高三复习函数的零点部分高考试题汇编
2023届新高考数学复习：专项(分段函数零点问题 )经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（分段函数零点问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．54．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x ax a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x a x ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ） A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)7,2,28⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,228⎛⎫⎡⎤⋃ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ）A ．1B ．74C ．2D ．313．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤ B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．14-C ．13-D ．15-18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______．23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________.25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩ 则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________．29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ天津南开ꞏ高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)1,0- B ．[)1,-+∞ C ．(),0∞- D ．(],1-∞【答案】A【答案解析】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-Q()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】A【答案解析】设()(2)ln(1)g x x x =-+，()cos 34h x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，求导()23ln(1)ln(1)111x g x x x x x -'=++=++-++ 由反比例函数及对数函数性质知()g x '在(]1,,0m m ->上单调递增，且102g ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，()10g '>，故()g x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内必有唯一零点0x ，当()01,x x ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(]0,x x m ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；令()0g x =，解得0x =或2，可作出函数()g x 的图像， 令()0h x =，即3,42x k k Z πππ+=+∈，在(]0,π之间解得12x π=或512π或34π， 作出图像如下图数形结合可得：π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ ，故选：A3．（2023ꞏ陕西西安ꞏ高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩， 若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【答案解析】当0x >时，0x -<，()3f x x -=当0x <时，0x ->，()e xf x --=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x -⎧->⎪∴=--==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x -=--=-，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =->，()3e 0x g x '=->，令()3e 0x g x '=->，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln 3)3ln 330g =->，而()226e 0g =-<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞-上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x = ()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【答案解析】当0a ≤时，对任意的0x ≥，()()22212f x x a x a =-+++在[)0,∞+上至多2个零点，不合乎题意，所以，0a >.函数()22212y x a x a =-+++的对称轴为直线12x a =+，()()22214247a a a ∆=+-+=-. 所以，函数()f x 在1,2a a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且()2f a a =-.①当470a ∆=-<时，即当704a <<时，则函数()f x 在[),a +∞上无零点， 所以，函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有5个零点，当0x a ≤<时，111222a x a -≤-+<，则()11222a x a πππ⎛⎫-≤-+< ⎪⎝⎭，由题意可得()5124a πππ-<-≤-，解得532a ≤<，此时a 不存在；②当Δ0=时，即当74a =时，函数()f x 在7,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上只有一个零点， 当70,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()2cos 2f x x π=-，则7022x ππ≤<，则函数()f x 在70,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有3个零点，此时，函数()f x 在[)0,∞+上的零点个数为4，不合乎题意；③当()20Δ470f a a a ⎧=-≥⎨=->⎩时，即当724a <≤时，函数()f x 在[),a +∞上有2个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有3个零点，则()3122a πππ-<-≤-，解得322a ≤<，此时724a <<； ④当()20Δ470f a a a ⎧=-<⎨=->⎩时，即当2a >时，函数()f x 在[),a +∞上有1个零点，则函数()12sin 22f x x a π⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[)0,a 上有4个零点，则()4123a πππ-<-≤-，解得522a ≤<，此时，522a <<.综上所述，实数a 的取值范围是75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义在R 上的函数()11,0,1,0,1x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨<⎪-⎩若函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){}1,10,4⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．(){}1,10,14⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()1,10,4⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭D ．(){}14,10,14⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B【答案解析】()()11,111,1x x x f x x x ⎧--≤⎪-=⎨->⎪⎩，故()()1,11111,1x x x f x x x ⎧-≤⎪-+=⎨-+>⎪⎩，则函数()()11g x f x ax =--+恰有2个零点等价于()11f x ax -+=有两个不同的解， 故()11,y f x y ax =-+=的图象有两个不同的交点，设()()()()1,01111,011,1x x x g x f x x x x x x ⎧⎪-≤≤⎪=-+=--<⎨⎪⎪-+>⎩又(),y g x y ax ==的图象如图所示，由图象可得两个函数的图象均过原点，若0a =，此时两个函数的图象有两个不同的交点， 当0a ≠时，考虑直线y ax =与()()201g x x x x =-≤≤的图象相切，则由2ax x x =-可得()2100a ∆=--=即1a =， 考虑直线y ax =与()11(1)g x x x=-+≥的图象相切，由11ax x =-+可得210ax x -+=，则140a ∆=-=即14a =.考虑直线y ax =与()2(0)g x x x x =-≤的图象相切，由2ax x x =-可得()2100a ∆=+-=即1a =-， 结合图象可得当114a <<或1a <-时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，114a <<或1a <-或0a =， 故选：B.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()1,0ln ,0x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪>⎩，则函数()()22g x f f x ⎡+⎤⎣⎦=+的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【答案解析】令()2t f x =+，当1x <-时，1()(,2)f x x x =+∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞，当10x -<<时，1()(,2)f x x x=+∈-∞-且递减，此时(,0)t ∈-∞，当210e <<x 时，()ln (,2)f x x =∈-∞-且递增，此时(,0)t ∈-∞， 当21e x >时，()ln (2,)f x x =∈-+∞且递增，此时(0,)t ∈+∞， 所以，()g x 的零点等价于()f t 与=2y -交点横坐标t 对应的x 值，如下图示：由图知：()f t 与=2y -有两个交点，横坐标11t =-、201t <<： 当11t =-，即()3f x =-时，在(),1x ∈-∞-、(1,0)-、21(0,)e上各有一个解；当201t <<，即2()1f x -<<-时，在21,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭有一个解.综上，()g x 的零点共有4个. 故选：B7．（2023ꞏ四川绵阳ꞏ四川省绵阳南山中学校考一模）已知0a >，函数()=f x 22,43,x x ax ax x a -+≤⎧⎨-+>⎩，若()f x 恰有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A．[)2,⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭B ．()[)0,12,+∞C．[)72,8⎫⋃+∞⎪⎪⎝⎭D．7,28⎫⎡⎤⋃⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭ 【答案】A【答案解析】①若2x =是一个零点，则需要2()43()f x x ax x a =-+> 只有一个零点， 即有2a ≥，且此时当x a >时，需要2430()x ax x a -+=>只 有一个实根， 而221612162120a ∆=-≥⨯-> ，解方程根得2x a =±，易得2a 2a <<<2a 即当2a ≥ 时， ()f x 恰有 2个零点，122,2x x a ==. ②若2x =不是函数的零点，则2x a =为函数的 2 个零点，于是22Δ161202a a a a ⎧<⎪=->⎨⎪<⎩ ，解得：1.2a << 综上:[)2,2a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：A.8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()2ln ,0,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．11e k -<< C ．e 0k -<< D ．10e k -<<【答案】D【答案解析】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10e x <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞； 当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10ek -<<，故选：D ．9．（2023ꞏ广东广州ꞏ高三广州市真光中学校考期末）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．12a -C ．21a --D ．12a --【答案】B【答案解析】由题设，画出[0,)+∞上()f x 的大致图象，又()f x 为奇函数，可得()f x 的图象如下：()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点.由图象知：()f x 与y a =有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为12344,,,,x x x x x ， 1、12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-；2、30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-；3、45,x x 关于3x =轴对称，则456x x +=；1234512∴++++=-a x x x x x 故选：B10．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222,12()=log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪⎨⎪->⎩，则函数()()3()22F x f f x f x =--⎡⎤⎣⎦的零点个数是 （ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【答案解析】令(),()0t f x F x ==，则3()202f t t --=， 作出()y f x =的图象和直线32+2y x =，由图象可得有两个交点，设横坐标为12,t t ，∴120,(1,2)t t =∈.当1()f x t =时，有2x =，即有一解；当2()f x t =时，有三个解， ∴综上，()0F x =共有4个解，即有4个零点. 故选：A 二、多选题11．（2023ꞏ河南郑州ꞏ高三郑州市第七中学校考期末）已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点B ．当0k <时，有2个零点C ．当0k >时，有4个零点D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD【答案解析】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．12．（2023ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳一高校考期中）已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有2个零点，则b 的值可以是（ ） A ．1B ．74C ．2D ．3【答案】BD【答案解析】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--≥-=⎨<⎩ ， ∵函数()()y f x g x =-恰好有两个零点，∴方程()()0f x g x -=有两个解，即()(2)0f x f x b +--=有两个解， 即函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ，作函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象如下， 当12x =-和52x =，即115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，当724b <≤时，有不止两个交点， 当2b >或74b =时，满足函数()(2)y f x f x =+-与y b =的图象有两个交点， 当74b <时，无交点， 综上，2b >或74b =时满足题意，故选：BD.13．（2023ꞏ江西ꞏ高三校联考阶段练习）已知函数()221,0,2,0,x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩则以下判断正确的是（ ）A ．若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是()0,1B ．函数()f x 在(),0∞-上单调递增C ．直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点D ．函数()f x 的图象与直线2y x =+有且只有一个公共点【答案解析】当0,x ≤()22211y x x x =--=++-，故()221,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩的图像如图所示，对AC ，函数()()g x f x m =-有3个零点，相当于()y f x =与y m =有3个交点，故m 的取值范围是()0,1，直线1y =与函数()y f x =的图象有两个公共点，AC 对； 对B ，函数()f x 在(),0∞-上先增后减，B 错；对D ，如图所示，联立222y x y x x =+⎧⎨=--⎩可得解得20x y =-⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，由图右侧一定有一个交点，故函数()f x 的图象与直线2y x =+不止一个公共点，D 错.14．（2023ꞏ广东佛山ꞏ高三佛山市三水区实验中学校考阶段练习）已知()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，令()()g x f x a =-，则下列结论正确的有（ ）A ．若()g x 有1个零点，则0a =B ．()0f x >恒成立C ．若()g x 有3个零点，则102a <<D ．若()g x 有4个零点，则112a ≤< 【答案】AD【答案解析】()121,02|log ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为()()g x f x a =-，所以()g x 的零点个数即为函数()y f x =与y a =的图象的交点的个数，对于A ：若()g x 有1个零点，则函数()y f x =与y a =的图象仅有一个公共点，由图象得0a =，故A 正确；对于B ：由图象得()0f x ≥恒成立，故B 错误；对于C ：若()g x 有3个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有三个公共点，由图象得1a =或者102a <<，故C 错误；对于D ：若()g x 有4个零点，则函数()y f x =与y a =的图象有四个公共点，由图象得112a ≤<，故D 正确. 故选：AD ．15．（2023ꞏ黑龙江绥化ꞏ高三校考阶段练习）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()(())1g x f f x =+，则下说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()g x 有4个零点B ．当0a >时，()g x 有5个零点C ．当a<0时，()g x 有1个零点D ．当a<0时，()g x 有2个零点【答案】AC【答案解析】当0a >时，令()f x t =，由()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-. 作出函数()f x 的图象，如图1所示，易得()f x t =有4个不同的实数解， 即当0a >时，()g x 有4个零点.故A 正确，B 错误； 当a<0时，令()f x t =，所以()10f t +=，解得13t =或3t =或2t a=-（舍） 作出函数()f x 的图象，如图2所示，易得()f x t =有1个实数解， 即当a<0时，()g x 有1个零点.故C 正确，D 错误. 故选：AC.16．（2023ꞏ广东深圳ꞏ高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）对于函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列结论中正确的是（ ）A ．任取12,[1,)x x ∈+∞，都有123()()2f x f x -≤B ．11511222222k f f f k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中N k ∈；C ．()2(2)()k f x f x k k N *=+∈对一切[0,)x ∈+∞恒成立；D ．函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；【答案】ACD【答案解析】作出函数sin ,02()1(2),22x x f x f x x π≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩的图象如图所示.所以max min ()1,()1f x f x ==-.对于A ：任取12,[1,)x x ∈+∞，都有()12max min 13()()()()122f x f x f x f x -≤-=--=.故A 正确； 对于B ：因为151111,,222222kf f f k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以111?121511*********k k f f f k +⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- .故B 错误； 对于C ：由1()(2)2f x f x =-，得到1(2)()2kf x k f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()2(2)k f x f x k =+.故C 正确；对于D ：函数()ln(1)y f x x =--的定义域为()1,+∞.作出()y f x =和ln(1)y x =-的图象如图所示：当2x =时,sin2ln10y π=-=;当12x <<时,函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点;当2x >时,因为2111s 49422in 41f f π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,971ln 1ln 1224⎪->⎛⎫ ⎝>=⎭，所以函数()y f x =与函数()ln 1y x =-的图象有一个交点,所以函数()ln(1)y f x x =--有3个零点.故D 正确.故选：ACD17．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）已知函数lg ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数()[2()]g x f f x a =+有7个零点，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0B ．14-C ．13-D ．15-【答案】BD【答案解析】在0x ≤上()f x 单调递增且值域为(,1]-∞； 在01x <≤上()f x 单调递减且值域为[0,)+∞； 在1x >上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞； 故()f x 的图象如下：由题设，()[2()]g x f f x a =+有7个零点，即[2()]f f x a =-有7个不同解，当0a -<时有2()1f x <-，即1()2f x <-，此时()g x 有1个零点；当0a -=时有2()1f x =±，即1()2f x =±，∴1()2f x =-有1个零点，1()2f x =有3个零点，此时()g x 共有4个零点；当0lg 2a <-≤时有12()lg 21f x -<≤-或12()12f x ≤<或12()2f x <≤， ∴1lg 21()022f x --<≤<有1个零点，11()42f x ≤<有3个零点，1(1)2f x <≤有3个零点，此时()g x 共有7个零点；当lg 21a <-≤时有lg 212()0f x -<≤或102()2f x <<或22()10f x <≤， ∴lg 21()02f x -<≤有1个零点，10()4f x <<有3个零点，1()5f x <≤有2个零点，此时()g x 共有6个零点；当1a ->时有102()10f x <<或2()10f x >， ∴10()20f x <<有3个零点，()5f x >有2个零点，此时()g x 共有5个零点； 综上，要使()g x 有7个零点时，则lg 20a -≤<，(lg 20.30103≈) 故选：BD18．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数f (x )＝4,22021()(3),2x m x x m x m x ⎧-<⎨--⎩…恰有两个零点，则正整数m 的取值可能为（ ）A ．1B ．2C ．15D ．16【答案】AD【答案解析】函数f (x )的零点即为方程f (x )＝0的解．当m ＝1时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣1＝0，解得：x ＝0； 当x ≥2时，2021（x ﹣1）（x ﹣3）＝0，解得：x ＝1或3，只取x ＝3． ∴函数有两个零点0或3．∴A 对；当m ＝2时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣2＝0，解得：x ＝12； 当x ≥2时，2021（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，解得：x ＝2或6． ∴函数有三个零点12或2或6．∴B 错；当m ＝15时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣15＝0，解得：x ＝log 415＜2； 当x ≥2时，2021（x ﹣15）（x ﹣45）＝0，解得：x ＝15或45． ∴函数有三个零点log 415或15或45．∴C 错；当m ＝16时，解方程f (x )＝0，当x ＜2时，4x ﹣16＝0，解得：x ＝2不成立； 当x ≥2时，2021（x ﹣16）（x ﹣48）＝0，解得：x ＝16或48． ∴函数有两个零点16或48．∴D 对； 故选：AD ．三、填空题19．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）知函数()3223,015,1x x m x f x mx x ⎧++≤≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_____________. 【答案】50m -<<【答案解析】由答案解析式知：在[0,1]上()f x 为增函数且()[,5]f x m m ∈+， 在(1,)+∞上，0m ≠时()f x 为单调函数，0m =时()5f x =无零点， 故要使()f x 有两个不同的零点，即1x =两侧各有一个零点，所以在(1,)+∞上()f x 必递减且()(,5)f x m ∈-∞+，则050m m <⎧⎨+>⎩，可得50m -<<.故答案为：50m -<<20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数24,()1,x x x af x e x a ⎧-≤=⎨->⎩，若函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】)⎡⎡⎣⎣【答案解析】令()t f x =，则()()g x f t =，由于函数()[()]g x f f x =在R 上有三个不同的零点，所以()()0g x f t ==必有两解，所以20a -≤<或2a ≥.当20a -≤<时，()f x 的图像如下图所示，由图可知，()y f t =必有两个零点122,0t t =-=，由于()2f x t =有两个解，所以()1f x t =有一个解，即242a -≤-，解得0a ≤<.当2a ≥时，()f x 的大致图像如下图所示，()y f t =必有两个零点342,2t t =-=，由于()3f x t =有两个解，所以()4f x t =有一个解，所以242a -<，解得2a ≤<综上所述，实数a 的取值范围是)⎡⎡⎣⎣ .故答案为：)⎡⎡⎣⎣21．（2023ꞏ上海黄浦ꞏ高三上海市向明中学校考开学考试）已知函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为____________．【答案】1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案解析】因为函数()f x 满足,1(1)ln(1),1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩，所以,0()ln ,0ax x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，-,0()ln(-),0ax x f x x x ≥⎧-=⎨<⎩， 因为函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点， 所以函数()y f x =与()y f x =-恰有5个交点，如图，因为y ax =-与y ax =交于原点，要恰有5个交点，,0y ax x =->与ln y x =必有2个交点， 设,0y ax x =->与ln y x =相切，切点为(,)m n ， 此时切线斜率为1100n y x m m -'===-，解得1,ln 1n m ==， 解得e m =，所以切点为(e,1)，所以e 1a -=，解得1a e =-，所以要使函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则1(,0)ea ∈-.故答案为：1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．（2023ꞏ黑龙江哈尔滨ꞏ高三黑龙江实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有()()44f x f x +=，(]0,4x ∈时()222x f x -=-；若函数()()()2g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为______． 【答案】[]32,28--【答案解析】设(]4,8x ∈，则(]40,4x -∈，则[]6()(4)44(4)422x f x f x f x -=-+=-=-，设(]8,12x ∈，则(]80,4x -∈，则[][]()(4)44(4)4(8)4f x f x f x f x =-+=-=-+1016(8)1622x f x -=-=-，则(](](]2610220,4()4224,816228,12x x x x f x x x ---⎧-∈⎪⎪=-∈⎨⎪-∈⎪⎩，，，，则(3)(7)(11)0f f f ===，函数()f x 图象如下：由2()()()0g x f x t f x =+⋅=，可得()0f x =，或()f x t =-， 由()0f x =，可得3x =，或7x =，或11x =，则()f x t =-仅有一根，又(8)f =810162228--=，(12)f =1210162232--=， 则2832t ≤-≤，解之得3228t -≤≤-， 故答案为：3228t -≤≤-.23．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()f x 2e 1,0,0x x ax x a x ⎧-≥=⎨++<⎩，恰有2个零点，则=a __________．【答案】12【答案解析】当0x ≥时，令()e 10xf x =-=，解得0x =，故()f x 在[)0+∞，上恰有1个零点，即方程20ax x a ++=有1个负根.当0a =时，解得0x =，显然不满足题意；当0a ≠时，因为方程20ax x a ++=有1个负根，所以2Δ140.a =-≥ 当2Δ140a =-=，即12a =±时，其中当12a =时，211022x x ++=，解得=1x -，符合题意；当12a =-时，211022x x -+-=，解得1x =，不符合题意； 当2140a ∆=->时，设方程20ax x a ++=有2个根1x ，2x ，因为1210x x =>，所以1x ，2x 同号， 即方程20ax x a ++=有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，12a =．故答案为：0.5.24．（2023ꞏ北京ꞏ高三专题练习）已知函数ln ,0()e 1,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，且函数()()g x f x m =-恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】12m <≤【答案解析】由()0g x =得()f x m =，即函数()g x 的零点是直线y m =与函数()y f x =图象交点横坐标， 当0x ≤时，()e 1x f x =+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x >时，()ln f x x =是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()y f x =的图象，如图，观察图象知，当12m <≤时，直线y m =与函数()y f x =图象有2个交点，即函数()g x 有2个零点， 所以实数m 的取值范围是：12m <≤. 故答案为：12m <≤25．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =-的零点为________．【答案】14322---，，， 【答案解析】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解．由方程②可得320t t -=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x ---=解得4x =-或2x =-；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x ---=，解得3x =-．综上，函数()h x 的零点为14322---，，，，共四个零点． 故答案为：14322---，，，. 26．（2023春ꞏ上海浦东新ꞏ高三上海市川沙中学校考期中）已知函数()y f x =的定义域是[0,)+∞，满足2201()4513,?2834x x f x x x x x x ≤<⎧⎪=-+≤<⎨⎪-+≤<⎩且(4)()f x f x a +=+，若存在实数k ，使函数()()g x f x k =+在区间[0,2021]上恰好有2021个零点，则实数a 的取值范围为____ 【答案】11(,)505504-【答案解析】由函数在[0,4)x ∈上的答案解析式作出如图所示图像，由(4)()f x f x a +=+知，函数()f x 是以4为周期，且每个周期上下平移|a |个单位的一个函数，若使[0,2021]x ∈时，存在R k ∈，方程()()g x f x k =+在[0,2021]x ∈上恰有2021个零点，等价于()f x k =-在[0,2021]x ∈上恰有2021个交点，如图所示，知在每个周期都有4个交点，即(1,2)k -∈时满足条件，且必须每个周期内均应使k -处在极大值和极小值之间，才能保证恰有2021个交点， 则当0a ≥时，需使最后一个完整周期[2016,2020)中的极小值(2018)2f <， 即(2018)(2)50415042f f a a =+=+<，解得1504a <，即1[0,504a ∈ 当a<0时，需使最后一个极大值(2021)1f >， 即(2021)(1)50525051f f a a =+=+>，解得1505a >-，即1(,0)505a ∈-， 综上所述，11(,505504a ∈-故答案为：11,505504⎛⎫- ⎪⎝⎭27．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）若函数()()()2210,10k x f x x x kx x ⎧-<⎪=⎨⎪-->⎩恰有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】10,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案解析】当0x <时，令()0f x =可得：21k x =， 当0x >时，令()0f x =可得：21x k x-=，令()()()221010x x g x x x x ⎧<⎪⎪=⎨-⎪>⎪⎩， 若01x <<，()21x g x x -+=， ()320x g x x -'=<，()g x 为减函数， 若1x ≥，()21x g x x -=， ()320x g x x -+'==，2x =， 若[)1,2x ∈，()0g x '<，()g x 为减函数， 若()2,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 为增函数，()124g = 画出()g x 的图像，如下图：如要()f x 有4个零点，则104k <<， 故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 28．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若348,122()1,222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩则()()6g x xf x =-在*1,2,n n N ⎡⎤∈⎣⎦内的所有零点之和为：__________． 【答案】3(21)2n - 【答案解析】当312x ≤≤时，f （x ）＝8x ﹣8， 所以()218()82g x x =--，此时当32x =时，g （x ）max ＝0； 当322x ≤＜时，f （x ）＝16﹣8x ，所以g （x ）＝﹣8（x ﹣1）2+2＜0； 由此可得1≤x ≤2时，g （x ）max ＝0．下面考虑2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）的最大值的情况． 当2n ﹣1≤x ≤3•2n ﹣2时，由函数f （x ）的定义知()11112222n n x x f x f f --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为13122n x-≤≤， 所以()22251(2)82n n g x x --=--， 此时当x ＝3•2n ﹣2时，g （x ）max ＝0；当3•2n ﹣2≤x ≤2n 时，同理可知，()12251(2)802n n g x x --=--+＜．由此可得2n ﹣1≤x ≤2n 且n ≥2时，g （x ）max ＝0． 综上可得：对于一切的n ∈N *，函数g （x ）在区间[2n ﹣1，2n ]上有1个零点， 从而g （x ）在区间[1，2n ]上有n 个零点，且这些零点为232n n x -=⋅，因此，所有这些零点的和为()3212n -． 故答案为()3212n -． 29．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数1,0()42,0x x x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________【答案】23a <≤.【答案解析】函数()f x 当0x >时是对勾函数，因为112x x x x -+=+≥=，当且仅当10x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩即1x =时，取最小值．所以函数最小值为2，且在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上为增函数．当0x ≤时，2x y -= 是减函数，且21x -≥，所以2x y -=-为增函数，且21x --≤-，所以函数()42x f x -=-为增函数，且()3f x ≤，函数图像如图所示．令32t x =-，函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点，可以看成函数()y f t a =-恰有三个不同的零点，函数()f t 的图像与直线y a =有三个交点．由图像可知23a <≤．30．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数32,0()461,0x e x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2()3[()]2()g x f x f x m =--有5个零点时m 的范围_____________.【答案】01m ≤<【答案解析】当0x ≥时,2'()121212(1)f x x x x x =-=-，在区间()0,1上，()()'0,f x f x <单调递减，在区间()1,+∞上，()()'0,f x f x >单调递增，故函数在1x =处取得极小值()11f =-，据此绘制函数()f x 的图像如图所示，结合函数图像和题意可知原问题等价于函数232y x x =-与函数y m =有两个交点，且交点的横坐标的范围分别位于区间(]1,0-和区间()0,1内，观察二次函数的图像可得m 的范围是01m ≤<.。
高三复习函数的零点部分高考试题汇编.doc
函数的零点部分高考试题汇编1、函数f x4x4,x 1g x log 2 x 的图象的交点个数是（x 2 4 x3, x的图象和函数）1A.4B.3C.2D.12、函数f ( x )log 2 x 2 x 1 的零点必落在区间（）A. 1 , 1B. 1 , 1C. 1,1 D.(1,2)844223、数f x的零点与 g x4x2x 2 的零点之差的绝对值不超出0.25，则f x能够是（）A.f x4x1 B. f x( x1)2 C. f x e x 1D. f ( x )ln( x 1 )24．（ 10 上海理）若x0是方程(1)x1x3的解，则 x0属于区间（）2A．2,1.B．1,2.C．1,1D．0,1 3233235．（ 10 上海文）若x0是方程式lg x x 2 的解，则 x0属于区间（）A．（ 0， 1） .B．（ 1， 1.25） .C．（ 1.25， 1.75）D．（ 1.75， 2）6．（ 10 天津理）函数f x 2 x3x 的零点所在的一个区间是（）A ．2,1B．1,0C．0,1D．1,27．（ 10 天津文）函数f x e x x 2 的零点所在的一个区间是（）A ．2,1B．1,0C．0,1D．1,28．（ 10 浙江理）设函数f ( x) 4 sin( 2x 1)x,则在以下区间中函数 f ( x) 不存在零点的是（）A．4,2B．2,0C．0,2D．2,49．（ 10 浙江文）已知x0是函数f x 2 x1的一个零点，若 x11, x0，x2x0 ,，1x则（）A ．f x10 ， f x20B．f x10 ， f x20C．f x10 ， f x20D．f x10 ， f x204 x，x ≤ ，f (x)10．（ 07 湖南文理）函数x 24x ，x 的图象和函数 g( x) log 2 x 的图象的3 1交点个数是（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 111．（ 09 福建文）若函数 f x 的零点与 g x 4x 2x 2 的零点之差的绝对值不超出0.25，则 fx 能够是（）A . f x4x 1 B. f x(x 1)2C. f xe x1 D. f xln x1212．（ 09 重庆理）已知以 T4 为周期的函数 f ( x)m 1 x 2, x( 1,1]，此中 m 0 。
2024年新高考版数学专题1_3.5 函数与方程及函数的综合应用(分层集训)
B.3
答案 B
C.4
D.5
)
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点
时,第一次计算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1等于 (
A.1
B.-1
答案 C
C.0.25
D.0.75
)
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则
实数a的取值范围是 (
A.(-e2,0)
C.(1,e)
答案 A
B.(-e2,1)
D.(1,e2)
)
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,
A型
0.4
3
B型
0.3
4
C型
0.5
3
D型
0.4
4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 (
A.A型
答案 D
B.B型
C.C型
D.D型
)
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行
病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=
1 e
K
0.23( t 53)
,其中K为最大确诊病例数.
当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) (
专题10函数零点(原卷版)
《函数零点》专项突破 高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理 题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。
零点部分高考试题汇编
高考试题汇编：函数的零点1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D .(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,17．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,18．（10浙江文）已知0x 是函数()x x f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x f B ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f9．（08湖北文）方程223x x -+=的实数解的个数为 ．10．（08四川文）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．。
2023届新高考数学复习：专项(唯一零点求值问题)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（唯一零点求值问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2D ．2-2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-26．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．17．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．188．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．210．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或111．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．112．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．213．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．314．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．1215．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－116．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．417．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232xf x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______. 21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】D【答案解析】设()(2)e e x xg x f x x a -=-=+++，定义域为R,∴()e e e e ()x x x xg x x a x a g x ---=-+++=+++=，故函数()g x 为偶函数，则函数(2)f x -的图象关于y 轴对称， 故函数()f x 的图象关于直线2x =-对称， ∵()f x 有唯一零点， ∴(2)0f -=，即2a =-． 故选：D ．2．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x --=+-+有唯一零点，则=a （ ）A ．πeB ．4πeC D ．1【答案】C【答案解析】令()()ππ44sin cos 0x x f x e ea x x --=+-+=，则π44ππs in 4x x eex --⎛++=⎫ ⎪⎝⎭，记π4x t -=，则πsin cos 2t t e e t t -⎛⎫++= ⎪⎝⎭=，令(),t t e t g e -=+则()(),()t t g t t e e t g g -=-∴=-+，所以()g t 是偶函数，图象关于y 轴对称，因为()f x 只有唯一的零点，所以零点只能是0,t =2,a =∴=故选：C3．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为 A ．1-或12 B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin xg x h e x x x ++=-，①且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin xx g x e x x h -+---=++，得：()()sin xe x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=，由于2020x -关于2020x =对称， 则20203x -关于2020x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2020g x -关于2020x =对称， 由于()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则必有()20200f =，()01g =，即：()()0223021202020f g λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12. 故选：A.4．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1-【答案】A【答案解析】函数()()222212e222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点， 设2x t -=，则函数()212e 222t tt y a a -=-+-有唯一零点，则()212e 222t tt a a --+=设()()()()()112e 222e 2222t t t tt t g t a g t a g t ---=-+-=-+= ，，∴()g t 为偶函数，∵函数()f t 有唯一零点， ∴()y g t =与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ，∴-= 解得2a =- 或1a =（舍去），故选A ．5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()11123e 22x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a （ ）A ．13-B ．12-C ．-3D ．-2【答案】C【答案解析】注意到直线1x =是13e x y -=和1122x x y --=+的对称轴，故1x =是函数()f x 的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在1x =处取得，所以 ()21320f a a =--=，又0a <,解得3a =-.选C.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三阶段练习）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【答案解析】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 7．（2023春ꞏ云南曲靖ꞏ高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（ ） A ．12-B ．13C ．12 D ．18【答案】D【答案解析】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+， 因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++， 故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点， 结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+. 故选：D8．（2023春ꞏ山西ꞏ高三统考）已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（ ）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -【答案】C【答案解析】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ， ()f x \为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x \的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x \的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+， 又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， 12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()e +=+x g x h x x ，若函数()()12e 12λλ-=+--x f x g x 有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【答案解析】由题设，()()()()()()e e xxg x h x x g x h x x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩，可得：()e e 2x xg x -+=，由()()12e12λλ-=+--x f x g x ，易知：()f x 关于1x =对称.当1x ≥时，1112()e (e e )22x x x f x λλ---=++-，则111()e (e e )02x x x f x λ---'=+->，所以()f x 单调递增，故1x <时()f x 单调递减，且当x 趋向于正负无穷大时()f x 都趋向于正无穷大， 所以()f x 仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即()10f =，解得1λ=. 故选：C10．（2023春ꞏ辽宁ꞏ高三校联考期末）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，若函数()()2022220226x f x h x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ）A ．1-或12 B ．1或12-C ．12-或13D ．2-或1【答案】C【答案解析】由题意，函数()g x ，()h x 分别是奇函数和偶函数，且()()3x g x h x e x x +=+-，可得()()()()()()33x x g x h x e x x g x h x g x h x e x x -⎧+=+-⎪⎨-+-=-+=-+⎪⎩，解得()2x xe e h x -+=， 则()()2x xe e h x h x -+-==，所以()h x 为偶函数，又由函数()()2022220226x f x h x λλ-=---关于直线2022x =对称，且函数()f x 有唯一零点，可得()20220f =，即00022602e e λλ+⨯-=-， 即2160λλ--=，解得13λ=或12λ=-.故选：C.11．（2023春ꞏ福建泉州ꞏ高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点，则=a （ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【答案解析】因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭， 令1x t -=，则()()()()sin 1cos 22t t t tg t t a e e t a e e ππ--⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，因为函数()()11sin 2x x f x x a e e π--+⎛⎫=++⎪⎝⎭有唯一零点， 所以()()cos 2t tg t t a e e π-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有唯一零点，根据偶函数的对称性，则()0120g a =+=， 解得12a =-，故选：B12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则=a （ ）A ．0B ．12-C ．1D ．2【答案】C【答案解析】函数()f x 的定义域为()1,a -，则1a >-，()1121f x x x x a'=--+-， 则()()()2211201f x x x a ''=++>+-，所以，函数()f x '在()1,a -上为增函数，当1x +→-时，()f x '→-∞，当x a -→时，()f x '→+∞， 则存在()01,x a ∈-，使得()000011201f x x x x a '=--=+-，则0001121x a x x =--+， 当01x x -<<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减， 当0x x a <<时，()0f x ¢>，此时函数()f x 单调递增，()()()()20000min ln 1ln f x f x x x a x ∴==-+--，由于函数()()()2ln 1ln f x x x a x =-+--有唯一零点，则()()()()20000min ln 1ln 0f x f x x x a x ==-+--=，由0000112011x a x x x ⎧=->⎪-+⎨⎪>-⎩，解得01x -<<所以，()()()2220000000200002111ln 1ln ln 1ln 2ln 0111x x x x x x x a x x x x ⎡⎤⎛⎫-++=-++-=+-=⎢⎥ ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()()2212ln 11x x x x x ϕ⎡⎤=+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，其中112x --<<， ()()()()()()()()()2432322212222482422122221122111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎡⎤++++++'=+⋅-=+=⎢⎥--+-++-++⎢⎥⎣⎦()()()()222241222211x x x xx x ++-=+-+，112x -<<，则22210x x +-<，10x +>，220x ->，则()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在11,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，且()00ϕ=，00x ∴=， 从而可得11a=，解得1a =. 故选：C.13．（2023春ꞏ重庆九龙坡ꞏ高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()x g x h x e x +=+，若函数()()12216x f x g x λλ-=+--有唯一零点，则正实数λ的值为（ ）A ．12 B ．13C ．2D ．3【答案】A【答案解析】由已知条件可知()()()()()()xxg x h x e xg x h x e x g x h x -⎧+=+⎪⎨-+-=-=-⎪⎩由函数奇偶性易知()2x x e e g x -+=令()()226xx g x ψλλ=+-，()x ψ为偶函数.当0x ≥时，()'2202x xxe e x ln ψλ--=+>，()x ψ单调递增，当0x <时，()x ψ单调递减，()x ψ仅有一个极小值点()0,f x ()x ψ图象右移一个单位，所以仅在1处有极小值，则函数只有1一个零点，即()10f =， 解得12λ=，故选：A14．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则=a （ ） A ．1B ．13-C ．13D ．12 【答案】D【答案解析】因为21(1)()(1)(e e )cos(1)2x x f x x a x ---=-+++--，令1x t -= 则2()(e e )cos 2t t g t t a t -=+++-，因为函数()2112(1(s ))co 1x x x x a e e f x x --+=-+++--有唯一零点， 所以()g t 也有唯一零点，且()g t 为偶函数，图象关于y 轴对称，由偶函数对称性得(0)0g =，所以2120a +-=，解得12a =， 故选：D.15．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数33()|3|x x f x x e e m --=-+++有唯一零点，则实数m 的值为（ ） A ．0B ．－2C ．2D ．－1【答案】B【答案解析】设()(3)||x x g x f x x e e m -=+=+++，∴()||||()x x x x g x x e e m x e e m g x ---=-+++=+++=故函数()g x 为偶函数，则函数(3)f x +的图像关于y 轴对称，故函数()f x 的图像关于直线3x =对称， ∵()f x 有唯一零点∴(3)0f =，即2m =-，经检验，33()|3|2x x f x x e e --=-++-仅有1个零点3x =.故选：B.16．（2023春ꞏ广西ꞏ高三校联考阶段练习）已知关于x 的函数()22214f x bx bx x b b =-+-++-有唯一零点x a =，则a b +=（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．4【答案】B 【答案解析】22()(1)14f x b x x b =-+-+-，令1t x =-， 则有22()4g t bt t b =++-是偶函数，若只有唯一零点，则必过原点，即(0)0g =，从而2b =±.当2b =-时，有3个零点，舍去.故2b =，此时10t a =-=，则1a =，故3a b +=.故选：B17．（2023春ꞏ广东广州ꞏ高三广州六中校考）已知函数()(),g x h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin x g x h e x x x ++=-，若函数()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为（ ） A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【答案】A【答案解析】已知()()sin x g x h e x x x ++=-，① 且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则()()()sin x x g x e x x h -+---=++，得：()()sin x e x x g x h x --=-+，②①+②得：()2x xe e g x -+=， 由于2021x -关于2021x =对称， 则20213x -关于2021x =对称，()g x 为偶函数，关于y 轴对称，则()2021g x -关于2021x =对称，由于()()20212320212x f x g x λλ-=---有唯一零点，则必有()20210f =，()01g =，即：()()0223022021120g f λλλλ=--=--=，解得：1λ=-或12.故选：A.二、填空题18．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数()()232x f x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m 的值为_________.【答案】1±【答案解析】()2,32()x x R f x m x m f x -∈-=--+-=()f x ∴是偶函数 根据偶函数的性质，可得(0)0f =，02320m +-=，解得1m =±当1m =时，此时()31xf x x =--，有唯一零点； 当1m =-时，此时()31xf x x =+-，也有唯一零点； 故1m =±时有唯一零点.故答案为：1±19．（2023ꞏ上海ꞏ高三专题练习）若函数||2()2||2()x f x a x a x R =-+-∈有唯一零点，则实数a 的值为__________.【答案】1-【答案解析】因为x R ∈，又||2()2||2()x f x a x a f x --=--+-=，所以函数为偶函数.因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得(0)0f =，所以02220a +-=，解得1a =±.当1a =，此时||()2||1x f x x =--，知1(2)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，()f x 有零点(1x =)，不符合题意： 当1a =-，此时||()2||1x f x x =+-在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，根据偶函数对称性，符合题意；所以1a =-.故答案为：1-20．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln 224--【答案解析】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当>4x 时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<，所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--，要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--.故答案为：16ln 224--．21．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a ________ 【答案】12【答案解析】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -⨯++= 解得12a =， 故答案为：12.三、双空题22．（2023ꞏ浙江ꞏ高三专题练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足()()2x f x g x x +=-，则(0)f 的值为________：若函数2022()2(2021)2x h x f x λλ-|=---∣有唯一零点，则实数λ的值为________.【答案】 1 1-或12【答案解析】因为()g x 是定义在R 上的奇函数，所以有(0)0g =，因为()()2x f x g x x +=-，所以(0)(0)1f g +=，所以(0)1f =，令||2()2()2x F x f x λλ=--，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以||2||2()2()22()2()x x F x f x f x f x λλλλ--=---=--=，所以()F x 是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以|2021|2()2(2021)2(2021)x h x f x F x λλ-=---=-，所以()h x 的图象关于2021x =对称，因为()h x 有唯一零点，所以(2021)0h =，即21(0)20f λλ--=，即2120λλ--=，解得1λ=-或12．故答案为：1，1-或12． 23．（2023春ꞏ江苏苏州ꞏ高三校考期末）已知函数g (x )，h (x )分别是定义在R 的偶函数和奇函数，且满足()()sin ,x g x h x e x x +=+-则函数g (x )的答案解析式为_________；若函数|2021|2()3(2021)2x f x g x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为_________.【答案】 ()12x x e e -+ 12或1-【答案解析】∵()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，∴()()g x g x -=，()()h x h x -=-又∵()()sin x g x h x e x x +=+-①，∴()()()()e sin x g x h x g x h x x x --+-=-=-+②①+②：2()e e x x g x -=+，∴()1()e e 2x x g x -=+, 又∵()()2021202112(2022021)21()3202123e 22x x x x f x g x e λλλλ----⎡⎤=---=-⋅+-⎣⎦， 又∵()f x 有唯一零点，等价于()213202x x x e e λλ--⋅+-=有唯一解， 设()21()322x x x t x e e λλ-=-+-， ∵()t x 为偶函数，∴当且仅当0x =时为唯一零点，∴2120λλ--=，解得12λ=或1λ=-. 故答案为：()12x x e e -+；12或1-。
2023届高考数学压轴题(分段函数零点问题)专题练习(附答案)
2023届高考数学压轴题（分段函数零点问题）专题练习1．已知函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…恰有3个零点，则实数a 的取值范围为( )A．11(,)3e --B．211(,e e--C．221[,)3e--D．21[,)33--【名师解析】解：函数3,21(),20x x a x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…， 可得2x -…时，31xa x =-+，函数1x y x =+的图象如图： 方程至多一个解，此时满足132a <-…，可得2[3a ∈-，13-．当(2,0)x ∈-时，x ae x=，即x a xe =， x y xe =，可得(1)x y e x '=+，令(1)0x e x +=，可得1x =-，(2,1)x ∈--时，0y '<，函数是减函数，(1,0)x ∈-时，函数是增函数，函数的最小值为：1e -，2x =-时，22y e =-，方程有两个解，可得212(,a e e∈--，综上，函数3,21(),20x xa x x f x a e x x ⎧---⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩…恰有3个零点，满足11(,)3a e ∈--，故选：A ．2．已知函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩…，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A．1(0,2B．1(2，32C．1(2，5)2D．3(2，5)2【名师解析】解：由题意可得函数21(),12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩… 的图象 和直线y a =有3个交点，如图所示： 故应有1322a <<， 故选：B ．3．已知函数21(,12()54,12xx f x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩…，若函数3()2g x x a =-，其中a R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．15(0,16B．15(16，1)C．16(1,)15 D．5(1,)4【名师解析】解：由()()0y f x g x =-=得()()f x g x =，作出两个函数()f x 和()g x 的图象， 则1(1,2A ，当()g x 经过点A 时，()f x 与()g x 有2个交点，此时g （1）3122a =-=，此时1a =， 当()g x 与()f x 在1x >相切时，此时()f x 与()g x 有2个交点 由253422x x x a -+-=-，即255022x x a -+-=， 由判别式△0=得255()4()022a --=，得1516a =， 要使()f x 与()g x 有3个交点，则()g x 位于这两条线之间， 则a 满足15(16a ∈，1)，故选：B ．4．已知函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，方程()0f x ax -=恰有3个不同实根，则实数a 的取值范围是( )A．21(,)2ln eB．1(0,2C．1(0,eD．11(,)2e【名师解析】解：作函数11,2()2,2x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…与y ax =的图象如下，，直线l 是y lnx =的切线，设切点为(,)x lnx ， 故1()lnx lnx x x='=， 故x e =， 故1l k e=； 直线m 过点(2,2)ln ， 故22m ln k =； 结合图象可知， 实数a 的取值范围是2(2ln ，1)e， 故选：A ．5．已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩…，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．21(0,)e B．21(1,)e - C．2(e -，1)- D．(,1)-∞-【名师解析】解：3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-=⎨-+<⎩…， ∴函数()()g x f x a =-有3个零点⇔方程()f x a =有3个根()y f x ⇔=与y a =有三个交点，由23(1),0()(2),0xx x f x x e x ⎧-'=⎨-+<⎩…得： 当2x =-时，函数()f x 取得极大值21e； lim ()x f x →+∞=+∞，lim ()0x f x →-∞=在同一坐标系中作出两函数的图象如下：由图可知，当210a e <<时，()y f x =与y a =有三个交点， 即函数()()g x f x a =-有3个零点． 故选：A ．6．已知函数22(0)()2(0)x m x f x x mx x ⎧->=⎨--⎩…，若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( )A．1(,2-∞B．(,1)-∞C．1(2，1)D．(1,)+∞【名师解析】解：二次函数22y x mx =--最多只能有两个零点，要使函数()()g x f x m =-恰有3个零点，所以2x y m =-在区间(0,)+∞必须有一个零点，所以1m >，当1m >时，二次函数22y x mx =--与横轴的负半轴交点有两个(0,0)和(2,0)m -，故原函数有3个零点，综上，实数m 的取值范围是：(1,)+∞ 故选：D ．7．已知函数(1),01()1,40xln x x e f x e x +<-⎧=⎨--⎩…剟，若函数1()|()|||g x f x x a e =--恰有3个零点，则a 的取值范围是( )A．[1-，2)e - B．[1-，0)(0⋃，2)e -C．3[4e e --，0)D．[1-，0)(0⋃，34)e e +-【名师解析】解：令()0g x =可得1|()|||f x x a e =-，∴函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象有三个交点． 作出函数(1),01|()|1,40xln x x e y f x e x +<-⎧==⎨--⎩…剟的图象如图所示：设直线1()y x a e=-与曲线|()|f x 在(0，1]e -上的图象相切，切点0(x ，0)y ，则00000111(1)1()x e y ln x y x a e ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得01x e =-，1a =-， 设直线1()y x a e=--与曲线|()|f x 在(4,0)-上相切，切点为1(x ，1)y ，则000111()x x e e e y x a y e⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪⎪--=⎩，解得01x =-，2a e =-． ∴当1a <-或2a e -…时，函数|()|y f x =与1||y x a e=-的图象最多只有2个交点，不符合题意； 排除C ，D ；当0a =时，函数|()|y f x =与1||y x a e =-的图象只有2个交点，不符合题意；排除A ；故选：B ．8．已知函数22,0()0x x x x f x x e⎧-=>⎩…，若关于x 的方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围为( )A．(1,1)2e + B．1(1,1)e+C．1(0,1)2e + D．1(,1)e【名师解析】解：当0x >时，()f x =()f x '=，令()0f x '=，得12x =，1(0,)2x ∈时，()0f x '>，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '< ()f x ∴在1(0,2递增，在1(2，)+∞递减，所以函数()f x 的图形如下：根据图象可得：方程()10f x a -+=恰有3个不同的实数根时，101(2a f <-<1()22f e =，实数a的取值范围为(1,12e +． 故选：A ．9．已知函数[],0()([]1,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩…表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( ) A．12(,]23B．12[,)23C．23[,34D．23(,34【名师解析】解：当01x <…时，[]0x =， 当12x <…时，[]1x =， 当23x <…时，[]2x =， 当34x <…时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()f x ax =有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当1a =时，()g x x =与()f x 有无数多个交点， 当直线()g x 经过点(2,1)A 时，即g （2）21a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点(3,2)B 时，即g （3）32a ==，23a =时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间， 即1223a <…， 故选：A ．10．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……，若函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为( )A．31[,]4e - B．31(,][,)4e -∞-+∞C．211[,]4e - D．21(,][,)4e -∞-+∞【名师解析】解：函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，即方程()2f x ax a =-存在实数根，即函数()y f x =与(2)y a x =-的图象有交点， 如图所示：直线(2)y a x =-恒过定点(2,0)， 过点(2,1)-和点(2,0)的直线的斜率101224k -==---，设直线(2)y a x =-与x y e =相切于点0(x ，0)x e ， 则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为：000()x x y e e x x -=-， 又切线过点(2,0)，则000(2)x x e e x -=-，03x ∴=， 此时切线的斜率为：3e ，由图可知，要使函数()()2g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为：14a -…或3a e …，故选：B ．11．已知函数11,1()3,1x x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩…，若方程()0f x ax -=恰有两个不同的根，则实数a 的取值范围是( )A．1(0,3B．1[3，1eC．1(e ，4]3D．(-∞，40][3，)+∞【名师解析】解： 方程()0f x ax -=恰有两个不同实数根，()y f x ∴=与y ax =有2个交点， 又a 表示直线y ax =的斜率， 1x ∴>时，1y x'=， 设切点为0(x ，0)y ，01k x =， ∴切线方程为0001()y y x x x -=-， 而切线过原点，01y ∴=，0x e =，1k e=， ∴直线1l 的斜率为1e，又 直线2l 与113y x =+平行， ∴直线2l 的斜率为13，∴实数a 的取值范围是1[3，1)e故选：B ．12．已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<=⎨->⎩…有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A．3(4，1)B．1(4，1)C．(0,1) D．(,1)-∞【名师解析】解：()f x 由3个零点，()f x ∴在(2-，0]上有2个零点，在(0,)+∞上有1个零点．∴441012044040a aa a a -+>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨-⎪<⎪⎪>⎩，解得314a <<． 故选：A ．13．已知函数,0,(),0,x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩…若1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为( ) A．11(,1)33ee -+B．(1,13e+C．111(,33e -D．1(,1)3【名师解析】解： 1()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e ，∴(1)(0)0(1)()0F F F F e -<⎧⎨<⎩ ， ∴11()0311()(1)033a a e a e a ⎧---<⎪⎪⎨⎪-+-<⎪⎩ ∴111311133a e a e ⎧-<<⎪⎪⎨⎪<<+⎪⎩ ∴113a << 故选：D ．14．已知函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……，若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为() A．21[,]3e -B．21(,][,)3e -∞-+∞C．11[,3e-D．1(,[,)3e -∞-+∞【名师解析】解：根据题意，函数()()g x f x ax a =-+存在零点，即方程()0f x ax a -+=存在实数根， 也就是函数()y f x =与(1)y a x =-的图象有交点． 函数221,20(),0x x x x f x e x ⎧--+-<=⎨⎩……的图象如图，而直线(1)y a x =-恒过定点(1,0)， 过点(2,1)-与(1,0)的直线的斜率101213k -==---， 设直线(1)y a x =-与x y e =相切于(,)m m e ，则切点处的导数值为m e ，则过切点的直线方程为()m m y e e x m -=-， 由切线过(1,0)，则(1)m m e e m -=-， 即2m me em =，解可得2m =， 此时切线的斜率为2e ，由图可知，要使函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为21(,[3e -∞- ，)+∞故选：B ．15．已知函数11,0()3||,0x f x lnx x ⎧+⎪=⎨⎪>⎩… 若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为 1[3，1)e ．【名师解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，若函数()0f x ax -=恰有3个零点， 则()f x ax =恰有3个交点， 当13a =时，13y x =和()y f x =有3个交点，（如红色直线）， 直线y ax =和()f x 相切时，（如绿色直线），设切点是(,)m lnm ，由1()lnx x'=， 故1a m =，故1lnm =，解得：1m =， 故1a e=， 故直线1y x e =和()f x 相切时，2个交点，综上，1[3a ∈，1)e ，故答案为：1[3，1e．16．设函数1(1,0()2(2),0xx f x f x x ⎧-⎪=⎨⎪->⎩…，()log (1)(1)a g x x a =->． ①(2019)f 的值为 1 ；②若函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．【名师解析】解：①11(2019)(2017)(1)()112f f f -==⋯⋯=-=-=；②当02x <…时，220x -<-…，所以21()(2)(12x f x f x -=-=-；当24x <…时，022x <-…，所以41()(2)()12x f x f x -=-=-；当46x <…时，224x <-…，所以61()(2)(12x f x f x -=-=-；当68x <…是，46x <…，所以81()(2)(12x f x f x -=-=-；画出()f x 和()g x 两个函数图象如下图所示，由log (41)3a -=，得a =log (61)3a -=，得a =， 由图可知，当两个函数的图象有3个交点时，也即函数()()()h x f x g x =-恰有3个零点时，实数a 的取值范围是．故答案为：1，．17．已知函数121,0()1||,0x x f x lg x x+⎧-⎪=⎨>⎪⎩…，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围为 {|01}a a <… ．【名师解析】解：作出()f x 的函数图象如图所示：()()g x f x a =-有3个零点等价于函数()f x 与y a =图象有3个交点， 由图象可知当10a -<<时，()f x 与y a =图象只有1交点， 当01a <…时，()f x 与y a =图象有3个交点； 当1a >或0a =时，()f x 与y a =有2个零点； 综上，(0a ∈，1]， 故答案为：{|01}a a <…．18．已知函数22|2|,0()1,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++⎪=⎨-+>⎪⎩…，若存在实数k ，使得函数()y f x =-k 有6个零点，则实数a 的取值范围为 3(,3)2．【名师解析】解：由题得函数()y f x =的图象和直线y =k 有六个交点，显然有0a >，20a a -<， 当0x >时，2(1)()(0)x e x f x x x -'=>， ∴函数()f x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，且21(1)03f a =>，由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a a B a C a --，A ，B ，C 三点的高度应满足A B c h h h >…或B A C h h h >…，所以21|1|3a a a a ->…或21|1|3a a a a ->…，0a > ，20a a -<，23a ∴<…或322a <…，综合得332a <<． 故答案为：3(,3)2．19．已知函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…，若函数()y f x a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是 0a =或23a 剟． 【名师解析】解：函数2|43|,0()2|1|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…的图象如下图，()y f x a =-的零点即为函数()y f x =图象与函数y a =的交点个数，结合图象可知，函数()y f x a =-恰有3个零点，则0a =或23a 剟． 故答案为：0a =或23a 剟．20．已知函数()f x 满足：当1[3x ∈，1]时，1()2(f x f x =；当[1x ∈，3]时，()f x lnx =．若在区间1[3，3]内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 3[3ln ，1)e． 【名师解析】解：设1[3x ∈，1]，则1[1x∈，3]又因为：函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1x ∈，3]时，()f x lnx =，所以11()2(2f x f ln x x ==，1[3x ∈，1]所以112,[,1]()3,(1,3]ln x f x x lnx x ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩，()()(0)g x f x ax a =->恰有三个零点，即在1[3，3]内()f x 的图象与y ax =有三个交点，如图所示：当直线y ax =介于直线1l （过原点和(3,3)ln 的直线）和直线2l （当[1x ∈，3]时y lnx =的过原点的切线） 易知133l ln k =， 设y lnx =过原点的切线切点为(,)a lna ，则1y x '=，所以切线斜率为1a，所以切线为1()y lna x a a -=-，又因为过原点，所以1lna =，所以[1a e =∈，3]故21l k e =，故实数a 的范围是31[,3ln e故答案为：31[,3ln e。
高三复习函数的零点部分高考试题汇编
函数的零点部分高考试题汇编1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x f x e =- D.)21ln()(-=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．（10天津文）函数()2-+=x e x f x的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A.()41f x x =-B.()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
专题14 函数的零点——2021年高考数学专项复习训练含真题及解析
秒杀高考数学题型之函数的零点函数零点存在定理：若函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(),a b 内存在零点，即存在(),,c a b ∈使得()0f c =。
深层理解：1.若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(<⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上有且只有一个零点。
2.若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 在(),a b 上不一定有零点。
若()f x 在(),a b 上内单调，且0)()(>⋅b f a f ，则()f x 在(),a b 上一定没有零点。
【秒杀题型一】：函数零点所在区间确定（一般情况下只考查选择题）。
『秒杀策略』：一般情况下只需验证四个选项中给出区间两个端点函数值是否异号。
1.(高考题)函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,22.(高考题)函数()f x =2x e x +-的零点所在的一个区间是 ( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,2【秒杀题型二】：函数零点个数确定。
【题型1】：单一函数分析法。
『秒杀策略』：若)(x f 在(),a b 上单调，且0)()(<⋅b f a f ，则)(x f 有且只有一个零点，若0)()(>⋅b f a f ，则)(x f 没有零点，逆过来亦成立。
1.(高考题)函数22)(3-+=x x f x 在区间()1,0内的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.32.(高考题)函数x x x f )21()(21-=的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.33.(高考题)已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 ( )A.12()0,()0f x f x <<B.12()0,()0f x f x <>C.12()0,()0f x f x ><D.12()0,()0f x f x >>【题型2】：分解函数分析法。
函数的零点问题2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
3.8函数的零点问题——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题(共16题；共80分)1．（5分）已知函数f(x)= cos2x+cosx，且x∈[0，2π]，则f(x)的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（5分）已知函数f(x)={x，x≥0−x2，x<0，若方程f(x)=ae x有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（）A．(1e，+∞)B．(0，1e)C．(−∞，−1e)D．(−1e，0)3．（5分）已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)−2x−2x)=10．若函数g(x)={f(x)−2x−a，x≤0，|log2x|−a−1，x>0有3个零点，则a的取值范围为（）A．(2，3]B．(−1，3]C．(3，4]D．(−1，4]4．（5分）已知函数f(x)=ax3+bx+1，若f(x)存在零点x0<−1，且满足f′(x0)=f(x0)，则()A．1a+3b<0B．ab>0C．3a+b<0D．a+b>15．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)在[0，2π]上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是（）A．[2312，2912]B．[2312，2912)C．(1130，1124]D．[1130，1124)6．（5分）已知函数f(x)=sin(√ax3+bx+bx⋅π)−1，a≥0在(1，+∞)上有且仅有1个零点，则下列选项中b的可能取值为（）A．0B．18C．12D．47．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．68．（5分）设函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是R上的增函数”是“任意a>0，y=f(x+a)−f(x)无零点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则x1⋅x2等于（）A．2B．43C．23D．1210．（5分）设函数f(x)=|2x−1|，函数g(x)=f(f(x))−log a(x+1)，(a>0，a≠1)在[0，1]上有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．(1，32)B．（1，2）C．(32，2)D．(2，+∞)11．（5分）已知函数f(x)={1−|1−x|，0≤x≤22f(x−2)，x>2，当x∈[0，8]时，函数F(x)=f(x)−kx恰有六个零点，则实数k的取值范围是（）A．(45，1)B．(23，45)C．[23，45)D．[45，1)12．（5分）已知函数f(x)={10x−m，x≤12xe x−2mx+m，x>12（e是自然对数的底数）在定义域R上有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．(e，+∞)B．(e，5]C．(e，5)D．[e，5]13．（5分）已知函数f(x)=2ae x−e a x2至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（）．A．0B．1C．2D．e14．（5分）已知函数f(x)={exlnx，x>0x3−3x，x≤0，若函数y=[f(x)]2−1与y=af(x)的图象恰有6个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．(0，32)B．(0，72)C．(1，72)D．(1，+∞)15．（5分）已知函数f(x)=|log2x|，g(x)={0，0<x≤1|x−2|−0.5，x>1，则方程|f(x)−g(x)|=1的实根个数为（）个．A．1B．2C．3D．416．（5分）定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(x+2)，当x∈[0，2]时f(x)=(√e)x，若在区间x∈[0，10]内，函数g(x)=f(x)−(x+1)m有个5零点，则实数m的取值范围是（）A．(0，log11e)B．(0，log11e)∪(12，log7e)C．(log11e，12)D．(log11e，12)∪(12，log7e)二、多选题(共2题；共10分)17．（5分）已知函数f(x)=a x−x a(a>1)的定义域为(0，+∞)，且f(x)仅有一个零点，则（）A．e是f(x)的零点B．f(x)在(1，e)上单调递增C．x=1是f(x)的极大值点D．f(e)是f(x)的最小值18．（5分）已知函数f(x)=2x−cosx的零点为x0，则（）A．x<12B．x0>13C．tanx0>√52D．x0−14<sinx0三、填空题(共10题；共65分)19．（10分）设a，b，c∈R，a≠0，若函数y=ax2+bx+c有且仅有一个零点，且2a2+3ab+ 8ac=1，则a+b的最小值为，a+b+ab的最小值为．20．（5分）已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)={(12)x，log16x，0≤x<2x≥2，若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0(a，b∈R)有且仅有7个不同实数根，则a+b=21．（10分）已知函数f(x)={e x−ax，x≥0，ax3−2x+1，x<0.当a=0时，f[f(−12)]=，若函数f(x)有3个不同的零点，则a的取值范围是．22．（10分）设a∈R．函数f(x)={2e x−1，x≤0ax2+(a2−2)x−lnx，x>0，若f(f(0))=0，则a=，若f(x)只有一个零点，则a的取值范围是．23．（5分）函数f(x)={x3+2，x≤0x−3+e x，x>0的零点个数为.24．（5分）若函数f(x)={2x−b，x<0，√x，x≥0有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为.25．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a，使得f(x)有3个零点；④存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞).所有正确命题的序号为.26．（5分）已知函数f(x)满足f(x−2)=f(x+2)，0≤x<4时，f(x)=√4−(x−2)2，g(x)= f(x)−k n x(n∈N∗，k n>0)．若函数g(x)的图像与x轴恰好有2n+1个不同的交点，则k12+k22+⋅⋅⋅+k n2=．27．（5分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2，0)对称，当x∈[0，2]时，f(x)=−√1−(x−1)2，若方程f(x)−k(x−2)=0的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．28．（5分）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数y=Asinϖt.我们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数f(x)=sinx+12sin2x.给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期是π；②f(x)在[0，2π]上有3个零点；③f(x)在[0，π2]上是增函数；④f(x)的最大值为3√34.其中所有正确结论的序号是.四、解答题(共8题；共80分)29．（10分）设函数f(x)=−12x 2+(a −1)x +alnx +a2，a >0．（1）（5分）若a =1，求函数f(x)的单调区间和最值； （2）（5分）求函数f(x)的零点个数，并说明理由．30．（10分）已知a >0，设函数f(x)=(2x −a)lnx +x ，f ′(x)是f(x)的导函数．（1）（5分）若a =2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）（5分）若f(x)在区间(1，+∞)上存在两个不同的零点x 1，x 2(x 1<x 2)， ①求实数a 范围；②证明：x 2f ′(x 2)x 1−1<(a−e)(a−2e)(a−3)2e ．注，其中e =2.71828⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数．31．（15分）已知函数f(x)=xlnx +a ，(a ∈R)．（1）（5分）求函数f(x)的单调区间；（2）（5分）当0<a <1e时，证明：函数f(x)有两个零点；（3）（5分）若函数g(x)=f(x)−ax 2−x 有两个不同的极值点x 1，x 2（其中x 1<x 2），证明：x 1⋅x 22>e 3．32．（10分）已知函数f(x)=e x −xlnx −ax −1(a ∈R)有两个零点．（1）（5分）求a 的取值范围；（2）（5分）设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1+x 2>2．33．（10分）已知函数f(x)=mlnx −xe x +x ．（1）（5分）若m =1，求f(x)的最大值；（2）（5分）若f(x 1)+x 1e x 1+m =0，f(x 2)+x 2e x 2+m =0，其中x 1≠x 2，求实数m 的取值范围．34．（10分）已知函数f(x)=lnx +a x的极小值为1．（1）（5分）求实数a 的值；（2）（5分）设函数g(x)=f(x)−1x +m(1x2−1)．①证明：当0<m <12时，∀x ∈(0，m 1−m )，g(x)>0恒成立；②若函数g(x)有两个零点，求实数m 的取值范围．35．（5分）已知函数f(x)=x2⋅lnx.（Ⅰ）求函数y=f(x)−x的最小值；（Ⅱ）若方程f(x)=m(m∈R)有两实数解x1，x2，求证：1x12+1x22>e+11−|x1−x2|.（其中e=2.71828⋯为自然对数的底数）.36．（10分）已知函数f(x)=12(a−1)x2+ax−2lnx．（1）（5分）讨论f(x)的单调性；（2）（5分）当a=1时，g(x)=f(√x)，若m≤3−4ln2，求证：对于任意k>0，函数ℎ(x)= g(x)−mx−k有唯一零点．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由cos2x+cosx=2cos2x+cosx−1=(cosx+1)(2cosx−1)=0，可得cosx=−1或cosx=12，又因为x∈[0，2π]，则x=π，或x=π3，或x=5π3，则f(x)的零点个数为3。
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
2023届新高考数学复习：专项(函数零点问题之分段分析法模型)经典题提分练习(附答案)
2023届新高考数学复习：专项（函数零点问题之分段分析法模型）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ浙江宁波ꞏ高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭2．（2023ꞏ黑龙江ꞏ高三大庆市东风中学校考期中）设函数21()2nxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．21(0]e e，-B ．21(0]e e+，C ．21[)e e -+∞， D ．21(]e e-∞+，3．（2023ꞏ湖北ꞏ高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦4．（2023ꞏ福建厦门ꞏ厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为（ ） A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e ≥+D ．1m e e≤+5．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xxf x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2ln ()2xf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．（2023ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数1()24e xf x x =-+的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数2()(2)e x g x x x a =--+的图象上，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,3)-∞B ．(3,2e 2)-C ．(2e 2,)-+∞D ．(3,)+∞8．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞，C ．3(0]2e ，D ．3[)2e+∞， 9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题10．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______．11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()24eln eln x f x x mx x x =-+-存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________．13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()322e ln ,f x x x mx x =-+- 记()(),f x g x x=若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是________________________.参考答案一、单选题1．（2023ꞏ浙江宁波ꞏ高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ） A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【答案解析】因为函数322ln ()x ex mx xf x x -+-=至少存在一个零点所以322ln 0x ex mx x x-+-=有解即2ln 2xm x ex x=-++有解 令()22ln h x x e xx x=+-+， 则()21ln 22xh x x e x -'=-++()()34244432ln 1ln 32ln 322ln 222x x x x x x x x x x x x h x x e x x x x '-----+--+⎛⎫''=-++=-+== ⎪⎝⎭因为0x >，且由图象可知3ln x x >，所以()0h x ''<所以()h x '在()0,∞+上单调递减，令()0h x '=得x e = 当0<<x e 时()0h x '>，()h x 单调递增 当>x e 时()0h x '<，()h x 单调递减 所以()()2max 1h x h e e e==+且当x →+∞时()h x →-∞所以m 的取值范围为函数()h x 的值域，即21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦故选：A2．（2023ꞏ黑龙江ꞏ高三大庆市东风中学校考期中）设函数21()2nxf x x ex a x=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是 A ．21(0]e e，-B ．21(0]e e+，C ．21[)e e -+∞， D ．21(]e e-∞+，【答案】D【答案解析】令()2ln 20x f x x ex a x =--+=,则2ln 2(0)x a x ex x x =-++>，设()2ln 2x h x x ex x=-++，令()212h x x ex =-+， ()2ln x h x x =，则()'221ln x h x x -=，发现函数()()12,h x h x 在()0,e 上都是单调递增，在[),e +∞上都是单调递减，故函数()2ln 2xh x x ex x=-++在()0,e 上单调递增，在[),e +∞上单调递减，故当x e =时，得()2max 1h x e e=+，所以函数()f x 至少存在一个零点需满足()max a h x ≤，即21a e e ≤+．应选答案D ．3．（2023ꞏ湖北ꞏ高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【答案】D【答案解析】由题意得函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 又2()ln ()2f x xg x x ex m x x==-+-， ∵函数()g x 至少存在一个零点，∴方程2ln 20xx ex m x-+-=有解， 即2ln 2xm x ex x=-++有解． 令2ln ()2,0xx x ex x xϕ=-++>， 则221ln 1ln ()222()x xx x e e x x x ϕ--'=-++=-+， ∴当(0,)x e ∈时，()0,()x x ϕϕ'>单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0,()x x ϕϕ'<单调递减． ∴2max 1()()x e e eϕϕ==+．又当0x →时，()x ϕ→-∞；当x →+∞时，()x ϕ→-∞．要使方程2ln 2x m x ex x=-++有解，则需满足21m e e ≤+，∴实数m 的取值范围是21(,e e -∞+．故选D ．4．（2023ꞏ福建厦门ꞏ厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为 A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e ≥+D ．1m e e≤+【答案】B【答案解析】原方程化简得:2ln 2,(0)xm x ex x x=-+>有解,令2ln ()2,(0)x f x x ex x x =-+>,21ln ()2()xf x e x x -=+'-,当>x e 时,()0f x '<,所以f(x)在(,)e +∞单调递减,当x<e 时, ()0f x '>,所以f(x)在(,)o e 单调递增.2max 1()()f x f e e e==+.所以21m e e ≤+.选B.5．（2023ꞏ湖南长沙ꞏ高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22x xf x x x a e=--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【答案】D【答案解析】依题意得，函数()f x 至少存在一个零点，且()22x xf x x x a e=--+， 可构造函数22y x x =-和xx y e =-， 因为22y x x =-，开口向上，对称轴为1x =，所以(),1∞-为单调递减，()1,+∞为单调递增； 而x x y e=-，则1x x y e -'=，由于e 0x >，所以(),1∞-为单调递减，()1,+∞为单调递增； 可知函数22y x x =-及xxy e =-均在1x =处取最小值，所以()f x 在1x =处取最小值， 又因为函数()f x 至少存在一个零点，只需()10f ≤即可，即：()11120f a e=--+≤解得：11a e ≤+.故选：D.6．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数2ln ()2xf x x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦C ．21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【答案解析】令2ln ()20x f x x ex a x=-+-=，即2ln 2xx ex a x =-+ 令ln ()xg x x=，2()2h x x ex a =-+ 则函数ln ()xg x x=与函数2()2h x x ex a =-+的图象至少有一个交点 易知，函数2()2h x x ex a =-+表示开口向上，对称轴为x e =的二次函数221ln 1ln ()x xx x g x x x ⋅--'== ()00g x x e '>⇒<<，()0g x x e '<⇒>∴函数()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，max 1()()g x g e e ==作出函数()g x 与函数()h x 的草图，如下图所示由图可知，要使得函数()g x 与函数()h x 的图象至少有一个交点只需min max ()()h x g x …，即2212e e a e-+…解得：21a e e +…故选：B7．（2023ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数1()24e xf x x =-+的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数2()(2)e x g x x x a =--+的图象上，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,3)-∞B ．(3,2e 2)-C ．(2e 2,)-+∞D ．(3,)+∞【答案】B【答案解析】令()()()()2222e e x x x x a h x g x x x a ---⎡⎤=--=-----+=⎣⎦，则由题意可得函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有三个交点，即方程()()f x h x =有三个不同的实数根．由()()f x h x =可得21224e e x xx x a x ---+=，即()2224e 1x a x x x =----，令()()2224e 1xp x x x x =----，则直线y a =与函数()p x 的图象有三个交点，易得()()()211e xp x x =--'，当0x <或1x >时()0p x '<，当01x <<时()0p x '>，所以函数()p x 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以函数()p x 的极小值为()03p =，极大值为()12e 2p =-．又()()6121p p e-=+>，()()210p p =-<，所以当32e 2a <<-时，直线y a =与函数()p x 的图象有三个交点，故实数a 的取值范围为()3,2e 2-．故选B ．8．（2023ꞏ全国ꞏ高三假期作业）若存在两个正实数x 、y ，使得等式3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()0-∞，B ．3(0)[)2e-∞⋃+∞， C ．3(0]2e ，D ．3[)2e+∞， 【答案】B【答案解析】由3(24)(ln ln )0x a y ex y x +--=得32(2)ln 0y ya e x x +-=，设y t x =，0t >，则3(24)ln 0a t e t +-=，则3(2)ln 2t e t a-=-有解，设()(2)ln g t t e t =-， 2()ln 1e g t t t =+-'为增函数，2()ln 10eg e e e+-'==， 当t e >时()0g t '>，()g t 递增，当0t e <<时()0g t '<，()g t 递减，所以当t e =时函数()g t 取极小值，()(2)ln g e e e e e =-=-，即()()g t g e e ≥=-， 若3(2)ln 2t e t a-=-有解，则32e a -≥-，即32e a ≤， 所以a<0或32a e≥， 故选：B ．9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）若存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，其中e为自然对数的底数，则a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(),0∞-D ．()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【答案解析】依题意存在正实数x ，y ，使得等式()()243e ln ln 0x a y x y x +--=成立，243e ln 0y y a x x ⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭，当0a =时，40=，不符合题意，所以0a ≠ 令0yt x=>，()243e ln 0a t t +-⋅=，()243e ln t t a -=-⋅，构造函数()()23e ln ,0f t t t t =-⋅>，()22'3e 3e ln ln 1t f t t t t t-=+=-+，()2213e 0f t t t =+>＂，所以()'f t 在()0,∞+上递增，()2'2223e e ln e 10ef =-+=，所以在区间()()()2'0,e ,0,f x f x <递减；在区间()()()2'e ,,0,f x f x +∞>递增.所以()f t 的最小值为()()22222e e 3e ln e 4ef =-⋅=-.要使()243e ln t ta-=-⋅有解， 则22414e ,e a a-≥-≤①，当a<0时，①成立， 当0a >时，21e a ≥. 所以a 的取值范围是()21,0,e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭.故选：D 二、填空题10．（2023ꞏ全国ꞏ模拟预测）若函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为______． 【答案】20,π⎛⎤⎥⎝⎦【答案解析】函数()11sin πx x f x e ea x --+=-+（x ∈R ，e 是自然对数的底数，0a >）存在唯一的零点等价于函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有一个交点．∵()10ϕ=，()10g =，∴函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的图像的唯一交点为()1,0．又∵()11xx g x e e --'=--，且10x e ->，10x e ->，∴()11xx g x ee --'=--在R 上恒小于零，即()11x x g x e e --=-在R 上为单调递减函数．又∵()1112xxg x ee--'=--≤-，当且仅当111x xe e--=，即1x =时等号成立，且()()sin π0x a x a ϕ=>是最小正周期为2．最大值为a 的正弦型函数， ∴可得函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x ee --=-的大致图像如图所示．∴要使函数()sin πx a x ϕ=与函数()11xx g x e e --=-的图像只有唯一一个交点，则()()11g ϕ''≥．∵()πcos π1πa a ϕ'==-，()21g '=-， ∴π2a -≥-，解得2πa ≤． 对∵0a >，∴实数a 的取值范围为20,π⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：20,π⎛⎤⎥⎝⎦.11．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,)e +∞【答案解析】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe a f x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x >由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()x h x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea =则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x ¢>，则()f x 在()0x +∞，单调递增， 所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a +=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a > 又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞ 所以函数()e (ln )x f x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-< 设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增. 当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0<<x e 时，()0g x >，当>x e 时，()0g x <， 所以ln 0a a a -<的解集为a e > 故答案为：(,)e +∞12．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()24eln eln x f x x mx x x =-+-存在4个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(0,1)【答案解析】转化为()24eln =0eln x f x x mx x x =-+-有四个解，即24eln =0eln x x mx x x -+-在0x >范围内有四个解，即eln 4=0eln x xm x x x-+-在0x >范围内有四个解， 即eln 4=eln x xm x x x--在0x >范围内有四个解，即1eln 4=eln 1xmx x x--在0x >范围内有四个解，令eln ()x g x x =， 则2e(1ln )()x g x x -'=， 令()0g x '=得e x =，所以当0e x <<时，()0g x '>，当e x >时，()0g x '<， 所以eln ()x g x x=在(0,e)单调递增，在(e,+)∞单调递减， 所以max ()(e)1g x g ==，做出()g x 大致图像如下：令eln ()x t g x x==， 则原方程转化为14=(1)1t m t t -<-， 令1()41h t t t =--， ()21()41h t t '=--，令()0h t '=得1=2t ， 当12t <时，()0h t '<，当112t <<时，()0h t '>， 所以()h t 在1(,2-∞递减，在1(1)2，递增， 做出()h x 大致图像如下：所以(0,1)m ∈时，对应解出两个t 值，从而对应解出四个x 值，故答案为：(0,1)m ∈.13．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()322e ln ,f x x x mx x =-+- 记()(),f x g x x =若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是________________________. 【答案】21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ 【答案解析】依题意，令()2ln 2e 0x g x x x m x =-+-=，即()2ln 2e 0x m x x x x=-++>， 设2ln ()2e x h x x x x =-++，求导得21ln ()22e x h x x x -'=-++， 当0e x <<时，()0h x '>，当e x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,e)上递增，在[e,)+∞上递减，因此当e x =时，2max 1()e eh x =+，因当0e x <≤时，22e y x x =-+的取值集合为2(0,e ]，ln x y x =的取值集合为1(,]e-∞， 则当0e x <≤时，()h x 的取值集合为21(,e ]e-∞+，当e x ≥时，22e y x x =-+的取值集合为2(,e ]-∞， ln x y x =的取值集合为1(0,]e，即当e x ≥时，()h x 的取值集合为21(,e ]e -∞+， 所以函数()g x 至少存在一个零点，实数m 的取值范围是21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦. 故答案为：21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.。
函数零点综合练习(含答案)
函数零点综合练习（含答案）一、选择题1.与下列各组函数是同一函数的是( )①()f x =与()g x =②()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=; ④()221f x x x =--与()221g t t t =--.A.①②B.①③C.③④D.①④ 2.已知函数26()log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 的零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞3.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是( ) A. ()1,3B. ()1,2C. (0,3)D. ()0,24.若函数()f x x k =-有两个零点，则( ) A.0k = B.0k ≥ C.01k ≤< D.0k >5.已知e 是自然对数的底数，函数()e 2xf x x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A.()()()1f a f f b << B.()()()1f a f b f << C.()()()1f f a f b << D.()()()1f b f f a <<6.函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.47.某同学在求函数lg y x =和1y x=的图象的交点时，计算出了下表所给出的函数值，则交点的横坐标在下列哪个区间内( )A.(2.125,2.25)B.(2.75,2.875)C.(2.625,2.75)D.(2.5,2.625)8.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为1()2202C x x x 2=++ (万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月生产该商品数量应为( )A.18万件B.20万件C.16万件D.8万件9.已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如图所示，给出下列四个命题:①方程()()0f g x =有且仅有6个根; ②方程()()0g f x =有且仅有3个根; ③方程()()0f f x =有且仅有5个根; ④方程()()0g g x =有且仅有4个根.其中正确命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题10.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要清洗的次数是__________(参考数据: lg 20.3010≈). 11.已知函数4log ,0,()3,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题12.定义在R 上的偶函数()y f x =在(,0]-∞上递增，函数()f x 的一个零点为12-，求满足14(log )0f x ≥的x 的取值范围.13.已知函数()243,f x x x a a =-++∈R .（1）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点,求a 的取值范围;（2）若函数()y f x =在[]1,1-上存在零点,求a 的取值范围;（3）设函数()52,g x bx b b =+-∈R .当0a =时,若对任意的[]11,4x ∈,总存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,求b 的取值范围.14.当a 为何值时,函数()227132y x a x a a =-++--的一个零点在区间()0,1上,另一个零点在区间()1,2上?参考答案一、选择题1.答案：C解析：①()f x ==()g x =,故不是同一函数.②()f x x =与()g x =x =的对应法则和值域不同,故不是同一函数. ③()0f x x =与()01g x x=都可化为1y =且定义域是{}|0x x ≠,故是同一函数.④()221f x x x =--与()221g t t t =--的定义域都是R 对应法则也相同,而与用什么字母表示无关,故是同一函数. 由上可知是同一函数的是③④. 故选C. 2.答案：C解析：由题意知,函数()f x 在(0,)+∞上为减函数, 又(1)6060,(2)3120f f =-=>=-=>.2621(4)log 420432f =-=-=-<, 由零点存在性定理,可知函数()f x 在区间(2,4)上必存在零点. 3.答案：C解析：本题考査函数的零点知识及函数与方程思想.易知函数()22x f x a x=--在()0,+∞上为单调递增函数,故若函数在区间()1,2内有零点,只需()()()()1230f f a a =-⨯-<, 解此一元二次不等式得a 的取值范围是()0,3. 4.答案：D解析：由题意可知函数y x =的图象与直线y k =有两个交点，作出函数图象如图所示.由图可知，0k >时，两函数图象有两个交点.故选D.5.答案：A解析：在同一坐标系中画出e xy =，2y x =-，ln y x =的图象，如图所示.由图可知1a b <<，又因为()f x 是R 上的增函数， 所以()()()1f a f f b <<.故选A. 6.答案：B解析：函数()f x 的零点可以转化为方程0.5()2log 10xf x x =-=的根， 因此得到0.51log ()2x x =. 设10.521log ,()2x y x y ==，则两个函数1y 与2y 的交点个数即为所求. 如图可知交点有2个.故选B.7.答案：D解析：设1()lg f x x x=-， 则(2.5)0.3980.4000,f =-<(2.625)0.4190.3810f =->， 所以(2.5)(2.625)0f f ⋅<, 所以函数1()lg f x x x=-的零点在(2.5,2.625)上， 即lg y x =和1y x=的图象的交点的横坐标在(2.5,2.625)上.故选D. 8.答案：A解析：利润21()20()(18)1422L x x C x x =-=--+,当18x =时，()L x 有最大值. 9.答案：B解析：不妨把方程() 0f x =的根看作-1.5, 0和1.5，方程()()0f g x =的根的个数等于使得() 1.5g x =-,0或1.5的x 的个数，由()y g x =的图象知有6个，①正确.同理可利断，②错误，③正确，④正确.故选B.二、填空题10.答案：4解析：设要洗x 次,则3114100x⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,∴1lg 2x ≥,即 3.322x ≥, ∴至少需清洗4次. 11.答案：()1,+∞解析：将()0f x x a +-=化为()f x a x =-.因为关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，即两函数()y f x =与y a x =-的图象有且只有一个交点.由图象，得直线y a x =-在y 轴上的截距1a >.故填()1,+∞.三、解答题12.答案：因为12-是函数的一个零点，所以1()02f -=. 因为() y f x =是供函数且在(],0-∞上递增，所以当14log 0x ≤，即1x ≥时，若14(log )0f x ≥,则141log 2x ≥-， 解得2x ≤，即12x ≤≤. 由对称性可知，当14log 0x >时，112x ≤<.综上所述，x 的取值范围为1[,2]2. 解析：13.答案：（1）若函数()y f x =的图象与x 轴无交点,则方程()0f x =的根的判别式0∆<, 即()16430a -+<解得1a >. 故a 的取值范围为{}1a a .（2）因为函数()243f x x x a =-++的图像的对称轴是直线2x =, 所以()y f x =在[]1,1-上是减函数.又()y f x =在[]1,1-上存在零点,所以()()10,10,f f ≤-≥⎧⎪⎨⎪⎩即0,80,a a ≤+≥⎧⎨⎩解得80a -≤≤. 故{}|80a a -≤≤.（3）若对任意的[]11,4x ∈,总存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =,则函数()y f x =在[]1,4上的函数值的取值集合是函数()y g x =在[]1,4上的函数值的取值集合的子集.当0a =时,函数()243f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =,所以()y f x =在[]1,4上的函数值使得取值集合为[1,3]-.①当0b =时,()5,g x =不符合题意,舍去.②当0b >时,()g x 在[]1,4上的值域为[]5,52,b b -+只需51,523,b b -≤-+≥⎧⎨⎩解得6b ≥.③当0b <时,()g x 在[]1,4上值域为[]52,5,b b +-只需521,53,b b +≤--≥⎧⎨⎩解得3b ≤-.综上, b 的取值范围为{|6b b ≥或3}b ≤-. 解析：14.答案：已知函数对应的方程为()2271320x a x a a -++--=,函数的大致图象如图所示.根据方程的根与函数的零点的关系,方程的根一个在()0,1上,另一个在()1,2上,则:(0)0,{(1)0,(2)0,f f f ><>,即22220,280,30,a a a a a a ⎧-->⎪--<⎨⎪->⎩解得所以21a -<<-或3 4.a << 解析：。
高考常考题-函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲 题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，英中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要 注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)立义在R 上的奇函数金)满足Λx+4)=Λx),且在区间[2, 4)上例3、【2018年高考全国III 卷理数】函数/(x) = COS^3Λ + ^ ∣^[0,π]的零点个数为 ______ 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范囤.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法.它的本质就是将 函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便 地研究问题.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画岀函数的图像，然后数形结合求解.1∏Λ∖X≥ 1例4. (2020届山东省枣庄.滕州市髙三上期末)已知/(X) = {…、f ,若函数y = ∕(x)-l 恰有f(2-x) + k,x<∖一个零点，则实数A ∙的取值范围是( )A. (l,4∙s) B ・ ILC. (YU)D ・(Y M]Z、21og^ x,x≥∖. Z 、例5、(2020全国高三专题练习(文))函数/(M = [f(w]) JI yl ，若方程f(x) = ~2x + m 有且只有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是()A. (-oo,4)B. (Y ,4]C. (-2,4)D. (-2,4]2-x,2≤x<3x-4,3≤x<4则函数y=∕ω-iog s H 的零点的个数为 ____________x<b例2、(2017苏锡常镇调研)若函数Λx)=≤ IInx<x>l, )则函数y=^χ)∣~∣的零点个数为 ______若函数F(X) =/(x)-g(x)在［0,2)上只有两个零点，则实数R 的值不可能为A.丄 3 3 C.——4例6、［2020年高考天津】已知函数f(x) = < Λ j'0,若函数g(γ) =γ,(j).∣AΛ^2点，则k 的取值范围是A. (→>,-∣)U(2√2,+oo)B ∙ U(0,2√Σ)c ・(Y,0)U(0,2√Σ) D ・ YO)U(2√Σ,S例7. ［2019年髙考浙江】已知t 函数f(x) = < 1x,x < O1 c ・若函数一F --(α + l)f +ax.x≥O 13 2y = f(x)-cιx -b 恰有3个零点，则A. Λ<-L b<0B. αv -l, b>0C. α>-l, XoD ・ α>-l, b>Q例8. (2020浙江学军中学髙三3月月考)已知函数/(X)=(A -÷4)V5≤X <-3J 若函数 /(x-2),x≥-3g(x) = ∕α)-W(X+ 1)1有9个零点，则实数M 的取值范围是()A.［科丿B.1 1)匕'FD.1 1 <55例9.(2020届浙江省杭州市第二中学髙三3月月考)已知函数/(X)=2/V 『心2'B- 4D ・-1-2彳伙WR)恰有4个零二、达标训练1、(2019 IlJ 东师范大学附中高三月考)函数/(x) = √-W 的零点所在区间为()A- (一 1'O)B- [θ,^j C - (Al D- (1'2)e 丫 X V 02、 【2018年髙考全国I 卷理数】已知函数/(X)=g(χ) = f(χ) + x + a •若g(x)存在2个lnx, x>O,零点，则α的取值范用是A. [一 1, 0)B. [0, +∞)C. [-1, +oo)D. [1, +∞)3、 (2020届浙江省“山水联盟"髙三下学期开学)已知αbwR,函数f(x) = <(A+(l)e +αr "≤°,若函x,x>0数y = f{x)-ax-b 恰有3个零点，则()A. a>∖J)>OB. d>l,D<0C. a<tb>OD. a<^b<O4. (2020届山东实验中学髙三上期中)设定义在/?上的函数/(X)满足/(→) + /(X) = X 2,K 当X WO 时,__________ ・若函数沧)恰有2个零点，则2的取值范圉是 _____________≥∕(1~x ))2}且★为函数 g(x) = e λ-y[ex-aZR 疋为自然对数的底数)的一个零点，则实数α的取值可能是()A. 1√E 2D ・√72√7(0<x≤l)5、(2020届山东师范大学附中髙三月考)已知函数fW = ∖2—(X > DIX若方程/(兀)=一力+ α有三个不同的实根，则实数α的取值范围是 _______6、［2018年髙考浙江】已知z∈R.函数沧)=<X - 4, % ≥ Λ X 2-4x + 3,x<2,当z=2时，不等式√(x)vθ的解集是广(X)Vx .己知存在如Λ 2+2ax + a,x ≤ O 74202O届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数f(x) = \e x_ex I ,,若存在实数+-a2,x>O X 3使得函数y = f(χ)-k有6个零点，则实数。
高三教学总结复习计划函数零点部分高考教学习题汇编
函数的零点局部高考试题汇编1、函数fx4x4,x1log2x的图象的交点个数是〔24x3,x的图象和函数gx12、函数f(x)log2x2x1的零点必落在区间〔〕A.1,1 B.1,1C.,1D.(1,2)844223、数fx的零点与gx4x22的零点之差的绝对值不超过，那么fx可以是〔〕A.fx4x1B.f x(x1)2C.fxe x1D.f(x)ln(x124．〔10上海理〕假设x0是方程(1)x3的解，那么x0属于区间〔〕2A．2,1.B．1,2.C．1,1D．0,1 3233235．〔10上海文〕假设x0是方程式lgx2的解，那么x0属于区间〔〕A．〔0，1〕. B ．〔1，〕. C ．〔，〕D．〔，2〕6．〔10天津理〕函数f x 2x3x的零点所在的一个区间是〔〕A ．2,1B．1,0．0,1．1,27．〔10天津文〕函数f x ex 的零点所在的一个区间是〔〕A ．2,1B．1,0．0,1．1,28．〔10浙江理〕设函数f(x)4sin(2x1)x,那么在以下区间中函数f(x)不存在零点的是〔〕A．4,2．2,0C．0,2D．2,49．〔10浙江文〕x0是函数fx2x1的一个零点，假设x11,x0，x2x0, 1x那么〔〕A．fx10，fx20B．fx10，fx20C．fx10，fx20D．fx10，fx204 x ，≤，10．〔07湖南文理〕函数f(x)4的图象和函数g(x)log2x的图象的24x，3交点个数是〔〕A ．4B ．3C ．2D．111．〔09福建文〕假设函数的零点与x2的零点之差的绝对值不超过，2那么fx可以是〔A.fx4x1B.fx(x1)2C.fxexD.fxlnx1212．〔09重庆理〕以4为周期的函数f(x)1x2,x(1,1]，其中m0。
1x2,x(1,3]假设方程3f(x)x恰有5个实数解，那么m的取值范围为〔〕1 5815．(4,8)D．(4,7)A．(,)B．(,7)C3333313．〔10福建理〕函数fx22x3,x的零点个数为〔〕2lnx,x0A．0B．1C．2D．314.〔11天津〕．对实数a和b，定义运算“〞：a ba,a1,b ,a设函数1.f(x)x22x x2,xR.假设函数f(x)c的图像与x轴恰有两个公共点，那么实数c的取值范围是〔A．,21,3 2C ．1,11,44B．,21,34D．1,31,4415〔11陕西〕函数f(x)= x—cosx在[0，+∞〕内〔〕A.没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点16.〔11重庆〕设m，k为整数，方程mx2kx 2 0在区间〔0,1〕内有两个不同的根，那么m+k的最小值为17、假设函数f(x) a x x a(a 0且a 1)有两个零点，那么实数a的取值范围是18、方程9x 6?3x7 0的解是．.19、函数y f(x)和y g(x)在[ 2,2]的图象如下所示：给出以下四个命题：①方程f[g(x)]0有且仅有6个根②方程g[f(x)]0有且仅有3个根③方程f[f(x)]0有且仅有5个根④方程g[g(x)]0有且仅有4个根其中正确的命题是．20、〔09山东理〕定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x),且在区间[0,2]上是增函数,假设方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,那么x1x23x4_________.北京〕函数f(x)2,x221、〔11x1)3,x 假设关于x的方程f(x)=k有两个不同的实(x2根，那么数k的取值范围是_______22．〔08湖北文〕方程2x23的实数解的个数为．23．〔09山东理〕假设函数xax x a1有两个零点，那么实数a的取值范围是。
函数零点(07--11高考题)
函数的零点部分高考试题汇编1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（B ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ C ）A.⎪⎭⎫⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ A ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x=的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,17．（10天津文）函数()2-+=x e x f x的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A .()41f x x =-B .()2(1)f x x =-C .()1x f x e =-D .()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习(附答案)
2025届高考数学复习：压轴好题专项(数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题)练习1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值. 4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln xf x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e xg x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< .12．2()ln 3f x x x x =+-． （1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．参考答案1．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数()2sin f x ax x =-. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)当0x >时，()cos f x ax x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）当1a =时，()()2sin ,2cos f x x x f x x -=-'=， 切线的斜率为()01k f '==，又切点为()0,0，所以切线方程为y x =.（2）令()()cos g x f x ax x =-，即()2cos sin g x ax ax x x =--，①若1a ≥，则当0x >时，()2cos sin g x x x x x ≥--，令()2cos sin hx x x x x =--，()22cos sin h x x x x =-+'，当(]0,πx ∈时，()0h x '≥，所以()h x 在(]0,π上单调递增，()()00h x h >=， 当()π,x ∈+∞时，()()()1cos sin 0h x x x x x =-+->， 所以()()0g x h x ≥≥恒成立，符合题意；②若0a ≤，则当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2cos sin 1cos sin 0g x ax ax x x ax x ax x =--=-+-<，不合题意； ③若01a <<，注意到()()()()00,2cos sin cos ,01gg x a a x x x x g a -''==--=-，令()()()2cos sin cos x g x a a x x x x ϕ=---'=，则()()21sin cos x a x ax x ϕ=++'，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'>，所以()g x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为()ππ010,2022g a g a ⎛⎫⎛⎫=-<=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()00,x 上单调递减，()()00g x g <=，不合题意. 综上，a 的取值范围为[)1,+∞.2．（2023届四川省高三诊断性检测）已知函数()22ln f x x x =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)令()()2g x f x x ax =-+（a 为常数），若()g x 有两个零点()1212,x x x x <，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+， ()()()21122x x f x x xx+-'=-=，令()0f x '<，解得01x <<；令()0f x ¢>，解得1x >； 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.（2）由题意可知：()()22ln g x f x x ax ax x =-+=-，其定义域为()0,∞+，则()g x 有两个零点12,x x ，即()0g x =有两解，即ln 2a x x=有两解， 令()()ln 0x x x x ϕ=>，则()()21ln 0xx x xϕ='->. 令()0x ϕ'>，解得0e x <<；令()0x ϕ'<，解得e x >； 则()x ϕ的单调递减区间是()e,+∞，单调递增区间是()0,e ， 可知()()lne 1e e ex ϕϕ≤==， 又因为()10ϕ=，且当x 趋近于+∞，()x ϕ趋近于0， 要使得ln 2a x x =有两解，只需102ea <<，所以20e a <<，故实数a 的取值范围为20,e ⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2024届广东省揭阳市高三上学期开学考试）已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.(1)当1m =时，证明：()1f x <；(2)若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.【过程详解】（1）当1m =时，()212ln 1(0)2f x x x x =-+>，()222(0)x f x x x x x -'∴=-=>， 令()0f x '=，得x ，当(x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x在x 处取得唯一的极大值，即为最大值，所以max 1()21ln22f x f==-⨯+=，所以()ln2f x ≤， 而ln2lne 1<=， 所以()1f x <.（2）令()()()()2122ln 212G x f x m x x mx m x =--=-+-+.则()()()22222mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='. 当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又因为()31302G m =-+>.所以关于x 的不等式()0G x <不能恒成立；当0m >时，()()21m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪'⎝⎭=-. 令()0G x '=，得2x m =，所以当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>； 当2,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故函数()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.令()22ln 2ln21h m m m=-+-， 因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303h h h =+>==--<，又因为()h m 在()0,∞+上单调递减，所以当3m ≥时，()0h m <. 所以整数m 的最小值为3.4．（2023届黑龙江省哈尔滨市高三月考）设函数322()33f x x ax b x =-+ (1)若1a =，0b =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若0a b <<，不等式1ln 1x k f f x x +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭对任意()1,x ∈+∞恒成立，求整数k 的最大值．【过程详解】（1）当1a =，0b =时，32()3f x x x =-，所以(1)2f =-，即切点为()1,2P - 因为2()36f x x x '=-，所以(1)363f '=-=-， 所以切线方程为()231y x +=--，即31y x =-+，（2）22()363f x x ax b '=-+，由0a b <<，所以22363636()()0a b a b a b ∆=-=+-<， 所以函数()f x 在R 上单调递增不等式1ln 1x k f f x x -⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭1ln (1ln )11x k x x k x x x --⇔>⇔>--，对()1,x ∈+∞恒成立， 构造(1ln )()1x xh x x -=-，22(2ln )(1)(ln )ln 2()(1)(1)x x x x x x x h x x x +--+--'==--，构造()ln 2g x x x =--，11()1x g x x x-'=-=，对()1,x ∈+∞有()0g x '>， 所以()ln 2g x x x =--在()1,x ∈+∞递增，()31ln 30g =-<，()42ln 40g =->， 所以0(3,4)x ∃∈，()000ln 20g x x x =--=，所以()01,x x ∈，()0g x <，即()0h x '<，()h x 在()01,x 递减，()0,x x ∈+∞，()0g x >，即()0h x '>，()h x 在()0,x +∞递增，所以()()00min 001ln ()1x x h x h x x +==-，结合00ln 2x x =-，故min 0()(3,4)h x x =∈，所以(1ln )1x xk x +<-对(1,)x ∈+∞恒成立min ()k h x ⇔<，故3k ≤， 所以整数k 的最大值为3；5．（2023届江苏省连云港市高三学情检测）已知函数21()e xf x x=-. (1)判断函数()f x 零点的个数，并证明； (2)证明：2e ln 2cos 0x x x x x --->.【过程详解】（1）函数的定义域{|0}x x ≠，当时0x <时，21()e 0xf x x=->，函数()f x 无零点， 当0x >时，221()2e 0xf x x '=+>，()f x 单调递增，又1()404f =<，2(1)e 10f =->且()f x 图象在0+∞（,）上连续不断，所以由零点存在定理得()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，综上，()f x 有且只有一个零点.（2）要证2e ln 2cos 0x x x x x --->，即证2e ln 2cos x x x x x -->， 令2()e ln 2x g x x x x =--，其中0x >，则有2222()e ln ln e e ln e x x x x g x x x x x =--=-（），令2e x t x =，则()g x 可化为()ln h t t t =-，因为()212e 0xt x '=+>，所以函数2e x t x =在0+∞（,）单调递增，则0t >，由()ln h t t t =-，0t >，1()1h t t =-'1t t-=，令()0h t '=得1t =，列表如下：t()0,11()1,+∞()h t ' - 0 +()h t1 ↗由表可知：min ()(1)1h t h ==，即2()e ln 21x g x x x x =--≥，仅当2e 1x x =，等号成立，由（1）可知，存在唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0201e xx =，即仅有唯一的01,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得02000e ln 21xx x x --=，而cos 1≤x ，当()*2πN x k k =∈，等号成立，综上，2()e ln 21x g x x x x =--≥与cos 1≤x ，等号不能同时成立， 故2e ln 2cos x x x x x -->，即2e ln 2cos 0x x x x x --->.6．（2024届广东省深圳市罗湖区部分学校高三上学期开学模拟）已知函数()(e xf x mx m =-∈R).(1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x ≥时，若关于x 的不等式()()ln 110f x x ++-≥恒成立，求实数m 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为R , ()e x f x m '=-，当0m ≤时，由()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，当0m >时，令()0f x ¢>，可得ln x m >，令()0f x '<，可得ln x m <，∴()f x 单调递减区间为(),ln m -∞，()f x 单调递增区间为()ln ,m +∞，∴当0m ≤时，()f x 在R 上单调递增；当0m >时，()f x 在区间(),ln m -∞上单调递减，在区间()ln ,m +∞上单调递增.（2）设()()()e ln 110x g x mx x x =-++-≥，则()1e 1x g x m x '=+-+， （i ）当2m ≤时，()1e 1xg x m x '=+-+， 令()1e 1xh x m x =+-+，则()()21e 1x h x x '=-+，令()()21e 1xk x x =-+，则()()32e 01xk x x +'=+>，∴()k x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00k x k ≥=， ∴()h x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()02h x h m ≥=-，∴()20g x m '=-≥， ∴()g x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()()00g x g ≥=恒成立，（ii ）若m>2时，则(0)0g '<，1(ln 1)(e 1)02ln g m m m'+=-+>+，∴()00,ln 1x m ∃∈+，使得()00g x '=，∴()g x 在区间[)00,x 上单调递减，则()()000g x g <=，与条件矛盾，综上所述，实数m 的取值范围为(],2-∞.7．（2024届山西省朔州市怀仁市第一中学校等学校2高三上学期摸底）已知函数1()(1)ln(1)e 21f x a x ax x =--++++-+（a ∈R ，e 为自然对数的底数）. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有且仅有3个零点，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数()f x 的定义域为()1,-+∞，()()2111111111a f x a a x x x x +⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪+++⎝⎭⎝'⎭+()()()()2211111x a x x ax a x x ⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦==++. ①当0a ≤时，由10x +>，有()110a x +-<，令()0f x '<，可得0x >，可得函数()f x 的减区间为()0,∞+， 令()0f x ¢>，函数()f x 的增区间为()1,0-；②当1a =时，()()2201x f x x +'=≥，可得函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增，无单调减区间；③当01a <<时，10aa ->，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 可得函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫⎪⎝⎭，令()0f x ¢>，可得10x -<<，或1a x a ->，所以函数()f x 的增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭； ④当1a >时，10aa -<，令()0f x '<，可得10a x a-<<， 令()0f x ¢>，可得11ax a--<<，或0x >，可得函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+；综上，当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-； 当1a =时，函数()f x 在区间()1,-+∞上单调递增；当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.（2）()0e 30f =-<. 由（1）可知：①当0a ≤时，由函数()f x 的减区间为()0,∞+，增区间为()1,0-，有()()00f x f ≤<，函数()f x 没有零点，不合题意；②当1a =时，函数()f x 单调递增，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意； ③当01a <<时，函数()f x 的减区间为10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为()1,0-，1,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭， 由()00f <，函数()f x 最多只有一个零点，不合题意；④当1a >时，函数()f x 的减区间为1,0a a -⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为11,a a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,∞+.由()00f <，若函数()f x 有且仅有3个零点，必需()11ln 2e 10a f a a a a -⎛⎫=+-+-> ⎪⎝⎭，令()()()1ln 2e 11g x x x x x =+-+-≥，有()1ln 1g x x x+'=-， 令()()1ln 11h x x x x =+-≥，有()221110x h x x x x-'=-=≥， 可得函数()h x 单调递增，有()()10h x h ≥=， 可得函数()g x 单调递增，又由()e 0g =，故满足不等式()1ln 2e 10a a a +-+->的a 的取值范围为e a >. 又由()()()()111ln 1e 21a x x f x ax x ++++=-++-+，可得当1x →-时，()f x →-∞，又由10a f a -⎛⎫> ⎪⎝⎭，(0)0f <，()()2221e 12(1)e 1e 2e f a a -=--++-+-()232211e 3e 4e 2e 40e e a =-+-->--->，可得函数()f x 有且仅有3个零点. 由上知，若函数()f x 有且仅有3个零点，实数a 的取值范围为()e,+∞.8．（2023届云南省高三“云教金榜”N 1冲刺测试）设函数()()e ln xf x x a =-+，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x a ≥，求实数a 的取值范围.【过程详解】（1）1a =时，函数()e ln(1)x f x x =-+的定义域为(1,)-+∞，因为1()e 1x f x x '=-+，所以，当0x >时，()0f x '>，当10x -<<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，单调递减区间是(1,0)-.（2）函数()e ln()x f x x a =-+的定义域为(,),()a f x a -+∞≥，等价于e ln()0x x a a -+-≥，设()e ln()x g x x a a =-+-，则1()e x g x x a'=-+， 设()()h x g x '=，则21()e 0()x h x x a '=+>+恒成立， 所以()h x 在(,)a -+∞上单调递增，即()g x '在(,)a -+∞上单调递增，当,()x a g x '→-→-∞，当,()x g x '→+∞→+∞，所以0(,)x a ∃∈-+∞，使得()00g x '=，即001e x x a =+，所以001ex a x =-， 当()0,x a x ∈-时，()0g x '<，所以()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，所以()()000min 0001()e ln e 20ex x x g x g x x a a x ==-+-=-+≥， 设1()e 2e x x p x x =-+，则(0)0p =，而1()e 20ex x p x '=++>恒成立， 所以1()e 2e x x p x x =-+为增函数， 由()00(0)p x p ≥=，所以00x ≥. 因为1,e x y y x ==-均为减函数，所以001ex a x =-在[)0,∞+上为减函数， 所以，当00x ≥时，1a ≤，所以实数a 的取值范围为(,1]-∞9．（2024届云南省三校高三高考备考实用性联考）已知()23(1)e ,3x a f x x x ax a =--+∈R . (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a =时，证明：函数()()21ln 2g x f x x x =+-有且仅有一个零点. 【过程详解】（1）当1a =时，()231(1)e 3x f x x x x =--+， ()()222()2(1)e (11e 11e )x x x f x x x x x '=-+--+=--，由()0f x ¢>得210e 10x x ⎧->⎨->⎩或210e 10x x ⎧-<⎨-<⎩，解得10x -<<或1x >由()0f x '<得210e 10x x ⎧->⎨-<⎩或210e 10x x ⎧-<⎨->⎩，解得1x <-或01x <<， 故函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-,(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞-,(0,1).（2）当0a =时，()221ln (1)e 2x g x x x x =-+-，定义域为()0,∞+， ()212(1)e (1)e x x g x x x x x ∴=-++-'-()()()2111e 11e x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=+-- ⎪⎝⎭， 设()1e (0)x h x x x=->， ()21e 0x h x x =+'∴>，所以()h x 在区间()0,∞+上是增函数，()120,1e 102h h ⎛⎫=<=-> ⎪⎝⎭， ∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即00000011e 0,e ,ln x x x x x x -==-=， 当00x x <<时，()0h x <，即()0g x '>；当01x x <<时，()0h x >，即()0g x '<；当1x >时，()0h x >，即()0g x '>，()g x ∴在区间()00,x 上是增函数，在区间()0,1x 上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，∴当0x x =时，()g x 取极大值为()()02200001ln 1e 2x g x x x x =-+- 22000011(1)2x x x x =--+-⋅ 2001122x x =-+-， 设()21112122F x x x x ⎛⎫=-+-<< ⎪⎝⎭，21()0F x x x '=--<， 所以()F x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数. ()()01111220,2248g x g g x ⎛⎫∴<=-⨯+-=-<∴ ⎪⎝⎭在()0,1内无零点， ()()2110,2e 2ln202g g =-<=-+> ， ()g x ∴在()1,+∞内有且只有一个零点，综上所述，()g x 有且只有一个零点.10.（2023届河南省安阳市高三上学期名校调研摸底）已知函数()()e 1ln x f x a ax a =--+,其中2e a >-,且0a ≠.(1)当1a =时,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 只有一个零点,求a 的取值范围.【过程详解】 (1)当1a =时,()()()e 1ln 1,1x f x x x =--+>-,()()1e ,11x f x x x '=->-+, 易知()f x '在()1,-+∞上单调递增,且()00f '=,所以当()1,0x ∈-时,()0f x '<,此时()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,此时()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间是()0,∞+,单调递减区间是()1,0-；(2)()()e 1111e 1x xa f x a x x x '=-=+-++, 令()()e 11x g a x x +=-,（1）当2e 0a -<<时,则(),1x ∈-∞-,()()e 2x x a x g =+',当(),2x ∞∈--时,()0g x '>,此时()g x 单调递增；当()2,1x ∈--时,()0g x '<,此时()g x 单调递减；故()()2210e a g x g ≤-=-<-, 则()()e 1101x f x a x x +-'=>+,()f x 在(),1-∞-单调递增, 又1x →-时,()f x →+∞；x →-∞时,()f x →-∞；所以此时()f x 在(),1-∞-只有一个零点；（2）当0a >时,则()1,x ∈--∞,()()e 20x g x a x '=+>恒成立,()g x 在()1,--∞单调递增,且()110g -=-<,()111111e 11e a a g a a a a ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎛⎫== ⎪⎭⎭⎝, 又11,11e a a >+>,则()1111e 1e 1110a a g a a a a ⎛⎛⎫==> ⎪⎫+-+⎪⎭-⎭⎝ ⎝, 故存在011,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,使得()00g x =, 当()01,x x ∈-时,()0g x <,当()0,x x ∈+∞时,()0g x >,因为当1x >-时,101x >+, 所以当()01,x x ∈-时,()0f x '<,()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增；当0x x =时,()f x 取得极小值,由()00g x =得001e 1x a x =+,则001ln 1ln a x x =++, ()()0200000011e ln 1ln 11011x x f x a x a x x x -=-+--=+-=≥++ 当00x =时,等号成立,由()00f =,可得()0e 1ln 1ln 00f a a a a =--=--=,解得1a =,综合第一问可知,当1a =时,()f x 只有一个零点；综上,若()f x 只有一个零点,则a 的取值范围是(){}2e ,01-⋃11.（2023届三省三校高三第一次联考）已知函数()(1)ln f x m x x =--.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若0m =,设()()()2e x g x f x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为n ,求证：(3)(4)0n n --< . 【过程详解】 (1)定义域：,()0x ∈+∞.1(1)1()1m x f x m x x--'=--=. ①当10m -≤,即m 1≥时：()0f x '<恒成立.故()f x 在(0,)+∞上单调递减.②当10m ->,即1m <时：令()0f x '<,即(1)10m x x --<,解得：101x m<<-; 所以()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. 综上所述：当m 1≥时：()f x 在(0,)+∞上单调递减；当1m <时：()f x 在1(0,1m -上单调递减,在1(,)1m+∞-上单调递增. (2)当0m =时,()()1ln 2e ,,12x g x x x x x ⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. ()()()()1111e 2e 1e 1e x x x x x g x x x x x x x -⎛⎫=--+-=+-=-- ⎪⎝⎭'. 因为()1e x m x x =-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且1202m ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,()1e 10m =->. 所以必存在点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使00()g x '=,即00001e ln x x x x =⇒=- 且当01,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0g x '<,当()0,1x x ∈时()0g x '>, 所以()g x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间()0,1x 上单调递减. 所以()()()00000000min 0022ln 2e 221x x n g x g x x x x x x x x -===-+-=+=+-.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 又因00221n x x =+-在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 所以12212221342n n +-<<⨯+⨯-⇒<<. 故(3)(4)0n n --<恒成立.12．2()ln 3f x x x x =+-．（1）求()f x 的零点个数；（2）使不等式2()(2)ln 1f x x k x x x b ≥+----对任意[1,e]x ∈恒成立时最大的k 记为c ,求当[1,2]b ∈时,b c +的取值范围．【过程详解】（1）函数定义域是(0,)+∞, 由题意21231(21)(1)()23x x x x f x x x x x '-+--=+-==, 当102x <<或1x >时,()0f x '>,112x <<时,()0f x '<, 所以()f x 在1(0,)2和(1,)+∞上递增,在1(,1)2上递减, 0x →时,()f x →-∞,x →+∞时,()f x →+∞,()f x 极大值11135()ln ln 2022424f ==+-=--<,()f x 极小值(1)20f ==-<, 所以()f x 只在区间(1,)+∞上有一个零点；（2）因为0x >,所以原不等式可变为2()ln 1ln ln 121f x x x x b x x x b k x x-++++++≤+=-,令ln ln 1()1x x x b g x x +++=-,2ln ()x x b g x x --'=, 令()ln p x x x b =--,则11()1x p x x x -'=-=,[1,e]x ∈时,()0p x '≥,()p x 递增,min ()(1)1p x p b ==-,max ()(e)e 1p x p b ==--,①当(1)0p ≥,即1b =时,在[1,e]上()0g x '≥,()g x 是增函数, min ()(1)c g x g b ===,22c b b +==,②当(e)0p ≤,即[e 1,2]b ∈-时,()0g x '≤,()g x 递减,min 2()(e)e b c g x g +===,214[e,2]e e e b b c b ++=+∈++； ③当(1)(e)0p p <时,()p x 在(1,e)上递增, 存在唯一的实数0(1,e)x ∈,使得0()0p x =,00ln 0x x b --=,00ln b x x =-, 则当0(1,)x x ∈时,()0p x <,()0g x '<,()g x 递减, 0(,e)x x ∈时,()0p x >,()0g x '>,()g x 递增, 000min 0000ln ln 11()()1ln x x x b c g x g x x x x +++===-=+, 00000011ln ln b c x x x x x x +=-++=+, 00ln b x x =-,令()ln h x x x =-,1()1h x x'=-,(1,e)x ∈时,()0h x '>,()h x 递增, 所以(1,e 1)b ∈-时,0(1,e)x ∈,所以0011(2,e )eb c x x +=+∈+, 综上,4[2,2]e b c +∈+．。
2024全国高考真题数学汇编：三角函数章节综合
2024全国高考真题数学汇编三角函数章节综合一、单选题1．（2024天津高考真题）下列函数是偶函数的是（）A ．22e 1x x y x -=+B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x x y +=2．（2024全国高考真题）函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．（2024北京高考真题）设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024全国高考真题）当[0,2]x Î时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．85．（2024全国高考真题）设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．26．（2024天津高考真题）已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A ．B ．32-C ．0D ．32二、多选题7．（2024全国高考真题）对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴三、填空题8．（2024北京高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cosβ的最大值为．参考答案1．B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x xx ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.2．B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.3．B【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点，则12minπ22T x x -==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==.故选：B.4．C【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =，函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C 5．D【分析】解法一：令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos F x ax a G x x =+-=，原题意等价于当(1,1)x ∈-()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.6．A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A 7．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 8．12-/0.5-【分析】首先得出π2π,Z k k βα=++∈，结合三角函数单调性即可求解最值.【详解】由题意π2π,Z k k βα=++∈，从而()cos cos π2πcos k βαα=++=-，因为ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos α的取值范围是1,22⎡⎢⎣⎦，cos β的取值范围是122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当且仅当π3α=，即4π2π,Z 3k k β=+∈时，cos β取得最大值，且最大值为12-.故答案为：12-.。
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高三复习函数的零点部分高考试题汇编
Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
函数的零点部分高考试题汇编
1、函数()⎩⎨
⎧>+-≤-=1
,341
,442
x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）
2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）
A.⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,81
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛21,41
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21
D.(1,2)
3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过， 则()f x 可以是
（ ）A. ()41f x x =- B. ()2(1)f x x =- C. ()1x
f x e =- D.)2
1ln()(-
=x x f 4．（10上海理）若0x 是方程31
)2
1(x x
=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 . C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0 5．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．（0，1）.
B ．（1，）.
C ．（，）
D ．（，2）
6．（10天津理）函数()x x f x
32+=的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1
7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x
的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,
)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点
的是（ ）A ．[]2,4-- B ．[]0,2- C ．[]2,0 D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()x
x f x
-+
=11
2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）
A ．()01<x f ，()02<x f
B ．()01<x f ，()02>x f
C ．()01>x f ，()02<x f
D ．()01>x f ，()02>x f
10．（07湖南文理）函数2
441()431
x x f x x x x -⎧=⎨
-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象
的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
11．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超
过，则()f x 可以是（ ）
A .()41f x x =-
B .()2(1)f x x =-
C .()1x f x e =-
D .()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=21ln x x f 12．（09重庆理）已知以4T =
为周期的函数(1,1]
()12,(1,3]
x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中
0m >。
若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
A
．8,)33 B
．3 C ．48(,)33 D
．4
(3
13．（10福建理）函数()⎩
⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20
,322x x x x x x f 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
14.（11天津）．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩ 设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共
点，则实数c 的取值范围是（ ）
A ．(]3,21,
2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ B ．(]3,21,4⎛
⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．111,
,44⎛
⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
15（11陕西）函数
—cosx 在[0，+∞）内 （ ）
A.没有零点
B.有且仅有一个零点
C.有且仅有两个零点
D.有无穷多个零点 16.（11重庆）设m ，k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为
17、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是
18、方程 96370x x
-•-=的解是 ．.
19、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示：给出下列四个命题： ①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程
0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根
其中正确的命题是 ．
20、（09山东理）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]
上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则
1234_________.x x x x +++=
21、（11北京）已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实
根，则数k 的取值范围是_______ 22．（08湖北文）方程22
3x
x -+=的实数解的个数为 ．
23．（09山东理）若函数()a x a x f x
--=()1.0≠>a a 有两个零点，则实数a 的取值范围是 。
24．（10全国I 理）直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。
25．（08四川理）已知3x =是2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 26．（09江西文）设函数3
2
9()62
f x x x x a =-
+- （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；
（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围 27．（09天津文）设函数0),(,)1(3
1)(223
>∈-++-
=m R x x m x x x f 其中
（Ⅰ）当时，1=m 曲线））（，在点（11)(f x f y =处的切线斜率；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数)(x f 有三个互不相同的零点0，21,x x ，且21x x <。
若对任意的
],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立，求m 的取值范围。
28.(全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数
.)(2
3a x x x x f +--= (Ⅰ)求)(x f 的极值.(Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点。