三角形解的个数问题的解法优化

三角形解的个数问题的解法优化

问题 在ABC ∆中，已知A 、a 、b ，确定此三角形解的个数． 1．教材提供的解决方案

(1)当A 为直角或钝角时，若a b >，则有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表

此方案虽逻辑清晰、思维严谨，但分类较为抽象、繁琐，既不易记忆，又不易正确运用． 2．优化方案

当A 为直角或钝角且a b ≤时无解． 其余情况下，计算sin sin b A

B a =之值，参照下图进行判断即可：

具体来说，是借助于sin B 的值与0、sin A 、1大小关系来确定三角形解的个数．如下表：

3．原理

(1)当A 为直角或钝角时，若0sin sin B A <<则a b >，故有一解，若a b ≤，则无解； (2)当A 为锐角时，如下表：

例1 ABC ∆中，a =b =sin 2

B =，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．0个

解析 先利用正弦定理求出sin A 的值，再依a 与b 的大小，sin A 与sin B 的大小，就可迅捷判断三角形解的个数．

依sin sin a B A b =

=

，

1<< 即sin sin 1B A << 又b a <，知B 为锐角． 故符合条件的三角形，应选B ．

例2 在ABC ∆中，2a =，b x =，60A =，当x 取何值时，ABC ∆无解？有一解？有两解？

解析 先利用正弦定理求出sin B 的值，再通过比较a 与b ，sin A 与sin B 的大小，就可一招制胜，巧妙解题．

依sin sin 4

b A B x a =

=．

若ABC ∆无解，则sin 1B >1x >， 得x >

若ABC ∆有一解，则sin 1B =或0sin sin B A <≤， 1x =或0<≤，

得x =

02x <≤；

若ABC ∆有二解，则sin sin 1A B <<，即

124x <<， 得23

x <<．

综上所述，当x >

ABC ∆无解；当x =02x <≤时，ABC ∆有一解；

当2x <<

时，ABC ∆有两解．

巩固练习

1．已知ABC ∆中，b =2c =，6

C π

=，若三角形有两解，则符合条件的三角

形有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．0个

2．（2015三门峡模拟）已知ABC ∆中，a x =，2b =，45B =，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )

A ．2x >

B ．2x <

C ．2x <<．2x <<可见，利用正弦定理研究三角形解的个数时，若能先利用正弦定理求出某个角的正弦，再利用该正弦值与已知角的正弦值间的大小关系，相应的两边间的大小关系，就可出奇制胜，迅捷判断三角形解的个数．

参考文献：

[1] 张新生. 谈应用正弦定理讨论三角形解的个数[J]. 兵团教育学院学报, 2013,(3).