广东省广州市2022-2023学年高三上学期11月调研测试数学试题含答案

广州市2023届第一学期高三调研测试
数 学
本试卷共5页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，用2B 铅笔将考生号和座位号填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．已知全集R U =，集合{}1>=x x A ，{}
22<≤-=x x B ， 则如右图中阴影部分表示的集合为 A ．{}
2-≥x x
B ．{}
2-<x x
C ．{}
21<<x x
D ．{}
1≤x x
2．若复数z 满足()i z i +=+321，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知四边形ABCD 是平行四边形，BE AE 3=，若),(R b a AD b AB a EC ∈+=，则
=+b a
A ．
2
1 B ．
4
3 C ．
4
5 D ．
2
3 4．为了得到x x x f 2cos 2
1
2sin 23)(+=
的图象，需把x x g cos )(=的图象上所有的点 A ．横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，再向右平移6π
个单位 B ．横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，再向右平移3
π
个单位 C ．向右平移6
π
个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 D ．向右平移
3
π
个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 5．科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基在1903年提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力
的理想情况下的最大速度v 满足公式：12
10ln
m m m +=νν，其中21,m m 分别为火箭结构
质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg ，若添加推进剂3a kg ，火箭的最大速度为2.8 km/s ，若添加推进剂5a kg ，则火箭的最大速度约为（参考数据：1.13ln ,7.02ln ≈≈) A ．4.7 km/s B ．4.2 km/s C ．3.6 km/s D ．3.1 km/s 6．函数x
e
x
x f sin )(=
在],[ππ-上大致的图象为
7．已知)0,2
(π
α-
∈，αα2cos 12sin 2=+，则
=-+2
tan
12tan
1α
α
A ．52+
B ．52--
C ．25-
D ．52- 8．设1.0=a ，1.0sin =b ，1.1ln 1.1=c ，则c b a ,,的大小关系正确的是 A ．a c b << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列选项正确的有
A ．命题“032,12
<-+>∀x x x ”的否定是：“032,12
≥-+>∃x x x ” B ．命题“032,12
<-+>∀x x x ”的否定是：“032,12
≥-+≤∃x x x ” C ．ππ
αk 26
+=
，Z k ∈是2
1
sin =
α的充分不必要条件 D ．21sin =
α是ππ
αk 26
+=，Z k ∈的必要不充分条件 10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，则下列选项正确的有
A ．若1>q ，则n n a a >+1
B ．2
121)(n n n a a a a a =
C ．数列{}n n a a -+1是等比数列
D ．对任意正整数n )()(232
2n n n n n S S S S S -=-
11．己知)0)(3
sin()(>-
=ωπ
ωx x f 在],0[π上有且只有三个零点，则下列选项正确的有
A ．在),0(π上存在21,x x 使得2)()(21=-x f x f
B ．ω的取值范围为)3
10
,37[
C ．)(x f 在)4
,
0(π
上单调递增
D ．)(x f 在),0(π上有且只有一个极大值点
12．已知函数)(x f ，)(x g 的定义域均为R ，)(x f 为偶函数，且1)2()(=-+x g x f ，
3)4()(=--x f x g ，下列说法正确的有
A ．函数)(x g 的图象关于1=x 对称
B ．函数)(x f 的图象关于)1,1(--对称
C ．函数)(x f 是以4为周期的周期函数
D ．函数)(x g 是以6为周期的周期函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设b a ,为单位向量，且3||=-b a ，则b a ,的夹角为 . 14．如右图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三
层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第 一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己 知每层环数相同，且三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块， 则中层有扇面形石板 块
15．方程0=+-a ax e x
有唯一的实数解，实数a 的取值范围为 .
16．已知只有20项的数列{}n a 满足下列三个条件：①{}20,,2,1,1,0,1 =-∈i a i ；
②52021=+++a a a ；③()()()57111432
202
22
1≤++++++≤a a a ．对所有满
足上述条件的数列{}n a ，2
202221a a a +++ 共有k 个不同的值，则=k .
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17． (10分)
己知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(92*
1N n S a n n ∈+=+.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记n n a b 3log =，证明：2
111113221<++++n n b b b b b b . 18．(12分)
已知函数()()
122
-+=ax x e x f x
，其中R a ∈，若()x f 的图象在点()()0,0f 处的切线
方程为012=++by x . (1)求函数()x f 的解析式；
(2)求函数()x f 在区间[]1,3-上的最值．
19．(12分)
在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知B a b c cos 22=+. (1)求角A ；
(2)若角A 的平分线与BC 交于点M ，74=BM ，72=CM ，求线段AM 的长．
20．（12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4=CB ，
34=AB ，811=C A .
(1)证明：D A CB 1⊥； (2)若三棱锥DC A A 1-的体积为
3
3
16，求平面 C DA 1与平面CB A 1夹角的余弦值．
21．（12分）
某家具制造公司，欲将如图所示的一块不规则的名贵木板裁制成一个矩形桌面板，已知AD AB ⊥，DC AB //，且22===AB DC AD 米，曲线段BC 是以点B 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形桌面板的相邻两边分别落在AD ，DC 上，且一个顶点落在曲线段BC 上，问应如何精准设计才能使矩形桌面板的面积最大？并求出最大的面积．
22．(12分)
已知()x a x x x f ln 42
12
+-=. (1)若函数()x f 在区间),0(+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)若函数()x f 有两个极值点21,x x ，证明：()()a x f x f ln 1021+->+.
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数学参考答案
7．【解析】由2cos 12sin 2=+可得sin 211cos sin 4-=+， 则ααα2
sin
cos sin 2-=，又)0,2
(π
α-∈，0sin =/α，所以ααsin cos 2-=.
又1cos sin 2
2
=+αα解得：55
2sin -
=α，5
5cos =α. 25cos sin 12
sin 2cos )2sin 2(cos
2sin 2cos 2sin
2cos
2
cos
2sin 12cos
2
sin
12tan 12tan
1222
-=+=-+=-+=-+
=-+ααααα
ααααααααααα
8．【解析】设()x x x f -=sin ，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0πx ，则()01cos <-='x x f ， 所以()x f 在⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,
0πx 上递减，所以()()001.0=<f f ，即a b <； 令x x x x g -++=)1ln()1()(，当)5.0,0(∈x ，0)1ln()(>+='x x g ，所以
)(x g 在
)5.0,0(∈x 上单调递增，所以()()0010=>⋅g g ，即c a <；所以c a b <<.
分，满分20分．
11．以取得最小值，A 正确．
令3
π
ω-
=x t ，]3
,3[π
ωππ
--
∈t ， )(x f 在],0[π上有且只有三个零点，即t y sin =在区间]3
,3[π
ωππ--有且只有三个零
点
只需⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≥-π
πωππωπ3323n 解得31037<≤ω，B 正确．
当)4,0(π∈x 时，)34,
3(πωππ--∈t ，因为31037<≤ω，所以)2
,4[3π
ππωπ∈-
t y sin =在)3
4,
3(πωπ
π-
-
上单调递增，即函数)(x f 在)4,0(π
上单调递增，C 正确．
当),0(π∈x 时，)3,3(πωππ--∈t ，因为3
1037<≤ω，所以)3,2[3πππ
ωπ∈-
当)3,25(3πππωπ∈-时，t y sin =在]2,3[ππ-上单调递增，在]23,2[π
π上单调递减，
在]2
5,23[ππ上单调递增，在)34,25[πωππ-上单调递减，t y sin =存在两个极大值点，
即函数)(x f 在),0(π上存在两个极大值点，D 错误．故选：ABC. 12．【解析】因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-．在1)2()(=-+x g x f 中，用x -替
换x ，得1)2()(=++-x g x f ，可得)2()2(x g x g +=-，函数)(x g y =的图像关于2=x 对称. A 错误，
在3)4()(=--x f x g 中，用x -2替换x ．得3)2()2(=----x f x g ， 又1)2()(=-+x g x f ，可得2)2()(-=--+x f x f ， 即函数)(x f y =的图象关于)1,1(--对称，B 正确．
由2)2()(-=--+x f x f ，)(x f y =为偶函数，可得2)2()(-=++x f x f .
2)4()2(-=+++x f x f ，所以)4()(+=x f x f ，所以函数)(x f y =是以4为周期
的周期函数，C 正确，
在3)4()(=--x f x g 中，因为)4()(-=x f x f ，所以3)()(=-x f x g ，又
1)2()(=-+x g x f ，所以4)2()(=-+x g x g ，又)2()2(x g x g +=-，所以4)2()(=++x g x g ，4)4()2(=+++x g x g ，所以)4()(+=x g x g ，所以函数)(x g y =是以4为周期的周期函数，D 错误．故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，满分20分． 13．π3
2
14．1134； 15.0<a 或2
e a =
16．4
16．【解析】设2021,,,a a a 中有m 项取值1，有n 项取值-l ，由条件②知5=-n m ，
再由条件③得()5720443≤--+≤n m m ，解得169≤≤m ，又因为20≤+n m ，故
m 可取9，10，11，12有4个不同的值，2
202221a a a +++ 有4个不同的值．
四、解答题：本题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解析】(1)因为921+=+n n S a ，则当1=n 时，9292112+=+=a S a ……………1分
当2≥n 时，921+=-n n S a
………………………2分 所以n n n n n a S S a a 2)(211=-=--+，即n n a a 31=+ ………………………3分 因为{}n a 是等比数列，则公比为3，则123a a =
………………………4分
所以11392a a =+，即91=a ………………………………………………………5分
所以数列{}n a 的通项公式1
1339+-=⨯=n n n a ………………………………………6分
(2)由(1)得1log 3+==n a b n n ………………………………………………………7分 所以
()()21
1121111+-+=++=+n n n n b b n n ………………………………………8分 )2111()5141()4131()3121(11113221+-+++⋅-+-+-=++++n n b b b b b b n n 2
121+-=n ………………………………………………………………9分
因为
021>+n ， 所以21
2121<+-n ，
2111113
221<++++n n b b b b b b …………10分 18．【解析】(1)1)0(-=f ，将)1,0(-代入切线方程012=++by x ，得1=b ………1分
()()()()[]
14241222-+++=++-+='a x a x e a x e x x e x f x x x α ……………2分 由题意可知21)0(-=-='a f ，可得1-=a ………………………………………3分
故()()122
--=x x e x f x …………………………………4分
(2)由(1)可得()()()()1222322-+=-+='x x e x x e x f x
x ………………5分
由()0='x f 可得2-=x 或2
1
=x ， …………………6分
又()3203e f =-，()29
2e
f =-，21
)21(e f -=，0)1(=f ……………………10分
所以()x f 在[]1,3-上的最大值为 29
e
，最小值为21
e - …………………12分
19．【解析】．(1)解法一：由余弦定理推论可得，ac
b c a a b c 2222
22-+⋅=+，…………1分
即22222b c a bc c -+=+，整理得bc a c b -=-+2
22 …………………………2分
2
122cos 222-=-=-+=bc bc bc a c b A
……………………………3分
因为π<<A 0，所以3
2π
=
A
…………………………………4分
解法二：由正弦定理可得B A B C cos sin 2sin sin 2=+
…………………1分
因为B A B A B A B A C sin cos cos sin )sin()](sin[sin +=+=+-=π
所以0sin sin cos 2=+B B A
……………………………2分 因为0sin =/B ，所以2
1
cos -=A ……………………………3分 因为π<<A 0，所以3
2π=
A
……………………………4分
(2)依题意可知：AM 是角A 的平分线，32π=A ，3
π
=∠BAM …………………5分 在ABM ∆中，由正弦定理可得
B
AM
BAM BM sin sin =
∠ 即B AM sin 2
374=，即7423sin AM B =
…………………………6分
在ACM ∆中，同理可得7
223sin AM C = …………………………7分 所以B C sin 2sin =，由正弦定理可得b c 2=
…………………………8分
)2
1
(224)76(222-⋅⋅-+=b b b b 得6=b ，12=c ……………………………9分
7
25
12762612)76(2cos 222222=
⨯⨯-+=-+=ac b c a B …………………………10分 在ABM ∆中，由余弦定理可得：
167
2574122)74(144cos 22222=⨯
⨯⨯-+=⋅⋅-+=B BM c BM c AM
………………………11分
所以4=AM
…………………………………12分
20．【解析】(1)证明：因为⊥1AA 平面ABC ，⊂CB 平面ABC ，
所以CB AA ⊥1，
…………………………1分
因为34=AB ，811==C A AC ，4=CB ，
所以2
2
2
AC CB AB =+，所以AB CB ⊥， …………………………2分
又因为A AA AB =1 ，⊂1AA 平面11A ABB ，⊂AB 平面11A ABB ， 所以⊥CB 平面11A ABB ，
…………………………3分 又⊂D A 1平面11A ABB ，所以D A CB 1⊥.
…………………………4分
(2)解法一：由(1)得，38=∆ABC S ，342
1
==∆∆ABC ACD S S …………………5分 因为⊥1AA 平面ABC ，33
163
11
11=⋅==∆-⋅-AA S V V D AC ACD A CD
A A 三棱锥三棱锥， 所以41=AA
………………………6分
以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -，如图所示，则)4,0,0(C ，)0,0,32(D ，
)0,4,34(1A ，)0,4,0(1B ，
)0,4,32(1=DA ，）4,4,34(1-=CA ， )0,4,34(1=BA …………………7分
设平画CD A 1的一个法向量为),,(111z y x n =，
则⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=+=⋅0
44340
4321111111z y x CA n y x DA n ，令21=x ，则)3,32(-=n ，……………9分 设平面CB A 1的一个法向量为),,(222z y x m =，
⎪⎩⎪⎨
⎧=-+=⋅=+=⋅0
44340
4342221221z y x CA m y x BA m ，令12=x ，则)0,3,1(-=m ， ……………10分 则410
102)3()3(21|
|||,cos =⨯-⨯-=⨯=⨯⋅>=
<n m n m n m ，……………………11分 设平面C DA 1与平面CB A 1夹角为θ，4
10
,cos cos =><=n m θ， 所以平面C DA 1与平面CB A 1夹角的余弦值为
4
10
(2)
(2)解法二：由(1)得，38=∆ABC S ，342
1
==
∆∆ABC ACD S S ……………………5分 因为⊥1AA 平面ABC ，33163
1111=⋅==∆--AA S V V ACD ACD A CD A A 三棱锥三棱锥，
所以41=AA
……………………………6分
过点D 作1BA DG ⊥，垂足为G ，再过点G 作1CA GH ⊥，垂足为H ，连接DH ， 由(1)知⊥CB 平面11A ABB ，而⊂DG 平面11A ABB ，则CB DG ⊥， 因为1BA DG ⊥，B BA CB =1 ，所以⊥DG 平面1CBA ，则1CA DG ⊥， 又因为1CA GH ⊥，G GH DG = ，所以⊥1CA 平面DGH ，则DH CA ⊥1， 故DHG ∠就是二面角B CA D --1的平面角， ………………………8分
在ABC ∆中，722
121=+=AA AD DA ，
在1ABA ∆中，82
121=+=
AA AB BA ，
于是542
12
1=+=BA CB CA ，
384321
1
=⨯=⨯=
BA AA BD DG ，
于是522
11=-=
DG DA GA ，
在C BA 1∆中，111sin CA CB GA GH C BA ==
∠，即5
44
5=GH ，5=GH ，………10分 在DGH RT ∆中，410
225)
5()3(5cos 22==+==
∠DH GH DHG ，……11分
所以平面C DA 1与平面CB A 1夹角的余弦值为
4
10
……………………………12分
21．【解析】以B 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图…………………1分
依题意可设抛物线方程为)0(22>=p py x ，且)2,1(C ，
所以2212⨯=p ，即41=P 故曲线段BC 的方程为)10(212<≤=
x y x ……………3分 设)10)(2,(2<≤x x x P 是曲线段BC 上的任意一点，
则在矩形PMDN 中，222||x PM -=，x PN +=1|| …………………………5分 所以桌面板面积2222)1)(22(||||)(232++--=+-==x x x x x PN PM x S ……6分 因为)1)(13(2246)(2+--=+--='x x x x x S …………………………………7分 令0)(='x S ，且10<≤x ，得：31=x ………………………………8分 当)3
1
,0(∈x 时，0)(>'x S )(x S 单调递增： ………………………………9分 当)1,3
1
(∈x 时，0)(<'x S ，)(x S 单调递减； ………………………………l0分 所以当31=x 时，)(x S 有最大值，此时34||,916||==PN PM ，27
64=S …………11分 答：把桌面板设计成长为34米，宽为9
16米的矩形时，矩形桌面板的面积最大，最大面积为
27
64平方米． ………………………12分 22．【解析】(1)()04≥+-='x
a x x f 在区间),0(+∞上恒成立 ………………………1分 则24x x a -≥在区间),0(+∞上恒成立，即max 2)4(x x a -≥ ……………………2分
则4≥a ，经检验，当4=a 时，)(x f 不是常函数，所以4≥a …………………3分
(2)由题意，()x
a x x x a x x f +-=+-='442，定义域为),0(+∞ 因为()x f 有两个极值点21,x x ，所以()0='x f 即042
=+-a x x 有两不等正实数根， 所以⎪⎩⎪⎨⎧>=+>=>-=∆04004162121x x a x x a ，即40<<a ，
………………………………5分
()()()
()()8ln ln ln 4212121222121--=+++-+=+a a a x x a x x x x x f x f …………6分 要证()()a x f x f ln 1021+->+，即证02ln )1(>+--a a a
构造函数2ln )1()(+--=a a a a h ，40<<a ，则a
a a h 1ln )(-='，……………7分 令a a a g 1ln )(-=，011)(2>+='a
a a g 在()4,0上恒成立， 所以)(a g 在()4,0上单调递增
………………………………8分 又01)1(<-=g ，02
12ln )2(>-=g . 由函数零点存在性定理可得，)2,1(0∈∃a ，使得0)()(00='=a h a g ， 即00ln 1a a =，即1ln 00=a a ； ………………………………9分
所以当()0,0a a ∈时，0)(<'a h ，则)(a h 单调递减；
当()4,0a a ∈时，0)(>'a h ，则)(a h 单调递增；
)3ln (2ln ln 2ln )1()()(0000000000-+-=+--=+--=≥a a a a a a a a a a h a h ， ………………………………10分 又)3(ln 00-+-=a a y 在()2,1上单调递减，
所以02ln 1)322ln ()(0>-=-+->a h ………………………………11分 所以0)()(0>≥a h a h ，即02ln )1(>+--a a a ，
故()()a x f x f ln 1021+->+ …………………………………12分。