偏微分方程在图像去噪中的应用
基于偏微分方程扩散系数的图像去噪研究
基于偏微分方程扩散系数的图像去噪研究赵银善;吐尔洪江·阿布都克力木【摘要】在偏微分方程P-M模型图像去噪过程中,扩散系数的选择会影响图像去噪的效果;为此提出了一个新的扩散系数模型来实现图像去噪.首先分析讨论了P-M 模型中扩散系数和梯度阈值的选取对图像去噪的重要性;并对比了两个扩散系数的优点和缺点,在此基础上提出一个新的扩散系数;并应用到正则化P-M模型和四阶偏微分方程YK模型中进行数值离散实验.实验结果表明,采用新的扩散系数在正则化的P-M模型和YK模型的去噪效果教好,提出的扩散系数能够有效地进行图像去噪.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2015(015)001【总页数】4页(P263-266)【关键词】偏微分方程;P-M模型;正则化P-M模型;YK模型;扩散系数;图像去噪【作者】赵银善;吐尔洪江·阿布都克力木【作者单位】武汉大学数学与统计学院,武汉430072;新疆农业职业技术学院,昌吉831100;新疆师范大学数学科学学院,乌鲁木齐830054【正文语种】中文【中图分类】TP391.41近年来，基于偏微分方程的图像去噪方法成为图像研究的一个热点[1—4]。
它从分析图像去噪的机理入手，结合变分方法、泛函分析、微分几何、数学形态学、射影几何等数学工具，建立了图像去噪和偏微分方程相关的公理体系。
偏微分方程与图像去噪的结合产生了两大类模型：一是面向对象，通过建立能量泛函[5]，由泛函的极值问题导出相应的偏微分方程模型；二是面向过程，把图像去噪过程和某种具体的物理过程联系起来，建立相应的偏微分方程模型。
1990年，Perona和Malik以各向异性扩散代替高斯平滑，建立了P-M模型[6]，取得了非常好的去噪效果，激励了偏微分方程在图像处理领域的应用研究，然而P-M模型的解不唯一。
1992年，Cattle、Lions、Morel 和Coll提出了正则化的P-M模型[7]，在数学上解决了解的唯一性，完善了其理论，但是P-M模型和正则化的P-M模型的处理结果容易产生“块效应”，图像轮廓过度尖锐。
偏微分方程在图像去噪中的应用_王正明
应 用 数 学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A2005,18(2):219~224*偏微分方程在图像去噪中的应用王正明,谢美华(国防科技大学理学院系统科学与数学系,湖南长沙410073)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文介绍用于图像去噪的偏微分模型、方法的发展历程.从理论上分析了线性模型、简单非线性模型、复杂非线性模型、多步处理模型出现的背景和优缺点,并从空域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析.最后,指出了偏微分方程去噪与小波去噪结合的途径,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望.关键词:偏微分方程;模型;扩散;正则化;去噪中图分类号:T P391 AMS(2000)主题分类:35R文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0219 06光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于CCD成像器件、图像传输设备及处理设备的背景光子散粒噪声、暗电流散射噪声、读出噪声、热噪声、放大器噪声等,其中最终起限制作用的是光子散粒噪声,统计上服从高斯或泊松分布.同时图像数字化过程中的量化以及其它人为的因素也会导致噪声的产生,这种CCD传感器噪声和量化噪声可以仿真成 加性的或乘性的 , 信号相关的或信号无关的 以及 有色的或白色的 ,它们的存在极大地影响了图像的质量.这里只考虑加性的与信号无关的白噪声.此时,图像的成像模型可描述为g(x,y)=f(x,y)+ (x,y),(1)其中f(x,y)为不含噪的真实图像,g(x,y)为实际观测到的图像, ~N(0, 2).那么,图像去噪问题就相当于,寻找合适的算子F R R,使得F(g(x,y))=f(x,y).(2)由于噪声是随机性的,事实上我们只能得到f(x,y)的近似估计,而不可能使(2)式完全成立.因此,在评价算法的优劣时,通常以下述峰值信噪比作为评价指标.PSNR=10*lg2552 m ni,j(f(i,j)-f*(i,j))2,(3)其中f*(x,y)为采用某算法去噪后的图像,m,n为图像的尺寸.传统的图像去噪方法,如中*收稿日期:2004 05 08基金项目:全国优秀博士论文作者专项基金(200140),国家自然科学基金资助项目(60272013)作者简介:王正明,男,汉,湖南长沙人,教授,博导,国防科技大学理学院院长,主要研究方向为图像处理中的数学方法、装备试验分析与评估.值滤波、均值滤波,主要将图像的高频成分滤除.由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频区域,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了.事实上,数字图像在本质上可看成是R 2 R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射.基于这一性质,可以以图像的边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号,抑制其中的随机性噪声,如二元多项式就是一种可选的基函数,由于逼近是在图像的内区域进行的,所以不会造成对边缘的模糊,图像去噪的偏微分方程(PDE)方法就是基于这一性质构建的.令u 0 R 2 R 表示一个含噪的灰值图像.对u 0(x ,y )去噪相当于极小化能量函数[1]E (g)= 2 (u -u 0)2d x d y + |u 2x +u 2y |d x d y ,(4)其中 为正则化参数, 为图像的支撑域, 称为正则化参函数,是梯度的增函数,满足 0.(1)式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度,而后一项用以约束图像的光滑程度.它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式.对极值问题(4),应用Eluer 方程,并采样最速下降法引进时间参数t,可转化为求解如下偏微分方程u t=F[u(x ,y ,t)],(5)其中u(x ,y ,t) R 2 [0, ] R 是随时间演化的图像,F R R 表示一个特定算法对应的算子.根据F 定义的不同可分为线性扩散、非线性扩散、各向异性扩散等.其中,最早出现的是如下线性扩散模型 t u = u,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ),(6)它对应于方程(4)中 =0, (s)=s 2/2的情形.(6)式是一个解热传导方程的Cauchy 问题,通过对其进行Fourier 变换,可求得其解为u(x ,y ,t)=u 0(x ,y )(K *u 0)(x ,y) t =0t >0,K (x ,y ,t)=1(4 t )3/2ex p -x 2+y 24t ,(7)显然这就是对应图像的高斯光滑,即利用高斯函数对邻域内的点进行加权平均来实现去噪.(7)式给出的解可从空域上理解(6)式去噪的含义,下面从分离变量法的角度给出方程(6)的解[7],从频域上理解(6)式去噪的含义.设初始图像u 0(x ,y )按正弦函数可以展开成如下级数u 0(x ,y )=M k =1 N l =1Ak,l sin k x M sin l y N ,(8)其中N ,,M 分别为u 0(x ,y )沿x ,y 方向的离散采样点的个数.则(6)式的解可表示为u(x 1,x 2,t)= M k=1 N l =1A k,l e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2sin k x 1M sin l x 2N .(9)从(9)式可以看出,经过(6)式去噪后的图像的正弦级数系数等于u 0(x ,y )的正弦级数的展开系数乘以一个与扩散时间相关的压缩因子w (k,l)=e -k 2 2t M 2+l 2 2t N 2,因为随着k,l 的增大w (k ,l)不断减小,因此(9)式对u 0(x ,y )的高频成分保留很少,因而能够实现对噪声的抑制.由于方程(6)采用的正则化参函数 (s)=s 2/2,这就要求图像的梯度在整幅图像上实现最小,当扩散时间T 趋向于无穷时,得到的是用一个常数对图像进行逼近的结果,这无疑会导致对图像如边缘等微细结构的模糊.为了避免这种模糊的产生,人们采用了一种非线性的正则化参函数,利用分片连续的平面对图像进行逼近.此时参函数 的选取可以有很多形式,如 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k)2),或220应 用 数 学2005当 (s)=(k 2/2)log (1+(s/k )2)时,(5)式对应典型的非线性扩散方程-P M 扩散[2],此时 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ), 或 t u =div (g(| u |2) u),g(| u |2)=11+| u |2/k 2,u(x ,y ,0)=u 0(x ,y ).(10)本着在边缘处扩散系数g(s)小的准则,一般选取g(s)使之满足如下条件:g(0)=1,g(s)为减函数,且lim sg(s)=0.而且,在参数的选取上一般选取 为严格凸函数,这是因为定理1 当势能函数 (| u |)为严格凸函数时,能量函数E(u)=(| u |)d x 正好有一个最小值.证 令 (| u |)= ( ( u))=g(| u |2) u,由 (| u |)为严格凸函数可知 严格单调递增,又 (0)=0,从而当| u |>0时,有 (| u |)>0,从而 (| u |)是严格单调递增的.对一个常值图像 u 而言,其梯度恒等于零,而 (| u |)是关于| u |的严格单调增函数,因此任给u,| u | 0,必有 (| u |)> (| u |),又因为 (| u |) 0,从而有E(|u |)>E (| u |),因而 u 是E (u)的唯一最小值.定理证毕.当定理1成立时,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算,而可使用标准的有限元近似来获得稳定的解.(10)式所示的非线性方程能根据图像的梯度| u |来判断边缘位置,使边缘处的扩散系数小,降低对边缘的模糊程度.但是,在| u |> 的情况下,其势能函数是非凸的,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性.而且,由于边缘处扩散系数很小,边缘处的噪声得不到有效抑制.由于正则化参函数 选取的不恰当,线性模型与非线性模型都有各自的缺点.为克服这一缺点,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了 函数的选取上.其发展主要沿两个方向进行.第一,由简单方程到复杂方程的转变,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上,如考虑采用高阶方程[3]、逆扩散方程[4],以及增加约束条件[5]等;第二,由偏微分方程的一步实现到多重实现的转变,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作[6,7].目前,偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面.但是,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的个数和模型的复杂性,给处理带来较大的麻烦,所以其前景较偏微分方程的多重实现差.高阶偏微分方程 在能量函数(4)中,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函[3]E(u)=f (| u |)d (11)时它所对应的偏微分方程为u t= [g(| u |) u].(12) 这是一个四阶偏微分方程,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式.使用四阶方程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 块状 (blocky )的效果.前向 后向扩散方程 考虑逆扩散方程t u (x ,t)=-c 2u(x ,t),c >0,(13)这等价于一个高斯去卷积过程,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用.这一方程由于其数值不稳定性而被认为是病态的,但是Gilboa,Zeevi,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过程不会破坏其稳定性,因此,提出了一种前向 后向扩散方程[4].即取扩散系数g(s)满足221第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(s)=1-(s/k f )n ,[((s -k b )/w )2m -1],0, 0 s k f ,k b -w s k b +w ,else.(14)前向 后向扩散方程的优点是能在光滑区域内部的同时锐化边缘,缺点是参数选取困难.除了这些形式的方程所对应的参函数以外,还有复扩散方程[5]、基于边缘检测的扩散方程、约束曲面面积扩散方程、拐点增强扩散方程,以及基于特殊边缘增强的藕合模型、稳健扩散、自适应扩散、多重网格等等.偏微分方程多步实现的代表是各向异性扩散方程.其中具有代表性的有边缘增强扩散和相干增强扩散.边缘增强扩散是为了对边缘处的噪声进行处理,而相干增强扩散是为了凸现图像的线状结构.在引入各向异性扩散模型之前,先介绍如下定理.定理2 设u 0为原始图像,D 为连续的2 2扩散矩阵,p 1,p 2为其规范正交的特征向量分别对应图像的梯度方向和边缘方向, 1, 2为其相应的特征根,考虑如下扩散平滑问题t u =div [D u],u(0,x ,y )=u 0(x ,y),(15)则利用(7)式对u 0进行光滑近似于分别以 1, 2的速度沿p 1,p 2方向光滑.证 设p 1=(p 11,p 12)T ,p 2=(p 21,p 22)T ,由于图像的边缘方向在小范围内基本不变,所以p 1,p 2在一定范围内取常值,此时u t= (p 211u xx +2p 11p 12u xy +p 212u yy )+ 2(p 221u xx +2p 21p 22u xy +p 222u yy )= 1p 11 (p 11u x +p 12u y ) x +p 12 (p 11u x +p 12u y ) y+ 2p 21 (p 21u x +p 22u y ) x +p 22 (p 21u x +p 22u y ) y = 1 (p 11u x +p 12u y ) p 1+ 2 (p 21u x +p 22u y ) p 2= 1 2u p 21+ 2 2u p 22.因此,u 沿p 1,p 2方向扩散的速度分别为 1, 2,定理证毕.各向异性扩散方程采用(7)式所对应的模型,其中扩散张量D 的特征向量p 1平行于梯度矢量,p 2垂直于梯度矢量.边缘增强扩散以 u u = u u T 为边缘定向算子,D 与u u 有相同的特征向量,其中u =u( ,t)*K ,K ( )=12 2 ex p -| |22 2.而D 的特征根为[6] 1=1, 2=l 2/(l 2+| u |2),其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.显然该方程是先利用了一次线性方程对边缘定向,然后再利用非线性扩散方程实现了沿边缘方向的扩散,是分两次利用偏微分方程.边缘增强扩散的优点是考虑到了扩散系数沿边缘方向和垂直边缘方向的不同,缺点是所采样的边缘定向算子 u u 不能正确的对边缘定向.与边缘增强扩散不同,相干增强扩散采用了一个新的边缘定向算子J 来对图像边缘定向,其扩散张量D 的特征向量与J 相同,其中[7]J ( u )=K *( u u ), 0.(16)扩散张量D 的特征值取为1 2,(17)222应 用 数 学20051, 2为 u u 的特征值.C 为大于零的常数, (0,1),常取一个很小的值.对应每一个J ,其中 1对应垂直于梯度方向的特征向量, 2对应平行于梯度方向的特征向量.相干增强扩散的优点是所采样的边缘定向算子能准确的描述边缘方向,缺点是其特征根的选取不适合平坦区域的去噪,会导致虚假边缘的产生.改变结构描述算子(16)的特征值的取值(17)还可以实现许多其他结构的定向增强.为了进一步完善算子,[8]对扩散模型的最优停止时间进行了讨论,采用了一种最小化噪声协方差的去相关准则来实现最优停止.为解决去噪问题(1),人们从不同的角度提出了很多不同的方法,其中主要的有正则化方法、小波系数伸缩法、总变分方法以及偏微分方程方法,文献[10]的研究指出这些不同方法之间存在某种程度的统一,并指出这种统一有利于综合利用这些方法的优点获得更好的去噪效果.前面也说明了偏微分扩散方程可以通过Euler 方程与正则化方法联系在一起.下面对偏微分方程与小波伸缩之间的相互关系进行讨论.在应用最速下降法引入时间参数t 后,偏微分方程去噪每一步迭代的值可以看成空间{u t }的一个元素,可以证明{u t }满足尺度空间性质,于是偏微分方程一步扩散的结果就可以对应小波去噪的一步伸缩.文献[9]证明了H aar 小波的伸缩函数与非线性扩散方程的扩散系数之间存在一对一的关系,这种相互关系可通过下述过程获得(i)给出偏微分方程进一步扩散的离散表达式.为方便记,我们考虑一维处理的情况,设所采用的偏微分方程的扩散系数为g,则离散化后的偏微分方程进一步扩散的表达式为u n +1(i)=u n (i)+ (g |u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i+1)-u n (i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)).(18) (ii)给出H aar 小波去噪的一步分解与重构的离散表达式.设所采用的H aar 小波的伸缩函数为S ,则在一维情况下,基于H aar 小波一步分解与重构的离散化后地的表达式为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+122S u n (i)-u n (i +1)2-122S u n (i -1)-u n (i)2.(19)(iii)对比(i),(ii),可得到两者之间的相互转换关系.将(18)式重写为u n +1(i)=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+u n (i)-u n (i +1)4-u n (i -1)-u n (i)4+ (g(|u n (i +1)-u n (i)|)(u n (i +1)-u n(i))-g(|u n (i)-u n (i -1)|)(u n (i)-u n (i -1)))=u n (i -1)+2u n (i)+u n (i +1)4+(u n (i)-u n (i +1))(1/4- (g(|u n (i)-u n (i +1)|)))-(u n (i -1)-u n (i))(1/4- (g(|u n (i -1)-u n (i)|))).(20)对比(19)与(20)有122S (x /2)=x (1/4- g (|x |)).从而S 与g 之间的相互关系可表述为S (x )=x (1-4 g (21)223第2期王正明等:偏微分方程在图像去噪中的应用g(|x|)=14-24 xSx2,(22)由(21),(22)两式可在小波伸缩函数与扩散系数之间进行转换,从而可综合利用二者.参考文献:[1] W eickert J.A R eview o f N onlinear Diffusion F ilter ing in Scale space T heor y in Computer V ision[M].Berlin:Spring er,1997.[2] Per ona P,M alik J.Scale space and edg e detect ion using a niso tro pic diffusion[J].IEEE T r ansactio n onP attern A nalysis and M achine Intellig ence,1990,12(7):629~639.[3] L ysaker M,L under vo ld A,T ai X C.N oise remov al using fo ur th or der partial differential equatio n w ithapplicat ions to medical magnetic resonance imag es in space and time[J].IEEE T ransactions o n Imag e P ro cessing,2003,12(12):1579~1590.[4] G ilbo a G,Zeevi Y Y,So chen N A.F orw ard and backwar d diffusion pro cesses fo r adaptiv e image enhancement denosing[J].IEEE T ransaction on Image P rocessing,2002,11(7):689~703.[5] G ilboa G,Zeev i Y Y,Sochen N plex diffusion pr ocess for imag e filter ing[C].Scale Space,2001,L N CS2106,Ber lin:Spr inger Ver lag,2001.[6] W eicker t J.T heoret ical foundatio ns of naisotr opic diffusio n in imag e pro cessing[J].Co mputing,1996,11:221~236.[7] Weicker t J.Coherence Enhancing diffusio n filter ing[J].Inter national Jo ur nal o f Comput er V ision,1999,31(2/3):111~127.[8] M r azek P,N avara M.Selectio n o f optimal st opping time fo r nonlinear diffusio n filter ing[J].InternationalJour nal of Computer V isio n,2003,52(2/3):189~203.[9] Steidl G,W eicker t J.Br ox T,M razek P,W elk M.O n the equivalence o f so ft wavelet shr inkag e,to tal var iation diffusio n,total var iatio n regularizatio n,and SIDEs[J].SIA M Journal on N umer ical Analysis,2004, 42(2):686~713.A Review of the Application ofPartial Differential Equation in Image DenoisingWAN G Zheng ming,X I E M ei hua(Dep ar tment of Math.,Science College,N ational Univ er sity of Def ense T echnology,H u nan Changsha410073,China)Abstract:This paper g ives an o verview o f the development of partial differential equation models for image deno ising.We sketch basic ideas behind the different filter m odels,such as linear model,simple nonlinear model,complex no nlinear m odel and its m ulti steps realiza tion,and analysis the denoising pr inciple of partial differential equation fro m spatial dom ain and fr equency dom st,w e point out a strateg y of com bining w avelet and partial differ ential equation,and give a pr eview of its development.Key words:Partial differential equation;M odel;Diffusion;Regularizatio n;Denoising224应 用 数 学2005。
偏微分方程在图像处理中的应用
偏微分方程在图像处理中的应用近年来，随着计算机技术的飞速发展，图像处理技术在各个领域得到了广泛应用。
而偏微分方程作为数学分析中的重要工具，也在图像处理中发挥着重要的作用。
本文将探讨偏微分方程在图像处理中的应用。
一、图像去噪图像去噪是图像处理中的一个重要问题，而偏微分方程可以通过模型来实现图像的去噪。
常见的偏微分方程去噪模型有总变分模型和非局部模型。
总变分模型是一种基于全变分的去噪方法，它通过最小化图像的总变分来实现去噪。
总变分是图像灰度在空间上的变化程度的度量，通过控制总变分的大小，可以实现去除图像中的噪声。
非局部模型则是通过对图像进行非局部相似性的测量，将图像的每个像素点与其周围像素点进行比较，从而实现去噪的效果。
二、图像增强图像增强是指通过一系列的处理方法，改善图像的质量和视觉效果。
偏微分方程可以通过图像的梯度信息来实现图像的增强。
梯度是指图像中像素灰度变化的速率，是图像中最重要的特征之一。
通过计算图像的梯度，可以得到图像中每个像素点的亮度变化情况，从而实现图像的增强。
常见的偏微分方程增强模型有梯度扩散模型和非线性扩散模型。
梯度扩散模型通过对图像的梯度进行扩散，使得图像中的细节信息得到增强。
非线性扩散模型则是通过对图像的梯度进行非线性的处理，进一步增强图像的细节信息。
三、图像分割图像分割是将图像分成若干个具有独立特征的区域的过程。
偏微分方程可以通过对图像的边缘进行检测，实现图像的分割。
边缘是图像中灰度变化突然的地方，是图像分割中最重要的特征之一。
通过对图像的边缘进行检测，可以将图像中的不同区域分割开来。
常见的偏微分方程分割模型有基于水平集的模型和基于变分的模型。
基于水平集的模型通过对图像中的边缘进行演化，实现图像的分割。
基于变分的模型则是通过最小化图像的能量函数，将图像分割成不同的区域。
四、图像恢复图像恢复是指通过一系列的处理方法，从损坏或噪声严重的图像中恢复出原始图像。
偏微分方程可以通过最小化图像的能量函数，实现图像的恢复。
偏微分方程---图像去噪
基于偏微分方程(PDE)的图像去噪/ZJ r 目录 Z 7辭微分方程图像处理发展过程 戈石微分方程图像处理数学基础唇•三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用■■结构• ■、偏微分方程去噪问题的研究• 4.1各向同性扩散（热扩散模型）4・2 P ・M 非线性扩散•五、偏微分方程其他方面的简略介绍在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像处理研究领域占据着重要地位。
徧微分方程图像处理发展过程•使刑偏微分方程处理图像的思想可以追溯Gabor 和Jain。
但是这种方法真正建立起来是Koenderind 丁和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺」度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把】一组图像同时在多个尺度上表述。
•他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方程图像处理理论的基础。
在他们的研究工作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑来获得的，这等价于利用经典的热传导方程来演化图像得到一个各向同性扩散流』匸在0）年代末，Hummel提出热传导方程并不厂是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原则的演化方程就可以定义一个尺度空间。
• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这个领域最具有影响力。
他们提出用一个保持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。
他们的工作引发了很多理论和实际问题的研究。
• Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏k微分方程，其中最著名的是曲率流。
,•曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型，'它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置和清晰的同时沿轮廓进行平滑去噪。
■^psher和Rudin关于激波的研究以及关于TV 旷模型的研究工作更突出了偏微分方程在图\ 像处理中的重要性，这些方法成功之处在于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片光滑函数（曲面），从而与某种偏微分方程的分片光滑解联系起来。
偏微分方程论文 去噪
偏微分方程的应用——浅谈偏微分方程在图像去噪方面的应用前言：实话来说，对于这么纯粹的数学学科，我实在是没有什么信心学好，当初的常微分方程已经让我头疼不已了，更何况现在变成了偏微分。
它从名字上就已经把我打到了。
对它实在是有些畏惧。
不过看到这个论文题目还是让我很欣喜的，因为把它同现实联系了起来，不再是呆板的解题计算，而是真切的去了解这门学科在我们的生活中，或者是其他学科中的应用。
这样一来，它就不再是有些枯燥的数学了，而是一种赋予生活气息的学科。
摘要：图像去噪一直以来都是图像处理领域一个很受关注的问题，而且也是高层图像处理应用的预处理过程。
传统的图像去噪方法在去除噪声的同时往往会破坏边缘、线条、纹理等图像特征，基于偏微分方程的算法在图像去噪的同时，能够很好的保持图像的细节特征，因此，近年来受到越来越多的关注。
一、偏微分方程的起源及历史微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大注意。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。
这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
二、偏微分方程在现代学科中的应用偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。
图像去噪在计算机视觉中的应用与优化
图像去噪在计算机视觉中的应用与优化摘要：图像去噪是计算机视觉领域中的重要任务之一，其目的是恢复图像中受损部分的细节并减少噪声的影响。
本文将介绍图像去噪在计算机视觉中的应用，并讨论目前常用的图像去噪方法以及优化策略，以期为相关领域的研究提供参考和启示。
一、引言图像去噪是图像处理领域中的一项基础任务，其主要目的是降低图像中由传感器等原因引起的噪声对图像质量的影响，从而提高图像在后续处理中的可靠性和表现力。
在计算机视觉领域，图像去噪是一项重要的预处理步骤，能够为后续的图像分析和理解任务提供更准确的输入。
二、图像去噪的应用1. 医学图像处理医学图像通常会受到噪声的干扰，如CT扫描、MRI等图像的获取过程中，由于电磁波的干扰或医疗设备本身的问题，图像中会存在各种类型的噪声。
应用图像去噪算法可以有效增强图像细节，提高医生对病情的判断和诊断准确性。
2. 视频监控与安全在视频监控和安全领域，由于环境条件和拍摄设备的限制，监控图像中也会受到明暗变化、背景杂波等干扰因素的影响，导致图像质量下降。
通过图像去噪技术，可以提取出更清晰的监控图像，并更准确地检测和识别目标，提升安全监控系统的性能。
3. 无人驾驶与机器视觉无人驾驶和机器视觉技术正在快速发展，其中一个重要的挑战是如何从传感器获取的图像中准确地提取出关键信息。
图像去噪技术可以帮助去除传感器噪声并恢复被噪声遮挡的物体边缘与纹理等特征，提高无人驾驶汽车和机器人在环境感知和决策方面的能力。
三、常用的图像去噪方法1. 统计学方法统计学方法通常假设图像中的噪声是随机的，利用统计模型对噪声进行建模。
其中，最常见的方法是基于高斯分布模型进行图像去噪，如均值滤波、中值滤波等。
2. 基于偏微分方程的方法基于偏微分方程的方法利用梯度信息来降低图像中的噪声，并改善图像边缘的保持能力。
著名的方法有Total Variation (TV)、Perona-Malik模型等。
3. 基于字典学习的方法基于字典学习的方法通过构建一组稀疏表示字典，将图像表示为字典元素的线性组合，并通过最小化重建误差来去除噪声。
偏微分方程及其在图像处理中的应用模型讨论
偏微分方程及其在图像处理中的应用模型讨论摘要：偏微分方程是一种重要的数学工具，它在许多领域中的应用广泛。
本文将重点讨论偏微分方程在图像处理中的应用模型，包括图像去噪、图像增强和图像分割等方面的应用。
通过对具体模型的描述和讨论，可以更好地理解偏微分方程在图像处理中的作用，为相关领域的研究和应用提供参考。
引言：图像处理是一门研究如何对图像进行识别、分析和改变的学科。
随着数学和计算机科学的发展，偏微分方程在图像处理中的应用得到了广泛关注。
偏微分方程通过数学模型，可以有效地对图像进行去噪、增强和分割等处理，不仅提高了图像质量，还扩展了图像处理的应用领域。
一、图像去噪图像噪声是指图像中由于各种因素导致的不希望的噪声现象。
为了得到清晰的图像，需要对图像进行去噪。
偏微分方程在图像去噪中有广泛的应用。
例如，经典的热方程可以用来模拟图像中的噪声传播过程。
通过求解热方程，可以将图像噪声在空间上进行平滑，从而得到去噪后的图像。
此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计去噪模型，如全变分去噪模型和非局部均值去噪模型等。
二、图像增强图像增强是指通过一系列算法和方法，使得图像在视觉上更加清晰、鲜明和具有良好的对比度。
偏微分方程方法在图像增强中也得到了广泛的应用。
例如，非线性扩散方程是一种常用的偏微分方程方法，通过在图像中引入扩散项，可以有效地增强图像的细节和边缘。
此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计增强模型，如总变分图像增强模型和增强双曲正切模型等。
三、图像分割图像分割是指将图像划分成若干个具有独立意义的区域的过程。
偏微分方程在图像分割中也有重要的应用。
例如，平均演化方程是一种常用的偏微分方程方法，通过在图像中引入演化项，可以实现图像的分割。
此外，还可以利用偏微分方程和变分方法来设计分割模型，如最小变分分割模型和水平集分割模型等。
四、应用实例偏微分方程在图像处理中有许多实际应用。
例如，在医学图像处理中，偏微分方程可以用来对X光、CT和MRI等图像进行去噪和增强，从而提高诊断准确性。
基于偏微分方程的图像去噪研究的开题报告
基于偏微分方程的图像去噪研究的开题报告
标题：基于偏微分方程的图像去噪研究
研究目的：随着数字图像处理技术的不断发展，图像去噪成为图像处理领域中的一个重要问题。
本研究旨在通过研究基于偏微分方程的图像去噪方法，提高图像去噪的效果和速度。
研究内容：
1. 偏微分方程在图像去噪中的应用原理
2. 偏微分方程的求解方法及其在图像去噪中的应用
3. 常用的基于偏微分方程的图像去噪方法的综述和比较
4. 实验验证和分析
研究方法：
1. 文献回顾和资料收集：收集和研究基于偏微分方程的图像去噪方法的相关文献和资料，了解现有的主流方法和其优缺点。
2. 理论分析：对不同的基于偏微分方程的图像去噪方法进行理论分析，探讨其优劣和适用范围。
3. 实验验证：通过对比实验验证不同方法的去噪效果和计算速度，分析不同方法的适用性，并探索适合不同场景的图像去噪算法。
预期成果：通过本研究，提高基于偏微分方程的图像去噪方法的实用性和可靠性，为数字图像处理提供更优质的技术支持。
最终的成果将为图像去噪领域的技术发展和应用提供有益启示。
关键词：基于偏微分方程；图像去噪；计算速度；实验验证；数学模型。
一个四阶偏微分方程在图像去噪中的应用?
一个四阶偏微分方程在图像去噪中的应用？傅金辉;郭定辉【摘要】将边缘检测算子引入到用于图像去噪处理的四阶偏微分方程模型中，以建立能在去除图像中的噪声的同时抑制图像中的梯形效应且保护图像边缘细节的非线性偏微分方程模型。
通过对该非线性偏微分方程模型的能量估计得到该非线性偏微分方程模型在有界区域上弱解的存在性和唯一性。
利用数值仿真实验检验了所建立的非线性偏微分方程模型对图像中的高斯白噪声及椒盐噪声的去噪效果。
【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2012(000)006【总页数】8页(P791-798)【关键词】四阶偏微分方程模型;图像去噪;边缘检测算子;能量估计;弱解【作者】傅金辉;郭定辉【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京 100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京 100191【正文语种】中文【中图分类】O1751 引言最早的偏微分方程去噪方程是热传导扩散方程[1,2]，其原理是对噪声进行各向同性扩散，因而在去噪的同时把图像的边缘模糊化了．吴斌等人对其进行了改进[2]，提出了一些各向异性扩散模型，其原理主要是通过图像的梯度模的大小来自动地调节扩散系数，但这些改进模型在去噪过程中会产生“梯形效应”．Lysaker等给出了一个四阶非线性扩散方程[3]，以下简称为LLT模型，来抑制“梯形效应”，但他们的模型模糊图像边缘细节比较厉害．本文将梯度算子作为边缘检测算子，构造根据图像梯度大小改变扩散系数的函数g:[0,∞)→[0,1)，并得到如下非线性方程其中k是梯度阈值，k越大平滑的力度就越大；是一高斯磨光核，可以减少在去噪时将噪声当成假边缘可能性．针对低阶偏微分方程去噪产生“梯形效应”，而高阶偏微分方程去噪时会模糊图像边缘纹理特征两个问题，结合方程(1)，我们取R(u)=g(s)|∆u|为测试噪声振荡的函数，从最小化能量泛函(2)提出新的去噪模型为保证方程有意义，且在有界区域弱解的存在性，对二阶导数项|∆u|加一个很小的扰动项β>0，则(2)对应的非线性发展方程为其中该模型扩散系数同时依赖于边缘检测函数及二阶导数|∆u|，能根据图像结构自适应调节扩散系数，从而保留更多的细节．2 非线性方程弱解的存在唯一性根据方程(3)，考虑如下的问题其中定理1 设则问题(4)存在弱解u，又若则该问题的弱解u是唯一的．为了证明定理1，下面先证明两个引理，然后对方程(3)做能量估计．引理1 设则存在仅与h1,h2,Gσ有关的常数ν1,ν2>0，使得证明由于是单调递减的函数，且|∆u|+β>β>0，所以存在常数ν>0，使得引理2 若属于中的有界集合，则存在仅与σ,|Ω|,N以及u1,u2的模的上界有关的常数C，使得证明因为u1,u2属于H2(Ω)中的有界集合，同理可证定理2(能量估计) 存在常数C(λ,T,Ω)>0，使得证明由于是可分空间，在中任取一组标准正交基该正交基也是L2(Ω)中的标准正交基，对任何固定的正整数m∈N，构造方程(3)在由所张成的有限维空间中的近似解使其满足且由引理1，在(7)式两端同乘并对i求和，有步骤1 在(8)式两边同时对t从0到t(0 6 t 6 T)积分，得由此可得步骤2 在(8)式两边同时对t从0到T积分，得由此可得步骤3 给定且满足式中0,i=1,2,···,m，则由式(6)知由此可得在上式两端对t从0到T积分，并结合(10)易得综合(9),(10),(11)，有(5)式成立，即定理2成立．以下首先证明定理1中解的存在性．由定理2，是L2(Ω)和中的有界序列，而中的有界序列．由致密性定理，存在及u，满足并使得(不妨令m=mj)：取函数由标准正交基{φi}∞i=1是空间H20(Ω)中的标准正交基知，存在光滑函数序列使得取正整数m>N，在(7)式两端同乘di(t)，并对i=1,2,···,N求和，得首先分析第二项由引理2及(12)，得最后，令由(12),(13)及第二项、第三项的分析得在上式对t从0到T积分，得由稠密性知，(14)式在空间几乎处处成立，从而(15)式对几乎处处的v∈成立．因此，对任意和几乎处处的t∈[0,T]，有下式成立又由文献[4]知u(0)=u0，故问题(4)在有界区域上存在弱解u．接下来证明定理1中解的唯一性．若(4)有两个弱解令在(16)式中取v=(u1−u2)(t)，根据引理1及引理2得由H¨older不等式及加权的Young不等式，得则由分部积分及H¨older不等式可得对(17)两端从t0(t0>0)到t积分，得结合初始条件所以(4)的弱解唯一．综上所述，(4)在有界区域上存在唯一弱解，定理1证毕．3 仿真实验对于(4)中的方程，选取对称边界条件[5]，用中心差分逼近空间上的导数[6]求得其数值解．给定一幅大小为I×J初始图像u0，令则方程(4)的离散格式为选取参数λ=0，时间步长∆t=0.05，空间步长∆x=∆y=1．本文四阶偏微分方程中梯度阈值参数k=24，对含有噪声方差σ2=0.05的高斯白噪声的图像进行去噪后的图像，如图1．图1: 对含有Gauss噪声的图像去噪对同时含有噪声方差σ2=0.02的高斯白噪声和噪声密度P=2%的椒盐噪声的图像进行去噪后的图像，如图2．图2: 对加入Gauss噪声及椒盐噪声的图像去噪通过仿真实验结果图可见，PM模型在对图像进行去噪时，能很好地保留图像边缘信息，但是会产生“梯形效应”；LLT模型去噪虽然能够抑制二阶偏微分方程去噪时产生“梯形效应”的问题，但是会出现图像边缘细节的模糊，且有黑白的“孤立点”，不能很好的去除椒盐噪声，而本文在方程(3)的基础上，从最小化能量泛函的角度提出的非线性四阶各向异性扩散去噪方程，不仅能有效去除高斯白噪声和椒盐噪声，而且在抑制二阶偏微分方程去噪时产生“梯形效应”问题的同时，能够更好的保留图像的边缘细节，具有很好的视觉效果．图像复原的质量主要以图像恢复的逼真度来度量在目前的图像复原的衡量标准中，用得较多的是峰值信噪比(PSNR)测度[2]．表1给出了去噪后的峰值信噪比．表1:方程去噪的PNSR(dB)统计结果(N表示迭代次数)处理方法对σ2=0.05噪声图像处理结果对σ2=0.02,P=2%噪声图像处理结果噪声图像19.0105 18.0987PM模型23.4514(N=20)24.6663(N=50)LLT模型21.2707(N=50)21.2974(N=80)文中四阶方程23.6142(N=50)26.0672(N=80) 结合表1，通过综合评价指标PNSR的对比可以看出，对于加入不同噪声的图像，利用本文提出的四阶偏微分方程去噪后所得的PNSR始终是最高的，这就从仿真实验的角度验证了本文提出的非线性四阶各向异性扩散方程的去噪性能要优于其他偏微分方程的去噪性能．4 结论在能量泛函最小化基础上提出的各向异性扩散四阶偏微分方程，与图像的一阶和二阶导数有关，能根据图像特征自动调节扩散系数，在保留二阶及各向同性扩散四阶偏微分方程去噪时的优势的同时抑制了它们产生的问题，且本文从理论的角度保证了该方程在有界区域上弱解的存在唯一性，这为偏微分方程去噪引入了一个新的方程．参考文献：[1]Chan T F,Shen J H.Image Processing andAnalysis:Variational,PDE,Wavelet,and StochasticMethods[M].Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics,2005[2]吴斌，吴亚东，张红英.基于变分偏微分方程的图像复原技术[M].北京：北京大学出版社，2008 Wu B,Wu Y D,Zhang H Y.Image Restoration Technology Based on Variational Partial Dif f erential Equations[M].Beijing:Peking University Press,2008[3]Lysaker M,Lundervold A,Tai X C.Noise removal using fourth-order partial dif f erential equation with applications to medical magnetic resonance images in space and time[J].IEEE Transactions onProcessing,2003,12(12):1579-1589[4]Evans L C.Partial Dif f erential Equations[M].Providence:American Mathematical Society,1998[5]刘小扬，王美清.PM模型与YK模型相结合图像去噪改进方法[J].微计算机信息，2009,25(21):268-269 Liu X Y,Wang M Q.An improved image denoising method combining PM model with YK model[J].Microcomputer Information,2009,25(21):268-269[6]Morton K W,Mayers D F.偏微分方程数值解[M].北京：人民邮电出版社，2006 Morton K W,Mayers D F.Numerical Solution of Partial Dif f erential Equations[M].Beijing:Posts&Telecom Press,2006。
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述
基于偏激分方程(PDE)的图像去噪的方法综述摘要:偏微分方程(PDE)方法,是图像处理中的一种较新的方法,有着很强的数学基础,在图像处理中的应用发展非常快。
本文将近几年应用较多的几种图像去噪方法进行了系统的概括总结,指出了该领域的学者是如何一步步进行改进得到新方法的,并对该领域的发展做了新的展望。
关键词:图像去噪偏微分方程平滑滤波总变差1 引言图像去噪是数字图像处理中的一个经典问题。
随着数字图像处理技术的发展,大量数字图像经由信道传输或通过介质保存。
图像在传输或存储过程中受到外界物理条件的限制,所产生的噪声会影响图像的视觉效果。
而在众多的应用领域中,又需要清晰的、高质量的图像,因此,图像去噪是一类重要的图像处理问题,同时也是其它图像处理的重要预处理过程,对后继处理带来很大的影响。
基于偏微分方程(PDE)的方法进行图像处理因具有各向异性的特性,自适应性强,能够在平滑噪声的同时更好的保持边缘与纹理等细节性息,故在过去的二十几年中获得了巨大的发展。
这个领域的实质性的创始工作归功于和各自独立的研究。
他们严格地介绍了尺度空间理论并指出图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波和求解以原图像为初值的热传导方程等价。
然而由于高斯滤波是各向同性扩散,在去除噪音的同时模糊了边界。
改进滤波技术,在去噪的同时能完好的保存边缘等重要信息,一直是这一领域的目标。
本文详细介绍了现存的基于PDE的图像去噪的主要方法,并指出了它们之间的联系。
2 图像去噪模型偏微分方程与图像去噪的结合产生了许多模型,大体上可以分为两大类:一种是基本的迭代格式,随着时间的变化更新,使得图像向所要得到的效果逐步逼近,这种算法的代表为的方程以及对其改进的后续工作。
该方法在前向扩散的同时具有向后扩散的功能,所以具有平滑图像和边缘锐化的能力,并且扩散系数有很大的选择空间。
但是该方法是病态问题,在应用中不稳定。
另一种是基于变分法的思想,确定图像的能量函数,通过求能量函数的最小值,使得图像达到平滑状态,现在得到广泛应用的总变差TV(Total Variation)模型[4]就是这一类。
偏微分方程---图像去噪
• 国防科技大学的谢美华等从偏微分方程去 噪模型出发 ，论述了噪声抑制的原理。
• 考虑到传统的各向异性扩散模型无法正确 的对边缘定向，提出了一种基于边缘定向 增强的各向异性扩散去噪方法，首先利用 基于非线性光滑算子的边缘定向算子对边 缘定向然后利用边界信息确定扩散张量， 从而达到既保护边界又具有良好的去噪效 果。
• 在局部坐标意义下我们可以更加直观的从
几何意义上分析其处理效果。
• 设 ξ 代表图像在某像素处的梯度方向，η
代表与梯度垂直的方向，那么上述扩散方
程可以在由 ξ 和 η 张成的局部坐标系下
表示为:
• 对于PM扩散模型，在图像的平坦区域，
C1(u) C2 (u) 进行各项同性扩散；
• 在图像的边界或纹理等梯度比较大的像素
• 只有在空间定义域和灰度值上都离散化了 的图象才能被计算机处理，这种离散化图 象称为数字图象，空间离散化称为空间采 样，灰度离散化称为灰度量化。
目录
• 离散图象的模型用u: xΩ [0,255]表示，
这里x=(x,y)是离散的，[0, 255]表量化的 256个灰度级。
• 尽管图象在计算机中以上述离散形式存储 ，但由于在空间采样与灰度量化上这种离 散化都足够精细，从而可以用连续(或分段 连续)的数学函数近似。
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。
• 使用偏微分方程处理图像的思想可以追溯 到Gabor和Jain。
• 但是这种方法真正建立起来是K源自enderind 和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺 度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把 一组图像同时在多个尺度上表述。
处，C1(u) = C2 (u) 此时图像沿着与几乎与
基于偏微分方程的图像去噪和增强研究
图像去噪效果：偏微分方程能够有效去除图像中的噪声，提高图像质量。
图像增强效果：通过调整偏微分方程的参数，可以实现不同程度的图像 增强，突出图像的细节和特征。
适用范围：偏微分方程在图像增强中适用于各种类型的图像，包括自然 图像和医学图像等。
未来研究方向：如何进一步提高偏微分方程在图像增强中的效果，以及 探索与其他图像处理技术的结合是未来的研究方向。
偏微分方程在图像增强中的实现方法
扩散方程：平滑图像，去除噪声
导向滤波：基于图像梯度的滤波方 法，实现细节保留和噪声去除
添加标题
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反应-扩散方程：增强边缘，提高图 像清晰度
Perona-Malik模型：非线性扩散， 自适应地平滑图像
偏微分方程在图像增强中的效果评估
添加标题 添加标题 添加标题 添加标题
应用领域：图像处理、 计算机视觉和机器学 习等领域
实现方法：基于偏微 分方程的图像去噪算 法可以分为全变分方 法和非局部均值方法 两类
优缺点：偏微分方程 在图像去噪中具有较 好的效果，但计算复 杂度较高，需要优化 算法以降低计算成本
偏微分方程在图像去噪中的效果评估
偏微分方程在图像去噪中的表 现
偏微分方程在图像增强方面的 优势
偏微分方程在图像增强中的优缺点分析
优点：能够有 效地去除噪声， 提高图像的清 晰度和对比度， 增强细节表现。
缺点：计算复 杂度高，需要 较大的计算资 源和时间成本， 可能产生过度 平滑图像导致
细节丢失。
应用场景：在 医学影像、遥 感图像、安全 监控等领域有
广泛应用。
未来展望：随 着计算技术的 发展，偏微分 方程在图像增 强领域的应用 将更加广泛和
小波变换和偏微分方程在图像去噪中的应用
细 节信息 ， 但是 图像 的边 缘信息被 平滑 了。 用偏微分 方程对 图像去 噪 ， 与使 用小 波变换 去除 图像 噪声后 效果进 行 比较 ， 使 并
实验 结果表 明 ： 使用 偏微分 方程对 图像去 噪在平 滑噪声 的 同时可 以使边 缘得 到保持 ， 应用 偏微 分方程 进两 大 发 展 主 流 ：一 是 基 于 小 波 理 论 的 图像 去
噪 ，小 波 变换 作 为一 种 新 的 多 分 辨 分 析 方 法 ，能 够 聚 焦 到 图 像 细微 的变 化 。利 用 传 统 去 噪 方 法 可 能 破 坏 图
图像 去 噪 是 图 像 处 理 中 的 一 个 重要 问 题 ，对 于 改
１１ 小 波 函数 ． 定 义Ⅲ 设 ， ２ ）若 其 Ｆｕｉ 变 换 （ ） 足 ： ） （ ， ∈Ｌ Ｒ ｏｒ ｒ ｅ ∞满
容 许性 条 件
善 图像 质量 具 有 重 要 的意 义 。图 像 在 获 取 、传 输 和 存
有 效的工具 。
关键 词 ： 波变换 ； 小 偏微分 方程 ； 图像 去噪 中图 分类号 ： Ｐ １ ． Ｔ３７ ４ 文献标 识码 ： Ｂ 文章 编码 ：６ ２ ６ ５ （ ０ ８ １－ ０ ０ ０ １７ — ２ １ ２０ ） ０ ４ － ３ ２
Ａｐｐ ｉａ ｉｎ ｆ ｐ ｒｉ ｌｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉｎ ｎ ａ ｅｅ ｒ ｎ ｆ ｍ ｎ ｍ ａ ｅ ｎｏｓ ｅ ｏ ａ ａ ｅ ｎ ｌ ｔｏ ｏ ａ ｔａ ｉ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｓ ａ ｄ ｗ ｖ ｌｔｔａ ｓｏｒ ｏ ｉ ｇ ｉｅ ｒ ｍ ｖ ｌｂ ｓ ｄ ｏ ｃ
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偏微分方程滤波
偏微分方程滤波偏微分方程滤波，是一种常用的图像处理方法。
在数字图像处理中，由于图像受到离散化、采样等过程的影响，常常出现噪声，这会影响图像的质量和后续处理效果。
因此，滤波是图像处理中的一项重要技术，可以去除图像中的噪声，增强图像的清晰度和对比度。
偏微分方程滤波作为一种有效的滤波方法，在广泛应用中展现出了其独特的优势。
1.图像噪声的处理在数字图像处理中，噪声是不可避免的。
由于传感器的限制、照明条件和存储方法等因素的影响，噪声会混杂在图像中，使图像质量降低。
为了去除图像中的噪声，人们常常使用滤波方法进行处理。
2.偏微分方程滤波的基本思路偏微分方程滤波是一种基于数学模型的图像滤波方法。
其基本思路是先将图像建立为一个偏微分方程模型，然后根据初始条件进行求解。
求解过程中，通过重复应用方程，可以反复逐渐去除图像中的噪声，最终得到去噪后的图像。
3.偏微分方程模型的建立建立偏微分方程模型是偏微分滤波的核心。
在模型中，需要定义图像中各像素点的动态变化方程，并且将其与时间和空间相关联。
偏微分模型可分为线性模型和非线性模型两种。
其中，线性模型又可分为拉普拉斯模型、热方程模型和泊松模型等。
4.偏微分方程滤波的优势与传统的滤波方法相比，偏微分方程滤波有着独特的优势。
它不仅可以去除图像中的噪声，还能够增强图像的边缘，保留图像的细节。
这是由于偏微分方程滤波过程中，可以根据图像的特征对不同的区域进行不同的滤波处理。
5.偏微分方程滤波的应用偏微分方程滤波在图像处理中有着广泛的应用。
例如，在医学图像处理领域中，偏微分方程滤波可以用于锐化边缘和增强对比度，提升医学影像的质量。
在人脸识别等人工智能领域中，偏微分方程滤波可以用于去除图像的核心噪声，提高图像的清晰度和识别率。
综上所述，偏微分方程滤波是一种基于数学模型的图像滤波方法，可以用于去除图像中的噪声，并增强图像的边缘和对比度。
它不仅应用广泛，而且具有独特的优势，是数字图像处理领域中必不可少的一种技术手段。
偏微分方程在图像处理中的应用研究
偏微分方程在图像处理中的应用研究随着数字图像处理技术的不断发展，越来越多的应用场景需求图像去噪、图像增强等处理。
在数字图像处理领域中，偏微分方程成为了一个非常重要的数学工具，被广泛地运用到图像去噪、分割、形态学等方面的处理中。
偏微分方程是一种解决物理现象中时空变化的方程。
在图像处理中，图像可以看作是一个随时间和空间变化的物理场，直接运用偏微分方程来描述这一过程，可以有效地处理图像。
在图像去噪方面，偏微分方程与总变分能量模型结合可以很好地处理图像数据。
在总变分能量模型中，通过建立图像本质的一些属性，如图像的灰度变化、平滑性等，去噪可以看做是在总变分能量模型中，最小化能量函数，同时去掉图像中噪声的影响。
这个问题可以用偏微分方程进行求解。
在图像增强方面，常常需要对图像进行锐化处理和去除震动。
这时可以使用非线性扩散滤波器，这是一种基于偏微分方程的方法。
非线性扩散滤波器通常通过改变非线性扩散的系数，来达到去除图像中的噪声、增强图像细节的效果。
这种方法被广泛应用在医学图像处理和遥感图像处理等领域中。
偏微分方程在图像分割方面，也被广泛应用。
在传统图像分割技术中，往往只能分割出其中一个前景物体。
而在近年来，通过使用基于偏微分方程的方法，可以更好的实现多目标分割问题。
此外，还可以通过变形模型和演化方程实现图像形态学处理。
这种方法基于偏微分方程的曲线或者表面演化等过程，可以完成图像缩放、旋转、拼接和形状的修复等处理。
总之，偏微分方程作为一种有效的数学方法，对图像处理和分析有很重要的作用。
它可以通过描述时间和空间变化处理图像数据，并且在去噪、增强和分割等方面得到广泛应用。
随着各种场景对图像的处理需求日益增加，偏微分方程在图像处理领域的应用前景也变得非常广泛和多样化。
基于偏微分方程的图像处理技术研究
基于偏微分方程的图像处理技术研究随着互联网技术和数字图像技术的高速发展，图像处理技术逐渐成为了数字时代中不可或缺的一个重要领域。
而基于偏微分方程的图像处理技术，便是当今图像处理领域中的一种重要技术。
偏微分方程是数学分析领域中的一种常见工具，它通过计算微分方程来描述物理过程或自然现象。
在图像处理领域中，偏微分方程技术则被应用于图像的去噪、增强、分割和重建等方面。
它能够对图像进行高效、精确的处理，成为了数字图像处理中的一项热门技术。
首先，基于偏微分方程的图像去噪技术是目前图像处理领域中比较重要的一项应用。
这种技术通过计算偏微分方程来去除图像中的噪点和噪声，并且还能够让图像的细节更加清晰。
这一技术广泛应用于医学影像的处理、图像识别和视觉检测等领域中。
其次，基于偏微分方程的图像增强技术也是图像处理领域中广泛使用的一个技术。
这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行增强，使图像的细节更加清晰、颜色更加鲜艳、对比度更加明显。
基于偏微分方程的图像增强技术广泛应用于数字摄影、航空摄影、卫星图像等领域中。
第三，基于偏微分方程的图像分割技术在医学图像处理、目标识别以及机器视觉领域中也有重要的应用。
这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行分割，将图像分成多个不同的区域或物体。
这一技术可以帮助医生在医学影像中发现病变部位、帮助工程师在机器视觉中识别不同的物体。
最后，基于偏微分方程的图像重建技术也是图像处理领域中的一个重要应用。
这种技术通过计算偏微分方程来对图像进行重建，包括三维的重建。
基于偏微分方程的图像重建技术可以重建出更加精确的3D模型，可以广泛应用于医学、地球物理和工程领域。
总之，基于偏微分方程的图像处理技术是当今图像处理领域中的一项重要技术。
从图像去噪、增强、分割到重建，这一技术被广泛应用于医学、航空、卫星、机器视觉等领域，为我们的生活和工作带来了很多便利。
虽然这种技术并不是完美的，还有一些缺陷和局限性，但是通过不断的研究和实践，相信我们可以让这一技术更加完善和优秀。
偏微分方程(PDEs)在图像去噪中的运用
3.1 二阶半线性两自变量PDE的分类
在二维图像处理中， 自变量为像素坐标(x,y)， 涉及的PDE为两个自变量的二阶半线性方 程，其一般形式是[12]：
a11 u xx +2 a12 u xy + a 22 u yy +F (x, y, u x , u y )=0
2
(2)
0
记 Δ （x,y）= a12 - a11 a 22 ,可得二阶半线性两个方程在点 x ∈ Ω 的分类： 1) 双曲型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）>0。双曲型方程的第一标准型为
∂u ( x, y, t ) = Δu ( x, y, t ) ∂t
（初值为u 0 =u(x,y,0)）
(14)
式（14）中 Δu ( x, y , t ) 是图像的拉普拉斯算子。上式实际上是热传导方程。其解为：
u ( x, y, t ) = Gt * u ( x, y,0)
这里的 ∗ 表示卷积， G t ( x, y ) = Ct
0
∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u =A +B +Cu,第二标准型为 2 - 2 =A1 +B1 + C1 u. ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂s ∂t ∂s ∂t
如波动问题. 2) 椭圆型：方程(2)在 x 处有 Δ （x,y）<0。椭圆型方程的标准型为
0
2
因为在边界 ∂D 上函数v=0，方程（6）中第二个积分为零。而函数v=v(x,y)在域D内不为零， 要使方程（6）为零的必要条件是
∂F ∂ ∂F ∂ ∂F − ( )− ( ) =0 ∂u ∂x ∂p ∂y ∂q
(7)
即函数u(x,y)使泛函（3）取极值的必要条件是满足偏微分方程（7） 。这就是具有两个独立
偏微分方程在图像去噪中的应用研究
中 图分 类 号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ６ — ４ ３ １ １ （ ２ ０ １ ３） ３ ４ — ０ １ ８ １ — ０ ２
Ｏ 引 言
扩 散 到 整 个 图 像 的灰 度 道 道 一 致 。
图像 是 我 们 人 类进 行 传 递 信 息 的媒 介 ， 因 为 图 像 的 重
周 晓峰 Ｚ ＨＯＵ Ｘｉ ａ ｏ － ｆ ｅ ｎ ｇ
（ 黄 河水 利 职 业 技 术 学 院 ， 开封 ４ ７ ５ ０ ０ ４）
（ Ｙ ｅ ｌ ｌ ｏ ｗ Ｒ ｉ ｖ ｅ ｒ Ｃ ｏ ｎ ｓ ｅ ｒ ｖ ａ ｎ ｃ ｙ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｉ ｃ ａ ｌ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ， Ｋ ａ ｉ ｆ ｅ ｎ ｇ ４ ７ ５ ０ ０ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
偏微分 方程在 图像 去噪 中的应 用研 究
Ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｏ ｎ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ Ｄｉ ｆｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｉ ｍａ ｇ ｅ Ｄｅ ｎｏ ｉ ｓ ｉ ｎ ｇ
ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｓ ａ ｄ ｖ ａ ｎ ｔ ａ ｇ ｅ ｓ ｏ ｆ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｓ ｔ ｈ ｅ ｗａ ｙ ｆ ｏ ｒ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ｌ ａ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ｌ ａ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｅ ｖ ｅ ｌ ｏ ｐ ｍｅ ｎ ｔ ．
我们就设原始图像为 ｕ （ ｘ ． Ｙ ． ０ １ 。 设ｕ （ ｘ ． Ｙ ． ｔ 图像 逐 渐 作 为 一种 科 学 研 究 的 重 要 工 具 和 对 象 。 扩散图像 ， 那 么 计 算 图 像 的 热 扩 散 偏 微 分 方程 就 是 以 下 方 我们平时生活 中常 见的图像都会 带有噪声 ， 因为各种各样 程： ： △ ｕ （ ｘ ． Ｖ ’ ｔ ） ｄ ｔ 。 的因素 ， 在 图 像 的 形 成 或 者传 输 过 程 中 ， 外 界 噪 声 会 导 致 其 中， △ ｕ （ ｘ ， ｙ ， ｔ ） 为图像 的算子 ， 其初始 条件是 ｕ （ ｘ ， Ｙ ， ｏ ） ， 图 像 的质 量 问题 ， 从 而直接影 响视觉 效果 ， 那 么 下 ～ 步 的 这 样 的 方程 解 为 以下 公 式 ： ｕ （ ｘ ， ｙ ， ｔ ） ＝ Ｇ Ｉ ｕ （ ｘ ， ｙ ， ０ ） 处理 将 会 更 加 复 杂 。 不 过 高 质 量 图 像 几 乎 是 图像 领 域 里 必 须要 有的 ， 所 以 为 了获 得 高质 量 清 晰 的 图像 ， 需 要 对 图 像
(完整版)图像去噪方法
常见图像去噪方法概括总结：一：空间域去噪方法空域滤波是在原图像上直接进行数据运算，对像素的灰度值进行处理。
(1）邻域平均法、中值滤波、低通滤波、均值滤波等（2)偏微分方程去噪方法偏微分方程是近年来兴起的一种图像处理方法，主要针对低层图像处理并取得了很好的效果.偏微分方程具有各向异性的特点，应用在图像去噪中，可以在去除噪声的同时，很好的保持边缘。
偏微分方程的应用主要的一类是一种是基本的迭代格式,通过随时间变化的更新，使得图像向所要得到的效果逐渐逼近，以及对其改进后的后续工作。
该方法在确定扩散系数时有很大的选择空间,在前向扩散的同时具有后向扩散的功能，所以，具有平滑图像和将边缘尖锐化的能力。
偏微分方程在低噪声密度的图像处理中取得了较好的效果，但是在处理高噪声密度图像时去噪效果不好，而且处理时间明显高出许多。
（3）变分法（变差法）去噪方法另一种利用数学进行图像去噪方法是基于变分法的思想,确定图像的能量函数，通过对能量函数的最小化工作,使得图像达到平滑状态，现在得到广泛应用的全变分TV模型就是这一类。
这类方法的关键是找到合适的能量方程，保证演化的稳定性，获得理想的结果.（4）形态学去噪方法将开与闭结合可用来滤除噪声，首先对有噪声图像进行开运算，可选择结构要素矩阵比噪声尺寸大，因而开运算的结果是将背景噪声去除；再对前一步得到的图像进行闭运算，将图像上的噪声去掉。
据此可知,此方法适用的图像类型是图像中的对象尺寸都比较大，且没有微小细节，对这类图像除噪效果会较好。
二：变换域去噪方法图像变换域去噪方法是对图像进行某种变换,将图像从空间域转换到变换域，再对变换域中的变换系数进行处理，再进行反变换将图像从变换域转换到空间域来达到去除图像嗓声的目的.将图像从空间域转换到变换域的变换方法很多，如傅立叶变换、沃尔什-哈达玛变换、余弦变换、K—L变换以及小波变换、Contourlet变换等.而傅立叶变换和小波变换则是常见的用于图像去噪的变换方法。
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220
应 用 数 学
2005
值滤波 、 均值滤波 ,主要将图像的高频成分滤除 . 由于图像的细节如边缘纹理等也分布在高频 区域 ,所以总是在对噪声进行滤除的同时将图像的边缘部分模糊了 . 事实上 ,数字图像在本质 上可看成是 R2 → R 的以图像的边缘为边界的分片连续的映射 . 基于这一性质 ,可以以图像的 边缘为边界采用分片连续的函数来逼近图像中的真实信号 ,抑制其中的随机性噪声 ,如二元多 项式就是一种可选的基函数 , 由于逼近是在图像的内区域进行的 , 所以不会造成对边缘的模 糊 ,图像去噪的偏微分方程 ( PD E) 方法就是基于这一性质构建的 . 令 u0 ∶R2 → R 表示一个含噪的灰值图像 . 对 u0 ( x , y) 去噪相当于极小化能量函数[ 1 ] λ 2 ( u - u0 ) 2 d x d y + ρ | u2 ( 4) E ( g) = d xd y , x + uy | 2Ω Ω 其中λ为正则化参数 , Ω为图像的支撑域 ,ρ称为正则化参函数 ,是梯度的增函数 ,满足ρ ≥0 . ( 1 ) 式中的前一项用以约束去噪图像与原图像的逼近程度 , 而后一项用以约束图像的光滑程 度 . 它的含义是将图像近似为分片连续的零阶多项式 . 对极值问题 ( 4 ) ,应用 Eluer 方程 ,并采 样最速下降法引进时间参数 t , 可转化为求解如下偏微分方程 5u ( 5) = F[ u ( x , y , t) ] , 5t 其中 u ( x , y , t) ∶R2 ×[ 0 ,τ] → R 是随时间演化的图像 , F ∶R → R 表示一个特定算法对应的 算子 . 根据 F 定义的不同可分为线性扩散 、 非线性扩散 、 各向异性扩散等 . 其中 ,最早出现的是 如下线性扩散模型 5 t u = Δu , ( 6) u ( x , y , 0 ) = u0 ( x , y) , 它对应于方程 ( 4) 中λ = 0 ,ρ( s) = s2 / 2 的情形 . ( 6) 式是一个解热传导方程的 Cauchy 问题 ,通过对其进行 Fo urier 变换 ,可求得其解为
应 用 数 学
MA T H EMA TICA A PPL ICA TA 2005 ,18 ( 2) :219～224
3
偏微分方程在图像去噪中的应用
王正明 ,谢美华
( 国防科技大学理学院系统科学与数学系 ,湖南 长沙 410073 )
庆贺陈庆益先生八十寿辰 摘要 : 本文介绍用于图像去噪的偏微分模型 、 方法的发展历程 . 从理论上分析了线性 模型 、 简单非线性模型 、 复杂非线性模型 、 多步处理模型出现的背景和优缺点 ,并从空 域和频域上对偏微分方程模型的去噪原理进行了分析 . 最后 ,指出了偏微分方程去噪 与小波去噪结合的途径 ,据此对偏微分方程未来的发展方向进行了展望 . 关键词 : 偏微分方程 ; 模型 ; 扩散 ; 正则化 ; 去噪 中图分类号 : TP391 AMS( 2000) 主题分类 :35R 文献标识码 :A 文章编号 :100129847 ( 2005) 0220219206 光学图像成像过程中的噪声污染通常来自于 CCD 成像器件 、 图像传输设备及处理设备的 背景光子散粒噪声 、 暗电流散射噪声 、 读出噪声 、 热噪声 、 放大器噪声等 ,其中最终起限制作用 的是光子散粒噪声 ,统计上服从高斯或泊松分布 . 同时图像数字化过程中的量化以及其它人为 的因素也会导致噪声的产生 , 这种 CCD 传感器噪声和量化噪声可以仿真成 “加性的或乘性 的” “信号相关的或信号无关的” , 以及 “有色的或白色的” ,它们的存在极大地影响了图像的质 量 . 这里只考虑加性的与信号无关的白噪声 . 此时 ,图像的成像模型可描述为 ( x , y) , ( 1) g ( x , y ) = f ( x , y) +ε 2 其中 f ( x , y ) 为不含噪的真实图像 , g ( x , y ) 为实际观测到的图像 ,ε ～ N ( 0 ,σ ) . 那么 ,图像去 噪问题就相当于 ,寻找合适的算子 F ∶R → R , 使得 ( 2) F ( g ( x , y) ) = f ( x , y) . 由于噪声是随机性的 ,事实上我们只能得到 f ( x , y ) 的近似估计 ,而不可能使 ( 2 ) 式完全成立 . 因此 ,在评价算法的优劣时 ,通常以下述峰值信噪比作为评价指标 . 2552 ×m ×n PSN R = 10 3 lg , 3 2
221
( s) = ( k2 / 2 ) log ( 1 + ( s/ k) 2 ) 时 , ( 5) 式对应典型的非线性扩散方程 - P2M 扩散 [ 2 ] ,此时 当ρ
5 t u = div ( g ( |
g (|
2 u| ) =
2 u| )
ห้องสมุดไป่ตู้u) ,
5 t u = div ( g ( |
2
2 σ| ) u
严格单调递增 ,又 Φ( 0) = 0 , 从而当 |
u | > 0 时 ,有 Φ( |
(| u | ) > 0 , 从而ρ
格单调递增的 . 对一个常值图像 u 而言 ,其梯度恒等于零 ,而ρ( | u | ) 是关于 | (| (| (| 单调增函数 ,因此任给 u , | u | ≠0 , 必有ρ u | ) >ρ u | ) , 又因为ρ 从而有 E ( | u | ) > E ( | u | ) , 因而 u 是 E ( u) 的唯一最小值 . 定理证毕 .
u) ,
1 1 +|
u| / k
2
, 或 g ( |
2 u σ| ) =
1 1 +|
u σ| / k
2
2
,
( 10)
u ( x , y , 0 ) = u0 ( x , y) ,
u ( x , y , 0 ) = u0 ( x , y) .
本着在边缘处扩散系数 g ( s) 小的准则 ,一般选取 g ( s) 使之满足如下条件 : g ( 0) = 1 , g ( s) 为 减函数 ,且 lim g ( s) = 0 . 而且 ,在参数的选取上一般选取ρ为严格凸函数 ,这是因为
当定理 1 成立时 ,不必进行非凸优化所涉及的复杂的计算 ,而可使用标准的有限元近似来 获得稳定的解 . ( 10) 式所示的非线性方程能根据图像的梯度 | u | 来判断边缘位置 , 使边缘 处的扩散系数小 ,降低对边缘的模糊程度 . 但是 , 在 | 得不到有效抑制 . 由于正则化参函数ρ选取的不恰当 ,线性模型与非线性模型都有各自的缺点 . 为克服这一 缺点 ,在后续的研究中人们将更多的精力投入到了ρ函数的选取上 . 其发展主要沿两个方向进 行 . 第一 ,由简单方程到复杂方程的转变 ,这种复杂方程的复杂性主要体现在参函数的形式上 , 如考虑采用高阶方程 [ 3 ] 、 逆扩散方程[ 4 ] ,以及增加约束条件 [ 5 ] 等 ; 第二 ,由偏微分方程的一步实 现到多重实现的转变 ,这种多重实现指的是多次运用简单方程来实现复杂的操作 [ 6 ,7 ] . 目前 , 偏微分方程去噪研究的重点仍放在这两方面 . 但是 ,由于采样复杂的参函数会增加约束参数的 个数和模型的复杂性 ,给处理带来较大的麻烦 ,所以其前景较偏微分方程的多重实现差 . 高阶偏微分方程 在能量函数 ( 4) 中 ,考虑对图像的二阶导数的约束有如下能量泛函 [ 3 ]
2
u ( x , t) , c > 0 ,
( 13)
这等价于一个高斯去卷积过程 ,当其作用于边缘附近时具有锐化边缘的作用 . 这一方程由于其 数值不稳定性而被认为是病态的 ,但是 Gilboa ,Zeevi ,Sochen 认为在局部范围内使用逆扩散过 程不会破坏其稳定性 ,因此 ,提出了一种前向2后向扩散方程 [ 4 ] . 即取扩散系数 g ( s) 满足
s →∞
定理 1 当势能函数ρ( | 一个最小值 . 证 令 Φ( |
u | ) 为严格凸函数时 ,能量函数 E ( u) = ρ( |
Ω
∫
u | ) d x 正好有
u|) =
( ρ(
u) ) = g ( |
2 u| )
(| u , 由ρ
u | ) 为严格凸函数可知 Φ u | ) 是严 u | 的严格 u | ) ≥0 ,
E ( u) = f ( | Δu | ) dΩ ∫
Ω
u | > λ的情况下 , 其势能函数是非凸
的 ,从而使得边缘等处的处理表现出不稳定性 . 而且 ,由于边缘处扩散系数很小 ,边缘处的噪声
( 11)
时它所对应的偏微分方程为 5 u Δ ( Δ )Δ = [g | u| u]. 5t
( 12)
这是一个四阶偏微分方程 ,它的含义是将图像近似为分片连续的一阶多项式 . 使用四阶方 ( blocky) 的效果 . 程较前面的二阶偏微分方程的好处是能克服二阶方程常出现的 “块状” 前向2后向扩散方程 考虑逆扩散方程 5 t u ( x , t) = - c
( 3)
∑( f ( i , j )
i, j
- f
( i , j) )
其中 f
3
3
( x , y ) 为采用某算法去噪后的图像 , m , n 为图像的尺寸 . 传统的图像去噪方法 , 如中
收稿日期 :2004205208 基金项目 : 全国优秀博士论文作者专项基金 (200140) ,国家自然科学基金资助项目 (60272013) 作者简介 : 王正明 ,男 ,汉 ,湖南长沙人 ,教授 ,博导 ,国防科技大学理学院院长 ,主要研究方向为图像处 理中的数学方法 、 装备试验分析与评估 . © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.