1.1集合的基本概念(离散数学)

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离散知识点公式总结

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学---集合

特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ，，，自然数集整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合，，，，，有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合， ∈ 实数集合R={ x x是实数是实数} 实数集合是实数复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、相等：、相等：定义：相等，定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则，相等记作A=B。。即 ∀ x∈A则 x∈B，并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ，并且有∀ ∈ 则 ∈ 。若A，B 不相等记作 A≠ B
真子集：真子集：
集合的说明：集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中与是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合。表示同一个集合。表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合，、集合中的元素可能也是集合，例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ，，，，， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集设A={0，1，2}写出的全部子集。，，写出的全部子集。元子集：解：A的0元子集：∅ 的元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集：，，的元子集 A的 2元子集： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。元子集：，，，，，。的元子集元子集：，， A的3元子集：{0，1，2} 的元子集 A共有个子集，即P（A）=8 共有8个子集，（）共有个子集一般地如果，一般地如果A=n，元子集有1个即空集则A的0元子集有个即空集∅，的元子集有个即空集∅ A的1元子集共有 n1个，元子集共有C 的元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…，元子集共有C 的元子集共有， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的元子集共有 n元子集共有 nn=1个，元子集共有C 元子集共有个所以A的子集个数为的子集个数为C 所以的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n

《离散数学》集合的基本概念和运算

（2）若AB,BC,则AC
解错误。举反例如下：设A={a}，
B={{a},b}，C={{a},b,{c}}，显然AB， BC，但A不是C的子集。因为aA，但aC。
定义3.7 A、B是任意集合，由属于A或属于B的
所有元素组成的集合称为A与B的并集，记
3.2 作 A B 。即
集
A B u | u A或u B
推论空集是惟一的. 证假设存在1和2，则12 且12，因此
1=2 全集在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个
集合的子集，则称这个集合为全集，记作E
全集具有相对性
在给定问题中，全集包含任何集合，即A (AE )
三、幂集（PowerSet）
定义1.2.2 给定集合A，以A的所有子集为元素
- 命题演算法 - 包含传递法
的
- 等价条件法
基
- 反证法
(A B) A B
算对偶原理：把一个等式中的中的∪，∩，E和
的分别代以∩，∪，和E后得到另一等式
二、对称差运算的性质：
① AA= ②A =A ③ A E= A
3.2 ④A B＝B A
集 ⑤(A B) C A (B C)
合 ⑥A I (B C) (A I B) (A I C)
一、集合运算的十条定律
3.2
对于全集合E的任意子集A、B、C，有：
集交换律 AB B A AB B A
合的结合律 A(B C) (A B) C
基
A(B C) (A B) C
本分配律 A(B C) (A B) (AC)
运算
A(B C) (A B) (AC)
概念
(5)A ( )

1.1-集合的基本概念(离散数学)

幂集的性质
1.
为有穷集，若A为有穷集，|A|=n，则为有穷集， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。是两个集合，当且仅当设 A、 B是两个集合， AB当且仅当、是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，互独立，不要求一定要具备明显的共同特征。同特征。例如：例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车地球是汽车},地球是汽车地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举，列举法；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。。描述法；通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如：特征来表示集合，例如： V= {x|x是元是元音字母} 是自然数} 音字母，B= {x|x=a2 , a是自然数是自然数
空集、空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合，约定，存在一个没有任何元素的集合，称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。来表示。约定，约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作或U，我们所讨论，记作E或，的集合都是全集的子集全集是相对的。的集合都是全集的子集。全集是相对的。全集

离散数学第一章知识点总结

离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。

以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。

如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。

集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。

此外，还有补集的概念。

如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。

集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。

例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。

离散数学集合的基本概念(一)

离散数学集合的基本概念(一)离散数学集合的基本概念集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

这些对象被称为集合的元素，可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等。

在集合中，元素的顺序和重复是无关紧要的。

集合的表示集合通常用大写字母表示，如A、B。

元素属于集合时，通常用小写字母表示，如a、b。

一个元素a属于某个集合A时，表示为a∈A。

不属于某个集合时表示为a∉A。

集合的表示形式1.列举法：通过逐个列举出集合中的元素来表示集合。

例如，集合A={1, 2, 3}表示A为包含元素1、2、3的集合。

2.描述法：通过描述元素的特征来表示集合。

例如，集合A={x|x为正整数，且x<4}表示A为包含不大于3的正整数的集合。

1.并集：将两个集合中的元素合并在一起，形成的新集合包含了两个集合中的所有元素，且没有重复。

用符号∪表示。

例如，A∪B 表示集合A和集合B的并集。

2.交集：求两个集合中共有的元素，形成的新集合包含了两个集合中的所有共有元素。

用符号∩表示。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。

3.差集：求一个集合中去除另一个集合中的元素后的剩余元素。

用符号-表示。

例如，A-B表示集合A去除集合B的元素后的剩余元素。

4.补集：求一个集合关于全集的差集。

用符号’表示。

例如，A’表示集合A的补集。

集合的性质1.互斥性：两个集合没有共同的元素时，称为互斥的。

两个互斥的集合的交集为空集。

2.包含关系：一个集合包含另一个集合时，称为包含关系。

包含关系可以是真包含或假包含，当一个集合包含另一个集合且两者不相等时，称为真包含。

3.幂集：一个集合所有可能的子集的集合称为幂集。

离散数学中的集合理论在计算机科学、信息技术、逻辑学、概率论等领域有着广泛的应用。

集合的概念和基本操作可以用于解决各种问题，例如数据处理、算法设计、数据库管理等。

以上是对离散数学集合的基本概念及相关内容的简要介绍，希望可以对读者有所帮助。

离散数学第3章_(1-6)(新教材)(1)

注: J恰好是全体n位二进制数,也就是集合 {0,1,2,…, 2 n 1} 的二进制表示.
第三节集合的运算
1. 集合的并
定义3.1 A和B是集合, 所有属于A或属于B 的元素组成的集合S, 称为A和B的并集, 记作 AB, 即, S=AB={x |(xA)(xB)}
A AB AB B
A
例如, 设全集E为整数集合Z, O为奇数集合, 则为偶数集合, A
定理3.3(补与差的性质) (1)A-B=A B , (2)A-B=A-(AB) (3) A =E, A = A A
(4)
A
=A,
,
(5) E , E
(6)
A E A
定义1.1(集合相等的定义): 两个集合A和B是相等的, 当且仅当A和B有相同的元素, 记作A=B; 集合A与集合B不相等,记作AB;
例如上面例1中的(1)和(2)中的两个集合S和T, 不难看出它们实际上是两个相同的集合,也即有S=T. 再看上面例1中的(3),根据数论中著名的 Lagrange四平方定理(该定理的结论是:每个自然数都可以表示成四个整数的平方数之和)可以看出:这个例子中的集合W与全体自然数组成的集合N也是相等的集合。
定义2.2(幂集) 假设A是一个给定的集合, 将集合A的每个子集看成一个元素,则集合A的所有子集为元素所作成的新的集合称为集合A的幂集,记为(A). 例1.求空集的幂集. 解由于空集只有一个子集，也就是空集自己,从而它的幂集为 ()={} . (注)请注意将空集与{}区别开来: 中没有任何元素,而 {}中恰好有一个元素。
.(De Morgan律)
(11)设A、B是任何集合, 若AB, 则有: [1] B ,[2] (BA)A=B. A

高三离散数学知识点归纳

高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。

在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。

本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。

一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。

集合的元素可以是数字、字母、符号等。

2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。

3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。

二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。

命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。

2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。

3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。

三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。

排列和组合分别具有不同的计算公式。

2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。

四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。

顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。

2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。

五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。

2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。

离散数学讲解第一章

B7=B000111={a4,a5,a6} B12=B001100={a3,a4}
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集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
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指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
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对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A，这与空集的定义矛盾假设不成立，应有A，原结论成立。
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定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
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5
2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
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6
描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立时，a∈A。

离散数学导论(第5版)-第二篇集合论

x2＝y2，…，xk＝yk而xk＋1＝yk+1，如果xk＋1≤yk＋1 ，则我们说xLy；如yk＋1≤xk＋1 ，则我们说yLx； • （3）如存在一个最大的K＝min (n，m)，使得x1＝y1，x2 ＝y2，…，xn＝yn ，此时如n≤m，则我们说xLy；如m≤n，则我们说yLx。 •
18
• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射

离散数学教程——集合的基本概念

集。记为P(A)。
例 1.1（已知A，求幂集）
定理 1.3 | P(A) |=2|A|
证明方法：组合的方法
求幂集 —— 代数法
P13 习题1.13 设A={a, {a}}，问： (1) {a}P(A)? {a}P(A)? (2) {{a}}P(A)? {{a}}P(A)? (3) 又设A={a, {b}}，重复(1)、(2)。解: (1, 2)首先求P(A)，代数法：
反证法的思想 / 思维过程
“结论不成立”与“结论成立”必有一个正确。
“结论不成立”会导致出现错误，推理过程、已知条件、公理和已知定理没有错误，惟一有错误的是一开始接假定的“结论不成立”，所以“结论不可能不成立”，即“结论成立”。
1.2 集合的子集
六定义1.5（幂集）：
A的所有子集组成的集合称为A的幂
离散数学教程
——集合的基本概念
1.1 集合的表示 1.2 集合的子集 1.3 笛卡尔积 1.4 集合的运算 1.5 罗素悖论
引言：什么是集合？
一些自行车在计算机系车棚内的自行车
一些自行车不是集合，无法确定范围和性质
在计算机系车棚内的自行车是集合，可以确定范围和性质
1.1 集合的表示
(1) 分配律
B(A1A2…An)=(BA1) (BA2) … (BAn) B(A1 A2… An)= (BA1) (BA2)…(BAn) (2) 狄•摩根律
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
n i 1
Ai
1.4 集合的运算
六、广义并、广义交 1. 定义（广义并）
设Ǽ为一个集合族，称由Ǽ中全体元素的元素组成的集合成为的Ǽ广义并集，记作Ǽ ，

离散数学知识点

离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。

本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。

1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。

- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。

- 幂集：一个集合所有子集的集合。

- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。

2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。

- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。

- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。

3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。

- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。

- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。

4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。

- 函数的类型：单射、满射和双射。

- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。

5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。

- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。

- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。

6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。

- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。

- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。

7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。

- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。

结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。

它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。

掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。

本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。

第一章离散数学

定义1-9 设有集合A、B，所有属于B而不属于
A的元素组成的集合，称为A相对于B的补集，记作B-A。即
B A u | u B但u A
用文氏图表示为：(图中斜线部分即是)
B
B-A
例：A＝{2,5,6} B={3,4,2} B－A＝{3,4} 则 A－B={5,6}
A
定义1-10 集合A相对于全集合U的补集称为A的
{ }
定理1－2：设A是具有基数＃A的有限集，则＃(2A ) 2# A
分析：前面介绍了，A的子集是A的一部分，那么由 i A中i个元素组成的子集有C n个，若A有n个元素，于是有：
C n 0 C n1 ... C n n 1 C n n 2n
(证明略）
例3、确定集合A={a,{a}}的幂集
A不够成一个集合，因为没有确定老的标准，50岁以上的老，还是60岁以上的老呢？这需要一个确定的标准，根据这个标准来判断一个55岁的中国人是否属于这个集。
总之，任一个个体，对某一个集合而言，或属于该集合，或不属于该集合。两者必居其一，不可兼得。
又如：
A＝{b,c} 是一个集合，但它是集合B 的元素，其中B={a,{b,c}}; A={b,c}是以一个整体作为B的元素。另外，要将b，与{b} 区分开来,b∈{b}； b是一个个体，{b}是一个单元素的集合。
故 A C（由定义1－2）
综合（1）、（2）即知原结论成立。
1.3
一、幂集的定义
幂集
定义1－5：任给集合A，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集。记作2A，即2A＝{s|s A}。例1 A={1,2,3}
则 2A {,{1},{2},{3},{1, 2},{1,3},{2,3},{1, 2,3}} 例2 （1） A={a}

集合的基本概念(离散数学)

并集
01
并集是将两个或多个集合中的所有元素合并到一个新集合中。
02
并集运算可以用符号"∪"表示，例如，A∪B表示集合A和集合B 的并集。
03
并集运算满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A， (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
交集
01
交集是两个或多个集合中共有的元素组成的集合。
02
交集运算可以用符号"∩"表示，例如，A∩B表示集合A和集合 B的交集。
集合的运算
并集
两个集合中所有元素的集合。
交集
两个集合中共有的元素组成的集合。
差集
从一个集合中去除另一个集合中的元素后得到的集合。
03
集合的性质
空集
定义
不含有任何元素的集合称为空集。记作∅。
性质
空集是任何集合的子集，即对于任意集合A，都有∅⊆A。
应用
在数学逻辑和集合论中，空集常用于作为其他集合的基底或参考点。
06
集合的应用
在数学中的应用
在概率论中的应用
集合是概率论的基本概念，用来表示随机事件。概率论中的许多概念，如事件的并、交、差等，都是基于集合运算的。
在几何学中的应用
集合论为几何学提供了统一的数学语言。在几何学中，点、线、面等基本元素都可以被视为集合。
在逻辑学中的应用
集合论为逻辑学提供了形式化的工具，使得逻辑推理更加严谨。集合论中的集合关系和集合运算，可以用来表示逻辑中的命题和推理。
并集
两个或多个集合中所有元素的集合。
集合
由确定的、不同的元素所组成的总体。
子集
一个集合中的所有元素都属于另一个集合，则称这个集合是另一个集合的子集。

离散数学知识点归纳

离散数学知识点归纳一、集合论。

1. 集合的基本概念。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。

- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。

2. 集合间的关系。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。

例如，{1,2}⊆{1,2,3}。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。

3. 集合的运算。

- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。

- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。

对于上述A和B，A∩ B={2}。

- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

二、关系。

1. 关系的定义。

- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。

当A = B时，R称为A上的关系。

例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。

2. 关系的表示。

- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。

- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。

3. 关系的性质。

- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。

例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。

1.1-集合概念

康托尔的朴素集合论
外延原理
– 任意两个集合相等，当且仅当的它们
中的各个元素都是相同的。
概括原理
悖论 – 任给一个性质，都有一个满足该性质的对象所组成的集合。
– 每个集合都有一个选择函数。
选择原理
罗素悖论(Russell’s paradox)

1.
设集合S={A|A是集合，且AA}

无序性

集合与其中的元素的顺序无关

例如： {a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a} 表示同一个集合。
多样性

集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，不要求一定要具备明显的共同特征。例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} B={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球}
证明：集合A和B，AB(A)(B)
证明：（充分性）任意取x A， {x}(A),又(A)(B)，故{x}(B)，则xB， AB成立。
（必要性）任意取x (A)，即x A，又AB，则x B，那么x (B)， (A)(B)成立。
【定义4】集合族、标志集
法国数学家庞加莱（H.Poincare，1854－1912）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西。集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了。
德国数学家魏尔（C.H.Hermann Weyl，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯.克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交。 ...... 从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。健康状况逐渐恶化， 1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。

《离散数学》第3章集合

P ( A) = {φ , A}
第二节集合的运算内容：内容：集合的运算，文氏图，运算律。重点：重点：(1) 掌握集合的运算
A ∪ B, A ∩ B, A − B, ~ A, A ⊕ B
(2) 用文氏图表示集合间的相互关系和运算， (3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。集合的运算。集合 A, B 的并集 A ∪ B，交集 A ∩ B，相对补集
三包含排斥定理设A和 B是两个有限集合，则 A ∪ B = A + B − A ∩ B ，
B 其中 A, B 分别表示 A、的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定理表述：设A1 , A2 ,⋯ A为有限集合，其元数分别为 A , A ,⋯, A ，则 n
1 2 n
A1 ∪ A2 ∪ ⋯ ∪ An
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
5、特殊的集合。空集 φ 全集 E (或 U )
φ ⊆ A ⊆ E ( A 为任一集合)
例1、选择适当的谓词表示下列集合。、 (1) 小于5的非负整数集 (2) 奇整数集合
{x | x ∈ N ∧ x < 5} {x | x = 2n + 1 ∧ n ∈ Z }
{ } (8) {a, b} ∈ {a, b, {{a, b}}}
(7) {a, b} ⊆ a, b, {{a, b}}
例3、A, B, C 为集合，若 A ∈ B 且B ∈ C ，、有可能 A ∈ C 吗，有可能 A ∉ C 吗？解：两种情形都有可能。设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{a}, {{a}}} ，则 A ∈ B, B ∈ C ，有 A ∈ C 。又设 A = {a}, B = {{a}} , C = {{{a}}}，则 A ∈ B, B ∈ C ，但 A ∉ C 。

离散数学课本定义和定理

第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。

如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。

4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。

※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。

定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。