高考数学总复习知识点专题训练22---计数原理
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数”的个数为( )
A.27
B.36
C.39
D.48
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横
线上)
13.在 (2x −1)n 的展开式中,各项系数的和是_______. 14. ( x + a)10 的展开式中, x7 的系数为 15,则 a = _______.(用数字填写答案)
10 . 若
(1 − 3x)2017 = a0 + a1x + a2 x2 + L + a2017 x2017 ( x ∈ R )
,则
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
=
()
A.2
B.0
C. −1
( ) 11.
x2 + 2
1 6
x − x 的展开式中常数项为(
)
D. −2
A. −40
条路,从丙地到丁地有 2 条路,则从甲地到丁地不同的路有( )
A.11 条
B.14 条
C.16 条
3.
2
x
−
1 x
5
的展开式中
x3
项的系数为(
)
D.48 条
A.80
B. −80
C. −40
D.48
4.将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班,每个班至少一名,则不
同分法的种数为( )
1 / 12
A
4 4
A52
=
24 ×
20
=
480
种.
7 / 12
故选 A.
10.【答案】C
【解析】令 x = 0 可得: a0
= 1 ,令 x =
1
3 ,可得: a0
+
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
= 0 ,据此
可得:
a1 3
+
a2 32
+L+
a2017 32017
= −1 .故选
C.
11.【答案】B
18.【答案】(1)720,1440;(2)①15,②60.
【解析】(1)三个偶数相邻时,可视作将 2、4、6 捆绑在一起,得 A33A55 = 720 ;
三个偶数不相邻时,可视作将 2、4、6 插入到四个奇数中,共五个位置,所以
得
A
4 4
A35
= 1440
.
(2)①:分组与顺序无关,是组合问题.分组数是 C62C24C22 = 90 (种),这 90 种
=
10
.故选
B.
2.【答案】B
【解析】分两类,第一类,从甲到乙再到丁,共有 2 × 3 = 6 种,
第二类,从甲到丙再到丁,共有 4 × 2 = 8 种,
根据分类计数原理可得,共有 6 + 8 = 14 种,故从甲地到丁地共有 14 条不同的路
线.
故选 B.
3.【答案】B
【解析】由题意可得 Tr+1
三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17.(10 分)如果 (1− 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a7 x7 ,
(1)求 a0 ;
3 / 12
(2)那么 a0 + a1 + L + a7 的值等于多少.
18.(12 分)(1)由数字 1、2、3、4、5、6、7 组成无重复数字的七位数,求 三个偶数必相邻的七位数的个数及三个偶数互不相邻的七位数的个数; (2)六本不同的书,分为三组,求在下列条件下各有多少种不同的分配方法? ①每组两本; ②一组一本,一组二本,一组三本.
14.【答案】 1
2
【解析】因为 Tr+1 = C1r0 x10−r ar ,所以令10 − r = 7 ,解得 r = 3 ,所以 T4 = C130 x7a3 = 15x7 , 解得 a = 1 .
2
15.【答案】120
【解析】由题意得,可采用间接法:从男女组成的 9 中,选出 5 人,共有 C59 = 126 种不同的选法;其中 5 人中全是女教师的有 C56 = 6 种选法,故共有126 − 6 = 120 种
丙相邻的情况:
A
2 2
A
4 4
−
A33
×
2
=
36
种,故选
A.
7.【答案】B
【解析】每个乘客都有 5 种不同下车方法,相互独立,故乘客下车的可能方式
有 5 × 5 ×L× 5 = 510 ,故选 B.
8.【答案】B
【解析】由题意可得 C2n = C6n ,所以 n = 8 ,则展开式中二项式系数最大的项为第
=
C5r
( 2 x )5− r
−
1 x
r
,令
r
= 1, T2
=
−C15 24 x3
所以
x3
的系数
为 −80 .故选 B.
4.【答案】C
【解析】先不考虑甲、乙同班的情况,将 4 人分成三组有 C24 = 6 (种)方法,再将 三组同学分配到三个班级有 A33 = 6 (种)分配方法,依据分步计数原理可得不同 分配方法有 6 × 6 = 36 种,应选答案 C.
【解析】(1)设第
k
+1
项为 Tk+1
=
C1k0
( −2 )r
10− 3 k
x2
,令10
Fra Baidu bibliotek
−
3 2
k
=
4
,解得
k
=
4
,
故展开式中含 x4 项的系数为 C140 (−2)4 = 3360 .
( 2 ) ∵ 第 3r 项 的 二 项 式 系 数 为 C130r−1 , 第 r + 2 项 的 二 项 式 系 数 为 C1r0+1 , ∵
19.(12 分)已知二项式 x −
2
10
的展开式中,
x
(1)求展开式中含 x4 项的系数;
(2)如果第 3r 项和第 r + 2 项的二项式系数相等,试求 r 的值.
20.(12 分)有 2 名老师,3 名男生,3 名女生站成一排照相留念,在下列情况
4 / 12
中,各有多少种不同站法? (1)3 名男生必须站在一起; (2)2 名老师不能相邻; (3)若 3 名女生身高都不等,从左到右女生必须由高到矮的顺序站.(最终结 果用数字表示)
以组数的全排列数
A33
,所以分法是
C62C24C22 A33
= 15 (种).
②:先分组,方法是 C16C52C33 ,那么还要不要除以 A33 ?我们发现,由于每组的
书的本数是不一样的,因此不会出现相同的分法,即共有 C16C52C33 = 60 (种)分法.
10 / 12
19.【答案】(1)3360;(2) r = 1.
15.在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、 女教师都有,则不同的选取方式的种数为________(结果用数值表示). 16.从 0 ,1, 2 ,3 ,4 ,5 中任取 3 个数字组成没有重复数字的三位数,其中 能被 5 整除的概率为_______(用数字作答).
高考数学总复习知识点专题训练 专题 22 计数原理
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. A52 − C53 等于(
)
A.0
B.10
C. −10
D. −40
2.如图,从甲地到乙地有 2 条路,从乙地到丁地有 3 条路;从甲地到丙地有 4
21.(12 分)有 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒子内. (1)共有几种放法? (2)恰有 1 个空盒,有几种放法? (3)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法?
22.(12 分)已知在
x−
2
n
的展开式中,第 5
项的系数与第 3
项的系数之
3x
比是 56 : 3 .
(1)求展开式中的所有有理项;
B. −25
C.25
D.55
2 / 12
12.若自然数 n 使得 n + (n +1) + (n + 2) 作竖式加法不产生进位现象,则称 n 为“不
进位数”,例如:32 是“不进位数”,因为 32 + 33 + 34 不产生进位现象;23 不 是“不进位数”,因为 23 + 24 + 25 产生进位现象.那么小于 1000 的“不进位
分组实际上重复了 6 次.我们不妨把六本不同的书写上 1、2、3、4、5、6 六
个号码,考察以下两种分法:(1,2) ,(3,4) ,(5,6) ,(3,4) ,(1,2) ,(5,6) ,由于书
是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两种分法是同一种分
法.以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因此还应取消分组的顺序,即除
6 / 12
5.【答案】A
【解析】由题意可得
4n 2n
= 2n
= 64 ,n
= 6 ,Tr+1
= C6r x6−r
3 x
r
=
3r
C6r
6−r
x
−
r 2
,6 −
3r 2
= 3,
所以 r = 2 ,所以系数为 135,故选 A.
6.【答案】A
【解析】间接法做:甲与乙相邻的情况(不考虑丙的位置)减去甲乙相邻且甲
选法.
16.【答案】 9
25
【解析】选出的
3
个数字含有
0
时,有
C52
C12
A
2 2
=
40
种方法,
选出的 3 个数字不含有 0 时,有 A35 = 60 种方法,
其中能被 5 整除的三位数末位必为 0 或 5.
①末位为 0 的三位数其首次两位从 1∼5 的 5 个数中任取 2 个排列而成方法数为
A52 = 20 , ②末位为 5 的三位数,首位从非 0,5 的 4 个数中选 1 个,有 C14 种挑法,再挑 十位,还有 C14 种挑法,∴合要求的数有 C14 × C14 = 16 种.∴共有 20 + 16 = 36 个合
1,2,3,百位是 0,1,2,3,所以根据分步计数原理 N = 3× 4× 4=48 ,故选 D.
二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在题中横 线上)
8 / 12
13.【答案】1
【解析】由题意,令 x = 1 ,即可得到二项展开式的各项系数的和为 (2×1−1)n = 1.
(2)求展开式中系数绝对值最大的项;
(3)求
n
+
9C
2 n
+
81C3n
+ ...
+
9n−1 Cnn
的值.
5 / 12
参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.【答案】B
【解析】
A52
−
C53
=
5
×
4
−
5×4×3 3× 2×1
要求的数. 结合古典概型计算公式可得所求概率值为 p = 36 = 9 .
40 + 60 25
9 / 12
三、解答题(本大题有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤)
17.【答案】(1)1;(2) −1 .
【 解 析 】( 1 ) 令 x = 0 , 代 入 二 项 式 (1− 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a7 x7 , 得 (1− 0)7 = a0 = 1. (2)令 x = 1 ,代入二项式 (1− 2x)7 = a0 + a1x + a2 x2 +L + a7 x7 , 得 (1 − 2)7 = a0 + a1 + a2 + L + a7 = −1 .
若令
6
−
2r
=
−2
⇒
r
=
4
,则展开式中的
x −2
项的系数为
( −1)4
C
4 6
=
15
,
( ) 故所求
x2 + 2
x
−
1 x
n
的展开式中常数项为
2
×
(−20)
+
15
=
−25
,应选答案
B.
12.【答案】D
【解析】 n + (n +1) + (n + 2) = 3n + 3 ,个位只能为 0,1,2,三种,十位只能是 0,
A.18
B.24
C.36
D.72
5.在 x +
3
n
的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则 x3 的系
x
数为( )
A.135
B.405
C.15
D.45
6.五名同学站成一排,若甲与乙相邻,且甲与丙不相邻,则不同的站法有( )
A.36 种
B.60 种
C.72 种
D.108 种
7.火车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有( )
( ) 【解析】因为
x2 + 2
x
−
1 x
6
=
x2
x
−
1 x
6
+
2
x
−
1 x
6
,所以问题转化为求
x
−
1 x
6
的展开式中常数项及含 x−2 项的系数,由于该二项式的展开式的通项公式为
( ) Tr+1
=
C6r x6−r
−
1 x
r
=
−1 r C6r x6−2r ,
所以若令 6 − 2r = 0 ⇒ r = 3,则展开式中的常数项为 (−1)3 C36 = −20 ;
五项,
即 T5
=
C84 x4
1 x
4
=
C84
=
70
,故选
B.
9.【答案】A
【解析】6 个人排成一排,要求甲、乙两人不相邻,先安排其他 4 人,有 A44 种 不同的排法,排好后,有 5 个空位,在 5 个空位中,任选 2 个,安排甲、乙,
有 A52 种不同的方法,
因此,6 个人排成一排,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有
A.105 种
B. 510 种
C.50 种
D.以上都不对
8.若
x
+
1 x
n
的展开式中第
3
项与第
7
项的系数相等,则展开式中二项式系数
最大的项为( )
A.252
B.70
C. 56x2
D. 56x−2
9.6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有( )种.
A.480
B.624
C.600
D.240