直线与方程提高训练和详解

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人教版必修二第三章直线与方程直线与方程课后提升练习及答案

第三章直线与方程直线与方程课后提升练习3．1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率1．已知点A(1，－3)，B(－1,3)，则直线AB的斜率是()A.13B．－13C．3 D．－32．经过A(－2,0)，B(－5,3)两点的直线的倾斜角是()A．45°B．135°C．90°D．60°3．过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3 D．1或44．已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是()A．0°≤α＜180°B．15°＜α＜180°C．15°≤α＜195°D．15°≤α＜180°5．下列说法错误的是()A．在平面坐标系中每一条直线都有倾斜角B．没有斜率的直线是存在的C．每一条不垂直于x轴的直线的斜率都存在D．斜率为tanθ的直线的倾斜角一定是θ6．若直线y＝x的倾斜角为α，则α＝()A．0°B．45°C．90°D．不存在7．在图K3-1-1中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()图K3-1-1A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k28．已知直线的斜率k＝2，点A(3,5)，B(x,7)，C(－1，y)是这条直线上的三个点，x＝______，y＝______. 9．已知直线l经过点A(－m,6)，B(1,3m)，当实数m为何值时，(1)直线l的斜率为2；(2)直线l的倾斜角为135°.10．已知点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．第1页共15页。

直线与方程_知识点总结_例题习题精讲_详细答案_提高训练

【知识点一：倾斜角与斜率】（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。

②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00 ③倾斜角α的范围000180α≤< （2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率.（3）求斜率的一般方法：①已知直线上两点，根据斜率公式212121()y y k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率；（4）利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =⇔ 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行（2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 【知识点三：直线的方程】名称方程的形式已知条件局限性①点斜式11()y y k x x -=-11(,)x y 为直线上一定点， k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线②斜截式 y kx b =+ k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线知能梳理问题：过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】 (1)若1212x x y y =≠且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =； (2)若1212x x y y ≠=且，直线垂直于y 轴,方程为12y y =； (3)若1212x x y y ≠≠且，直线方程可用两点式表示直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：方程的条件限制为0,0a b ≠≠，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度.截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。

(数学试卷高一)第三章直线与方程提高训练及答案C组

(数学2必修)第三章直线与方程［提高训练c组］一、选择题1如果直线I沿x轴负方向平移3个单位再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线I的斜率是( )A B 3 C D 32若都在直线上，则用表示为( )A B C D3 直线I与两直线y 1和x y 7 0分别交于A,B两点，若线段AB的中点为M (1, 1)，贝U直线I的斜率为( )A3B2 C £ D Z23 2 34△ ABC 中，星A(4,1),A B的中点为M (3,2),重心为P(4, 2)，则边BC的长为点( )A5B4 C 10 D 85下列说法的正确的是( )A 经过定点的直线都可以用方程表示B 经过定点A0，b的直线都可以用方程表示C 不经过原点的直线都可以用方程表示D 经过任意两个不同的点R心y1、P2 X2, y的直线都可以用方程表示6若动点P到点F(1,1)和直线3x y 40的距离相等，则点P的轨迹方程为( )A3x y60 B x3y 20C X3y20 D3x y 20二填空题_1已知直线l1:y2x3, l2与l1关于直线y x对称，直线l a丄l2，则l3的斜率是4 求函数f(x) . x2 2x 2 . x2 4x 8的最小值2 直线x y 1 0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l ,则直线I的方程是___________4 求函数f(x) . x 2 2x 2 . x 2 4x 8的最小值3 一直线过点M( 3,4)，并且在两坐标轴上截距之和为 12，这条直线方程是数学2 (必修) 第三章直线和方程［提高训练C 组］参考答案一、选择题 1 1 A tan32 D PQ yl (a ~c)2__(b~d)2 yl (a ~c)2__m 2(a~c)2 a C __m 23 D A( 2,1),B(4, 3)4 A B(2,5),C(6,2), BC 55 D斜率有可能不存在，截距也有可能为 06 B 点F(1,1)在直线3x y 4 0上，则过点F(1,1)且垂直于已知直线的直线为所求二、填空题“13 1 1 2 l 1: y 2x 3,l 2: x 2y 3, y x, k 2 , k 32P(3,4) l 的倾斜角为 450 900 1350,tan135°3 4x y 16 0，或 x 3y 9三、解答题1. 解：过点M(3,5)且垂直于OM 的直线为所求的直线，即3 3 k , y 5 (x 3),3x 5y 525 5设 y 4 k(x 3), y 0, x —3;x 0, y k 3k 4;3 3k4 1243k — 11k120,3k 11k 4 0,k4,或kky x 2k x kx y k 1y2. 解：x 1显然符合条件；当A(2,3) , B(0, 5)在所求直线同侧时，k AB 4y 2 4(x 1),4 x y 2 04x y 2 0,或x 13. 解：设P(2t,t),则|PA2 |PB2(2t 1)2 (t 1)2 (2t 2)2 (t 2)210t2 14t 107 22 7 7当t —时，PA PB取得最小值，即P(-,—)10 5 104. 解：f(x) Ux 1)2 (0 1)2,(x 2)2 (0 2)2可看作点(x,0)到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x轴对称的点(1, 1)f (x)min 12 32'、币若方程x* 1 2 3my22x 2y 0表示两条直线，则m的取值是15 当0 k 一时，两条直线kx y k 1、ky x 2k的交点在________________________ 象限2三、解答题1经过点M (3,5)的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？2 求经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0, 5)到它的距离相等的直线方程1 2 23 已知点A(1,1)，B(2,2)，点P在直线y -x上，求|PA | PB取得最小值时P点的坐标。

高中数学直线的方程练习题及讲解

高中数学直线的方程练习题及讲解### 练习题1：点斜式方程题目：已知直线过点A(3,4)，且斜率为-2，求该直线的方程。

解答：根据点斜式方程 \( y - y_1 = m(x - x_1) \)，其中 \( m \) 是斜率，\( (x_1, y_1) \) 是已知点。

代入已知值：\( m = -2 \)，\( (x_1, y_1) = (3, 4) \)。

得到方程：\( y - 4 = -2(x - 3) \)。

### 练习题2：斜截式方程题目：若直线的斜率为3，且在y轴上的截距为-5，求该直线的方程。

解答：斜截式方程为 \( y = mx + b \)，其中 \( m \) 是斜率，\( b \) 是y轴截距。

代入已知值：\( m = 3 \)，\( b = -5 \)。

得到方程：\( y = 3x - 5 \)。

### 练习题3：两点式方程题目：求经过点B(-1,6)和点C(4,-1)的直线方程。

解答：两点式方程为 \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x -x_1}{x_2 - x_1} \)。

代入点B和点C的坐标：\( \frac{y - 6}{-1 - 6} = \frac{x - (-1)}{4 - (-1)} \)。

化简得到：\( 7(y - 6) = -5(x + 1) \)。

### 练习题4：截距式方程题目：若直线与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,-3)，求该直线的方程。

解答：截距式方程为 \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是x轴和y轴的截距。

代入截距：\( a = 4 \)，\( b = -3 \)。

得到方程：\( \frac{x}{4} - \frac{y}{3} = 1 \)。

### 练习题5：一般式方程题目：将直线方程 \( 3x + 4y - 12 = 0 \) 转换为斜截式。

第三章直线与方程知识点归纳及练习题

1.直线的倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k AB＝y2－y1 x2－x1.(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).2.解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.3.由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.4.学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.5.直线系方程直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：(1)过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数，λ≠C )；(3)垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；(4)过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，恰好表示直线l 1；当λ≠0时，方程表示过直线l 1和l 2的交点，但不含直线l 2).6.“对称”问题的解题策略对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.(1)中心对称①两点关于点对称，设P 1(x 1，y 1)，P (a ，b )，则P 1(x 1，y 1)关于P (a ，b )对称的点为P 2(2a －x 1,2b －y 1)，即P 为线段P 1P 2的中点.特别地，P (x ，y )关于原点对称的点为P ′(－x ，－y ).②两直线关于点对称，设直线l 1，l 2关于点P 对称，这时其中一条直线上任一点关于点P 对称的点在另一条直线上，并且l 1∥l 2，P 到l 1，l 2的距离相等.(2)轴对称①两点关于直线对称，设P 1，P 2关于直线l 对称，则直线P 1P 2与l 垂直，且线段P 1P 2的中点在l 上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.②两直线关于直线对称，设l 1，l 2关于直线l 对称.当三条直线l 1，l 2，l 共点时，l 上任意一点到l 1，l 2的距离相等，并且l 1，l 2中一条直线上任意一点关于l 对称的点在另外一条直线上；当l 1∥l 2∥l 时，l 1与l 间的距离等于l 2与l 间的距离.题型一直线的倾斜角和斜率倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k 的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视.(1)对应关系①α≠90°时，k ＝tan α.②α＝90°时，斜率不存在.(2)单调性当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k 由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)，应注意其适用的条件x 1≠x 2，当x 1＝x 2时，直线斜率不存在.例1 已知坐标平面内的三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1).(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的取值范围.跟踪训练1 求经过A (m,3)、B (1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围.题型二直线方程的五种形式直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.例2 求与直线y ＝43x ＋53垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l 的方程.跟踪训练2 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.题型三直线的位置关系两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.例3已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值.(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等.跟踪训练3(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为 5.求直线l1的方程.题型四最值问题方法梳理1.构造函数求解最值：利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值.2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值.3.结合图象，利用几何性质帮助解答.数学思想函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想.例4已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？跟踪训练4 如图，一列载着危重病人的火车从O 地出发，沿北偏东α度(射线OA )方向行驶，其中sin α＝1010.在距离O 地5a (a 为正常数)千米，北偏东β度的N 处住有一位医学专家，其中sin β＝35，现120指挥中心紧急征调离O 地正东p 千米B 处的救护车，先到N 处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C 处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB 所围成的三角形OBC 的面积S 最小时，抢救最及时.(1)在以O 为原点，正北方向为y 轴的直角坐标系中，求射线OA 所在的直线方程；(2)求S 关于p 的函数关系式S ＝f (p )；(3)当p 为何值时，抢救最及时？题型五分类讨论思想分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.例5 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.题型六数形结合思想根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6 已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解.2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解.3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二《直线的方程第1课时》课时提高训练及解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修二1.2 直线的方程第1课时直线方程的点斜式问题导学1．求直线的点斜式方程活动与探究1根据下列条件写出直线的点斜式方程． (1)斜率为－23，且过点(－1,2)；(2)经过点(3,1)，倾斜角为45°；(3)斜率为32，与x 轴交点的横坐标为－7；(4)过点B(－1,0)，D(4，－5)； (5)过点C(－2,3)，与x 轴垂直．迁移与应用(1)经过点(－2，2)，倾斜角是60°的直线方程为__________；(2)经过点(10,3)且平行于x轴的直线方程为__________；(3)若直线l的方程为y＝－2(x＋1)－1，则该直线的斜率为__________；(4)若直线方程为y－2＝k(x＋3)，则该直线必经过定点P，P点坐标为__________．(1)求直线的点斜式方程时，首先应确定直线的斜率，然后在直线上找一点，代入点斜式方程即可，若直线的斜率不存在，则直线方程不能写成点斜式形式．(2)已知直线的斜截式方程或将直线方程化为斜截式后，可求出该直线所经过的定点．一般地，方程y－y0＝k(x－x0)表示的直线必经过定点(x0，y0)．2．求直线的斜截式方程活动与探究2求下列直线的方程：(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行．迁移与应用1．倾斜角为30°，且在y轴上的截距为－5的直线方程是__________．2．若直线方程为y＋3＝2(x－1)，则它在y轴上的截距为__________．1．求直线的斜截式方程时，只需确定直线的斜率与直线在y 轴上的截距即可． 2．斜截式方程是点斜式方程的一种特殊情况，利用斜截式求直线的方程时，要先判断直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直线的方程不能用斜截式求解，但在用待定系数法求直线方程时，常用斜截式设出直线方程．3．直线在y 轴、x 轴上的截距指的是直线与y 轴、x 轴交点的纵坐标、横坐标，它可以大于0，可以小于0，可以等于0，截距与距离不同；求直线截距的方法是：在直线方程中令x ＝0，解出y 的值即为直线在y 轴上的截距；在直线方程中令y ＝0，求得x 的值，即为直线在x 轴上的截距．3．点斜式方程的应用活动与探究3直线l 的斜率为14，且和两坐标轴围成面积为2的三角形，求直线l 的方程．迁移与应用斜率为－43的直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为9，求直线l 的方程．1．已知斜率及任意一点的坐标，我们习惯上选择点斜式求直线的方程；如果该点比较特殊(直线与坐标轴的交点)，则习惯上选择斜截式求直线的方程．2．解决此类问题的常用方法是待定系数法，首先设出直线方程，然后根据已知条件求出待定系数．方程的思想是解答此类题目的重要手段．当堂检测1．直线的点斜式方程y －y 0＝k(x －x 0)可以表示( )． A ．任何一条直线 B ．不过原点的直线 C ．不与坐标轴垂直的直线D ．不与x 轴垂直的直线2．过点P(－2,0)，斜率是3的直线的方程是( )． A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2) D ．y ＝3(x ＋2)3．直线y ＝2x －1在y 轴上的截距为( )． A ．2 B ．1 C ．－1 D ．124．(1)斜率是32，在y 轴上的截距是－2的直线的斜截式方程为__________； (2)直线y ＝mx ＋1(m ∈R)经过定点M ，则M 的坐标为__________． 5．已知直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋2＝0. (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 在y 轴上的截距为4，求k 的值．答案：课前预习导学预习导引1．满足一个方程在直线l上预习交流1 提示：不能．因为虽然以方程y＝x(x≥0)的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但过原点且平分第一、三象限的直线上的某些点不是方程y＝x(x≥0)的解，如(－1，－1)是不满足方程y＝x(x≥0)的．2．y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b预习交流2 提示：不相同．前者表示整条直线，而后者表示少了点(x0，y0)的直线．预习交流3 提示：x＝x0.3．k b 截距预习交流4 提示：直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数．预习交流5 提示：直线方程的斜截式是y＝kx＋b，其中k，b∈R；而一次函数的解析式是y＝kx＋b，其中k≠0，b∈R.即在一次函数解析式中，要求x的系数不能为零，而斜截式方程则无此限制．课堂合作探究问题导学活动与探究1 思路分析：直线的点斜式方程需要定点坐标和斜率两个条件，解题时首先分析所求直线的斜率是否存在，若存在，斜率是什么，再根据点斜式写出方程．解：(1)所求直线的斜率为－23，又过点(－1,2)，故所求方程为y－2＝－23(x＋1)．(2)设直线的倾斜角为α，∵α＝45°，k＝tan α＝tan 45°＝1，∴所求直线的点斜式方程为y－1＝x－3.(3)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．又斜率为32，由直线的点斜式方程得y－0＝32[x－(－7)]．(4)直线的斜率为k＝－5－04－(－1)＝－1，∴直线的点斜式方程为y－0＝－(x＋1)．(5)x＝－2.迁移与应用(1)y－2＝3(x＋2) (2)y＝3 (3)－2 (4)(－3,2)解析：(1)k＝tan 60°＝3，故所求直线的点斜式方程为y－2＝3(x＋2)．(2)由直线与x轴平行，得直线的斜率k＝0.故所求直线的方程为y＝3.(3)直线方程可化为y＋1＝－2(x＋1)，它表示经过点(－1，－1)，斜率为－2的直线，即直线斜率为－2.(4)直线方程为y－2＝k(x＋3)，它表示经过点(－3,2)，斜率为k的直线，因此直线经过的定点P的坐标为(－3,2)．活动与探究2 思路分析：(1)已知斜率和在y轴上的截距，可直接利用斜截式写方程；(2)所求直线与x轴平行，此时斜率为0是特殊的直线，可以确定直线上所有点的纵坐标，再由纵坐标写直线的方程．解：(1)由斜截式可得所求直线的方程为y＝－4x＋7；(2)因为直线与x轴平行，所以直线上所有点的纵坐标相等，均为2，所以所求的直线方程为y＝2.迁移与应用 1．y ＝33x －5 解析：斜率k ＝tan 30°＝33，所以直线方程为y ＝33x －5.2．－5 解析：在方程y ＋3＝2(x －1)中，令x ＝0，得y ＝－5，因此直线在y 轴上的截距为－5.活动与探究3 思路分析：已知斜率，且三角形面积与坐标轴上的截距有关，因此可设截距式y ＝14x ＋b ，利用直线l 和两坐标轴围成的三角形的面积为2，求出截距，从而得出直线l 的方程．解：∵直线l 的斜率为14，∴设直线l 的方程为y ＝14x ＋b.令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－4b.由直线l 和两坐标轴围成的三角形的面积为2，可得12×|－4b|×|b|＝2，∴b 2＝1，解得b＝±1.故所求直线l 的方程为y ＝14x ±1.迁移与应用解：设直线的斜截式方程为y ＝－43x ＋b ，令x ＝0，则y ＝b ；令y ＝0，则x ＝34b ，由|b|＋34|b|＋(b －0)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－34b 2＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋34＋54|b|＝9，得|b|＝3，即b ＝±3，∴所求直线的方程为y ＝－43x ±3.当堂检测1．D 2．D 3．C 4．(1)y ＝32x －2 (2)(0,1) 5．(1)证明：直线l 的方程可化为y －2＝k(x ＋2)，这是直线方程的点斜式，它表示经过点(－2,2)，斜率为k的直线，故直线过定点(－2,2)．(2)解：令x＝0，得y＝2k＋2，依题意有2k＋2＝4，故k＝1.。

新教材高中数学第二章直线的一般式方程课后篇巩固提升含解析新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学新人教A版选择性必修第一册：2.2.3直线的一般式方程课后篇巩固提升必备知识基础练1.两直线3x+y-a=0与3x+y-1=0的位置关系是()A.相交B.平行C.重合D.平行或重合2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二、四象限,则()A.C=0,B>0B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0D.AB>0,C=0l过原点,所以C=0,方程可化为y=-AB x,直线过二、四象限,所以斜率k=-AB<0,∴AB>0.3.已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,垂足为(1,c),则a+b+c的值为()A.-4B.20C.0D.24直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0互相垂直,∴2a-20=0,解得a=10.将(1,c)分别代入两直线的方程得c=-2,b=-12.∴a+b+c=-4.4.已知点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为()A.x-y+5=0B.x-y-3=0C.x+y-5=0D.x-y+1=0k MH=4-2-1-1=-1,∴直线l的斜率k=1,∴直线l的方程为y-4=x+1,即x-y+5=0.5.如图所示,直线l的方程为Ax+By+C=0,则()A.AB>0,BC<0B.AB<0,BC>0C.AB>0,BC>0D.AB<0,BC<0,直线l的倾斜角为锐角,则其斜率k=-AB>0,于是AB<0;直线l与y轴的交点在y轴负半轴上,则直线l在y轴上的截距b=-CB <0,于是BC>0.6.(多选题)直线l1:ax-y+b=0与直线l2:bx+y-a=0(ab≠0)的图象可能是()1:y=ax+b,l2:y=-bx+a.在A中,由l1知a>0,b<0,则-b>0,与l2的图象不符;在B中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;在C中,由l1知a<0,b>0,则-b<0,与l2的图象相符;在D中,由l1知a>0,b>0,则-b<0,与l2的图象不符.7.若直线l的方程为y-a=(a-1)(x+2),且l在y轴上的截距为6,则a=.x=0,得y=(a-1)×2+a=6,解得a=83.8.直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,此时a=2,即l的方程为3x+y=0;若a≠2,则a-2a+1=a-2,即a+1=1,所以a=0,即l的方程为x+y+2=0.所以a的值为0或2.(2)直线l的方程化为a(x-1)+(x+y+2)=0,l恒过定点(1,-3),所以当斜率-(a+1)≥0,即a≤-1时,l不经过第二象限.故a的取值范围是(-∞,-1].关键能力提升练9.已知线段AB的中垂线方程为x-y-1=0且A(-1,1),则B点坐标为()A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,-2)D.(2,2)B的坐标为(a,b),由题意可知{b-1a+1×1=-1,a-1 2-b+12-1=0,解得a=2,b=-2,所以B点坐标为(2,-2).故选A.10.直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是()A.-4B.-2C.2D.4直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,∴(a+3)×1+1×(a-1)=0,∴a=-1, ∴直线l1:2x+y+4=0,令y=0,可得x=-2,∴直线l1在x轴上的截距是-2,故选B.11.(2020山西大同一中高二上期中)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为()A.0B.2C.4D.√2,a2+(b+2)(b-2)=0,∴a2+b2=4.又a2+b2≥2ab,∴ab≤2,当且仅当a=b=±√2时,等号成立.∴ab的最大值为2.故选B.12.(多选题)三条直线x+y=0,x-y=0,x+ay=3围成一个三角形,则a的取值可以是()A.-1B.1C.2D.5x+y=0,x-y=0都经过原点,而无论a为何值,直线x+ay=3总不能经过原点,故只需直线x+ay=3与另两条直线均不平行,即a≠±1.13.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是.点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)的坐标满足2x+y+1=0.∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上, ∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)的坐标也满足2x+y+1=0.∴过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0.x+y+1=014.(2020辽宁六校协作体高二上期中)直线l:mx+y-1-m=0过定点,过此定点,且倾斜角为π2的直线方程为.l 的方程可化为m (x-1)+(y-1)=0.故直线l 过定点(1,1).又当倾斜角为π2时,直线垂直于x 轴,所以过点(1,1),且倾斜角为π2的直线方程为x=1.x=1学科素养创新练15.已知直线l 1:ax-by+4=0,l 2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a ,b 的值.(1)l 1⊥l 2,且直线l 1过点M (-4,-1);(2)直线l 1∥l 2,且l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数.∵l 1过点M (-4,-1),∴-4a+b+4=0.∵l 1⊥l 2,∴a ×(1-a )+b=0.∴{a =1,b =0或{a =4,b =12. (2)由题意可得,两条直线不可能都经过原点,当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,可知两条直线不平行.b ≠0时两条直线分别化为:y=a b x+4b ,y=(1-a )x-b , ∴a b =1-a ,4b =b ,解得{b =2,a =23,或{b =-2,a =2.。

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1．一条光线从点 A(－1,3)射向 x 轴，经过 x 轴上的点 P 反射后通过点 B(3,1)，求 P 点的坐标．3－0＝－31－ 01解设 P( x,0) ，则 k PA ＝， k PB ＝＝，依题意，－ 1－ x x ＋ 1 3－ x 3－ x由光的反射定律得k PA ＝－ k PB ，即 3＝ 1，解得 x ＝2，即 P(2,0)．x ＋1 3－ x2．△ ABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上， A 在边 BC 的右侧，∠ BAC 的平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．解如右图，由题意知 ∠BAO ＝ ∠ OAC ＝ 30°，∴ 直线 AB 的倾斜角为 180°－ 30°＝ 150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，∴ k AB ＝ tan 1503＝°－ 3 ，AC3k ＝ tan 30 ＝° 3 .2f a ， f b ， f c的大小． 3．已知函数 f(x)＝ log ( x ＋ 1)， a>b>c>0，试比较a b c解画出函数的草图如图，f xx 可视为过原点直线的斜率．f c f b f a由图象可知：c>b>a.4． (1) 已知四点 A(5,3)， B(10,6)，C(3，－ 4)， D(－ 6,11)，求证： AB ⊥ CD .(2)已知直线 l 1 的斜率 k 1＝ 3，直线 l 2 经过点 A(3a ，－ 2)， B(0， a 2＋ 1)且 l 1⊥ l 2，求实数4 a 的值．(1)证明由斜率公式得：k AB ＝ 6－ 3 310－5 ＝ 5，11－－ 45 k CD ＝－ 6－ 3 ＝－ 3，则 k AB ·k CD ＝－ 1， ∴ AB ⊥CD .(2)解∵ l 1⊥ l 2，∴ k 1·k 2＝－ 1，3× a 2＋ 1－－ 2即＝－ 1，解得 a ＝1 或 a ＝3.40－ 3a5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、P(1， t)、 Q(1－ 2t,2＋ t)、R(－ 2t,2)，其中 t>0. 试判断四边形 OPQR 的形状．解由斜率公式得k OP＝t － 0＝ t，1－ 0QR 2－ 2＋ t＝－t＝ t，k OR2－ 0＝－1，k ＝－ 2t－ 1－ 2t－ 1＝t － 2t－ 0k PQ＝2＋ t －t2＝－1.＝1－ 2t－ 1－ 2t t∴k OP＝k QR， k OR＝ k PQ，从而 OP∥ QR， OR∥PQ .∴四边形 OPQR 为平行四边形．又k OP·k OR＝－ 1，∴ OP⊥ OR，故四边形 OPQR 为矩形．6．已知四边形ABCD 的顶点 A(m， n)， B(5，－ 1)， C(4， 2)， D(2,2) ，求 m 和 n 的值，使四边形 ABCD 为直角梯形．解∵四边形 ABCD 是直角梯形，∴有 2 种情形：(1)AB∥CD ， AB⊥ AD，由图可知： A(2，－ 1)．(2)AD∥ BC， AD ⊥ AB，k AD＝ k BCk AD·k AB＝－ 1n－2＝ 3m－ 2－1?n－ 2 n＋1·＝－ 1m－ 2 m－ 516m＝5.∴8n＝－516m＝ 2m＝5.综上或n＝－ 18n＝－57．已知直线 l1与 l 2的方程分别为7x＋ 8y＋ 9＝ 0,7x＋ 8y－3＝ 0.直线 l 平行于 l 1，直线 l 与 l1的距离为 d1，与 l2的距离为 d2，且 d1∶d2＝ 1∶ 2，求直线 l 的方程．解因为直线 l 平行 l1，设直线 l 的方程为 7x＋ 8y＋ C＝ 0，则 d1＝|C－ 9||C－－ 3 |，d2＝. 72＋ 8272＋82又2d1＝ d2，∴2|C－9|＝ |C＋ 3|.解得 C＝ 21 或 C＝ 5.故所求直线l 的方程为7x＋ 8y＋ 21＝ 0 或 7x＋8y＋ 5＝ 08．△ ABC 中， D 是 BC 边上任意一点(D 与 B，C 不重合 ) ，且 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | ·|DC|.求证：△ ABC 为等腰三角形．证明作 AO⊥ BC，垂足为 O，以 BC 所在直线为 x 轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 (如右图所示 )．设A(0，a)， B(b,0)， C(c,0)， D (d,0)．因为 |AB|2＝ |AD |2＋ |BD | |DC· |，所以，由距离公式可得b2＋ a2＝ d2＋ a2＋ (d－ b)(c－ d)，即－ (d－ b)(b＋d)＝( d－b)( c－d)．又 d－b≠ 0，故－ b－ d＝ c－ d，即－ b＝ c.所以 |AB|＝ |AC|，即△ ABC 为等腰三角形．9．一束平行光线从原点 O(0,0) 出发，经过直线l：8x＋ 6y＝ 25 反射后通过点 P(－ 4,3)，求反射光线与直线l 的交点坐标．解设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为 (a，b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得b4a·－3＝－ 1a＝4，解得，8×a b b＝3 2＋ 6×2＝ 25∴A 的坐标为 (4,3) ．∵ 反射光线的反向延长线过A(4,3) ，又由反射光线过P(－ 4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.y＝ 3x＝78，由方程组，解得8x＋ 6y＝25y＝ 37∴反射光线与直线l 的交点坐标为8，3 .。

直线与方程基础加能力提升含答案

2013级数学基础夯实与能力提升培训资料（六）一、基础训练1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（）A ．0B ．8-C ．2D ．104．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

5．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．6．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x7．若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线则m 的值为（）Ａ．21 Ｂ．21- Ｃ．2- Ｄ．28．直线x a yb221-=在y 轴上的截距是（）A ．bB ．2b -C ．b 2D ．±b9．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(3,1)D ．(2,1)10．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与,,a b θ的值有关二、能力提升（一）选择题1．下列说法的正确的是（ D ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a yb+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121表示2．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（B ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=（二）填空题1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______.2．直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转090得直线l ，则直线l 的方程是．3．一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是______________________．4．若方程02222=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是．5．当210<<k 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在象限．（三）解答题1．经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？2．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程3．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 21=上，求22PB PA +取得最小值时P 点的坐标。

人教A版(2019)选择性必修第一册《直线的方程》提升训练(含解析)

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.2 直线的方程》提升训练一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）方程y=k(x−2)表示()A. 通过点(2,0)的一切直线B. 通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线C. 通过点(−2,0)的一切直线D. 通过点(2,0)且除去x轴的一切直线2.（5分）若直线l与直线3x+y−1=0垂直，且直线l在x轴上的截距为−2，则直线l的方程为()A. x−3y−2=0B. x−3y+2=0C. 3x−y+2=0D. 3x−y−2=03.（5分）过两点A(3,1)，B(−2,0)的直线是l1，过点M(1,−4)且斜率为−5的直线为l2，则l1与l2的位置关系是()A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合4.（5分）已知点P(−1,2)，Q(3,−4)，则线段PQ的垂直平分线方程为()A. 2x+3y+5=0B. 2x+3y−5=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y−5=05.（5分）过点M(2,1)的直线与X轴，Y轴分别交于P，Q两点，且|MP|=|MQ|，则L的方程是()A. x−2y+3=0B. 2x−y−3=0C. 2x+y−5=0D. x+2y−4=06.（5分）经过点A(−1,2)且垂直于直线2x−3y+4=0的直线l的方程为()A. 3x+2y+1=0B. 3x+2y−1=0C. 2x−3y+5=0D. 2x−3y+8=07.（5分）直线x4+y5=1与x，y轴所围成的三角形的面积等于()A. 6B. 10C. 18D. 208.（5分）与直线3x−2y=0的斜率相等，且过点(−4,3)的直线方程为()A. y−3=−32(x+4) B. y+3=32(x−4)C. y−3=32(x+4) D. y+3=−32(x−4)二、填空题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）过点M(3,−4)，且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为______ .10.（5分）平面直角坐标系中，三角形ABC顶点分别为A(a,0)，B(0,b)，C(0,c)，点D(d,0)在线段OA上(异于端点)，设a，b，c，d均为非零实数，直线BD交AC于点E，则OE所在的直线的方程为 ______ .11.（5分）已知过点A(−2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则m的值为______ ．12.（5分）已知直线l1：ax+y+1=0与l2：y=√33x垂直，则直线l1的倾斜角为______ .13.（5分）过点(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线的方程是___________.三、解答题（本大题共5小题，共60分）14.（12分）已知ΔABC中，A(2,2)，B(−4,0)，C(3,−1)．(1)求直线BC的方程；(2)求BC边上的高所在的直线方程．15.（12分）已知直角ΔABC的顶点A的坐标为(−2,0)，直角顶点B的坐标为(1,√3)，顶点C在x轴上．(1)求边BC所在直线的方程；(2)求直线ΔABC的斜边中线所在的直线的方程．16.（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l 的方程．17.（12分）分别求满足下列条件的直线方程．(Ⅰ)过点(0,1)，且平行于l1：4x+2y−1=0的直线；(Ⅱ)与l2：x+y+1=0垂直，且过点P(−1,0)的直线．18.（12分）已知直线l1：3x+4y−7=0与l2：3x+4y+8=0．(1)若A(x1,y1)、B(x2,y2)两点分别在直线l1、l2上运动，求AB的中点D到原点的最短距离；(2)若M(2,3)，直线l过点M，且被直线l1、l2截得的线段长为3√5，求直线l的方程．四、多选题（本大题共5小题，共25分）19.（5分）过点(−2,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为()A. x+2y=0B. x+y+1=0C. x−y+3=0D. x−2y=020.（5分）下列说法不正确的是()A. y−y1x−x1=k不能表示过点M(x1,y1)且斜率为k的直线方程B. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa +yb=1C. 直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为bD. 设A(−2,2)，B(1,1)，若直线l：ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是(−∞,−2]21.（5分）直线l:y=kx+2与y−5x−5=2无公共点，则k的取值可能是()A. 2B. 35C. 12D. 5322.（5分）已知直线l：(a2+a+1)x−y+1=0，其中a∈R，下列说法正确的是( )A. 当a=−1时，直线l与直线x+y=0垂直B. 若直线l与直线x−y=0平行，则a=0C. 直线l过定点(0,1)D. 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等23.（5分）过点P(0,1)且和A(3,3)，B(5,−1)距离相等的直线的方程是()A. y=1B. 2x+y−1=0C. 2x+y−2=0 D. 2x+y+1=0答案和解析1.【答案】B;【解析】解：方程y=k(x−2)，即y−0=k(x−2)，表示通过点(2,0)且斜率为k的一切直线，即它表示通过点(2,0)且不垂直于x轴的一切直线，故选：B.由题意根据直线的点斜式方程，得出结论．此题主要考查直线的点斜式方程，属于基础题．2.【答案】B;【解析】此题主要考查两直线垂直的性质与直线的点斜式方程，属于基础题.根据题意得出直线l的斜率为13，再利用直线l在x轴上的截距为−2即可得到答案.解：根据题意直线3x+y−1=0的斜率为−3，所以直线l的斜率为13.又直线l在x轴上的截距为−2，即直线l与x轴的交点为(−2,0)，所以直线l的方程为y−0=13(x+2)，即x−3y+2=0.故选B.3.【答案】B;【解析】解：直线l1的斜率k=1−03−(−2)=15，而15×(−5)=−1，故l1⊥l2，故选：B．求出直线l1的斜率，根据斜率的乘积是−1，求出直线的位置关系即可．该题考查了直线的斜率问题，考查直线的位置关系即可．4.【答案】D;【解析】此题主要考查了点关于直线对称的性质以及直线方程的求法，属于基础题.注意到线段PQ的垂直平分线经过PQ的中点，且与直线PQ垂直，则两直线的斜率相乘等于−1，求出直线斜率，再利用点斜式求方程.解：∵点P(−1,2)，Q(3,−4)，∴PQ的中点坐标为(−1+32,2+(−4)2)=(1,−1)，k PQ=2−(−4)−1−3=−32，∴线段PQ的垂直平分线经过点(1,−1)，设斜率为k，则k.k PQ=−1⇒k=23，所以所求方程为y−(−1)=23(x−1)即2x−3y−5=0.故选D.5.【答案】D;【解析】解：设P(a,0)，Q(0,b)∵|MP|=|MQ|，M=(2,1)∴M点为PQ的中点，则P(4,0)，Q(0,2)∴x4+y2=1即x+2y−4=0故选：D．由题意知M点为PQ的中点，进而得出点P和Q的坐标，然后根据截距式求出方程即可．这道题主要考查用截距式求直线方程，属于基础题．6.【答案】B;【解析】此题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于基础题.先设与直线2x−3y+4=0垂直的直线l:3x+2y+n=0，再把点(−1,2)代入，即可求出n值即可得直线方程.解：设所求直线方程为l:3x+2y+n=0，而所求直线过点A(−1,2)，所以−3+4+n=0，解得n=−1，因此l:3x+2y−1=0.故选B.7.【答案】B;【解析】解：由直线的截距式方程x4+y5=1，得直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为5，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为：12×4×5=10，故选：B．利用直线的截距式方程，可得直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为5，从而求得直线与x，y轴所围成的三角形的面积．这道题主要考查了直线方程的截距式，以及三角形面积公式，是基础题．8.【答案】C;【解析】此题主要考查直线方程的求法，考查计算能力．求出直线的斜率，利用直线经过点(−4,3)，即可求出所求直线方程．解：因为所求直线与直线3x−2y=0的斜率相等，即为k=32，且直线经过点(−4,3)，所以y−3=32[(x−(−4)]=32(x+4),故选C.9.【答案】4x+3y=0或x+y−1=0 ;【解析】此题主要考查了直线的截距式方程，分直线过原点和不过原点两种情况讨论，直线过原点时直接求出斜率得直线方程；不过原点时设出直线方程，代入点的坐标得答案．解：当直线过原点时，直线的斜率k=−4−03−0=−43，直线方程为y=−43x，即4x+3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为xa +ya=1，将M(3,−4)代入得3a +−4a=1，所以a=1.∴直线方程为：x+y−1=0.故答案为4x+3y=0或x+y−1=0.10.【答案】(1d −1a)x+(1b−1c)y=0;【解析】解：直线AC方程：xa +yc=1，直线BD的方程为：xd+yb=1，两个方程相减可得：(1d −1a)x+(1b−1c)y=0，可知：交点E及原点满足上述方程．因此OE所在的直线的方程为：(1d −1a)x+(1b−1c)y=0.故答案为：(1d −1a)x+(1b−1c)y=0.利用截距式方程即可得出．此题主要考查了直线的截距式方程，属于基础题．11.【答案】-8;【解析】解：∵直线2x+y−1=0的斜率等于−2，∴过点A(−2,m)和B(m,4)的直线的斜率k也是−2，∴4−mm+2=−2解得：m=−8故答案为：−8因为过点A(−2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y−1=0平行，所以，两直线的斜率相等．该题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．12.【答案】120°;【解析】解：∵l2：y=√33x的斜率为√33，∴直线l1的斜率为−√3，设直线l1的倾斜角为α，则0°⩽α<180°，∴tanα=−√3，∴α=120°故答案为：120°由垂直可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．此题主要考查直线的垂直关系，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属基础题．13.【答案】2x+y−5=0;【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，直线的点斜式方程，属于基础题. 经过点A(2,1)的所有直线中距离原点最远的直线是与直线OA垂直的直线，利用斜率计算公式、直线的点斜式方程即可得出．解：如图所示，只有当直线l与OA垂直时，原点到l的距离最大，此时k OA=12，∴k l=−2，∴方程为y−1=−2(x−2)，即2x+y−5=0.故答案为2x+y−5=0.14.【答案】解：（1）∵B（-4，0），C（3，-1），∴k BC=−17，∴直线BC的方程为y=−17(x+4)，即x+7y+4=0．（2）设BC边上的高所在的直线为AD，则k AD=7，∴AD 的直线方程为y-2=7（x-2），即BC 边上的高所在的直线方程为：7x-y-12=0．; 【解析】(1)由两点求斜率公式求得BC 所在直线斜率，再由直线方程的点斜式得答案； (2)由两直线垂直与斜率的关系求得BC 边上的高所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．该题考查直线方程的求法，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．15.【答案】解：（1）依题意，直角△ABC 的直角顶点为B(1，√3) 所以AB ⊥BC ，故k AB •k BC =-1，又因为A （-3，0），∴k AB =√3−01+2=√33，∴k BC =-1k AB=-√3． ∴边BC 所在的直线方程为：y-√3=-√3（x-1），即√3x+y-2√3=0．（2）因为直线BC 的方程为√3x +y −2√3=0，点C 在x 轴上，由y=0，得x=2，即C （2，0），所以，斜边AC 的中点为（0，0），故直角△ABC 的斜边中线为OB （O 为坐标原点）．设直线OB ：y=kx ，代入B(1，√3)，得k =√3，所以直角△ABC 的斜边中线OB 的方程为y =√3x ．; 【解析】(1)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出．(2)利用直线与坐标轴相交可得C 坐标，利用中点坐标公式可得斜边AC 的中点，设直线OB ：y =kx ，代入B 可得k ．该题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞c ) （Ⅰ）由已知得{b =c 2a 2c=1a 2−b 2=c2⇒{a =√24b =c =14， ∴所求椭圆方程为8x 2+16y 2=1．（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx+2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由{y =kx +28x 2+16y 2=1，消去y 得关于x 的方程：（1+2k 2）x 2+8kx+6=0，由直线l 与椭圆相交于A 、B 两点， ∴△＞0⇒64k 2-24（1+2k 2）＞0 解得k 2＞32又由韦达定理得{x 1+x 2=−8k1+2k 2x 1.x 2=61+2k2∴|AB |=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 21+2k 2√16k 2−24原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2∵S △AOB =12|AB |.d =√16k 2−241+2k 2=2√2√2k 2−31+2k 2．对S =√16k 2−241+2k 2两边平方整理得：4S 2k 4+4（S 2-4）k 2+S 2+24=0（*）∵S≠0，{16(S 2−4)2−4×4S 2(S 2+24)≥04−S 2S 2＞0S 2+244S 2＞0 整理得：S 2≤12 又S ＞0，∴0＜S ≤√22从而S △AOB 的最大值为S =√22，此时代入方程（*）得4k 4-28k 2+49=0∴k =±√2542所以，所求直线方程为：±√254x −2y +4=0．; 【解析】(Ⅰ)先设出椭圆标准方程，根据题意可知b =c ，根据准线方程求得c 和a 的关系，进而求得a ，b 和c ，则椭圆方程可得．(Ⅱ)设出直线l 的方程和A ，B 的坐标，进而把直线方程与椭圆方程联立，消去y ，根据判别式大于0求得k 的范围，根据韦达定理求得x 1+x 2，x 1x 2的表达式，表示出|AB |，求得原点到直线的距离，进而表示出三角形的面积，两边平方根据一元二次方程，建立关于S 的不等式，求得S 的最大值，进而求得k ，则直线方程可得．这道题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．考查了学生分析问题和基本运算的能力．17.【答案】解：（Ⅰ）所求直线行于l 1， ∴所求直线的斜率为-2，又过点为（0，-1）， ∴由点斜式可得直线方程为y+1=-2（x-0），即2x+y+1=0；（Ⅱ）所求直线直线与l 2垂直，可设直线方程为x-y+m=0，过点P （-1，0），则m=1，故所求直线方程为x-y+1=0．; 【解析】(Ⅰ)根据直线的平行关系代入点斜式方程即可；(Ⅱ)根据直线的垂直关系设出直线方程，求出即可．该题考查了直线的位置关系，考查求直线方程问题，是一道基础题．18.【答案】解：（1）设与直线l 1及l 2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P （x ，y ），则√32+42=√32+42，化为：6x+8y-1=0，可得：AB 的中点D 到原点的最短距离为原点O 到上述直线的距离=√62+82=110；（2）设要求的直线方程为：y-3=k （x-2），分别联立：{3x +4y −7=0y −3=k(x −2)，{3x +4y +8=0y −3=k(x −2)，解得：{x =8k −53+4k y =9+k 3+4k ，{x =8k −203+4ky =9−14k3+4k，由题意可得：√(8k −53+4k −8k −203+4k)2+(9+k3+4k −9−14k 3+4k)2=3√5，化为：11k 2+24k+4=0，解得k=-2，或-211．∴直线l 的方程为：y=-2x+7，或y=-211x+3711．; 【解析】(1)设与直线l 1及l 2平行且到此两条直线的距离相等的直线上的任意一点为P(x,y)，可得：√32+42=√32+42，化简即可得出方程．可得：AB 的中点D 到原点的最短距离为原点O 到上述直线的距离．(2)设要求的直线方程为：y −3=k(x −2)，分别联立：{3x +4y −7=0y −3=k(x −2)，{3x +4y +8=0y −3=k(x −2)，解得交点，利用两点之间的距离公式进而得出结论．该题考查了相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】AC;【解析】解：∵当直线经过原点时，斜率为1−0−2−0=−12，此时，直线的方程为y =−12x ，即x +2y =0. 当直线经过原点时，设在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为xa +y−a =1，把点(−2,1)代入方程，求得a =−3，故要求的直线的方程为 x −y +3=0，故选：AC.分类讨论，分别用点斜式、截距式求得直线的方程．此题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，属于基础题．20.【答案】BCD;【解析】解：对于选项A：由于y−y1x−x1=k定义域为x≠x1，所以不过点M(x1,y1)，故选项A正确，对于选项B：当a=b=0时，在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用xa +yb=1表示，故选项B错误，对于选项C：直线y=kx+b与y轴的交点为(0,b)，到原点的距离为|b|，故选项C错误，对于选项D：直线l方程可化为y=−ax−1，恒过定点P(0,−1)，画出图形，如图所示，k AP=2+1−2−0=−32，k BP=1+11−0=2，若直线l：ax+y+1=0与线段AB有交点，则−a⩾2，或−a⩽−32，即a⩽−2或a⩾32，故选项D错误，故选：BCD.根据直线方程两点式和截距式形式的局限性，可判断选项A，B的正误，由截距和距离的定义可判断选项C的正误，选项D中直线l过定点(0,−1)，利用数形结合法可得a的取值范围．此题主要考查了直线方程的几种形式的使用范围，考查了学生概念理解、综合分析的能力，属于基础题．21.【答案】AB;【解析】此题主要考查直线方程的概念以及两条直线平行判定，属于基础题.根据直线方程的概念以及两条直线平行的条件求解，本题易错点：误将方程y−5x−5=2当做直线y=2x−5的方程.解：∵y−5x−5=2表示直线y=2x−5(去掉点(5,5))，∴直线l:y=kx+2与y−5=2不相交的条件是：x−5直线l:y=kx+2与y=2x−5平行或直线l:y=kx+2过点(5,5)，∴k的取值为2或3.5故选：AB.22.【答案】AC;【解析】解：直线l：(a2+a+1)x−y+1=0，对于A，当a=−1时，直线l的斜率k1=1，直线x+y=1的斜率为−1，直线l与直线x+y=0垂直，故A正确；对于B，若直线l与直线x−y=0平行，则a2+a+1=1，解得a=0或a=−1，故B 错误；对于C，无论a取何值，当x=0时，y=1，∴直线l过定点(0,1)，故C正确；对于D，当a=0时，直线l：x−y+1=0在x轴上的截距为−1，在y轴上的截距为1，当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距不相等，故D错误．故选：AC．对于A，当a=−1时，直线l的斜率k1=1，直线x+y=1的斜率为−1，直线l与直线x+y=0垂直；对于B，若直线l与直线x−y=0平行时，a=0或a=−1；对于C，无论a取何值，当x=0时，y=1；对于D，当a=0时，直线l：x−y+1=0在x轴上的截距为−1，在y轴上的截距为1．此题主要考查命题真假的判断，考查直线方程、直线与直线平行、直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】AB;【解析】此题主要考查直线的一般式方程，中点坐标公式，属于基础题.由题意可知当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程．解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，=−2，当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k=3+13−5故所求直线方程为y=−2x+1，即2x+y−1=0；当直线过AB的中点(4,1)时，斜率为k=0，故所求直线方程为y=1；故所求直线方程是为：y=1或2x+y−1=0.故选AB.。

高中数学 3.2.3 直线的一般式方程能力提升(含解析)新

【优化方案】2013-2014学年高中数学 3.2.3 直线的一般式方程能力提升（含解析）新人教A 版必修21．下列说法中不正确的是( )A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为－1B ．如果方程Ax ＋By ＋C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0C ．Ax ＋By ＋C ＝0和2Ax ＋2By ＋C ＋1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2＋B 2≠0且C ≠1D ．与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程可设为Bx ＋Ay ＋m ＝0(m 为参数)解析：选D.A 、B 正确，C 利用直线平行的等价条件可知也正确，D 中与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程一般设为Bx －Ay ＋m ＝0(m 为参数)的形式．2．直线x －y ＋1＝0上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转90°得直线l ，则直线l 的方程是____________．解析：由题设知P (3,4)，l 的倾斜角为45°＋90°＝135°，∴tan 135°＝－1.故所求直线方程为y －4＝－(x －3)，即x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝03．直线ax －6y －12a ＝0(a ≠0)在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求a 值及直线的斜率．解：∵a ≠0，∴ax －6y －12a ＝0可化为x 12－y 2a＝1. ∴它在x 轴和y 轴上的截距分别为12和－2a ，则12＝－6a ，a ＝－2.此时直线的方程为x ＋3y －12＝0，化为斜截式为y ＝－13x ＋4. ∴a ＝－2，直线的斜率为－13. 4．直线过点P (43，2)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6. 若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由题意可知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12.①又∵过点P (43，2)，∴43a ＋2b ＝1.②由①②可得5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎨⎧ a ＝125，b ＝92，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或5x12＋2y9＝1，即3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线方程为xa ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由题意可知ab ＝12，43a ＋2b ＝1，整理得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝6，∴所求直线的方程为x4＋y3＝1或x 2＋y6＝1，即3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0.综上所述：存在这样的直线，同时满足(1)(2)两个条件的直线方程为3x ＋4y －12＝0.。

必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)

必修二第三章直线与方程（1)直线的倾斜角定义：ｘ轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为０度。

因此，倾斜角的取值范围是(2）直线的斜率①定义：倾斜角不是9０°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用当直线ｌ与x 轴平行或重合时， α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与ｘ轴垂直时, α＝ 90°, k 不存在. 当[)90,0∈α时,0≥k ；当()180,90∈α时,0<k ; 当90=α时,k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=（ P1(x1，y1),P ２(x2,ｙ2),ｘ１≠ｘ2）注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P ２的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

注意：当直线的斜率为０°时，k=0，直线的方程是1。

当直线的斜率为9０°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是ｘ＝ｘ1。

（7)两条直线的交点0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ; 方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 (８)两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()AB x x y y =-+-（9)点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离2200BA C By Ax d +++=(１0）两平行直线距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=直线的方程1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数,如果A (ａ，a ３）、B (b ，ｂ3)、C (c ，c 3）在同一直线上,求证:ａ+ｂ+c =０.证明 ∵A 、B 、C 三点共线,∴k AB ＝k AC ，∴ca c ab a b a --=--3333,化简得ａ２+ab +b ２=a ２+ac +c 2,∴b 2-c ２+ab -ac =0,（b －c ）（ａ＋b +c )=0， ∵a 、b 、ｃ互不相等,∴b -c ≠0,∴a +b +c =0. ２.若实数x ，y 满足等式(ｘ－2)2+ｙ２=3,那么xy的最大值为ﻩ ﻩ（ )A .21ﻩ B ．33ﻩﻩ Ｃ.23ﻩ ﻩﻩ D .3答案D3.求经过点Ａ（-5，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程；解 ①当直线l 在ｘ、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y =ｋｘ, 将（-５，2）代入y =kx 中,得k =-52,此时，直线方程为y =-52x , 即2x +5y =０. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ay a x+2=１，将(－5,2）代入所设方程，解得a =－21, 此时，直线方程为x +2ｙ+1=0.综上所述，所求直线方程为x +2ｙ+1=0或2x ＋5ｙ＝0.４．直线l 经过点P （3，2）且与x ,y 轴的正半轴分别交于Ａ、B 两点，△O ＡＢ的面积为12，求直线l 的方程.解方法一设直线l 的方程为1=+bya x （a ＞０,b ＞0）, ∴A (a ,0),Ｂ(0,b ), ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=.123,24ba ab 解得⎩⎨⎧==.4,6b a∴所求的直线方程为46yx +=１,即2x ＋3y -12=０．方法二设直线l 的方程为y -２=ｋ（x -３), 令y ＝0,得直线l 在x 轴上的截距a =3-k2，令x =0,得直线l 在y 轴上的截距ｂ＝２－３ｋ. ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 23(2-3k )＝24.解得ｋ=-32.∴所求直线方程为y -２=-32(x －3).即２x ＋3y －12＝0.9．已知线段PQ 两端点的坐标分别为(-1,1）、（２，２），若直线l ：x +my +m ＝0与线段P Ｑ有交点，求ｍ的取值范围.解方法一直线x +ｍｙ＋m =0恒过A （0,-１）点. ｋＡP ＝1011+--=-2，k AQ =2021---=23，则-m 1≥23或－m 1≤-2, ∴-32≤m ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x ＋m ｙ＋m ＝0与线段PQ 有交点,∴所求ｍ的取值范围是－32≤ｍ≤21. 方法二过P 、Ｑ两点的直线方程为y -1=1212+-(x +1)，即y ＝31x +34，代入x+ｍy ＋m ＝0, 整理，得ｘ=-37+m m . 由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 两直线方程例1 已知直线l １:ax +2ｙ+6=０和直线l 2：ｘ＋(a -１)y +a 2-1=0, (1）试判断l 1与l 2是否平行； (2）l １⊥l ２时，求ａ的值．解（1）方法一当ａ=１时,l １:x +2y +6=0,l 2:x =０，ｌ1不平行于ｌ2;当ａ=0时,ｌ1:y ＝-3,ｌ２:x -y -1=０,l １不平行于ｌ２； ﻩ ﻩ ﻩ当ａ≠1且a ≠０时,两直线可化为 l 1：y ＝-x a 2-3,l 2:y =x a-11－(ａ+１）， l 1∥ｌ2⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-≠--=-)1(3112a a a ,解得a ＝-1, ﻩﻩﻩ综上可知，ａ=-1时,ｌ１∥l 2,否则l 1与ｌ2不平行.ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ方法二由A 1B 2-A 2B 1=0，得ａ(a -1）－1×2=０,由Ａ1C 2－Ａ２C 1≠０,得ａ（ａ2-1)－１×6≠０,ﻩ∴l 1∥l 2⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠⨯--=⨯--061)1(021)1(2a a a a ﻩﻩ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--6)1(0222a a a a ⇒a =－1,ﻩﻩﻩﻩ 故当a ＝-１时,l 1∥l ２,否则ｌ1与ｌ2不平行．ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩﻩ（２)方法一当a =1时,l 1:x +２ｙ+６＝0,l ２:x =0,l 1与l ２不垂直,故a =１不成立. ﻩﻩﻩﻩ当a ≠１时，ｌ１:y =－2a x －3,ｌ2:ｙ=x a -11-(ａ+1),ﻩ由⎪⎭⎫⎝⎛-2a ·a-11＝-1⇒a ＝32.ﻩ 方法二由Ａ１A 2+B 1Ｂ2=0，得a +2(a －1)＝０⇒a =32．例3 已知直线l 过点Ｐ（3,1)且被两平行线l １:x +y +1=0，ｌ2:x +ｙ+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程.解方法一若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝３,此时与ｌ1,l ２的交点分别是A （3,-4）,B (３,-9）, 截得的线段长|AB |＝|－４+9｜=5，符合题意.ﻩﻩﻩ若直线ｌ的斜率存在时，则设直线l 的方程为y =k （ｘ－3)+1,分别与直线l 1,l ２的方程联立，由⎩⎨⎧=+++-=011)3(y x x k y ，解得Ａ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-141,123k k k k .ﻩﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ 8分由⎩⎨⎧=+++-=061)3(y x x k y ,解得B ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-191173k k ，k k ，由两点间的距离公式,得2173123⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-k k k k ＋2191141⎪⎭⎫⎝⎛+--+-k k k k =2５, 解得k =0,即所求直线方程为y =１.ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩﻩﻩ 综上可知，直线l 的方程为x ＝3或y =1. ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ方法二设直线ｌ与l １，l 2分别相交于A (x 1，ｙ1),B （x 2,y ２),则x 1+y 1+１=０，x 2+y 2+6=０,两式相减，得(x 1－ｘ2）+(y １-y 2）=5 ﻩﻩ① ﻩﻩﻩﻩ６分又(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=25ﻩﻩﻩ②联立①②可得⎩⎨⎧=-=-052121y y x x 或⎩⎨⎧=-=-502121y y x x ,ﻩﻩﻩﻩﻩ１０分由上可知，直线l 的倾斜角分别为０°和90°, 故所求的直线方程为ｘ=3或y =1.例４求直线l 1:ｙ=2x +3关于直线l ：ｙ＝x +1对称的直线ｌ2的方程.解方法一由⎩⎨⎧+=+=132x y x y 知直线l 1与ｌ的交点坐标为（－2,-1），∴设直线ｌ2的方程为y +1=k (x +2),即kx -y ＋2k -１=0.在直线ｌ上任取一点(１，2），由题设知点（1,2)到直线l 1、l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得 221122kk k +-+-=22)1(2322-++-，解得ｋ＝21（k =2舍去),∴直线ｌ2的方程为x -2y =0. 方法二设所求直线上一点P (x ，ｙ）,则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0）与点P 关于直线ｌ对称．由题设：直线P Ｐ1与直线ｌ垂直，且线段PP 1的中点P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,200y y x x 在直线l 上.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=•--122110000x x y y x x yy ,变形得⎩⎨⎧+=-=1100x y y x , 代入直线l 1:ｙ=２x +3,得x +1=2×(ｙ-1)＋3,整理得x －２y =0.所以所求直线方程为x -2y =０.直线与方程1.设直线l 与x 轴的交点是P ,且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转４5°,得到直线的倾斜角为α+45°，则ﻩﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ ﻩ （）Ａ.0°≤α<180°ﻩ ﻩ ﻩﻩＢ.０°≤α<13５°C ． 0°＜α≤135°ﻩﻩﻩﻩＤ．０°<α<1３5°答案 D2.曲线ｙ=x 3-2x +4在点（1，3)处的切线的倾斜角为ﻩﻩ( ) A .30°ﻩ ﻩB .４5°ﻩﻩC .６0° ﻩD .１２0°答案 B3.过点M (-2,ｍ)，N (ｍ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为ﻩﻩ ﻩ( )A .1ﻩ ﻩﻩ ﻩB .4 ﻩﻩﻩC .1或3ﻩ ﻩD ．1或4答案 A４.过点Ｐ（-1，2）且方向向量为a ＝（-1，2）的直线方程为ﻩﻩﻩﻩ（ )A .2ｘ+ｙ=0Ｂ．ｘ－2y ＋５=0 C .x -2y ＝0ﻩﻩﻩD .x +2y －5=０答案 A5.一条直线经过点A （-２，2）,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为 . 答案 x +2y －2=0或2ｘ＋y +2=0例1 已知三点A (1,-1),B （3，3）,C （４,5）. 求证：Ａ、Ｂ、Ｃ三点在同一条直线上.证明∵A （1，-1)，B （３,3)，C (4,5）, ∴k A Ｂ=1313-+＝2,k B Ｃ＝3435--＝２，∴k A Ｂ＝ｋＢC ， ∴A 、B 、Ｃ三点共线.例２已知实数x ，y 满足y =x 2-２x +２（-1≤ｘ≤1)．试求:23++x y 的最大值与最小值. 解由23++x y 的几何意义可知，它表示经过定点Ｐ（－２,-3）与曲线段ＡB 上任一点（x ,y )的直线的斜率ｋ,如图可知：k P Ａ≤k ≤k ＰB ,由已知可得：A (1,1）,B (-1，5)， ∴34≤k ≤８，故23++x y 的最大值为８，最小值为34．例3 求适合下列条件的直线方程：(1）经过点P （３,2）,且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A (－1，-3)，倾斜角等于直线y ＝3ｘ的倾斜角的2倍. 解 (1）方法一设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a ,若ａ＝0,即l 过点(０,0)和(3,２）,∴l 的方程为ｙ=32x ,即2x -3y ＝0. 若ａ≠0，则设l 的方程为1=+b ya x ，∵ｌ过点（3，2）,∴123=+aa ，∴a =５,∴ｌ的方程为x +y -5=0, 综上可知,直线l 的方程为2x -3ｙ=0或ｘ+ｙ－5=0. 方法二由题意知,所求直线的斜率k 存在且k ≠0,设直线方程为ｙ-2=ｋ(ｘ-３),令ｙ=0,得ｘ=3-k2,令x ＝０,得y =2-3ｋ, 由已知3－k 2=2-3k ，解得k =-1或k =32，∴直线l 的方程为:y -2=-(x -3）或y -2=32(x －3), 即x +y -５=0或２x -3y ＝0.(2)由已知：设直线y =3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. ∵ｔan α＝3，∴t ａn2α=αα2tan 1tan 2-=-43．又直线经过点A （-1,-3）,、因此所求直线方程为y +3=-43(x ＋１),即３x +４y +15=0. 例4 (12分)过点P （2，1)的直线l 交x 轴、y 轴正半轴于A 、Ｂ两点,求使: （1)△AOB 面积最小时ｌ的方程；（2)|P Ａ｜·|P Ｂ|最小时ｌ的方程. 解方法一设直线的方程为1=+bya x (a ＞2,b ＞1)，由已知可得112=+b a (1)∵2ba 12•≤b a 12+＝1，∴a ｂ≥8.ﻩ∴S △A ＯB =21ab ≥4． ﻩﻩ当且仅当a 2＝b 1=21，即a =4,b =2时，S △ＡOB 取最小值4，此时直线l 的方程为24yx +=1,即ｘ＋2ｙ-4=０. 6分（2）由a 2+b1=1,得ab －ａ-2b =０，变形得（a -２)(ｂ-１）＝2,|PA |·|PB |=22)01()2(-+-a ·22)1()02(b -+-＝]4)1[(]1)2[(22+-⋅+-b a ≥)1(4)2(2-⋅-b a ．ﻩ当且仅当a -2=1,b -1=２，即a =３，b =3时，|ＰA |·|ＰB |取最小值4.此时直线l 的方程为ｘ+y -3=０．ﻩ 方法二设直线l 的方程为ｙ-1=ｋ(ｘ-2） (ｋ<0),则l 与x 轴、y 轴正半轴分别交于A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12k 、B (0,１-2ｋ）.(１）S △AOB =21⎪⎭⎫ ⎝⎛-k 12(１-2k ）=21×⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+)1()4(4k k ≥21（４+4)=4. 当且仅当－４k ＝-k 1,即ｋ=-21时取最小值，此时直线l 的方程为ｙ-1=-21(ｘ-2）,即ｘ+2ｙ－４=0.6分（2）|PA ｜·｜PB |=22441)1(k k ++=84422++k k ≥4, 当且仅当24k=4k ２，即k =-1时取得最小值，此时直线l 的方程为y -1=-(ｘ-2),即x +y -３=0．一、选择题1.过点（1,3）作直线l ，若经过点(a ,0）和(0,ｂ)，且a ∈Ｎ*，b ∈N *，则可作出的l 的条数为（）·A .1ﻩﻩ ﻩ Ｂ.2 ﻩﻩ Ｃ.3ﻩD .４答案B2.经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ) A .x ＋２y -6=0 ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ B .2x +y -6=0C ．x -２y +7=0ﻩﻩﻩﻩD .ｘ-2y -7=０答案B3．若点A （2，-3)是直线a 1x ＋b １y +1=0和ａ2x +b 2y +1=0的公共点,则相异两点（ａ1,ｂ1)和(ａ2，b 2）所确定的直线方程是 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩ ( ） A ．2x －３ｙ+1=0ﻩﻩﻩﻩﻩB .3x －2y +1=0C .2x －3y －1＝0 ﻩﻩﻩＤ.3x －2y -1＝0答案A二、填空题4.已知a ＞0,若平面内三点Ａ（1,－ａ)，B (2,a 2），C (3，a 3）共线,则a ＝ . 答案 1+2５.已知两点A (－1，－5），B （３，-2）,若直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，则l 的斜率是 . 答案31三、解答题６.已知线段P Ｑ两端点的坐标分别为（－１,1)、（2,2）,若直线l :x ＋ｍy +ｍ＝0与线段PQ 有交点,求m 的取值范围.解方法一直线x ＋my ＋m =0恒过A (0，-1）点. k AP ＝1011+--=-２,ｋAQ =2021---＝23,则-m 1≥23或-m 1≤-２,∴-32≤ｍ≤21且m ≠0．又∵m =0时直线x +ｍy +ｍ＝0与线段ＰQ 有交点，∴所求m 的取值范围是－32≤m ≤21．方法二过P 、Q 两点的直线方程为ｙ-1=1212+-(x +1),即y =31x +34,代入x ＋my +m =0,整理，得x =-37+m m .由已知－1≤－37+m m ≤2, 解得-32≤m ≤21. 7.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程: （1）过定点A （-3，4);(2）斜率为61. 解 (１)设直线ｌ的方程是y =k (x +３)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分别是-k4-3,3k ＋４, 由已知,得（３k +4）（k4+3）=±6,解得ｋ1=-32或ｋ２＝-38．直线l 的方程为2x +3y -6=0或8ｘ+3y +1２=０．（2）设直线ｌ在y 轴上的截距为ｂ,则直线l 的方程是y =61x +b ,它在x 轴上的截距是-6b , 由已知，得|-6b ·ｂ|=6,∴b ＝±1．∴直线l 的方程为x -６y ＋6=0或x -6y -6=０． 8.已知两点A (-1,2)，B （m ，３). （1）求直线AB 的方程；（2）已知实数m ∈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---13,133，求直线ＡB 的倾斜角α的取值范围．解 (1）当m ＝-1时,直线ＡＢ的方程为x =-1,当m ≠-1时，直线AB 的方程为y －2＝11+m (x +1). （2）①当m =-1时,α=090;②当m ≠－1时,ｍ+1∈(]3,00,33 ⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡-,∴k =11+m ∈（-∞，-3］∪⎪⎪⎭⎫⎢⎢⎣⎡+∞,33, ∴α∈[)(]0120,9090,30 .综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[]0120,30.９．过点Ｐ(3，0)作一直线，使它夹在两直线l １:2x -y -2=0与l ２：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.解方法一设点Ａ(x ，y )在l 1上,由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+0232B B y y x x ,∴点B (6-x ，-y ),解方程组⎩⎨⎧=+-+-=--03)()6(022y x y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==316311y x ,∴k ＝833110316=--． ∴所求的直线方程为y =8(x -3),即8x －y -24＝0. 方法二设所求的直线方程为y =ｋ（x -3)，则⎩⎨⎧=---=022)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=24223k ky k k x A A , 由⎩⎨⎧=++-=03)3(y x x k y ,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=16133k ky k k x B B . ∵P （3,０)是线段ＡＢ的中点，∴y A ＋y B =0，即24-k k ＋16+-k k =０,∴k 2-８ｋ=0，解得ｋ=０或k =8．又∵当k =0时，x Ａ＝1，ｘB =-３,此时32312≠-=+B A x x ,∴k ＝0舍去,∴所求的直线方程为ｙ=8（x－3), 即8ｘ－y-24=０.。