初中数学例题：用树状图或表格求概率

合集下载

北师版九年级初三上册数学《用树状图或表格求概率》同步练习题

3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率【基础练习】一、选择题：同时掷两颗均匀的骰子，下列说法中正确的是（）.（1）“两颗的点数都是3”的概率比“两颗的点数都是6”的概率大；（2）“两颗的点数相同”的概率是16 ；（3）“两颗的点数都是1”的概率最大；（4）“两颗的点数之和为奇数”与“两颗的点数之和为偶数”的概率相同.A. (1)、(2)B. (3)、(4)C. (1)、(3)D. (2)、(4)二、填空题：用列表的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.1.从1、2、3、4、5这五个数字中，先随意抽取一个，然后从剩下的四个数中再抽取一个，则两次抽到的数字之和为偶数的概率是；2.有五条线段，其长度分别为1、3、5、7、9，从中任取三条，以这三条线段为边能够成一个三角形的概率是；3.现有10个型号相同的杯子，其中一等品7个，二等品2个，三等品1个，从中任取两个杯子都是一等品的概率是 .用画树状图的方法求下列各事件发生的概率，并用所得的结果填空.4．在两个布袋中分别装有三个小球，这三个小球的颜色分别为红色、白色、绿色，其他没有区别．把两袋小球都搅匀后，再分别从两袋中各取出一个小球，求取出两个相同颜色．．．．小球的概率是_______.5．妞妞和她的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏．每次用一只手可以出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀、剪刀赢布、布赢锤子，若两人出相同手势，则算打平．妞妞和爸爸出相同手势的概率是___________.6．三个袋中各装有2个球，其中第一个袋和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中各摸出一个球，则摸出的三个球中有2个黄球和一个红球的概率为_________．三、解答题：有两组卡片，第一组卡片共3张，分别写着2、2、3；第二组卡片共5张，分别写着1、2、2、3、3. 试用列表的方法求从每组中各抽取一张卡片，两张都是2的概率.【综合练习】有两个质量均匀、大小相同的正四面体，其中一个的四个面上分别写着数字1、2、3、4，另一个的四个面上分别写着数字5、6、7、8. 将这两个正四面体同时投掷到桌面上，并以它们底面上的数字之和来计分，问：（1）共能组成多少种不同的计分？（2）底面上的数字之和为素数的概率是多少？（3）底面上的数字之和为偶数的概率是多少？【探究练习】中国队和韩国队等9支球队参加奥运会足球预选赛亚洲区决赛，把9支球队任意地分成3组，试求中、韩两队恰好分在同一组的概率.答案：【基础练习】一、D.二、1. 25 ； 2. 310 ； 3. 715 ； 4．13 ；5．13； 6．14. 三、415. 【综合练习】（1）7；（2）14 ；（3）12. 【探究练习】14.课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。

初中数学北师大版九年级上册1 用树状图或表格求概率

（2）如果是你，你会设计一个什么游戏活动判断胜负？
在一个双人游戏中，你是怎样理解游戏对双方
公平的？
新问题：
小明、小凡和小颖都想去看
周末电影，但只有一张电影票。
三人决定一起做游戏，谁获胜谁
就去看电影。游戏规则如下：
如果不公平，猜
连续抛掷两枚均匀的硬币，猜谁获胜的可能
如果两枚正面朝上，则小明获胜；性更大？
如果两枚反面朝上，则小颖获胜；
如果一枚正面朝上、一枚反面朝
上，则小凡获胜。
你认为这个游戏公平吗？
请你分别估计“两枚正面朝上”“两枚反面朝上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件的概率。
由此，一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？
谁所选数字相同，那么谁就获胜．（1）列出同时掷两枚均匀骰子所有可能出现的结果：
（2）小明选的数字是5，小颖选的数字是6．如果你也加入游戏，你会选什么数字，使自己获胜的概率比他们大？请说明理由．
2、九年级（3）班将竞选出正、副班长各1名 ,现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．
（1）男生当选班长的概率是_______；（2）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．
求：两次都摸到红球的概率；
解：列表得
第一次第二次
红
红（红，红）
白（白，红）
白
（红，白）
（白，白）
共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，
两次都摸到红球有1种结果（红，红），所以P（两次都摸到红球）= 1
4
1、小明和小颖做掷骰子的游戏，规则如下： ① 游戏前，每人选一个数字： ② 每次同时掷两枚均匀骰子； ③ 如果同时掷得的两枚骰子点数之和，与

3.1用树状图或表格求概率+第1课时+课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

课 [本课时认知逻辑]
堂
小
结与检
实际试验问题操作
频率估计概率
理论分析
等可能事件
测
解决
计算概率
应用
画树状图法
列表法
课 [检测]
堂
小 1.一个布袋内装有1个红球和1个黄球,这些球除颜色不同外
结与检测
其余都相同,随机摸出一个球记下颜色后放回搅匀,再随机
1
摸出一个球,则两次摸出的球都是黄球的概率是 4第二枚硬币可能出现哪些结果?它们发生的可能性是
与否一样?
应
用解:掷第二枚硬币可能出现正面朝上或反面朝上两种结果,它们
发生的可能性一样.
探究
(3)在第一枚硬币正面朝上的情况下,第二枚硬币可能出现哪
与些结果?它们发生的可能性是否一样?如果第一枚硬币反面
应
用朝上呢?
件发生的概率.
探知方法究频率估计概率的普遍性
与
应当遇到较复杂的事件无法求得试验的理论概率时,我们可以用借用试验频率的稳定值估计事件发生的概率.
探
应用用树状图或表格求某些事件发生的概率
究与
例现有甲、乙两个不透明的袋子,甲袋子里装有1个红球,1
应个黄球;乙袋子里装有1个红球,1个白球,这些球除颜色外其
测其中,甲、乙两人选择的检票通道恰好相同的结果有3种,
∴P(甲、乙两人选择的检票通道相同)=39 = 13.
谢谢观看！
应
用上”“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件发生的概率
相同吗?先分组进行试验,然后累计各组的试验数据,分别计
算这三个事件发生的频数与频率,并由此估计这三个事件发

3.1用树状图或表格求概率(放回型或独立型)课件++2023—2024学年北师大版数学九年级上册

（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率 .
片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机一次性抽取两张卡片，则抽出的两张都是冰墩墩卡片的概率是__.
5.(2022·珠海市一模)某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型、泡沫型三种型号（分别用，，依次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是__;
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率.（用树状图或列表的方法求解）.
解：树状图如下：
由上可得，一共有12种等可能性，其中一定有乙的可能性有6种，故一定有乙的概率是 .
10.如图，正方形的边长为2，中心为，从，，，，五点中任取两点.
（1）求取到的两点间的距离为2的概率；
解：从，，，，五点中任取两点，所有等可能出现的结果有：，，，，，，，，，，共有10种，满足两点间的距离为2的结果有，，，这4种，则两点间的距离为 .
（2）求取到的两点间的距离为的概率；
共有6种等可能的结果，它们为，，，，， .
（2）求点在轴上的概率.
[答案] 点在轴上的结果数为3，点在轴上的概率 .第2课用树状图或表格求概率（不放回型）

用树状图或表格求概率

用树状图求概率：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从三个口袋中取球）时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图。

用表格求概率：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可以通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率。

当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格求概率。

例1、一个袋中有除颜色外其余特征均相同的4个珠子，其中2个白色，2个黑色，若从这个袋中任意取2个珠子，则其颜色不同的概率是______.例2、小刚很擅长球类运动，课外活动时，足球队、篮球队都力邀他到自己的阵营，小刚左右为难，最后决定通过掷硬币来确定，游戏规则如下：连续抛掷硬币三次，如果三次正面朝上或三次反面朝上，则由小刚任意挑选两球队；如果两次正面朝上一次正面朝下，则小刚加入足球阵营；如果两次反面朝上一次反面朝下，则小刚加入篮球阵营．（1）用画树形图的方法表示三次抛掷硬币的所有结果；（2）小刚任意挑选两球队的概率有多大？（3）这个游戏规则对两个球队是否公平？为什么？例3、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，不放回，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例4、有四个除颜色外完全相同的小球，它们分别是黑色、蓝色、白色、红色，现从中任意抽取一个小球后，放回摇匀，再随机抽取一个，则两次抽取的小球恰好一个是黑色、一个是红色的概率是________.例5、大双，小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票，兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球，各自设计一种游戏确定谁去．大双：A袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，B袋中放着分别标有数字4，5的两个小球，且都已各自搅匀，小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球，若两个小球上的数字之积为偶数，则大双得到门票；若积为奇数，则小双得到门票．小双：口袋中放着分别标有数字1，2，3的三个小球，且已搅匀，大双，小双各蒙上眼睛有放回地摸1次，大双摸到偶数就记2分，摸到奇数记0分；小双摸到奇数就记1分，摸到偶数记0分，积分多的就得到门票．（若积分相同，则重复第二次．）（1）大双设计的游戏方案对双方是否公平？请你运用列表或树状图说明理由；（2）小双设计的游戏方案对双方是否公平？不必说理．1、在4张卡片上分别写有1-4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是_______.2、箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是_______.3、一不透明纸箱中装有形状，大小，质地等完全相同的4个小球，分别标有数字1，2，3，4.(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，求这两个小球上所标的数字一个是奇数另一个是偶数的概率;(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字;将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被3整除的概率是多少?试用树状图或列表法加以说明.4、完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、-1、2、-2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率。

初中数学北师大版九年级上册《3.1 用树状图或表格求概率(1)》课件

课堂练习
1．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是( A )
A ．1 3
B. 2 3
C. 1 6
D. 1 9
课堂练习
2．袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为( B )
新知讲解
做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做连续抛掷两枚均匀的硬币游戏，谁获胜谁就去看电影.
两枚正面朝上，我获胜
你认为这个游戏公平吗？
一枚正面朝上、一枚反面朝上，
我获胜
两枚反面朝上，我获胜
新知讲解
连续掷两枚均匀的硬币总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同. 其中：
做一做：连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”、
“两枚反面朝上”、“一枚正面朝上、一枚反面朝上”这三个事件
发生的概率相同吗？
（1）独立实验，并完成下表：
掷硬币的结果
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上、一枚反面朝上
频数
频率
新知讲解
（2）小组活动：4个同学为一个小组，把4个人的试验数据汇总，得到小组试验（200次）结果.
掷硬币的结果频数
两枚正面朝上
两枚反面朝上
一枚正面朝上、一枚反面朝上
频率
新知讲解
（2）小组活动：4个同学为一个小组，把4个人的试验数据汇
总，得到小组试验（200次）结果.
1
事件“两枚正面朝上”的概率为： 4 事件“两枚反面朝上”的概率为： 1 事件“一枚正面朝上、一枚反面朝上4”的概率为：2 1

初中数学北师大版九年级上册《3.1 用树状图或表格求概率(2)》课件

4
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种； (2)这个游戏对双方公平，理由如下：由列表法可知，在16种可能出
现的结果中，它们出现的可能性相等. ∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝
8 16
1, 2
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ 8 1 ,
红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负，那么（ B ）
A．小晶赢的机会大
B．小红赢的机会大
C．小晶、小红赢的机会一样大 D．不能确定
拓展提高
有三张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式y=kx+b中的k，第二次从中随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b.
布)，所以小颖获胜的概率为 3 1 93
因此，这个游戏对三人是公平的.
新知讲解
做一做：小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从1、2、…、12中任意选择一个数，然后两人各掷一次质地均匀的骰子，谁事先选择的数等于两人掷得的点数之和谁就获胜；如果两人选择的数都不等于掷得的点数之和，就再做一次上述游戏，直至决出胜负。如果你是游戏者，你会选择哪个数？
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x， y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
中考链接
1
2
3
4
1 解：(1)列表如下： 2
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3

用树状图或表格求概率 (3)

一种常用方法.
用树状图和列表的方法求概率时应注意些什么?
用树状图和列表的方法求概率时应注意各种结果出现的可能性务必相同.
典型例题
一个盒子中有两个红球，两个白球和一个蓝球，这些球除颜色外其它都相同，从中随机摸出一球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一球。求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.
把两个红球记为红1、红2；两个白球记为白1、白2.则列表格如下：
黄 (红,黄)
蓝 (红,蓝)
白
(白,黄) (白,蓝)
绿
(红,绿) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 5
“配紫色”游戏的变异
用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏. 蓝
小颖制作了下图,并据此求出游戏者
获胜的概率是1
1200
红
2
红
红
(红,红)
红白 A盘
蓝黄
绿 B盘
议一议 3
“配紫色”游戏
树状图可以是:
黄
红
蓝
绿开始
黄
白
蓝
绿
(红,黄) (红,蓝) (红,绿) (白,黄) (白,蓝) (白,绿)
总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，所以，游戏者获胜的概率是 1
6
想一想 4
“配紫色”游戏
表格可以是：
第二个转盘
第一个转盘
红
种结果出现的可能性务必相同. “配紫色”游戏体现了概率模型的思想,它启示我们:概率是对随机现象的一种数学描述,它可以帮助我们更好地认识随机现象, 并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策.
下课了!
时间是一个常数,但对勤奋者来说,是一个 “变数”.

九年级数学用树状图或表格求概率(一)(基础)(含答案)

用树状图或表格求概率（一）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率2.一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其他完全相同．将球摇匀后，从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，两次摸到的球颜色相同的概率是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率3.同时掷两个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，规定出现6点就重新投掷，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率4.设A=x+y，其中x可取-1，2，y可取-1，-2，3，则可以求出A是正值的概率为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率5.图中的两个转盘被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率6.一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则完全搭配正确的概率是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率7.“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率8.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率9.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率10.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：用树状图或表格求概率。

数学九年级上册3.1《用树状图或表格求概率》第1课时当堂检测及课后作业(后附答案)

九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率（1）一、学习目标1.通过试验进一步感受随机事件发生的频率的稳定性，理解事件发生的频率与概率的关系；2.会借助树状图和列表法计算涉及两步试验的随机事件发生的概率. 二、当堂检测 A 组：1.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )A.频率等于概率B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D.试验得到的频率与概率不可能相等2.小明上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红灯、绿灯的可能性大小都相同，小明经过每个路口都是绿灯的概率是（） A ．51 B ．41 C ．31 D ．21 3.学校将为片区学校展示“音乐、美术、体育”兴趣活动观摩．小明、小丽随机从三个场所选择一个担任志愿者服务，请利用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一场所的概率． B 组：4.一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，求两次摸出的小球标号的和等于5的概率．三、课后作业 A 组：1.学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是（） A ．B ．C ．D ．12.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少有一枚硬币反面向上的概率是 .3.小颖有两件上衣，分别是红色和白色，有两条裤子，分别是黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是多少？4.防疫期间，全市所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A 、B 、C 三个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A 测温通道通过的概率是；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率． B 组：5.小明从一定高度随机投掷一枚质地均匀的硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”。

专题09 用树状图或表格求概率(解析版)

2022-2023学年北师大版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 用树状图或表格求概率考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·南海期末）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（）A．14B．13C．12D．34【答案】C【完整解答】解：画树状图如下共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为21 42 =故答案为：C．【思路引导】利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。

2．（2分）（2021九上·包头期末）小亮有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【完整解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，∴恰好是白色上衣和白色裤子的概率是14，故答案为：B．【思路引导】先画树状图，再求出共有4种等可能的结果，恰好是白色上衣和白色裤子的有1种情况，最后求概率即可。

3．（2分）（2021九上·广饶期末）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“-1”除数字外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（）A．14B．13C．12D．23【答案】C【完整解答】根据题意，如下图，总共有四种结果，其中两次记录的数字之和为0的情况有两种∴两次记录的数字之和为0的概率是：21 42 =故答案为：C．【思路引导】先画树状图，再求概率即可。

4．（2分）（2021九上·秦都期末）笼子里关着一只小松鼠（如图）.笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（）A．12B．13C．23D．16【答案】D【完整解答】解：画树状图：由图可知，一共有6种等可能的结果，其中先经过A门、再经过D门有1种结果，所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为16，故答案为：D.【思路引导】画出树状图，找出总情况数以及先经过A门、再经过D门的情况数，然后利用概率公式进行计算.5．（2分）（2021九上·毕节期末）有4张背面相同的卡片，正面分别印有平行四边形、矩形、菱形、正方形，现将4张卡片正面朝下一字摆开，从中随机抽取两张，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为（）A．1B．34C．23D．12【答案】D【完整解答】解：根据题意得列出表格如下：　平行四边形矩形菱形正方形平行四边形　矩形、平行四边形菱形、平行四边形正方形、平行四边形矩形平行四边形、矩形　菱形、矩形正方形、矩形菱形平行四边形、菱形矩形、菱形　正方形、菱形正方形平行四边形、正方形矩形、正方形菱形、正方形　∵平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称又是轴对称的图形，∴共有12种等可能结果，抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，∴抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的概率为61 122=.故答案为：D.【思路引导】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此判断出四个图形中既是中心对称又是轴对称的图形的图象；利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片上都恰好印的既是中心对称又是轴对称的图形的有6种，然后利用概率公式计算即可.6．（2分）（2021九上·燕山期末）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（）A．16B．12C．29D．49【答案】C【完整解答】解：画“树形图”如图所示：∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，∴一辆向右转，一辆向左转的概率为29；故答案为：Ｃ．【思路引导】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率公式求解即可。

3-1-1 用树状图或表格求概率-北师大版数学九年级上册

4
• 小凡获胜的概率（正、反）（反、正）为
2
，
4
• 因此，这个游戏对三人是不公平的.
探究新知
上面的问题，还可以通过列表分析出所有等可能的结果：
第二枚硬币
第一枚硬币
正反
正
（正、正）（反、正）
反
（正、反）（反、反）
通过列表，我们同样可以得出结论：游戏不公平.
归纳总结
利用树状图或表格，我们可以不重复，不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率。
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？有何感想？
2.用列表法求概率时应注意什么情况？
学会了明白了
用列表法求随机事件发生的理论概率（也可借用树状图分析）
用列表法求概率时应注意各种情况发生的可能性务必相同
懂得了
合作交流的重要性，体会到了一种精神：就是要勇于暴露自己的思想
课后作业完成练习册本课时的习题。
探究新知
请将各自的试验数据汇总后，填写下面的表格：
抛掷第一枚硬币抛掷第二枚ຫໍສະໝຸດ 币表格中的数据支持你的猜测吗？
探究新知
探究体会：
由于硬币是均匀的，因此抛掷第一枚硬币出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率相同。无论抛掷第一枚硬币出现怎样的结果，抛掷第二枚硬币时出现“正面朝上”和“反面朝上”的概率也是相同的。所以，抛掷两枚均匀的硬币，出现的（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）四种情况是等可能的。
获胜谁就去看电影。如果是你，你如何选择？
达标检测
【选自教材P62 习题3.1】
活动内容3：小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的
硬币，他已经掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”.那么，你认为小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理由，并与同伴交流.

人教版苏科版初中数学—概率的进一步认识(经典例题)

班级小组姓名成绩（满分120）一、用树状图或表格求概率（一）用树状图或表格求概率（共4小题，每题3分，题组合计12分）例1.某校安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为()A.13 B.19 C.12 D.23例1.变式1.小颖有红色、黄色、白色的三件运动上衣和白色、灰色两条运动短裤.若任意选取一件上衣和短裤进行组合，则恰好是“衣裤同色”的概率是.例1.变式2.5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点;下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩，则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙,下午选中江郎山这两个地点的概率是()A.19 B.13 C.23 D.29例1.变式3.扬州市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目;另在立定跳远、实心球(二选一)和引体向上、1分钟跳绳(二选一)中选择两项.(1)每位考生有种选择方案;(2)用画树状图或列表的方法求小明与小刚选择两种方案的概率.(友情提醒:各种方案用A、B、C …或①、②、③…等符号来代表可简化解答过程)例2.学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.下图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是()A.14 B.12C.34 D.56例2.变式1.利用下面的几组转盘做“配紫色”的游戏，用列表法求出“配紫色”成功的概率.（注：红蓝即可配成紫色）例2.变式2.已知|a|=2,|b|=5，求|a+b|的值为7的概率.例2.变式3.小华买了一套科普读物，有上、中、下三册，要整齐地摆放在一层书架上，其中恰好摆成“上、中、下”顺序的概率是()A.16 B.19 C.14 D.15例3.小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估计小明射击一次击中靶子的概率是()A.38%B.60%C.约63%D.无法确定例3.变式1.如下图所示，两个转盘，指针落在每一个数上的机会均等，则两个指针同时落在偶数上的概率是()A.14 B.625C.15 D.325例3.变式2.下列说法正确的是()①试验条件不会影响某事件出现的频率；②在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较精确的估计值，但各人所得的值不一定相同；③如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等.A.①②B.②③C.①③D.①②③例3.变式3.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日(可以不同年)进行统计，则正确的说法是()A.至少有两名学生生日相同B.不可能有两名学生生日相同C.可能有两名学生生日相同，但可能性不大D.可能有两名学生生日相同，且可能性很大（一）用树状图或表格求概率（共4小题，每题3分，题组合计12分）例4.在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23.则黄球的个数为()A.2B.4C.12D.16例4.变式1.一只盒子中有红球m个,白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是()A.m=3,n=5B.m=n=4C.m+n=4D.m+n=8例4.变式2.同时抛掷两枚均匀的骰子，两枚骰子的点数之和是8的概率为()A.536 B.14 C.136 D.112例4.变式3.一个盒子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同,从中随机摸出2个球,则2个球不同色的概率是()A.35 B.13 C.16 D.56（二）用树状图法或列表法分析游戏的公平性（共4小题，每题3分，题组合计12分）例5.甲、乙两人玩一个游戏：每人分别抛掷一个质地均匀的小立方体(每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，落地后，若两个小立方体朝上的数字之和为偶数，则甲胜；若两个小立方体朝上的数字之和为奇数，则乙胜.你认为这个游戏公平吗？试说明理由.例5.变式1.小明和小亮用如图所示两个转盘(每个转盘被分成四个面积相等的扇形)做游戏.转动两个转盘各一次，如果两次数字之和为奇数，则小明胜，否则，小亮胜，这个游戏公平吗？答:(填“公平”或“不公平”).A盘B盘例5.变式2.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其他结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为(填“甲”或“乙”)获胜的可能性更大.例5.变式3.将背面完全相同、正面分别写有数字-2、1、-4的三张卡片混合后，小峰从中随机抽取一张，把卡片上的数字作为积的一个因数.将形状、大小完全相同，分别标有数字-1、3、4的三个小球混合后,小华随机抽取一个,把小球上的数字作为积的另一个因数,然后计算这两个数的乘积.(1)请用列表或画树状图的方法求出两个数的乘积是非负数的概率;(2)小峰和小华做游戏，规则是：若这两数的积是非负数，则小峰赢；否则小华赢.你认为这个游戏公平吗？请说明理由，如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平.（三）解决较为复杂的概率题（共4小题，每题3分，题组合计12分）例6.将A，B，C，D四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人.(1)A在甲组的概率是多少?(2)A、B都在甲组的概率是多少?例6.变式1.在一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同.(1)从中任意抽取一张卡片，求该卡片上写有数字1的概率；(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数大于22的概率.例6.变式2.为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的摸球游戏：在一个不透明口袋中放入编号分别为1、2、3的三个红球及编号为4的一个白球，四个小球除了颜色和编号不同外，其他没有任何区别.摸球之前将袋内的小球搅匀.甲先摸两次，每次摸出一个球(第一次摸后不放回).把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一次且摸出一个球.如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分,否则甲得0分.如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则乙得0分.得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来.(1)运用列表或画树状图的方法求甲得1分的概率；(2)请你用所学的知识说明这个游戏是否公平.例6.变式3.如下图所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路.则使电路形成通路的概率是.二、用频率估计概率（一）频率与概率的关系（共4小题，每题3分，题组合计12分）例7.关于频率和概率的关系,下列说法正确的是()A.频率等于概率B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近D.试验得到的频率与概率不可能相等例7.变式1.某人在做掷硬币试验时，投掷m次，正面朝上有n次(即正面朝上的频率是P=n m).则下列说法中正确的是()A.P一定等于1 2B.P一定不等于1 2C.多投一次，P更接近1 2D.投掷次数逐渐增加，P稳定在12附近例7.变式2.抛掷两枚质地均匀的硬币，当抛掷多次以后，出现两个反面的频率大约稳定在() A.25% B.50%C.75%D.100%例7.变式3.掷一颗质地均匀的骰子2400次，向上一面的点数为3点的次数大约是()A.400次B.600次C.1200次D.2400次（一）频率与概率的关系（共4小题，每题3分，题组合计12分）例8.已知抛一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率为12，下列说法错误的是()A.连续抛一枚质地均匀的硬币2次必有1次正面朝上B.连续抛一枚质地均匀的硬币10次都可能正面朝上C.大量反复抛一枚质地均匀的硬币，平均100次可能出现正面朝上50次D.通过抛一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的例8.变式1.从某玉米种子中抽取6批在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8529865279316044005发芽频率0.850.7450.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计该玉米种子发芽的概率约为(精确到0.1).例8.变式2.在一个暗箱里放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱,通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是()A.12B.9C.4D.3例8.变式3.在一个暗箱里放有m个除颜色外其他完全相同的球，这m个球中红球有5个.每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出m大约是()A.20B.15C.12D.10（二）用稳定的频率值估计事件发生的概率（共4小题，每题3分，题组合计12分）例9.下表中是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率.抛掷次数出现正面的频数出现正面的频率5120%503162%30013545%80040851%3200158049.4%6000298049.7%9999500650.1%(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到1次正面，正面出现的频率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次时，得到次反面，反面出现的频率是;(2)由这张频数和频率表可知,机器人抛掷完9999次时，得次正面,正面出现的频率是;那么,也就是说机器人抛掷完9999次时,得到次反面，反面出现的频率是;(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是.例9.变式1.一只不透明的袋中有若干个白球，另外放入5个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后再放回去.重复这样的试验共300次，结果有50次出现黑球，则袋中有个白球.例9.变式2.某鱼塘捕到100条鱼，称得总重为150千克，这些鱼大小差不多，做好标记后放回鱼塘，在它们混入鱼群后又捕到102条大小差不多的同种鱼，称得总重仍为150千克，其中有2条带有标记的鱼.(1)鱼塘中这种鱼一共大约有多少条?(2)估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克?例9.变式3.在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复.下表是活动进行中的一组统计数据.摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.601(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近于;(2)假如你摸一次,你摸到白球的概率是,摸到黑球的概率是.(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个.（二）用稳定的频率值估计事件发生的概率（共4小题，每题3分，题组合计12分）例10.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可以估计袋中约有红球个.例10.变式1.某种油菜籽在相同的条件下发芽实验的结果如下表：那么这种油菜籽发芽的概率是（结果精确到0.01）.概率的进一步认识经典例题第11页共11页例10.变式2.一学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：(1)请求出a 的值;(2)画出该学生进球次数的频率分布折线图;例10.变式3.一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3,4,5,x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.试验数据如下表.解答下列问题:(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和为8”的概率是;(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是13，那么x 的值可以取7吗?请用列表法或画树状图法说明理由；如果x 的值不可以取7，请写出一个符合要求的x 值.。