卢圣治_理论力学题解

理论力学题解第一章 思考题1.1. (2) 小船速度沿水面, 向绳方向投影为u . s为负, 故θcos s u -=. 1.2. 坐标系与参考系是否固连, 决定于坐标曲线组成的空间网格是否与参考系固连, 与单位矢量是否变化无关. 1.3. 因0=a, 故0==θa a r .1.4. (1) 0≠r a , 0≠θa ; (2) 加速度指向曲率中心而非O 点.第一章 习题1.1. α+=∠=∠t ABO AOB 10，故)10cos(120)10cos()4080(αα+=++=t t x ， )10sin(40α+=t y ，依公式即可求出轨道方程及v ，a.1.2. 将轨道方程对时间求导得0=--x nx x m yy ，即x ynxm y +=.代入222c y x =+ 即可求出 22)(nx m y cy x++±= 及22)()(nx m y nx m c y+++±= .1.3. 由r rv r λ== ，μθθθ== r v 可求出 rr rr r r a r 222222θμλθμλθ-=-=-= ，)()()(22rr r r r r r r r r a μλμθμμθθμθθμθθθμθθθ+=+=+=+=+-=+= .1.4. 由b rv r == ，即t b r d d =，积分并用0=t 时0r r =定积分常数得bt r r +=0. 代入2222v r r=+θ 得btr b v +-±=0220θ ，即btr bt b b v +-±=0220)(d d θ，积分并用0=t 时0=θ定积分常数得0220lnr btr bb v +-±=θ.把bt r r +=0代入即得轨道方程 θk r r ±=e 0，式中220bv b k -=.1.5. 积分c r= ，即t c r d d =，用0=t 时0r r =定积分常数，得0r ct r +=. 代入322r b r r -=-θ ，得到4022)(r ct b +=θ .因0>θ ，故20)(r ct b +=θ .积分 t r ct b d )(d 20+=θ，用0=t 时0θθ=定积分常数，得)11(000r ct r c b +-+=θθ. 1.6. 以O 为原点，Oz 轴沿ω方向，建立柱坐标系和球坐标系.柱坐标系中运动学方程为αρsin 212at =，0θωθ+=t ，αcos 212at z =.球坐标系中运动学方程为221at r =，αθ=，0ϕωϕ+=t .依公式即可求出v ，a.1.7. 因22c xv += ，v v ±=t ，故x v c v c xx x t v a 2222t 22d d -±=+±=±=. 由22x a =，222222222t22na v c x v c v x a a a =--=-= 及ρ2n v a =可求ρc v a 3=. 1.8. 取t e 与v 同向，则v v =t .由t v a d d t =及αcot nt =a a ，得αcot d d 2r v t v =.积分并用0=t 时0v v =定积分常数，即可求出t rv v αcot 110-=. (1)2π=α时0t =a ，v 不变. (2)因0n ≠a 故0≠α.2π0<<α时，v 增加. (3)因0n ≠a 故π≠α.2ππ>>α时，v 减小；但当减小到0=v 时0n =a ，则0t =a ，以后保持0=v 不变，亦不会往复运动.因此解题开始取t e 与v同向是合理的(在自然坐标描述中t e不可以反向).1.9. 因tr r r r a d )(d 122θθθθ =+=，c r =θ 2，故r r e a a =.对θcos 1e r p +=求导，得θθsin 2 e r rp -=-.利用c r =θ 2则可得 θθθsin sin 2pce r p e r== .再对其求导，利用c r =θ 2得到 2222cos cos cos rp e c r r p ce p ce r θθθθθ=== . 把r 代入2θr r a r -=，利用c r =θ 2即可求出 )cos (1cos cos 22322232422r p e r p c rc r p e c r r r p e c a r -=-=-=θθθθ . 把p e r θcos 11+=代入上式，则求出221r p c a r -=. 1.10．1.11．理论力学题解第二章 思考题2.1. 圆柱最低点速度恒为零，但圆柱最低点不是一个确定的质点，圆柱最低点加速度不为零. 2.2. 不能.2.3. ϕ角不是由定线到动线的角，故圆柱角速度ϕω ≠. 其余正确. 2.4. 瞬心是刚体上0=v的点，其加速一般不为零.不能把平面平行运动看成绕过瞬心轴的定轴转动.2.5. 甲乙均错在：B 不是刚体上的点. 2.6. 选用坐标系不一定必须与参考系固连. 题中以地面为参考系，选用动坐标系较为方便，求出的P v ，P a是相对地面的. 2.7．第二章 习题2.1. 沿水平直线建立Ox 轴与u 同向，Oy 轴向上，建立坐标系Oxyz .设i v v C C=，k ωω=，由0=B v 得0=+R v C ω.由i u v D=得u r v C =-ω.求出)/(r R uR v C +=，)/(r R u +-=ω，以C 为基点易于求出22)/(r R j R u a B += .2.2. （1）0=ω；（2）kθω=；（3）b k b a /)( θ+±.2.3. 以O 为原点，Ox 沿OD 方向，Oy 在运动平面内指向A 点一侧建立坐标系Oxyz ，设BO 到BA 的夹角为α，由正弦定理αωsin /sin /r t l =，对时间求导数求出α，AB 的角速度t r l k t r k ωωωα222sin /cos --=-=Ω . 先求出A 点的速度，再以A 为基点求B v . 因i v v B B=，故)sin cos 1(sin )(222tr l t r t r AB v v x AxB ωωωω--=⨯Ω+=→.2.4. 由2v v v v B A==,1可知瞬心D 在AB 连线上，设圆锥角速度为ω ，则由21,v DB v DA ==ωω和a AB 2=可求出)/(2211v v av AD +=，a v v 2/)(21+=ω.因O 点加速度为零，以O 点为基点可求出a v v a a A 4/)(2212+==ω，A a沿AO 方向.2.5. 将→⨯+=AB v v A B ω 沿坐标轴分解得12cos cos ααA B v v =（此式与ω 无关，为刚性条件必然结果.请读者证明：刚体上任意两点速度在两点连线方向上的投影相等.）和lv v A B ωαα+-=12sin sin .由此可求出AB v v )cos /(cos 21αα=和l k v A /)tan cos (sin 211αααω+=.设C 点坐标为)0,(x ，由→⨯+=AC v v A C ω 及0=y C v 可求出)tan cot 1/(/sin 211ααωα+==l v x A .又：也可以用作图法求出瞬心0P ，由正弦定理求出A P 0和B P 0，依据A P v A 0ω=和B P v B 0ω=求出B v 和ω. 由0P 作杆的垂线，垂足即为C 点.2.6. 建立坐标系Oxyz ，Oy 沿CD 方向，Oz 沿AO 方向，则i k j15,35-=+=ωω.2.7. 建立坐标系Oxyz ，Ox 沿CB 方向，Oz 沿OD 方向，转轮角速度k i)cos (sin 21221θωωθωωωω++-=+=，k b i a r B +=，则j b a a r v B B)]sin cos ([21θθωωω++=⨯=.2.8. 建立坐标系Oxyz ，Ox 沿OA 方向，Oy 在水平面内（垂直纸面向里）. 圆锥角速度k i i eαωϕαωϕωωξcos )sin ()(t +-=-+=.由无滑滚动条件0t =⨯=→OB v B ω ；又BO 为瞬时轴，t ω沿BO 方向，求出αωϕsin /= ，k iαωααωωcos )sin /(cos 2t +-=，P 点速度j h OP vαωωcos 2t =⨯=→（也可以用瞬时轴求解）. )cot (cot t 2t t αωωαωωωω=-=⨯=j .αωωωsin /21h OP OP a =⋅=⨯=→→ .ααωαωωωsin /cos 2sin 2)(222t t t 2h h OP a =⋅=⨯⨯=→（αsin 2h 为P 到瞬时轴BO 的距离.）理论力学题解第三章 思考题3.1. 仅(4)式正确.3.2. 甲正确. 乙错在角度不可以定义为从动线指向定线.3.3. 乙的方程正确. 甲错在空气阻力亦应为yk -，y 取负值，y k -取正值. 3.4. 仅对固定方向才有动量守恒的分量形式. 径向和横向均不是空间固定方向.3.5. (1)对；(2)错.3.6. 一质点动量守恒，则对空间任一固定点角动量守恒. 质点对空间某一固定点角动量守恒，其动量不一定守恒.3.7. 质点作匀速直线运动时，其动量和角动量均守恒.3.8. 动能定理是标量方程，不可能投影而得出分量方程. 但x F mv x x d )21(d 2=是正确的.仿照动能定理的导出，用x t v x d d =乘牛顿第二定律的x 分量方程x xF tv m =d d 即可证明.第三章 习题3.1. 力为时间的函数，积分两次可得)cos(200ϕωω+++=t m eE t V X x ，其中ϕωcos 2000m eE x X -=，ϕωsin 000m eE v V +=. 3.2. 以地心O 为原点，建立x 轴经抛出点竖直向上. 质点受万有引力沿x 轴负方向. 所以2x GMm xm -= . 因为2RGMm mg =，故g R GM 2=. 故有 22xg R x -= . 做变换)2(d d d d d d d d 2x x x xx t x x x x ===，则x x gR x d )2(d 222-= . 积分并用0=t 时R x =，0v x= 定积分常数，得到 )11()(212202Rx g R v x -=- . 质点达最大高度时H R x +=，0=x，可求出 1220)21(2--=Rgv g v H .三点讨论：(1)令∞=H ，对应Rg v 20=为第二宇宙速度.(2)若Rg v 220<<，则回到重力场模型所得结果.(3)题中不考虑地球自转及空气阻力，均不大合理，试进一步讨论之.3.3. 质点运动微分方程为（Oy 轴竖直向上）；上升阶段22y g mk mg ym --=，下降阶段22y g mk mg ym +-=. 3.4. 可参见例题3. 令meB=ω，电子运动微分方程为 y x ω-=， （1） meEx y-= ω， （2） 0=z. （3） 对（2）式求导，利用（1）式得02=+y yω，解出)sin(αω+=t A y . 0=t 时0=y 故0=α，由t A y ωωcos =，且0=t 时m eBv Ee y 0+-= ，故BBv E A 0+-=，则t B Bv E yωsin 0+-= . 积分得)cos 1()(20t m eBeBBv E m y -+-=. 代入（1）式积分可得t m eB eB Bv E m t B E x sin )(20--=. 3.5. (旋轮线是如图圆轮在直线AB 上作无滑滚动时P 点的轨迹，曲线上P 点切线方向即为轮上P 点速度方向. 因无滑，0P 为瞬心，故P 点切线与P P 0垂直，因此可知P 点切线与x 轴夹角为2ϕ. ) 以曲线最低点(0=ϕ)为自然坐标原点，弧长正方向与t e一致. 质点运动微分方程为2sinϕmg s m -= .对曲线参数方程求微分，得ϕϕd )cos 1(d +=a x 和ϕϕd sin d a y =，所以ϕϕd 2cos 2d d d 22a y x s =+=，积分并用0=ϕ时0=s 定积分常数，得2sin 4ϕa s =. 代入质点运动微分方程消去ϕ，得到04=+s a gs ，s 作简谐振动而具有等时性. 其解为)cos(0αω+=t A s ，ag 40=ω与振幅无关.3.6. 小球运动微分方程为T F r r m -=-)(2θ ， （1） 0)2(=+θθr r m ， （2） a r-= . （3） 由（3）式求出at R r -=，代入（2）式求出)/(0at R t v -=θ，再由（1）式求出3220)(--=at R R mv F T .3.7. 珠子的运动微分方程为2b 2n d d N N F F tv m+-=μ， （1） n 2/N F mv =ρ， （2） mg F N -=b 0， （3）R =ρ（约束方程）. （4）把（2）、（3）、（4）式代入（1）式，作变换s v t v d /)21(d d d 2=，可求出]/)ln[()2/(224020Rg g R v v R s ++=μ.3.8. 以椭圆最低点为自然坐标原点O ，弧长正方向指向小球初始位置，θ为切向与水平方向的夹角，小球的运动微分方程为θsin mg vm -= ， （1） θρcos /2mg F mv N -=. （2）Oy 竖直向上，将s y d /d sin =θ代入（1）式得s y g s v v d /d d /d -=，积分可求出小球达最低点时gb v 22=. 由轨道方程22x a aby --=求出当0=x 时0='y ，2/a b y =''，由公式可求出22/32)1(1aby y ='+''=ρ. 再由（2）式求出0=θ时)/21(/cos 222a b mg mv mg F N +=+=ρθ.3.9. 11bF M x =，11aF M y -=，01=z M ，2222/b a bcF M x +=，2222/b a acF M y +-=，02=z M .3.10. 由运动学方程求出→v ，根据定义即可求出→→→→→→++--=⨯=k r m j t t t r km i t t t r km v r m L ωωωωωωω200000000)sin (cos )cos (sin ，)]cos ()sin )([(]cos )()sin ([000000),,(a t r k t r c kt m m t r c kt b t r k l m L n m l -+-----=ωωωωωω)sin cos (00200t br t ar r n m ωωωωω--+.3.11. 由对21O O 轴的角动量定理ωαωm l ml t-=)(d d2，积分可得l t /0e αωω-=，求出α/)2ln (l t =. 将角动量定理化为l /d d θαω-=，积分可以求得αωαωθπ4/)rad (2/00l l ==（圈）.3.12. (1)由动能定理)(4121212222122b a mk mv mv W -=-=. (2)用曲线积分算⎰⎰+=⋅=→→2121)d d (y y m x x m r d F W，把轨道参数方程kt b y kt a x sin ,cos ==代入，则曲线积分化为对t 的积分，可得同样结果.3.13. 珠子的动能定理为s F F mv N N d )21(d 2b 2n 2+-=μ，参见3.7提示. 3.14. 因机械能守恒，小球动能不变，因此0v v =.过O 点作z 轴竖直向上(垂直纸面向外)，质点对z 轴的角动量δcos rmv L z =. 质点所受对z 轴力矩δsin N z rF M -=. 由对z 轴的角动量定理得δδsin )cos (d d0N rF rmv t-=. 由于θθθθθ ar ar t r rv a r -=-===-e d d d d 0，θθr v =. 故a v v r =-=θδtan . 将它代入角动量定理方程，得到N N arF rF rmv -=-=δtan 0 . 而δδsin sin 0v v v rr -=-== ，所以 θδδδa N ar mv a r mv armv ar mv F e 11tan 1tan sin 202022022220+=+=+==. 3.15. 当0=⨯∇→F 时势能存在，要求311332232112,,a a a a a a ===. 以原点为势能零点，则)444(21132312233222211xz a zy a xy a z a y a x a V +++++-=. 3.16. )/cos (d d d )d d (d 2r pq r F r F e r e r F r F r r θθθθθ-=+=+⋅=⋅→→→→→，故为有势场. 3.17. y ky x kx y ky ky x b x k b x k r F d 2d 2d )(d )]()([d --=--+--+-=⋅→→)](d [22y x k +-=.故势能存在. 以O 为势能零点，则)(22y x k V +=. 3.18. 根据机械能守恒定律，以椭圆弧最低点为势能零点，mgb mv =221，可知gb v 2=，参见3.8提示. 3.19． 3.20． 3.21．理论力学题解第四章 思考题4.1. 两种振动的根本区别可用数学语言表述为：描述非线性振动的微分方程对于未知函数及未知函数的各阶导数而言存在2次或2次以上的项，这种方程称为非线性微分方程.例如未知函数为)(t x ，则包含有 ,d d ,d d ,,232⎪⎭⎫⎝⎛t x t x x x x 的项都为2次或2次以上的项. 而在描述线性振动的微分方程中，未知函数及未知函数的各阶导数只以一次方出现，这种方程称为线性微分方程. 线性微分方程的解遵守叠加原理，而非线性微分方程的解不遵守叠加原理. 4.2. 一维线性自由振动系统的振动频率由系统的结构参数(如系统的质量、结构的几何形状和尺寸、弹簧的倔强系数等)确定，与初始条件(因而和振幅)无关，故称此频率为固有频率. 而基频是在非线性振动中出现的概念，它不仅与系统的结构参数有关，还与振幅(也相当于与初始条件)和解的精度有关.4.3. 若在各级解所满足的微分方程右端存在能产生共振的项时，该项就称为久期项. 消除久期项的方法是令此项的系数为零.4.4. 吸引子可通俗地理解为：耗散系统演化的最后归宿. 有两类吸引子. 一类称奇怪吸引子，它是耗散系统混沌运动的最后归宿. 其他吸引子都属于另一类，称为平凡吸引子。