电磁场的相对论变换.

电磁场的相对论变换
摘要：该文章我们从实验事实出发导出洛伦兹变换，接着讨论相对论的时空性质，然后研究物理规律协变性的数学形式。

在此基础上根据相对性原理，我们把描述电磁规律的麦克斯韦方程组和洛伦兹力公式写成协变形式，并导出电磁场的变换关系。

最后介绍运动带电粒子激发的电磁场。

关键词：洛伦兹变换、协变性、相对性原理
目录
引言 (1)
1 爱因斯坦的基本假设 (2)
1.1伽利略变换 (2)
1.2伽利略相对性原理 (3)
1.3爱因斯坦的选择 (3)
2 相对论力学的若干结论 (3)
2.1洛伦兹变换 (4)
2.2四维速度 (4)
2.3四维动量 (5)
3电磁规律的协变性和电荷不变性 (5)
4电磁场的变换 (7)
4.1电磁场的变换公式 (7)
4.2运动点电荷的电场 (9)
4.3运动点电荷的磁场 (12)
结束语 (15)
参考文献 (16)
致谢 (18)
引言
现代科学技术发展迅速，经典电磁场理论的应用已深入到许多领域中去，要了解在这些领域中如何应用电磁场的基本原理来解决各种实际问题还需要进一步学习进一步有关的知识。

本文就几个关系比较密切的发面作以简单的初步介绍，目的在于对电磁场理论的发展和应用有所了解，同时也有助于对已学过的知识加深认识，并为进一步学习创造条件。

麦克斯韦的电磁场理论和相对论的发展有密切关系，麦克斯韦提出的电磁理论和当时经典力学的时空概念不适合。

这是19世纪后期物理学者讨论和研究的重要问题之一。

爱因斯坦提出狭义相对论后问题才得到澄清。

麦克斯韦的电磁理论和狭义相对论基本原理是一致的，学习相对论有助于深化对电磁场理论的了解。

借助相对论可是我们知道，磁现象的出现是电荷的相对运动的结果，从而获得对电和磁的统一性的进一步认识。

1 爱因斯坦的基本假设 1.1 伽利略变换
在两个惯性参考系K 和 'K 上各取一个固定的坐标系oxyz 和''''z y x o 。

为了方便，假设两个坐标系的对应坐标轴互相平行，同时设'K 和K 以速度v 沿x 轴的正方向运动，并且在t='t 时两坐标系的原点o 和'o 重合。

如果我们不把坐标系取成这样的特殊形式，则得到的数学形式将要复杂一些，但最后其物理结果是相同的。

在经典力学中，联系两惯性系的时空坐标关系式，即伽利略变换式为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧===-=t
t z z y y vt x x '''' （1.1.1）
这个变换式集中反映了经典力学的时空观。

例如，有两个物理事件，在K 系中的时空坐标分别为（1111,,,t z y x ）和（2222,,,t z y x ）。

由上式有 1212''t t t t -=- 上式表明两物理事件的时间间隔不因惯性参考系的变换而改变，即是绝对的，且若两事件在K 系中同时发生，则在'K 系也是同时发生的，即与参考系的选择无关。

也就是说，在不同的惯性参考系中时间间隔和同时性是绝对的。

两个同时发生的事件之间的距离为：
()12112212''x x vt x vt x x x -=---=-
上式表明空间距离与参考系的选择无关，即是绝对的。

根据伽利略变换，可以得到粒子在两惯性系K 和'K 之间的速度变换公式
z z y y x x u u u u v u u ==-=',','。

（1.1.2）
在经典力学中，粒子的质量与速度无关，因而在不同的参考系中，同一粒子的质量是相同的。

同时，牛顿力学的运动规律不论在那个坐标系下的结果都是一样的。

那么这就是说，在经典时空观念下，力学的运动规律并不会因为惯性参考系的不同而发生变化，所以在经典力学中，所有惯性参考系都可以被看作是一样地等价的，这就是伽利略相对性原理的简单概括。

1.2 伽利略性对象原理的困难
我们知道，从麦克斯韦方程组，可得电磁波在真空中传播的速度等于光速c ，
但按式()2.1.1，如果电磁波在某一惯性系K中的传播速度是c，则在相对于该惯性系以速度v运功的另一惯性参考系'K内，该电磁波的传播速度不在是c，而是c-
='。

如果事实就是这样，那么麦克斯韦方程组就只是对某一个特别的参考c
v
系成立（在这个特别的参考系里电磁波的传播速度才能保持为c，不会改变），显然这个参考系要比其他参考系更高一级，更加特别。

这样，麦克斯韦方程组在所以惯性系中将不是平等的，换句话说，电磁规律不满足伽利略相对性原理。

最初一些科学家的设想是，电磁波或光是在某种“以太”媒质中发生震动的传播，如同声波是在空气媒质中震动的传播一样，并赋予它很多特殊的性质，认为它就是那个特殊的参考系，即“以太”参考系]1[。

因此寻找这个“以太”参考系以及研究地球相对于这个参考系的运动情况就是上世纪末物理学家们一直所研究的内容。

但许多实验（其中包括著名的迈克尔逊-莫雷实验）都表明，地球相对于“以太”参考系的运动，事实上式找不到的，这样就否定了“以太”参考系的存在，因此，人们不得不另找途径。

相对性原理是大家普遍接受的基本假设。

在这个前提下，人们能够选择的途径只有两条：
（1）相对性原理既适应于经典力学，也适应于电磁学，但麦克斯韦方程并不准确，这才出现了相对性原理对于麦克斯韦方程组不成立的问题。

要是这种想法是正确的，我们应该修改电磁学方程组。

对于修改后的电磁学方程，伽利略变换式也是正确的。

但这种假设很快就被否定了，因为由于赫兹，洛伦兹和其他人的不断进行假设与论证，麦克斯韦理论最终被证明是正确的，因此电磁学方程不成立的这一说法是没有依据的。

（2）相对性原理对经典力学和电磁学都是正确的，但牛顿定律就出现了错误。

要是这种想法是正确的，我们应该修改力学定律。

如果这样，正确的变换将不是伽利略变换式（因为它与牛顿力学定律的不变性一致，而与麦克斯韦方程组的不变性有抵触），因而应当是另外一种既适用于电磁学，也适应于修改后的力学定律的一种新的变换式。

1.3 爱因斯坦的选择
面对上述困难，爱因斯坦选择了第二条途径，提出了下列两条基本假设作为狭义相对理论的基本出发点：
（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的，物理规律（包括力学和电磁学）对所有的惯性参考系都可以表示为相同的数学形式，不存在一个优于其他惯性系的
绝对惯性参考系。

（2）光速不变原理：在任何惯性参考系内，光在真空中的传播速度恒为c ，并且与光源的运动情况无关。

2 相对论的若干结论 2.1 洛伦兹变换
假设K 和'K 是两个惯性系，取直角坐标系oxyz 和''''z y x o ,且对应各坐标轴互相平行。

'K 系相对于K 系以速度v 沿x 方向作匀速运动。

在0'==t t 时刻原点o 、'o 重合。

如果把时间写成虚变量ict w = （1-=i ）
，以()w z y x ,,,为闵可夫斯基空间中的四维矢量，洛伦兹变换为
()()
'i '''
'i 'x x w y y z z w w x γβγβ=-===+
()()
'i '''i x x w y y z z
w w x γβγβ=+===-
式中c v =β，211βγ-=。

洛伦兹变换是复四维闵可夫斯基空间里的正交变换，它刻画了闵可夫斯基空间的一种转动。

如果（t z y x A A A A ,,,）与(w z y x ,,,)一样地服从洛伦兹变换：
()()
'i '''i x x t y y z z
t t x A A A A A A A A A A γβγβ=+===-
()()
'i '''
'i 'x x t y y z z t t x A A A A A A A A A A γβγβ=-===+
则它是个四维矢量。

或者说，要定义一个闵可夫斯基空间里的四维矢量，它必须与(x ,y ,z ,w )一样地服从洛伦兹变换。

2.2 四维速度
相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔γτ/dt d =称为它的固有时，固有时是洛伦兹变换中的不变量。

四维速度（t z y x u u u u ,,,）定义为
d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d i i d d d d x x x y y
y x z
z t x x t t u v v t y y t t u v v t z z t t u v v t w w t t u c
c t γτττγτττγτττγ
τττ=
===============
四维速度是个四维矢量，它服从洛伦兹变换
()()'i '''
'i 'x x t y y z z t t x u u u u u u u u u u γβγβ=-===+()()
'i '''i x x t y y z z
t t x u u u u u u u u u u γβγβ=+===-
2.3 四维动量
四维动量是由三维动量()z y x P P P P ,,=和能量W 组成的四维矢量：
0000i
x x y y z z t t p m u p m u p m u W
p m u c ===== （0m 为静质量）
四维动量是个四维矢量，它服从洛伦兹变换：
()()
'i '''i x x t y y z z
t t x p p p p p p p p p p γβγβ=+===-
()()
'i '''
'i 'x x t y y z z t t x p p p p p p p p p p γβγβ=-===+
3 电磁规律的协变性与电荷的不变性
相对论以前的物理学家认为不同惯性系之间的时空坐标变换是伽利略变换，力学基本规律遵从相对性原理，即不同惯性系中力学基本规律的形式是相同的，从而
不可能通过力学实验确定惯性系本身的运动状态。

那是认为电磁学的基本规律不遵从相对性原理，电磁学的基本规律仅对于某个特殊的惯性系才严格成立，对于其他参考系会出现一定的偏离，这个特殊的参考系称为绝对参考系或“以太系”。

他们相信通过电磁学实验能够确定这个绝对参考系。

于是通过电磁学实验或光学实验寻找绝对参考系成为当时一些物理学家热衷的课题。

在19世纪末20世纪初，这样的实验有几个，其中一个是1902—1903年间特鲁顿和诺伯的实验。

考虑一对正负电荷相对于地球参考系静止由于地球的自转和绕太阳的公转以及太阳的运动，地球肯定不可能是绝对参考系，设其相对于绝对参考系以速度v 平行x 轴运动。

在绝对参考系中，这对电荷是运动的，他们之间除了电力作用e F 之外，还有磁力作用m F 。

磁力会对这个电荷系统产生力偶的作用，系统在力偶的作用下会绕着与v 轴垂直的方向旋转。

对这一磁力偶的测定，可以确定地球相对绝对参考系的速度，从而找出绝对参考系来。

特鲁顿和诺伯采用一个的平行伴电容器来代替这一对电荷，用细磷铜悬丝将充了电的电容器悬挂起来，精心地观察悬挂电容器的转动效应。

然而在这个实验中并没有观察到电容器会转动，那么这个实验就说明了并不存在绝对的参考系。

在地球参考系中同样可以运用电磁规律，在地球参考系中不存在使两个静止的电荷转动的“力偶”。

这表明，相对性原理对电磁现象同样成立，即电磁学基本规律的数学形式在一切惯性系中均相同。

按照狭义相对论的要求，不同惯性系之间的时空坐标变换是洛伦兹变换，当在不同惯性参考系下观察某一物理规律时，根据相对性原理，要求物理规律的形式保持不变，即基本物理规律的洛伦兹协变性。

这里所说的电磁学的基本规律是指麦克斯韦方程组和洛伦兹公式。

以前的洛伦兹公式中只有磁场，不可能具有协变性，普遍的洛伦兹公式应该是)(B v E q F ⨯+= 这里的E 既包括库伦场，也包括涡旋场。

在不同参考系下同一物理规律的物理量是不同的，但它们之间的变换是协同变换，这就保证了规律的形式保持不变。

在电磁学中的一个基本问题是，当参考系变换时物体所带的电量是否会变化？这个问题只能有实验来回答。

有大量的事实表明，一个系统中的总电量是保持恒定不变的。

例如，实验测定速度为v 的带点粒子的核质比符合下述公式 0221m c v q m q -=
而质量随速度变化的相对论公式 220
1c v m m -=
比较着两个公式，暗示着带电体的电量q 不随运动速度改变。

物体所带电量不受运动影响的事实表明，对于不同参考系的观察者来说，物体所带电量都是一样的，也就是说，电量对于从一个参考系到另一个参考系的变换来说是个不变量，即电荷对洛伦兹变换来说是标量。

4 电磁场的变换 4.1 电磁场的变换公式
电磁场的变换公式可以有多种方法导出，我们现在根据洛伦兹公式的协变性以及电荷的不变性导出不同惯性系之间的电磁场变换公式。

在力学里四维动量是四维矢量，即服从洛伦兹变换，但它对时间t 的导数
即由力的三个分量（z y x f f f ,,）和功率p 的组合并构成四维矢量。

如果把dt 换成固有时间隔τd ，或者说，在上述四个矢量上γτ=d dt ：
d d d d d d i d i d x x
x y y y z z z t t
F f f t
F f f t
F f f t F P P c c γτγ
τγ
τγ
τ======== 就变成四维是矢量，它应服从洛伦兹变换：
d d d d d d d i d i
d d x
x y
y z
z t p f t p f t p f t p W P t c t c
=====
()()
'i '''i x x t y y z z
t t x F F F F F F F F F F γβγβ=+===- ()()
'i '''
'i 'x x t y y z z t
t x F F F F F F F F F F γβγβ=-===+
在电磁学里电荷q 受洛伦兹力和功率的公式为
()()()()i i x x y z z y y y z x x z z z x y y x x x y y z z f q E v B v B f q E v B v B f q E v B v B q
P v E v E v E c c =+-=+-=+-=++
乘以τd dt ，得
()()()()d d d d d d i d i d x x x y z z y y y y z x x z z z z x y y x t x x y y z z t F f q E v B v B t
F f q E v B v B t
F f q E v B v B t q F P v E v E v E c c γτ
γτ
γτ
γτ==+-==+-==+-==++
洛伦兹力公式的洛伦兹协变性要求，从惯性系K 变到惯性系'K ，上式具有的形式应为
()i '''''''i '''''''i '''''''i '''''''x t x y z z y y t y z x x z z t z x y y x t x x y y z z F q u E u B u B c F q u E u B u B c F q u E u B u B c q
F u E u E u E c -⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭-⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭-⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭=++
注意，由于'q q =，上式里不去区分它们。

相对论力学要求：在不同惯性系之间转换时，上式中（t z y x F F F F ,,,）→
（'
''',,,t z y x F F F F ）和（t z y x u u u u ,,,）→（'',','t z y x u u u u ）服从洛伦兹变换。

以此为出发点，我们看电场强度（z y x E E E ,,）和磁感应强度（z y x B B B ,,）服从怎样的变换关系。

利用K 系到'K 的洛伦兹变换，
)]
()([)('z z y y x x y z z y x t x x x E u E u E u c iq i B u B u E u c i q F i F F ++⨯+-+⨯-=+=βγβγ把上式中的x u ，y u ，z u ，t u ，作洛伦兹变换，得，
]}
'')''([/]'')''(/[{'z z y y x t x y z z y x x t x E u E u E u i u c iq i B u B u E u i u c i q F ++-+-++⨯-=βγββγγ =')(')(')1(/22y y z z z y t x u E c B q u E c B q u E c iq βγβγβγ-++--⨯-
由于以上各式对任意速度成立，令上述几式中含'y u 、'z u 、't u 各项的系数分别相等，我们得到
)('y z z E C B B βγ-=，)('z y y E c
B B βγ+=，x x E E =' 将上述推导运用到'y F ，'z F 等其他分量，可以得到电磁场其余分量的变换式。

可得
()()
'''x x y y z z z y E E E E vB E E vB γγ⎧=⎪⎪
=-⎨⎪=+⎪⎩ 22'''x x y y z z z y B B v B B E c v B B E c γγ⎧
⎪=⎪⎪⎛⎫=+⎨ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎛⎫=-⎪ ⎪
⎝⎭⎩
式中21/1βγ-=，c V /=β，v 是'K 系相对于K 系的速度。

上式的逆变换为
()()
⎪⎩⎪⎨⎧-=+=='''''y z z z y y x x B E E B E E E E νγνγ ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
⎪
⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=='''''22
y z z z y y x x
E c v B B E c v B B B B γγ 4.2 运动点电荷的电场
下面，我们根据电磁场的变换公式导出作匀速运动的点电荷产生的电场，考察它与静电场有什么不同。

将一个电量为q 点电荷静止地置于参考系'K 的坐标原点。

它所产生的电场是静
电场，遵从库伦规律20'
'
41
r r q E ⨯=
πε’，其分量为 3
0''
41'r qx E x ⨯
=
πε， 30''41
'r qy E y ⨯
=
πε 3
''41'r qz E z ⨯
=
πε 式中222''''z y x r ++=。

静止点电荷在空间任意点产生的电场方向沿径失，且场 强的大小呈球对称分布。

如下图所示
+
图1
且'K 系中不存在磁场，即场 ：0'''===z y x B B B
现在设参考系'K 相对于K 系沿x 在方向一速度v 运动。

在K 系看来，点电荷以速度v 沿x 的正向运动。

在K 系中的电场E 就是待求的运动电荷的电
根据电磁场变换公式得，'x x E E =，'y y E E γ=，'z z E E γ= 代入库伦定律公式，并用洛伦兹公式 就可把场分量用K 系中的时空坐标表示出来，
可以看出，在K 系看来，随着电荷的运动，空间的电场是随着时间变化的。

考虑
0=t 时刻，电荷的位置恰好在K 系的坐标原点，空间的电场为
322220
23
2222023
222202141414x y z q x E x y z q y E x y z q z E x y z γπε
γγπεγγπεγ⎧
⎪=⎪⎪⎡⎤++⎣⎦⎪
⎪
=⎨⎪⎡⎤++⎣⎦⎪⎪=⎪⎪⎡⎤++⎣⎦⎩
可以看出 z y x E E E z y x :::::=
这就告诉我们，电场强度E 与坐标轴之间的夹角等于径矢与坐标轴之间的夹角，即电场强度E 的方向沿着以点电荷的瞬时位置为起点的径矢方向。

为了确定场强大小分布，我们先计算2E ：
(
)()
3
2
222
2
22222
02
222)4(1z y x z y x q E E E E Z y x ++++⨯
=
++=γ
γπε
=
()
()
(
)
3
2222
2
2
2222
2
22
01)(141
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡+++-++-z y x z y z y x q ββπε
所以 ()
2
3
222
20sin 1141
θ
ββπε--⨯⨯=
r q E
式中222z y x r ++=，c v =β，θ为径矢与速度v 之间的夹角。

由此结果表明，场强的大小除了与r 的平方成反比，还依赖于径矢与运动之间的夹角θ以及电荷的运动速率v 。

场强的大小不是各向均匀的，而是在yz 平面电场线附近电磁线较为密集。

下图画出了在xy 平面内的电场线分布]3[。

+
v
运动电荷的电场线分布 （图2）
不同速度下，电场强度的大小随θ变化的情形如下图]4[所示
90180
00
β=0.9
β=0
/E E β= 图3 随着电荷的运动，电场的这种分布也随之以相同的速度向前运动。

当电荷的速度
较小，1<<β而可忽略时，电场近似库伦场，即它对于点电荷呈近似球对称分布，电场缓慢地以速度v 沿x 方向移动。

电荷的速度愈大，电场线在yz 平面附近密 集的程度愈高。

在1=β，1>>γ的极端相对论情形下，极强的电场局限在yz 平面内，运动电荷携带着这样的电场高速运动。

4.3 运动电荷的磁场
根据电磁场变换公式，可得点电荷匀速运动情形下空间的磁感应强度
0=x B
z z y E c
v
E c v B 22'-=-=γ
y y Z E c v E c v B 2
2'==γ
写成矢量式，为B v c
B
⨯=21
上式告诉我们，早点电荷匀速运动情形下，空间的磁场也是随时间变化的，它总
垂直于v
与E 所决定的平面。

磁感应线是一些以点电荷运动轨迹为轴的同心圆，如下图]5[所示：
+
v
B
E
z
x
y
运动电荷的磁感应线 （图4）
当0=t 时刻点电荷恰处于K 系的坐标原点时，磁感应强度的大小为：
()
2
3
2
2
2
22
0sin 1sin )1(41
θ
βθ
βπε--=
r qv c B
电场与磁场是相互联系的，真空介电常数0ε与真空磁导率0μ有一定关系。

可以证明，二者存在如下关系2
01c =με。

于是
()2322220sin 1sin )1(4θβθβπμ--=
r qv B
与电场线的分布相对应，磁感应线的分布也在yz 平面附近较密集。

电荷的运动速度愈大，磁感应线在yz 平面附近较密集的程度愈高。

不同速度下，磁感应强度随θ变化的关系如下图所示。

随着电荷的运动，磁场的这种分布也以同一速度向前运动。

90180
00
β=0.9
β=/cB E
1.0
运动电荷的磁感应强度与θ、β的关系 （图5）
当电荷运动的速度较小，1<<β而可忽略时，上式可化为
2
0sin 4r qv B θ
πμ=
写成矢量式为
2
04r
r
v q B ⨯=πμ 这就是底速情形下匀速运动的点电荷产生的磁场公式。

作l d I v q
→的代
换，它就过渡到电流元产生的公式。

因此，毕奥—萨伐尔公式是低速下的近似公式。

当电荷运动的速度很大时，1≈β，1>>γ，属于极端相对论情形，极强的磁场局限在yz 平面内，运动电荷携带着这样的磁场高速运动。

结束语：本文通过伽利略的相对变换以及电磁规律的协变性，于电荷的不变性导出不同惯性系之间的电磁场变换公式。

根据电磁场的变换公式导出做匀速运动的点电荷产生的电场，考察它与静电场的异同。

同时导出点电荷匀速运动情况下空间的磁感应强度与毕奥—萨伐尔公式的关系。

参考文献：
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Relativistic transformation of electromagnetic field
Abstract
In this article we derived from the experimental facts of Lorentz transform,and then discuss the properties of space-time relativity , last explore the mathematical form of the laws of physics covariant. According to the principle of relativity, we describe the electromagnetic laws of the Maxwell equations and Lorenz formula in covariant form , finally we get the relationship between electromagnetic.At last introduce the electromagnetic field excited by the motion of charged particles.
Keywords: Lorentz transformation covariance principle of relativity
致谢。