线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章 习题与答案 习题 A

1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1

,3)T T T

=--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-=+- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα1251613109491512561037⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. 2.从以下方程中求向量α

1233()2()5()-++=+αααααα，

其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1

,1,1).T

T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα，

1232104651112

632532515118310124⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα

故12

34⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

α,即(1,2,3,4)T =α.

3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα

4.证明: 包含零向量的向量组线性相关.

证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有

12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠

而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关.

5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关.

6.判断下列向量组的线性相关性

(1) (1,1,0),(0,1,1,),(3,0,0,); (2) (2,0),(0,-1);

(3) (-4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);

(4) (1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,-3,4,11,12).

解 (1)设有三个数123,,k k k ,使123(1,1,0)(0,1,1,) (3,0,0,)=(0,0,0)k k k ++

则有方程组13122

3000k k k k k +=⎧⎪

+=⎨⎪=⎩,

因为系数行列式103

1

1030010

D =≠.方程组仅有零解,所以三个向量线性无关. (2)设有两个数12,k k 使12(2,0)(0,-1)=(0,0)k k + 则有方程组12

20

0k k =⎧⎨

-=⎩,由此解得120k k ==,所以两个向量线性无关.

另外,也可由其分量不成比例看出两个向量线性无关. (3)设有四个数1234,,,k k k k ,使

1234(-4,-5,2,6)(2,-2,1,3)(6,-3,3,9)(4,-1,5,6)=(0,0,0,0)k k k k +++,

则有方程组12341234

12341234426405230235063960

k k k k k k k k k k k k k k k k +++=⎧⎪----=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,

其系数行列式4264

5231

021356396

D ----==,所以方程组有非零解,

向量组线性相关.

(4) 设有四个数1234,,,k k k k ,使

1234(1,0,0,2,5)(0,1,0,3,4)(0,0,1,4,7)(2,-3,4,11,12)=(0,0,0,0)k k k k +++

则有方程组1424341234

1234203040234110

547120

k k k k k k k k k k k k k k +=⎧⎪

-=⎪⎪

+=⎨⎪+++=⎪⎪+++=⎩

由前三个方程得1424342,3,4k k k k k k =-==-,代入第五个方程得4140k -=, 即40k =,从而1230k k k ===,所以向量组线性无关.

7.设123α,α,α线性无关,证明:122331αα,αα,αα+++也线性无关. 证 设有三个数123,,k k k ,使()()()112223331αααααα0k k k +++++=, 则()()()131122233ααα0k k k k k k +++++=,因123α,α,α线性无关,

故131223

00k k k k k k +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩,因系数行列式10111020011D ==≠,所以只有1230k k k ===, 由此知122331αα,αα,αα+++线性无关.

8.设12α,α,,αn 线性无关,问向量组122311αα,αα,,αα,ααn n n -++++ 是线性相关,还是线性无关?并给出证明. 解 设有n 个数12,,,,n k k k 使

()()()()112223111αααααααα0n n n n n k k k k --++++++++= ,

则得方程组

1122310

000

n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪

+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 其系数行列式

11000011100000110001(1),000110000011

n n D +=

=+-