吉林大学《线性代数》线 习题一
吉林大学线性代数AB标准化作业
求 X.
5
6、设 A=
1 2 a b , B= , 若矩阵 A 与 B 可交换，求 a、b 的值. 1 1 3 2
7、设 A、B 均为 n 阶对称矩阵，证明 AB+BA 是 n 阶对称矩阵.
6
学院
班级
姓名
学号
第 二 章 作 业
（方阵的行列式） 1、填空题 （1）排列 52341 的逆序数是________,它是________排列； （2）排列 54321 的逆序数是________,它是________排列； （3）1~9 这九数的排列 1274i56j9 为偶排列，则 i_______， j_______； （4）4 阶行列式中含有因子 a11a23 的项为________________； （5）一个 n 阶行列式 D 中的各行元素之和为零，则 D =__________. 2、计算行列式
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
线 性 代 数
标准化作业 (A、B)
吉林大学数学中心 2013.9
学院
班级
姓名
学号
第 一 章 作 业
（矩阵的运算与初等变换） 1、计算题
3 （1） 1, 2, 3 2 ； 1
2 （2） 1 1, 2, 1 ； 3
0 0 1 1
0 0 0 1
2 0 0 0
3 的逆矩阵. 0 0 0
12
4 、 已知 A
2 1 0
1 2 1
0 1 ，B 2
1 2
1 ，C = 3 3 2
2
2 4 ，求解下列矩阵方程： 1
（1）AX=X+C ;
(2) AXB=C.
5、设 A 为 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得矩阵 B，试证： （1）B 可逆； （2）求 AB-1.
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提
详细描述：本题主要考察学生对线性方程组解法的理解 ，通过给定的线性方程组，要求学生判断其解的情况， 并求解当有解时的解向量。
习题二解析
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总结词：向量空间
在此添加您的文本16字
详细描述：本题主要考察学生对向量空间的定义和性质的 理解，要求学生判断给定的集合是否构成向量空间，并说 明理由。
线性变换与矩阵表示
线性变换是线性代数中的重要概念，理解如何用 矩阵表示线性变换以及其性质是解决相关问题的 关键。
向量空间的维数与基底
向量空间的维数与基底的概念较为抽象，理解其 定义和性质有助于更好地解决相关问题。
04
典型例题解析
例题一解析
总结词
矩阵的乘法
详细描述
本题考查了矩阵乘法的规则和计算方法。首先，我们需要明确矩阵乘法的定义，即第一个矩阵的列数必须等于第 二个矩阵的行数。然后，我们按照矩阵乘法的步骤，逐一计算结果矩阵的元素。在计算过程中，需要注意矩阵元 素的位置和计算方法。
导致在解题时无法正确应用它们。
THANK YOU
感谢聆听
例题二解析
总结词
行列式的计算
详细描述
本题考查了行列式的计算方法和性质。首先，我们需要明确行列式的定义，即由n阶方阵的元素按照 一定排列顺序构成的二阶方阵。然后，我们根据行列式的性质，逐步展开并化简计算结果。在计算过 程中，需要注意行列式的展开顺序和符号的变化。
例题三解析
总结词
向量的线性组合
详细描述
习题三解析
总结词：行列式计算 总结词：矩阵的秩 总结词：特征值与特征向量
详细描述：本题主要考察学生对行列式的计算能力，通 过给定的矩阵，要求学生计算其行列式的值。
线性代数习题课吉林大学术洪亮
行标按自然排列，列标排列旳逆序数为
J（1 3 2 4）= 1 J（1 3 4 2）= 2
a11a23a32a44旳项带负号,a11a23a34a42
旳项前带正号。
具有因子 a11a23 旳项为 - a11a23a32a44
a11a23 a34 a42
A44=4
(-1)(-2)+0×4 + 2 ×(- a)+4 ×4=0
a=9
例7：计算行列式
2 4 1 D1 3 6 3
5 10 4
解： D1 2 (6) 4 3101 (4) 3 (5)
1 (6)(5) (4) 3 4 310 2
48 30 60 30 48 60 0
p1 p2 pn
ann
1．行列式与它旳转置行列式相等；
2．互换行列式旳两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子能够提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）旳全部元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式旳和； 5．行列式某行（列）旳K倍后加到另一行（列）代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式旳概念和某些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
旳
定 义
an1
an 2
a1n
a2n
(1)t a1p1 a2 p2 anpn
1 0
4
0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
线性代数标准化作业
经济数学基础线性代数标准化作业吉林大学数学中心2006.2学院班级姓名学号第一章作业（行列式）1、计算下列各行列式的值：（1）2116415012051422D--=----；（2）1111222111122211112221111222D=；（3）112233100110011011b b b D b b b --=----；（4）222b c c a a bD a b c a b c +++=；（5）1111111111111111a a D b b +-=+-；（6）11()11nDαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=≠++；（7）102200302004D= 。
2、设4阶行列式的第2列元素依次为2、m、k、3，第2列元素的余子式依次为1、-1、1、-1，第4列元素的代数余子式依次为3、1、4、2，且行列式的值为1，求m、k的值。
3、用克拉默法则解方程组123123123241,52,4 3.x x x x x x x x x+-=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩4、已知齐次线性方程组有非零解，求λ。
123123123230,220,50.x x x x x x x x xλ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩学院 班级 姓名 学号第 二 章 作 业（矩阵）1、是非题（设A 、B 、C 均为n 阶的方阵） （1）（A +B ）（A -B ）=A 2-B 2； （ ） （2）若AX =AY ，则X =Y ，其中X 、Y 都是n ×m 矩阵； （ ） （3）若A 2=O ，则A =O ； （ ） （4）若AB =O ，则A =O ，或B =O ； （ ） （5）(ABC )T = C T B T A T 。
（ ）2、填空题（1）设3阶方阵Ｂ≠0，A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛35342531t ,且AB =0，则t ＝ ；（2）设A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛543022001，A *为A 的伴随矩阵，则(A *)1-= ;（3）设A 为4阶数量矩阵，且|A |=16,则A ＝ ，A 1-＝ ， A *＝ ;（4）设A 1-＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8642，则A ＝ ，│4A 1-│＝ ，(A T )1-＝ ; （5）设A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1100210000120025，则│A │＝ ，A 1-＝ ; （6）设实矩阵A 33⨯＝≠)(ij a 0，且011≠a ，ij ij A a =（ij A 为ij a 的代数余子式），则│A │＝ ;（7）设A 为二阶方阵，B 为三阶方阵，且│A │＝1B＝21，则1(2)--O B A O ＝ ;（8）设A 为四阶可逆方阵，且│A 1-│＝2，则│3(A *)1-－2A │＝ ;（9）设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133121，且A 6＝E ，则A 11＝ ； （10）设A 为5阶方阵，且A 2 = O ，则R （A *）=___________.3、选择题（1）设同阶方阵A 、B 、C 、E 满足关系式ABC =E ，则必有（ ） （A ）ACB =E ； （B ） CBA =E ； （C ） BAC =E ； （D ） BCA =E 。
吉林大学《线性代数》线性 习题2.ppt
an
an1
解矩阵方程
2 5 4 6
1
3
X
2
1
2
5
1
4
6
X
1
3
2
1
3 1
5 4
2
2
6
1
2 0
23
8
解矩阵方程
1 1
1 4 3
1
1
X
1
1
2 1
0 2
01
1 1 1 4 3 1
1
X
1
2
0
1
1 1 2 0
1
2
2
1
验证：A
1
1
2
此题书后答案有误
矩阵方程
AB A 2B (A 2E)B A B ( A 2E)1 A
AB E A2 B ( A E)B A2 E ( A E)(A E) B AE
矩阵方程
A*BA 2BA 8E
( A* 2E)BA 8E
B 8( A* 2E)1 A1
A*
5
2
2
1
A1
|
1 A|
A*
5
2
2
1
求逆矩阵
cos
sin
1
sin
cos
cos( ) sin( )
sin( )
cos( )
cos sin
sin
cos
AT A1 (正定矩阵)
旋转的逆变换 =顺时针旋转变换
求逆矩阵
对角矩阵的逆
a1
a2
1
a11
a21
习题2
矩阵
计算乘积
4 3 1 7 35
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
吉林大学《线性代数》线性代数22课xm5-1
长度
x y | x || y | cos
(x1, x2 , x3 ) ( y1, y2 , y3 ) x1 y1 x2 y2 x3 y3
|| x || 1，单位向量
长度性质
(i)x 0 || x || 0; x 0 || x || 0
(ii) || x ||| | || x ||
正交矩阵的性质
( A1 )T ( AT )1 ( A1 )1 AT A E | AT | | A | 1 | A |2 1 | A | 1 AT A1 , BT B1 ( AB)T BT AT B1 A1 ( AB)1
正不改变长度，常见的反射和旋转变换都是正交变换
夹角与正交
[x, y] 1 || x || || y ||
x 0, y 0
arccos [x, y]
|| x || || y || [x, y] 0，正交 x 0，与所有向量正交。
正交向量组
❖ 两两正交的向量组称为正交向量组
证明：设有1, 2 ,L r 使得1a1 2a2 L rar 0
a1T a2T
1 1
1 2
1 1
Ax 0
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
A
~
1 0
1 3
1 0
~
1 0
0 1
1
0
x1 x3 x2 0
1 1
基础解系
0
,
a3
0
1
1
规范正交基
规范正交基便于计算坐标
a 1e1 2e2 L rer
[b1 , b1 ]
b2
a2
[a2 [b1
, ,
b1 b1
《线性代数复习资料》第一章习题答案与提
D为行等和行列式
a11 a12 a1n b a 1 2
a1n
1 a12
a1n
D
a21
a22
a2n b
a 22
a2n b 1 a22
a2n
an1 an2 ann b a n 2
a nn
1 an2
a nn
1
1
b (A 1 1 A 2 1 A n 1 ) a
整理课件
1234
8.若 5
整理课件
14.若
a11 a 21
a 1，2 则1
a 22
aa2111xx11
的a1解2x2是b1(
a22x2 b2
0).
0
B
A.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
B.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
注意系数行列式为
a11 a12 1 a21 a22
C.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
D.
x1
b1 b2
a12 a22
,x2
a11 a21
b1 b2
常数列为
b1 b2
整理课件
二、填空题
1 1 1
1. | A | 1 1 x ，则|A|中x的一次项系数是 2 .
1 1 1
1 1
等同于求元素a23的代数余子式 1
2 1
2. 4阶行列式D a ij 的展开式中带负号，且含因子 a 1 2 和 a 2 1 的项是 a12a21a33a44 .
线性代数习题及解答完整版
线性代数习题及解答 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3D ．62．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1B ．E -AC ．E +AD ．E -A -13．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）A ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B B ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 不可逆 C ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫ ⎪⎝⎭B AD ．⎛⎫⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫⎪⎝⎭A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是（ ）A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）TB ．（-2，0，-1，1）TC ．（1，-1，-2，0）TD ．（2，-6，-5，-1）T6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是（ ）A ．α+β是Ax =0的解B ．α+β是Ax =b 的解C ．β-α是Ax =b 的解D ．α-β是Ax =0的解8．设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,3 B ．111,,243C ．11,,324D ．2,4,39．设矩阵A =121-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）A ．11123--B ．01102C ．211- D ．121-10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。
线性代数_课后答案(戴天时_陈殿友_著)_吉林大学数学学院
第一周作业解答 习题1.1(A)2. 设甲省两个城市a 1,a 2和乙省三个城市b 1,b 2,b 3的交通路线如图1,3. 乙省三个城市b 1,b 2,b 3和丙省两个城市c 1,c 2,的交通路线如图2,4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.解 用a ij 表示联结a i 与b j 的不同道路的总数,则甲乙两 省的通路信息可用矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛301213表示;用b ij 表示联结b i 与c j 的不同道路的总数,则乙丙两省 的通路信息可用矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛214312表示.习题1.2(A)1. 计算下列矩阵的乘积:;20411122013143110412)2⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-;11 )5⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a ba mb mab a解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10520876204131********110412 )2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛000011 )5b a b a mb mab a2. 设矩阵,111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,15421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求3AB -2A 及A T B.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=092650850 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2222222220276181502415023A AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111TB A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--15421321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503. 已知A =PQ ,其中()2,1,2,121-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P求 A 及A 100.解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2124242122,1,2121PQ A()()21212,1,2=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Qp QP Q p Q QP P PQ A)2()2()()(999999100100====A PQ 99992)(2==.212424212299⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 第十八周习题解答习题6.4(A)2.判断下列实二次型是否正定32212322213212432),,()1x x x x x x x x x x f ++-+= 32212322213212435),,()2x x x x x x x x x x f --++= 322123222132144543),,()3x x x x x x x x x x f -+++=解: 1)二次型ƒ的矩阵,310122021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ,0222212<-==A故二次型ƒ非正定.2)二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=++++10002000310002202511013202512122323r r c c r r c c A 故二次型ƒ正定.3)二次型ƒ的矩阵,520242023⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A ,084223,0321>==>=A A,0245224223>=--=A故二次型ƒ正定.3.设有实二次型3221232221321482),,(x x x ax x x x x x x f ++++=, 试确定实数a 的取值范围,使相应的二次型ƒ正定.解: 二次型ƒ的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=820222/02/1a a A,04222/2/1,01221>-==>=aa a A A ,22<a,021282222/02/12>-==a a a A ,6<a故当6<a时, 二次型ƒ正定.第二周作业解答 习题1.3(A)3. 设矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020*********A求A 4.解⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22020000340043220200003400432A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4804000025000025⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=480400002500002548040000250000254A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=816401600006250000625习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1) ,)()()(222T 2A A A A T =-== ∴ A 2是对称阵.(2)TT T )()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TT T若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .第三周习题解答 习题1.4(A)3. 设A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A 2是对称阵； (2) AB -BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .证 (1),)()()(222T 2A A A A T =-==∴ A 2是对称阵.(2)TTT)()()(BA AB BA AB -=-TT T T BA AB -=BA AB )()(---=BAAB -=∴ AB -BA 是对称阵. (3)BAA B A B AB -=-==)()(TTT若AB 是反称阵，则AB AB -=T)(，有AB =BA若AB =BA ，则AB AB -=T)(，AB 是反称阵，∴AB 是反称阵的充分必要条件是AB =BA .习题1.5(A)1.把下列矩阵化为行最简形矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-14313021201)1 解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-34313021201−−→−+-+-312132r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201 −−→−-⨯)1(2r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---62031001201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−++-000031005001321222r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------12433023221221134311)3 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------+-+-+-810566300221003431112433023221221134311 41312132r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−−→−-⨯8105663002210034311 )1(2r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−→−+++-200000002210032011 4232125 3 3r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−↔⨯00000100002210032011 34421r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+-+00100000210002011 231323 r r r r 第五周习题解答 习题2.1(A)1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式381141102 )1(---解)1()1(03)4(2381141102-⨯-⨯+⨯-⨯=--- 8)1(2310)1()4(1811⨯-⨯-⨯⨯--⨯-⨯-⨯⨯+=-43. 求i 出j 与，使817i 25j 49成为奇排列。
吉林师范大学线性代数课后练习题答案
练习1.21.解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+321111512211213102B A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-705313512211213102B A⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=-191128375122113213102232B A2.解：由XB A X-=-2，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯=+=2222211202202121A B X 4.解（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1764134251211123（2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛005030200011（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000113020（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963642321321321（5）()14321321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛（6）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---223451873031740215217335216104（7）()()15212315212103110021211=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7.解（1）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d cb aX ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a b ad c b a AX 1101 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d d c b b a d c b a XA 1101由XA AX=得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=dd b d c c a ba a ⎩⎨⎧==⇒d a b 0 故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a c a X 0 （c a ,为任意）（2）设与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222111c b a c b a c b aX ，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222212121111222111100110011c b a c c b b a a c c b b a a c b a c b a c b a AX ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222211111222111100110011c b b a a c b b a a c b b a ac b a c b a c b a XA 由XA AX =可得⎪⎩⎪⎨⎧======bc c b a b a a 1212210故与A 可交换的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a c b a 000（a ，b ，c 为任意常数）8.证明：由已知有A B AB 11=，A B AB 22=则A B B A B A B AB AB B B A )()(21212121+=+=+=+，故A 与21B B +也可交换。
线性代数练习题及答案解析(一)
线性代数练习题及答案解析（一）一、行列式1、排列25341的逆序数为 7 ；2、排列643125的逆序数是 9 ；3、方程211123049x x =的根为 2,3 ；（范德蒙行列式） 4、行列式D=162021304---中，元素－3的代数余子式是（ A ）（A ）10 （B ）2 （C ）－10 （D ）－2 考点：代数余子式定义5、(1)三阶行列式det()ij D a =中含有因子1322a a 的项为 132231-a a a ，含有因子1223a a 的项为 122331a a a . 考点：行列式展开式的定义规则(2)四阶行列式det()ij D a =中含有因子1123a a 的项为 12233144a a a a 或12233441-a a a a .6、设n 阶行列式60D =，且D 中的每列的元素之和为6，则D 中的第三行的代数余子式之和为 10 .考点：行列式的性质6，行列式按行（列）展开7、(1)设n 阶行列式det()ij D a =，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）. 考点：行列式按自己的行（列）展开等于行列式，如行（列）与代数余子式的行（列）不一致则等于零。
A 、10nijij i aA ==∑；B 、10nijij j aA ==∑； C 、1nijij j aA D ==∑； D 、121ni i i aA D==∑(2)若4阶行列式D 中第2行的元素212223242,1,3,0,a a a a ====余子式212M =,2223241,3,0M M M ===则D= -12 .注意：代数余子式与余子式的区别。
行列式的展开只与代数余子式有关。
(3)若3阶行列式D 中第1行的元素1112133,2,5,a a a ===代数余子式114A =,12131,2,A A =-=则D= 20 .8、行列式112233440000000a b a b b a b a =（ B ）。
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2．互换行列式的两行（列），行列式变号； 3．某行（列）有公因子可以提到行列式符号外面； 4．若行列式中某一行（列）的所有元素均为两元素之和，则行
列式可写成两个行列式的和； 5．行列式某行（列）的K倍后加到另一行（列）上，行列式不变。
展开定理 计算 应用
483060304860 0
0 1 1 2 1 1 0 2 D2 1 2 1 0 2 1 10
0 1 1 2
r3 r2
1 1 0 2 r4 ( 2 ) r2 0 1 1 2
0 3 1 4
0 1 1 2
r3 r1 1 1 0 2
r4 3 r1
0 0
0 0
2 4 2 2
r1 r2
1
0 0
1 1 0
0 1 2
2
2 r4 (1)r3
4
1 0 0
1 0 1 1 0 2
2
2 4
4
0 0 2 2
0 0 0 2
xa
a
例8： D n a x
a
aa
x
解：第2列、第3列直到第n列，
依次乘以 1倍后加到第1列上去，得：
x (n 1)a a a
1a
a
x (n 1)a x a
1x
a
Dn
线性代数习题课
吉林大学 术洪亮
第一讲 行 列 式
前面我们已经学习了关 于行列式的概念和一些基本 理论，其主要内容可概括为：
行列式
概念 性质 展开定理 计算 应用
概念 性质
排列，逆序数，奇排列与偶排列
行 a11 a12
列 式
a21
a22
的
定 义
an1
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a2 2a 1 2a 3 2a 5 a2 2a 1 2 2
b2 2b 1 2b 3 2b 5 b2 2b 1 2 2
0
c2 2c 1 2c 3 2c 5 c2 2c 1 2 2
d 2 2d 1 2d 3 2c 5 d 2 2d 1 2 2
6 、证明
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4Biblioteka 1 1 1 1 11
( 3)(2 2) 0
1,3,L , (2n 1), (2n), (2n 2),L , 2
n(n 1) n(n 1) n(n 1)
2
2
3、含有 a11a23的项
a11a23 a32 a44 a11a23 a34 a42
4、计算行列式
4 1 2 4 4 7 2 4
1 202 1 0 0 0
10 5 2 0 10 15 2 20
1 1 cd
0 1 0
5、解方程
x 1 2 1 x 3 2 1
2 x 1 1 x 3 x 1 1
1 1 x 1 0 1 x 1
12 0
10 0
(x 3) 1 x 1 2 (x 3) 1 x 1 2 (x 3)(x2 3) 0
0 1 x 1
0 1 x 1
5、解方程
1111 xabc x2 a2 b2 c2 x3 a3 b3 c3 (c x)(b x)(a x)(c b)(c a)(b a) 0
cn
dn
8、计算
0 1 L n 3 n 2 n 1 0 1 L n 3 n 2 n 1
1 0 L n 4 n 3 n 2 1 1 L 1 1 1
M
L
MM L
M
n 3 n 4 L 0 1 2 1 1 L 1 1 1
n 2 n 3 L 1 0 1 1 1 L 1 1 1
n 1 n 2 L 2 1 0 1 1 L 1 1 1
a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2 a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2 b2 (b 1)2 (b 2)2 (b 3)2 b2 (b 1)2 (b 2)2 (b 3)2
c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2 c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2 d 2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2 d 2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2
az bx ax by ay bz z ax by ay bz x ax by ay bz
x ay bz z y z az bx
yzx
a2 y az bx x b2 z x ax by (a3 b3 ) z x y
z ax by y x y ay bz
xyz
6 、证明
3 1 1 2
5 1 3 4
A31 3A32 2 A33 2 A34 1
24 3 2 2
1 5 3 3
11、
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 (1 )
1 2 1
12、
1 2 4 0 3 ( 1)(3 )
2 3 1 0 1 2 1
8、计算
换行换列（旋转180度）
an (a 1)n L
an1 (a 1)n1 L
Dn1 M a
M a 1 L
1
1L
(a n)n
(a n)n1
M an
(i j) n1i j1
1
8、计算
类似例题中的方法，将四角的元素集中到左上角。
an O
bn N
D2n
a1 b1
c1 d1
N
O
n
(ai di bici ) i 1
a
8、计算
xaaa
1111
a D4 a
x a
a x
a
a
(x 3a)
a
a
x a
a x
a (x 3a)(x a)3 a
aaax
aaax
x aL a xL Dn M M O aa a
a
1 1L
a
a xL
[x (n 1)a]
M
M MO
x
aa a
1 a [x (n 1)a](x a)n1 M x
0 0 L 0 x2 a1x a2 1 0 L 0 1 L L LL 0 0L fn1 fn2 L
0 0 L 1 x a1 00 00 LL 0 1 f1 x a1
7、上下翻转、逆时针旋转、副对角线翻转
123 D 4 5 6
789
789 3*2
D1 4 5 6 (1) 2 D 123
369
0 117 0 1 1 7
7 2 4 9 0 18
15 2 20 17 0 34 0
117
117
4、计算行列式
2 1 4 1 1 2 2 0
3 1 2 1 3 1 2 1
0
1 2 3 2 5 4 1 0
5 0 6 2 1 2 2 0
4、计算行列式
ab ac ae
1 1 1
bd cd de abcdef 1 1 1 4abcdef
思路：
1 11 11
abcd t a2 b2 c2 d 2 t 2 中t3的系数（的相反数） a3 b3 c3 d 3 t3 a4 b4 c4 d 4 t4
6、证明
x 1 0 L 0 0 x 1 0 L
0 x 1 L 0 0 0 x 1 L
L L L L L L L L L L
0 0 0 L x 1 0 0 0 L
M
MM
MM M
M
1
1 L 1 an 1
n1
ai an Dn1 i 1
D1 1 a1
D2 a1 a2 (1 a1 ) a1 a2 a1a2
n
n1
Dn
i 1
ai (1
i 1
) ai
1 L1 0
0 L an
9、计算代数余子式
3 1 1 2
5 1 3 4 D
2 0 1 1
1 5 3 3
1、利用对角线法则计算三阶行列式
x y x y
y x y
x
x y x 3xy(x y) x3 y3 (x+y)3 y
2、求逆序数
1, 2,3, 4 0 4,1,3, 2 4 3, 4, 2,1 5 2, 4,1,3 3
2、求逆序数
1,3，L（2n 1), 2, 4,L (2n) n(n 1) 2
321 3*2
D2 2 5 8 , D2T 6 5 4 (1) 2 D
147
987
963 D3 8 5 2 D
741
8、计算
a
1
Dn O
1
a
n 2, D2 a2 1
n 2, a 0, Dn 0
a1 a
n 2, a 0, Dn
O
1
0 an1 (a 1 ) an an2 a
0 1 L n 3 n 2 n 1
1 1 L 1 1 1
0 2L 0
0
0 (1)n1 (n 1)2n1
ML
M
00L 2 0 0
00L 0 2 0
8、计算
1 a1 1 L
Dn
1 M
1 a2 L M
1 1 a1 1 L 1 1 a1 1 L 1
1
1
1 a2 L
1
1
1 a2 L
1
习题一
行列式（P26）
1、利用对角线法则计算三阶行列式
201 1 4 1 24 8 4 16 4 1 8 3
1、利用对角线法则计算三阶行列式
abc b c a 3abc c3 b3 a3 cab
1、利用对角线法则计算三阶行列式
111 a b c (c b)(c a)(b a) a2 b2 c2
bf cf ef
1 1 1
4、计算行列式
a 1 0 0 0 1 ab a 0
1 ab a 0
1 b 1 0 1 b 1 0
1 c 1
0 1 c 1 0 1 c 1
0 1 d
0 0 1 d 0 0 1 d
1 ab a ad
1 ab ad
1 c 1 cd
1 ab cd abcd ad
6 、证明
a2 ab b2
a2 (a b)2 b2
2a a b 2b 1 2a
0
2b
2
111
1
0
1
6 、证明
ax by ay bz az bx x ay bz az bx y ay bz az bx
ay bz az bx ax by a y az bx ax by b z az bx ax by
an an1 an2 L a2 x a1 an an1 an2 L
x
1
0L0 0
0
0
0
1 L 0 0
0
L
L
L LL L L
0
0
0 L 0 1
0
an an1 xfn2 fn2 L f1 x a1 fn (1)n1 (1)n1 xn a1xn1 L an1x an
an xfn1