中考三角形的内切圆专题

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【2021中考数学】三角形的内切圆专题含答案

三角形内切圆一．选择题1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100°B．160°C．80°D．130°2．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点O为Rt△ABC的内心，过点O 作OD∥BC，交AC于点D，连接OC，则CD的长为（）A．B．2C．D．4．如图，点I为△ABC的内心，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝2cm，将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm5．如图，在平整的桌面上面一条直线l，将三边都不相等的三角形纸片ABC平放在桌面上，使AC与边l对齐，此时△ABC的内心是点P；将纸片绕点C顺时针旋转，使点B落在l上的点B'处，点A落在A'处，得到△A'B'C'的内心点P'．下列结论正确的是（）A．PP'与l平行，PC与P'B'平行B．PP'与l平行，PC与P'B'不平行C．PP'与l不平行，PC与P'B'平行D．PP'与l不平行，PC与P'B'不平行6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则点F为（）A．△ABC的外心B．△ABC的内心C．△BCE的外心D．△ABE的内心7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（）A．60°B．130°C．50°D．65°8．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°9．如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A．∠AIB＝∠AOB B．∠AIB≠∠AOBC．4∠AIB﹣∠AOB＝360°D．2∠AOB﹣∠AIB＝180°10．如图，在⊙O中，AB是直径，且AB＝10，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE ⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，OP，CO．关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心；④点P是△AOC的内心；⑤若CB∥GD，则OP＝．正确的个数有（）A．2B．3C．4D．0二．填空题11．如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB＝AC ＝5，BC＝6，则DE的长是．12．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为（3，6），（﹣3，3），（7，﹣2），则△ABC内心的坐标为．13．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝．14．如图，△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝50°，点P为AB边上任意一点，（P不与点B、C重合），I为△BPC的内心则：（1）CP的最小值＝；（2）∠CIB的取值范围是．15．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI＝°．三．解答题16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．（1）求⊙O半径的长．（2）求证：BC＝BI．17．如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC 的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．18．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．参考答案一．选择题1．解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．2．解：∵点O为△ABC的内心，∴AO平分∠CAB，BO平分∠CBA，∴∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝∠CBA，∴∠AOB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），∵∠C＝58°，∴∠CAB+∠CBA＝122°，∴∠AOB＝180°﹣61°＝119°，故选：A．3．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，OH⊥AB于H，连接AO，BO，∵点O为Rt△ABC的内心，OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴OE＝OH＝OF，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，∴×3×4＝×3×OH+×3×OF+×3×OE，∴OE＝OF＝OH＝1，法一：∵OE⊥AC，OF⊥BC，OH⊥AB，∴四边形OFBH是矩形，∴BF＝OH＝1，∴CF＝3，∵点O为Rt△ABC的内心，∴∠OCF＝∠OCE，又∵OC＝OC，∠CEO＝∠CFO＝90°，∴△COE≌△COF（AAS），∴CE＝CF＝3，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCF＝∠OCE，∴OD＝DC，∵OD2＝DE2+OE2，∴CD2＝（3﹣CD）2+1，∴CD＝；法二：过D作DG⊥BC，垂足为G，如下图所示，∵AB⊥BC，DG⊥BC，OF⊥BC，OD∥BC，∴AB∥DG，DG＝OF＝1，∴△ABC∽△DGC，∴，∴，∴DC＝；故选：A．4．解：如图，连接AI，BI，∵点I为△ABC的内心，∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA，∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI，∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合，∴DI∥AC，EI∥BC，∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB，∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB，∴DA＝DI，EB＝EI，∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝4．所以图中阴影部分的周长为4．故选：D．5．解：如图，连接CP、CP′、PP′、P′B′，∵三角形纸片ABC绕点C顺时针旋转，∴CP＝CP′，∴∠CPP′＝∠CP′P，∴2∠CPP′+∠PCP′＝180°，∵△ABC的内心是点P，∴∠ACP＝ACB，∵∠A′CB′＝∠ACB，∠B′CP′＝A′CB′，∴2∠ACP+∠PCP′＝180°，∴∠CPP′＝∠ACP，∴PP′∥l；∵∠BCA≠∠A′B′C，∴∠PCA≠∠P′B′C，∴PC与P′B′不平行．所以PP′与l平行，PC与P′B′不平行．故选：B．6．解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣36°）＝72°，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA＝36°，∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE是∠ABC的角平分线，∵BE、AD交于点F，∴点F是三角形内角平分线的交点，∴点F是△ABC的内心．故选：B．7．解：连接IF，IE，∵∠B＝60°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴IF⊥AB，IE⊥AC，∵∠A＝50°，∴∠FIE＝130°，∴∠EDF＝＝＝65°．故选：D．8．解：在⊙O中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC＝64°，∴∠EBC+∠ECB＝（180°﹣64°）÷2＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°．故选：C．9．解：∵点O是△ABC的外心，∴∠AOB＝2∠C，∴∠C＝∠AOB，∵点I是△ABC的内心，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（∠CAB+∠CBA），＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，∴2∠AIB＝180°+∠C，∵∠AOB＝2∠C，∴∠AIB＝90°+∠AOB，即4∠AIB﹣∠AOB＝360°．故选：C．10．解：不妨设∠BAD＝∠ABC，则＝，∵＝，∴＝＝，这个显然不符合题意，故①错误，连接OD，∵GD是⊙O的切线，∴OD⊥DG，∴∠ODG＝90°，∴∠GDP+∠ODA＝90°，∵GE⊥AB，∴∠AEP＝90°，∴∠P AE+∠APE＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠APE＝∠GPD，∴∠GDP＝∠GPD，∴GP＝GD，故②正确，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACP+∠BCE＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∴∠ACE＝∠ABC，∵＝，∴∠CAP＝∠ABC，∴∠P AC＝∠PCA，∴PC＝P A，∵∠AQC+∠CAP＝90°，∠ACP+∠PCQ＝90°，∴∠PCQ＝∠PQC，∴PC＝PQ，∴P A＝PQ，∵∠ACQ＝90°，∴点P是△ACQ的外接圆的圆心，故③正确，∵与不一定相等，∴∠CAP与∠DAB不一定相等，∴点P不一定是△AOC的内心，故④错误，∵DG∥BC，OD⊥DG，∴OD⊥BC，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∠CAD＝∠DAB＝30°∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∵CE⊥OA，∴∠ACE＝∠OCE，∴点P是△AOC的外心，∴OP＝AP＝PC＝＝＝，故⑤错误，故选：A．二．填空题11．解：连接OA、OE、OB，OB交DE于H，如图，∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE＝BD，∵AB＝AC，∴AO⊥BC，∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，∴BE＝CE＝3，在Rt△ABE中，AE＝＝4，∵BD＝BE＝3，∴AD＝2，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AO＝4﹣r，在Rt△AOD中，r2+22＝（4﹣r）2，解得r＝，在Rt△BOE中，OB＝＝，∵BE＝BD，OE＝OD，∴OB垂直平分DE，∴DH＝EH，OB⊥DE，∵HE•OB＝OE•BE，∴HE＝＝＝，∴DE＝2EH＝．故答案为：．12．解：如图，点I即为△ABC的内心．所以△ABC内心I的坐标为（2，3）．故答案为：（2，3）．13．解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，∴c＝3，a＝4，b＝5，∵32+42＝25＝52，∴c2+a2＝b2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，设内切圆的半径为r，根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，∴r＝1，故答案为：1．14．解：（1）根据垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC的值最小，∵此时∠APC＝90°，∠A＝30°，∴PC＝AC＝4，故答案为4．（2）∵I为△BPC的内心，∴∠IBC＝∠PBC，∠ICB＝∠PCB，∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BPC）＝90°+∠BPC，∵30°＜∠BPC＜130°，∴105°＜∠BIC＜155°，故答案为105°＜∠BIC＜155°．15．解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠IBD＝∠CBI+∠CBD，∴∠BID＝∠DBI，∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝70°，∴∠BID＝∠DBI＝＝55°故答案为：55．三．解答题16．解：（1）∵AC是⊙的直径，∴∠ADC＝90°＝∠ABC，又∠ADB＝45°，∴∠ADB＝∠BDC＝45°，∴，∴AB＝BC∵AB＝2，∴∴⊙O的半径为；（2）连结AI，∵I是△ADC的内心．∴∠DAI＝∠CAI，∠AIB＝∠DAI+∠ADI，∠BAI＝∠BAC+∠CAI，∵∠BAC＝∠ADI，∴∠BAI＝∠AIB，∴AB＝BI，即BC＝BI．17．解：（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠ECD＝90°，∵ED⊥AD，∴∠A+∠E＝90°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝DE．（2）方法一：∵AB＝2，∴OA＝OB＝OC＝1，∵OC⊥CD，∴由勾股定理可得，CD2＝（1+BD）2﹣12，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（1+BD）2﹣12＝32﹣（2+BD）2，∴或（舍去）．方法二：由弦切角定理得∠DCB＝∠DAC，∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴，即CD2＝AD•BD＝（2+BD）•BD，∵ED⊥AD，∴由勾股定理可得，DE2＝32﹣（2+BD）2，∵CD＝DE，∴（2+BD）•BD＝32﹣（2+BD）2，解得或（舍去）．（3）如图，连接BF，PB，AF，∵CF平分∠ACB，∴，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠CBP＝∠ABP，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠2+∠CBP＝∠3+∠ABP，∴∠FPB＝∠FBP，∴．方法二：如图，连接AF，BF，AP，∵CF平分∠ACB，∴，∴∠ACF＝∠ABF＝∠BAF，∴AF＝BF，∵AB为直径，AB＝2，∴，∵P为△ABC的内心，∴AP平分∠CAB，∴∠CAP＝∠BAP，∵∠P AF＝∠BAP+∠BAF，∠APF＝∠CAP+∠ACF，∴∠P AF＝∠APF，∴．18．解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．。

专题39第7章圆之三角形的内切圆备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)

39第7章圆之三角形的内切圆一、单项选择题1．假设Rt ABC 的外接圆半径为R,内切圆半径为r ,那么其内切圆的面积与Rt ABC 的面积比为〔〕 A ．22rr R π+B ．2rR r π+C ．42rR r π+D ．4rR r π+【答案】B【分析】画好符合题意的图形,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG m BF BG n ======结合勾股定理可得：22,mn Rr r =+再求解直角三角形的面积()()21==22ACB S m r n r Rr r +++,从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．【详解】解：如图,由题意得：902ACB AB R ∠=︒=，，111O E O F O G r ===,由切线长定理可得：,,,CE CF r AE AG BF BG ====设,,AE AG m BF BG n ====()()()222m r n r m n ∴+++=+,2,m n R += ()2mn m n r r ∴=++,22,mn Rr r ∴=+ 而()()()211=+22ACB S m r n r mn mr nr r ++=++()221=222Rr r Rr r +++ 2=2Rr r +122.22O ABC Sr r S Rr r R r ππ∴==++应选B ．【点评】此题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆,切线长定理,勾股定理的应用,掌握以上知识是解题的关键．2．如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切AB ,BC ,AC 于点E ,F ,D ,P 是DF 上一点,那么∠EPF 的度数是〔〕A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°【答案】B【分析】连接OE,OF ．求出∠EOF 的度数即可解决问题．【详解】解：如图,连接OE,OF ．∵⊙O 是△ABC 的内切圆,E,F 是切点,∴OE ⊥AB,OF ⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°,∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=12∠EOF=60°, 应选：B ．【点评】此题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握根本知识,属于中考常考题型．3．如图,矩形ABCD 的周长为16,E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,连接AE ,CE ,AF ,CF ,EF ,假设37AECFABCD S S =四边形矩形,那么EF 的长为〔〕A ．32．23．27．43【答案】B【分析】设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形,结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x 、y 、r 的关系式,再由37AECF ABCD S S =四边形矩形推导出x 、y 、r 的关系,从而分别求出r,xy 、22x y +的值,最后由勾股定理求得EF 值.【详解】如图,设AB=x,BC=y,内切圆半径为r,那么∵矩形ABCD 的周长为16,∴x+y=8①∵E 和F 分别为ABC ∆和ADC ∆的内切圆,∴11(22ABC S xy x y r ∆==++② 由矩形的对称性知ABCE ADCF S S =四边形四边形, ∵37AECFABCD S S =四边形矩形, ∴247ABCE ABCD S S =四边形矩形, ∴112()4227xr yr xy +=, 即()47x y r xy +=③ 由①、②、③联立方程组,解得：r=1,xy=14,2236x y +=,作EH ⊥FH 于H,由勾股定理得：222EF EH FH =+22(2)(2)x y =-+-224()8x y x y =+-++=36-32+8=12,∴EF=23,应选：B.【点评】此题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识,熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4．如图,ABC ∆中,8AB =,6AC =,90A ∠=︒,点D 在ABC ∆内,且DB 平分ABC ∠,DC 平分ACB ∠,过点D 作直线PQ ,分别交AB 、AC 于点P 、Q ,假设APQ ∆与ABC ∆相似,那么线段PQ 的长为〔〕A ．5B ．356C ．5或356D ．6 【答案】B【分析】分△APQ ∽△ABC,△APQ ∽△ACB 两种情况,结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：假设△APQ ∽△ABC,∴∠APQ=∠ABC,∴PQ ∥BC,AP AQ PQ AB AC BC==, ∴∠PDB=∠DBC,∵BD 平分∠ABC,∴∠PBD=∠CBD,∴∠PBD =∠PDB,∴PB=PD,同理,DQ=CQ,∵8AB =,6AC =,90A ∠=︒,∴,设AP=x,根据AP AQ AB AC=得43AP AB AQ AC ==, ∴AQ=34x , ∴PB=PD=8-x,CQ=DQ=6-34x , ∴PQ=PD+QD=7144x -, ∴AP PQ AB BC ,即7144810x x -=,解得：x=14 3,∴PQ=356；假设△APQ∽△ACB,那么AP AQ PQ AC AB BC==,由题意知：D为△ABC的内心,设△ABC的内切圆交AB于M,交AC于N, 可知四边形AMDN为正方形,∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°,∴AM∥DN,AN∥DM,∴∠MPD=∠NDQ,∠MDP=∠NQD,∴△MPD∽△NDQ,∴MP MD ND NQ=,∵AB=8,AC=6,BC=10,∴DM=DN=68102+-=2,∴AM=AN=2,设PM=x,那么22xNQ =,∴NQ=4 x ,∵AP AQAC AB=,即42268x x++=,解得：x=32或-2〔舍〕,∴AP=32+2=72,∴PQ=AP×BC÷AC=72×10÷6=356.综上：PQ的值为35 6.应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质,三角形内切圆,角平分线的定义,有一定难度,解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.532,那么这个多边形的内角和为〔〕A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边,OC⊥AB,在直角△AOC中,利用三角函数求得∠AOC的度数,从而求得中央角的度数,然后利用360度除以中央角的度数,求出边数,根据内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：∵32,∴32,设AB 是正多边形的一边,OC ⊥AB, 32OC OA OB k ===k ，,在直角△AOC 中,32OC cos AOC AO ∠==, ∴∠AOC=30°,∴∠AOB=60°, 那么正多边形边数是：360660︒︒=, ∴多边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒,应选：A ．【点评】此题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的水平,正多边形的计算一般是转化成半径,边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．二、填空题6．如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,8AC =,6BC =,⊙O 为ABC ∆的内切圆,OA ,OB 与⊙O 分别交于点D ,E ．那么劣弧DE 的长是_______．【答案】32π 【分析】先利用勾股定理计算出10AB =,再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到681022OD +-==,接着三角形角平分线的性质得到135AOB ∠=︒,然后根据弧长公式计算劣弧DE 的长．【详解】解：90C ∠=︒,8AC =,6BC =,226810AB ∴=+=,O 为ABC 的内切圆,681022OD +-∴==,OA 平分BAC ∠,OB 平分ABC ∠, 1190909013522AOB C ∴∠=︒+∠=︒+⨯︒=︒, ∴劣弧DE 的长135231802ππ⨯⨯==．故答案为32π．【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式．7．如图,ABC 的内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F ,且5,13AB BC ==,12CA =,那么阴影局部的面积为_______ (结果保存π)．【答案】262π-【分析】先根据勾股定理的逆定理得出ABC 是直角三角形,再设O 的半径为r,根据三角形的面积公式得出r 的值,然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．【详解】5,2,113AB BC CA ===222AB CA AB ∴+=∴ABC 是直角三角形,且90A ∠=︒设O 的半径为r,那么OD OE OF r ===内切圆O 与BC,CA,AB 分别相切于点,,D E F,,OD BC OE CA OF AB ∴⊥⊥⊥ABC OBC OAC OAB S S S S =++11112222AB AC BC OD CA OE AB OF ∴⋅=⋅+⋅+⋅ 即1111512131252222r r r ⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 解得2r又,,90OE CA OF AB A ⊥⊥∠=︒∴四边形AEOF 是矩形,90EOF ∠=︒OE OF =∴矩形AEOF 是正方形那么ABC O AEOF EOF EOF S S S S S S =-+-+阴影扇形扇形222190902360360r r AB AC r OE OF πππ=⋅-+-⋅+ 22219029025122222360360πππ⨯⨯=⨯⨯-⨯+-⨯+ 262π=-故答案为：262π-．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点,掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键．8．假设△ABC 的三边长为3、4、5,那么△ABC 的外接圆半径R 与内切圆半径r 的差为___．【答案】32【分析】先证实△ABC 为直角三角形,然后可知外接圆的半径为斜边的一半,然后求出内切圆的半径,即可得到答案．【详解】解：如下图：连接DF,EF ．∵32+42=52,∴△ABC 为直角三角形．∴它的外接圆的半径为：15522R =⨯=． ∵AB 是圆的切线,DF 是圆的半径,∴DF ⊥AB ．同理EF ⊥BC ．∴∠FDB=∠DBE=∠BEF=90°．∴四边形DBEF 是矩形．∵DF=EF,∴四边形DBEF 是正方形．∴DB=BE ．设圆F 的半径为r,那么4-r+3-r=5．解得：r=1．∴它的内切圆的半径为1． ∴53122-=．故答案为：32．【点评】此题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆,利用切线长定理列出方程是解题的关键．9．如图,O 是四边形ABCD 的内切圆,连接OA 、OB 、OC 、OD ．假设108AOB ∠=︒,那么COD ∠的度数是____________．【答案】72︒【分析】如图,设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,可以得到4对全等三角形,进而得到12∠=∠,34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠,根据这8个角和为360°,∠1+∠8=108AOB ∠=︒,即可求出COD ∠=∠5+∠4=72°．【详解】解：设四个切点分别为点,,,E F G H ,分别连接切点与圆心,那么OE AB ⊥,OF CB ⊥,OG CD ⊥,OH AD ⊥且OE OF OG OH ===,在Rt BEO ∆与Rt BFO ∆中OE OF OB OB=⎧⎨=⎩ ∴Rt BEO Rt BFO ∆∆≌,∴12∠=∠,同理可得：34∠=∠,56∠=∠,78∠=∠, 1145(3456)[360(1278)]22COD ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒-∠+∠+∠+∠ 11[3602(18)][3602108]7222=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：72︒【点评】此题考查了切线的性质,添加辅助线构造全等等知识点,一般情况下,直线为圆的切线,构造过切点的半径是常见辅助线做法．10．如图,将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处.点D 落在点D 处,MD '与AD 交于点G ,那么AMG 的内切圆半径的长为___________．【答案】43【分析】由勾股定理可求ME ＝5,BE ＝3,通过证实△AMG ∽△BEM,可得AG ＝163,GM ＝203,即可求解．【详解】解：∵将边长为8的正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠,使点C 落在AB 边的中点M 处,∴ME ＝CE ,MB ＝12AB ＝4＝AM ,E C D M ＝90°, 在Rt △MBE 中,ME 2＝MB 2 ＋BE 2,∴ME 2＝16＋〔8－ME 〕2,∴ME ＝5,∴BE ＝3,∵DA D ME B ＝90°＝∠B,∴∠EMB ＋∠BEM ＝90°,D EMB AM ＋＝90°,∴A B M M D E ,且GAM B ＝90°, ∴△AMG ∽△BEM, ∴AM AG GM BE MB ME==, ∴4345AG GM ==, ∴AG ＝163,GM ＝203, ∴△AMG 的内切圆半径的长＝+423AM GM AG =－故答案为：43【点评】此题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出AG 、GM 的长度．三、解做题11．：ABC ∆．问题一：请用圆规与直尺〔无刻度〕直接在ABC ∆内作内切圆,〔要求清楚地保存尺规作图的痕迹,不要求写画法〕问题二：假设ABC ∆的周长是24,ABC ∆的面积是24,,求ABC ∆的内切圆半径．【答案】〔1〕见解析；〔2〕r=2【分析】〔1〕先作∠B 和∠C 的平分线交于点O,再过点O 作OH ⊥AB 于H,然后以点O 为圆心,OH 为半径作圆即可；〔2〕连结OA 、OB 、OC,作OD ⊥AB 于D,OE ⊥BC 于E,OF ⊥AC 于F,根据切线的性质得OD=OE=OF=r,那么利用S△ABC =S △AOB +S △OBC +S △OAC 得到12r AB+12r BC+12r AC=24,变形得到12r 〔AB+BC+AC 〕=24,然后把周长为24代入计算即可得到r 的值．【详解】解：〔1〕如图,O 为所求作的ABC ∆的内切圆；〔2〕解：如下列图,连结OA、OB、OC,作OD⊥AB于D,OE⊥BC于E,OF⊥AC于F, 设它的内切圆的半径为r,那么OD=OE=OF=r,∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,∴12r AB+12r BC+12r AC=24,∴12r〔AB+BC+AC〕=24,∴12r24=24,∴r=2．即ABC的内切圆的半径为2．【点评】此题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径,在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心,即三角形三个内角角平分线的交点,以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径,掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质,是解答第〔2〕小题,建立等式的关键．12．：如图,△ABC三边BC=a,CA=b,AB=c,它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．【答案】S=12(a+b+c)r【分析】设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF,根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即可求解【详解】如图,设△ABC与⊙O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF．那么OD⊥AB,OE⊥AC,OF⊥BC．∵S△AOB=12AB•OD=12cr,同理,S△OBC=12ar,S△OAC=12br．∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC,即S=12cr+12ar+12br=12(a+b+c)r【点评】此题考查了三角形的内切圆的计算,正确作出辅助线,把△ABC的面积的计算分解成几个三角形的面积的计算是关键.13．：如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C=90°．(1)假设AC=12cm,BC=9cm,求⊙O的半径r；(2)假设AC=b,BC=a,AB=c,求⊙O的半径r．【答案】〔1〕r=3cm. (2) r=12〔a+b-c〕．【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕,由此可求出r的长．【详解】〔1〕如图,连接OD,OF；在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=9cm；根据勾股定理AB=22AC BC=15cm；四边形OFCD中,OD=OF,∠ODC=∠OFC=∠C=90°；那么四边形OFCD是正方形；由切线长定理,得：AD=AE,CD=CF,BE=BF；那么CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔12+9-15〕=3cm．〔2〕当AC=b,BC=a,AB=c,由以上可得：CD=CF=12〔AC+BC-AB〕；即：r=12〔a+b-c〕．那么⊙O的半径r为：12〔a+b-c〕．【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键．14．〔特例感知〕〔1〕如图〔1〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为直径,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,3CD =,4BD =,求点D到直线AB 的距离．〔类比迁移〕〔2〕如图〔2〕,ABC ∠是O 的圆周角,BC 为O 的弦,BD 平分ABC ∠交O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,探索线段AB ,BE ,BC 之间的数量关系,并说明理由．〔问题解决〕〔3〕如图〔3〕,四边形ABCD 为O 的内接四边形,90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠,72BD =,6AB =,求ABC 的内心与外心之间的距离．【答案】〔1〕125；〔2〕2AB BC BE +=,理由见解析；〔35 【分析】〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．理由面积法求出DE ,再利用角平分线的性质定理可得DF DE =解决问题；〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．只要证实()DFA DEC ASA ∆≅∆,推出AF CE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∆≅∆,推出AF BE =即可解决问题；〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．由切线长定理可知：610842AN +-==,推出541ON =-=,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt OMN ∆中,理由勾股定理即可解决问题；【详解】解：〔1〕如图①中,作DF AB ⊥于F ,DE BC ⊥于E ．图① BD 平分ABC ∠,DF AB ⊥,DE BC ⊥,DF DE ∴=, BC 是直径,90BDC ∴∠=︒, 2222435BC BD CD ∴=+=+=,1122BC DE BD DC =, 125DE ∴=, 125DF DE =∴=．故答案为125 〔2〕如图②中,结论：2AB BC BE +=．图②理由：作DF BA ⊥于F ,连接AD ,DC ． BD 平分ABC ∠,DE BC ⊥,DF BA ⊥,DF DE ∴=,90DFB DEB ∠=∠=︒,180ABC ADC ∠+∠=︒,180ABC EDF ∠+∠=︒,ADC EDF ∴∠=∠,FDA CDE ∴∠=∠,90DFA DEC ∠=∠=︒,()DFA DEC ASA ∴∆≅∆,AF CE ∴=,BD BD =,DF DE =,Rt BDF Rt BDE(HL)∴∆≅∆,BF BE ∴=,2AB BC BF AF BE CE BE ∴+=-++=．〔3〕如图③,过点D 作DF ⊥BA,交BA 的延长线于点F ,DE ⊥BC,交BC 于点E ,连接AC ,作△ABC △ABC 的内切圆,圆心为M ,N 为切点,连接MN ,OM ．由〔1〕〔2〕可知,四边形BEDF 是正方形,BD 是对角线．图③ 72BD =,∴正方形BEDF 的边长为7,由〔2〕可知：28BC BE AB =-=,10AC ∴=, 由切线长定理可知：610842AN +-==, 541ON ∴=-=,设内切圆的半径为r , 那么11111068682222r r r ⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯ 解得2r ,即2MN =,在Rt OMN ∆中,OM ===【点评】此题属于圆综合题,考查了角平分线的性质定理,全等三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．15．如图1,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OABC 的顶点B 在y 轴的正半轴上,O 为坐标原点,现将正方形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转,旋转角为θ〔045θ︒≤≤︒〕〔1〕当点A 落到y 轴正半轴上时,求边BC 在旋转过程中所扫过的面积；〔2〕假设线段AB 与y 轴的交点为M 〔如图2〕,线段BC 与直线y x =的交点为N ,当22.5θ=︒时,求此时BMN △内切圆的半径；〔3〕设MNB 的周长为l ,试判断在正方形OABC 旋转的过程中l 值是否发生变化,并说明理由．【答案】〔1〕8π；〔2〕322-〔3〕不发生变化,理由见详解. 【分析】〔1〕由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形由此计算即可．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,首先证实AEM ∆是等腰直角三角形,推出AM AE =,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==,可得21x x +=,解得21x =,推出1(21)22BM AB AM =-=-=同理可得22BN =,推出2222MN BM ==,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=,由此求出r 即可解决问题．〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．只要证实OAE OCN ∆≅∆,推出OE ON =,AOE CON ∠=∠,再证实MOE MON ∆≅∆,推出EM MN =,推出BNM ∆的周长()()MN BM BN EM BM BN AM BM AE BN =++=++=+++()()22AM BM CN BN AB =+++==．【详解】解：〔1〕如图1中,由题意当点A 落到y 轴正半轴上时,边BC 在旋转过程中所扫过的面积OCB OBC OBB OCC S S S S ∆'∆''=+--扇形扇形 OBB OCC S S ''=-扇形扇形 2245(2)451360360ππ=- 8π=．〔2〕如图2中,在OA 取一点E ,使得EM EO =,22.5AOM ∠=︒,22.5EOM EMO ∴∠=∠=︒,45AEM EOM EMO ∴∠=∠+∠=︒,AEM ∴∆是等腰直角三角形,AM AE ∴=,设AE AM x ==,那么2EM EO x ==, 21x x ∴+=,21x ∴=-,1(21)22BM AB AM ∴=-=--=-,同理可得22BN =-,2222MN BM ∴==-,设BMN ∆的内切圆的半径为r ,那么有11()22MN BM BN r BM BN ++=, 2(22)3222222222BM BN r MN BM BN -∴===-++-+-+-．〔3〕在正方形OABC 旋转的过程中l 值不发生变化．理由：如图3中,延长BA 到E 使得AE CN =．AE CN =,90OAE OCN ∠=∠=︒,OA OC =,OAE OCN ∴∆≅∆,OE ON ∴=,AOE CON ∠=∠,45MON ∠=︒,45MOA CON MOA AOE ∴∠+∠=∠+∠=︒,MOE MON ∴∠=∠,OM OM =,MOE MON ∴∆≅∆,EM MN ∴=,BNM ∴∆的周长MN BM BN EM BM BN =++=++()()()()22AM BM AE BN AM BM CN BN AB =+++=+++==,BNM ∴∆的周长为定值．【点评】此题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题．16．如下图,等腰ABC △,5AB AC ==,6BC =,求三角形的内切圆O 的半径R .【答案】32R = 【解析】作AD ⊥BC,根据等腰三角形的性质可得BD 的长,利用勾股定理可求出AD 的长,即可求出△ABC 的面积,设△ABC 的内切圆与△ABC 各边的切点为E 、F 、G,根据S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC 列方程即可求出R 的值,可得答案.【详解】在图〔1〕中,作AD BC ⊥,垂足为D∵5AB AC ==,6BC =,∴BD=CD=3,∴AD=22AB BD -=4,∴1122ABC S BC AD ∆=⋅= 在图〔2〕中,设ABC △的内切圆O 切点分别为E 、F 、G,连接 OA 、OE 、OB 、OG 、OC 、OF, ∴OE ⊥AB,OG ⊥BC,OF ⊥AC,∵()12ABC ABO BCO ACO S S S S AB BC AC R ∆∆∆=++=++⋅ ∴()1125562R =++⨯ ∴32R =【点评】此题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质,熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键..17．阅读材料：,如图〔1〕,在面积为S 的△ABC 中, BC=a ,AC=b , AB=c ,内切圆O 的半径为r 连接OA 、OB 、OC ,△ABC 被划分为三个小三角形．1111()2222OBC OAC OAB S S S S BC r AC r AB r a b c r ∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅=++ ∴2=++S r a b c．〔1〕类比推理：假设面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆〔与各边都相切的圆〕,如图〔2〕,各边长分别为AB=a ,BC=b ,CD=c ,AD=d ,求四边形的内切圆半径r ；〔2〕理解应用：如图(3),在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AB =21,CD =11,AD =13,⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆,设它们的半径分别为r 1和r 2,求12r r 的值. 【答案】〔1〕2S r a b c d=+++〔2〕12149r r =. 【分析】〔1〕如图,连接OA 、OB 、OC 、OD,那么△AOB 、△BOC 、△COD 和△DOA 都是以点O 为顶点、高都是r 的三角形,根据AOB BOC COD AOD S S S S S ∆∆∆∆=+++即可求得四边形的内切圆半径r.〔2〕过点D 作DE ⊥AB 于点E,分别求得AE 的长,进而BE 的长,然后利用勾股定理求得BD 的长；然后根据11(132120)2ABD S r ∆=++,21(111320)2BCD S r ∆=++,两式相除,即可得到的值.【详解】解：〔1〕如图〔2〕,连接OA 、OB 、OC 、OD.∵11111()22222AOB BOC COD AOD S S S S S ar br cr dr a b c d r ∆∆∆∆=+++=+++=+++ ∴2S r a b c d=+++〔2〕如图〔3〕,过点D 作DE ⊥AB 于点E, ∵梯形ABCD 为等腰梯形, ∴11()(2111)522AE AB DC =-=-= ∴21516BE AB AE =-=-= 在Rt △AED 中,∵AD=13,AE=5,∴DE=12, ∴2222121620BD DE BE +=+=∵AB ∥DC,∴2111ABD BCD S AB S DC ∆∆==. 又∵1112221(132120)5427214422(111320)2ABDBCD r S r r S r r r ∆∆++===++, ∴1227212211r r =.即12149r r =.18．如下图,在Rt ABC △中,90,3,4C AC BC ∠=︒==〔1〕求BOA ∠.〔2〕求ABC △内切圆半径.【答案】〔1〕135BOA ∠=︒；〔2〕内切圆半径为1.【解析】〔1〕由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°,由O 为内切圆圆心可得OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,即可得出∠OAB+∠OBA=45°,根据三角形内角和求出∠BOA 的度数即可；〔2〕连接OD,OE 、OF,由切线性质可得OD ⊥BC,OE ⊥AC,OF ⊥AB,由∠C=90°,OD=OE 可证实四边形DCEO 是正方形,可得OD=CD,利用勾股定理可求出AB 的长,根据切线长定理可得CD=CE,AE=AF,BD=BF,设内切圆半径OD=r,根据AB=BF+AF 列方程即可求出r 的值,即可得答案.【详解】〔1〕∵∠C=90°, ∴∠CBA+∠CAB=90°,∵O 为内切圆圆心,∴OA 、OB 为∠CBA 和∠CAB 的角平分线,∴∠OAB+∠OBA=12∠CBA+12∠CAB=45°,∴∠BOA=180°-45°=135°.〔2〕连接OD,OE、OF,∵AB、AC、BC是切线,切点为D、E、F,∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,CD=CE,AE=AF,BD=BF,∵∠C=90°,OD=OE,∴四边形DCEO是正方形,∴CD=OD,设OD=r,∴AF=AE=3-r,BF=BD=4-r,∵AC=3,BC=4,∴AB=22=5,AC BC∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5,△内切圆半径为1.解得r=1,即ABC【点评】此题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．。

专题27 三角形的内切圆(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(原卷版)

专题27三角形的内切圆（提优）一．选择题1．如图，已知等边△ABC的内切圆⊙O半径为3，则AB的长为（）A．33B．35C．63D．652．如图，在△ABC中，∠C＝58°，点O为△ABC的内心，则∠AOB的度数为（）A．119°B．120°C．121°D．122°3．如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面积是（）A．43B．23C．2D．44．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是D 上一点，则∠EPF的度数是（）A．65°B．60°C．58°D．50°5．下列说法正确的是（）A．三角形的外心一定在三角形的外部B．三角形的内心到三个顶点的距离相等C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是（）A．5B．2C．3D．37．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，AB＝2，BC＝3，则AC的长为（）A．4B．32C．22D．3228．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，I为△ABC的内心，AI的延长线交BC于D，若OI ⊥AD，则sin∠CAD的值为（）A．12B．22C．52D．559．将线段OB绕点O逆时针旋转60°形成扇形COB，过C作CD⊥OB，垂足为D，⊙E是△COD的内切圆，OB＝6，则OE的长为（）A．33B．33−3C．33+3D．2(3+3)310．如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是（）A．13−1B．13+1C．3.2D．3211．如图，△ABC内切圆是⊙O，折叠矩形ABCD，使点D、O重合，FG是折痕，点F在AD上，G在ABC 上，连接OG，DG，若OG垂直DG，且⊙O的半径为1，则下列结论不成立的是（）A．CD+DF＝4B．CD﹣DF＝23−3C．BC+AB＝23+4D．BC﹣AB＝212．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为3，则△BIC的外接圆半径为（）A．7B．73C．722D．733二．填空题13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，I是△ABC的内心，则∠BIA的度数是°．14．如图，点O、I分别是锐角△ABC的外心、内心，若∠CAB＝8∠OAC＝48°，则∠AOI﹣∠CIO＝°．15．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的面积为（结果保留π）．16．如图，点I是△ABC的内心，连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D，若∠ACB＝70°，则∠DBI ＝°．17．如图，⊙I为△ABC的内切圆，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE为⊙I的切线，DE∥BC．若△ABC的周长为8，则DE的最大值为．18．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝．19．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE 过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为．20．如图，⊙O是△ABC内切圆，切点为D、E、F，∠A＝90°，∠C＝30°，则∠DFE度数是度．三．解答题21．已知：在△ABC中，∠C＝90°，⊙I是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，连接IE、IF．（1）四边形IECF是什么特殊的四边形？并说明理由．（2）若AC＝8，BC＝6，求半径IE的长．22．如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O中，且点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC交于点F，与⊙O交于点D，⊙O的切线PD交AB的延长线于点P．（1）试判断△BDE的形状，并给予证明；（2）若∠APD＝30°，BE＝2，求AE的长．23．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F．（1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数；（2）求证：DB＝DE；（3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长．24．如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．（1）求证：∠PEB＝60°；（2）求∠PAC的度数；25．已知I为Rt△ABC的内心，∠A＝90°，BI，CI的延长线分别交AC，AB于点D，E，S△BIC＝12，求S ．四边形EDCB26．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．27．如图，AB是⊙O的直径，点C，P为半圆上任意两点，过点P作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为点M，连接OM，PM，CM，CP．（1）求∠OMP的度数；（2）试判断△CMP的形状．28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝6，BC＝62，求阴影部分的面积．29．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．（1）求证：DG是⊙O的切线；（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的长．30．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D 点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE．（1）求证：DB＝DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线；（3）若CF＝4，求图中阴影部分的面积．。

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。

2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

等于这条弧所对的圆周角。

即∠PCA=∠PBC 。

3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。

5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。

练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。

一道以三角形内切圆为背景的中考试题评析与启示

（）方法１２Ａ一，）Ｂ（，）ｃｏ４，（３Ｏ，３Ｏ，（，）
‘
．
的延长线于点Ｐ，则点Ｐ为旁心．过点Ｊ作Ｐ轴于，ＰＥ上连接Ｂ设Ｐ（，）由Ｄ，ａｂ，
１＝Ｌ２／３＿。＝／４得＿
ｌ＋４＝／２＋３＝９．０ｏ
１试题呈现（０９年莆田）２０（）１已知，如图１ＡＡＣ的周长为Ｚ面积为．其内，Ｂ，ｓ，
ＤＨＬＢＣ．ＢＨ＝Ｂｏ＝３．
。
ｌＶ
．
．
Ｃ日＝２．ＣＤ２：Ｃ＋Ｄ
Ｃ
切圆为，为，：芋圆心Ｄ径ｒ证ｒ；半求＝
Ｃ
在ＲａＰｃ中．ｔＦ
ｐ一
一
＝
吉＋ｒ（ｃ＝）
２Ｓ
图３
丛一
一４５ — —一
５
ｓｎＬＰＣ — ｓｎＬＣＢＯ一４一一ｉＦｉ ‘
’
・
丁・
’
Ｐ（，）５４．方法２如图５过点作，
’ ．
．
，的外角平分线交ＡＤ
学生的认知规律，具有较好的效度和区分度．４拓展再探究
），（）１本题中，三角形的旁ｃ切圆还有几个？其旁心坐标又分别是什么？（）２若考虑一般的情形，０Ｂ可作以下变式拓展： ①如图６／ＡＣ中，，ＸＢＡ，图６Ｂ，三点的坐标分别为ＣＡ６０，１，）ｃ０８．ＡＡＣ内心为Ｄ，点（一，）（５０，（，）若Ｂ求

中考数学直角三角形内切圆答题技巧

中考数学直角三角形内切圆答题技巧中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现假设有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。

：在Rt⊿ABC中，⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB 于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点，假设AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。

解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+S⊿AO1G+S⊿O2GB+S⊿CO1O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On切BC、AB, 假设AC=b,BC=a,求⊙O1，⊙O2,⊙On的半径。

解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1，⊙O2,⊙On的半径为r S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r又∵S⊿ABC =abr=。

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心(含答案)

2023年人教版数学中考复习考点专练——三角形的内切圆与内心一、单选题1．如图，⊙O内切于⊙ABC，切点为D，E，F，若⊙B=50°，⊙C=60°，连接OE，OF，DE，DF，⊙EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°2．下列命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．平行四边形的对角线互相垂直C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形3．如图，已知⊙ABC与⊙ACD都是直角三角形，⊙B=⊙ACD=90°，AB=4，BC=3，CD=12。

则⊙ABC的内切圆与⊙ACD的内切圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．如图，⊙ABC中，⊙C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O与⊙ABC的三边相切于点D、E、F，则AD长为（）A．8B．10C．12D．14 5．下列四个命题中，正确的个数是（）①经过三点一定可以画圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤三角形的外心一定在三角形的外部．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 6．在⊙ABC 中，O 为内心，⊙A=80°，则⊙BOC=（）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125° 7．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）A ．2 ﹣2B ．2﹣C ﹣1D 8．有如下四个命题：（1）三角形有且只有一个内切圆；（2）四边形的内角和与外角和相等；（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．其中真命题的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．2B ．32CD ．10．如图，在 ABC ∆ 中， 60BAC ∠=︒ 其周长为20，⊙I 是 ABC ∆ 的内切圆，其半径为，则 BIC ∆ 的外接圆半径为（）A ．7B ．C ．2D 二、填空题11．在⊙ABC 中，⊙C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切的半径为．13．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 ()68C ，，点 I 是 ABC 的内心，将 ABC 绕原点顺时针旋转 90︒ 后， I 的对应点 I ' 的坐标是．14．从一个边长为 cm 的正三角形钢板上裁下一个面积最大的圆，则这个圆的半径是 cm ．15．若直角三角形的两边a 、b 是方程 27120x x -+= 的两个根，则该直角三角形的内切圆的半径r = ．三、解答题16．如图，在⊙ABC 中，⊙C=90°，⊙O 是⊙ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，若BD=6，AD=4，求⊙O 的半径r ．17．如图⊙ABC 内接于圆O ，I 是⊙ABC 的内心，AI 的延长线交圆O 于点D ．（1）求证：BD=DI ；（2）若OI⊙AD ，求AB AC BC+的值．18．如图，在⊙ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若⊙A=70°，求⊙FDE．19．如图，⊙ABC中，⊙C=90°，⊙O是⊙ABC的内切圆，D、E、F是切点．（1）求证：四边形ODCE是正方形；（2）如果AC=6，BC=8，求内切圆⊙O的半径．20．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙ABC的外接圆⊙O 于点D，连接BD，过点D作直线DM，使⊙BDM=⊙DAC．（⊙）求证：直线DM是⊙O的切线；（⊙）求证：DE2=DF•DA．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】D11．【答案】212．13．【答案】(64)-，14．【答案】115．【答案】1或1 216．【答案】解：连接EO，FO，∵⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊙BC，OF⊙AC，BD=BE，AD=AF，EC=CF，又∵⊙C=90°，∴四边形ECFO是矩形，又∵EO=FO，∴矩形OECF是正方形，设EO=x，则EC=CF=x，在Rt⊙ABC中BC2+AC2=AB2故（x+6）2+（x+4）2=102，解得：x=2，即⊙O的半径r=2．17．【答案】（1）证明：∵点I 是⊙ABC 的内心 ∴⊙BAD=⊙CAD ，⊙ABI=⊙CBI∵⊙CBD=⊙CAD∴⊙BAD=⊙CBD∴⊙BID=⊙ABI+⊙BAD ，⊙BAD=⊙CAD=⊙CBD ， ∵⊙IBD=⊙CBI+⊙CBD ，∴⊙BID=⊙IBD∴ID=BD ；（2）解：连接OA 、OD 、BD 和BI ，∵OA=OD ，OI⊙AD∴AI=ID ，∵I 为⊙ABC 内心，∴⊙BAD=⊙BCD ，∴弧BD=弧CD ，∵弧CD=弧CD ，∴⊙BCD=⊙BAD ，∴⊙DBI=⊙BCD+⊙CBI=⊙CAD+⊙CBI ， =12（⊙BAC+⊙ACB ）， ∵⊙DIB=⊙DAB+⊙ABI=12（⊙BAC+⊙ABC ）， ∴⊙DIB=⊙DBI ，∴BD=ID=AI ，BD DC ∧∧=，故OD⊙BC ，记垂足为E ，则有BE=12BC ，作IG⊙AB于G，又⊙DBE=⊙IAG，而BD=AI，∴Rt⊙BDE⊙Rt⊙AIG，于是，AG=BE=12BC，但AG=12（AB+AC﹣BC），故AB+AC=2BC，∴AB ACBC=2．18．【答案】解：连接IE，IF，∵内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴⊙AEI=⊙AFI=90°，∵⊙A=70°，∴⊙EIF=110°，∴⊙FDE=55°．答：⊙FDE的度数为55°．19．【答案】（1）解：∵⊙O是⊙ABC的内切圆，∴OD⊙BC，OE⊙AC，又⊙C=90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形.（2）解：∵⊙C=90°，AC=6，BC=8，∴AB= =10，由切线长定理得，AF=AE ，BD=BF ，CD=CE ， ∴CD+CE=BC+AC ﹣BD ﹣AE=BC+AC ﹣AB=4，则CE=2，即⊙O 的半径为2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x = ，则 2AD = ，故 118222ABC S BC AD =⋅=⨯⨯= ，由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABC S r AB BC AC =++2ABC S r AB BC AC ∴===++ . 21．【答案】解：（⊙）如图所示，连接OD ， ∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAD=⊙CAD ，∴BD = CD ，∴OD⊙BC ，又∵⊙BDM=⊙DAC ，⊙DAC=⊙DBC ， ∴⊙BDM=⊙DBC ，∴BC⊙DM ，∴OD⊙DM ，∴直线DM 是⊙O 的切线；（⊙）如图所示，连接BE ，∵点E 是⊙ABC 的内心，∴⊙BAE=⊙CAE=⊙CBD ，⊙ABE=⊙CBE ， ∴⊙BAE+⊙ABE=⊙CBD+⊙CBE ，即⊙BED=⊙EBD，∴DB=DE，∵⊙DBF=⊙DAB，⊙BDF=⊙ADB，∴⊙DBF⊙⊙DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

中考数学三角形的内切圆

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[单选,A1型题]婴幼儿脂肪所提供的能量应占膳食总能量的比例为（）A.30％～40％B.20％～40％C.45％～50％D.25％～30％E.10％～20％ [单选,A2型题,A1/A2型题]分化是指肿瘤细胞生长成熟的程度（）A.分化程度越高则恶性程度越高B.分化程度越低则恶化程度越低C.未分化细胞越少则恶性程度越高D.分化程度越低则越接近其相应的发源组织E.未分化细胞越少则越接近其相应的发源组织 [单选]MEN2B的临床表现一般不包括（）。A.甲状腺髓样癌B.甲状旁腺功能亢进症C.嗜铬细胞瘤D.类马凡体型E.多发性黏膜神经瘤 [单选,A1型题]青霉紊G最适于治疗（）。A.伤寒、副伤寒B.肺炎杆菌性肺炎C.布氏杆菌病D.溶血性链球菌感染E.细菌性痢疾 [单选]装运货物要合理使用货车，车种要适合（）。A、形状B、货种C、重量D、体积 [单选]我国基本的劳动制度是（）。A.劳动用工制度B.劳动选择制度C.劳动合同制度D.劳动关系制度 [单选]在拟定沿岸航线选择转向物标时，应尽量避免选择下列哪种物标（）。A．立标B．平坦的岬角C．浮标D．B＋C [单选]下列关于因素分析法的表述中，不正确的是（）。A.因素分析法的缺点是预测结果不太精确B.因素分析法通常用于品种繁多、规格复杂、资金用量较小的项目C.因素分析法的缺点是计算比较复杂，工作量大D.在其他因素不变的情况下，不合理资金占用额越多，则资金需要量越小 [单选,A1型题]产褥期妇女的临床表现恰当的是（）A.产后宫缩痛多见于初产妇B.产后初期产妇脉搏增快C.产后第1日宫底稍下降D.子宫复旧因哺乳而加速E.恶露通常持续1～2周 [单选]“夫百病之始生也，皆生于风雨寒暑，清湿喜怒”之“清湿”是指（）。A.湿邪B.风湿C.痰湿D.寒湿E.湿热 [单选]多式联运是采用（）不同运输方式组合的运输方式。A.陆海B.公路与铁路C.公路与航空D.两种以上 [单选]3DES在DES的基础上使用两个56位的密钥K1和K2，发送方用K1加密，K2解密，再用K1加密。接收方用K1解密，K2加密，再用K1解密，这相当于使用（）倍于DES的密钥长度的加密效果。A.1B.2C.3D.6 [填空题]影响果蔬干制品贮藏的因素主要有（）、（）、（）、（）。 [单选]业主投保“建筑工程一切险”后，工程建设中的（）。A.一切风险转移给保险公司B.全部风险仍由业主承担C.部分风险转移给保险公司D.全部风险转移给承包人 [单选]塔架制作的钢材进行检查时，对厚度大于14mm的钢板的检查方法为（）。A.按张数的10%进行磁粉探伤检查B.应100%进行磁粉探伤检查C.应按张数的10%进行超声波检查，表面用磁粉探伤检查D.应100%进行超声波检查、表面用磁粉探伤检查 [单选]下列各项中，适合建立标准成本中心的单位或部门有()。A、行政管理部门B、医院放射科C、企业研究开发部门D、企业广告宣传部门 [单选]对癫痫大发作与癫痫小发作均有疗效的抗癫痫药物为（）。A.苯妥英钠B.苯巴比妥C.扑痫酮D.丙戊酸钠E.卡马西平 [单选]()注重克服市场失灵，解决市场不能解决的问题。A.政府宏观管理和调控B.科学市场机制C.市场守衡定律D.市场客观规律 [单选]对固定资产采用加速折旧法，体现了会计核算的（）要求。A.重要性B.谨慎性C.可比性D.实质重于形式 [填空题]混凝土运输、浇筑及间歇的全部时间不应超过混凝土的（）时间。 [单选,B1型题]高血压脑病的治疗首选（）A.硝普钠B.呋塞米C.洛汀新（贝那普利）D.硝苯地平E.利血平 [单选]85％深度烧伤伤员的创面焦痂处理方法，选择（）A.保痂下，有计划的分期切痂植皮B.中草药保痂蚕食脱痂植皮C.一次切痂植皮D.自然脱痂植皮E.保痂 [判断题]宣传爱护人民币、负责反假、反破坏人民币工作和票样管理工作是出纳工作的一项主要任务。A.正确B.错误 [单选]2004年修订的《传染病防治法》中新增加的乙类传染病是（）A.艾滋病与钩端螺旋体病B.登革热与炭疽C.布氏杆菌病与梅毒D.传染性非典型肺炎与人感染高致病性禽流感E.黑热病与流行性感冒 [判断题]在概括水库图形时不需顾及到等高线的概括。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关标准姿势的叙述，错误的是（）A.人体直立B.掌心向前C.两眼向前方平视D.双上肢下垂置躯干两侧E.两下肢并拢，足尖外展 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 [单选]容器贯通试压时的试验压力应（）。A、大于安全阀起跳压力B、小于安全阀起跳压力C、等于安全阀起跳压力D、等于泵出口最大压力 [单选]使用行车更换布基卷时，要做到平稳、（）起吊。A.垂直B.匀速C.点动D.低速 [填空题]邮资票品必须按规定的（）和售价出售。 [问答题,简答题]何为地基塑性变形区？ [单选,A2型题,A1/A2型题]以下主诉描述正确的是（）A.月经停闭3年B.月经过多5天C.痛经3年D.每次月经期间及月经以后发热，五心烦热，口干咽燥1年E.小产3次 [问答题,简答题]为加强医院护理管理应建立哪些制度？ [单选,A型题]下列哪种片剂用药后可缓缓释药、维持疗效几周、几月甚至几年()A、多层片B、植入片C、包衣片D、肠溶衣片E、缓释片 [单选]会计信息的次要质量要求中，（）要求企业对交易或者事项进行会计确认、计量和报告时不应高估资产或者收益、低估负债或者费用。A.形式重于实质B.实质重于形式C.可理解性D.谨慎性 [单选]下列有关【3Darray】命令的叙述错误的是（）。A.此命令可以将模型在三维空间中成矩形阵列，还可以将模型以指定的轴成环形阵列B.在三维矩形阵列中，行、列、层分别沿着当前UCS的X、Y、Z方向C.当行、列、层等间距为正值时，将沿相应坐标轴正方向生成阵列D.当行、列、层等间距 [单选,A2型题]4岁男童，左手背被开水烫伤，烫伤面积为4×3cm2，局部皮肤潮红，其上可见两个0．5×0．3cm2左右的水疱，此时较为妥当的处理措施是（）A.剪去水疱表皮，凡士林纱布包扎B.将水疱表皮剪去，不包扎C.清水冲洗创面，保护水疱，不包扎D.挑破水疱底部，挤出渗液， [单选]茶叶加工道德根源于（）A.先天的人性B.阶级斗争C.经济关系D.生存需要工 [单选]葡萄胎清宫术后随访的主要监测方法是（）。A.妇科检查B.X线胸片检查C.血β-HCG测定D.临床症状E.B超检查 [判断题]人们常说的动力电电压是220伏。A.正确B.错误

中考重点三角形的内切与外切圆性质

中考重点三角形的内切与外切圆性质三角形是中学数学中的基础概念之一，而对于三角形的性质的理解和掌握是中考数学的重点内容之一。

本文将着重介绍三角形的内切与外切圆性质，并分析它们在中考考点中的应用。

一、内切圆的性质内切圆，顾名思义，是能够切合三角形内部的一个圆。

我们先来看一下内切圆的性质：1. 内切圆与三角形的接点内切圆与三角形的三边相切于三个点，分别为三角形的三个顶点。

这个性质可以帮助我们解决一些关于内切圆的问题。

例如，在已知三角形三个顶点的情况下，画出其内切圆时，只需计算三角形的边长，再以三角形的顶点为圆心，三角形的边长为半径，画一个等边三角形，其内切圆的半径就是所求。

2. 内切圆的半径与三角形的性质内切圆的半径具有一定的性质与三角形的边长和面积有关。

根据切线定理，内切圆半径与三角形的三边之和成正比，即 r = S / p，其中 r为内切圆的半径，S 为三角形的面积，p 为三角形的半周长。

3. 内切圆的面积与三角形的性质内切圆的面积与三角形的面积有一定的关系。

根据面积之间的关系，内切圆的面积是三角形面积的一半，即 S1 = S / 2，其中 S1 为内切圆的面积，S 为三角形的面积。

二、外切圆的性质外切圆与三角形的三个顶点都在圆上，且三角形的三边分别与圆相切。

下面我们来了解一下外切圆的性质：1. 外切圆的半径与三角形的性质外切圆的半径与三角形的边长和面积也有一定的关系。

同样根据切线定理，外切圆的半径与三角形的半周长成正比，即 R = a / sinA = b / sinB = c / sinC，其中 R 为外切圆的半径，a、b、c 分别为三角形的三边长，A、B、C 分别为对应的角度。

2. 外切圆的面积与三角形的性质外切圆的面积与三角形的面积也有一定的关系。

根据面积之间的关系，外切圆的面积是三角形面积的两倍，即 S2 = 2S，其中 S2 为外切圆的面积，S 为三角形的面积。

三、内切与外切圆性质的应用了解了内切与外切圆的性质，我们可以通过利用这些性质解决一些与三角形相关的问题。

中考数学专题：圆1 内切圆

又因为
所以BD=CD
又因为
所以
又因为
所以
即
所以DB=DE=DC
得证
3.已知中，，AB=5，AC=4，BC=3，圆O内切于，切点为E、F、G，求圆O半径.
[变式]已知中，，AB=c，AC=b，BC=a，圆O内切于，切点为E、F、G，求圆O半径.
4. 中，E是内心，的平分线和的外接圆相交于点D，试说明DB=DC=DE.
答案
知识点
有关内容
内切圆
定义
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
有关概念
三角形的内切圆的圆心叫做内心,其就是三角形角平分线的交点，这个三角形叫做圆的外切三角形.
内心特征
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
（∵点O为的内心
∴OD=OE=OF）
名称
定义
图形
主要性质
圆心位置
备注
内心
三角形三个角的内角平分线的交点
1. DE=DF=DG（D为圆心）
2.
都在角形内
等边三角形内心、外心重合
外心
三角形三条边的中垂线的交点
1.OA=OB=OC（O为圆心）
2.
3.
锐角：在内部
直角：斜边的中点
钝角：在外部
1．（）2. AE=1cm BF=4cm CD=5cm（设AE=AD=xBE=BF=yCF=CD=z）3.半径为1，半径为（方法同2题相似）
4.证明：连接BE
因为E为内心
所以
（∵点O为的内心
∴_______________________）
【内心与外心的区别】
名称
定义
图形
主要性质
位置

中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案

中考数学模拟题汇总《三角形的内切圆与内心》专项练习及答案一、单选题1．下列四个命题：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②对角线相等的平行四边形是菱形；⑨一组邻边相等的矩形是正方形；④三角形三条角平分线的交点是三角形的外心．其中真命题共有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．内心和外心重合的三角形是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形3．如图，在ABC 中， 906,8,ACB AC BC O ∠===，是 ABC 的内切圆，连结 AO ，BO ，则图中阴影部分的面积之和为（）A ．3102π-B ．5142π-C ．12D ．144．如图，ABC 的内切圆O 与AB BC CA ，，分别相切于点D ，E ，F ，若50DEF ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．50︒B ．100︒C ．90︒D ．80︒5．在△ABC 中，点I 是内心，△BIC=114°，则△A 的度数为（）A ．57°B ．66°C ．48°D ．78°6．如图，△O 内切于△ABC ，切点分别为D ，E ，F ，连接OE ，OF ，DE ，DF ，乙组△A=80°，则△EDF等于（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7．在△ABC 中，已知△C=90°，BC=3，AC=4，则它的内切圆半径是（）A ．32B ．1C ．2D ．238．设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（）A ．h R r =+B ．2R r =C ．3r =D ．3R =9．将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，3则四边形AB 1ED 的内切圆半径为（） A 31+B 33- C 31+D 33- 10．已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（）A ．3B ．32C 3D ．23二、填空题11．如图，在ABC 中，点O 是 ABC 的内心， 48A ∠=︒ ， BOC ∠= ︒ ．12．如图，在扇形CAB 中，CD△AB ，垂足为D ，△E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则△AEB 的度数为 .13．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R 和r ，则R—r = . 14．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样的一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”．其意思是：“如图，现有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是多少？”答：该直角三角形所能容纳的最大圆的直径是步．15．如图，点I 为△ABC 的内心，连AI 交△ABC 的外接圆于点D ，若2AI CD ＝，点E 为弦AC 的中点，连接EI ，IC ，若6IC ＝，5ID ＝，则IE 的长为．三、解答题16．如图，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，△O 是Rt△ABC 的内切圆，其半径为1，E ，D 是切点，△BOC=105°.求AE 的长.17．如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中75AB BC ==，，8AC =，求其内切圆的半径．18．如图，在△ABC 中，I 是内心，O 是AB 边上一点，△O 经过B 点且与AI 相切于I 点．（1）求证：AB=AC ；（2）若BC=16，△O 的半径是5，求AI 的长．19．如图1，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆△O 于点D ．（1）求证：DB=DC=DI ；（2）若AB 是△O 的直径，OI△AD ，求tan2CAD的值． 20．如图：在三角形ABC 中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径.21．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆△O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使△BDM=△DAC．（△）求证：直线DM是△O的切线；（△）求证：DE2=DF•DA．参考答案1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】C11．【答案】114 12．【答案】135° 13．【答案】1.5 14．【答案】6 15．【答案】416．【答案】解：连结OD，OE，如图所示，则OD=OE=1.∵O是△ABC的内切圆圆心，∴BO，CO分别是△ABC，△ACB的平分线，即△OBD=△OBE= 12△ABC，且△OCD=12△ACB.又∵△ACB=90°，∴△OCD= 12△ACB=45°.∵OD，OE是过切点的半径，∴OD△BC且OE△AB，∴△OCD+△COD=90°，∴△COD=△OCD=45°，∴CD=OD=1.∵△COB=105°，∴△DOB=△COB-△COD=60°.∵△OBD+△BOD=90°，∴△OBD=30°.∵OD=1，∴OB=2，∴DB=3.∵△OBD=△OBE= 12△ABC=30°，∴△ABC=60°，∴△A=30°.∵BC=BD+CD=1+ 3，∴AB=2+23.在Rt△OBE中，∵OE=1，△OBE=30°，∴BE= 3.∴AE=AB-BE=2+ 317．【答案】解：过B 作BD△AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，设AD=x ，CD=8-x ，其内切圆的半径为r ，根据勾股定理2222AB AD BC CD -=-，即()2222758x x -=--，解方程得112x =， ∴BD=22221157322AB AD ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， ∵圆O 是ABC 的内切圆，∴OE△AC ，OF△AB ，OG△BC ，OE=OF=OG=r ， ∴S △ABC=()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅， ∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅，∴5832320AC BDr AB BC AC⨯⋅===++． 18．【答案】解：（1）延长AI 交BC 于D ，连结OI ，作BH△AC 于H ，如图，∵I 是△ABC 的内心，∴BI 平分△ABC ，即△OBI=△DBI ， ∵OB=OI ， ∴△OBI=△OIB ，∴△DBI=△OIB，∴OI△BD，∵AI为△O的切线，∴OI△AI，∴BD△AD，∵AI平分△BAC，∴△ABC为等腰三角形，∴AB=AC；（2）∵OI△BC，∴△AOI△△ABD，∴AO OI AI AB BD AD==，∴558 ABAB-=，∴AB=403，∴2232 3AB BD-=，∴AI=OIBD•AD=53220833⨯=．19．【答案】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，∴△BAD=△CAD，△ABI=△CBI，∵△CBD=△CAD，∴△BAD=△CBD，∴△BID=△ABI+△BAD，∴△ABI=△CBI，△BAD=△CAD=△CBD，∵△IBD=△CBI+△CBD，∴△BID=△IBD，∴ID=BD ， ∵△BAD=△CAD ， ∴BD CD ∧∧=， ∴CD=BD ， ∴DB=DC=DI ；（2）∵AB 是△O 的直径， ∴BD△AD ，OI△AD ， ∴OI△BD ， ∵OA=OB ， ∴AI=DI ，由（1）知ID=BD ， ∴AD=2BD ，BD=2OI ，设OI=x ，则BD=AI=2x ，AD=4x ， ∴22AD BD +5，如图2，过O 作OE△BD 交△O 于E ，连接AE 交OI 于F ，则OE△AI ， ∴AI IF OE OF=， 5IFX IF x=-， ∴52+， ∵OE△BD ， ∴BE DE ∧∧=， ∴△DAE=12△BAD=12△CAD ， ∴tan△DAE=tan2CAD∠=52xIF AI+=5﹣2．20．【答案】解：如图，作 AD BC ⊥ ，设 BD x = ，则 8CD x =- ，由勾股定理可知： 2222AB BD AC CD -=- ，则 ()2225498x x -=-- ，解得 52x =，则 53AD = ，故 11538103222ABCSBC AD =⋅=⨯⨯=，由三角形的内切圆性质，可得： ()12ABCS r AB BC AC =++ 22033578ABC S r AB BC AC ∴===++++ .21．【答案】解：（△）如图所示，连接OD ，∵点E 是△ABC 的内心， ∴△BAD=△CAD ， ∴BD = CD ， ∴OD△BC ，又∵△BDM=△DAC ，△DAC=△DBC ， ∴△BDM=△DBC ， ∴BC△DM ， ∴OD△DM ，∴直线DM 是△O 的切线；（△）如图所示，连接BE，∵点E是△ABC的内心，∴△BAE=△CAE=△CBD，△ABE=△CBE，∴△BAE+△ABE=△CBD+△CBE，即△BED=△EBD，∴DB=DE，∵△DBF=△DAB，△BDF=△ADB，∴△DBF△△DAB，∴DFDB=DBDA，即DB2=DF•DA，∴DE2=DF•DA．。

2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心附解析

2023年人教版数学中考重难点突破—三角形的内切圆与内心一、单选题1．内心和外心重合的三角形是()A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点3．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°.则∠BOC 等于（）A ．125°B ．120°C ．115°D ．100°4．如图，在ABC 中，58C ∠=︒，点O 为ABC ∆的内心，则AOB ∠的度数为（）A ．119︒B ．120︒C ．121︒D ．122︒5．如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB 处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D ，E 两点，经测量AD=10cm ，BE=15cm ，则该自来水管的半径为（）cm ．A ．5B ．10C ．6D ．86．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB ，BC ，AC 于点E ，F ，D ，P 是 DF上一点，则∠EPF 的度数是（）A ．65°B ．60°C ．58°D ．50°7．如图，ABC 的内切圆О 与AB BC AC ，，分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π-8．如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）A B ．2πC ．32D ．529．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三条边的距离相等；④圆的切线垂直于经过切点的半径．其中正确的个数是（）A ．0B ．2C ．3D ．410．如图，在直角边分别为3和4的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，以此类推，依此类推，图10中有10个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，S 10，则S 1+S 2+S 3+…+S 10=（）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π二、填空题11．在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为．12．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与BC 边相切于点D ，连结OB ，OD ．若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是．13．如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A 、B 、C 、在直角坐标系中的坐标分别为()3,6，()3,3-，()7,2-，则ABC 内心的坐标为.14．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为直径，BC =4，点E 是△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，则DE=．15．如图，扇形AOB ，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过C 点作CD ⊥OB 于点D ，设△ODC 的内心为E ，连接OE 、CE ，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经过的路径长为。

专题27 三角形的内切圆(基础)-冲刺2023年中考几何专项复习(原卷版)

专题27三角形的内切圆（基础）一．选择题1．如图，在△ABC中，AO，BO分别平分∠BAC，∠ABC，则点O是△ABC的（）A．外心B．内心C．中线交点D．高线交点2．已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列选项中⊙O的半径为rK2的是（）A．B．C．D．3．如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，CA＝10，点D，E分别为AB，AC上的点，且DE与⊙I相切，DE∥BC，则DE的长（）A．3.6B．8827C．3D．73274．如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan ∠BAC=247，则sin∠C的值为（）A．56B．45C．35D．335．如图，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（）A．点O是△ABC的内心B．点O是△ABC的外心C．△ABC是正三角形D．△ABC是等腰三角形6．三角形的内心是（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点7．如图，在△ABC中，点I为△ABC的内心，点D在BC上，且ID⊥BC，若∠ABC＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为（）A．174°B．176°C．178°D．180°8．如图，△ABC是一张三角形纸片，⊙O是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知AD＝6cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm9．如图，正△ABC的三边上有三点D，E，F，且AD＝BE＝CF，设AB＝x，DE＝y，△ADF的内切圆的半径为3，则关于x的函数关系式为（）A．y＝x﹣6B．y=C．y＝x﹣3D．y=10．如图，Rt△ABC顶点A，B分别在y轴，x轴上，∠ABC＝90°，且AB＝20，AC＝105．将△ABC沿AC折叠，B点落在D处，∠BAD+∠CBX＝90°，则△AOB的内心的坐标是（）A．（4，4）B．（4.5，4.5）C．（6，6）D．（6，8）11．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．125°12．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD＝32°，则∠BEC的大小为（）A．64°B．120°C．122°D．128°二．填空题13．如图，已知正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b，则△AEF的内切圆半径为．14．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（填度数）．15．等腰△ABC中，∠A＝60°，其面积为7+4327，它的内切圆面积为．16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝，∠B＝，∠C＝．17．在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝6，BC＝8，且△ABC的三边都与圆O相切，则圆O的半径r＝．18．如图，⊙O内切于△ABC，切点依次为D、E、F，若AB＝5，BC＝7，AC＝8，那么AD＝，BE＝，CF＝．19．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D、E、F，若∠A＝50°，则∠DEF＝°．20．如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，∠A＝48°，∠BOC＝°．21．如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，若∠B＝50°，则∠EDF＝度．22．如图，△ABC的周长为24cm，AC＝8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为cm．23．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是D 上一点，则∠EPF的度数是．三．解答题24．如图，△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，⊙O经过B，I两点，且O在BC边上，⊙O与BC交于点D．（1）求证：CI为⊙O的切线；（2）若tan∠CBI=13，AB＝6，求BC的长．25．如图1，⊙O为△ABC的外接圆，点D在圆上，AD为△ABC中∠CAB的外角平分线．（1）如图1，证明：DB＝DC；上，若tan∠M=34，求tan∠DCB （2）如图2，延长DA交BC的延长线于M点，△CDM的内心P在A的值．26．在△ABC中，M是BC边的中点，I是内切圆的圆心，AH⊥BC于点H，E是直线IM与AH的交点，求证：AE＝r．其中r是内切圆的半径．27．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，求证：DE＝DB．28．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D．（1）若∠BAC＝θ，求∠DBC；（2）求证：BD＝DE．29．如图，△ABC外切于⊙O，切点分别为D、E、F，BC＝7，⊙O的半径为3，（1）∠A＝60°，求△ABC的周长．（2）若∠A＝70°，点M为⊙O上异于F、E的动点，则∠FME的度数为°．30．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB=BC＝1，求PO的长．。

九年级中考数学高频考点专题训练--+三角形的内切圆与圆心【附答案】

中考数学高频考点专题训练-- 三角形的内切圆与圆心一、单选题1．如图，△ABC中，内切圆I和边BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若∠B=65°，∠C= 75°，则∠EDF的度数是（）A．65°B．140°C．55°D．70°2．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（）A．128°B．126°C．122°D．120°3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（）A．70°B．110°C．120°D．130°4．若一直角三角形的斜边长为c，内切圆半径是r，则内切圆的面积与三角形面积之比是()A．πrc+2r B．πrc+r C．πr2c+r D．πrc2+r25．如图，已知正△ABC的边长为6，⊙O是它的内切园，则图中阴影部分的面积为（）A．3 ﹣πB．2π﹣2C．3 ﹣D．4 ﹣2π6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，⊙O是△ABC的内切圆，半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．30﹣4πB．30√3−4πC．60﹣16πD．30√3−16π7．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2B．3C．√3D．2√3 8．如图，在△ABC中中，∠A=70°.⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为（）A．125°B．110°C．160°D．135°9．如图，△ABC的内切圆O与各边分别相切于点D，E，F，那么下列叙述错误的是（）A．点O是△ABC的三条角平分线的交点B．点O是△DEF的三条中线的交点C．点O是△DEF的三条边的垂直平分线的交点D．△DEF一定是锐角三角形10．如图，已知△ABC中，AB= AC，∠ABC=70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（）A．40°B．70°C．110°D．140°11．△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°12．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则（）A．EF＞AE+CF B．EF＜AE+CF C．EF=AE+BFD．EF≤AE+CF二、填空题13．若△ABC的三边长为3、4、5，则△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为.14．设两直角边分别为3、4的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则R—r =.15．三边长分别是5cm，12cm，13cm的三角形的内切圆半径为cm．16．已知△ABC三边的长分别为5、12、13，那么△ABC内切圆的半径为.三、综合题17．在△ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为⊙O与边BD、DC的切点，设BD=BC．（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；（2）若AC=6，⊙O的半径为1，求AE的长．18．如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连AI并延长交BC和⊙O于D、E两点.（1）求证：EB＝EI；（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长.19．如图，⊙O为△ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且∠EAC=∠ABC.（1）求证：直线AE是⊙O的切线；（2）若D为AB的中点，CD=3，AB=8.①求⊙O的半径；②求△ABC的内心I到点O的距离.20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点I是△ABC的内心，延长AI交⊙O于点D，连接DB、DC．（1）求证：DB=DC=DI；（2）若⊙O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．。

中考数学三角形的内切圆

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二次构造柱泵厂家诉说：机械制造中数控技术的运用煤矿机械。煤矿开采的环境一般比较恶劣，对机械设备的要求也比较高。传统的机械设备和技术具有一定的局限性，不利于煤矿开采效率的提高。而将数控技术运用到煤矿机械当中，控二次构造柱泵是专为楼房建设的二结构浇注而设计的一款机械设备，通过将细石砂浆混凝土等物料倒入料斗内使物料通过输送软管泵送到指定浇注地点的一种全自动全液压的二次构造柱浇注设备，二次构造柱泵是目前的房梁柱子浇筑的最二次构造柱泵构造都是在小的空间内进行浇筑的，费时吃力，作业功率低.二次构造柱泵有用的处理了人工浇筑的疑问，而且该泵压力大，噪音小，操作简练，体积简练等特色，为进步多层修建砌体构造的抗震功用，标准央求应在房子的砌小型二次构造柱泵专门解决二次结构施工费工，费力，生产效率低的问题。该机体积小，操作简单，降低人员劳动强度，灵活地在楼层中施工，可靠近过梁，柱子浇筑。应根据施工场地特点及混凝土浇筑方案进行配管，配管设计时要二次构造柱泵对于主体二次结构是指框架结构，框梁板柱结构、钢结构主体施工后需要二次填充的砌体、板带、圈梁、过梁、门柱、窗柱、构造柱、窗台梁、压顶非主体二次结构，一般是指主体外的造型结构设施或与主体分割的独立结构

中考数学三角形的内切圆(整理2019年11月)

第七章圆
第九节三角形的内切圆
（一）提出问题
如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆
？想一想，怎样画?
A
B
C
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
提出以下几个问题进行讨论：
A
（1）作圆的关键是什么?
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么 B 条件? （3）这样的点I应在什么位置?
的外接圆相交于点D.
A
求证：DE＝DB
12
O
3析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．
（四）小结
1.学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．
2.利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形外接圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点
B
内心（三三角形三角形内切条角平分圆的圆心）线的交点
B
A
（1）
OA=OB=OC；
O
（2）外心不一
定在三角形的
内部．
C
（1）到三边的
A
距离相等；
（ 2 ） OA 、 OB
、 OC 分别平分
O
∠ BAC 、
（4）圆心I确定后半径如何找？
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
（二）新课
1. 什么是三角形的内切圆？
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角 2形、．想一想，三角形内心和外心的区别？

中考重点三角形的外接圆与内切圆

中考重点三角形的外接圆与内切圆中考重点：三角形的外接圆与内切圆三角形是中考数学中的一个重要内容，其中与三角形相关的圆也是必须掌握的知识点。

本文将重点讨论三角形的外接圆与内切圆。

一、外接圆外接圆指的是一个圆能够完全围住一个三角形，并且三角形的三个顶点均在这个圆上。

我们下面以直角三角形和一般三角形来介绍外接圆的求解方法。

1. 直角三角形在直角三角形中，外接圆的圆心位于斜边的中点，并且半径等于斜边的一半。

这个性质可以通过勾股定理来进行推导。

假设直角边分别为a和b，斜边为c，斜边的中点坐标为(M, N)。

首先根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²由于斜边的中点坐标为(M, N)，根据坐标推导，我们可以得到：M = (a + b) / 2N = (a - b) / 2根据外接圆的性质，斜边的中点与外接圆圆心重合，即斜边的中点坐标即为外接圆圆心的坐标。

所以外接圆的圆心坐标为(M, N)。

而外接圆的半径等于斜边的一半，即半径R = c / 2。

2. 一般三角形对于一般三角形，我们可以利用三角形的垂心来求解外接圆的圆心和半径。

垂心是三角形的三条高所共有的交点，即三条高的交点称为垂心。

垂心到三角形三个顶点的距离分别等于它到三个高的距离。

首先，我们需要求解出三角形的垂心坐标。

求解过程中可以利用垂心的性质：三条高的交点到三个顶点的距离乘积相等。

假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)，垂心的坐标为(Dx, Dy)。

首先我们可以计算三角形三条边的长度：a = √((By-Cy)² + (Bx-Cx)²)b = √((Ay-Cy)² + (Ax-Cx)²)c = √((Ay-By)² + (Ax-Bx)²)然后我们可以根据垂心的性质，求解垂心的坐标：Dx = (a²*Ax + b²*Bx + c²*Cx) / (a² + b² + c²)Dy = (a²*Ay + b²*By + c²*Cy) / (a² + b² + c²)根据垂心的坐标，我们就可以求得外接圆的圆心坐标，同时外接圆的半径等于垂心到任意一个顶点的距离。