专题02 全等三角形(专题详解)(解析版)
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ÐÐ=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D Ð=°，120ABC Ð=°，150BCD Ð=°，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =-，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少_________m 1.7»）．【答案】370【分析】延长,AB DC 交于点E ，根据已知条件求得90E Ð=°,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得,EC EB ，,AE AD ，从而求得AN AM +的长，根据材料可得MN DM BN =+，即可求解．【详解】解：如图，延长,AB DC 交于点E ，连接,CM CN ，Q 60D Ð=°，120ABC Ð=°，150BCD Ð=°，30A \Ð=°，90E Ð=°，100DC DM ==Q DCM \V 是等边三角形，60DCM \Ð=°,90BCM \Ð=°,在Rt BCE V 中，100BC =，18030ECB BCD Ð=°-Ð=°，1502EB BC ==，EC ==100DE DC EC \=+=+Rt ADE △中，2200AD DE ==+150AE ==+，\200100100AM AD DM =-=+=+()AN AB BN AE EB BN =-=--())15050501=--150=，100150250AM AN \+=++=+Rt CMB △中，BM ==Q )50501EN EB BN EC =+=+==ECN \V 是等腰直角三角形()1752NCM BCM NCB BCM NCE BCE DCB \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð-Ð=°=Ð由阅读材料可得))100501501MN DM BN =+=+-=，\路线M N ®的长比路线M A N ®®的长少)250501200370+-+=+»m ．答案：370．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE ¢△的位置，然后证明AFE AFE ¢≌△△，从而可得=EF E F ¢．E F E D DF BE DF ¢¢=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD Ð=Ð，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD Ð=Ð，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O e 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．由旋转可知ABE ADE ¢≌△△，∴BE ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∴ADC ADE Ð+Ð∵12EAF BAD Ð=Ð，∴BAE DAF Ð+Ð∴12DAE DAF BAD ¢Ð+Ð=，∴FAE Ð∵AF ＝AF ，∴FAE FAE ¢≌△△，∴FE 由圆内接四边形性质得：∠AC P 即P ，C ，P ¢在同一直线上．∴∵BC 为直径，∴∠BAC =90°=∠BAP ∴△PAP ¢为等腰直角三角形，∴【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF Ð=°，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG V ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF Ð=°，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的动点，且45EAF Ð=°，则EF ，BE ，DF 之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD 的边长为6，AE =AF 的长．BAE DAG \Ð=Ð，AE AG =，90B ADG Ð=Ð=°，180ADF ADG \Ð+Ð=°，F \，D ，G 三点共线，45EAF Ð=°Q ，45BAE FAD \Ð+Ð=°，45DAG FAD \Ð+Ð=°，EAF FAG \Ð=Ð，AF AF =Q ，()EAF GAF SAS \D @D ，EF FG DF DG \==+，EF DF BE \=+；（2）①不成立，结论：EF DF BE =-；证明：如图2，将ABE D 绕点A 顺时针旋转90°至ADM D ，EAB MAD \Ð=Ð，AE AM =，90EAM =°∠，BE DM =，45FAM EAF \Ð=°=Ð，AF AF =Q ，()EAF MAF SAS \D @D ，EF FM DF DM DF BE \==-=-；②如图3，将ADF D 绕点A 逆时针旋转90°至ABN D ，4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时，V CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中，V AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．（5）将△ADF 绕A 顺时针旋转120°，AD与AB 重合，F 转到G ，在AG 上取AH =AN ，连接BH 、MH ，利用△ABH ≌△ADN 和△AMH ≌△AMN ，证明MN =MH ，DN =BH ，再证明△BMH 为直角三角形即可．【详解】（1）EF =FC +AE ，理由如下：证明：将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ，∴△DAE ≌△DCM ，∴DE =DM ，AE =CM ，∠ADE =∠CDM ，B 、C 、M 三点共线，∵∠EDF =45°，∴∠ADE +∠FDC =∠CDM +∠FDC =∠MDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，45DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =FM ∴EF =FM =FC +CM =FC +AE ；（2）解：如图，在DC 上取一点G ，使得DG =BE ，∵∠BAD =∠BCD =90°，∴∠ABC +∠D =180°，∠ABE +∠ABC =180°，∴∠ABE =∠D ，∵AB =AD ，BE =DG ，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =45°，∴∠EAB +∠BAF =∠DAG +∠BAF =45°，∵∠BAD =90°，∴∠FAG =∠FAE =45°，∵AE =AG ，AF =AF ，∴△AFE ≌△AFG （SAS ），∴EF =FG ，设BE =x ，则EC =EB +BC =x +7，EF =FG =18-x ，在Rt △ECF 中，∵EF 2=EC 2+CF 2，∴52+（7+x ）2=（18-x ）2，∴x =5，∴BE =5；（3）解：在DF 上截取DM =BE ，课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．（2）仍成立，理由：如图2，延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵∠B +∠ADF =180°，∠ADG +∠ADF =180°，∴∠B =∠ADG ，又∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE =∠DAG ，AE =AG ，∵EF =BE +FD =DG +FD =GF ，AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF （SSS ），∴∠EAF =∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF ；1∠DAB ．证明：如图3，在DC 延长线上取一点G ，使得2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D Ð+Ð=°，AB AD =，以点A 为顶点作EAF Ð，且12EAF BAD Ð=Ð，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D Ð=Ð=Ð=°时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE Ð=°，若BD =，求DE 的长．（2）如下图，延长CD 至点H ，使得DH=BE ，∵B ADF Ð+а，∴B ADH Ð=Ð，同（1）②的证明方法得ABE ADH ≌△△，同理证AEF ≌△△，从而得BE FD EF +=．（3）如图过点C 作CM BC ⊥,且CM BD =，3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF Ð=°，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD Ð=°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D Ð都不是直角，则当B Ð与D Ð满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．【详解】()1证明：如图1中，AB AD=Q，\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，AB与AD重合．∠ADC=∠B=90°∠FDG=180°，点F、D、G三点共线，则DAG BAEÐÐ=，AE AG=，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，AF AFEAF GAFAE AG=ìïÐ=Ðíï=î，∴△AFG≌△()AFE SAS，∴EF=FG=BE+DF；()2当180B DÐ+Ð=°，仍有EF BE DF=+．理由：AB AD=Q，\把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2，BAE DAG\Ð=Ð，∠B=∠ADG90BADÐ=°Q，45EAFÐ=°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠FAG=45°∴∠EAF=∠FAG，180ADC BÐ+Ð=°Q，∴∠ADC+∠ADG=180°∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．在△AFE和△AFG中，AE AGFAE FAGAF AF=ìïÐ=Ðíï=î∴△AFE≌△AFG(SAS)．EF FG\=，即：EF BE DF=+．故答案为：180B DÐ+Ð=°．()3将△ACE绕点A旋转到△ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE90BACÐ=°Q，45DAEÐ=°，∴∠BAD+∠CAE=45°．又∵∠FAB=∠CAE，∴∠FAB+∠BAD=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】(1)BM DN MN +=，理由见解析；(2)DN BM MN -=，理由见解析【分析】（1）把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE D ，然后证明得到AEM ANM D D ≌，从而证得ME MN =，可得结论；（2）首先证明ADQ ABM D D ≌，得DQ BM =，再证明AMN AQN D D ≌，得MN QN =，可得结论；（1）解：BM DN MN +=．理由如下：如图2，把ADN D 绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE D ，90ABE ADN \Ð=Ð=°，AE AN =，BE DN =，180ABE ABC \Ð+Ð=°，\点E ，点B ，点C 三点共线，90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM D 与ANM D 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM ANM \D D ≌（SAS ），ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=；（2）解：DN BM MN -=．理由如下：在线段DN 上截取DQ BM =，在ADQ D 与ABM D 中，AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î，ADQ ABM \D D ≌（SAS ），DAQ BAM \Ð=Ð，QAN MAN \Ð=Ð．在AMN D 和AQN D 中，AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，AMN AQN \D D ≌（SAS ），MN QN \=，DN BM MN \-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN Ð绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ¹时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN Ð绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)DN BM MN -=，见解析【分析】（1）把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，证得B 、E 、M 三点共线，即可得到AEM △≌ANM V ，从而证得ME MN =；（2）证明方法与（1）类似；（3）在线段DN 上截取DQ BM =，判断出ADQ △≌ABM V，同（2）的方法，即可得出结论．（1）证明：如图1，∵把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，ABE \V ≌ADN △，AE ANM \=，ABE D Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE ABC \Ð=Ð=°，\点E 、B 、M 三点共线．90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM △与ANM V 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM \△≌()ANM SAS V ，ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=，BM DN =Q ，2MN BM \=．（2）证明：如图2，把ADN △绕点A 顺时针旋转90°，得到ABE △，ABE \V ≌ADN △，AE ANM \=，ABE D Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE ABC \Ð=Ð=°，\点E 、B 、M三点共线．90904545EAM NAM \Ð=°-Ð=°-°=°，又45NAM Ð=°Q ，在AEM △与ANM V 中，AE AN EAM NAM AM AM =ìïÐ=Ðíï=î，AEM \△≌()ANM SAS V ，ME MN \=，ME BE BM DN BM =+=+Q ，DN BM MN \+=．（3）解：DN BM MN -= 理由如下：如图3，在线段DN 上截取DQ BM =，连接AQ ，在ADQ △与ABMV 中，AD AB ADQ ABM DQ BM =ìïÐ=Ðíï=î，ADQ \V ≌()ABM SAS V ，DAQ BAM \Ð=Ð，QAN MAN \Ð=Ð．在AMN V 和AQN △中，AQ AM QAN MAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，AMN\V ≌()AQN SAS V ，MN QN \=，DN BM MN \-=．【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC Ð=Ð=°，100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC Ð+Ð=°，2BAD EAF ÐÐ=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．【答案】（1）EF =BE +DF ，理由见解析；（2）EF =BE +DF ，理由见解析；（3）85海里【分析】（1）延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，可证得△ABE ≌△ADG ，可得到AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，再由100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，可证得△AEF ≌△AGF ，从而得到EF =FG ，即可求解；（2）延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，可证得△ABE ≌△ADH ，可得到AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，再由2BAD EAF ÐÐ=，可证得△AEF ≌△AHF ，从而得到EF =FH ，即可求解；（3）连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意可得∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD =AC +BD ，即可求解．【详解】解：（1）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点G ，使DG =BE ，连接AG ，∵90ABC ADC Ð=Ð=°，∴∠ADG =∠ABC =90°，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADG ，∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，∴∠BAE +∠DAF =50°，∴∠FAG =∠EAF =50°，∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AGF ，∴EF =FG ，∵FG =DG +DF ，∴EF =DG +DF =BE +DF ；（2）EF =BE +DF ，理由如下：如图，延长CD 至点H ，使DH =BE ，连接AH ，∵180ABC ADC Ð+Ð=°，∠ADC +∠ADH =180°，∴∠ADH =∠ABC ，∵AB =AD ，∴△ABE ≌△ADH ，∴AE =AH ，∠BAE =∠DAH ，∵2BAD EAF ÐÐ=∴∠EAF =∠BAE +∠DAF =∠DAF +∠DAH ，∴∠EAF =∠HAF ，∵AF =AF ，∴△AEF ≌△AHF ，∴EF =FH ，∵FH =DH +DF ，∴EF =DH +DF =BE +DF ；（3）如图，连接CD ，延长AC 、BD 交于点M ，根据题意得： ∠AOB =20°+90°+40°=150°，∠OBD =60°+50°=110°，∠COD =75°，∠OAM =90°-20°=70°，OA =OB ，∴∠AOB =2∠COD ，∠OAM +∠OBM =70°+110°=180°，∵OA=OB，∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠8．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）BM DN MN -=；（3）3【分析】（1）延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND @△△，由此得到AG AN =，GAB DAN Ð=Ð，再根据45MAN Ð=°，90BAD Ð=°，可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN +=；（2）在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，先证明AGB AND @△△，由此得到AG AN =，GAB DAN Ð=Ð，由此可得90GAN BAD Ð=Ð=°，再根据45MAN Ð=°可以得到45GAM NAM Ð=Ð=°，从而证明AMN AMG △≌△，然后根据全等三角形的性质即可证明BM DN MN -=；（3）在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，先证明ABM ADG V V ≌，再证明AMN AGN △≌△，设DG BM x ==，根据DC BC =可求得2x =，由此可得6AB BC CD CN ====，最后再证明ABP NCP △≌△，由此即可求得答案．【详解】（1）证明：如图，延长CB 到G 使BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°，在ABG V 与ADN △中，AB AD ABG ADN BG DN =ìïÐ=Ðíï=î， ()AGB AND SAS \△≌△，AG AN \=，GAB DAN Ð=Ð，45MAN Ð=°Q ，90BAD Ð=°，∴45DAN BAM BAD MAN Ð+Ð=Ð-Ð=°，45GAM GAB BAM DAN BAM \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，GAM NAM \Ð=Ð，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î， ()AMN AMG SAS \△≌△，MN GM \=，又∵BM GB GM +=，BG DN =，BM DN MN \+=；（2）BM DN MN -=，理由如下：如图，在BM 上取一点G ，使得BG DN =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABG ADN BAD Ð=Ð=Ð=°，在ABG V 与ADN△中，AB AD ABG ADN GB DN =ìïÐ=Ðíï=î，()AGB AND SAS \△≌△，AG AN \=，GAB DAN Ð=Ð，∴GAB GAD DAN GAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴90GAN BAD Ð=Ð=°，又45MAN Ð=°Q ，45GAM GAN MAN MAN \Ð=Ð-Ð=°=Ð，在AMN V 与AMG V 中，AM AM GAM NAM AN AG =ìïÐ=Ðíï=î，()AMN AMG SAS \△≌△，MN GM \=，又∵BM BG GM -=，BG DN =，∴BM DN MN -=，故答案为：BM DN MN -=；（3）如图，在DN 上取一点G ，使得DG BM =，连接AG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，90ABM ADG BAD Ð=Ð=Ð=°，//AB CD ，9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC ，DC 于点E ，F ，连接EF ．（1）猜想BE 、EF 、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，请直接写出AM 和AB 的数量关系；（3）如图2，将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ，E ，F 分别是BC ，CD 边上的点，∠EAF =12∠BAD ，连接EF ，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，试猜想AM 与AB 之间的数量关系．并证明你的猜想．【答案】（1）EF =BE +DF ．证明见解析；（2）AM =AB ；（3）AM =AB ．证明见解析10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ 于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【答案】(1)作图见解析．(2)结论：AD+BE=DE．证明见解析．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE=DE．延长DA至F，使DF=DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）结论：AD+BE=DE．理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF=DE，∴CE=CF，∴∠DCF =∠DCE =45°，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠ECB =45°，∵∠DCA +∠ACF =∠DCF =45°，∴∠FCA =∠ECB ，在△ACF 和△BCE 中，CA CB ACF BCE CF CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACF ≌△BCE （SAS ），∴AF =BE ，∴AD +BE =DE ．【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。
专题02 全等三角形重难点题型(解析版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题02高分必刷题-全等三角形重难点题型分类（解析版）题型1：全等三角形的性质1．下列说法正确的是（）A．两个等边三角形一定全等B．形状相同的两个三角形全等C．面积相等的两个三角形全等D．全等三角形的面积一定相等【解答】解：A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．故选：D．2．如图，△ABC≌△DCB，△A＝80°，△DBC＝40°，则△DCA的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【解答】解：△△ABC≌△DCB，∴∠D＝△A＝80°，△ACB＝DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠D﹣∠DBC＝60°，∴∠DCA＝△DCB﹣∠ACB＝20°，故选：A．3．如图，△ABC≌△DEF，BE＝7，AD＝3，则AB＝．【解答】解：△△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∴AB﹣AD＝DE﹣AD，即BD＝AE，∵BE＝7，AD＝3，∴BD＝AE＝＝2∴AB＝AD+DB＝3+2＝5．故答案为：5．题型2：添加一个条件，是两三角形全等4．如图，已知MB＝ND，△MBA＝△NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．△M＝△N B．AM∥CN C．AB＝CD D．AM＝CN【解答】解：A、△M＝△N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；B、AM∥CN，得出△MAB＝△NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意．C、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；D、根据条件AM＝CN，MB＝ND，△MBA＝△NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意；故选：D．5．如图，已知△ADB＝△CBD，下列所给条件不能证明△ABD≌△CDB的是（）A．△A＝△C B．AD＝BC C．△ABD＝△CDB D．AB＝CD【解答】解：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（AAS）∴选项A能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SAS），∴选项B能证明；在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（ASA），∴选项C能证明；选项D不能证明△ABD≌△CDB；故选：D．6．如图，已知△1＝△2，要使△ABC≌△CDA，还需要补充的条件不能是（）A．AB＝CD B．BC＝DA C．△B＝△D D．△BAC＝△DCA 【解答】解：A、根据AB＝CD和已知不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；B、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（SAS），正确，故本选项错误；C、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；D、△在△ABC和△CDA中∴△ABC≌△CDA（AAS），正确，故本选项错误；故选：A．题型三：尺规作图的依据7．如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明△A′O′B′＝△AOB的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，故选：A．8．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，△AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．9．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选：C．题型4：角平分线的性质10．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AD平分△CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【解答】解：△AD平分△CAB，DE⊥AB，△C＝90°，∴DE＝CD，又△AC＝BC，AC＝AE，∴AC＝BC＝AE，∴△DBE的周长＝DE+BD+EB＝CD+BD+EB＝BC+EB＝AE+EB＝AB，∵AB ＝6cm，∴△DBE的周长＝6cm．故选：A．11．如图，△ABC中，△C＝90°，AD是角平分线，AB＝14，S△ABD＝28，则CD的长为．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是角平分线，∴由角平分线的性质，得DE＝CD．∵AB＝14，S△ABD＝28，∴×AB×DE＝28，即×14×DE＝28，解得DE＝4，∴CD＝4，故答案为：4．12．如图，BD是△ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，∵BD是△ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∵AB＝18cm，BC＝12cm，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝36cm2，∴DE＝2.4（cm）．故答案为：2.4．题型五：全等三角形中档证明题考向1：重叠边技巧①短边相等+重叠边=长边相等②长边相等-重叠边=短边相等13．如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，△A＝△D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【解答】证明：（1）△AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）△由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝△EFD，∴BC∥EF．14．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：AB∥DE．【解答】证明：△AF＝DC，∴AF﹣FC＝DC﹣CF，即AC＝DF．在△ACB和△DFE中，∴△ACB≌△DFE（SSS），∴∠A＝△D，∴AB∥DE．考向2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等15．如图，AB＝AD，△C＝△E，△1＝△2，求证：△ABC≌△ADE．【解答】证明：△△1＝△2，∴∠1+∠EAC＝△2+∠EAC，即△BAC＝△DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（AAS）．16．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且△BAC＝90°，△DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．【解答】证明：△△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，又△△EAC ＝90°+∠CAD，△DAB＝90°+∠CAD，∴∠DAB＝△EAC，∵在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD＝CE．考向三：等角的余角相等技巧：∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。
专题02 全等三角形(解析版)
专题02全等三角形思维导图核心考点聚焦1、全等图形2、全等三角形的性质3、全等三角形的判定方法4、添加条件使三角形全等5、全等三角形的应用6、全等三角形与动点问题7、角平分线的性质与判定8、倍长中线模型9、证明线段和差问题10、常见的辅助线一、全等三角形的定义和基本性质1.基本定义（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.（4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.（5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2．寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：（1）图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角．（2）位置关系法：①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．（3）字母顺序法：根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．3．全等三角形的性质及应用①全等三角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形对应边上的高、中线、角平分线分别相等；④全等三角形的周长相等，面积相等．二、三角形全等的判定方法及思路1．全等三角形的判定方法：“边边边”定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．“边角边”定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．“角边角”定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．“角角边”定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．“斜边、直角边”定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．全等三角形的证明思路：SAS HL SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找一角的对边ì®ìïï®íïïï®îïï®®ìïï®ìïïííï®íïïïïï®îîïï®ìïí®ïîïî三、角平分线的性质1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等．注意：三角形的三条角平分线交于一点，到三边的距离相等．2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线．一、全等的几种模型（1） 平移型（2）对称型（3）旋转型二、常见的几种添加辅助线构造全等三角形的方法1．倍长中线法倍长中线主要用于证明全等三角形，其主要是在全等三角形的判定过程中，遇到一般三角形边上的中线或中点，考虑中线倍长.如图：已知：在三角形ABC 中，O 为BC 边中点，辅助线：延长AO 到点D 使AO ＝DO ，结论：△AOB ≌△DOC.证明：如图，延长AO 到点D 使AO ＝DO ，由中点可知，OB ＝OC ，在△AOB和△DOC 中，OA OD AOB DOC OB OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AOB ≌△DOC .总结：由倍长中线法证明三角形全等的过程一般均是用SAS 的方法，这是由于作出延长线后出现的对顶角决定的．2．截长或补短（含有线段－关系或求证两线间关系时常用）．截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．基本图形，如下：在ABC △中，,AB AC AM >平分BACÐ（1）在AB 上截取AD AC =；（2）把AC 延长到点E ，使AB AE =.考点剖析考点一、全等图形例1．如图1，把大小为44´的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把44´的正方形网格分割成两个全等形．【解析】∵要求分成全等的两块，∴每块图形要包含有8个小正方形．考点二、全等三角形的性质例2．如图，A，E，C三点在同一直线上，且ABC DAE△≌△．=+；(1)求证：DE CE BC∥？并证明你的猜想．(2)猜想：当ADEV满足什么条件时DE BC【解析】（1）解：∵ABC DAE△≌△，∴BC AE=，=，AC DE∴DE AC CE AE CE BC ==+=+；（2）解：猜想，90AED Ð=°时，DE BC ∥，∵ABC DAE △≌△，∴AED BCA Ð=Ð，∵DE BC ∥，∴BCE DEC Ð=Ð，∴DEC AED Ð=Ð，又180DEC AED Ð+Ð=°，∴90AED Ð=°，∴当ADE V 是直角三角形，且90AED Ð=°时，DE BC ∥．考点三、全等三角形的判定方法例3．如图，点C ，E ，F ，B在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB CD ∥，AE DF =，A D Ð=Ð．(1)请判断AB 和CD 的数量关系，并说明理由；(2)若AB CF =，40B Ð=°，求D Ð的度数．【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，∴B C Ð=Ð．在ABE △和DCF △中，∵A D B C AE DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴ABE △≌DCF △，∴AB CD =．（2）解：∵ABE △≌DCF △，∴AB CD =，BE CF =，B C Ð=Ð，∵40B Ð=°，例4．如图，已知,AB ED CD BF =∥.(1)现要从如下条件中再添加一个①AC EF =；②AB DE =；③A E Ð=Ð；④DF CB =得到ABC EDF △≌△．你添加的条件是：________．（填序号）(2)选择（1）中的一种情况进行证明．【解析】（1）解：②或③（任选一个填即可）（2）选择②证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，AB DE B D DF CB =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ABC EDF \△≌△；选择③证明：CD BF =Q ，CD CF BF CF \+=+，DF CB \=，∥AB ED Q ，B D \Ð=Ð，\在ABC △和EDF △中，A E B D DF CB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ABC EDF \△≌△.考点五、全等三角形的应用(1)当D 点在伞柄AP 上滑动时，处于同一平面的两条伞骨BD 和CD 相等吗？请说明理由．例6．如图，已知ABC △中，B C Ð=Ð，8AB =厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点，如果点P 在线段BC 上以每秒2厘米的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为(t 秒)(03)t £<．(1)用含t 的代数式表示(2)若点P 、Q 的运动速度相等，经过(3)若点P 、Q 的运动速度不相等，当点【解析】（1）解：由题意得：则62PC t =-；（2）解：CQP △≌(1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点别为E、(F如图①)，则PE(2)把三角尺绕着点P旋转(如图②想PE与PF的大小关系，并说明理由．Ð【解析】（1）解：∵OC平分AOB\=，PE PF考点八、倍长中线模型例8．（1）在ABC △中，46AB AC==，，AD 是BC 边上的中线，则中线AD 长范围为___________；（2）如图，在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，点E F ，分别在AB AC ，上，且DE DF ^，求证：BE CF EF +>．【解析】（1）如图，延长AD 至G ，使DG AD =，连接BG ，，则2AG AD =，Q AD 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC △和GDB △中，CD BD ADC GDB AD GD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADC GDB \△△，6BG AC \==，BG AB AG BG AB -<<+Q ，6464AG \-<<+，即210AG <<，2210AD \<<，15AD \<<，故答案为：15AD <<；（2）证明：如图，延长ED 至H 使ED DH =，连接CH ，FH ，，在BDE △和CDH △中，CD BD BDE CDH ED HD =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌BDE CDH \△△，BE CH \=，DE DF ^Q ，=ED HD ，EF HF \=，CF CH FH +>Q ，CF BE EF \+>．考点九、证明线段和差问题例9．如图所示，在ABC △，100A Ð=°，40ABC BD Ð=°，平分ABC Ð交AC 于点D ，延长BD 至点E ，使ED AD =，连接CE ．求证：BC AB CE =+．【解析】证明：如图所示，在BC 上取一点F 使得BF AB =，连接DF ，∵100A Ð=°，40ABC Ð=°，∴40ABC ACB Ð=Ð=°，∵BD 是ABC △的角平分线，∴20ABD FBD Ð=Ð=°，在ABD △和FBD △中，AB FB ABD FBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABD FBD △△，∴ADB FDB AD DF ==∠∠，，又∵AD ED ADB EDC ==，∠∠，∴1801002060ADB FDB CDE Ð=Ð=Ð=°-°-°=°，FD ED =，∴18060FDC ADB FDB EDC =°--=°=∠∠∠∠，在CDE △和CDF △中，ED FD CDE CDF CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS CDE CDF △≌△，∴CE CF =，∴BC BF CF AB CE =+=+.考点十、常见的辅助线例10．如图，△ABC 中，AB =AC ,在AB 上取一点E ，在AC 的延长线上取一点F ，使CF =BE ,连接EF ，交BC 于点D ．求证：DE =DF ．【解析】证明：作FH P AB 交BC 延长线于H ，∵FH P AB ，∴∠FHC =∠B ，∠BED =∠HFD ．又∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ．又∠ACB =∠FCH ，∴∠FHC =∠FCH ．∴CF =HF ．又∵BE =CF ，∴HF =BE ．在△DBE 和△DHF 中，,B FHC BE HFBED HFD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴△DBE ≌△DHF （ASA ）．∴DE =DF ．过关检测一、选择题1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA ¢、BB ¢的中点，只要量出A B¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A ．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等B ．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等C ．三边分别相等的两个三角形全等D ．两点之间线段最短【答案】B【解析】Q 点O 为AA ¢、BB ¢的中点，OA OA \¢=，OB OB ¢=，由对顶角相等得AOB A OB ¢¢Ð=Ð，在AOB △和A OB ¢¢△中，OA OA AOB A OB OB OB ¢¢=ìïÐ=Т¢íï=î，(SAS)≌AOB A OB ¢\¢△△，AB A B ¢\=¢，即只要量出A B ¢¢的长度，就可以知道该零件内径AB 的长度，故选B ．2．如图，AOB ADC △≌△，90O D Ð=Ð=°，70OAD Ð=°，当AO BC ∥时，则ABO Ð度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．45°D ．55°【答案】A 【解析】∵AOB ADC △≌△，∴AB AC =，BAO CAD Ð=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，设ABC ACB x Ð=Ð=，∵BC OA ∥，∴ABC BAO CAD x Ð=Ð=Ð=，180ACB CAO Ð+Ð=°，∴180ACB CAD OAD Ð+Ð+Ð=°，∵70OAD Ð=°，∴70180x x ++°=°，解得：55x =°，∴55BAO Ð=°，∵90AOB Ð=°，∴905535ABO Ð=°-°=°．故选A ．3． 如图，点A ，C ，B ，D 在同一条直线上，已知：CE DF =，ACE BDF Ð=Ð，下列条件中不能判定△≌△ACE BDF 的是A ．E FÐ=ÐB ．AC BD =C ．AE BF =D ．∥AE BF【答案】C 【解析】A 、符合全等三角形的判定定理ASA ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；B 、符合全等三角形的判定定理SAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意；C 、不符合全等三角形的判定定理，SSA 不能推出△≌△ACE BDF ，故本选项符合题意；D 、因为∥AE BF ，所以A FBD Ð=Ð，所以符合全等三角形的判定定理AAS ，能推出△≌△ACE BDF ，故本选项不符合题意．故选C ．4．如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AD 平分BAC Ð，BE AD ^交AC 的延长线于F ，E 为垂足，则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =；其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】,90BC AC ACB =Ð=°Q ，45CAB ABC \Ð=Ð=°，AD Q 平分BAC Ð，22.5BAE EAF \Ð=Ð=°，Q 在Rt ACD △与Rt BFC △中，90,90EAF F FBC F Ð+Ð=°Ð+Ð=°，EAF FBC \Ð=Ð，BC AC EAF FBC BCF ACD =Ð=ÐÐ=ÐQ ，，，∴Rt Rt ≌ADC BFC △△，AD BF \=，故①正确．②Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC △△，CF CD \=，故②正确．③Q ①中Rt Rt ≌ADC BFC△△,CF CD AC CD AC CF AF \=+=+=，22.5CBF EAF Ð=Ð=°Q ，\在Rt AEF △中，9067.5F EAF Ð=°-Ð=°，45CAB Ð=°Q ，18018067.54567.5ABF F CAB \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，ABE AFE \≌△△，A ．1个B ．2个【答案】D 【解析】①ABC ÐQ 和ACB Ð的平分线相交于点EBO CBO \Ð=Ð，BCO FCO Ð=Ð∵EF BC ∥，Q 点O 是ABC △的内心，OD 1122AEF S AE OD AF \=×+×△1()2AE AF OD =+×【答案】135【解析】如图，连接AD 、BD由图可知，在DFB △和BEC △90DF BE DFB BEC FB EC =ìïÐ=Ð=°íï=î，【答案】AD AB =或3=Ð【解析】AC Q 平分DAB Ð12\Ð=Ð，又AC AC =Q ，【答案】7【解析】∵EF AB ^，∴90FEB Ð=°，∵BF AC ^，∴90ADB Ð=°，∴90F FBE Ð+Ð=°，A Ð+【答案】15° 6【解析】（1）Q 90AEC Ð=90BED DFC \Ð=Ð=°，在Rt BDE △和Rt CDF △中，【解析】设经过xQ厘米，点==AB AC24\=厘米，12BDQABC ACBÐ=Ð\要使BPD △与CQP V 全等，必须BD CP =或BP CP =，即12164x =-或4164x x =-，解得：1x =或2x =，1x =时，4BP CQ ==，414¸=；2x =时，12BD CQ ==，1226¸=；即点Q 的运动速度是4厘米/秒或6厘米/秒，故答案为：4或6.三、解答题11．如图，在ABC △中，AB AC =，D 为BC 上一点，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E 、F ，且DE DF =．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．(1)你选择的是：△__________△≌__________；(2) 根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为AED AFD V V ≌，故答案为：AED ，AFD （答案不唯一）；（2）证明：DE AB ∵⊥，DF AC ^，AED \△和AFD △是直角三角形，在Rt AED △和Rt AFD △中，AD AD DE DF =ìí=î，()Rt Rt HL ≌AED AFD \△△．12．如图，点D E 、分别在线段,AB AC 上，AE AD =，不添加新的线段和字母，从下列条件①B C Ð=Ð，②BE CD =，③AB AC =，④ADC AEB Ð=Ð中选择一个使得≌ABE ACD △△．(1)你选择的一个条件是_____________（填写序号）(2)根据你的选择，请写出证明过程．【解析】（1）解：∵AE AD =，A A Ð=Ð，可以利用SAS,AAS,ASA 三种方法证明≌ABE ACD △△；故可以选择的条件可以是：①或③或④（2）选择①：在ABE △和ACD △中，A ABC AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS ≌ABE ACD △△；选择③在ABE △和ACD △中，AB AC A A AE AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ≌ABE ACD △△；选择④在ABE △和ACD △中，ADC AEB AE ADA A Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA ABE ACD △≌△．13．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B Ð=Ð，ACE BDF Ð=Ð．(1)求证：ADE BCF △△≌．(2)若8AB =，2AC =，求CD 的长．【解析】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，A B ACE BDF AE BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS ACE BDF \≌△△．AC BD \=．AD BC \=．在ADE V 和BCF △中AE BF A B AD BC =ìïÐ=Ðíï=î，()SAS ≌ADE BCF \△△．（2）由（1）知ACE BDF V V ≌，2BD AC \==，8AB =Q ，4CD AB AC BD \=--=，故CD 的长为4．14．如图，ABC △的外角DAC Ð的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD AB ^于D ，PE AC ^于E ，连接BP ，CP ．(1)求证：BD CE =；(2)若6cm AB =，10cm AC =，直接写出AD 的长为______．【解析】（1）证明：Q 点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP \=，AP Q 是DAC Ð的平分线，DP EP \=，在Rt BDP △和Rt CEP △中，BP CP DP EP =ìí=î，(1)【探究发现】图1中AC 与BM 的数量关系是 (2)【初步应用】如图2，在ABC △中，若12AB =(3)【探究提升】如图3，AD 是ABC △的中线，过点AF AC =，延长DA 交EF 于点P ，判断线段EF 与由（1）可知，(SAS)≌MDB ADC △△，8BM AC \==，在ABM △中，AB BM AM AB BM -<<+，128128AM \-<<+，即4220AD <<，210AD \<<，即BC 边上的中线AD 的取值范围为210AD <<；（3）2EF AD =，EF AD ^，理由如下：如图3，延长AD 到M ，使得DM AD =，连接BM ，由（1）可知，(SAS)BDM CDA △≌△，BM AC \=，AC AF =Q ，BM AF \=，由（2）可知，AC BM ∥，180BAC ABM \Ð+Ð=°，AE AB ^Q 、AF AC ^，90BAE FAC \Ð=Ð=°，180BAC EAF \Ð+Ð=°，ABM EAF \Ð=Ð，在ABM △和EAF △中，AB EA ABM EAF BM AF =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ABM EAF \△≌△，AM EF \=，BAM E Ð=Ð，AD DM =Q ，2AM AD \=，2EF AD \=，EAM BAM BAE E APE Ð=Ð+Ð=Ð+ÐQ ，90APE BAE \Ð=Ð=°，EF AD \^．。
专题02 全等三角形(专题详解)(原卷版)
专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (7)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (7)12.3角平分线的性质 (9)知识框架 (9)一、基础知识点 (9)知识点1 角平分线的性质 (9)知识点2 角平分线的判定 (9)知识点3 三角形的内心和旁心 (9)二、典型题型 (9)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (9)题型2 三角形内心的应用 (10)三、添加辅助线方法 (10)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (10)方法2 过边上的点向两边作垂线 (11)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (12)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (12)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。
对称图形要求更苛刻些。
②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。
重难专题02 全等三角形的全等模型(原卷版)
重难专题02 全等三角形的全等模型已知：ABC DEC ≌△△，90ACB Ð=o ，32B Ð=o ．(1)如图1当点D 在AB 上，ACD Ð______．(2)如图2猜想BDC V 与ACE △的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【分析】（1）由全等可知CA CD =，所以当点D 在AB 上时，CAD V 为等腰三角形，依据已知计算即可．（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．【详解】（1）解：Q ABC DEC ≌△△，\CA CD =，又Q 90ACB Ð=o ，32B Ð=o ，\903258A ADC Ð=Ð=°-°=°，\在ACD V 中，180********ACD A ADC Ð=°-Ð-Ð=°-´°=°，故答案为：64°．（2）解：如下图所示：过点B 作BDC V 的边CD 上的高BG ，过点E 作ACE △的边AC 上的高，由作图及ABC DEC ≌△△知：90BCG DCF Ð+Ð=°，90ECF DCF Ð+Ð=°，CD AC =，\BCG ECF Ð=Ð（同角的余角相等），\在Rt BCG V 与Rt ECF △中有：90BCG ECF BGC EFC BC EC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î问题发现：如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC ，BC 为直角边作等腰直角三角形，=90ACD а，CA CD =，CB CE =，连接AE ，BD ，线段AE ，BD 之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt ACD △绕点C 逆时针旋转，线段AE ，BD 交于点F ，则AE 与BD 之间的关系是否仍然成立？请说明理由．【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE ≌△DCB ，再根据全等三角形的性质即可得出答案；拓展探究：用SAS 证ACE DCB D @D ，根据全等三角形的性质即可证得．【详解】解：问题发现：延长BD ，交AE 于点F ，如图所示：∵90ACD °=∠，∴90ACE DCB °Ð=Ð=，又∵,CA CD CB CE ==,∴ACE DCB D @D （SAS ），,AE ED CAE CDB \=Ð=Ð，∵90CDB CBD °Ð+Ð=，∴90CAE CBD °Ð+Ð=，∴90AFD °Ð=，∴AF FB ^，AE BD \^，故答案为：AE BD =，AE BD ^；拓展探究：成立．理由如下：设CE 与BD 相交于点G ，如图1所示：∵90ACD BCE °Ð=Ð=，∴ACE BCD Ð=Ð，又∵CB CE =，AC CD =，∴ACE DCB D @D （SAS ），∴AE BD =，AEC DBC Ð=Ð，∵90CBD CGB °Ð+Ð=，∴90AEC EGF °Ð+Ð=，∴90Ð=，AFB°^，∴BD AE^依然成立．即AE BD=，AE BD【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．Ð+Ð=度；(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，EAB DAC(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．Ð+Ð=90°；【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到EAB DAC（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE．（3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以CD= BE + DE．【详解】（1）∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90°故答案为：90°．（2）证明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴ ∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴ AD =BE 且EA =DC由图可知：DE = EA +AD = DC +BE ．（3）∵ CD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E∴ ∠ADC=∠BEA =∠BAC =90°∵ ∠DAC +∠DCA =90°且∠DAC +∠EAB =90°∴ ∠DCA =∠EAB∵在△DCA 和△EAB 中90ADC BEA DCA EABAC AB °ìÐ=Ð=ïÐ=Ðíï=î∴△DCA ≌△EAB (AAS )∴ AD =BE 且AE =CD由图可知：AE = AD +DE∴ CD = BE + DE ．【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质．【问题提出】（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D Ð=Ð=°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð.求证：EF BE FD =+；【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC Ð+Ð=°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF Ð=°，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长CB 到M 使得BM DF =，先证ADF ABM V V ≌，再证EAM EAF V V ≌，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长CB 到M 使得BM DF =，先证ADF ABM V V ≌，再证EAM EAF V V ≌，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1）EF BE DF =+证明：延长CB 到M ，使得BM DF= 连接AM∵四边形ABCD 是正方形∴AB AD =，D ABM Ð=Ð又∵BM DF= ∴()ADF ABM SAS V V ≌ ∴AF AM =，12Ð=Ð ∵45EAF Ð=°∴1345Ð+Ð=°∴2345MAE EAFÐ+Ð=Ð=°=Ð 又∵AE AE= ∴()EAM EAF SAS V V ≌ ∴EF EM BE BM==+时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为 ；线段BD、AB、EB的数量关系为 ；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，一、单选题1．如图，在Rt ABC V 中，AB AC =，45ABC ACB Ð=Ð=°，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =°∠，若3BD =，4CE =，15ADE S =V ，则ABD △与AEC △的面积之和为（ ）A ．36B ．21C ．30D ．222．如图，将ABC V 绕点C 顺时针旋转90°得到EDC △，点A 、D 、E 在同一条直线上．若20ACB Ð=°，则ADC Ð的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°3．如图，在Rt ABC V 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且45DAE =°∠，将ADC △绕点A 顺时针旋转90°后，得到AFB △，连接EF ．以下结论：①ADC AFB △△≌；②ABE ACD △△≌；③AED AEF △△≌；④+BE DC DE =．其中正确的是（ ）A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③4．如图，在△ABC 中90ACB Ð=°，AC BC >，分别以AB 、BC 、CA 边向△ABC 外作正方形ABDE 、BCMN 、CAFG ，连接EF 、GM 、ND ，设△AEF 、△CGM 、△BND 的积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论正确的( )A ．123S S S ==B ．123S S S =<C ．132S S S =<D ．231S S S =<5．如图，在等边ABC V 中，10AC =，点O 在AC 上，且3AO =，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．96．如图，ABC V 是等边三角形，点D 为AC 边上一点，以BD 为边作等边BDE V ，连接CE ．若CD=1，CE=3，则BC=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°至AB ′，连接B 'C ，则△AB ′C 的面积为 _____．8．问题背景：如图1，点C 为线段AB 外一动点，且2AB AC ==，若BC CD =，60BCD Ð=°，连接AD ，求AD 的最大值．解决方法：以AC 为边作等边ACE △，连接BE ，推出BE AD =，当点E 在BA 的延长线上时，线段AD 取得最大值4．问题解决：如图2，点C 为线段AB 外一动点，且2AB AC ==，若BC CD =，90BCD Ð=°，连接AD ，当AD 取得最大值时，ACD Ð的度数为_________．9．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC 、BC 于点D 、F ，下列结论：①∠CDF =α，②A 1E =CF ，③DF =FC ，④AD =CE ，⑤A 1F =CE ，其中正确的是________(写出正确结论的序号)三、解答题10．（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC Ð=Ð=°，100BAD Ð=°，50EAF Ð=°，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC Ð+Ð=°，2BAD EAF ÐÐ=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．11．在BAC V 中，90BAC Ð=°，AB AC =，AE 是过A 的一条直线，BD AE ^于点D ，CE AE ^于E ，（1）如图（1）所示，若B ，C 在AE 的异侧，易得BD 与DE ，CE 的关系是DE =____________；（2）若直线AE 绕点A 旋转到图（2）位置时，（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的关系如何？请予以证明；（3）若直AE 绕点A 旋转到图（3）的位置，（BD CE >），问BD 与DE ，CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明．12．如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45°．MN 是经过点A 的直线，BD ⊥MN 于D ，CE ⊥MN 于E ．（1）求证：BD =AE ．（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G （如图2），其他条件不变，求证：BD =AE ．（3）在（2）的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ，求证：∠1=∠2．13．如图，AB AC =，AE AD =，CAB EAD a Ð=Ð=．（1）求证：AEC ADB @△△；（2）若90a =°，试判断BD 与CE 的数量及位置关系并证明；（3）若CAB EAD a Ð=Ð=，求CFA Ð的度数．14．在ABC V 中，AB AC =，90BAC Ð=°．将一个含45°角的直角三角尺DEF 按图所示放置，使直角三角尺的直角顶点D 恰好落在BC 边的中点处．将直角三角尺DEF 绕点D 旋转，设AB 交DF 于点N ，AC 交DE 于点M ，示意图如图所示．(1)【证明推断】求证：DN DM =；小明给出的思路：若要证明DN DM =，只需证明BDN ADM △≌△即可．请你根据小明的思路完成证明过程；(2)【延伸发现】连接AE ，BF ，如图所示，求证：AE BF =；(3)【迁移应用】延长EA 交DF 于点P ，交BF 于点Q ．在图中完成如上作图过程，猜想并证明AE 和BF 的位置关系．15．（1）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð．求证：EF BE FD =+；（2）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC Ð+Ð=°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD Ð=Ð．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．。
专题02 三角形中的动点综合问题(解析版)
专题02 三角形中的动点综合问题1、已知：△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，a是最小的合数，b、c满足等式：|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路径为S，移动的速度为每秒3个单位．如图1所示．（1）试求出△ABC的周长；（2）当点P移动到AC边上时，化简：|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|；（3）如图2所示，若点Q是△ABC的边上一动点，P、Q两点分别从B、C同时出发，即当点P开始移动的时候，点Q从点C开始沿着△ABC的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当t为何值时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3？此时点P在△ABC的哪条边上？解：（1）∵a是最小的合数，∴a＝4，∵|b﹣5|+（c﹣6）2＝0，∴b﹣5＝0，c﹣6＝0，∴b＝5，c＝6，∴BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝4+5+6＝15；（2）∵点P移动到AC边上，AB+AC＝6+5＝11，∴6≤S≤11，∴S﹣4＞0，3S﹣6＞0，4S﹣45＜0，∴|S﹣4|+|3S﹣6|+|4S﹣45|＝S﹣4+3S﹣6+45﹣4S＝35．（3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面，∴3t+4﹣5t＝3，解得：t＝．此时点P在AB上．②按顺时针方向移动，若Q在P的前面，∴5t﹣4﹣3t＝3，解得：t＝．此时点P在AC上．综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上．2、如图（1）AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝12cm，AC＝BD＝8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由；（2）在（1）的条件下，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP与△BPQ全等，理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝4cm，则BP＝12﹣4＝8cm，∴BP＝AC＝8cm，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．（2）PC⊥PQ，证明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即线段PC与线段PQ垂直．（3）①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，∴12﹣2t＝8，解得，t＝2（s），则x＝2（cm/s）．②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，则2t＝×12，解得，t＝3（s），则x＝8÷3＝（cm/s），故当t＝2s，x＝2cm/s或t＝3s，x＝cm/s时，△ACP与△BPQ全等．3、在平面直角坐标系中，B（2，0），A（6，6），M（0，6），P点为y轴上一动点．（1）当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S△PAB＝13，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当点P在y的正半轴上运动时（不包括O，M），∠PAM，∠APB，∠PBO三者之间是否存在某种数量关系，如果有，请利用所学的知识找出并证明；如果没有，请说明理由．解：（1）存在，设P（0，m）．∵S△PAB＝13，四边形AMOB是直角梯形，∴•（6+2）•6﹣•m•2﹣•（6﹣m）•6＝13，∴m＝，∴P（0，）．（2）①如图2，当点P在线段OM上时，∠APB＝∠PAM+∠PBO；理由如下：作PQ∥AM，则PQ∥AM∥ON，∴∠1＝∠PAM，∠2＝∠PBO，∴∠1+∠2＝∠PAM+∠PBO，即∠APB＝∠PAM+∠PBO；②如图3，当点P在OM的延长线上时，∠PBO＝∠PAM+∠APB．理由如下：∵AM∥OB，∵∠4＝∠PAM+∠APB，∴∠PBO＝∠PAM+∠APB．4、如图（1），已知A（a，0），B（0，b），且满足a＝．（1）求A、B两点坐标；（2）在（1）的条件下，Q为直线AB上一点，且满足S△AOQ＝2S△BOQ，求Q点的纵坐标；（3）如图（2），E点在y轴上运动，且在B点上方，过E作AB的平行线，交x轴于点C，∠CEO的平分线与∠BAO的平分线交于点F．问：点E在运动过程中，∠F的大小是否发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出它的值．解：（1）由题意可得：b﹣4≥0，4﹣b≥0，∴b＝4，则a＝﹣6，∴A（﹣6，0），B（0，4）；（2）∵A（﹣6，0），B（0，4），∴S△AOB＝×4×6＝12，∵Q在直线AB上，所以点Q位置有3种可能，设点Q到x轴的距离为h，当Q在线段AB上时，∵S△AOQ＝2S△BOQ，∴S△AOQ＝8，S△BOQ＝4，∴×6×h＝8，解得，h＝，∴Q点纵坐标为；当Q在点B上方时，∵S△AOQ＝2S△BOQ，S△AOQ＝S△AOB+S△BOQ，∴S△AOB＝S△BOQ，∴S△AOQ＝24，∴×6×h＝24，解得，h＝8，∴Q点纵坐标为8；当Q在A点下方时，不符合题意，综上所述，Q点纵坐标为或8；（3）∠F的大小不变，理由如下：∵AB∥CE，∴∠BAO＝∠ECO，∠ADF＝∠CEF，∵∠EOC＝90°，∴∠ECO+∠CEO＝90°，∵AF平分∠BAO，EF平分∠CEO，∴∠DAF＝∠BAO，∠CEF＝∠CEO，∴∠DAF＝∠ECO，∠ADF＝∠CEO ∴∠DAF+∠ADF＝∠ECO+∠CEO＝（∠ECO+∠CEO）＝×90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠DAF+∠ADF）＝180°﹣45°＝135°．5、如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，AD为BC边上的高，点P从点B以每秒个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，其中一个点到达终点时，两点同时停止．（1）求BC的长；（2）设△PDQ的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在动点P、Q的运动过程中，是否存在PD＝PQ，若存在，求出△PDQ的周长，若不存在，请说明理由．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴∠B＝30°，∴AD＝AB＝2，∴BD＝＝＝2，∴BC＝2BD＝4．（2）如图2中，作QH⊥CD于H．∵AB＝AC，∠ABC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵CQ＝t，∴QH＝CQ＝t，当0＜t＜2时，S＝•PD•QH＝•（2﹣t）•t＝﹣t2+t．当2＜t≤4时，同法可得S＝t2﹣t，综上所述，S＝．（3）当DP＝DQ时，如图3中，作QH⊥BC于H．由题意QH＝t，CH＝t，PC＝4﹣t，∴PH＝CH﹣PC＝t﹣（4﹣t）＝t﹣4，∴PQ＝＝，∵PD＝PQ，∴t﹣2＝，解得t＝3，经检验t＝3是方程的解，此时PH＝DH＝，∵QH⊥DP，∴QD＝QP，∴PD＝PQ＝DQ＝，∴△PQD的周长为3．5、已知直线a：y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C．将直线a竖直向下平移7个单位后得到直线b，直线b交直线AD：y＝x+2于点E．（1）若点Q为直线x轴上一动点，是否存在点Q，使△QDE的周长最小，若存在，求△QDE周长的最小值及点Q的坐标：（2）已知点M是第一象限直线a上的任意一点，过点M作直线c⊥x轴，交直线b于点N，H为直线AD上任意一点，是否存在点M，使得△MNH成为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标．解：（1）存在．理由：∵直线y＝2x+4分别与x、y轴交于点A、C，令x＝0，得到y＝4，令y＝0，得到x＝﹣2，∴A（﹣2，0），C（0，4），∵直线y＝2x+4竖直向下平移7个单位后得到直线b，∴直线b的解析式为y＝2x﹣3，∵直线y＝x+2交x轴于A，交y轴于D，令x＝0，得到y＝2，∴D（0，2），由，解得，∴E（5，7），如图1中，作点D关于x轴的对称点D′，连接ED′交x轴于Q，连接DQ，此时△DEQ的周长最小．∵D′（0，﹣2），E（5，7），∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，∴Q（，0），∵DE＝＝5，ED′＝＝，∴△DEQ的周长的最小值＝DE+DQ+EQ＝DE+QD′+QE＝DE+ED′＝5+．（2）如图2中，存在．理由：当点N与E（5，7）重合时，作MH∥x轴交直线y＝x+2于H，此时△MNH是等腰直角三角形，取EH的中点H′，连接MH′，此时△MNH′也是等腰直角三角形，∵M（5，14），MH∥x轴，∴H（12，14），∵E（5，7），EH′＝HH′，∴H′（，）．综上所述，满足条件的点H的坐标为（12，14）或（，）．6、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），现将点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到点C，点D在点C的下方，CD∥x轴，且CD的长度为4，连接AC，BD，CD．（1）填空：点D的坐标为．（2）若P点在直线BD上运动，连接PC、PO．①若P在线段BD上（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围．②若P在直线BD上运动，请在考卷的图中画出相应的示意图，并写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．解：（1）∵点A，B的坐标分别为（0，1），（0，﹣3），∴AB＝4，由题意得：C（2，0），∵CD＝4，AB∥CD，∴D（2，﹣4）．故答案为（2，﹣4）；（2）①如图1中，S梯形OCDB＝×（3+4）×2＝7，当点P运动到点B时，S△POC最小，S△POC的最小值＝×3×2＝3，此时S△CDP+S△BOP＝4，当点P运动到点D时，S△POC最大，S△POC的最大值＝×4×2＝4，S△CDP+S△BOP＝3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠DCP+∠BOP＝∠EPC+∠EPO＝∠CPO；当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，∵CD∥AB，∴CD∥PE∥AB，∴∠DCP＝∠EPC，∠BOP＝∠EPO，∴∠EPO﹣∠EPC＝∠BOP﹣∠DCP，∴∠BOP﹣∠DCP＝∠CPO；同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP＝∠CPO．7、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点D在BC上，且CD＝3cm．动点P，Q同时从点C出发，均以1cm/s的速度运动，其中点P沿CA向终点A运动；点Q沿CB向终点B运动．过点P作PE∥BC，分别交AD，AB于点E，F，设动点Q运动的时间为t秒．（1）求DQ的长（用含t的代数式表示）；（2）以点Q，D，F，E为顶点围成的图形面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）连接PQ，若点M为PQ中点，在整个运动过程中，直接写出点M运动的路径长．解：（1）当0≤t≤3时，DQ＝3﹣t；当3＜t≤5时，DQ＝t﹣3．（2）a．当0≤t≤3时，如图1，∵PC＝t，AC＝4，∴，，，∴．b．当3＜t≤4时，如图2，∴．c．当4＜t≤5时，如图3，∴．综上所述（3）点M运动的路径长为2+，如图4中，在CB上取一点J，使得CJ＝CA，连接AJ，作CR⊥AJ于R，RT∥BC交AB于T．由题意点M的运动路径是C→R→T，∵CA＝CJ＝4，CR⊥AJ，∠ACJ＝90°，∴AJ＝4，AR＝RJ，∴CR＝AJ＝2，∵RT∥BJ，AR＝RJ，∴AT＝TB，∴RT＝BJ＝，∴点M的运动路径的长为2+．8、几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9、如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt△ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD＝45°，∵CD⊥x轴，∴CD∥y轴，∴∠ADC＝∠OAD＝45°；（3）A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化，理由：设点A的坐标为（0，a），①当点A在y轴正半轴上时，连接CE交y轴于F，∴点C，E在y轴的两侧，即点E在y轴左侧，同（1）的方法得，C（a，a+1），∵△OAE是等腰直角三角形，∴AE⊥OA，∴E（﹣a，a），∴直线CE的解析式为y＝x+a+，∴F（0，a+），∴AF＝a+﹣a＝，∵OB＝1，∴＝2；②当点A在y轴负半轴上时，同①的方法得，C（﹣a，a﹣1），E（a，a），∴直线CE的解析式为y＝x+a﹣，∴F（0，a﹣），∴AF＝，∴＝2．即A点在运动过程中S△AOB：S△AEF的值不会发生变化．10、已知：Rt△ABC中，∠CAB＝90°，CA＝BA，Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，连接CE、BD．（1）如图1，求证：CE＝BD；（2）如图2，当D在AC上，E在BA的延长线上，直线BD、CE相交于点F，求证：CE⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，若D是AC中点，BF＝6，求△BEF的面积．（1）证明：∵∠EAC＝∠DAE+∠DAC＝90°+∠DAC，∠DAB＝∠CAB+∠DAC＝90°+∠DAC，∴∠EAC＝∠DAB，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴CE＝BD；（2）证明：在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠ECA＝∠DBA，∵∠CDB为△CFD、△ADB的外角，∴∠CDB＝∠ECA+∠CFD＝∠DBA+∠BAD，∴∠CFD＝∠BAD＝90°，∴CE⊥BD；（3）解：连接AF，过点A作AP⊥CE于P、AQ⊥BF于Q，过点F作FR⊥BE于R，如图3所示：则∠APC＝∠AQB＝90°，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB（AAS），∴AP＝AQ，∵S△AEF＝AE•FR＝EF•AP，S△ABF＝AB•FR＝BF•AQ，∴＝＝，∵D是AC中点，∴＝，∵AD＝AE，AC＝AB，∴＝＝＝，∴EF＝BF＝×6＝3，∵BF⊥EF，∴S△BEF＝BF•EF＝×6×3＝9．11、如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点作与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）当t＝1时，求△CPQ的面积；（3）当P在OC上，Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．解：（1）∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，∴∠B＝30°，∴OA＝OB＝，由勾股定理得：AB＝3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，∴OC＝BC，在△AOC中，AO2+AC2＝CO2，∴（）2+（3﹣OC）2＝OC2，∴OC＝2＝BC，∴OC＝2，BC＝2．（2）如图1﹣1中，作CH⊥PQ于H．当t＝1时，P在BC上，Q在OC上，CQ＝OQ＝PC＝PB＝1，∴PQ∥OB，∴∠CPQ＝∠B＝30°，∵CQ＝CP，CH⊥QP，∴QH＝PH，∴CH＝PC＝，QH＝PH＝CH＝，∴QP＝，∴S△PQC＝•PQ•CH＝××＝．（3）如图（2），∵ON⊥OB，∴∠NOB＝90°，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，∴∠NOC＝90°﹣30°＝60°，①OM＝PM时，∠MOP＝∠MPO＝30°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠MPO＝90°，∴OP＝2OQ，∴2（t﹣2）＝4﹣t，解得：t＝，②PM＝OP时，此时∠PMO＝∠MOP＝30°，∴∠MPO＝120°，∵∠QOP＝60°，∴此时不存在；③OM＝OP时，过P作PG⊥ON于G，OP＝4﹣t，∠QOP＝60°，∴∠OPG＝30°，∴GO＝（4﹣t），PG＝（4﹣t），∵∠AOC＝30°，OM＝OP，∴∠OPM＝∠OMP＝75°，∴∠PQO＝180°﹣∠QOP﹣∠QPO＝45°，∴PG＝QG＝（4﹣t），∵OG+QG＝OQ，∴（4﹣t）+（4﹣t）＝t﹣2，解得：t＝．综合上述：当t为或时，△OPM是等腰三角形．。
专题2： 倍长中线模型构造全等三角形-教师版
专题02 倍长中线模型构造全等三角形1、已知AD是△ABC中线，AB＝12，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围分别是（）A．2＜AD＜10B．4＜AD＜10C．4＜AD＜20D．2＜AD＜12解：如图所示，在△ABC中，则AB-AC＜BC＜AB+AC，即12-8＜BC＜12+8，4＜BC＜20，延长AD至点E，使AD=DE，连接BE，△AD是△ABC的边BC上的中线，△BD=CD，又△ADC=△BDE，AD=DE△△ACD△△EBD（SAS），△BE=AC，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，即AB-AC＜AE＜AB+AC，12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，△2＜AD＜10．故选：A．2.在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（）A．1＜AB＜11B．4＜AB＜13C．4＜AB＜16D．11＜AB＜16【详解】如图，延长AD至E，使DE＝AD，△AD是△ABC的中线，△BD＝CD，在△ABD和△ECD中，BD＝CD，△ADB＝△EDC，AD＝DE，△△ABD△△ECD（SAS），△AB＝CE，△AD＝5，△AE＝5＋5＝10，△10＋6＝16，10−6＝4，△4＜CE＜16，即4＜AB＜16．故选：C．3.在ABC △中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围是（ ）A ．129AB <<B ．424AB <<C ．524AB <<D ．919AB <<解：如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，△AD 是△ABC 的中线，△BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CDADB EDC AD DE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD△△ECD （SAS ），△AB ＝CE ，△AD ＝7，△AE ＝7＋7＝14，△14＋5＝19，14−5＝9，△9＜CE ＜19，即9＜AB ＜19．故选：D ．4、AD 是∆ABC 中 BC 边上的中线，若 AB = 3 ， AD = 4 ，则 AC 的取值范围是（ ）A ．1 < AC < 7B ．0.5 < AC < 3.5 C ．5 < AC < 11D ．2.5 < AC < 5.5【详解】如图，延长AD 到E ，使DE =AD =4，△AD 是BC 边上的中线，△BD =CD ,在△ABD 和△ECD 中，△BD CDADB EDCDE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△ECD (SAS )，△CE =AB =3，△AB =3，AD =4，△AE −CE <AC <AE +EC ，即8−3<AC <11，△5<AC <11，故选C.5、已知△ABC ，AB =4，AC =2，BC 边上的中线AD 长度可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【详解】如图所示，AD 为BC 边上的中线，BD=CD ，延长AD 至E ，使得AD=DE ，连接CE ，则△ADB=△CDE ，△()ABD ECD SAS ≌，△AB=CE=2，则在△ACE 中，AC CE AE AC CE -<<+，即：26AE <<，△13AD <<，B 选项符合要求，故选：B ．6.如图，AD 是ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝5，AC ＝8，则AD 的取值范围是_____．解：如图，延长AD 到E ，使DE=AD ，△AD 是BC 边上的中线，△BD=CD ，在△ABD 和△ECD 中,△BD CD ADB EDC DE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD△△ECD(SAS), CE=AB ，△AB=5，AC=8，△8-5<AE<8+5，即3<2AD<13，△1.5<AD<6.5，故答案为：1.5<AD<6.5．7如图，ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 是AD 上一点，连接BE 并延长交AC 于F ，BE AC =，且9BF =，6CF =，那么AF 的长度为__．【详解】如图：延长AD 至G 使AD DG =，连接BG在ACD ∆和GBD ∆中：CD BD ADC BDG AD DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ACD GBD ∆≅∆△,CAD G AC BG ∠=∠=△BE AC =△BE BG =△G BEG ∠=∠ △BEG AEF ∠=∠△AEF EAF ∠=∠ △EF AF =△AF CF BF EF +=- 即69AF EF +=-△32AF =8如图所示，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是△ABC 的中线，若AD 的长为偶数，则AD ＝_____．【详解】解：延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接CE ，在△ABD 与△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△ECD （SAS ），△CE ＝AB ＝6，在△ACE 中，CE ﹣AC ＜AE ＜CE +AC ，即2＜2AD ＜10，△1＜AD ＜5，△AD 为偶数，△AD ＝2或4，9如图，已知：CD AB =，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD △的中线，求证：2AC AE =．【解析】延长AE 至F ，使EF =AE ，连接BF ．在ADE 与FBE 中，AE FE AED FEB DE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADE FBE ∴≌，BF DA ∴=，FBE ADE ∠=∠，ABF ABD FBE ∠=∠+∠，BAD BDA ∠=∠，ABF ABD ADB ABD BAD ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠．在ABF 与CDA 中，AB CD ABF CDA BF DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABF CDA ∴≌，AF AC ∴=．2AF AE =，2AC AE ∴=．10在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ， △AD 是ABC ∆的中线，△DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中， AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，△ADC MDB ∆≅∆，△BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜， △7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，△16AD ＜＜； （2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅，△M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF =，CAD AFE ∴∠=∠， MFB AFE ∠=∠，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠， BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥，△90DEF DEC ==︒∠∠，△在Rt DEF △和DEC Rt △中， EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，△Rt DEF △△DEC Rt △，FD CD ∴=，△FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．。
专题02 全等模型-一线三等角(K字)模型(解析版)
专题02全等模型--一线三等角（K 字）模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（一线三等角（K 字）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（同侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE⇒≅ 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）探究：如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ≌ ．应用：如图②，在ABC 中，AB AC =，,,D A E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠．求出,DE BD 和CE 的关系．拓展：如图①中，若10DE =，梯形BCED 的面积______．【答案】探究：证明过程见详解；应用：DE BD CE =+，理由见详解；拓展：50【分析】探究：90BAC ∠=︒，AB AC =，可知ABC 是等腰直角三角形，BD m ⊥，CE m ⊥，可知90BDA AEC ∠=∠=︒，可求出BAD ACE ∠=∠，根据角角边即可求证；应用：AB AC =，,,D A E 三点都在(1)如图①，若AB AC ⊥，则BD 与AE 的数量关系为___________，CE 与AD 的数量关系为(2)如图②，判断并说明线段BD ，CE 与DE 的数量关系；(3)如图③，若只保持7BDA AEC BD EF cm ∠=∠==，，点A 在线段DE 上以2cm/s 的速度由点例3．（2022·陕西七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【答案】（1）7；（2）S△BCD＝8；（3）S△BCD＝6．【分析】(1)∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，据同角的余角相等，可得∠ACB＝∠D，由已知条件可证△ABC≌△CED，运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作40ADE ∠=︒，DE 交线段AC 于E ．(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=_____︒，BAD ∠=_____︒，AED =∠_____︒；点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变_____（填“大”或“小”）；(2)当DC 等于多少时，ABD DCE ≌△△，请说明理由；(3)在点D 的运动过程中，ADE V 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出BDA ∠的度数，若不可以，请说明理由．【答案】(1)25，25，65，小(2)当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由见解析；(3)当BDA ∠的度数为110︒或80︒时，ADE V 的形状是等腰三角形．【分析】（1）先求出ADC ∠的度数，即可求出EDC ∠的度数，再利用三角形的外角性质即可求出AED ∠的度数，根据点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，即可得到答案；（2）根据全等三角形的判定条件求解即可；（3）先证明当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，然后分这两种情况讨论求解即可；【详解】（1）解：∵115BDA ∠=︒，∴18011565ADC ∠=︒-︒=︒，∵40ADE ∠=︒，∴25EDC ADC ADE ∠︒=∠-∠=，∵ADC ADE EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∴25BAD EDC ∠=∠=︒，∴65AED EDC C ︒∠=∠+∠=；∵点D 从B 向C 运动时，BAD ∠逐渐增大，而B ∠不变化，180B BAD BDA ∠+∠+∠=︒，∴点D 从B 向C 运动时，BDA ∠逐渐变小，故答案为：25，25，65，小；（2）解：当2DC =时，ABD DCE ≌△△，理由：∵40B C ∠=∠=︒，∴140DEC EDC ∠+∠=︒，又∵40ADE ∠=︒，∴140ADB EDC ∠+∠=︒，∴ADB DEC ∠=∠，又∵2AB AC ==，∴()AAS ABD DCE ≌△△；（3）解：当BDA ∠的度数为110°或80°时，ADE V 的形状是等腰三角形，理由：∵40C ADE ∠=∠=︒，AED C EDC ∠=∠+∠，∴AED ADE ∠>∠，∴当ADE V 时等腰三角形，只存在AD ED =或AE DE =两种情况，模型2.一线三等角（K 型图）模型（异侧型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
部编数学八年级上册专题02三角形的全等六大重难模型(期末真题精选)(解析版)含答案
专题02 三角形的全等六大重难模型一．一线三等角模型1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点B 的坐标是（0，3），把线段BA 绕点B 逆时针旋转90°后得到线段BC ，则点C 的坐标是（ ）A ．（3，4）B ．（4，3）C ．（4，7）D ．（3，7）试题分析：过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CBD +∠DCB ＝90°，再利用旋转的性质可得CB ＝BA ，∠CBA ＝90°，然后利用平角定义可得∠CBD +∠ABO ＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠ABO ＝∠DCB ，进而可得△BOA ≌△CDB ，最后利用全等三角形的性质可得CD ＝BO ＝3，DB ＝OA ＝4，从而求出DO ＝7，即可解答．实战训练答案详解：解：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD+∠DCB＝180°﹣∠CDB＝90°，∵点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋转得：CB＝BA，∠CBA＝90°，∴∠CBD+∠ABO＝180°﹣∠ABC＝90°，∴∠ABO＝∠DCB，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△BOA≌△CDB（AAS），∴CD＝BO＝3，DB＝OA＝4，∴DO＝DB+OB＝4+3＝7，∴点C的坐标是（3，7），所以选：D．2．已知正方形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边OB上一点，且点M的坐标为（a，b）．将正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转2022秒后，点M的坐标为（ ）A．（b，a）B．（﹣a，b）C．（﹣b，a）D．（﹣a，﹣b）试题分析：先确定此时点M对应的位置即点M所在的位置，如图，过点M，M′分别作ME⊥x 轴于点E，MF⊥x轴于点F，证明△M′OF≌△OME，得到M′F＝OE＝a，OF＝ME＝b，由此求解即可．答案详解：解：∵正方形OBCD绕原点O顺时针旋转，每秒旋转45°，∴旋转8秒恰好旋转360°．∵2022÷8＝252……6，∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次．∵6×45°＝270°，∴此时点M对应的位置即点M’所在的位置，如图．过点M，M'分别作ME⊥x轴于点E，M'F⊥x轴于点F，∴∠M′FO＝∠OEM＝90°，∴∠EOM+∠EMO＝90°，∵四边形OBCD是正方形，∴∠BOD＝90°，∴∠FOM′+∠MOE＝90°，∴∠M′OF＝∠OME．在△M′OF和△MOE中，∠FM'O=∠OEM∠M′OF=∠OME，OM=OM′∴△M′FO≌△OEM（AAS），∵点M的坐标为（a，b），∴OF＝ME＝b，M′F＝OE＝a．又点M′在第二象限，∴旋转2022秒后，点M的坐标为（﹣b，a）．所以选C．3．问题提出在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上（不同时在点A），连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，探究AF与BC的位置关系．问题探究（1）先将问题特殊化，如图1，点D，E分别与点B，C重合，直接写出AF与BC的位置关系；（2）再探讨一般情形，如图2，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展如图3，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AB的中点，点E在边AC上，连接DE，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，点G是点C关于直线AB的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求AEEC的值．试题分析：（1）先证CF∥AB，再证AB＝CF，则四边形ABCF是平行四边形，即可得出结论；（2）过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M，证△AEF≌△MED（SAS），得∠EAF＝∠EMD＝45°，则∠EAF＝∠BCA，即可得出结论；（3）连接AF、CF，过E作EG⊥AB于点G，延长GE交CF于点H，证四边形ABCF是正方形，得AB∥CF，∠BCF＝90°，∠ACF＝45°，再证△EFH≌△DEG（AAS），得EH＝DG，然后证△ECH是等腰直角三角形，得EH＝CH，进而得AG＝3BG，即可解决问题．答案详解：问题探究（1）解：AF∥BC，理由如下：由旋转的性质得：∠DEF＝90°，DE＝FE，∵∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠DEF＝180°，∴CF∥AB，∵AB＝BC，∴AB＝CF，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC；（2）证明：如图2，过E作EM⊥AC交AB的延长线于点M，则∠AEM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∴△AEM是等腰直角三角形，∴ME＝AE，∠AME＝45°，由旋转的性质得：FE＝DE，∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠AEM，∴∠DEF﹣∠AED＝∠AEM﹣∠AED，即∠AEF＝∠MED，∴△AEF≌△MED（SAS），∴∠EAF＝∠EMD＝45°，∴∠EAF＝∠BCA，∴AF∥BC；问题拓展解：如图3，连接AF、CF，过E作EG⊥AB于点G，延长GE交CF于点H，则∠EGD＝90°，由（1）可知，AF∥BX，∴∠DAF＝∠DBG，∠AFD＝∠G，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，∴△ADF≌△BDG（AAS），∴AF＝BG，∵点G是点C关于直线AB的对称点，∴BG＝BC，∴AF＝BG，∴四边形ABCF是平行四边形，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCF是正方形，∴AB∥CF，∠BCF＝90°，∠ACF＝45°，∵GH⊥AB，∴GH⊥CF，∴BG＝CH，∠CHE＝∠FHE＝90°，∴∠EFH+∠FEH＝90°，由旋转的性质得：FE＝DE，∠DEF＝90°，∴∠DEG+∠FEH＝90°，∴∠EFH＝∠DEG，∵∠EGD＝∠FHE＝90°，∴△EFH≌△DEG（AAS），∴EH＝DG，∵∠ACF＝45°，∴△ECH是等腰直角三角形，∴EH＝CH，∴DG＝BG=12BD=12AD，∴AG＝3BG，∵∠EGD＝∠ABC＝90°，∴EG∥BC，∴AEEC=AGBG=3．4．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A，B，C都是格点．（1）小明发现图2中∠ABC是直角，请在图1补全他的思路；（2）请借助图3用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．先利用勾股定理求出△ABC的三条边长，可得AB＝ 10 ，BC＝ 10 ，AC＝ 25 ．从而可得三边数量关系为 AB2+BC2＝AC2 ，根据 勾股定理的逆定理 ，可以证明∠ABC是直角．试题分析：（1）先利用勾股定理求出AB，BC，AC的长，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；（2）根据题意可得：AD＝BE＝3，BD＝CE＝1，∠ADB＝∠BEC＝90°，从而利用SAS可得△ADB≌△BEC，然后利用全等三角形的性质可得∠ABD＝∠BCE，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCE+∠EBC＝90°，从而可得∠ABD+∠EBC＝90°，最后利用平角定义进行计算即可解答．答案详解：解：（1）由题意得：BC=AC=AB根据勾股定理的逆定理：△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，A B2+BC2=AC2，勾股定理的逆定理；（2）由题意得：AD＝BE＝3，BD＝CE＝1，∠ADB＝∠BEC＝90°，在△ADB和△BEC中，AD=BE∠ADB=∠BEC，BD=CE∴△ADB≌△BEC（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，∵∠BEC＝90°，∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°，∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°，∴∠ABC是直角．5．如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．试题分析：根据已知可得∠CAF+∠BAE＝90°，根据垂直定义可得∠CFA＝∠BEA＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C+∠CAF＝90°，从而利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAE，即可解答．答案详解：证明：∵∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠CFA＝∠BEA＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAE，∴△ABE≌△CAF（AAS）．6．【问题提出】（1）已知：如图1，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，点C在线段DE上，AC＝BC且AC⊥BC，求证：△ADC≌△CEB．【问题解决】（2）如图2，点D，C，E在直线l上．点A，B在l的同侧，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5cm，CD＝6cm，求CE的长．试题分析：（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCE，然后利用AAS即可证明结论；（2）作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，根据等腰三角形的性质得CG＝3cm，利用勾股定理得AG ＝4cm，由（1）同理得，△ACG≌△CBH（AAS），得CH＝AG＝4cm，从而得出答案．答案详解：（1）证明：∵AD⊥DE于点D，BE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠A＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠D=∠E∠A=∠BCE，AC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）解：作AG⊥CD于G，BH⊥CE于H，∵AD＝AC，AG⊥CD，在Rt △ACG 中，由勾股定理得，AG ＝4cm ，由（1）同理得，△ACG ≌△CBH （AAS ），∴CH ＝AG ＝4cm ，∵BC ＝BE ，BH ⊥CE ，∴CE ＝2CH ＝8cm ．二．手拉手模型--旋转7．如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC ＝DC ，BC ＝EC ，∠ACD ＝∠BCE ，AE 、BD 交于点P ．有下列结论：①AE ＝DB ；②∠APB ＝2∠ADC ；③当AC ＝BC 时，PC ⊥AB ；④PC 平分∠APB ．其中正确的是 ①②③④ ．（把你认为正确结论的序号都填上）试题分析：由“SAS ”可证△ACE ≌△DCB ，可得AE ＝DB ，可判断①；由△ACE ≌△DCB ，可得∠CAE ＝∠CDB ，由AC ＝DC ，可得∠CAD ＝∠ADC ，利用三角形内角和定理即可判断②；由AC ＝BC ，AC ＝DC ，BC ＝EC ，可得：AC ＝BC ＝DC ＝EC ，进而得出∠CAE ＝∠CBD ，再运用等腰三角形性质即可判断③；由全等三角形的性质可得S △ACE ＝S △DCB ，由三角形的面积公式可求CG ＝CH ，由角平分线的性质可得PC 平分∠APB ，可判断④，即可求解．答案详解：解：∵∠ACD ＝∠BCE ，∴∠ACD +∠DCE ＝∠BCE +∠DCE ，即∠ACE ＝∠DCB ，在△ACE 和△DCB 中，AC =DC∠ACE =∠DCB EC =BC，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE ＝DB ，故①正确；∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAE ＝∠CDB ，∵∠ACD ＝∠CDB +∠CBD ，∴∠ACD ＝∠CAE +∠CBD ，∵∠CAE +∠CBD +∠APB ＝180°，∴∠ACD +∠APB ＝180°，∵AC ＝DC ，∴∠CAD ＝∠ADC ，∵∠ACD +∠CAD +∠ADC ＝180°，∴∠ACD +2∠ADC ＝180°，∴∠APB ＝2∠ADC ，故②正确；∵AC ＝BC ，AC ＝DC ，BC ＝EC ，∴AC ＝BC ＝DC ＝EC ，∴∠CAE ＝∠CBD ，∴PA ＝PB ，∵AC ＝BC ，∴PC ⊥AB ，故③正确；如图，连接PC ，过点C 作CG ⊥AE 于G ，CH ⊥BD 于H ，∵△ACE ≌△DCB ，∴S △ACE ＝S △DCB ，AE ＝BD ，∴12×AE ×CG =12×DB ×CH ，∴CG ＝CH ，∵CG ⊥AE ，CH ⊥BD ，∴PC 平分∠APB ，故④正确，所以答案是：①②③④．8．如图所示，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE ，若∠BAD ＝α，则∠BCE ＝ α ．试题分析：因为△ABC和△BDE均为等边三角形，由等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠EBD，BE＝BD．再利用角与角之间的关系求得∠ABD＝∠EBC，则△ABD≌△EBC，故∠BCE可求．答案详解：解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°，BE＝BD，∵∠ABD＝∠ABC+∠DBC，∠EBC＝∠EBD+∠DBC，∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，AB=BC∠ABD=∠EBC，BE=BD∴△ABD≌△EBC（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝α．所以答案是：α．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，则线段CP的最小值 3 ．试题分析：延长AC到点E，使CE＝AC，可得△ABE是等边三角形，利用SAS证明△BAD≌△EAP，得∠AEP＝∠ABD＝30°，当CP⊥EP时，CP最小，从而解决问题．答案详解：解：延长AC到点E，使CE＝AC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴BC垂直平分AE，∠BAE＝60°，∴BA＝BE，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，∴∠PAE＝∠DAB，∴△BAD≌△EAP（SAS），∴∠AEP＝∠ABD＝30°，∴当CP⊥EP时，CP最小，∴CP=12CE=12AC=3，所以答案是：3．10．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC＝∠BDC＝α．（1）【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 60° ；（2）【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；（3）【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出CDAB的值（用k的代数式表示）．试题分析：（1）在BD上取点E，使BE＝CD，证明△ABE≌△ACD（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，由等边三角形的性质可得出答案；（2）在DC的延长线上取一点H，使BD＝BH，证明△ABD≌△CBH（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠H＝α，则可得出结论；（3）延长DC至H，使CH＝AC，连接BH，证明△ABC≌△HBC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝BH，设ED＝m，则CE＝2m，证出△BDH为等边三角形，由等边三角形的性质得出DH＝BH＝AB＝km+2m，则可得出答案．答案详解：（1）解：在BD上取点E，使BE＝CD，∵AB＝BC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠ADB＝60°．所以答案是：60°；（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使BD＝BH，∴∠BDH＝∠H＝α，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∠AOB＝∠COD，∴∠ABD＝∠ACD，∴∠BCD＝∠ACD+α＝α+∠CBH，∴∠ACD＝∠CBH＝∠ABD，∴△ABD≌△CBH（SAS），∴∠ADB＝∠H＝α，∴∠ADB＝∠BDC；（3）解：延长DC至H，使CH＝AC，连接BH，∵∠ACB+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，∴∠ACB＝∠BCH，∵AC＝CH，BC＝BC，∴△ABC≌△HBC（SAS），∴AB＝BH，∴∠H＝∠BAC＝∠BDC＝60°，∵CE⊥BD，∠ECD＝30°，∴CD＝2ED，设ED＝m，则CD＝2m，∵AC＝kED＝km，∴CH＝km，∴DH＝2m+km，又∵∠BDH＝∠H＝60°，∴△BDH为等边三角形，∴DH＝BH＝AB＝km+2m，∴CDAB=2mkm2m=2k2．三．倍长中线模型11．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥BC于点M，点D在AM上，且DM＝CM，F是BC 的中点，连接FD并延长，在FD的延长线上有一点E，连接CE，且CE＝CA，∠BDF＝36°，则∠E＝ 36° ．试题分析：先证明△AMC≌△BMD，延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．再证△BFG≌△CFE可得BG＝CE，∠G＝∠E，从而得BD＝BG＝CE，即可得∠BDG＝∠G＝∠CEF．答案详解：解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，∴∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，在△BMD和△AMC中，DM=CM∠BMD=∠AMCBM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．如图所示：∵△BMD≌△AMC∴BD＝AC，又∵CE＝AC，∴BD＝CE，在△BFG和△CFE中，BF=FC∠BFG=∠EFC，FG=FE∴△BFG≌△CFE（SAS），∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝∠CEF．∴∠BDF＝∠CEF，∴∠E＝36°．所以答案是：36°．12．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，D是BC的中点，AD的取值范围为 1＜AD＜5 ．试题分析：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA，得出AC＝BE，再根据三角形的三边关系得到结论．答案详解：解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD与△EBD中，BD=CD∠BDE=∠ADC，AD=DE∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，∵AB＝6，AC＝4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．所以答案是：1＜AD＜5．13．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．试题分析：（1）由已知得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB＝CG，即可得到结论．答案详解：解：（1）1＜AD＜5．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．（3）如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中，CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．四．平行+中点模型14．如图，公园有一条“Z”字形道路AB﹣BC﹣CD，其中AB∥CD，在E、M、F处各有一个小石凳，且BE＝CF，M为BC的中点，连接EM、MF，请问石凳M到石凳E、F的距离ME、MF是否相等？说出你推断的理由．试题分析：首先连接EM、MF，再证明△BEM≌△CFM可得ME＝MF．答案详解：解：石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．理由如下：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∵M为BC中点，∴BM＝MC．在△BEM和△CFM中，BE=CF∠B=∠C，BM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS），∴ME＝MF．即石凳M到石凳E、F的距离ME、MF相等．15．△ABC中，P是BC边上的一点，过P作直线交AB于M，交AC的延长线于N，且PM＝PN，MF∥AN，（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC，求证：BM＝CN．试题分析：（1）由平行线的性质得出∠MFP＝∠NCP，由AAS证明△PMF≌△PNC即可；（2）由全等三角形的性质得出FM＝CN，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠MFB，证出BM＝FM，即可得出结论．答案详解：（1）证明：∵MF∥AN，∴∠MFP＝∠NCP，在△PMF和△PNC中，∠MFP=∠NCP∠MPF=∠NPC，PM=PN∴△PMF≌△PNC（AAS）；（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC，∴FM＝CN，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵MF∥AN，∴∠MFB＝∠ACB，∴∠B＝∠MFB，∴BM＝FM，∴BM＝CN．16．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC＝DC．试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD＝CF，推出∠CDF＝∠F，由∠ADF＝∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD＝CF，进而利用等线段的代换可证得结论；答案详解：证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．在△AED与△BEF中，∠A=∠ABFAE=BE，∠ADE=∠F∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF＝∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠F，∴∠ADE＝∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴CD＝CF＝BC+BF，∴AD+BC＝DC．五．角平分线+垂直模型17．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．（1）若AB＝12，AD＝8，则AF＝ 10 ．（2）若△ABC的面积是24，△ADC的面积是16，则△BEC的面积等于 4 ．试题分析：（1）利用角平分线的性质可得CE ＝CF ，∠F ＝∠CEB ＝90°，根据等角的补角相等得∠B ＝∠CDF ，利用AAS 证出两三角形全等，求出DF ＝BE ，证Rt △AFC ≌Rt △AEC ，推出AF ＝AE ，由BE ＝DF 可得AB ﹣AE ＝AF ﹣AD ＝AB ﹣AF ，即可得AB +AD ＝2AF ；（2）利用全等三角形的面积相等，设△BEC 的面积为x ，列出方程可得结果．答案详解：解：（1）∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，∴CE ＝CF ，∠CEB ＝∠F ＝90°，∵∠ADC +∠B ＝180°，∠ADC +∠CDF ＝180°，∴∠B ＝∠CDF ，在Rt △BCE 与Rt △DCF 中，∠B =∠CDF∠CEB =∠F CE =CF，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （AAS ），∴DF ＝BE ，CE ＝CF ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，在Rt △ACE 与Rt △ACF 中，CE =CFAC =AC ，∴Rt △ACE ≌Rt △ACF （HL ），∴AF ＝AE ，∴AB ﹣AE ＝AF ﹣AD ＝AB ﹣AF ，∴AB +AD ＝2AF ，∵AB ＝12，AD ＝8，∴AF ＝10，所以答案是：10．（2）∵Rt △BCE ≌Rt △DCF ，∴S △BCE ＝S △DCF ，设△BEC 的面积为x ，∵△ABC 的面积是24，△ADC 面积是16，∴24﹣x ＝16+x ，∴x =12×（24﹣16）＝4．即△BEC的面积等于4，所以答案是：4．18．如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 40 °．试题分析：首先利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，然后利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可以求出∠ACD＝∠AFD，最后利用四边形的内角和求出∠CDF即可解决问题．答案详解：解：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD＝∠CAD，∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，在△AFE和△ACE中，∠FAD=∠CADAE=AE，∠AEF=AEC∴△AFE≌△ACE（ASA），∴EF＝CE，AF＝CF，∴∠AFE＝∠ACE，∵CE⊥AD，∴CD＝FD，∴∠DFC＝DCF，∴∠AFD＝∠ACD，∵∠BAC＝60°，∠B＝40°，∴∠ACD＝∠AFD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∴∠CDF＝360°﹣∠BAC﹣∠ACD﹣∠AFD＝140°，∴∠BDF＝180°﹣∠CDF＝180°﹣140°＝40°．所以答案是：40．19．如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P．在直线AE上取点Q使得BQ＝BP．（1）如图1，当点P在点线段AC上时，∠BQA+∠BPA＝ 180 °；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系为： AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC ．试题分析：（1）作BM⊥AE于点M，根据角平分线的性质得到BM＝BC，证明Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL），进而证明∠BQA＝∠BPC即可得出答案；（2）作BM⊥AE于点M，证明Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），得到∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM ＝BC，再证明Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL），从而得出PC＝QM即可；（3）分两种情况进行讨论，P在线段AC上或P在线段AC的延长线上，作出图后，由△QBM≌△PBC（AAS），得∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，结合Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），得出AM＝AC，利用线段和差计算即可．答案详解：解：（1）作BM⊥AE于点M，∵AB平方∠EAF，BC⊥AF，∴BM＝BC，在Rt△BMQ和Rt△BPC中，BQ=BPBM=BC，∴Rt△BMQ≌Rt△BPC（HL），∴∠BQA＝∠BPC，又∵∠BPC+∠BPA＝180°，∴∠BQA+∠BPA＝180°，所以答案是：180；（2）AQ﹣AP＝2AC，理由如下，作BM⊥AE于点M，∵AB平方∠EAF，BC⊥AF，∴BM＝BC，∠BMA＝∠BCA＝90°，在Rt△ABM和Rt△ABC中，BM=BCAB=AB，∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，在Rt△BMQ和Rt△BCP中，BQ=BPBM=BC，∴Rt△BMQ≌Rt△BCP（HL），∴PC＝QM，∴AQ﹣QP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝AM+AC＝2AC；（3）当点P在线段AC上时，如图，AQ﹣AP＝2PC，作BM⊥AE于点M，∵BC⊥AF，∴，∠BMA＝∠BCA＝90°，∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BPC+∠BPA＝180°，∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，∠BMQ=∠BCP∠BQM=∠BPC，QB=PB∴△QBM≌△PBC（AAS），∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，BM=BCAB=AB，∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴AM＝AC，∴AQ﹣AP＝AM+QM﹣（AC﹣PC）＝QM+PC＝2PC；当P在线段AC的延长线上，如图，AP﹣AQ＝2PC，作BM⊥AE于点M，∵BC⊥AF，∴∠BMA＝∠BCA＝90°，∵∠BQA+∠BPA＝180°，∠BQM+∠BQA＝180°，∴∠BPC＝∠BQM，在△QBM和△PBC中，∠BMQ=∠BCP∠BQM=∠BPCQB=PB，∴△QBM≌△PBC（AAS），∴∠QBC＝∠PBC，QM＝PC，BM＝BC，在Rt△ABM和Rt△ABC中，BM=BCAB=AB，∴Rt△ABM≌Rt△ABC（HL），∴AM＝AC，∴AP﹣AQ＝AC+CP﹣（AM﹣QM）＝MQ+PC＝2PC．所以答案是：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．六．半角模型20．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 EF＝BE+FD ；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．试题分析：（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．答案详解：解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D=90°BG=DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，所以答案是：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，AB=AD∠1=∠DBM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，AM=AF∠MAE=∠FAEAE=AE，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，AH=AF∠HAE=∠FAEAE=AE，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．21．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．先证明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由条件可得∠EAF＝∠GAF，证明△AEF≌△AGF，进而可得线段BE，EF，FD之间的数量关系是 EF＝BE+DF ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．问（1）中的线段BE，EF，FD之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．试题分析：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；（2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；答案详解：解：（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△ABE和△ADG中，DG=BE∠B=∠ADG=90°AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；所以答案是：EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，如图2，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，DG=BE∠B=∠ADGAB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；。
专题02 截长补短证全等(解析版)
专题02 截长补短证全等类型一 截长证全等1．如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．【答案】证明见解析【解析】【分析】如图，在AB 上截取,AH AD =证明,ADE AHE ≌再证明,HBE CBE ≌可得,BC BH = 从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB 上截取,AH AD =AE ∵平分,DAB ∠,DAE HAE ∴∠=∠,AE AE =,ADE AHE ∴≌,ADE AHE ∴∠=∠//,AD BC180,ADE BCE ∴∠+∠=︒180,AHE BHE ∠+∠=︒,BCE BHE ∴∠=∠ BE 平分,ABC ∠,ABE CBE ∴∠=∠,BE BE =,HBE CBE ∴≌,BC BH ∴=,AB AH HB =+.AB AD BC ∴=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.2．如图，已知：在ABC 中，60B ∠=︒，CE 、AF 是ABC 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF =+．【答案】见解析【解析】【分析】在AC 上取一点H ，使AH ＝AE ，根据角平分线的定义可得∠EAO ＝∠HAO ，然后利用“边角边”证明△AEO 和△AHO 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE 0＝∠AHO ，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO 和△CHO 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF ＝CH ，再根据AC ＝AH ＋CH 代换即可得证．【详解】证明：如图，在AC 上取一点H ，使AH AE =，连接OH ．∵AF 是ABC 的角平分线，∴EAO HAO ∠=∠，在AEO △和AHO 中，∵,,,AE AH EAO HAO AO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AEO AHO SAS ≌，∴AEO AHO ∠=∠，∵CE 是ABC 的角平分线，∴12∠=∠，∵13,2AHO B AEO ∠+∠=∠∠+∠=∠，∴360B ∠=∠=︒，∵CE 、AF 是ABC 的角平分线， ∴114118018060602(2)()CAF B ∠=∠+∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， ∴34∠=∠，在CFO △和CHO 中，21,,43,CO CO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CFO CHO ASA ≌，∴CF CH =，∵AC AH CH =+，∴AC AE CF =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【答案】见解析【解析】【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME 中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立．法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解．【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,∵AD是∠BAC的平分线，∴BAD CAD∠=∠,在△AMC和△AME中，∵AC AE CAM EAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△AME （SAS ），∴MC ＝ME （全等三角形的对应边相等）．又∵BE ＝AB －AE ，∴BE ＝AB －AC ，∴MB －MC ＜AB －AC ．法二：延长AC 至H ，在AH 上截取线段AB ＝AG ，同理可证得△ABM ≌△AGM （SAS ），∴BM =GM ，∵在△MCG 中MG -MC ＜CG∴MB －MC ＜AG -AC = AB －AC即MB －MC ＜AB －AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．4．如图，120CAB ABD ∠+∠=︒，AD 、BC 分别平分CAB ∠、ABD ∠，AD 与BC 交于点O ．（1）求AOB ∠的度数；（2）说明AB AC BD =+的理由．【答案】（1）120°；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB +∠OBA =60°，从而得到∠AOB ；（2）在AB 上截取AE =AC ，证明△AOC ≌△AOE ，得到∠C =∠AEO ，再证明∠C +∠D =180°，从而推出∠BEO =∠D ，证明△OBE ≌△OBD ，可得BD =BE ，即可证明AC +BD = A B ．【详解】解：（1）∵AD ，BC 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠CAB +∠ABD =120°，∴∠OAB +∠OBA =60°，∴∠AOB =180°-60°=120°；（2）在AB 上截取AE =AC ，∵∠CAO =∠EAO ，AO =AO ，∴△AOC ≌△AOE （SAS ），∴∠C =∠AEO ，∵∠C +∠D =（180°-∠CAB -∠ABC ）+（180°-∠ABD -∠BAD ）=180°，∴∠AEO +∠D =180°，∵∠AEO +∠BEO =180°，∴∠BEO =∠D ，又∠EBO =∠DBO ，BO =BO ，∴△OBE ≌△OBD （AAS ），∴BD =BE ，又AC =AE ，∴AC +BD =AE +BE =A B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE =AC ，利用全等三角形的性质证明结论．5．如图所示，已知AC 平分∠BAD ，180B D ∠+∠=︒，CE AB ⊥于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【答案】2AB AD BE =+，证明见解析【解析】【分析】在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．证明()BCE ECF SAS ≌，得到B BFC ∠=∠，又证明 AFC ADC ≌，得到AF AD =，最后结论可证了． 【详解】证明:在AB 上截取EF ，使EF=BE ，联结CF ．CE AB ⊥90BEC FEC ∴∠=∠=︒在BCE 和ECF △BE EF BEC FEC CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCE ECF SAS ∴≌ B BFC ∴∠=∠180B D ∠+∠=︒180BFC AFC ∠+∠=︒又D AFC ∴∠=∠AC 平分∠BADFAC DAC ∴∠=∠在AFC △ 和ADC 中AFC D FAC DAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩() AFC ADC AAS ∴≌AF AD ∴=AB AF BE EF =++2AB AD BE ∴=+【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．6．已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝108°，BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AC +CD ．【答案】见解析【解析】【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC ＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE ＝∠DEC ．∴CD ＝CE ．∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键． 7．已知：如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：90ACD ∠=︒.【答案】详见解析【解析】【分析】由于DA=DB ，想到作DE ⊥AB ，构造直角∠AED ，只需要证明∠ACD=∠AED ，本题就得解．从而转化为说明△AED ≌△ACD 的问题．【详解】如图所示，作DE ⊥AB 于E ，∵DA=DB ，DE ⊥AB ，∴AE=EB=12AB ，∠AED=90°，∵AB=2AC ，∴AC=12AB ，∴AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，∵AC=AE ，∠2=∠1，AD=AD ，∴△ACD ≌△AED(SAS)，∴∠ACD=∠AED=90°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解题时主要运用了全等三角形问题中常用辅助线-截长补短，通过辅助线构造全等三角形，再利用全等三角形的性质解题，这是一种非常重要的方法，注意掌握．8．如图，AD BC ∥，DC AD ⊥，AE 平分BAD ∠，且E 是DC 中点试问：AD 、BC 和AB 之间有何关系？并说明理由.【答案】详见解析【解析】【分析】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，证明()R t t BEF BEC HL ∆∆≌R ，可得BF=BC ，继而可得答案.【详解】AD+BC=AB ，理由如下：如图，在AB 上截取AF AD =，AE ∵平分BAD ∠，BAE EAD ∴∠=∠，AE AE =，EAF EAD ∴∆∆≌，EF ED ∴=，90AFE ADE ∠=∠=︒，∴∠BFE=90°，AD BC ∵∥，90BCE ADE ∴∠=∠=︒，90BFE BCE ∴∠=∠=︒， E 是DC 中点，ED CE ∴=，EF EC ∴=，又BE BE =，()R t t BEF BEC HL ∴∆∆≌R ，BF BC ∴=，AD BC AF BF AB∴+=+=.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用角平分线这一条件，在角两边截取相等线段构建全等三角形，实现截长补短见是解题的关键.∠外角的平分线于F．9．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF AE⊥交DCE（1）求证：AE EF=；=是否仍然成立？若成立，（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AE EF请证明，若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析【解析】【分析】AHE ECF，（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定≅=；从而得到AE EF（2）成立，在AB上取BH BE=，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定AHE ECF，从而得到AE EF≅=．【详解】（1）证明：取AB的中点H，连接EH，如图；ABCD是正方形，AE EF ⊥；190AEB ∴+=︒∠∠，290AEB ∠+∠=︒12∠∠∴=，BH BE =，∴45BHE ∠=︒，又∵45FCG ∠=︒，135AHE ECF ∴==︒∠∠，在AHE 和ECF △中12AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， AHE ECF ∴≅△△，AE EF ∴=；（2）解：成立．在AB 上取BH BE =，连接EH ，如图，ABCD 为正方形，AB BC ∴=，，AH EC ∴=，45BHE BEH ∠=∠=︒，又∵45FCG ∠=︒，∴135∠=∠=︒AHE ECF ，在AHE 和ECF △中12AH ECAHE ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， AHE ECF ∴≅△△，AE EF ∴=．【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造≅AHE ECF ．类型二 补短证全等10．已知：如图所示，在ABC ∆中，AD 为中线，BF 交,AD AC 分别于,E F ，如果BE AC =，求证：AF EF = ．【答案】详见解析【解析】【分析】根据点D 是BC 的中点，延长AD 到点G ，得到BDE CDG ∆∆≌，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF 中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE 等于EF ．【详解】证明：延长ED 至G ，使DG DE =，连结GC ，∵在ABC ∆中，AD 为中线，∴BD=CD ，在△ADC 和△GDB 中，BD CD BDE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BDE CDG ∆∆≌，BE CG ∴=，BED CGD ∠=∠，BE AC =，AC GC ∴=，AGC CAG ∴∠=．又BED AEF ∠=∠，∴AEF EAF ∠=∠，∴AF EF =.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构建全等三角形． 11．如图，在△ABC 中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒【答案】见解析【解析】【分析】首先延长BD 至E ，使CD ＝DE ，连接AE ，AD ，由BD ＋DC ＝AB ，易得△ABE 是等边三角形，继而证得△ACD ≌△ADE ，则可证得：∠ACD ＝∠E ＝60°．【详解】延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，∵BD CD AB +=，BE BD DE =+，∴BE AB =，∵60ABD ∠=︒，∴△ABE 是等边三角形，∴AE AB AC ==，60E ∠=︒，在△ACD 和△ADE 中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ADE （SSS ），∴60ACD E ∠=∠=︒．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．12．在ABC 中，60ABC ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，连接BD 、DE 和AE ；并且有AB BE =，AED C ∠=∠．（1）求CDE ∠的度数；（2）求证：AD DE BD +=．【答案】（1）60︒；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AB BE =，60ABC ∠=︒，可得ABE △为等边三角形，由AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，AED C ∠=∠，可证60CDE AEB ∠=∠=︒（2）延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ， 由60BED AED ∠=︒+∠，60BAF C ∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，可证()FBA DBE SAS ≌ 由=DB FB ，可证FBD 为等边三角形，可得BD FD =， 可推出结论，【详解】解：（1）∵AB BE =，60ABC ∠=︒，∴ABE △为等边三角形，∴60BAE AEB ∠=∠=︒，∵AEB EAC C ∠=∠+∠，CDE EAC AED ∠=∠+∠，∵AED C ∠=∠，∴60CDE AEB ∠=∠=︒（2）如图，延长DA 至F ，使AF DE =，连接FB ，由（1）得ABE △为等边三角形，∴60AEB ABE ∠=∠=︒，∵60BED AEB AED AED ∠=∠+∠=︒+∠，又∵60BAF ABE C C ∠=∠+∠=︒+∠，且C AED ∠=∠，∴BED BAF ∠=∠，在FBA 与DBE 中，AB BE BAF BED AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()FBA DBE SAS ≌∴=DB FB ，DBE FBA ∠=∠∴DBE ABD FBA ABD ∠+∠=∠+∠，∴60ABE FBD ∠=∠=︒又∵=DB FB ，∴FBD 为等边三角形∴BD FD =，又∵FD AF AD =+，且AF DE =，∴FD DE AD BD =+=，【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．13．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒， 150BCD ∠=︒，CB CD =，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ∠=︒．求证： MN BM DN =+．【答案】见解析【解析】【分析】延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，根据同角的补角相等得CBE CDN ∠=∠，根据SAS 证明CBE CDN ∆≅∆，则BCE DCN ∠=∠，进而证明75ECM MCN ∠=∠=︒，根据SAS证明ECM NCM∆≅∆，得到MN ME =，则M N BM BE BM DN =+=+． 【详解】证明：延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，CBE CDN ∴∠=∠，在CBE ∆和CDN ∆中，CB CD CBE CDN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDN SAS ∴∆≅∆，BCE DCN ∴∠=∠，CN CE =，150BCD ∠=︒，75MCN ∠=︒，75M CE M CB BCE M CB DCN ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MCN MCE ∴∠=∠，在ECM ∆和NCM ∆中，MC MC MCN MCE CN CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ECM NCM SAS ∴∆≅∆，M N M E BM BE BM DN ∴==+=+．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 14．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，连接AC ．①小明发现，此时AC 平分BCD ∠．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分BCD ∠．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当90BAD ∠=︒时，请你判断线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系，并证明． （2）如图3，等腰CDE △、等腰ABD △的顶点分别为A 、C ，点B 在线段CE 上，且180ABC ADC ∠+∠=︒，请你判断DAE ∠与DBE ∠的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②CD BC +=，证明见解析；（2）2DAE DBE ∠=∠，证明见解析【解析】【分析】（1）①参考小明的想法，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证明ABE ADC △≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC 平分；②沿用①中辅助线，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ，证得直角三角形CAE ，再利用勾股定理可求得AC ，BC ，CD 之间的数量关系；（2）类比（1）中证明的思路，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，证明ABC ADF ≌△△、ACD ACE ≌，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到DAE ∠与DBE ∠的数量关系．【详解】（1）如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．180ADC ABC ∠+∠=︒，180ABE ABC ∠+∠=︒，ADC ABE ∴∠=∠在ADC 与ABE △中，AD AB ADC ABE CD EB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC ABE SAS ∴△≌△ACD AEB ∴∠=∠，AC AE =ACB AEB ∴∠=∠ACD ACB ∴∠=∠．AC ∴平分BCD ∠（2）CD BC +=证明：如图，延长CB 到点E ，使得BE CD =，连接AE ．由（1）知，(SAS)ADC ABE ≌DAC BAE ∴∠=∠，AC AE =90BAD DAC CAB ∠=∠+∠=︒90CAE BAE CAB DAC CAB BAD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒在直角三角形CAE 中，90CAE ∠=︒CE ∴=CD BC ∴+=（3）2DAE DBE ∠=∠证明：如图，延长CD 至F ，使得DF CB =，连AF ，由（1）知，()ABC ADF SAS △≌△AF AC ∴=，ACB F ∠=∠ACD F ∴∠=∠ACD ACE ∴∠=∠在ACD △与ACE 中，CD CE ACD ACE AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD ACE SAS ∴△≌△AD AE ∴=AD AE AB ∴==ADB ABD ∴∠=∠，AEB ABE ∠=∠1802BAD ADB ∴∠=︒-∠，1802BAE ABE ∠=︒-∠，360DAE BAD BAE ∠=︒-∠-∠()()36018021802DAE ADB ABE ∴∠=︒-︒-∠-︒-∠22ADB ABE =∠+∠2DBE =∠【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．15．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．【答案】（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析 【解析】【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ．【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠； 如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ，∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒， ∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．类型三 截长补短证全等16．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，180A C ∠+∠=︒．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种．．．．，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC ∠=︒时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C ∠+∠=︒，DA DC =，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【解析】【分析】（1）方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题； （2）延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，证明ΔΔPAC BAD ≌，可得PC BD =，即PC BP BC AB BC =+=+（3）连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，证明ΔΔDFA DEC ≌，Rt ΔRt ΔBDF BDE ≌，进而根据2BC BE CE BA AF CE BA CE =+=++=+即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图． BD 平分ABC ∠，ABD CBD ∴∠=∠．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔABD MBD ∴≌，A BMD ∴∠=∠，AD MD =．180BMD CMD ︒∠+∠=，180C A ︒∠+∠=．C CMD ∴∠=∠．DM DC ∴=，DA DC ∴=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD 平分ABC ∠，NBD CBD ∴∠=∠．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔNBD CBD ∴≌．BND C ∴∠=∠，ND CD =．180NAD BAD ︒∠+∠=，180C BAD ︒∠+∠=．BND NAD ∴∠=∠，DN DA ∴=，DA DC ∴=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC ︒∠=．ΔADC ∴为等边三角形．AC AD ∴=，60ADC ︒∠=．180BCD BAD ︒∠+∠=，36018060120ABC ︒︒︒︒∴∠=--=．18060PBA ABC ︒︒∴∠=-∠=．BP BA =，ΔABP ∴为等边三角形．60PAB ︒∴∠=，AB AP =．60DAC ︒∠=，PAB BAC DAC BAC ∴∠+∠=∠+∠，即PAC BAD ∠=∠．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔPAC BAD ∴≌．PC BD ∴=，PC BP BC AB BC =+=+，AB BC BD ∴+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ⊥于F ，如图3所示．180BAD C ︒∠+∠=，180BAD FAD ︒∠+∠=．FAD C ∴∠=∠．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ΔΔDFA DEC ∴≌，DF DE ∴=，AF CE =．在Rt ΔBDF 和Rt ΔBDE 中，BD BD DF DE =⎧⎨=⎩， Rt ΔRt ΔBDF BDE ∴≌．BF BE ∴=，2BC BE CE BA AF CE BA CE ∴=+=++=+，2BC BA CE ∴-=．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．17．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥． 求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．【答案】（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CGAE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒ 11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CFECF BCF∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅ CB CE ∴=．。
专题02《全等三角形》(原卷版)-期末挑重点之2021-2021学年上学期人教版八年级数学
专题02 全等三角形1．全等三角形定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的周长相等，面积相等．（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．3．全等三角形的判定（1）判定方法：①依据定义．②依据判定定理．（2）判定定理①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．（3）证明思路①SASHL SASSSS→→→⎧⎪⎨⎪⎩找夹角已知两边找直角或找另一边②AASSASASAAAS→→→→→→⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边和一角边为角的一边找夹角的另一角找边的对角③ASAAAS →→⎧⎨⎩找夹边已知两角找任一角的对边（4）常用策略：添加辅助线法①连接两点的线段．②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：∵OQ 平分∠AOB ，且QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，∴QD =QE ．5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．几何语言：∵QE ⊥OB ，QD ⊥OA ，且QD =QE ，∴OQ 平分∠AOB ．6．尺规作图（1）作已知角（课本P36）．（2）作角平分线（课本P48）．（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．（4）作已知直线的垂线（课本P62）．①过已知直线上一点作已知直线的垂线②过已知直线外一点作已知直线的垂线考点一、全等三角形的性质例1 （2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A. AC=DEB. ∠BAD=∠CAEC. AB=AED. ∠ABC=∠AED.【答案】B【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE. 故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B.【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点二、全等三角形的判定例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A. SASB. AASC. SSSD. ASA【答案】A【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）故选：A.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．考点三、角平分线的性质例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（）A. 3B. 32C. 2D. 6【答案】A．【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE=BD=3，故选：A．【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．考点四、角平分线的判定例4 （2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O 重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P. 且AP=BP，∠APB=120°．求证：点P在∠MON的平分线上.【答案】见解析.【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T，∴∠OSP=∠OTP=90°，在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°∴∠APS=∠BPT，又∵∠ASP=∠BTP=90°AP=BP∴△APS≌△BPT∴PS=PT∴点P在∠MON的平分线上.【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．考点五、尺规作图例5 （2020金昌）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，且BD BA =.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作ABC ∠的角平分线交AD 于点E ；②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F .（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系.【答案】见解析.【解析】（1）①如图， BE 即为所求；②如图，线段DC 的垂直平分线交DC 于点F ，（2）∵BD=BA ，BE 平分∠ABD ，∴点E 是AD 的中点，∵点F 是CD 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴线段EF 和AC 的数量关系为：EF=12AC ， 位置关系为：EF ∥AC.【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．考点六、全等三角形的判定与性质例6（2020南通）如图，在△ABC 中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE+BF 的最大值为（ ）A.【答案】A【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴=，∵点B为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△CAN中，AN<AC，当直线l⊥AC.故选：A.【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.考点七、全等三角形的实际应用例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数. 于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等. 已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．【答案】商业大厦的高MN为80米.【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）答：商业大厦的高MN为80米.【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.一、选择题1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SASC．AAS D．ASA2. （2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．50°B．58°C．72°D．60°3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（）A．全等三角形的大小相等B．两个等边三角形一定是全等三角形C．全等三角形的形状相同D．全等三角形的对应边相等4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A ．AD ＝BCB ．∠DAB ＝∠CBAC ．△ACE ≌△BDED ．AC ＝CE5．如图，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．△APE ≌△APFD ．AP PE PF =+ 6．如图，已知AB DC AD BC BE DF =∥，∥，，则图中全等三角形的总对数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，55AB DC AE DF CE BF B ===∠=︒，，，，则C ∠=（ ）A ．45°B ．55°C ．35°D ．65°8．（2020通州一模）如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB ，若AB ＝4，CF ＝3，则BD 的长是（ ）A ．0.5B ．1C ．1.5D ．29．（2020焦作模拟）如图，BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ．若35ABC ∠=︒，50C ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）A．35︒B．40︒C．45︒D．50︒10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM. 下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD. 其中正确是结论个数有（）个．A. 4B.3C.2D.1二、填空题11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE12. （2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC 的面积是．15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED 的面积分别为40和28，则△EDF的面积为．16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是．（只填一个即可）三、解答题17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2. 求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，BE=CD，BF=CA，连接EF．（1）求证：∠D=∠2；（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．22.（2020泸州一模）如图，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，OA ＝OD ．求证：OB ＝OC ．23.（2020荆门）如图，ABC 中，AB AC =，B ∠的平分线交AC 于D ，//AE BC 交BD 的延长线于点E ，AF AB ⊥交BE 于点F ．（1）若40BAC ∠=︒，求AFE ∠的度数；（2）若2AD DC ==，求AF 的长．24.（2020内江）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 的异侧，//AB CD ，AE=DF ，∠A=∠D ．（1）求证：AB=CD ；（2）若AB=CF ，∠B=40°，求D ∠的度数．25．（2020武汉模拟）如图1，点P 、Q 分别是等边△ABC 边AB 、BC 上的动点（端点除外），点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ 、CP 交于点M ．（1）求证：△ABQ≌△CAP；（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则。
专题02 截长补短证全等(解析版)
专题02 截长补短证全等(解析版)专题02 截长补短证全等(解析版)全等三角形是初中数学中的重要概念，对于学生来说，能够准确证明两个三角形全等是关键。
在这篇文章中，我们将探讨如何通过截短或补长来证明两个三角形全等，并提供详细的解析和示例。
一、截长证全等在证明两个三角形全等时，截长是一种常用的方法。
当我们能够找到一个共同的边，需要证明其他边相等时，我们可以通过截短这条边来达到目的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们需要证明AB=DE。
我们可以通过截取AC和DF的一段长度来使它们相等。
假设我们截取了一个段落，记为AD，则此时我们可以发现三角形AED与三角形ABD全等（SAS准则），从而得出AB=DE。
二、补长证全等除了截长证全等外，我们还可以通过补长来证明两个三角形全等。
当我们需要证明两个三角形的某一对边相等时，我们可以在其中一个三角形中延长一条边，使其等于另一个三角形对应边的长度。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们需要证明AB=DE。
我们可以通过延长EF，使之与CB相等。
记EF延长后的交点为G，则此时我们可以发现三角形AGC与三角形DFC全等（SAS准则），从而得出AB=DE。
三、综合应用截长和补长方法在证明三角形全等时常常结合使用。
下面我们通过一个具体例子来解析。
例题：已知∠ABC = ∠EDF，AC = DF，证明三角形ABC与三角形DEF全等。
解析：根据题目条件，我们可以看出∠ABC和∠EDF相等，AC和DF相等，我们需要证明AB和DE相等。
1. 首先，我们通过截取AC和DF的一段长度来使它们相等。
假设我们截取了一个段落，记为AD。
2. 其次，我们通过延长EF，使之与CB相等。
记EF延长后的交点为G。
3. 接下来我们观察三角形AGC和三角形DFC。
根据截长证据，我们可以得出AG=DF，AC=AC，∠AGC=∠DFC，因此根据SAS准则，我们可以得出三角形AGC与三角形DFC全等。
人教八上：专题二--全等三角形的性质与判定(含解析)
专题二全等三角形的性质与判定一、单选题1．下面四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）．．23A．50°B．59°C．69°D．71°4．如图，点E、F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF、DE相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得△ABF≌△DCE（）A．∠B=∠C B．AG=DG C．∠AFE=∠DEF D．BE=CF5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（）．A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS6．已知，如图所示的两个三角形全等，则∠1=（）A．72°B．60°C．48°D．50°7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．HL8．如图，点E、F在BC上，AB=DC，∠B=∠C．添加一个条件后，不能证明△ABF≌△DCE，这个条件可能是（）A．∠A=∠D B．BE=CF C．BF=CE D．AF=ED9．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°10．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD11．如图，已知∠CAB=∠DBA，老师要求同学们补充一个条件使△ABC≌△BAD，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（）A．AC=BD B．CB=DA C．∠C=∠D D．∠ABC=∠BAD12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB=∠A′O′B′的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS13．如图，AB=4厘米，BC=6厘米，∠B=∠C，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C 点运动，同时，点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后，△ABP与△CQP全等，则t的值是（）A．1B．1.5C．1或1.5D．1或214．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（）A．50°B．54°C．60°D．76°15．如图，点E、F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（ ）A．∠A=∠D B．∠AFB=∠DEC C．AB=DC D．AF=DE16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，要使得△ABC≌△DEF，不能添加的条件是（）A．∠A=∠D B．AC=DF C．BE=CF D．AC∥DF17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是（）A．64°B．65°C．51°D．55°18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．其依据的数学基本据实是（）A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C．等角对等边D．两点之间线段最短19．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点A(0,a)，B(b,0)，C(−4,4)，其中b<a<0，则a，b之间的数量关系是（）A．a+b=−4B．a−b=4C．a+b=−8D．a−b=820．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS21．如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE，AF、DE相交于点G，要使得△ABF≌△DCE，添加下列哪一个条件（）A．∠B=∠C B．GE=GF C．∠AFE=∠DEF D．BF=CE 22．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC,OD，使OC=OD；②③23A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 24．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°25．如图，已知∠CAB=∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（ ）A．BC=BD B．∠C=∠D C．AC=AD D．∠ABC=∠ABD26．已知：如图，AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A+∠D=90°B．∠A=∠2C．△ABC≌△CED D．∠1=∠227．如图，已知ΔABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ΔABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB=AD，AC=AE，BC=DE，若∠1+∠2+∠3=96°，则∠3的度数为．29．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，△ADE的周长为cm．30313233．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．34．如图，OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB．求证：AB=CD．35．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M是BC边上的一点，且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,求证：(1)BM=MC；(2)AM⊥MD．36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过点P作PF⊥AD 交BC的延长线于点F，PF交AC于点H，求证：(1)△ABP≌△FBP；(2)AH=AB−BD．37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．38．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD交于点O，OB=OC．求证：∠1=∠2．39．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE，求证：AD=AE．40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：△CDE≌△FAE．(2)连接BE，当BE⊥CF时，CD=3，AB=2，求BC的长．41．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE．42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，AD=CD，AB=CB，对角线AC交BD与点O.(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；(2)求证：AC⊥BD.43．如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，若CE=BF．(1)求证：AE=DF；(2)求证：AB∥CD．44．如图，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，AF=DE，∠B=∠C，求证：AB=CD．45．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．(1)求证：△ADC≌△CEB；(2)延长EB至点F，使得BF=DE，连接AF交CE于点G，若AD=5，BE=3，求DG的长．46．如图，AB=AE，∠B=∠AED，∠1=∠2，求证：AC=AD．47．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F，若AC=BD，AB=ED，BC=BE．求证：∠AFB=2∠ACB．48．（变图形—平移型）如图，点C是AB的中点，AD=CE，CD=BE．求证：△ACD≌△CBE．49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．50．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，过直角顶点A作直线MN,BD⊥MN于点D,CE⊥MN于点E．(1)如图1，当MN与BC边不相交时，判断BD,CE,DE之间的数量关系，并说明理由；(2)当MN与边BC相交时，请在图2中画出图形，并直接写出BD,CE,DE之间的数量关系．51．如图，CA=CD，∠1=∠2，BC=EC．求证：AB=DE．52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D．求证：BE=CF．54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE=DF，AB=CD，CE=FB．求证：AE∥DF．55．如图，已知AB=AC，BD=CD，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，求证：DM=DN56．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．(0°<α<90°)得到△A1B1C1，连接BB1．设CB1交AB于D，A1B1分别交AB、AC于E、F．(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（△ABC与△A1 B1C全等除外）；(2)当△BB1D是等腰三角形且BB1=BD时，求α的值．参考答案题号12345678910答案C C B D B C D D C A题号11121314151617181920答案B A C A D B A A D D题号21222324252627答案D A B B A D B1．C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．【详解】解：由题可得∠A=180°−60°−54°=66°，∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵B选项中66°角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，故C选项符合题意；∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．2．C【分析】由作图可知直线MN为边AC的垂直平分线，再由BD=DC得到AD=DC=BD，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到∠B+∠C=90°．【详解】解：由作图可知，直线MN为边AC的垂直平分线，∴DC=AD，∴∠C=∠CAD，∵BD=DC，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵∠C+∠B+∠CAD+∠BAD=180°，∴∠B+∠C=90°．故选：C．3．B【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为a、b的夹角对应相等，∴∠α=180°−50°−71°=59°，故选：B4．D【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠B=∠C，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；B、由AG=DG，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；C、由∠AFE=∠DEF，AB=CD，AF=DE，不能证明△ABF≌△DCE，不符合题意；D、由BE=CF即可证明BF=CE，AB=CD，AF=DE，可以由SSS证明△ABF≌△DCE，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS，SAS，AAS，ASA，HL．5．B【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．【详解】解：根据做法可知：AC=BE，AD=BF，CD=EF，∴△ACD≌△BEF(SSS)，∴∠MBN=∠PAQ，故选：B．6．C【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，又∵图中两个三角形全等，∴△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=180°−60°−72°=48°，∴∠1=48°，故选：C．7．D【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，∴△OPM≌△OPN所用的判定定理是HL．故选D.【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．8．D【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据SSS，ASA，SAS，AAS逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵AB=DC，∠B=∠C，当∠A=∠D构成ASA，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BE=CF得到BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当BF=CE构成SAS，能得到△ABF≌△DCE，不符合题意，当AF=ED不能得到三角形全等的判定，符合题意，故选：D．9．C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出∠2的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠1的度数．【详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得∠2=180°−50°−72°=58°，由全等三角形的性质可得∠1=∠2=58°，故选：C．10．A【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．【详解】解：∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，条件为边边角，∴不能证明△ABC≌△BAD，故A符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠CAB=∠DBA，条件为边角边，∴能证明△ABC≌△BAD，故B不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，∠C=∠D，条件为角角边，能证明△ABC≌△BAD，故C不符合题意；∵∠ABC=∠BAD，AB=BA，BC=AD，条件为边角边，能证明△ABC≌△BAD，故D不符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∠DBA，AB=BA，∴添加的条件是：AC=BD，根据SAS可证明△ABC≌△BAD，故选项A不符合题意；添加的条件是：CB=DA，无法判断△ABC≌△BAD，故选项B符合题意；添加的条件是：∠C=∠D，根据AAS可证明△ABC≌△BAD，故选项C不符合题意；添加的条件是：∠ABC=∠BAD，根据ASA可证明△ABC≌△BAD，故选项D不符合题意；故选：B12．A【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．通过分析作图的步骤，发现△OCD与△O′C′D′的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定△OCD≌△O′C′D′，根据全等三角形对应角相等得∠AOB=∠A′O′B′．【详解】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点D′；③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；④过点C′作射线O′A′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角．在△O′C′D′与△OCD中，O′C′=OCO′D′=OD，C′D′=CD∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，∴∠AOB=∠A′O′B′，即运用的判定方法是SSS．故选：A．13．C【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．由题意知，BP=2t，CP=6−2t，由△ABP与△CQP全等，分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况，列方程求解即可．【详解】解：由题意知，BP=2t，CP=6−2t，∵△ABP与△CQP全等，∴分△ABP≌△PCQ，△ABP≌△QCP两种情况求解；当△ABP≌△PCQ时，PC=AB，即6−2t=4，解得t=1；当△ABP≌△QCP时，BP=CP，即2t=6−2t，解得t=1.5；综上所述，t的值是1或1.5，故选：C．14．A【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∠1是边a的对角，即边b、c夹角，∴∠1的度数是180°−54°−76°=50°．故选：A．15．D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，∵∠B=∠C，∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE；当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE；当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE；当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE；故选：D．16．B【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB=DE，∠B=∠DEF，再逐一分析添加的条件结合ASA，SAS，AAS可得答案.【详解】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，∴补充∠A=∠D，可利用ASA证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意；补充AC=DF，不能证明△ABC≌△DEF，故B符合题意；补充BE=CF，∴BC=EF，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故C不符合题意；补充AC∥DF，∴∠ACB=∠F，可利用AAS证明△ABC≌△DEF，故D不符合题意；故选B17．A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．【详解】解：∵两个三角形全等，∴∠1=64°，故选：A．18．A【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．【详解】解：O为AA′、BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，∵∠AOB=∠A′OB′（对顶角相等），∴在△AOB与△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′OB=OB∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴AB=A′B′，故选：A．19．D【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用AAS证明△BCM≌△ACN，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，∵∠CMO=∠CNO=∠MON=90°，∴四边形CMON是矩形，∴∠MCN=90°，∴∠ACN+∠ACM=90°，∵∠ACB=90°，∠BCM+∠ACM=90°，∴∠BCM=∠ACN,在△BCM和△ACN中，∠BCM=∠ACN∠BMC=∠ANC，BC=AC∴△BCM≌△ACN(AAS)，∴BM=AN，又∵点C坐标为(−4，4)，∴点M坐标为(−4，0)，点N坐标为(0，4)．∴BM=−4−b，AN=4−a∴−4−b=4−a即a−b=8．故选：D．20．D【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即【详解】解：由作法得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△COD和△C′O′D′中，OD=O′D′OC=O′C′，CD=C′D′∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，∴∠A′O′B′=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．21．D【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．【详解】解：A、添加∠B=∠C，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；B、添加GE=GF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；C、添加∠AFE=∠DEF，不能使得△ABF≌△DCE，不符合题意；D、添加BF=CE，利用SSS，可以使得△ABF≌△DCE，符合题意；故选：D．22．A【分析】由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，再结合DM=DM可得△COM≌△DOM(SSS)，由全等三角形的性质可得∠1=∠2即可解答．【详解】解：由作图过程可得：OD=OC,CM=DM，∵DM=DM，∴△COM≌△DOM(SSS)．∴∠1=∠2．∴A选项符合题意；不能确定OC=CM,则∠1=∠3不一定成立，故B选项不符合题意；不能确定OD=DM,故C选项不符合题意，OD∥CM不一定成立，则∠2=∠3不一定成立，故D选项不符合题意．故选A．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．【详解】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．在△ADF和△CBE中，{∠A=∠CAF=CE∠AFD=∠CEB，∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．C．在△ADF和△CBE中，{AF=CE∠AFD=∠CEBDF=BE，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．24．B【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知∠ACB=∠A′CB′，给等式的两边同时减去∠BCA′，可得到∠ACA′=∠BCB′=30°．【详解】解：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠A′CB′=∠ACB，∵∠BCA′+∠BCB′=∠BCA′+∠A′CA，∴∠ACA′=∠BCB′，∵∠BCB′=30°，∴∠ACA′=30°．故选：B．25．A【分析】根据题目中的已知条件AB=AB，∠CAB=∠DAB，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．【详解】解；由图形可知：AB=AB，∠CAB=∠DAB，A.再加上条件BC=BD，不能证明△ABC≌△ABD，故此选项合题意；B. 再加上条件∠C=∠D，可利用AAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意；C. 再加上条件AC=AD，可利用SAS可证明△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；D. 再加上条件∠ABC=∠ABD，可利用ASA可证明△ABC≌△ABD，故此选项不合题意．故选：A【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．26．D【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明△ABC≌△CED，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．【详解】解：∵AC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∴∠A=∠2，在△ABC和△CED中，∠B=∠E=90°∠A=∠2，AC=CD∴△ABC≌△CED(AAS)，故B、C选项正确，不符合题意；∵∠2+∠D=90°，∴∠A+∠D=90°，故A选项正确，不符合题意；∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠1+∠2=90°，但∠1不一定等于∠2，故D选项错误，符合题意．故选：D．27．B【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：由题意可得，B选项符合边角边判定，故选B．【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．28．48°/48度，∴在∵∴29先长=∴∴【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．30．AB/BA【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△ABC≌△ADC是解题的关键．由AAS判断出△ABC≌△ADC即可得到答案．【详解】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在△ABC，△ADC中，∠1=∠2∠B=∠D，AC=AC∴△ABC≌△ADC(AAS)，∴AD=AB．故答案为：AB．31．证明见解析【分析】根据平行得出∠B=∠DEF，然后用“边角边”证明△ABC≌△DEF即可．【详解】证明：∵AB//DE，∴∠B=∠DEF．∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC．∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,∴△ABC≌△DEF．∴∠A=∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．32．见解析【分析】利用AAS证明△ACO≌△DBO，即可得到结论．【详解】解：证明：在△ACO和△DBO中∠AOC=∠DOB∠A=∠DAC=DB∴△ACO≌△DBO(AAS)．∴AO=DO,CO=BO．∴AO+BO=DO+CO∴AB=CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．33．详见解析【分析】运用HL定理证明直角三角形全等即可．【详解】∵BE=CF，∴BF=CE在Rt△ABF与Rt△DCE中：{AF=DE BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)∴AB =DC【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握HL定理是解题关键．34．见解析【分析】根据已知条件得出∠AOB=∠COD，进而证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】证明：∵∠AOD=∠COB，∴∠AOD−∠BOD=∠COB−∠BOD,即∠AOB=∠COD．在△AOB和△COD中，OA=OC,∠AOB=∠COD,OB=OD,∴△AOB≌△COD∴AB=CD．【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．35．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM=MN,MN=CM，等量代换得到答案．（2）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC=180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM=90°，根据垂直的定义得到答案；【详解】（1）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°,AB∥CD,∴BM⊥AB,CM⊥CD,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴BM=MN,MN=CM,∴BM=CM；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°,∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,∴2∠MAD+2∠ADM=180°,∴∠MAD+∠ADM=90°,∴∠AMD=90°,即AM⊥DM；【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．36．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出∠APB=135°，易得∠DPB=45°，可得∠BPF=135°，即可证明△ABP≌△FBP；（2）由（1）结论可得∠F=∠BAD,AP=PF，AB=BF，即可求得∠F=∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH=DF，即可解题．【详解】（1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∠ACB=90°，∴∠PAB+∠PBA=12(∠ABC+∠BAC)=45°,∴∠APB=135°，∴∠DPB=45°,∵PF⊥AD,∴∠BPF=135°,在△ABP和△FBP中，∠BPF=∠APB=135°BP=BP∠ABP=∠FBP∴△ABP≌△FBP(ASA)；（2）∵△ABP≌△FBP，∴∠F=∠BAD,AP=PF,AB=BF，∵∠BAD=∠CAD，∴∠F=∠CAD，在△APH和△FPD中，∠F=∠CADAP=PF∠APH=∠FPD=90°∴△APH≌△FPD(ASA),∴AH=DF,∵BF=DF+BD,∴AB=AH+BD.∴AH=AB−BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．37．见解析【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定ΔABC≌ΔDEF(SAS)，再利用全等三角形的性质证明即可．【详解】∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，∴在ΔABC与ΔDEF中，AB=DE∠B=∠DEF，BC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)，∴AC＝DF．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键. 38．见解析【分析】先证明ΔBDO≌ΔCEO(AAS)，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．【详解】证明：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于点E，∴∠BDO =∠CEO =90∘，在ΔBDO 和ΔCEO 中，∠BDO =∠CEO ∠BOD =∠COE OB =OC，ΔBDO≌ΔCEO (AAS)，∴OD =OE ，∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴OA 平分∠BAC ，∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．39．见解析【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B =∠C ，再由SAS 证明△ABD≌△ACE ，从而得AD =AE ．【详解】证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△ABD 和△ACE 中，AB =AC ∠B =∠C BD =CE，∴△ABD≌△ACE (SAS )，∴AD =AE ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．40．(1)证明见解析(2)5【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据AAS 证明△CDE 和△FAE 全等．（1）根据 AAS 证明△CDE 和△FAE全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠DCE =∠F ，∵点E 是AD 中点，∴DE =AE ，在△CDE 和△FAE 中，∠DCE =∠F ∠CED =∠FEA DE =AE，∴△CDE≌△FAE (AAS)；（2）由（1）知△CDE≌△FAE ，∴CE =FE ，CD =AF∵BE ⊥GF ，∴BE 垂直平分CF ，∴BC =BF ，∵CD =3，AB =2，∴AF =CD =3，∴BC =BF =AF +AB =3+2=5．41．证明见解析【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A 作AP ⊥B C 于P ，利用三线合一得到P 为DE 及BC 的中点，再根据线段之间的关系即可得证．【详解】证明：如图，过点A 作AP ⊥B C 于P ．∵AB =AC ，∴BP =PC ；∵AD =AE ，∴DP =PE ，∴BP−DP =PC−PE ，∴BD =CE ．42．(1)△ABD≌△CBD(2)证明见解析【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS证明△ABD≌△CBD即可；（2）由△ABD≌△CBD可得∠ADB=∠CDB，再结合等腰三角形的性质可得结论.【详解】（1）解：△ABD≌△CBD，理由如下：在△ABD和△CBD中，AD=CDAB=CB，BD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)；（2）∵△ABD≌△CBD，∴∠ADB=∠CDB，∵DA=DC，∴AD⊥AC.43．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，（1）根据题意得∠AEB=∠DFC=90°，由CE=BF得BE=CF，则有Rt△CDF≌Rt△BAE，结合全等的性质即可证明；（2）利用Rt△CDF≌Rt△BAE得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；【详解】（1）证明：∵AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，∴BE=CF，在Rt△CDF与Rt△BAE中，CD=ABCF=BE，∴Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)∴AE=DF，（2）由（1）可知Rt△CDF≌Rt△BAE(HL)，∴∠C=∠B，∴AB∥CD．44．证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证△AEB≌△DFC(AAS)，即可得出结论．∴∵∴∴在∴∴45(2)（（∴∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠ECB．在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB,∠DAC=∠ECB, AC=CB,∴△ADC≌△CEB (AAS)（2）由（1）得△ADC≌△CEB∴CE =AD =5，CD =BE =3，∴BF =DE =CE−CD =5−3=2，∴EF =BF +BE =2+3=5，∴EF =AD ．∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠FEG =∠ADG =90°在△FEG 和△ADG 中，∠FEG =∠ADG,∠FGE =∠AGD,FE =AD,∴△FEG≌△ADG (AAS)，∴DG =EG =12DE =1．46．证明见解析【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明∠BAC =∠EAD ，在用ASA 证明△ABC≌△AED 即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．【详解】证明∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC =∠2+∠EAC∴∠BAC =∠EAD ，在△ABC 和△AED 中，∠B =∠AED AB =AE ∠BAC =∠EAD，∴△ABC≌△AED ．∴AC =AD 47．见解析【分析】先根据SSS 定理得出△ABC≌△DEB （SSS ），故∠ACB =∠EBD ，再根据∠AFB 是△BFC 的外角，可知∠AFB =∠ACB +∠EBD ，可得出∠AFB =2∠ACB，故可得出答案．【详解】解：在△ABC和△BDE中，AC=BDAB=EDBC=BE∴△ABC≌△DEB（SSS）∴∠ACB=∠EBD；∵∠AFB=∠ACB+∠EBD，∴∠AFB=2∠ACB【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．48．见解析【分析】根据中点的定义得出AC=CB，即可根据SSS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△CBE中，AD=CECD=BE，AC=CB∴△ACD≌△CBE(SSS)．【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．49．见解析【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．【详解】解∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．在△ABF和△DCE中，AB=DC∠B=∠CBF=CE∴△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．50．(1)DE=BD+CE，见解析(2)见解析，CE−BD=DE或BD−CE=DE【分析】（1）由BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，得∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，则∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，而AB=CA，即可证明△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD+CE=AE+AD=DE；（2）分两种情况讨论，一是MN与边BC相交且∠BAD<45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则CE−BD=AD−AE=DE；二是MN与边BC相交且∠BAD>45°，同理可证△DAB≌△ECA，得BD=AE，AD=CE，则BD−CE=AE−AD=DE．【详解】（1）证明：∵BD⊥MN,CE⊥MN，∴∠ADB=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，在△ABD和△CAE中，∠ADB=∠CEA∠BAD=∠ACEAB=CA,∴△ABD≅△CAE(AAS)；∴AD=CE,BD=AE，∵DE=AD+AE，∴DE=BD+CE；（2）解：CE−BD=DE或BD−CE=DE，理由：如图2，MN与边BC相交且∠BAD<45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴CE−BD=AD−AE=DE．如图3，MN与边BC相交且∠BAD>45°，∵BD⊥MN于点D，CE⊥MN于点E，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAB=∠ECA=90°−∠EAC，在△DAB和△ECA中，∠DAB=∠ECA∠BDA=∠AEC，AB=CA∴△DAB≌△ECA(AAS)，∴BD=AE，AD=CE，∴BD−CE=AE−AD=DE．【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明△DAB≌△ECA是解题的关键．51．见解析【分析】根据∠1=∠2，可得出∠ACB=∠DCE，然后利用SAS证明△ABC≌△DEC，继而可得出AB=DE．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握SAS证三角形全等是解题的关键．【详解】证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，即∠ACB=∠DCE，在△ABC和△DEC中，CA=CD∠ACB=∠DCE，BC=EC∴△ABC≌△DEC(SAS)，∴AB=DE．52．证明见解析【分析】先利用A S A证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．【详解】在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE=DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．53．见解析【分析】根据题意可以证得△ABC≅△DEF，所以BC=EF，即可得到结论．【详解】根据题意，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠A=∠D，AC=DF∴△ABC≅△DEF，∴BC=EF，∴BC−CE=EF−CE，∴BE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．54．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD，。
专题02 全等三角形中的六种模型梳理(解析版)(人教版)
专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。
类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4【详解】解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴ED =EC ，在△DEF 与△CEA 中，EF EA DEF CEA ED EC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEF ≌△CEA （SAS ），∴AC =FD ，∴∠AFD =∠CAE ，∵∠CAE =∠B ，∴∠AFD =∠B ，∵AD 平分∠BAE ，∴∠BAD =∠FAD ，在△ABD 与△AFD 中，B AFD BAD FAD AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△AFD （AAS ），∴BD =FD ，∴AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD ≌△AFD ，∴AB =AF =2x ，∵BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【变式训练1】如图1，在ABC V 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM Ð=Ð交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC Ð交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC Ð=°，CP kAC =，求CP CM的值．【答案】（1）见解析；（2）21kk +【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM V 中，CM DM AMC BMD AM BM =ìïÐ=Ðíï=î，ACM BDM \D @D ，AC BD \=，2CM CN =Q ，CD CN \=，在DCB V 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =ìïÐ=Ðíï=î,DCB NCB \D @D ，BN BD \=，AC BN \=；（2）如图所示，120AMC Ð=°Q ，60CMN \Ð=°，NP Q 平分MNC Ð，BCN BCM Ð=Ð，1602PNC BCN AMC Ð+Ð=Ð=°，120CON \Ð=°，60COP Ð=°，180CMN BOP \Ð+Ð=°，作CQ CP =，在CPO △与CQO V 中，CQ CP QCO PCO CO CO =ìïÐ=Ðíï=î，CPO CQO \D @D ，123\Ð=Ð=Ð，45\Ð=Ð，在NOB V 与NOQ V 中，45BNO QNO NO NO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，NOB NOQ \D @D ，BN NQ \=，CN CP NB \=+，2CM CP AC \=+，设AC a =，CP ka \=，(1)2a k CM +=，21CP k CM k \=+．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC V 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC V 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC V 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC V 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ^直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．【答案】（1）见解析；（2）7MN =；（3）线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM=+【详解】（1）证明：如图1，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMA CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．（2）解：如图2，延长MP 与NC 的延长线相交于点E ，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BM CE =，BPM CPE S S =△△，∵1BM =，3CN =，4NE CN CE CN BM \=+=+=，7BMP CNP S S +=Q △△，7PNE CPE CNP BMP CNP S S S S S \+=+==△△△△△，214MNE PNE S S \==△△，\14142MN ´´=，7MN \=．（3）位置关系：////BM PG CN ，数量关系：分四种情况讨论∵BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，PG ^直线a 于点G ，∴////BM PG CN ，①如图3，当直线a 与线段BP 交于一点时，由（1）可知PM PE =，12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CN CE =-，2PG CN BM \=-．②当直线a 与线段CP 交于一点时，如图，延长MP 交CN 的延长线于点E ．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CE CN =-，2PG BM CN \=-．③如图4，当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时．由（2）得：()BPM CPE ASA V V ≌，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．④当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时，如图，延长MP 交NC 的延长线于点E．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．综上所述，线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM =+．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且∠MPN ＝60°，∠BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PB PCPM PN=ìí=î，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝12PM，同理可得，CN＝12PN，∴BM+CN＝MN．(2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，BM CHPBM PCHPB PC=ìïÐ=Ðíï=î，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM +∠CPN ＝60°，∴∠CPN +∠CPH ＝60°，∴∠MPN ＝∠HPN ，在△MPN 和△HPN 中，PM PH MPN HPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△HPN （SAS ），∴MN ＝HN ＝BM +CN ，故答案为：一定成立．(3)解：在AC 上截取CK ＝BM ，连接PK ，如图所示，在△PBM 和△PCK 中，90PB PC PBM PCK BM CK =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△PBM ≌△PCK （SAS ），∴PM ＝PK ，∠BPM ＝∠CPK ，∵∠BPM +∠BPN ＝60°，∴∠CPK +∠BPN ＝60°，∴∠KPN ＝60°，∴∠MPN ＝∠KPN ，在△MPN 和△KPN 中，PM PK MPN KPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△KPN （SAS ），∴MN ＝KN ，∵KN ＝NC ﹣CK ＝NC ﹣BM ，∴MN ＝NC ﹣BM ．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =Ð+Ð=°，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD Ð=Ð．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，EF BE FD =-，见解析【解析】(1)EF ＝BE +DF ，理由：延长EB 至G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ABG ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABG ，在△ABG 和△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠BAE +∠DAF ＝∠BAE +∠BAG ＝∠EAF ，即∠EAG ＝∠EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝EF ，∴EF ＝BE +DF ；(2)（1）中结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADF ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADF ，在△ABM 和△ADF 中，AB AD ABM ADF BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∵∠BAM +∠MAD ＝∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD ＝∠MAF，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠EAF ＝12∠MAF ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△AME 和△AFE 中，AM AF EAM EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AME ≌△AFE （SAS ），∴ME ＝EF ，∴ME ＝BE ﹣BM ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔBDF BDE \≌．BF BE \=，2BC BE CE BA AF CE BA CE \=+=++=+，2BC BA CE \-=．【变式训练3】在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CF ECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC，60BAC Ð=°Q ，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°类型三、做平行线证明全等例1．如图所示：ABC V 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ．求让：MD ME=【答案】见详解【详解】过点D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ，∵ABC V 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC ，∴BDE V 是等边三角形，∴BD=DE ，∵BD CE =，∴DE=CE ，又∵∠EMD=∠CME ，∴∆EMD ≅∆CME ，∴MD ME =．【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE ⊥AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝3．【详解】（1）如图1所示，点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴△APF 也是等边三角形，AP =PF =AF =CQ ．∵PF ∥BC ，∴∠PFD =∠DCQ ．在△PDF 和△QDC 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PDF ≌△QDC （AAS ），∴PD =DQ ；（2）如图2所示，过P 作PF ∥BC 交AC 于F ．∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，∴∠PFD =∠QCD ，△APF 是等边三角形，∴AP =PF =AF ．∵PE ⊥AC ，∴AE =EF ．∵AP =PF ，AP =CQ ，∴PF =CQ ．在△PFD 和△QCD 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PFD ≌△QCD （AAS ），∴FD =CD ．∵AE =EF ，∴EF +FD =AE +CD ，∴AE +CD =DE 12=AC ．∵AC =6，∴DE =3．【变式训练2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；ME．【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM 和△EFM 中BDM FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△DBM ≌△EFM ，∴DM =EM ．(2)解：成立；证明：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ；又∵EF //AB ，∴∠ABC =∠EFC ，∴∠EFC =∠C ，∴EF =EC ．又∵BD =EC ，∴EF =BD ．又∵EF //AB ，∴∠ADM =∠MEF ．在△DBM 和△EFM 中BDE FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△DBM ≌△EFM ；∴DM =EM ；类型四、旋转模型例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含a 的式子表示AMB Ð的度数；（2）当90a =°时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ V 的形状，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形；证明见解析．【详解】证明：（1）如图1，ACB DCE a Ð=Ð=Q ，ACB BCD DCE BCD \Ð+Ð=Ð+Ð，ACD BCE ÐÐ\=，在ACD △和BCE V 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACD BCE \≌△△，BE AD \=；ACD BCE V Q V ≌，CAD CBE \Ð=Ð，ABC QV 中，180BAC ABC a Ð+Ð=°-，180BAM CAM ABC a \Ð+Ð+Ð=°-,180BAM ABM a \Ð+Ð=°-，ABM \V 中，180()180(180)AMB BAM ABM a a Ð=°-Ð+Ð=°-°-=；即AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE AD =，AD Q ，BE 的中点分别为点P 、Q ，AP =BQ \，ACD BCE V Q V ≌，CAP CBQ \Ð=Ð，在ACP △和BCQ △中，CA CB CAP CBQ AP BQ =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACP BCQ \≌△△，CP CQ \=，且ACP BCQ Ð=Ð，又90ACP PCB Ð+Ð=°Q ，90BCQ PCB \Ð+Ð=°，90PCQ \Ð=°，CPQ \V 为等腰直角三角形．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC D 和顶角为120°的等腰ABD D 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）MB MN AN =+．证明见解析；（3）2.8．【解析】解：（1）证明：把△DBM 绕点D 逆时针旋转120°得到△DAQ ，则DM =DQ ，AQ =BM ，∠ADQ =∠BDM ，∠QAD =∠CBD =90°，∴点Q 在直线CA 上，∵∠QDN =∠ADQ +∠ADN =∠BDM +∠ADN =∠ABD -∠MDN =120°-60°=60°，∴∠QDN =∠MDN =60°，∵在△MND 和△QND 中，DM DQ QDN MDN DN DN ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△QND （SAS ），∴MN =QN ，∵QN =AQ +AN =BM +AN ，∴BM +AN =MN ；（2）：MB MN AN =+.理由如下：如图，把△DAN 绕点D 顺时针旋转120°得到△DBP ，则DN =DP ，AN =BP ，∵∠DAN =∠DBP =90°，∴点P 在BM 上，∵∠MDP =∠ADB -∠ADM -∠BDP =120°-∠ADM -∠ADN =120°-∠MDN =120°-60°=60°，∴∠MDP =∠MDN =60°，∵在△MND 和△MPD 中，DN DP MDP MDN DM DM ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△MPD （SAS ），∴MN =MP ，∵BM =MP +BP ，∴MN +AN =BM；（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，QND MHNAEN GEHAN GHÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【答案】（1）①60；②AD ＝BE ；（2）a 2＋b 2＝c 2；（3）60°或120°【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =60°，故答案为：60；②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ，故答案为：AD =BE ；（2）∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°．∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE =∠CED =45°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =135°．∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =90°，∴AD 2+AE 2=AB 2，∵AD =a ，AE =b ，AB =c ，∴a 2+b 2=c 2；（3）如图3，由（1）知△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠CAB =∠CBA =60°，∴∠OAB +∠OBA =120°，∴∠AOE =180°-120°=60°，如图4，同理求得∠AOB =60°，∴∠AOE =120°，∴∠AOE 的度数是60°或120°．【变式训练3】如图1，在Rt ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN V 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE V 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN V 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =、PM PN ^；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）492【详解】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN ∥BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ， ∴BD =CE ， ∴PM =PN ，∵PN ∥BD ， ∴∠DPN =∠ADC ，∵PM ∥CE ， ∴∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°， ∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大= 12PM2=12×49=492．类型五、手拉手模型例．在等边ABCV中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长；(2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB Ð=°+Ð，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP V ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ V 的面积．【答案】(1)AF =3；(2)见解析；【解析】(1)解：∵△ABC 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，由旋转知，∠CDF =60°，CD =CF ，∴△DCF 为等边三角形，∴CD =CF ，∠DCF =60°，∴∠DCB =∠ACF ，∴△BCD ≌△ACF ，∴AF =BD ，∵D 为AB 中点，AB =6，∴BD =3，∴AF =3．(2)解：将CF 绕C 顺时针旋转60°得CH ，连接CH ，FH ，EF ，EH ，CD ，在AC 上截取AP =BE ，连接DP ，设CD 交EH 于M ，如图所示，由旋转知，△DEF 、△CFH 为等边三角形，∴DF =EF ，CF =FH ，∠DFE =∠CFH =60°，∴∠DFC =∠EFH ，∴△DCF ≌△BHF ，∴EH =CD ，∠DCF =∠EHF ，由三角形内角和知，∠HMC +∠EHF =∠DCF +∠HFC ，∴∠HMC =∠HFC =60°，∴∠DCE +∠HEC =60°，∵∠DCP +∠DCE =60°， ∴∠CEH =∠DCP ，∵AC =BC ，AP =BE ，∴CP =CE ，∴△ECH ≌△CPD ，∴CH =DP ，∠DPC =∠HCE ，又∠HCE =60°+∠2，∴∠DPC =60°+∠2，由∠1+∠FCG =∠2+∠FCG =60°，知∠1=∠2，又∠AGD =60°+∠1，∴∠AGD =∠DPG ， ∴DP =DG ，∵CH =CF ，∴CF =DG ．(3)：过D 作DH ⊥CB 于H ，连接EF ，如图所示，∵△ABC 为等边三角形，∴∠DBH =60°，∠BDH =30°，∴BD =2BH ，DH ，∵BD =2CE ，∴BH =CE ，设BH =CE =x ，则BD =2x ，EH =6－2x ，AD =6－2x ，由旋转知，△DEF 为等边三角形，∠EDF =60°，∴∠1+∠3=90°，DE =DF ，又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF ≌△HED ，∴∠DAF =∠DHE =90°，∠PAF =30°，AF =DH ，∵∠AFP =90°，∴PF =x ，AP =2x ，过P 作PM ⊥AD 于M ，则AM =x ，DM =6－3x ，PM ，在Rt △PDM 中，由勾股定理得：PD ==故△ADP 周长=AD +AP +PD =6－2x +2x ，∴当x =32时，周长取最小值，最小值为9，此时DP =3，∴BD =AP =3，即D 为AB 中点，P 为AC 中点，∴直线BP 是等边△ABC 对称轴，如图所示，△BDP 沿BP 折叠后，Q 点落在BC 中点处，则△PCQ 面积=14×△ABC 面积=1426【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析【解析】(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°；∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM +BD=BE=AD；(3)解：α=60°，理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°，∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．【答案】（1）BD ＝CE ；（2）BD 2＝54；（3）8【详解】解：（1）BD ＝CE ．理由是：∵∠BAE ＝∠CAD ， ∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中， AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ， ∴BD ＝CE ；（2）如图2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连接EA 、EB 、EC ．∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°， ∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ，∴BD ＝CE ．∵AE ＝AB ＝5，∴BE =∠ABE ＝∠AEB ＝45°，又∵∠ABC ＝45°，∴∠ABC +∠ABE ＝45°+45°＝90°，∴(22222254EC BE BC =+=+=，∴2254BD CE == ．（3）如图，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE ，连接DE ，则BE ＝AD ，△CDE 是等边三角形，∴DE ＝CD ，∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝30°，∴∠BED ＝30°+60°＝90°，在Rt △BDE 中，DE 8，∴CD ＝DE ＝8．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB Ð的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，ACB △和DCE V 均为等腰三角形，ACB DCE a Ð=Ð=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含a 的式子表示）【答案】（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ⊥BE ；（3）a【详解】（1）∵ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠BEC =∠ADC ＝135°，AD ＝BE ，∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD ＝BE（2）AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，（3）同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE（3）如图，延长BE 交AD 于点G，∵ACB △和DCE V 均为等腰三角形，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠CAD ∵ACB DCE a Ð=Ð=，∴∠CBA =∠CAB =()11180=9022a a °-°-∴∠GAB +∠GBA =()()CAD CAB ABC CBE Ð+Ð+Ð-ÐABC CAB =Ð+Ð180a =°-，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )a = ，即直线AD 和BE 的夹角为a ．故答案为：a ．类型六、一线三角模型例.在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC V ≌CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析(3)DE BE AD =-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =-，BE AD DE =+），证明见解析【解析】(1)解：①AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC ACB CEB \Ð=Ð=°=Ð，90CAD ACD \Ð+Ð=°，90BCE ACD Ð+Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；②ADC CEB D @D Q ，CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=+=+；(2)证明：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=-=-；(3)证明：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-或AD BE DE =+或BE AD DE =+．理由如下：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEBAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ，CE AD \=，CD BE =，DE CD CE BE AD \=-=-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =+或BE AD DE =+）．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．【答案】（1）DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）【解析】解：（1）∵∠BAC ＝90°，∴∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝90°，∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE 是△ABD 的一个外角，∴∠BAE ＝∠ADB +∠ABD ，∵∠BDA ＝∠BAC ，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE；（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，∴CN＝3，由（1）可知，△ACM≌△CBN，∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，∴OM＝OC+CM＝4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．【变式训练2】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．。
专题02 全等模型-半角模型(解析版)
专题02 全等模型-半角模型(解析版)全等模型-半角模型(解析版)全等模型是高中数学中的重要概念之一，它在几何图形的研究和证明中占据着重要地位。
而半角模型则是全等模型的一种特殊形式，在解题过程中起到简化问题的作用。
本文将深入探讨全等模型和半角模型，分析其定义、性质以及解题方法。
一、全等模型的定义与性质全等模型是指两个几何图形的各个对应部分完全相等。
当两个几何图形的所有对应角相等，对应边相等时，我们可以称这两个图形是全等的。
全等模型不仅包括了普通的三角形全等模型，还包括了平行四边形、直角三角形等特殊图形的全等模型。
全等模型的性质有以下几点：1. 全等模型的对应边和对应角相等。
2. 全等模型的对应线段相等。
3. 全等模型的对应角度相等。
二、半角模型的定义与性质半角模型是指含有一个角的两个图形，其中一个角为已知角，另一个角为未知角。
半角模型常见于求解未知角度的问题，特别是在解三角形问题时经常使用。
半角模型的性质有以下特点：1. 已知角和未知角的对应边是相等的。
2. 已知角和未知角的对应边可以通过等式关系来求解。
3. 半角模型可以通过运用角平分线的性质来简化问题。
三、全等模型与半角模型的关系全等模型包含了半角模型，因为当一个图形是全等模型时，我们可以通过已知角和对应边的关系来推导出未知角的值。
而半角模型是全等模型的一种特殊情况，它将求解未知角度的问题简化为已知角和对应边之间的关系。
在解题过程中，我们可以将全等模型转化为半角模型，通过已知条件等式的关系求解未知角度。
这种转化能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，并且降低解题的难度。
四、利用半角模型解题的具体方法利用半角模型解题的具体方法如下：1. 根据已知条件画出给定图形，并标出已知角度和对应边。
2. 将问题转化为半角模型，确定未知角度。
3. 利用已知角度和对应边之间的关系，建立方程或等式。
4. 解方程或等式，求解未知角度的值。
5. 检验解的合理性，并进行必要的推理和证明。
部编数学八年级上册专题02三角形内角外角问题(解析版)含答案
2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题02 三角形内角外角问题一、选择题1. （2023湖北宜昌）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a ，b ，c ．如果170=°∠，则2Ð的度数为（ ）A. 110°B. 70°C. 40°D. 30°【答案】C 【解析】可求34570Ð=Ð+Ð=°，由25Ð=Ð，即可求解．如图，由题意得：430Ð=°，a b ∥，3170\Ð=Ð=°，34570Ð=Ð+Ð=°Q ，540\Ð=°，2540\Ð=Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．2. （2023大连）如图，直线,45,20AB CD ABE D Ð=Ð=°°∥，则E Ð的度数为（ ）A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°【答案】B 【解析】先根据平行线的性质可得45ABE BCD ÐÐ==°，再根据三角形的外角性质即可得．,45AB CD ABE Ð=°Q ∥，45ABE BCD \=Ð=а，20D Ð=°Q ，25BCD D E Ð-Ð==\а，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3. （2023内蒙古包头）如图，直线a b P ，直线l 与直线,a b 分别相交于点,A B ，点C 在直线b 上，且CA CB =．若132Ð=°，则2Ð的度数为（ ）A. 32°B. 58°C. 74°D. 75°【答案】C 【解析】由CA CB =，132Ð=°，可得1801742CBA CAB °-ÐÐ=Ð==°，由a b P ，可得2CBA Ð=Ð，进而可得2Ð的度数．∵CA CB =，132Ð=°，∴1801742CBA CAB °-ÐÐ=Ð==°，∵a b P ，∴274CBA Ð=Ð=°，故选：C ．【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．4. （2023山东东营）如图，AB CD ∥，点E 在线段BC 上（不与点B ，C 重合），连接DE ，若40D Ð=°，60BED Ð=°，则B Ð=（ ）A. 10°B. 20°C. 40°D. 60°【答案】B 【解析】根据三角形的外角的性质求得20C Ð=°，根据平行线的性质即可求解．∵40D Ð=°，60BED Ð=°，∴20C BED D Ð=Ð-Ð=°，∵AB CD ∥，∴B Ð=20C Ð=°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．5. （2023山东聊城）如图，分别过ABC V 的顶点A ，B 作AD BE P ．若25CAD Ð=°，80EBC Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A. 65°B. 75°C. 85°D. 95°【答案】B 【解析】根据两直线平行，同位角相等，得到80E ADC BC =°Ð=Ð，利用三角形内角和定理计算即可．∵AD BE P ，80EBC Ð=°，∴80E ADC BC =°Ð=Ð，∵25CAD Ð=°，∴71805ACB ADC CAD =°Ð=°-Ð-Ð，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键．6. （2023深圳）如图为商场某品牌椅子侧面图，120DEF Ð=°，DE 与地面平行，50ABD Ð=°，则ACB =∠（ ）A. 70°B. 65°C. 60°D. 50°【答案】A 【解析】根据平行得到50ABD EDC Ð=Ð=°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．由题意，得：DE AB ∥，∴50ABD EDC Ð=Ð=°，∵120DEF EDC DCE Ð=Ð+Ð=°，∴70DCE Ð=°，∴70ACB DCE Ðа==；故选A ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．7. （2023湖北荆州）如图所示的“箭头”图形中，AB CD ∥，80B D Ð=Ð=o ，47E F Ð=Ð=o ，则图中G Ð的度数是（ ）的A. 80oB. 76oC. 66oD. 56o【答案】C 【解析】延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，根据平行线的性质即可解答．如图，延长AB 交EG 于点M ，延长CD 交GF 于点N ，过点G 作AB 的平行线GH ，4780,E F EBA FDC Ð=Ð=Ð=Ð=o o Q ，33EMA EBA E \Ð=Ð-Ð=°，33FNC FDC F Ð=Ð-Ð=°，,AB CD AB HG ∥∥Q ，HG CD \∥，33MGH EMA \Ð=Ð=°，33NGH FND Ð=Ð=°，333366EGF \Ð=°+°=°，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．8. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C 【解析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∥，∵AB CD∴∠A＝∠D=30°，故选：C．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．9．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°【答案】B【解析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．如图，∵∠2＝90°﹣30°＝60°，∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝75°．10.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）A.15°B.25°C.30°D.10°【答案】A．【解析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键。
专题02 全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)
专题02全等三角形的性质与判定压轴题八种模型全攻略考点一全等三角形的概念考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和考点三全等三角形的性质考点四用SSS证明三角形全等考点五用SAS证明三角形全等考点六用ASA证明三角形全等考点七用AAS证明三角形全等考点八用HL证明三角形全等考点一全等三角形的概念例题：（2021·福建·福州三牧中学八年级期中）有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的说法有() A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】先分别验证①②③④的正确性，并数出正确的个数，即可得到答案.【详解】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.【点睛】本题主要考查了全等的定义、全等三角形图形的性质，即全等三角形对应边相等、对应角相等、面积周长均相等.【变式训练】1．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在△ABC和△A′B′C′中，已知AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′，那么△ABC≌△A′B′C′．说理过程如下：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于＝，所以可以使点B与点B′重合．又因为＝，所以射线能落在射线上，这时因为＝，所以点与重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．【答案】AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'【解析】【分析】直接利用已知结合全等的定义得出答案．【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上，使点A与点A′重合，由于AB＝A'B'，所以可以使点B与点B′重合．又因为∠A＝∠A′，所以射线AC能落在射线A'C'上，这时因为AC＝A'C'，所以点C与C'重合．这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′．故答案为：AB，A'B'，∠A，∠A′，AC，A'C'，AC＝A'C'，C，C'．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细读题，理解填空．考点二利用全等图形求正方形网格中角度之和例题：（2021·全国·八年级专题练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【解析】【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB +∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．【变式训练】1．（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在44⨯的正方形网格中，求αβ+=______度．【答案】45【解析】【分析】连接AB ，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB∵图中是44⨯的正方形网格∴AD CE =，ADB AEC ∠=∠，DB AE =∴()ADB CEA SAS △≌△∴EAC ABD α∠=∠=，AB AC =∵90ABD BAD ∠+∠=︒∴90EAC BAD ∠+∠=︒，即90CAB ∠=︒∴45ACB ABC ∠=∠=︒∵BD CE ∥∴BCE DBC β==∠∠∵ABC ABD DBC αβ=+=+∠∠∠∴45αβ+=︒故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．2．（2020·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【答案】135【解析】【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出13∠+∠的值，即可得出答案；【详解】 如图所示，在△ACB 和△DCE 中，AB DE A D AC DC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△ACB DCE SAS ≅，∴3ABE ∠=∠，∴()12313459045135∠+∠+∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒；故答案是：135︒．【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键．考点三 全等三角形的性质例题：（2021·重庆大足·八年级期末）如图，ABC 和DEF 全等，且A D ∠=∠，AC 对应DE ．若6AC =，5BC =，4AB =，则DF 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．无法确定【答案】A【解析】【分析】 全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．【详解】∵ABC 和DEF 全等，A D ∠=∠，AC 对应DE∴ABC DFE ≅∴AB =DF =4故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．【变式训练】1．（2022·云南昆明·三模）如图，ABC DEF △≌△，若80,30A F ∠=︒∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．80°B ．70°C ．65°D ．60°【答案】B【解析】【分析】 由ABC DEF △≌△根据全等三角形的性质可得30C F ∠=∠=︒，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】ABC DEF ≌，C F ∠=∠∴，30F ∠=︒，30C ∴∠=︒，80,180A A B C ∠=︒∠+∠+∠=︒，18070B A C ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·上海·七年级专题练习）如图所示，D ，A ，E 在同一条直线上，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，且△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，求(1)DE 的长；(2)∠BAC 的度数．【答案】(1)6cm DE =；(2)90BAC ︒∠=【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠D ＝90°，求得∠DBA +∠BAD ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA ＝∠CAE 等量代换即可得到结论．(1)解：∵△ABD ≌△CAE ，AD ＝2cm ，BD ＝4cm ，∴AE ＝BD ＝4cm ，∴DE ＝AD +AE ＝6cm ．(2)∵BD ⊥DE ，∴∠D ＝90°，∴∠DBA +∠BAD ＝90°，∵△ABD ≌△CAE ，∴∠DBA ＝∠CAE∴∠BAD +∠CAE ＝90°，∴∠BAC ＝90°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．考点四 用SSS 证明三角形全等例题：（2022·河北·平泉市教育局教研室二模）如图，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =，DE AB =．(1)求证：ABC EDB ≌；(2)判断AC 和BD 的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）运用SSS 证明即可；（2）由（1）得DBE BCA ∠=∠，根据内错角相等，两直线平行可得结论．(1)在ABC ∆和EDB ∆中，BD BC BE AC DE AB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABC EDB ∆≅∆(SSS )；(2)AC 和BD 的位置关系是AC BD ，理由如下：∵ABC EDB ∆≅∆∴DBE BCA ∠=∠，∴AC BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．【变式训练】1．（2021·河南省实验中学七年级期中）如图，在线段BC 上有两点E ，F ，在线段CB 的异侧有两点A ，D ，且满足AB CD =，AE DF =，CE BF =，连接AF；(1)B 与C ∠相等吗？请说明理由．(2)若40B ∠=︒，20∠=DFC °，AF 平分BAE ∠时，求BAF ∠的度数．【答案】(1)B C ∠=∠，理由见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“SSS ”可证△AEB ≌△DFC ，可得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠AEB ＝∠DFC ＝20°，可求∠EAB ＝120°，由角平分线的性质可求解．(1)解：B C ∠=∠，理由如下：∵CE BF =∴BE CF =在AEB △和DFC △中AB CD AE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AEB DFC ≌△△∴B C ∠=∠(2)解：∵AEB DFC ≌∴20AEB DFC ∠=∠=︒∴180120EAB B AEB ∠=︒-∠-∠=︒∵AF 平分BAE ∠ ∴1602BAF BAE ∠=∠=︒ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，CB AB ⊥于点B ，CD AD ⊥于点D ，点E ，F 分别在AB ，AD 上，AE AF =，CE CF =．(1)若8AE =，6CD =，求四边形AECF 的面积；(2)猜想∠DAB ，∠ECF ，∠DFC 三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC ，证明见解析【解析】【分析】（1）连接AC ，证明△ACE ≌△ACF ，则S △ACE ＝S △ACF ，根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ，根据S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE 求解即可；（2）由△ACE ≌△ACF 可得∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC ＝∠DAB ＋∠ECF ．可得∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC(1)解：连接AC ，如图，在△ACE 和△ACF 中AE AF CE CF AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△ACF （SSS ）．∴S △ACE ＝S △ACF ，∠F AC ＝∠EAC ．∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD ，∴CD ＝CB ＝6．∴S △ACF ＝S △ACE ＝12AE ·CB ＝12×8×6＝24．∴S 四边形AECF ＝S △ACF ＋S △ACE ＝24＋24＝48．(2)∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC证明：∵△ACE ≌△ACF ，∴∠FCA ＝∠ECA ，∠F AC ＝∠EAC ，∠AFC ＝∠AEC ．∵∠DFC 与∠AFC 互补，∠BEC 与∠AEC 互补，∴∠DFC ＝∠BEC ．∵∠DFC ＝∠FCA ＋∠F AC ，∠BEC ＝∠ECA ＋∠EAC ，∴∠DFC ＋∠BEC ＝∠FCA ＋∠F AC ＋∠ECA ＋∠EAC＝∠DAB ＋∠ECF ．∴∠DAB ＋∠ECF ＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．考点五 用SAS 证明三角形全等例题：（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）如图，点O 是线段AB 的中点，∥OD BC 且OD BC =．求证：AOD OBC ≌．【答案】见解析【解析】【分析】根据线段中点的定义得到AO BO =，根据平行线的性质得到AOD OBC ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论.【详解】证明：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO BO =，∵∥OD BC ，∴AOD OBC ∠=∠，在△AOD 与△OBC 中，AO BO AOD OBC OD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AOD OBC SAS ≌．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2022·云南普洱·二模）如图，ABC 和EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC DE =，//AB EF ，.AB EF =求证：BC FD =．【答案】见解析【解析】【分析】利用//AB EF ，得到A E ∠=∠，再用AC DE =，AB EF =，得到ABC ≌EFD △（SAS ），然后用三角形全等的性质得到结论即可．【详解】证明：//AB EF ，A E ∴∠=∠，在ABC 和EFD △中AC DE A E AB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABC ∴≌EFD △（SAS ），BC FD ∴=．【点睛】本题考查三角形全等的判定，平行线的性质，找到三角形全等的条件是解答本题的关键．2．（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，点B 、C 、E 、F 共线，AB =DC ，∠B =∠C ，BF =CE ． 求证：△ABE ≌△DCF．【答案】证明见解析；【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；即可证明；【详解】证明：∵点B、C、E、F共线，BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，∴BE=CF，△ABE和△DCF中：BA=CD，∠ABE=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；【点睛】本题考查了全等三角形的判定；掌握（SAS）的判定条件是解题关键．考点六用ASA证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB ＝CD，求证：BC＝DE．【答案】见解析【解析】【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等．【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知）∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义）∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义）∠ACE＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·广西百色·二模）如图，在△ABC 和△DCB 中，∠A ＝∠D ，AC 和DB 相交于点O ，OA ＝OD ．(1)AB ＝DC ；(2)△ABC ≌△DCB ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）证明△ABO ≌△DCO （ASA ），即可得到结论；（2）由△ABO ≌△DCO ，得到OB ＝OC ，又OA ＝OD ，得到BD ＝AC ，又由∠A ＝∠D ，即可证得结论．(1)证明：在△ABO 与△DCO 中，A D OA ODAOB DOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABO ≌△DCO （ASA ）∴AB ＝DC ；(2)证明：∵△ABO ≌△DCO ，∴OB ＝OC ，∵OA ＝OD ，∴OB ＋OD ＝OC ＋OA ，∴BD ＝AC ，在△ABC 与△DCB 中，AC BD A D AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．（2022·贵州遵义·八年级期末）如图，已知AB DE ∥，ACB D ∠=∠，AC DE =．(1)求证：ABC EAD ≅．(2)若60BCE ∠=︒，求BAD ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得CAB E ∠=∠，利用“角边角”即可证明ABC EAD ≅；（2）由邻补角的定义求出180120ACB BCE ∠=︒-∠=︒，进而得到120D ∠=︒，再利用两直线平行同旁内角互补求出BAD ∠．由两直线平行得(1)证明：AB DE ，CAB E ∴∠=∠，在ABC 和EAD中，CAB E AC DEACB D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ABC EAD ∴≅．(2)解：60BCE ∠=︒，180ACB BCE ∠+∠=︒，180120ACB BCE ∴∠=︒-∠=︒，120D ACB ∴∠=∠=︒，AB DE ，180∴∠+∠=︒D BAD ，180********BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义、全等三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．考点七 用AAS 证明三角形全等例题：（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知BE 与CD 相交于点O ，且BO ＝CO ，∠ADC ＝∠AEB ，那么△BDO 与△CEO 全等吗？为什么？【答案】△BDO ≌△CEO （AAS ）；原因见解析【解析】【分析】根据AAS 证明△BDO 与△CEO 全等即可．【详解】解：△BDO 与△CEO 全等；∵∠BDO ＝180°﹣∠ADC ，∠CEO ＝180°﹣∠AEB ，又∵∠ADC ＝∠AEB ，∴∠BDO ＝∠CEO，∵在△BDO 与△CEO 中，BDO CEO BOD COE BO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDO ≌△CEO （AAS ）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式训练】1．（2022·福建省福州第一中学模拟预测）如图，已知A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE =∠CDF ，AF =CE ．求证：AB =CD ．【答案】见详解【解析】【分析】根据全等三角形证明△ABE ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质解答即可．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠ACD =∠CAB ，∵AF=CE ，∴AF+EF=CE+EF ，即AE =FC ，在△ABE 和△CDF 中，ACD CAB ABE CDF AE CF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABE ≌△CDF （AAS ）．∴AB =CD ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定及性质，一般证明线段相等先大致判断两个线段所在三角形是否全等，然后再看证明全等的条件有哪些．2．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，CF //AB ，DF 交AC 于E 点，DE＝EF ．(1)求证：△ADE ≌△CFE ；(2)若AB ＝5，CF ＝4，求BD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)BD ＝1【解析】【分析】（1）利用角角边定理判定即可；（2）利用全等三角形对应边相等可得AD 的长，用AB ﹣AD 即可得出结论．(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠ADF ＝∠F ，∠A ＝∠ECF ．在△ADE 和△CFE 中，A ECF ADE F DE FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）．(2)∵△ADE ≌△CFE ，∴AD ＝CF ＝4．∴BD ＝AB ﹣AD ＝5﹣4＝1．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．考点八 用HL 证明三角形全等例题：（2022·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）如图，AB =CD ，AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，且BF =CE．(1)求证AE=DF；(2)判定AB和CD的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析∥，理由见解析(2)AB CD【解析】【分析】（1）只需要利用HL证明Rt△ABE≌Rt△DCF即可证明结论；∥．（2）根据Rt△ABE≌Rt△DCF即可得到∠B=∠C，即可证明AB CD(1)解：∵BF=CE，∴BF-EF=CE-EF，即BE=CF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°，又∵AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴AE=DF；(2)∥，理由如下：解：AB CD∵Rt△ABE≌Rt△DCF，∴∠B=∠C，∥．∴AB CD【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求证：△ACB ≌△BDA ；(2)若∠CAB =54°，求∠CAO 的度数．【答案】(1)见解析(2)18°【解析】【分析】（1）根据HL 证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ；（2）先求出∠ABC 的度数，即可利用全等三角形的性质求出∠BAD 的度数，由此即可得到答案．(1)证明：∵∠D =∠C =90°，∴△ABC 和△BAD 都是直角三角形，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，BC AD AB BA ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）；(2)解：在Rt △ABC 中，∠CAB =54°，∠ACB =90°，∴∠ABC =36°，∵Rt △ABC ≌Rt △BAD ，∴∠ABC =∠BAD =36°，∴∠CAO =∠CAB -∠BAD =54°-36°=18°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·江西·永丰县恩江中学八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，BC =AB ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ．(1)求证：Rt △ABE ≌Rt △CBF ；(2)若∠CAB =30°，求∠ACF 的度数．【答案】(1)证明见解析(2)60︒【解析】【分析】（1）由“HL ”可证Rt △ABE ≌Rt △CBF ；（2）由AB =CB ，∠ABC =90°，即可求得∠CAB 与∠ACB 的度数，即可得∠BAE 的度数，又由Rt △ABE ≌Rt △CBF ，即可求得∠BCF 的度数，则由∠ACF =∠BCF +∠ACB 即可求得答案．(1)∵∠ABC =90°，∴∠CBF =∠ABE =90°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AE CF AB BC=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABE ≌Rt △CBF （HL ）；(2)∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠CAB =∠ACB =45°，∴∠BAE =∠CAB -∠CAE =45°-30°=15°。
初中数学经典几何模型02-倍长中线模型构造全等三角形(含答案)
初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS ”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE =AD ，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。
(AB+AC)2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜123、如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？【基础训练】1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.2、如图所示，已知△AB C中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.4、如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？5、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ，求证：AB =AC ．G FEAD BC CDBA【巩固提升】1、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．AD2、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．DCBA3、如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．D CB A3、 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．F ED CBA4、 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCBA5、 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA6、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DC B=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．G FE D CB A初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形 答案【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
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专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14)12.3角平分线的性质 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 角平分线的性质 (17)知识点2 角平分线的判定 (17)知识点3 三角形的内心和旁心 (17)二、典型题型 (17)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17)题型2 三角形内心的应用 (18)三、添加辅助线方法 (20)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20)方法2 过边上的点向两边作垂线 (22)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。
对称图形要求更苛刻些。
②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。
3）找对应角对应边的方法①图形特征法②字母顺序确定法知识点3 全等三角形的性质与拓展1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形a.对应边、对应角相等b.周长、面积相等c.对应边上的中线、角平分线、高相等知识点4 全等变换的保形性1）只改变图形的位置，不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图形全等变换。
注：①平移、翻折、旋转都是全等变换②缩放不是全等变换12.2三角形全等的判定知识框架一、基础知识点知识点1 全等三角形判定条件1）三角形全等判定总结：①三角形全等证明，需要边、角组合3个条件②边、角组合（共6种）：a.SSS 可判定b.SAS 可判定c.SSA 需添加限定条件d.AAA 显然不能e.ASA 可判定f.AAS 可判定③SSAa.显然△ADB与△ACB不全等b．发现这两个三角形，一个为锐角，一个为钝角。
实际：SSA+定理证明）可证明全等（利用正弦直角同为钝角或同为锐角或⎪⎩⎪⎨⎧ 2）SSA 的特殊形式HL三角形全等判定五：斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL ）二、典型题型题型1 全等三角形的判定方法：5种判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （特殊形式的SSA ） 解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形； 2）寻找边角相等的3组条件。
3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理 寻找第3个条件思路： 原则1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边 方法：例1.如图，已知D ，E 分别为AB ，AC 上两点，AD=AE ，BD=CE ，求证：∠B=∠C 。
【答案】∵AD=AE，BD=EC ∴AB=AC在△AEB与△ADC中∴△AEB≌△ADC∴∠B=∠C三、添加辅助线方法方法1 关于中点的辅助线一、已知中点（1）中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1.如图，△ABC中，D为BC的中点（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。
【答案】（1）证明：如下图，延长AD至点E，使DE=AD，连BE∵点D是BC的中点∴BD=DC在△EBD与△ACD中∴△EBD≌△ACD∴AC=BE在△ABE中，AB+BE＞AE∵AB+BE=AB+AC，AE=AD+DE=2AD∴AB+AC＞2AD（2）在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB+BE∴AB－AC＜2AD＜AB+AC即2＜2AD＜8，化简得：1＜AD＜4例2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
【答案】证明：如下图，延长AD至点F，使AD=DF，连BF∵AD是△ABC的中线∴BD=DC在△BDF与△CDA中∴△BDF≌△CDA∴BF=AC，∠BFA=∠DAC∴∠BAF+∠BFA=∠BAF+∠DAC=∠BAC∵∠BAC=∠BCA∴∠BAF+∠BFA=∠BCA∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=180°=∠ACE+∠ACB∴∠ABF=∠ACE在△ABF与△ECA中∴△ABF≌△ECA∴AE=AF=2AD（2）向中线作垂线：过线段两端点向终点处的线段作垂线。
目的：构造出一组全等三角形辅助线技巧：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
例1.已知AC=BC，AC⊥BC，过C点任作直线l，过点A、B分别作l的垂线AD、BE，垂足分别为D，E。
若AD=2，BE=4，求DE的长。
【答案】情况一如下入所示，直线l在△ABC的外侧∵AC⊥BC∴∠ACB=90°∴∠ECB+∠DCA=90°∵∠DAC+∠DCA=90°∴∠DAC=∠ECB在△CDA与△BEC中∴△CDA≌△BEC∴AD=CE，DC=EB∵AD=2，BE=4∴CE=2，DC=4,∴DE=2+4=6情况二如下入所示，直线l在△ABC的内侧同理可证△ADC≌△CEB∴AD=CE，BE=DC∵AD=2，BE=4∴CE=2，CD=4∴DE=4－2=2例2.如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F。
求证：点F是ED的中点；【答案】证明：过点E作EG垂直于BF的延长线于点G∵EB⊥AB∴∠EBA=90°∴∠EBG+∠ABC=90°∵∠C=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∴∠EBG=∠BAC在△ABC与△BEG中∴△ABC≌△BEG∴BC=EG∵BC=BD∴EG=BD在△EGF与△DBF中∴△EGF≌△DBF∴EF=DF∴点F是ED的中点二、证中点（需证2次全等）（1）过端点作另一边的平行线：目的：构造出一组全等三角形特点：中线倍长的反向应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。
求证：D是AC的中点。
【答案】：如图，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点F∵CF∥AB∴∠ABD=∠DFC∴∠DBC+∠BFC=∠ABC∵∠ABC=∠ACB∴∠ACB=∠DBC+∠BFC∵∠BCF+∠DBC+∠BFC=180°，∠BCE+∠ACB=180°∴∠BCF=∠BCE在△BCF与△BCE中∴△BCF≌△BCE∴CF=CE∵CE=AB∴AB=CF在△ABD与△CFD中∴△ABD≌△CFD∴AD=DC∴D是AC的中点例2.如图，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M。
求证：M是BC的中点。
【答案】：如图，过点B作AC的平行线，交AM的延长线于点F∵BF∥AC∴∠BFA=∠MAC∴∠BFA+∠BAF=∠BAF+∠MAC=∠BAC∵AC⊥AD，AB⊥AE∴∠DAC+∠BAE=180°=DAB+∠BAC+∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠BAC又∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=∠ABF+∠BAC∴∠FBA=∠DAE∵AG⊥DE∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠AEH=90°∵∠BAF+∠HAE=90°∴∠BAF=∠AEH在△BAF与△AEF中∴△BAF≌△AEF∴BF=AD∵AD=AC∴BF=AC在△FBM与△ACM中∴△FBM≌△ACM∴BM=MC∴M是BC的中点（2）两端点向中线作垂线：目的：构造出一组全等三角形特点：与已知中点时向中线作垂线方法一致例1.如图，AB⊥AC，AB=AC，D是AB上一点，CE⊥CD，CE=CD，连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点。
【答案】：如图，过点E作EG垂直FC交FC于点G∵CE⊥CD，AB⊥AC，EG⊥FC∴∠DCE=∠BAC=∠EDC=90°∴∠ECG+∠ACD=90°，∠ADC+∠ACD=90°∴∠ADC=∠ECG在△ADC与△GCE中∴△ADC≌△GCE∴EG=AC∵AC=AB∴AB=EG在△ABF与△GEF中∴△ABF≌△GEF∴BF=EF∴点F是BE的中点例2.如图，A、B、C三点共线，D、C、E三点共线，∠A=∠DBC，EF⊥AC于点F，AE=BD。
（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB=2CF【答案】：（1）证明：过点D作DG垂直AC，交AC的延长线于点G∵EF⊥AC，DG⊥AC∴∠AFE=∠DGB=90°在△AFE与△BGD中∴△AFE≌△BGD∴FE=DG在△DCG与△ECF中∴△DCG≌△ECF∴DC=CE∴点C是DE的中点（2）AB=AF－BF=BG－BF=FG=FC+CG∵△DCG≌△ECF∴FC=CG∴AB=2CF方法2 作垂线构造全等求点的坐标方法：求点P的坐标，过点P作横纵坐标的垂线，将求坐标转化为线段。
利用直角三角形和题干中的特殊条件求证全等三角形，进而求解线段长度。
例1．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，A（0,3），C（1,0），求B点的坐标。
【答案】：如下图，过点B作x轴的垂线，交x轴于点D。
点O为坐标轴原点∵AC⊥BC∴∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACO=90°∵∠OAC+∠ACO=90°∴∠OAC=∠BCD在△OAC与△DCB中∴△OAC≌△DCB∴AO=DC，OC=BD∵A（0,3），C（1,0）∴OA=3，OC=1∴CD=3，DB=1∴OD=4∴B（4,1）例2．如图，△ACB为等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B点的坐标。