量子力学习题2
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
高等量子力学-习题及答案 ch02
第二章量子力学测量问题一、从不同角度，量子测量有不同分类，常见的分类有哪些。
(1)一般测量、投影测量和POVM；(2)直接测量和间接测量；(3)完全测量与不完全测量。
二、理想测量的三个基本要求是什么。
(1)当t=0，即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态ρp，同时量子客体制备在ρ0态。
(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=τ>0时结束作用。
(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。
三、什么叫标准量子极限，标准量子极限可以逾越吗？其中，叫作标准量子极限。
标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。
在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。
标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。
那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路：一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND测量)。
四、什么是量子Zeno效应，在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统，请简单描述。
量子Zeno效应是纯量子测量效应。
理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子系统的衰变或跃迁。
极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno 效应。
这种在古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。
在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。
其一，它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。
这被称为“动力学反作用”，这种影响是可以预测的。
其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期.望值的随机偏离。
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
量子力学2
量子力学基础
德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .
E h
p
h
2
E mc h h 德布罗意公式 h h p mv 1）若 v c 则 m m0 注意
若
v c 则 m m0
2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测 量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性 .
理学院 黄玉
d sin k , k 1,2,3,
K=1 得 =16.5nm
德布罗意物质波理论 电子的德布罗意波长：
h p
量子力学基础
h 2meU
16.7 nm
理论值与实验结果符合的非常好！！
2 G .P .汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 ) 电子束透过多晶铝箔的衍射
mn 1.67 10
慢中子的德布罗意波长
理学院 黄玉
3 2 kT 3.85 10 eV 2 27
kg
24 1
p 2mn 4.5410 kg m s
h 0.146nm p
德布罗意物质波理论 11.5 德布罗意波的统计解释
量子力学基础
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨道 ； 经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的变 化，波具有相干叠加性 . 二象性 要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一 物体上 . 1926 年玻恩提出 德布罗意波是概率波 . 统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率 . 理学院 黄玉
结果表明：原子中电子速度的不确定量与速度本身的大 小可比，甚至还大。微观粒子的波粒二象性可用不确定 关系具体说明。
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
量子力学
第二章 波函数与薛定谔方程（2）一、填空题1、一维谐振子处于其能量本征态n ψ,则其动能的平均值为__________；势能的平均值为___________________。
2、一维线性谐振子的量子数取n 的波函数为ψn (x )，其定态薛定谔方程为 ，与ψn (x )相对应的能量为 。
3、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 ，体系能量最低的态称为 。
4、线性谐振子的x x dx d H αμωμ++-=22222212ˆ ，α为实数，则其能n E = 。
5、粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 ，第一激发态的波函数为 。
6、基态是指 的状态，一维线性谐振子的基态波函数为 。
7、一维线性谐振子的第一激发态的能量为 、第一激发态的波函数为 。
8、t =0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ 。
9、 称为隧道效应。
答案：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象10、 的状态称为束缚态，其能量一般为 谱。
10、处于第3激发态的线性谐振子的经典禁区为 。
二、选择题1、在一维无限深势阱U x x ax a (),,=<∞≥⎧⎨⎩022中运动的质量为μ的粒子的能级为A.πμ22224 n a B.πμ22228 n a C.πμ222216 n a D.πμ222232 n a. 2、在一维无限深势阱U x x a x a (),,=<∞≥⎧⎨⎩0中运动的质量为μ的粒子处于基态，其位置几率分布最大处是A.x =0B.x a =C.x a =-D.x a =2 3、线性谐振子的能级为A.,...)3,2,1(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . B.(),....)2,1,0(,1=+n n ω .C.,...)2,1,0(,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n ω . D.(),(,,,...)n n +=1123 ω 4、线性谐振子的能量本征方程是A.2222221[]22d x E dx μωψψμ-+= . B.[]--= 22222212μμωψψd dx x E . C.[] 22222212μμωψψd dx x E -=-. D.2222221[]22d x E dx μωψψμ+=- 5、线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα()exp()x N x x =-122122,其位置几率分布最大处为A.x =0B.x =±μωC.x =μωD.x =±μω.6、一维无限深势阱中，粒子任意两个相邻能级之间的间隔 A.和势阱宽度成正比 B.和势阱宽度成反比 C.和粒子质量成正比 D.随量子数n 增大而增大7、一维谐振子处于01A B ψϕϕ=+，其中A 、B 为实常数，n ϕ为谐振子的第n 个归一化本征函数，则A.122=+B AB.1)(2=+B AC.1=+B AD.B A =8、对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是 A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能；C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。
《量子力学》(专升本)练习题
《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。
2．简述迭加原理。
若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。
4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。
B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。
C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。
5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。
6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。
量子力学习题2
量子力学习题2一、选择1. 氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 2. 在球坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22)(. 3. 在球坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.4. 波函数ψ和φ是平方可积函数, 则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d Fd =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.5. F和 G 是厄密算符,则 A. F G 必为厄密算符. B. F GG F-必为厄密算符. C.i F G G F ( )+必为厄密算符. D. i F G G F ( )-必为厄密算符.6. 已知算符 x x=和 p i xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符.C. x p p x x x +必是厄密算符.D. x p p x x x-必是厄密算符. 7. 自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.8. 二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π . D.122/()π 9. 角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕe x p ()i m . B.)exp(21r k i ⋅π. C.12πϕe x p ()im . D.)exp(21r k i⋅π.10. 波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数.B.不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数.C 是 L 2、 L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 11. 若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 12. 氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.13. 对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r d r R r d r 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a .14. 设体系处于ψ=--123231102111RY RY 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为A.E E 321434,;,.B.E E 321232,;,-.C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.15. 接14题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为A.21 , .B. ,1.C.212 ,. D.212 ,. 16. 接14题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -.D. 01232,;,-- .17. 接14题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .18. 接14题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s .D.-177242μe s.19. 体系处于ψ=C k xc o s 状态,则体系的动量取值为 A. k k ,-. B. k . C. - k . D.12k . 20. 接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 21. 接19题, 体系的动量平均值为A.0.B.k . C. - k . D. 12k . 22.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252 ωω,.23. 接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为 A.2321,c c . B.232121c c c +,232123c c c +. C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .24. 接22题,该振子的能量平均值为A. ω 232123215321c c c c ++.B. 5 ω.C. 92 ω.D. ω 232123217321c c c c ++. 25. 对易关系[ ,()]p f x x等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x (). 26. 对易关系[ ,e x p ()]p i y y等于 A.)exp(iy . B. i i y e x p (). C.- e x p ()i y . D.-i i y e x p (). 27.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .28. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z . B. z . C.-i z . D.- z. 29. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x . B. i x . C. x . D.- x. 30. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 31. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .32. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x. C. i p x . D. p x . 33. 对易关系[ , ]L L x z等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 34. 对易关系[ , ]L L z y等于A.i L x .B. -i L x .C. L x .D. - L x. 35. 对易关系[ , ]L L x2等于 A. L x. B. i L x . C. i L L z y ( )+. D. 0. 36. 对易关系[ , ]L L z 2等于A. L z. B. i L z . C. i L L x y ( )+. D. 0. 37. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z . B. -i L z. C. i p z . D. -i p z . 38. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i p y . B. i p y . C.-i L y . D. i L y . 39. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x . 40. 对易式[ , ]L x y 等于A.0.B. -i z .C. i z. D. 1. 41. 对易式[ , ]F Fm n 等于(m,n 为任意正整数) A. F m n +. B. F m n -. C. 0. D. F. 42. 对易式[ , ]FG 等于 A. F G . B. G F . C. F G G F -. D. F GG F+. 43. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 44. 算符 F 和 G 的对易关系为[ , ] F G i k=,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥. C. ( )( )∆∆F G k 2224≥. D. ( )( )∆∆F G k 2224≥.45. 已知[ , ]x p i x= ,则 x 和 p x 的测不准关系是 A.( )( )∆∆x p x222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ . C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ . 46. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x、 L y 的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x yz 22224≥ . B.( )( ) ∆∆L L L x y 22224≥ . C.( )( ) ∆∆F G L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F GL 22224≥ . 47. 电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψz e r E s. B. []-∇+= 22222μψψz e r E s . C.[]-∇-= 2222μψψz e r E s. D.[]-∇-= 22222μψψz e rE s . 48. 在一维无限深势阱Ux x a x x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩00中运动的质量μ为的粒子,其状态为 ψππ=42aa x a xs i n c o s ,则在此态中体系能量的可测值为 A.22222229,2a a μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a , . 49. 接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A. 1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1.50. 接48题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a .51. 如果力学量算符 F 和 G 满足对易关系[ , ]FG =0, 则A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.52. 氢原子的能量本征函数ψθϕθϕn l mn ll mr R r Y (,,)()(,)= A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数. B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数. C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数. D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 二、综合1. 证明厄密算符的本征值为实数。
量子力学教程（二版）习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=， 及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学习题解答-第2章
计算出
反射系数 和透射系数 之和为1.
*习题2.1证明下列三个定理
解：（a）证：假设在定态解把实数 改为复数 ，则
若在 时刻，波函数是归一化的，即
在以后时刻
所以要求在任何时候都有
必须有 ，即 必须为实数。
（b）设 满足定态薛定谔方程
把这个式子取复共轭，注意到 是实的，得到
显然 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
或
也是同一薛定谔方程的解。显然 是实函数，所以一维定态薛定谔方程的解总可以取为实函数。
（c）对
进行空间反演 ，得到
如果势能 是偶函数，则有
因此 和 是同一薛定谔方程的解，所以它们的线性叠加
也是同一薛定谔方程的解。 ，所以当势能是偶函数，定态薛定谔方程的解总可以取为有确定宇称的解。
*习题2.2
解：如果 ，那么 和它的二次导数有同样的符号。如果 是正值，它将一直增加，这与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。如果 是负值，它将一直减少（绝对值在增大），这同样与我们 ， 的要求不符，导致函数是不可归一化的。
能量本征函数为
能量本征值为
含时薛定谔方程的一般解为
当 时，
显然对 测量能量，不可能得到 ，因为现在的能量本征态中，没有这个本征值，所以测量能量得到 的几率为零。现在体系基态的能量为 ，所以测量能量得到 的几率是 ，由
代入
（注意在 时刻，体系的能量期待值不是 ，因为体系的哈密顿是频率为 的谐振子哈密顿。）
，
由波函数 的归一性，可以得到系数 的归一性
对 态测量能量只能得到能量本征值，得到 的几率是 ，能量的期待值可由
求出。这种方法与用
方法等价。
2.一维典型例子：
喀兴林高等量子力学习题EX2.算符
EX2.算符2.1证明下列常用公式 （陈玉辉解答 项鹏核对 ） （1）C B A C A B BC A ],[],[],[+= 证明： CB AC A B C BA AB CA AC B BAC ABC BCA BAC BCAABC BC A ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-= （2）B C A C B A C AB ],[],[],[+= 证明：BC A C B A B CA AC CB BC A CAB ACB ACB ABC CABABC C AB ],[],[][][],[+=-+-=-+-=-=2.2 若算符B 与],[B A 对易，证明： （陈玉辉解答 项鹏核对 ）],[],[1B A nB B A n n -=证明：],[],[],[],[111---+=⋅=n n n n B A B B B A B B A B A 将n 换成（n-1）,就有],[],[],[221---+=n n n B A B B B A B A],[],[2],[],[],[],[2212211-----+=++=⇒n n n n n n B A B B B A B A B B B A B B A B A重复这种递推过程（n-1）次，即得],[],[],)[1(],[],)[1(],[111)1(11B A nB B A B B B A n B A B B B A n B A n n n n n n n n -------=+-=+-=#练习2.3 证明： （输入人：杜花伟 核对人：王俊美）（1）若A 有逆，a ≠0，则aA 也有逆，且111)(--=A a aA ；（2）若A,B 都有逆，则AB 也有逆，且111)(---=A B AB ； （3）})(1{)(111---+-=+B A B A B A ；（4）⋅⋅⋅+++=--------11121111)(BA BA A BA A A B A λλλ.(λ为复数); 证明：（1）若A 有逆，a ≠0，满足1,111==--aa AA ，则 11111==----AA aa A aAa 所以aA 有逆,且111)(--=A aaA . (2) 若A,B 都有逆,满足1,111==--BB AA ,则 1111==---AA A ABB 所以AB 有逆,且111)(---=A B AB . (3)})(1{})())({(}))({(})({)()(111111111111------------+-=+-++=+-+=+=+=+B A B A B A B B A B A A B A B B A A B A A A B A A A B A(4) 由于1)1(--χ（x 极小,即x →0时）展为级数: ⋅⋅⋅++++=--3211)1(χχχχ故(⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅+++=-=-=----------------111211*********11)1()1()]1([)(BA BA A BA A A BA BA BA A BA A BA A B A λλλλλλλ#2.4 若线性算符A 有逆，{|μ>}（i=1,2,3,…，n ）是A 的有限维的定义域的中的一组完全集。
量子力学练习题
1、 若ˆF 、ˆG 均为厄米算符，则ˆˆFG 也为厄米算符 （）2、 不同定态的线性叠加还是定态 （）3、 若ˆA 与ˆB 对易，且ˆB 与ˆC 对易，则必有ˆA 与ˆC 对易 （）4、 若两力学量算符ˆF 与ˆG 对易，则在任意态中，它们都有确定的值 （）5、 所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子 （）6、 归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ表示时刻，r 处粒子出现的概率 （）7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有*ˆ()()n n x p x dx ∞-∞ψψ=⎰ ；*1ˆ()()n n x p x dx ∞+-∞ψψ=⎰ 8、 称为隧道效应；9、在2ˆL 和ˆz L 的共同本征态lm Y 中，22ˆˆx y L L ∆⋅∆= 10、氢原子处于03232020(,)r a Ar eY θϕ-ψ=态，则其最可几半径r = 11、 Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的 特性。
12. 两个角动量11j =、212j =耦合的总角动量J = 和 13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为14. 本征值方程的特点是什么？15. 全同性原理是16. 已知ˆd F x dx +=+，ˆd F x dx-=-，求ˆˆ[,]?F F +-= 17. 求ˆˆ[,()]?xf p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。
19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。
（ ）20.设氢原子处于态求氢原子的能量、角动量平方、角动量z 分量取值的情况和相应的概率P 以及各力学量的平均值。
()()()()()1101111,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-221、 简述量子力学的主要基本假定。
量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及
量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学中的量子力学力学量守恒练习题及解答量子力学作为现代物理学的重要分支，探讨了微观粒子的行为和性质。
其中，量子力学力学量守恒是研究的重要内容之一。
本文将为您提供一些量子力学中力学量守恒方面的练习题和相应的解答，帮助您加深对该领域的理解。
练习题一：考虑一个质量为m的自由粒子，其波函数表示为ψ(x,t)。
在不考虑外力作用的情况下，该自由粒子的波函数满足薛定谔方程iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²。
请证明在这种情况下，动量算符p = -iħ∂/∂x是守恒量。
解答一：为了证明动量算符p是守恒量，我们需要证明其对时间的导数为零，即d⟨p⟩/dt = 0。
根据动量算符的定义，p = -iħ∂/∂x。
因此，我们需要计算其对时间的导数，即d⟨p⟩/dt。
首先，计算出算符 p 在波函数ψ(x,t) 上的期望值⟨p⟩，即⟨p⟩= ∫ψ*(x,t)·p·ψ(x,t) dx将动量算符 p 的定义代入上式，得到⟨p⟩ = -iħ∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx接下来，对上式右侧的积分进行分部积分。
令f(x) = ψ*(x,t)，g'(x) = (∂/∂x)·ψ(x,t)。
根据分部积分的公式，我们有∫f(x)·g'(x) dx = [f(x)·g(x)] - ∫f'(x)·g(x) dx将 f(x) 和 g'(x) 代入上式，得到∫ψ*(x,t)·(∂/∂x)·ψ(x,t) dx = [ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] -∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx将以上结果代入到⟨p⟩的表达式中，得到⟨p⟩ = -iħ·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] + iħ∫(∂/∂x)·[ψ*(x,t)·∂ψ(x,t)/∂x] dx我们可以观察到，上式右侧的两项是一个净的积分。
量子力学习题
1 hc 2 m v m h A A 2 6.63 10 34 3 108 2.30 1.84[eV] 9 19 300 10 1.6 10
例1. 设有一个电子在宽为0.20nm一维无限深的方势阱
中， （1）计算电子在最低能级的能量；
（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出 现的概率最小，其值为多少？
16
5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角动量。
答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3,… 角量子数 l， l = 0, 1, 2,…, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, …, l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2
一.量子力学基本原理之一——波函数
微观粒子的运动状态可以用波函数 完全描述。
2 r , t r , t r , t
表示 t 时刻, 微观粒子在空间
点出现的相对概率密度。 r
1) 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值 2) 要求 r , t 单值
2
3) 波函数的连续性 4) 粒子在空间各点的概率的总和为 1
--之二——薛定谔方程
2 2 i ( r , t ) [ U ( r , t )] ( r , t ) t 2m
（1）它的解满足态的叠加原理
若 1 ( r , t ) 和 2 (r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c11 (r , t ) c2 2 (r , t ) 也是薛定谔方程的解。
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符
陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。
(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。
(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。
(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。
这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。
2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。
本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。
3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。
对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。
4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。
对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。
5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。
其中a和b分别是A和B的本征值。
6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。
如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。
第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。
动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。
动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。
曾谨严量子力学习题第二章
= = 用高斯定理: = 中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而因此 ,能让能量 平均值 因此令(本征态)则而
得证 # [9]设粒子在势场中运动 (1)证明其能量的平均值是: (1) 其中W是能量密度 (2)证明能量守恒公式
利用积分 ：
写出共轭函数（前一式变号）：
本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为： 用课本公式得，两者相乘，可得相同的结果。 #
[14]在非定域势中粒子的薛定谔方程式是： （1）
求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几 率波是否存在？
[解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出应当遵 守的要求。几率守恒的条件是：
（6） 故相速度（物质波的）应当超过光速。 最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：
， （7） # [6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理 认为则这将导得下 述折射定律 这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就 成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎 样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定 点B的路径是两段直线：光程
设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有 又AB沿界面的投影c也是常数，因而，存在约束条件：
（2） 求(1)的变分,而将,看作能独立变化的,有以下极值条件 (3) 再求（2）的变分
(3)与(4)消去和得 (5)
(1)
量子力学习题
第二章 波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ；单值性 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。
而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。
2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。
3、根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范围内的概率 。
4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。
5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。
6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ，()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。
7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。
8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收藏 ，几率流密度= 。
9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。
10、波函数ψ和ψc 是描写 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为 。
11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。
12、定态波函数的形式为 。
13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。
14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。
16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。
曾谨言量子力学第二章习题解答
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m 2i )(m 2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i**Et iEt i**Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见tJ 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikrer er -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0 r mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m i J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψrJ 1 与同向。
表示向外传播的球面波。
r mr k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m 2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ 可见，rJ 与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikxex =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
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量子力学习题2一、选择1. 氢原子的能级为A.- 2222e n s μ.B.-μ22222e n s .C.242ne sμ -. D. -μe n s 4222 . 2. 在球坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22)(. 3. 在球坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为A.),(ϕθlm Y .B. 2),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2),(ϕθ.4. 波函数ψ和φ是平方可积函数, 则力学量算符 F为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰.5. F 和 G 是厄密算符,ˆˆ,0F G ⎡⎤≠⎣⎦,则 A. FG必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FGGF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 6. 已知算符 x x =和 pi xx =- ∂∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C.()x p p xi x x ˆˆˆˆ+必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符. 7. 自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为A.1.B. 2.C. 3.D. 4.8. 二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数)A.1212/()/π .B.12/()π .C.1232/()/π .D.122/()π 9. 角动量Z 分量的归一化本征函数为A.12πϕexp()im . B. )exp(21r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D.)exp(21r k i⋅π.10. 波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -=A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数.B.不是 L 2的本征函数,是 L z的本征函数.C 是 L 2、 L z 的共同本征函数. D. 即不是 L 2的本征函数,也不是 L z的本征函数. 11. 若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为 A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. 12. 氢原子能级的特点是A.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.13. 对于氢原子体系,其径向几率分布函数为W r dr R r dr 323222()=,则其几率分布最大处对应于Bohr 原子模型中的圆轨道半径是 A.a 0. B. 40a . C. 90a . D. 160a . 14. 设体系处于ψ=--123231102111R Y R Y 状态,则该体系的能量取值及取值几率分别为 A.E E 321434,;,. B.E E 321232,;,-. C.E E 321232,;,. D.E E 323414,;,.15. 接14题,该体系的角动量的取值及相应几率分别为 A.21 , . B. ,1. C.212 ,. D.212 ,.16. 接14题,该体系的角动量Z 分量的取值及相应几率分别为A.01434,;,- .B. 01434,;, .C.01232,;, -. D. 01232,;,-- .17. 接14题,该体系的角动量Z 分量的平均值为A.14 .B. -14 .C. 34 .D. -34 .18. 接14题,该体系的能量的平均值为A.-μe s 4218 .B.-3128842μe s .C.-2925642μe s . D.-177242μe s . 19. 体系处于ψ=C kx cos 状态,则体系的动量取值为A. k k ,-.B. k .C. - k .D.12k . 20. 接上题,体系的动量取值几率分别为A. 1,0.B. 1/2,1/2.C. 1/4,3/4/ .D. 1/3,2/3. 21. 接19题, 体系的动量平均值为A.0.B. k .C. - k .D. 12k .22.一振子处于ψψψ=+c c 1133态中,则该振子能量取值分别为A.3252 ωω,.B. 1252 ωω,.C. 3272 ωω,.D. 1252ωω,.23. 接上题,该振子的能量取值E E 13,的几率分别为 A.2321,c c . B.232121c c c +,232123c c c +. C.23211c c c +,23213c c c +. D. 31,c c .24. 接22题,该振子的能量平均值为A. ω 232123215321c c c c ++. B. 5 ω. C. 92 ω. D. ω 232123217321c c c c ++. 25. 对易关系[ ,()]pf x x 等于(f x ()为x 的任意函数) A.i f x '().B.i f x ().C.-i f x '(). D.-i f x ().26. 对易关系[ ,exp()]piy y 等于 A.)exp(iy . B. i iy exp(). C.- exp()iy . D.-i iy exp().27.对易关系[, ]x px 等于 A.i . B. -i . C. . D. - .28. 对易关系[, ]L yx 等于 A.i z. B. z . C.-i z . D.- z . 29. 对易关系[, ]L zy 等于 A.-i x. B. i x . C. x . D.- x . 30. 对易关系[, ]L zz 等于 A.i x. B. i y . C. i . D. 0. 31. 对易关系[, ]x py 等于 A. . B. 0. C. i . D. - .32. 对易关系[ , ]pp y z 等于 A.0. B. i x. C. i p x . D. p x . 33. 对易关系[ , ]L L x z等于 A.i L y . B. -i L y . C. L y . D. - L y . 34. 对易关系[ , ]L L z y等于A.i L x .B. -i L x .C. L x .D. - L x . 35. 对易关系[ , ]L L x2等于 A. L x . B. i L x . C. i L L z y( )+. D. 0. 36. 对易关系[ , ]L L z2等于 A. L z . B. i L z . C. i L L x y ( )+. D. 0. 37. 对易关系[, ]L px y 等于 A.i L z. B. -i L z . C. i p z . D. -i p z . 38. 对易关系[ , ]p L z x等于 A.-i p y . B. i p y . C.-i L y . D. i L y . 39. 对易关系[ , ]L p zy 等于 A.-i p x . B. i p x . C. -i L x . D. i L x. 40. 对易式[ , ]L x y等于 A.0. B. -i z. C. i z . D. 1. 41. 对易式[ , ]FF m n 等于(m,n 为任意正整数) A. Fm n +. B. F m n -. C. 0. D. F . 42. 对易式[ , ]FG 等于 A. FG. B. GF . C. FG GF -. D. FG GF +. 43. .对易式[ ,]Fc 等于(c 为任意常数) A.cF. B. 0. C. c . D. F ˆ. 44. 算符 F和 G 的对易关系为[ , ] F G ik =,则 F 、 G 的测不准关系是 A.( )( )∆∆F G k 2224≥. B. ( )( )∆∆F G k 2224≥.C. ( )( )∆∆F G k 2224≥.D. ( )( )∆∆F G k 2224≥. 45. 已知[ , ]xp i x = ,则 x 和 p x 的测不准关系是A.( )( )∆∆x p x 222≥ . B. ( )( )∆∆x p 2224≥ . C. ( )( )∆∆x p x 222≥ . D. ( )( )∆∆x p x 2224≥ .46. 算符 L x 和 L y 的对易关系为[ , ] L L i L x y z = ,则 L x 、 L y的测不准关系是 A.( )( ) ∆∆L L L x y z 22224≥ . B.( )( ) ∆∆L L L x y22224≥ . C.( )( ) ∆∆F G L z 22224≥ . D.( )( ) ∆∆F G L 22224≥ .47. 电子在库仑场中运动的能量本征方程是A.[]-∇+= 2222μψψze r E s .B. []-∇+= 22222μψψze r E s.C.[]-∇-= 2222μψψze r E s . D.[]-∇-= 22222μψψze rE s.48. 在一维无限深势阱U x x ax x a (),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动的质量μ为的粒子,其状态为ψππ=42aa x a x sin cos ,则在此态中体系能量的可测值为 A.22222229,2aa μπμπ , B. πμπμ2222222 a a , , C.323222222πμπμ a a ,, D.524222222πμπμ a a , . 49. 接上题,能量可测值E 1、E 3出现的几率分别为 A. 1/4,3/4. B. 3/4,1/4. C.1/2, 1/2. D. 0,1.50. 接48题,能量的平均值为A.52222πμ a ,B.2222πμ a ,C.72222πμ a ,D.5222πμ a. 51. 如果力学量算符 F和 G 满足对易关系[ , ]F G =0, 则 A. F和 G 一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量可同时具有确定值. B. F和 G 一定存在共同本征函数,且在它们的本征态中它们所代表的力学量可同时具有确定值.C. F和 G 不一定存在共同本征函数,且在任何态中它们所代表的力学量不可能同时具有确定值.D. F和 G 不一定存在共同本征函数,但总有那样态存在使得它们所代表的力学量可同时具有确定值.52. 氢原子的能量本征函数ψθϕθϕnlm nl lm r R r Y (,,)()(,)=A.只是体系能量算符、角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.B.只是体系能量算符、角动量Z 分量算符的本征函数,不是角动量平方算符的本征函数.C.只是体系能量算符的本征函数,不是角动量平方算符、角动量Z 分量算符的本征函数.D.是体系能量算符、角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数. 二、综合1. 厄米算符的本征值是实数。