考研数学三(微积分)模拟试卷153(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷153(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设un收敛，则下列级数必收敛的是( )．

A．

B．un2

C．(u2n－1－u2n)

D．(un＋un＋1)

正确答案：D

解析：(u1＋un＋1)收敛，因为Sn＝2(u1＋u2＋…＋un)－u1＋un＋1，而级数收敛，所以存在，由级数收敛的定义，(u1＋un＋1)收敛，选(D). 知识模块：微积分

2．设f(x)为可导函数，F(x)为其原函数，则( )．

A．若f(x)是周期函数，则F(x)也是周期函数

B．若f(x)是单调函数，则F(x)也是单调函数

C．若f(x)是偶函数，则F(x)是奇函数

D．若f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数

正确答案：D

解析：令f(x)＝cosx－2，F(x)＝sinx－2x＋C，显然f(x)为周期函数，但F(x)为非周期函数，(A)不对；令f(x)＝2x，F(x)＝x2＋C，显然f(x)为单调增函数．但F(x)为非单调函数，(B)不对；令f(x)＝x2，F(x)＝x3＋2，显然f(x)为偶函数，但F(x)为非奇非偶函数，(C)不对；若f(x)为奇函数，F(x)＝∫axf(t)dt，因为F(－x)所以F(x)为偶函数，选(D)．知识模块：微积分

3．设f(x)＝，则在x＝1处f(x)( )．

A．不连续

B．连续但不可导

C．可导但不是连续可导

D．连续可导

正确答案：D

解析：因为(x2＋x＋1)＝3＝f(1)，所以f(x)在x＝1处连续．因为＝3，所以f(x)在x＝1处可导．当x≠1时，f’(x)＝2x＋1，因为f’(x)＝3＝f’(1)，所以f(x)在x＝1处连续可导，选(D)．知识模块：微积分

4．当x→1时，f(x)＝的极限为( )．

A．2

B．0

C．∞

D．不存在但不是∞

正确答案：D

解析：知识模块：微积分

填空题

5．当x→时，π－3arccosx～a，则a＝______，b＝______．

正确答案：，1

解析：由得π－3arccosx～，b＝1．知识模块：微积分

6．＝______．

正确答案：

解析：知识模块：微积分

7．设f(x)＝ln(2x2－x－1)，则f(n)(x)＝______．

正确答案：

解析：知识模块：微积分

8．＝______．

正确答案：1

解析：知识模块：微积分

9．设f(x，y)连续，且f(x，y)＝xy＋f(x，y)dσ，其中D由y＝0，y＝x2及x＝1围成，则f(x，y)＝______．

正确答案：

解析：令f(x，y)dσ＝k，则f(x，y)＝xy＋k，两边在D上积分得f(x,y)dσ＝(xy＋k)dσ，即k＝∫01dx∫0x2(xy＋k)dy，解得k＝，所以f(x，y)＝xy＋．知识模块：微积分

10．微分方程y’’＋4y＝4x－8的通解为______．

正确答案：y＝C1cos2x＋C2sin2x＋x－2

解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y ＝C1cos2x＋C2sin2x＋x－2．知识模块：微积分

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11．求．

正确答案：涉及知识点：微积分

12．求．

正确答案：涉及知识点：微积分

13．(1)求常数m，n的值，使得＝3．(2)设当x→0时，x－(a＋bcosx)sinx 为x的5阶无穷小，求a，b．(3)设当x→0时，f(x)＝ln(1＋t)dt～g(x)＝xa(ebx－1)，求a，b．

正确答案：由＝3得m＋n＋1＝0，得m＋2＝6，解得m＝4，n＝－5．(2)x －(a＋bcosx)sinx (x→0)再由g(x)＝xa(ebx－1)～bka＋1得a＝3，b＝．涉及知识点：微积分

14．设y＝x2lnx，求y(n)(n≥3)．

正确答案：y(n)＝Cnox2(lnx)(n)＋Cn12x．(lnx)(n－)＋Cn22．(lnx)n－1。由(lnx)(n)＝得涉及知识点：微积分

15．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝f(ξ)．

正确答案：不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f＜0，令φ(x)＝e－xf(x)，则φ’(x)＝e －x[f’(x)－f(x)]．因为φ(a)＞0，φ＜0，φ(b)＞0，所以存在，使得φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，即e－ξ[f’(ξ)－f(ξ)]＝0，因为e－ξ≠0，所以f’(ξ)＝f(ξ)．涉及知识点：微积分

16．证明：当x＞1时，．

正确答案：令f(x)＝(1＋x)ln(1＋x)－xlnx，f(1)＝2ln2＞0，因为f’(x)＝ln(1＋x)＋1－lnx－1＝ln(1＋)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，＋oo)上单调增加，再由f(1)＝2ln2＞0得当x＞1时，f(x)＞0，即．涉及知识点：微积分

17．求．

正确答案：涉及知识点：微积分

18．当x≥0时，f(x)＝x，设g(x)＝当x≥0时，求∫0af(t)g(x－t)dt．

正确答案：涉及知识点：微积分

19．设f(x)＝，求∫02πf(x－π)dx．

正确答案：涉及知识点：微积分

20．设L：y＝e－x(x≥0)．(1)求由y＝e－x、x轴、y轴及x＝a(a＞0)所围成平面区域绕x轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)＝V(a)，求c．

正确答案：(1)V(a)＝π∫0ae－2xdx＝(1－e－2a)．(2)由V(c)＝涉及知识点：微积分

21．设z＝f(etsinnt,tant)，求．

正确答案：＝et(sint＋cost)f’1＋f’2sec2t 涉及知识点：微积分

22．改变积分次序f(x，y)dy．

正确答案：涉及知识点：微积分

23．设f(x)＝S0＝∫02f(x)e－xdx，S1＝∫24f(x－2)e－xdx,…,Sn＝∫2n2n ＋2f(x－2n)e－xdx.求Sn．

正确答案：S0＝∫02f(x)e－xdx＝∫01xe－xdx＋∫12(2－x)e－xdx＝令t＝x －2，即S1＝e－2∫02f(t)e－tdt＝e－2S0，令t＝x－2n，即Sn＝e－2n∫02f(t)e －tdt＝e－2S0，S＝涉及知识点：微积分

24．求幂级数的收敛域．

正确答案：涉及知识点：微积分

25．求微分方程x2y’＋xy＝y2满足初始条件y(1)＝1的特解．

正确答案：由x2y’＋xy＝y2得，两边积分得，因为y(1)＝1，所以C＝－1，再把＝Cx2得原方程的特解为y＝．涉及知识点：微积分