吉林大学《线性代数》线 习题一

M
MM
MM M
M
1
1 L 1 an 1
n1
ai an Dn1 i 1
D1 1 a1
D2 a1 a2 (1 a1 ) a1 a2 a1a2
n
n1
Dn
i 1
ai (1
i 1
) ai
1 L1 0
0 L an
9、计算代数余子式
3 1 1 2
5 1 3 4 D
2 0 1 1
1 5 3 3
1,3,L , (2n 1), (2n), (2n 2),L , 2
n(n 1) n(n 1) n(n 1)
2
2
3、含有 a11a23的项
a11a23 a32 a44 a11a23 a34 a42
4、计算行列式
4 1 2 4 4 7 2 4
1 202 1 0 0 0
10 5 2 0 10 15 2 20
1 1 1 1 1
1
( 3)(2 2) 0
az bx ax by ay bz z ax by ay bz x ax by ay bz
x ay bz z y z az bx
yzx
a2 y az bx x b2 z x ax by (a3 b3 ) z x y
z ax by y x y ay bz
xyz
6 、证明
1 1 cd
0 1 0
5、解方程
x 1 2 1 x 3 2 1
2 x 1 1 x 3 x 1 1
1 1 x 1 0 1 x 1
12 0
10 0
(x 3) 1 x 1 2 (x 3) 1 x 1 2 (x 3)(x2 3) 0
0 1 x 1
0 1 x 1
5、解方程
1111 xabc x2 a2 b2 c2 x3 a3 b3 c3 (c x)(b x)(a x)(c b)(c a)(b a) 0
习题一
行列式（P26）
1、利用对角线法则计算三阶行列式
201 1 4 1 24 8 4 16 4 1 8 3
1、利用对角线法则计算三阶行列式
abc b c a 3abc c3 b3 a3 cab
1、利用对角线法则计算三阶行列式
111 a b c (c b)(c a)(b a) a2 b2 c2
a
8、计算
xaaa
1111
a D4 a
x a
a x
a
a
(x 3a)
a
a
x a
a x
a (x 3a)(x a)3 a
aaax
aaax
x aL a xL Dn M M O aa a
a
1 1L
a
a xL
[x (n 1)a]
M
M MO
x
aa a
1 a [x (n 1)a](x a)n1 M x
思路：
1 11 11
abcd t a2 b2 c2 d 2 t 2 中t3的系数（的相反数） a3 b3 c3 d 3 t3 a4 b4 c4 d 4 t4
6、证明
x 1 0 L 0 0 x 1 0 L
0 x 1 L 0 0 0 x 1 L
L L L L L L L L L L
0 0 0 L x 1 0 0 0 L
bf cf ef
1 1 1
4、计算行列式
a 1 0 0 0 1 ab a 0
1 ab a 0
1 b 1 0 1 b 1 0
1 c 1
0 1 c 1 0 1 c 1
0 1 d
0 0 1 d 0 0 1 d
1 ab a ad
1 ab ad
1 c 1 cd
1 ab cd abcd ad
0 117 0 1 1 7
7 2 4 9 0 18
15 2 20 17 0 34 0
117
117
4、计算行列式
2 1 4 1 1 2 2 0
3 1 2 1 3 1 2 1
0
1 2 3 2 5 4 1 0
5 0 6 2 1 2 2 0
4、计算行列式
ab ac ae
1 1 1
bd cd de abcdef 1 1 1 4abcdef
an an1 an2 L a2 x a1 an an1 an2 L
x
1
0L0 0
0
0
0
1 L 0 0
0
L
L
L LL L L
0
0
0 L 0 1
0
an an1 xfn2 fn2 L f1 x a1 fn (1)n1 (1)n1 xn a1xn1 L an1x an
an xfn1
a2 2a 1 2a 3 2a 5 a2 2a 1 2 2
b2 2b 1 2b 3 2b 5 b2 2b 1 2 2
0
c2 2c 1 2c 3 2c 5 c2 2c 1 2 2
d 2 2d 1 2d 3 2c 5 d 2 2d 1 2 2
6 、证明
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
3 1 1 2
5 1 3 4
A31 3A32 2 A33 2 A34 1
24 3 2 2
1 5 3 3
11、
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 (1 )
1 2 1
12、
1 2 4 0 3 ( 1)(3 )
2 3 1 0 1 2 1
6 、证明
a2 ab b2
a2 (a b)2 b2
2a a b 2b 1 2a
0
2b
2
111
1
0
1
6 、证明
ax by ay bz az bx x ay bz az bx y ay bz az bx
ay bz az bx ax by a y az bx ax by b z az bx ax by
8、计算
换行换列（旋转180度）
an (a 1)n L
an1 (a 1)n1 L
Dn1 M a
来自百度文库
M a 1 L
1
1L
(a n)n
(a n)n1
M an
(i j) n1i j1
1
8、计算
类似例题中的方法，将四角的元素集中到左上角。
an O
bn N
D2n
a1 b1
c1 d1
N
O
n
(ai di bici ) i 1
321 3*2
D2 2 5 8 , D2T 6 5 4 (1) 2 D
147
987
963 D3 8 5 2 D
741
8、计算
a
1
Dn O
1
a
n 2, D2 a2 1
n 2, a 0, Dn 0
a1 a
n 2, a 0, Dn
O
1
0 an1 (a 1 ) an an2 a
a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2 a2 (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2 b2 (b 1)2 (b 2)2 (b 3)2 b2 (b 1)2 (b 2)2 (b 3)2
c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2 c2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2 d 2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2 d 2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2
0 0 L 0 x2 a1x a2 1 0 L 0 1 L L LL 0 0L fn1 fn2 L
0 0 L 1 x a1 00 00 LL 0 1 f1 x a1
7、上下翻转、逆时针旋转、副对角线翻转
123 D 4 5 6
789
789 3*2
D1 4 5 6 (1) 2 D 123
369
cn
dn
8、计算
0 1 L n 3 n 2 n 1 0 1 L n 3 n 2 n 1
1 0 L n 4 n 3 n 2 1 1 L 1 1 1
M
L
MM L
M
n 3 n 4 L 0 1 2 1 1 L 1 1 1
n 2 n 3 L 1 0 1 1 1 L 1 1 1
n 1 n 2 L 2 1 0 1 1 L 1 1 1
1、利用对角线法则计算三阶行列式
x y x y
y x y
x
x y x 3xy(x y) x3 y3 (x+y)3 y
2、求逆序数
1, 2,3, 4 0 4,1,3, 2 4 3, 4, 2,1 5 2, 4,1,3 3
2、求逆序数
1,3，L（2n 1), 2, 4,L (2n) n(n 1) 2
0 1 L n 3 n 2 n 1
1 1 L 1 1 1
0 2L 0
0
0 (1)n1 (n 1)2n1
ML
M
00L 2 0 0
00L 0 2 0
8、计算
1 a1 1 L
Dn
1 M
1 a2 L M
1 1 a1 1 L 1 1 a1 1 L 1
1
1
1 a2 L
1
1
1 a2 L
1