由度为，误差方差σ2的估计值为4．在单因子方差分析中，因子A有三个水平，每个水平各做4次重复试验．请完成下列方差分析表，并在显著性水平α＝0.05下对因子A是否显著作出检验．表8-2 方差分析表解：补充的方差分析表如下所示：表8-3 方差分析表对于给定的显著性水平，查表知，故拒绝域为，由于，因而认为因子A是显著的．此处检验的p值为5．用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示．表8-4 安眠药试验数据在显著性水平下对其进行方差分析，可以得到什么结果？解：这是一个单因子方差分析的问题，根据样本数据计算，列表如下：表8-5于是根据以上结果进行方差分析，并继续计算得到各均方以及F 比，列于下表：表8-6在显著性水平下，查表得，拒绝域为，由于故认为因子A （安眠药）是显著的，即四种安眠药对兔子的安眠作用有明显的差别．此处检验的p 值为6．为研究咖啡因对人体功能的影响，特选30名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平：每个水平下冲泡l0杯水，外观无差别，并加以编号，然后让30位大学生每人从中任选一杯服下，2h后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果统计如下表：表8-7请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论？解：我们知道，对数据作线性变换不会影响方差分析的结果，这里将原始数据同时减去240，并作相应的计算，计算结果列入下表：表8-8于是可计算得到三个平方和把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表，并继续计算得到各均方以及F比：表8-9若取查表知，从而拒绝域为，由于．故认为因子A（咖啡因剂量）是显著的，即三种不同剂量对人的作用有明显的差别．此处检验的p值为7．某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响．现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率如下表：表8-10（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在下检验这三种方法对含水率有无显著影响；（2）对每种方法的平均含水率给出置信水平为0.95的置信区间．解：（1）这是一个单因子方差分析的问题，由所给数据计算如下表：表8-11三个平方和分别为。
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第7~8章【圣才出品】
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sup p(x1,K , xn; )
2．假设检验的基本步骤
（1）建立假设；
（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；
注意：一个拒绝域 W 唯一确定一个检验法则，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域．
（3）选择显著性水平
第一类错误：命题本为真，却由于随机性落入了拒绝域，而否定了命题．（弃真）
第二类错误：命题本为假，由于随机性落入了接受域，而接受了命题．（取伪）
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注：
xy
u1
xy
sx2
s
2 y
mn
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t1
sw
x
1 m
y
1 n
t2
xy
sx2
s
2 y
为零，即考察如下检验问题：
H0：μ＝0 vs H1：μ≠0
即把双样本的检验问题转化为单样本 t 检验问题，这时检验的 t 统计量为
t2 d (sd n)
其中
1 n
d n i1 di
sd
n
1 1
n i 1
(di
1/ 2
d
)2
在给定显著性水平 α 下，该检验问题的拒绝域是：W1＝{|t2|≥t1－α/2（n－1）}，这就是
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在拒绝域 W 内的概率称为该检验的势函数，记为 g（θ ）＝pθ （X∈W），θ ∈Θ＝Θ0∪Θ1 ②显著性检验：对检验问题 H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1，如果一个检验满足对任意的 θ
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
华东师范大学-茆诗松-概率论与数理统计教程
24 December 2018
第一章 随机事件与概率
第4页
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
第一章 随机事件与概率
第12页
1.1.6 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
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第一章 随机事件与概率
第13页
事件运算的图示
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第一章 随机事件与概率
第31页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
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第一章 随机事件与概率
第19页
课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
8概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第八章
∑ ⎪⎪⎧Yrij
⎨
= µ + ai ai = 0;
+ ε ij ,
i = 1, 2, L, r,
⎪ i=1
⎪⎩ε ij 相互独立，且都服从N (0, σ 2 ).
j = 1, 2, L, m;
检验的原假设与备择假设为 H0：a 1 = a 2 = … = a r = 0 vs H1：a 1 , a 2 , …, a r 不全等于 0．
i=1 j =1
∑ ∑ 1
σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ ) 2
~ χ 2 (rm − r) ，
∑∑ 故 Se
σ2
=1 σ2
r i =1
m
(Yij
j =1
− Yi⋅ )2
~
χ 2 (n − r) ，即得 E(S e) = (n − r)σ 2；
4
r
r
r
r
r
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ （2） S A = m (Yi⋅ − Y )2 = m (ai + εi⋅ − ε )2 = m ai2 + m (ε i⋅ − ε )2 + 2m ai (εi⋅ − ε ) ，
是第 i 个总体内样本均值与总样本均值的偏差，称为组间偏差，反映第 i 个总体的主效应． 三．偏差平方和及其自由度
∑ 在统计学中，对于
k
个独立数据
Y1 ,
Y2 ,
…,
Yk
，平均值 Y
=
1 k
k
Yi
i =1
，称
Yi 与 Y
之差为偏差，所有偏差
的平方和
k
∑ Q = (Yi − Y )2 i =1
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题
茆诗松《概率论与数理统计教程》课后习题本书是详解研究生入学考试指定考研参考书目为茆诗松《概率论与数理统计教程》的配套题库，每章包括以下四部分：第一部分为考研真题及详解。
本部分按教材章节从历年考研真题中挑选具有代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第二部分为课后习题及详解。
本部分对茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材每一章的课后习题进行了详细的分析和解答，并对个别知识点进行了扩展。
课后习题答案经过多次修改，质量上乘，特别适合应试作答和临考冲刺。
第三部分为章节题库及详解。
本部分严格按照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。
熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。
第四部分为模拟试题及详解。
参照茆诗松编写的《概率论与数理统计教程》（第2版）教材，根据历年考研真题的命题规律及热门考点精心编写了两套考前模拟试题，并提供详尽的解答。
通过模拟试题的练习，学员既可以用来检测学习该考试科目的效果，又可以用来评估对自己的应试能力。
本书提供电子书及打印版，方便对照复习。
目录第一部分考研真题第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第二部分课后习题第1章随机事件与概率第2章随机变量及其分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第三部分章节题库第1章随机事件与概率第2章随机变量与分布第3章多维随机变量及其分布第4章大数定律与中心极限定理第5章统计量及其分布第6章参数估计第7章假设检验第8章方差分析与回归分析第四部分模拟试题茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（一）茆诗松《概率论与数理统计教程》（第2版）配套模拟试题及详解（二）。
统计学课件第八章 方差分析
.1 00 0t j
学
习
网
统计学
统
（两类方差）
计 学 习 网
1. 组内方差
中 华
tj .c
统
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华
8 - 14 8 - 14
计 学
习 网
计
因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的 方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 掌握双因素方差分析的方法及应用
华 统 中 om 中 华 统 计
ww w. 10 00 tj .c
经济、管理类 经济、管理类 基础课程 基础课程
om
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华
8-8 8-8
计 学
习 网
计
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同 2. 设μ1为无色饮料的平均销售量，μ2粉色饮料的 平均销售量，μ3为橘黄色饮料的平均销售量， μ4为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面 的假设 H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4 H1: μ1 , μ2 , μ3 , μ4 不全相等 3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
方差分析的基本思想和原理
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om
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学
习
网
统计学
计 统 华
（方差的比较）
计 学 习 网
1. 如果不同颜色(水平)对销售量(结果)没有影响，那
么在组间方差中只包含有随机误差，而没有系统 误差。这时，组间方差与组内方差就应该很接近 ，两个方差的比值就会接近1 如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除 了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时 组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方 差的比值就会大于1 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 之间存在着显著差异
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(方差分析与回归分析)【圣才出品】
（4）各平方和的计算
Ti
=
mi j =1
yij，yi =
Ti mi
r
， T=
i =1
mi j =1
yij
=
r i =1
Ti，y
=
T n
r mi
则 ST
i1 j1
yij－y
2
r i 1
mi j 1
yij2－
T2 n
，fT＝n－1；
r
SA mi
i 1
yi－y
2
r
Ti
2
－
T
2
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n＝mr＝12。每个水平下的数据和以及总数据和为：
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茆诗松《概率论与数理统计教程》第 3 版笔记和课后习题含考研真题详解 第 8 章 方差分析与回归分析
8.1 复习笔记
一、方差分析
1．单因子方差分析的统计模型
yij
=
+ai
+
ij
,i
=1,2,,r
r
ai =0,
i =1
之，无明显差别，这一方法称为 T 法。
3．重复数不等场合的 S 法
cij
r－1 F1- (r－1,
fe
)
1 mi
1 mj
ˆ 2
三、方差齐性检验（见表 8-1-2）
表 8-1-2 方差齐性检验
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四、一元线性回归
0 t1/2 n 2ˆ
1 x0 x 2
概率论课件_高教版_第八章_方差分析与回归分析
MS A 168.00 F 20.56 MS e 8.17
查附表在f1=3，f2=12时， F0.05=3.49，F0.01=5.95 实得 F＞ F0.01或 P＜0.01，说明药剂处理有统计意义。
四、单因素方差分析模型参数的估计 当方差分析结果为否定原假设时，就需要估计模型的有 关参数 ，下面就讨论方差分析模型参数的估计。 单因素方差分析的模型 为 xij i ij i 1,2, , r 2 ~ N ( 0 , ), 且相互独立 j 1,2, , m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指标 的作用; ij为随机因素对试验指标 值的影响。需要估计的 参数 有 , i , 2。不难证明这些参数的 极大似然估计量为： 1 r m 1 m 1 r m ˆ i xij ˆ xij xij rm i 1 j 1 m j rm i 1 j 1 1 r m 1 2 2 ˆ ˆ) ( xij SSe rm i 1 j 1 rm
Tr
T
xr
x
其中xij是因素A第i水平下第j次重复试验结果 , m r m r T T Ti xij xi T xij Ti x . m rm j 1 i 1 j 1 i 1
单因素方差分析的统计模型
试验数据xij满足 xij i ij i 1,2,, r 2 ~ N ( 0 , ),且相互独立 j 1,2,, m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指 标的作用 ; ij为随机因素对试验指标 值的影响。
鸡重/g-1000
60 80 1 2 12 9 28
Ti
第八章 方差分析与回归分析
2. 处理（Treatment）
处理:因素的不同水平的组合称为处理。 在单因素试验中,因素的每一个水平称为一个处理,试验因素有几个 水平,就相应的有几个处理.在多因素试验中,每个因素可设置若干个水平, 各因素不同水平的组合称为处理.处理的数目为各因素水平的乘积.
X a. X ..
T..
Ti . T ..
X ij
j 1 a
r
X i. X ..
Ti . r T .. ar
X
i 1 j 1
r
ij
2. 统计模型
把试验数据 X ij 纳入一定的统计模型是统计分析的前提．所谓统计模型是一 个有关 X ij 形成机理的数学表达式，其中包括与 X ij 有关的参数及其前提、约束条 X 件、随机变量的分布等， ij 必须满足这个统计模型才能进行方差分析．
三、方差分析的基本思想 以例8.1为例来说明方差分析的基本思想。 由例8.1的试验以及对工业生产所具有的常识可以知道，不同类型的 集装箱其试验指标—抗压强度存在差异，并且同一类型的不同集装箱其 抗压强度也会有差异。这两种差异产生的原因，前者主要是由于不同类 型的集装箱由于其生产条件、原材料、技术标准等等人为可控或者可辨 识的因素的不同造成抗压强度的差异，这就是组间误差，可以通过表 8.1中平均抗压强度来估计，后者是除类型外的各种人为不可控的随机 因素作用造成的指标的差异，这就是随机误差，可以通过同一类型的不 同集装箱的抗压强度之间的差异来度量。那么，如何判断不同种类的海 用集装箱的抗压强度是否有差异？若有差异，哪一种抗压强度最高？ R.A.Fisher 创立的方差分析是解决该类问题的有力工具,其直观想法是: 对试验数据所显示的差异进行分解，区分出组间误差和随机误差,利用数 理统计的相关原理建立适当的统计量,将组间误差与随机误差进行比较, 如果组间误差比随机误差大得多,就认为试验数据的差异主要是由
《概率论与数理统计》教学课件(共8章)第8章 回归分析与方差分析
值而定，即y的数学期望是x的函数，记为μ(x)。μ(x)称为y关于x的回归函数，简称为y关于x的回归。
根据μ(x)的不同形式，回归分析分为线性回归和非线性回归，其中线性回归又分为一元线性回归和多
元线性回归。
8.1
∧
b−t (n−2)
α
2
∧
σ
Lxx
∧
,b + t (n−2)
α
2
∧
σ
Lxx
.
例如，例1中b的置信度为0.95的置信区间为
0.8706−2.3646 ×
=(0.8346, 0.9066).
0.9408
4060
, 0.8706 + 2.3646 ×
0.9408
4060
8.1
一元线性回归
8. 1. 6
利用回归方程进行预测
8. 1. 4
线性假设的显著性检验
∧
引理 对于一元线性回归，有b~N(b,σ2/Lxx)。
n
n
∧ ∑ (xi −x)(yi −y) ∑ (xi −x)yi
∧
证 因为b=i=1 n
=i=1
，所以b是y1,y2,…,yn的线性组合，而y1,y2,…,yn是独立的正
n
∑ (xi−x)2
∑ (xi −x)2
8. 1. 4
线性假设的显著性检验
n
n
∑ (xi−x)2 D(yi) ∑ (xi −x)2σ2
∧
D(b)=i=1n
= i=1
n
2
2
[ ∑ (xi −x) ]
[ ∑ (xi −x)2 ] 2
概率论与数理统计教程(茆诗松)第8章
华东师范大学
第八章 方差分析与回归分析
第8页
我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
H0 ：1 =2 =…=r
备择假设为
H1 ：1, 2, …, r 不全相等
（8.1.1）
在不会引起误解的情况下， H1 通常可省略不写。 如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r 个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之， 当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时 称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。
有一个恒等式
k
( yi y ) 0
，这说明在Q中独立
i 1
的偏差只有k1个。
➢ 在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平 方和的自由度，常记为f，如Q的自由度为 fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数。
13 July 2020
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第八章 方差分析与回归分析
第19页
四、总平方和分解公式
第22页
8.1.4 检验方法
偏差平方和Q的大小与自由度有关，为了便于在 偏差平方和间进行比较，统计上引入了均方的 概念，它定义为MS=Q/fQ ，其意为平均每个自 由度上有多少平方和，它比较好地度量了一组 数据的离散程度。
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 进
1
r
r i 1
i
为总均值.
称第 i 水平下的均值 i 与总均值 的差:
ai=i - 为 Ai 的效应。
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第八章 方差分析与回归分析
第12页
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第版)-课后习题-第7~8章【圣才出品】
第7章假设检验一、假设检验的基本思想与概念1．设x1，…，x n是来自N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题若检验由拒绝域为确定．（1）当n＝20时求检验犯两类错误的概率；（2）如果要使得检验犯第二类错误的概率，n最小应取多少？（3）证明：当时，解：（1）由定义知，犯第一类错误的概率为这是因为在H 0成立下，，而犯第二类错误的概率为这是因为在H 1成立下．（2）若使犯第二类错误的概率满足即，或，查表得：，由此给出n ≥33.93，因而凡最小应取34，才能使检验犯第二类错误的概率β≤0.01．（3）在样本量为n时，检验犯第一类错误的概率为当n→∞时．检验犯第二类错误的概率为当n→∞时，，即β→0．注：从这个例子可以看出，要使得α与β都趋于0，必须n→＋∞才可实现，这一结论在一般场合仍成立，即要使得α与β同时很小，必须样本量n很大．由于样本量n很大在实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求α与β同时很小．2．设x1，…，x10是来自0-1总体b（1，p）的样本，考虑如下检验问题取拒绝域为，求该检验犯两类错误的概率．解：，则，于是犯两类错误的概率分别为3．设x1，…，x16是来自正态总体N（μ，4）的样本，考虑检验问题拒绝域取为，试求c使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在μ＝6.5处犯第二类错误的概率．解：在H0为真的条件下，，因而由得也就是，所以当c＝0.98时，检验的显著性水平为0.05．该检验在μ＝6.5处犯第二类错误的概率为4．设总体为均匀分布U（0，θ），x1，…，x n是样本，考虑检验问题拒绝域取为，求检验犯第一类错误的最大值α．若要使得该最大值α不超过0.05，n至少应取多大？解：均匀分布U（0，θ）的最大次序统计量x（n）的密度函数为因而检验犯第一类错误的概率为它是θ的严格单调递减函数，故其最大值在θ＝3处达到，即若要使得，则要求，这给出n≥16.43，即n至少为17．5．在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误？解：若检验结果是接受原假设，可能有两种情况：其一是原假设为真，此时检验是正确的，未犯错误，其二是原假设不真，此时检验结果就错了，这种错误是接受了不真的原假设，为第二类错误，故此时检验可能犯第二类错误．若检验结果是拒绝原假设，也可能有两种情况：若原假设本身不真，检验是正确的；若原假设事实上是真的，则检验就犯了第一类错误，由此，在此种场合，检验可能会犯第一类错误．6．设x1，…，x20是来自0-1总体b（1，p）的样本，考虑如下检验问题取拒绝域为（1）求p＝0，0.1，0.2，…，0.9，1时的势并由此画出势函数的图；（2）求在p＝0.05时，犯第二类错误的概率．解：（1）势函数的计算公式为：则p＝0，0.1，0.2，…，0.9，1时的势计算如下表：表7-1可用软件计算，如matlab语句为1－binocdf（6，20，p）＋binocdf（1，20，p）．势函数图如图7-1，它在P＝0.2处达到最小．图7-1（2）p＝0.05时，犯第二类错误的概率为可采用如下matlab语句binocdf（6，20，0.05）－binocdf（1，20，0.05）计算给出1－g（0.05），计算结果为0.2641．7．设一个单一观测的样本x取自密度函数为平p（x）的总体，对p（x）考虑统计假设：若其拒绝域的形式为，试确定一个c，使得犯第一，二类错误的概率满足α＋2β＝min，并求其最小值．解：由，可得因此，当时．，并且此时的最小值为．8．设x1，x2，…，x30为取自泊松分布p（λ）的随机样本．（1）试给出单边假设检验问题的水平α＝0.05的检验．（2）求此检验的势函数g（λ）在A＝0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出g（λ）的图像．解：（1）选为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝H0，所以，该检验问题的拒绝域形式为注意到在λ＝0.1时，从而第一类错误概率为时，0.0839，当c＝6时，，因此，该检验问题的拒绝域为．（2）势函数的计算公式为：则λ＝0.05，0.2，…，0.9时的势计算如下表：表7-2势函数图如图7-2：图7-2补充习题及解答9．设正态总体的方差σ2为已知值，均值μ只能取μ0或μ1（μ1＜μ0）两值之一，为总体的容量n的样本均值．考虑如下柃验问题若检验拒绝域取为，则检验犯第二类错误的概率为（1）试验证：，从而在α，β给定时，有（2）若n固定，当α减小时β怎样变化？当β减小时α怎样变化？（3）当，并且要求时，样本容量n至少应为多少？。
《第八章方差分析》PPT课件
si2
Ⅰ 122 2500 20.33 3.88
Ⅱ 106 1902 17.67 5.86
k 5 n6
C 6072 6 5 12281.63
Ⅲ 150 3770 25.00 4.00
Ⅳ 137 3165 22.83 7.34
Ⅴ 92 1426 15.33 3.06 T 607 xi2j 12763
第五页，共47页。
因此此时再用t-test法进行检验就不恰当了
如何对 k 3个样本进行假设检验？ 这就是本章所要讨论的方差分析
什么叫方差？
方差是对数据（或称资料）变异的度量
方差的公式：
总一般体总：体 2方 差称xN方2差样，本样：本s方2 差n称x1均x 2 方
x2
n
x
n 1
2
能使变量发生变异的原因很多，这些原因我们都将其称为变
如果这许多样本都只和对照组相比，我们仍然可以使用t-
test或u-test进行，但如果需要样本之间两两相比较的
话，就不能使用t-test或u-test进行了 其理由有以下几个：
第三页，共47页。
1、当有k个样本所属总体的平均值相互两两比较，就需
作
1 k次k比1较 ，即作
2
次1 k假k 设1 检验
2
验结束后每一组内的数据资料相等，这就是组内样 本容量相等的情况
（一）数据结构和数学模型
方差分析是建立在一定的线性数学模型基础上的，所谓线性 模型就是指每一个观测值都可以分割成若干个线性部分， 这是方差分析中平方和、自由度剖分的理论依据
第十三页，共47页。
设从一个 N , 2 中随机抽取一个样本，容量为 ，n这
能充分使用试验中所有的信息量，这是十分可惜的
概率论与数理统计第8章
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA 934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
整理课件
基本概念
试验指标——试验结果。
可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为 控制的因素。
水平——可控因素所处的各种各种不同的状态。每个 水平又称为试验的一个处理。
单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。
整理课件
引例
例1 （灯丝的配料方案优选）某灯泡厂用四种配料方案制成的灯 丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿 命（单位：小时），数据如下：
等价于检验假设： H 0:整1 理 课件 2 ...r0
若H0成立，则 X ij ij,j 1 ,2 ,...n i,i 1 ,2 ,...r
r
考察统计量 SST
ni
2
Xij X
总离差平方和
i1 j1
经恒等变形，可分解为： SSTSSASSE 见书P168
其中
r ni
S S A
X ij
i1
i1 j 1
X . j T. j a X.1 X.2 ... X.b
X i. Ti. b X1. ... Xa.
X 1T ab
整理课件
➢ 无交互作用的双因素试验的方差分析
基本假设（1）X i j 相互独立；
（2）Xij ~Nij,2 ，（方差齐性）。
线性统计模型 Xij ijij
方差分析及回归分析ppt60页课件
设因素有S个水平，在水平Aj (j=1,2,…,s)下，进行nj (nj≥2)次独立试验，结果如下：
水平 观察结果
A1
A2
…
As
X11 X21 …
X11 X21 …
… … …
X11 X21 …
样本总和 样本均值 总体均值
T.1 X.1 μ 1
T.2 X.2 μ 2
… … …
160
180
60
80
100
40
设Y关于x的回归函数为μ(x)。利用样本来估计μ(x)的问题称为求Y关于x的回归问题。 若μ(x)是线性函数μ(x)=a+bx，此时的估计问题称为求一元线性回归问题。 一元线性回归模型： 设Y~N(a+bx, σ2 )其中a,b, σ2是未知参数，记 ε = Y-（a+bx），则 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （1） 称上式为一元线性回归模型。 称a+bx为x的线性函数，而ε ~N(0, σ2 )是随机误差。
SE称为误差平方和， SA表示Aj水平下的样本均值与数据总平均的差异，叫做效应平方和，他是由水平Aj的效应的差异以及随机误差引起的。
（1，8）
则得 ST=SE+SA ，
（1，9）
（1，10）
（三） SE，SA的统计特性 1、SE的统计特性
由于 是总体 的nj-1倍， 所以 由于独立，（1，11）中各式独立，根据 分布的可加性，得
（1，14）
（1，15）
可以证明SE，SA的是相互独立的，且H0当为真时 （四）假设检验问题的拒绝域 由（1，15）式，当H0为真时 所以SA /(s-1)是σ2的无偏估计,而当当H1为真时， 这时 而由于
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（8.1.2）式称为试验结果 yij 的数据结构式。
11 March 2019
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第八章 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ差分析与回归分析
第11页
单因子方差分析的统计模型：
yij i ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m 2 诸 相互独立，且都服从 N (0, ) ij
T T T Ti y r m n i 1 n r m 总试验次数
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第八章 方差分析与回归分析
第14页
表8.1.2 单因子方差分析试验数据
因子水平 A1 A2 ┆ Ar 试验数据 y11 y12 … y1m y21 y22 … y2m ┆ yr1 yr2 … yrm 和 T1 T2 ┆ Tr 平均
（8.1.3）
总均值与效应:
称诸 i 的平均
称第 i 水平下的均值 i 与总均值 的差: ai=i - 为 Ai 的效应。
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1 1 r ( 1 ... r ) i r r i 1
为总均值.
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第八章 方差分析与回归分析
第12页
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第八章 方差分析与回归分析
第7页
1) 每一总体均为正态总体，记为 N(i , i 2)，
i＝1, 2,…, r ；
2) 各总体的方差相同:
1 2= 22=…= r2 = 2 ；
3) 从每一总体中抽取的样本是相互独立的，
即所有的试验结果 yij 都相互独立。
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第八章 方差分析与回归分析
第9页
为对假设（8.1.1）进行检验，需要从每一水 平下的总体抽取样本，设从第i个水平下的总 体获得m个试验结果，记 yij 表示第i个总体的 第j次重复试验结果。共得如下n=rm个试验 结果： yij， i＝1, 2,…, r ， j＝1, 2, …, m,
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第八章 方差分析与回归分析
第5页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥 作用是否相同。为此，把饲料称为因子，记为A， 三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij 表示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。我们的目的是比 较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为 此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归 结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进 行解决。
模型（8.1.3）可以改写为
yij ai ij , i 1, 2,..., r , j 1, 2,..., m r (8.1.8) ai 0 i 1 相互独立，且都服从N(0, 2 ) ij
假设（8.1.1）可改写为
H0 ：a1 =a2 =…=ar =0
第八章 方差分析与回归分析
第2页
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出
实际工作中我们经常碰到多个正态总体 均值的比较问题，处理这类问题通常采 用所谓的方差分析方法。
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第八章 方差分析与回归分析
第3页
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究 所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的 饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以 苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效 果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三 组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们 的重量。试验结果如下表所示：
其中r为水平数，m为重复数，i为水平编号， j 为重复编号。
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第八章 方差分析与回归分析
第10页
在水平Ai下的试验结果yij与该水平下的指标
均值 i 一般总是有差距的，记 ij = yiji，
ij 称为随机误差。于是有 yij = i +ij
（8.1.2）
y1 y2
┆
yr
y
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T
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第八章 方差分析与回归分析
第15页
二、组内偏差与组间偏差
数据间是有差异的。数据yij与总平均 y 间 的偏差可用yij y 表示，它可分解为二个 偏差之和
yij y ( yij yi. ) ( yi. y )
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第八章 方差分析与回归分析 我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验:
第8页
H0 ：1 =2 =…=r
备择假设为 H1 ：1, 2, …, r 不全相等
（8.1.1）
在不会引起误解的情况下， H1 通常可省略不写。 如果H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r 个水平间没有显著差异，简称因子A不显著；反之， 当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，这时 称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。
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第八章 方差分析与回归分析
第6页
8.1.2 单因子方差分析的统计模型
在例8.1.1中我们只考察了一个因子，称其 为单因子试验。
通常，在单因子试验中，记因子为 A, 设其 有r个水平，记为A1, A2,…, Ar，在每一水平 下考察的指标可以看成一个总体 ，现有 r 个水平，故有 r 个总体， 假定：
（8.1.9）
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第八章 方差分析与回归分析
第13页
8.1.3 平方和分解
一、试验数据
通常在单因子方差分析中可将试验数据列成 如下页表格形式。
表8.1.2中的最后二列的和与平均的含义如 m 下： Ti
Ti yij
j 1 r
yi.
m
i 1, 2,
,r
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第八章 方差分析与回归分析
第4页
表8.1.1 鸡饲料试验数据
饲料A A1 A2 A3
1073 1107 1093 1009 1092 1029 1060 990 1080
鸡 重（克）
1001 1109 1021 1002 1090 1022 1012 1074 1032 1009 1122 1029 1028 1001 1048