由前n项和Sn,求通项公式an
数列的通项公式与部分和公式
数列的通项公式与部分和公式数列的通项公式是指能够表示数列中第n个数与n的关系的公式，而部分和公式则是指数列的前n项和能够表示成与n的关系的公式。
本文将分别介绍数列的通项公式和部分和公式，以及应用举例。
一、数列的通项公式数列是指按照一定规律排列的一组数，通项公式是能够表示数列中第n个数与n的关系的公式。
1. 等差数列的通项公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则该等差数列的通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等差数列1，4，7，10，13，……，其首项a₁为1，公差d为3，根据通项公式可得：an = 1 + (n-1)3 = 3n - 2因此，该等差数列的通项公式为3n - 2。
2. 等比数列的通项公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则该等比数列的通项公式为：an = a₁ * q^(n-1)其中，an表示数列的第n个数。
例如，对于等比数列2，6，18，54，……，其首项a₁为2，公比q 为3，根据通项公式可得：an = 2 * 3^(n-1)因此，该等比数列的通项公式为2 * 3^(n-1)。
二、数列的部分和公式数列的部分和是指数列前n个数的和，部分和公式是能够表示数列前n项和与n的关系的公式。
1. 等差数列的部分和公式对于等差数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = (a₁ + an) * n / 2其中，a₁表示数列的首项，an表示数列的第n个数。
以等差数列1，4，7，10，13，……为例，根据通项公式3n - 2，部分和公式可表示为：Sn = (1 + (3n - 2)) * n / 2 = (3n + 1) * n / 22. 等比数列的部分和公式对于等比数列，前n项和（部分和）Sn可以表示为：Sn = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)其中，a₁表示数列的首项，q表示数列的公比。
求数列通项公式、前n项和sn常用方法F
求数列通项公式常用方法1.归纳法：由给出已知项寻找规律 ，求同存异，猜想通项公式2.公式法：等差数列与等比数列.3.作差法：利用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n , 求n a特别的：已知前n 项积，求n a 使用（作商法）.4、累加法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =-+型时，且{)(n f }中n 项和可求。
5、累乘法：数列}{n a 的递推公式为)(1n f a a n n =+型时，且{)(n f } 中n 项积可求。
6、构造法：形如q a p a n n+∙=-1（q p 、为常数）的形式，往往变为)(1λλ-=--n n a p a ，构成等比数列，求}{λ-na 的通项公式，再求n a .7、倒数法：形如)()()(n h a n g a n f n n++，可取倒数后换元，变为q a p a n n +∙=-18.周期法：计算出前n 项，寻找周期精题自测(1)已知数列}{n a 满足)1(23-=n n a S ，则n a =_____________(2)已知数列}{n a 满足11=a ，n n n a a 21+=+，则n a =_____________(3)已知数列}{n a 满足11=a ，)11ln(1na a n n ++=+，则n a =_____________(4)已知数列}{n a 满足11=a ，n nn a a 21=+，则n a =_____________(5)已知数列}{n a 满足11=a ，0>n a ，0)1(1221=∙+-+++n n n n a a na a n ，则n a =____________(6)已知数列}{n a 满足11=a ，121+=+n nn a a a ，则n a =_____________(7)已知数列}{n a 满足31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则2013a =_____________(8)已知数列}{n a 满足333313221na a a a n n =∙++∙+∙+- ，则n a =_____________（9）已知数列的前n 项积为2n ，则当≥n 2时，则n a =_____________求前n 项和nS 常用方法1、公式法：等差数列的前n 项和公式： 等比数列的前n 项和公式：①d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ②⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q qq a a q q a q na S n n nn )1(211+=∑=n n k nk∑=nk k 12=)12)(1(613212222++=++++n n n n 213)]1(21[+=∑=n n k nk 例1：已知3log 1log 23-=x ，求 +++++n x x x x 32的前n 项和.2、分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．例2：求数列211，413，815，…，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n n 2112）（的前n 项和。
新版数列公式总结-新版
数列公式总结一、数列的概念与简单的表示法数列前 n 项和：对于任何一个数列，它的前 n 项和Sn 与通项 an 都有这样的关系：二、等差数列1.等差数列的概念台(1)等差中项：若三数 a 、A 、b 成等差数列(2)通项公式：an =a +(n-1)d=am+(n-m)d(3).前n 项和公式：2等差数列的.常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,P,q ∈N+), 则am+an=ag+ag自n}的公差为d,则：(2)单调性：i) d >0 ⇔白，}为递增数列；ii) d <0 ⇔A,} 为递减数列；ii) d =0 台白，}为常数列；(3)若等差数列(白，)的前n项和S,,则S、Sa-S、Sm-S…是等差数列。
三、等比数列1.等比数列的概念(3).前n 项和公式：2.等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N+), 则am an=ap 码(2)单调性：a₁>0,q>1 或a<0,0<q<1={an} 为递增数列；a₁>0,0<q<1 或a<0,q>1={a}为递减数列；q =1={an}为常数列；q<0={an}为摆动数列；(3)若等比数列(a,)的前n项和S₁,则S、S₂-S₁、S-S…是等比数列.四、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法(2)裂项相消法常见的拆项公式有：①②(3){分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组(4)倒序相加法一、等差数列公式及其变形题型分析：1. 设S 是等差数列{an}的前n 项和，若,则A. B C. D.2. 在等差数列{an}中，若a10o3+a1004+a1os+a106=18, 则该数列的前2008项的和为( ).A. 18072B.3012C. 9036D.120483. 已知等差数列{an}中，az+ag=16,a4=1, 则a12的值是( ).A.15B. 30C. 31D. 644. 在等差数列{an}中，3(a₂+a₆)+2(a₅+ao+as)=24, 则此数列前 13项之和为()A. 26B.13C.52D. 1565. 等差数列{an}中，ai+az+ag=-24,a18+ ag+a2o=78,则此数列前20项和等于( ).A. 160B.180C.200D.220二、等比数列公式及其变形题型分析：1. 已知{an}是等比数列，a2=2, , 则a ia₂+aza₃+ …+ anan+1=( ).A.16(1-4"B. 16( 1 — 2C. D.2. 已知等比数列{an}的前10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为3.在等比数列{an}中，若a₁+a₂+a₃=8,a₄+as+a₆=-4, 则a₁3+a₁4+a₁5=该数列的前15项的和S15=4.等比数列a,中，a₂=9,as=243,则(a,}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1925. √②+1与√②-1,两数的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.6. 已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么是此数列的第( ) 项A.2B. 4C. 6D. 87.在等比数列{a,}中，若a₃=3,ag=75,则a₁三、数列求和及正负项的解题思路1. 两个等差数列则2求和：(a-1)+(a²-2)+ …+(a”-n),(a≠0)3.求和：1+2x+3x²+…+nx′14.已知数列{an}的通项公式an=-2n+11,如果b₁=an(n∈N)求数列6,}的前n项和。
数列的递推公式与通项公式前n项和公式
二、数列的递推公式与通项公式、前n 项和公式一、知识点回顾：1、递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
2、数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎩⎨⎧--11s s s n n 12=≥n n 。
在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。
注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；若a 1 适合由a n 的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
3、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥。
一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。
⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。
⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
求数列的通项及绝对值的前n项和
求数列的通项及绝对值的前n 项和
例1、已知数列{}n a 的前n 项和是.322n n S n -=
（1）求数列的通项公式n a ．
（2）求数列{} n a 的前n 项和.n
S ' 分析：（1）利用n 项和公式和通项公式的关系求出n a 即可．
解：（1）当1=n 时，3111==S a ，当1>n 时 , .2331n S S a n n n -=-=- 1=n 时也满足.233n a n -=故.233n a n -=
分析：（2）由（1）n a 是首项为31的递减的等差数列，故数列的前16项大于0，从第17项开始，以后各项均小于0．当数列的各项加上绝对值之后，整个数列不再是等差数列．而变为两个不同的等差数列的组合．从原数列的第一项到第16项仍然是首项为31，公差为2的等差数列．从数列的第17项开始变为以1为首项，2为公差的等差数列．
解（2）当16≤n 时，;3322121n n a a a a a a S n n n
-=+++=+++=' 当16>n 时，216161817162132544)(n n S S S a a a a a a S n n n
+-=--=----+++=' ． 小结：本题需注意的是，当数列可以看做是几个数列组合而成时，在求数列的通项公式或前n 项和公式时注意数列一部分的项数与整个数列项数的关系．本题易误解为：当16≤n 时，;3322121n n a a a a a a S n n n -=+++=+++=' 当16>n 时，
2,1,2721716-=-==d a S 所以.22)1(271⨯-++='n n n S n
忽略了数列中的部分和数列整体的关系．。
等差数列1
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2, 5, n=1, 故 an= 6n-2, n≥2. (3)当 n=1 时, a1=S1=4; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=23n-1, 故 an= 4, n=1, 2∙3n-1, n≥2.
9n(n＋1) 例 3 已知 an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最 n 10 大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
设数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，…
数列前n项和的意义:
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列｛ an ｝ 的前n项和，记作Sn. 数列的前n项和Sn与an有何关系?
Sn=a1+a2+…+an= k a; =1 k S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1
n
注意能否合并
2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n+1.
解: (1) ①当 n=1 时, a1=S1=-1; ②当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, ③故 an=4n-5(nN*).
注：1、等差数列的通项变形公式： an=am+（n-m）· d (m,n∈ N*)
d an an 1
2、知三求一
an a1 d n 1
an am d nm
例3.已知数列的通项公式为an＝pn＋q 其中p，q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否是等差数列？ 如果是，其首项与公差19, 12.5, 6, …, （-20）.
习题课精品：求通项公式
√A.2n＋1
B.2n
C.2n－1
D.2n－2
解析 因为Sn＝2an－4，所以Sn－1＝2an－1－4，
两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，
整理得 an＝2an－1，即aan－n 1＝2，
因为S1＝a1＝2a1－4，即a1＝4，
所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.
（Ⅱ）求数列an 的通项公式
第三种类型 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
练习：已知数列an 满足：
1 2
a1
1 22
a2
1 2n
an
2n 5，
则 an ____________
第三种类型 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式
练得习对所：有设自正然数数数列n，{a有n}前tsnn项和t S2na，n ,存求在an正和数Snt.，使
求数列的通项方法
1、 由等差，等比定义，写出通项公式 2、 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n) 3、一阶递推,我们通常将 an1 pan q 其
化为 an1 A pan A 看成{bn}的等比数列
4、利用换元思想 5、先猜后证：根据递推式求前几项，猜出 通
项，用归纳法证明(不作要求） 6、已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退
相加得 an＝a1＋1－1n， 故 an＝4－1n.
1234
解析 答案
2.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ __1_，S5＝_1_2_1_. 解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3， 再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n≥2)，
高中数学《求数列的通项习题课一》专题突破含解析
习题课一 求数列的通项题型一 利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】 (1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .解 (1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ≥2.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1，2，3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…·n －1n (n ≥2).∴a na 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n ，n ≥2.又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝23n ，n ∈N *.规律方法 (1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1).(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a2＝f (2)，…，a na n －1＝f (n －1)，累乘可得a na1＝f (1)f (2)…f (n －1).【训练1】 数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，求{a n }的通项公式.解 因为a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，n ≥2，以上各式累加得，a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1，故a n＝2（1－2n－1）1－2＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以a n＝2n.题型二 构造等差(比)数列求通项公式【例2】 (1)在数列{a n}中，a1＝13，6a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2，n∈N*).①证明：数列{1a n}是等差数列；②求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－3，求a n.(1)①证明 由6a n a n－1＋a n－a n＋1＝0，整理得1a n－1a n－1＝6(n≥2)，故数列{1a n}是以3为首项，6为公差的等差数列.②解 由①可得1a n＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以a n＝16n－3，n∈N*.(2)解 由a n＋1＝2a n－3得a n＋1－3＝2(a n－3)，所以数列{a n－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则a n－3＝(－1)·2n－1，即a n＝－2n－1＋3.规律方法 (1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如a n＋1＝pa n＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设递推公式可改写为a n＋1＋t＝p(a n＋t)；第二步 由待定系数法，解得t＝qp－1；第三步 写出数列{a n＋q p－1}的通项公式；第四步 写出数列{a n}的通项公式.【训练2】 已知各项均为正数的数列{b n}的首项为1，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2).试求数列{b n}的通项公式.解 ∵S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2)，∴(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2).又S n >0，∴S n －S n －1＝1.又S 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公差为1 的等差数列，∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，b 1＝1符合上式.∴b n ＝2n －1.题型三 利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n 等于( )A.2n ＋1 B.2n C.2n －1D.2n －2(2)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23·a n ，则a n a n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1解析 (1)因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，S n －1＝2a n －1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以a n a n －1＝2.因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.(2)由S n ＝n ＋23a n 得，当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得：a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，由此可得，当n ＝2时，a n a n －1取得最大值，其最大值为3.答案 (1)A (2)C规律方法 已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )的解题步骤：第一步 利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步 利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步 若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练3】 在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式a n .解 由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2×3n －2.于是a n ＝{1，n ＝1，2×3n －2n，n ≥2，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )A.a n ＝{1（n ＝1）a n ＋1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）B.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）C.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）D.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n ＋1（n ∈N *，n ≥2）解析 由题意可得，a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，……∴a n －a n －1＝n (n ≥2)，故数列的递推公式为a n ＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）故选B.答案 B2.数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 9＝( )A.1 024B.1 023C.510D.511解析 由题意可得a n ＋1－a n ＝2n ，则a 9＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 9－a 8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.答案 D3.已知数列{a n }的各项均为正数，且a 2n －a n －n 2－n ＝0，则a n＝________.解析 由a 2n －a n －n (n ＋1)＝0，得[a n －(n ＋1)](a n ＋n )＝0.又a n >0，所以a n＝n ＋1.答案 n ＋14.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 10＝________.解析 由a 1a 2a 3…a n ＝n 2，得a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 10＝10081.答案 100815.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.解 由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2an ＋1，所以1an ＋1＋1＝2(1a n＋1).又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×（99＋1）2＋2＝9 902.答案 B2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为( )A.2n －1B.2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2an，a 1＝1，∴1a n ＋1－1a n ＝2.∴{1a n}为等差数列，公差为2，首项1a1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案 C3.若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2 021的值为( )A.1 B.2 C.3D.4解析 ∵a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，∴a n ＋1＋a n ＝4，∴a n ＋1＝a n －1，∴a n ＝a n ＋2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又∵a 1＝3，∴a 2 021＝3.答案 C4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n （n ＋1）2n解析 ∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1.答案 C5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( )A.20 480B.49 152C.60 152D.89 150解析 由题意得S 2＝4a 1＋2，所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4，又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，于是a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，因此数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，得a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝n ·2n .所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.答案 B 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列{a n }的通项公式为________.解析 当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意.因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3，故a n ＝2×3n －1.答案 a n ＝2×3n －17.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n ，当n ＝1时，a 1＝1也符合此式，∴a n ＝n .答案 n8.已知数列{a n }满足ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n 2(n ∈N *)，则a 10＝________.解析 ∵ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n2(n ∈N *)，∴ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n －13（n －1）＝3（n －1）2(n ≥2)，∴ln a n ＝3n 2n －1(n ≥2)，∴a n ＝e 3n 2n －1(n ≥2)，∴a 10＝e 1003.答案 e1003三、解答题9.设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n ，求数列{a n }的通项公式.解 ∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2an )＝2n ，∴log 22an －log 2an 4＝2n ，由换底公式得log 22an －log 24log 22an ＝2n ，即a n －2a n ＝2n ，∴a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0<x <1，∴0<2an <1，∴a n <0，∴a n ＝n －n 2＋2，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝n －n 2＋2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.(2)当n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，①当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，②①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2·(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2.能力提升11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 由题意知a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1，∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2(1a n －1a n －1)，即1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，∴数列{1an ＋1－1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1a n ＋1－1a n ＝2×2n －1＝2n .利用累加法，得1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1，即1a n ＝2n －12－1＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案 12n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)法一 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得S n ＋1n ＋1－S nn ＝12，∴数列{S nn}是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S nn ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－（n －1）n2＝n .而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .法二 由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n （n ＋1）2，∴na n ＋1－S n ＝n （n ＋1）2.①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n （n －1）2，②①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n （n ＋1）2－n （n －1）2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1，∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2).而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .(2)由(1)，知a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即[2k （2k ＋1）2]2＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4.得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾.∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A.a 9＝17 B.a 10＝18C.S 9＝81D.S 10＝91解析 ∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选BD.答案 BD14.(多空题)设S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，且a n>0，则S n＝________，a100＝________.解析 由S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，则当n＝1时，a21＋1＝2a1S1，即S21＝1；当n≥2时，(S n－S n－1)2＋1＝2(S n－S n－1)S n，整理得S 2n－S2n－1＝1.所以数列{S2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S2n＝n.由于a n>0，所以S n＝n，故a100＝S100－S99＝100－99＝10－311.答案 n 10－311。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)5.1数列(含递推公式)课件 理 新人教B版
【即时应用】(1)数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an= (2)数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,Sn=nan,则an= 【解析】 (1)当n=1时，a1=S1=2; 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+1)-［(n-1)2+1］ =n2-(n-1)2=2n-1, 将n=1代入an=2n-1得a1=1≠2. ∴an=
2.“累乘法”求an 已知a1且 a n =f(n)(n≥2),可以用“累乘法”，
a n 1
即 a n =f(n), a n 1 =f(n-1),„, a 3 =f(3),
a n 1 a n 2
a2
a 2 =f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 得a . 1 n a1
【提醒】在求解出通项公式后，记得验证a1是否满足公式.
2 4
8
16
32
64
【解题指南】(1)从各项符号和各项绝对值的关系两方面考虑. (2)从考虑数列0.8,0.88,0.888,„和数列0.9,0.99,0.999,„ 的关系着手. (3)分子规律不明显，从考虑分子与分母的关系着手.
【规范解答】(1)符号可通过(-1)n表示，后面的数的绝对值总
比前面的数的绝对值大6，故通项公式为
＝
.
(2)数列{an}满足a1=1,an+1=an+1，则{an}的通项公式为_______.
【解析】(1)a1＝1，a2＝ a1
2a1 3 a a4 a4＝ 3 ＝ 1 ，a5＝ ＝ 1 . 2a 3 3 2a 4 3 161 53
＝
1 ，a3＝ a 2 ＝ 1 , 5 17 2a 2 3
【解析】由数列的定义可知①、②错误；数列{
等比数列的通项与前n项和
等比数列的通项与前n项和等比数列是指从第二个数开始，每个数都是前一个数与一个固定比例的乘积。
通常用字母a表示首项，q表示公比，那么等比数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)。
前n项和公式可以表示为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
等比数列的通项与前n项和在数学中有着广泛的应用，下面将对其计算方法进行详细介绍。
一、等比数列的通项求解对于等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以通过已知的首项a1和公比q，来求解任意项的值。
以求解第n项an为例，假设我们已知等比数列的首项a1和公比q，则可以利用公式an=a1*q^(n-1)进行计算。
其中，n为所求项的位置。
例如，如果首项a1=2，公比q=3，我们想要求解第5项的值an。
根据通项公式可得：a5 = a1*q^(5-1) = 2*3^(5-1) = 2*3^4 = 162因此，等比数列的第5项的值为162。
二、等比数列的前n项和求解等比数列的前n项和可由前n项的通项公式进行计算。
前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1为首项，q为公比。
以求解前5项和Sn为例，假设等比数列的首项a1=2，公比q=3，则可以利用公式Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)进行计算。
我们要求解的是前5项和，即n=5。
代入公式可以得到：S5 = a1*(1-q^5)/(1-q) = 2*(1-3^5)/(1-3) = 2*(-242)/(2) = -242因此，等比数列的前5项和为-242。
综上所述，等比数列的通项与前n项和可以通过相应的公式进行计算。
知道了等比数列的首项和公比，我们就能得到任意项的值以及前n 项的和。
数列求通项公式的五种重要方法
求通项公式的5种重要方法一、Sn 法，根据等差数列、等比数列的定义求通项an=Sn-S n-1*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n n n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列二、累加、累乘法1、累加法 适用于：1()n n a a f n +=+若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
例12、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += 若1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n na a a f f f n a a a +=== ，，， 两边分别相乘得，1111()n n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
例5 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.例6 已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+分析：通过凑配可转化为1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+;解题基本步骤：1、确定()f n2、设等比数列{}1()n a f n λ+，公比为2λ3、列出关系式1121()[()]n n a f n a f n λλλ++=+4、比较系数求1λ，2λ5、解得数列{}1()n a f n λ+的通项公式6、解得数列{}n a 的通项公式例7 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。
等差数列前n项和性质
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解 ] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，公差
10a ＋1010－1d＝100， 1 2 为 d，则 100100－1 100a1＋ d＝10. 2
1 099 a ＝ 1 100 ， 解得 d＝－ 11 . 50 110110－1 ∴S110＝110a1＋ d 2 1 099 110×109 11 ＝110× 100 ＋ × ( － 2 50)＝－110.
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n＋1 44 4 ＝ n ＝33＝3，得 n＝3. 又∵S 奇＝(n＋1)· an＋1＝44，∴an＋1＝11. 故这个数列中间项为 11，项数共有 2n＋1＝7 项.
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变式2．项数为2n+1的等差数列，奇数项之和为51， 偶数项之和为42.5，首项为1，求这个数列的项数及通
项公式．
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110 －S100，…成等差数列， 10×9 ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋ d＝10， 2 解得 d＝－22. 10×11 10×11 ∴前 11 项和为 11×100＋ d＝11×100＋ ×(－22)＝ 2 2 －110.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且lg(Sn＋1)＝n＋1，求
通项公式．
解：因为lg(Sn＋1)＝n＋1， 所以Sn＋1＝10n＋1.即Sn＝10n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝102－1＝99， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(10n＋1－1)－(10n－1)＝9×10n，
sn的通项公式
sn的通项公式Sn的通项公式是数列中的一种重要的数学公式，它可以用来计算数列中的任意一项的值。
数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
数列中的每一项都有一个位置，我们可以用n来表示它所在的位置。
而Sn表示前n项的和。
数列中的每一项可以用通项公式来表示。
通项公式是一个关于n的表达式，当我们将n代入这个表达式中时，就可以得到数列中相应位置的项的值。
通项公式通常是由数列中的首项和公差推导出来的。
对于等差数列来说，它的通项公式是Sn = n * (a1 + an) / 2。
其中，Sn表示前n项的和，a1表示首项，an表示第n项。
这个公式告诉我们，如果我们知道了首项和公差，就可以通过这个公式来计算任意一项的值。
举个例子来说明通项公式的使用。
假设我们有一个等差数列，首项是3，公差是2。
我们想要计算这个数列中的第10项的值。
根据通项公式，我们可以将a1替换成3，an替换成a10，n替换成10，然后带入公式中计算。
Sn = 10 * (3 + a10) / 2我们可以通过简单的计算得到：a10 = 2 * Sn / 10 - 3= 2 * (10 * (3 + a10) / 2) / 10 - 3= (30 + 2a10) / 10 - 3= 3 + a10 / 5通过进一步计算，我们可以得到a10 = 18。
从上面的例子可以看出，通项公式是计算数列中任意一项的有效工具。
它能够帮助我们快速准确地计算数列中的项的值，而不需要逐个进行计算。
这对于处理大规模的数列尤为重要。
当然，通项公式并不仅仅适用于等差数列，还适用于其他类型的数列。
例如，对于等比数列来说，它的通项公式是Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
除了通项公式，还有一种常用的数列求和公式叫做部分和公式。
部分和公式是计算数列中前n项和的公式。
它可以通过递推的方式得到。
部分和公式对于计算数列的和也非常有用。
数列中an及Sn的关系
课题 浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项公式a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2． 而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：归纳起来常见的角度有：角度一：直观运用的S n ，求a n ； 角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论；角度三：a n 与S n 的延伸应用．角度一：直观运用的S n ，求a n方法：S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)：(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进展检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合，那么应该分n ＝1与n ≥2两段来写．同时，在局部题目中需要深刻理解“数列的前n 项和〞的实际意义，对“和的式子〞有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和．1．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，那么数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －3B ．a n ＝2n ＋3C ．a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝12n －3，n ≥2D ．a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝12n ＋3，n ≥2 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不满足上式．【答案】C2．(2015·一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，那么数列的通项公式a n ＝．【解析】当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2) ·3n ＋3；那么用等式减去上式得(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n ，得a n ＝3n ；当n ＝1时，a 1＝3，满足上式；故a n ＝3n ．【答案】a n ＝3n3．(2015·XX 一中月考){a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，那么a n ＝．【解析】由得S n ＋1＝2n ＋1，那么S n ＝2n ＋1－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不满足上式；故a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2． 【答案】a n ＝⎩⎨⎧ 3，n ＝12n ，n ≥2 4．(2015·树德期中){a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14．(1)求{a n }的通项公式；(2)假设数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和． 【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，那么d ＞0，由a 2＋a 6＝14，可得a 4＝7由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，解得d ＝2 或d ＝－2(舍)∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7＋2(n －4)，即a n ＝2n －1．(2)令＝b n 2n ，那么c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝a n ＋1＝2n ① 当n ≥2时，c 1＋c 2＋c 3＋…＋－1＝2(n －1) ②由①－②得，＝2，当n ＝1时，c 1＝2，满足上式；那么＝2(n ∈N *)，即b n2n ＝2，∴b n ＝2n ＋1， 故数列{b n }是首项为4，公比为2得等比数列，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝4(1－2n )1－2＝2n ＋2－4．此类题目中，条件往往是一个关于a n 与S n 的等式，问题那么是求解与a n ，S n 有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进展客观分析后，判定最后的结果中是保存a n ，还是S n ．那么，主要从两个方向利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)：方向一：假设所求问题是与a n 相关的结论，那么用S n －S n －1＝a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n －1，保存项数a n ，在进展整理求解；1．(2015·月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)，那么数列的通项公式是．【解析】当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ；当n ＝1时，a 2＝3，那么a 2＝3a 1，满足上式；故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n ＝3n －1．【答案】a n ＝3n －12．数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解】(1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1，又a n ＋1＝－4S n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n＝－3(n ≥2)， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列，∴a n ＝(－3)n －1．(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n ，∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n ，所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16． 方向二：假设所求问题是与S n 相关的结论，那么用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去等式中所有项数a n ，保存S n 与S n －1，在进展整理求解．1．数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12． (1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列； (2)求a n 的表达式．【解】(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0．因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．故由等差数列的定义知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝12n． 当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－12n (n －1)， 又∵a 1＝12，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.2．(2015·名校联盟调考)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n －2S n a n ＋1＝0．(1)求数列{S n }的通项公式；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞2(S n+1－1)．(提示：＞) 【解】(1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，由a 2n －2S n a n ＋1＝0，得(S n －S n －1)2－2S n (S n －S n －1)＋1＝0，整理得S 2n －S 2n －1＝1．当n ＝1时，a 21－2S 1a 1＋1＝0，且a 1＞0，解得a 1＝1，故由等差数列的定义知{S 2n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∴S 2n ＝n ，那么S n ＝．(2)由(1)知1S n ＝1n ＝22n ＞2n ＋1＋n ＝2(－)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞2(－1)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(－1) 即1S 1＋1S 2＋…＋1S n＞2(S n ＋1－1) ． 【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握．解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n 项和〞的实际意义，还需要对a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2关系式的形式构造很熟练的掌握，这样才能在题目中对等式灵活地变换．当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向．方向一：关于双重前n 项和此类题目中一般出现“数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n 〞的条件，在解答时需要确定清楚求的是与a n ，S n ，T n 中谁相关的问题，确定等式的运用方向．但一般是求解最底层的a n ．1．(2015·质检)设数列{a n }的前n 现和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ①那么S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ②由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2，∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋2)＝2(n ≥2)，易求得，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，那么a 1＋2)＝2，∴数列{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，∴a n ＋2＝3·2n －1，那么a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)．2．(2015·期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，且2T n ＝4S n －(n 2＋n )，n ∈N *．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列； (2)设b n ＝n ＋1a n ＋1，证明：b 1＋b 2＋…＋b n ＜3． 【解】(1)当n ＝1时，2T 1＝4S 1－2，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，当n ＝2时，2T 2＝2(a 1＋a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)－6，解得a 2＝3，当n ≥2时，2T n －1＝4S n －1－[(n －1)2＋(n －1)]∴2S n ＝2T n －2T n －1＝4S n －(n 2＋n )－4S n －1＋[(n －1)2＋(n －1)]整理得S n ＝2S n －1＋n ①那么S n ＋1＝2S n ＋n ＋1 ②由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1)＝2(n ≥2)，显然a 1＋1)＝2，∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，(2)由(1)知，a n ＋1＝2n ，那么b n ＝n ＋12n ．那么b 1＋b 2＋…＋b n ＝22＋322＋423…＋n ＋12n ， 令T n ＝22＋322＋423…＋n ＋12n ，① 那么12T n ＝222＋323＋424…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，② 由①－②，得12T n ＝1＋122＋123＋124…＋12n －n ＋12n ＋1 ＝1＋－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1＜32那么T n ＜3，即b 1＋b 2＋…＋b n ＜3．方向二：等式在整理过程中需要因式分解此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{a n }〞这样的条件，运用在因式分解后对因式进展符号的判定，对因式进展的取舍．1．(2015·一模)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．(1)求a 1，a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1；又T 1＝S 1＝a 1，那么a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝(2S n －n 2)－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，整理得S n ＝2S n －1＋2n －1 ①∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ②由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2) 又T 2＝2S 2－4；得a 2＝4当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，那么a 1＋2a 2＋2＝2， ∴数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．那么a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2．2．数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N *．(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n ．【解】(1)由得，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2 (a n ＞0)，∴a 1＝1．当n ≥2时，由⎩⎨⎧ 2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1． 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1．∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1．方向三：需对等式变形后，再求解1．(2015·五校联考)正项数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n+1，T n =b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，求T n ．【解】(1)由得，4S n ＝(a n ＋1)2．当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，那么4S n －4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，整理得 (a n －1)2－(a n －1＋1)2＝0，∴(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0又a n ＞0，那么a n －a n －1＝2，当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1；∴a n＝2n－1．(2)由(1)可得b n＝1a n·a n+1＝12n－1×12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴T n＝1b1＋1b2＋1b3＋…＋1b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＝n2n＋1．2．(2015·中学月考)设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a2＝8，S n＋1＋4S n－1＝5S n(n≥2)，T n是数列{log2a n}的前n项和．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求T n．【解】(1)当n≥2时，S n＋1＋4S n－1＝5S n，∴S n＋1－S n＝4(S n－S n－1)，即a n＋1＝4a n，当n＝1时，a2＝4a1；故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列．∴a n＝2·4n－1＝22n－1．(2)由(1)可知log2a n＝log222n－1＝2n－1，∴T n＝log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a n＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝＝n2．3．(2015·三县联考)数列{a n}的各项均为正数，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)=a3＋a4＋…＋a n＋2，其中n∈N*．(1)假设a1＝1，a2＝5，且对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，求数列{a n}的通项公式；(2) a1＝1，对任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成公比为q的等比数列，求数列{a n}的前n 项和A n．【解】(1)∵任意n∈N*，三个数A(n)，B(n)，C(n)依次组成等差数列，∴B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，那么a n＋1－a1＝a n＋2－a2，即a n＋2－a n＋1＝a2－a1＝4，∴a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3．(2)假设对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成公比为q 的等比数列，∴B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，那么C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1，当n ＝1时，由B (1)＝qA (1)，可得a 2＝qa 1；那么a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1＝0，又a n ＞0，那么＝＝q ，故数列{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列．∴A n ＝⎩⎨⎧ n ，q ＝1，1－qn1－q ，q ≠1.4．(2015·诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10．(1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3(lg a n )(lg a n ＋1)的前n 项和，求T n ；(3)求使T n ＞14(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．【解】(1)证明：当n ≥2时，a n ＝9S n －1＋10，∴a n ＋1－a n ＝9(S n －S n －1)，那么a n ＋1＝10a n ，即＝10，当n ＝1时，a 2＝9a 1＋10＝100，那么＝10，故数列{a n }是以10为首项，10为公比的等比数列．∴a n ＝10n ，那么lg a n ＝n ，∴lg a n ＋1－lg a n ＝n ＋1－n ＝1，故数列{lg a n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解：由(1)知3(lg a n )(lg a n ＋1)＝3n n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝3nn ＋1．(3)∵T n ＝3nn ＋1＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值．依题意有＞14(m 2－5m )，解得－1＜m ＜6， 故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．1．(2015·外国语中学模拟)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，那么数列{a n }的通项公式为．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3－2n －1＋3＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，不满足上式．【答案】a n ＝⎩⎨⎧ －1，n ＝12n －1，n ≥2 2．(2015·二中月考)数列{a n }满足a 1＋a 22＋…＋a n n＝a 2n －1，求数列{a n }的通项公式． 【解】当n ≥2时，a 1＋a 22＋…＋a n －1n －1＝a 2n －2－1 由等式减去上式，得a n n＝a 2n －1－a 2n －2＋1＝(a 2－1)a 2n －2， ∴a n ＝n (a 2－1)a 2n －2，当n ＝1时，a 1＝a 2－1，满足上式；∴a n ＝n (a 2－1)a 2n －2．3．(2015·江淮十校联考)函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )= f (x )＋f (y )，假设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)(n ∈N *)，那么a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 【解析】由f (x ·y )= f (x )＋f (y )，f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)，得S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得2a n ＝3a n －1；当n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，那么a 1＝1．所以数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列． 【答案】a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 4．(2015·二中期中)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n ＝32(b n －1)，且a 2＝b 1，a 5＝b 2．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设＝a n ·b n ，T n 为{}的前n 项和，求T n ． 【解】(1)当n ≥2时，S n －1＝32(b n －1－1)，那么b n ＝S n －S n －1＝32(b n －1)－32(b n －1－1)，整理得b n ＝3b n －1，当n ＝1时，b 1＝32(b 1－1)，解得b 1＝3；故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴b n ＝3n ，设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2＝9，那么⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，a 1＋4d ＝3，解得d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n ． (2)由(1)知＝a n ·b n ＝(2n －1)·3n ，∴T n ＝3＋3·32＋5·33＋…＋(2n －1)·3n ，①3T n ＝ 32＋3·33＋5·34＋…＋(2n －3)·3n ＋(2n －1)·3n ＋1，② 由①－②，得－2T n ＝3＋2(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1＝3＋2×n －1),1－3)－(2n －1)·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6， ∴T n ＝(n －1) 3n ＋1＋3．5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，那么数列的通项公式是． 【解析】由n ≥2时，a n ＝2S n －1①；当n ≥3时，a n －1＝2S n －2②①－②整理得a na n －1＝3 (n ≥3)，∴a n ＝⎩⎨⎧1， n ＝1，2×3n －2，n ≥2. 【答案】a n ＝⎩⎨⎧1， n ＝1，2×3n －2，n ≥2. 6．(2015·桂城摸底)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋a n ＝2S n ．(1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)假设b n ＝1a 2n (n ∈N *)，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n ＜53．⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1【解】(1)当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1，且a n ＞0，得a 1＝1；(2)当n ≥2时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1①；且a 2n ＋a n ＝2S n ②；由②－①，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＞0，那么a n －a n －1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列； ∴a n ＝n ．(3)证明：由(2)知，b n ＝1a 2n＝，当n ＝1时，b 1＝1＜53，不等式成立；当n ≥2时，＜＝＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋＋＋…＋＜1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17…＋12n －1－12n ＋1＜1＋23＝53， ∴T n ＜537．(2015·双基测试)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，那么a n ＝________．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.【答案】⎩⎨⎧4，n ＝12n ＋1，n ≥28．(2014·一模)数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n 的前n 项和．【解】(1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得：a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n ＝12×2n －1＝2n －2．(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n ＋1－2)×(log 222n ＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)， ∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1．9．(2014·四校联考)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，那么a n ＝________．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1．【答案】2n －110．(2014·卷)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n ．又a 1＝1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ． (2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 那么T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，那么A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ．故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2．11．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n ＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n．【解】(1)设数列{a n }的公比为q ，由得q >0，且⎩⎨⎧ a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．(2)【证明】当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1．当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n ＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1． ∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1． ∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n 2．∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11．当n ≥2时，1S n ＝1n2＜1n (n －1)＝1n －1－1n．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n． 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S nn＋2 (n －1) (n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn－(n －1)2＝2 013？假设存在，求出n 的值；假设不存在，请说明理由．【解】(1)由a n ＝S nn＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4， 故数列{a n }是以1为首项，以4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝a 1＋a n n2＝2n 2－n (n ∈N *)．(2)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S nn＝2n －1 (n ∈N *)，又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1．令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007．1．S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n ，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4．(2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ．2．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，假设对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8．(2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14，综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.3．(2014·卷)设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *．(1)求a 1 的值；(2)求数列{a n } 的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a n a n ＋1<13．【解】(1)由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *．令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2， 又a n 为正数，所以a 1＝2．(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，那么S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数， ∴S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ． 又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n ． (3)证明：当n ＝1时，1a 1a 1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a na n ＋1＝12n2n ＋1＜12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a n a n ＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13． 所以对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a n a n ＋1＜13．。
已知数列和求通项公式
复习回顾1.等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
所以前n 项和公式法可表示为：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数).可判断数列{}n a 是否为等差数列 2.等比数列前n 项和公式要点：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨≠⎪--⎩或. 当1q ≠时，b aq qa q q a S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式的一个特征，据此很容易根据n S ，判断数列{}n a 是否为等比数列。
微专题1 数列通向公式求法.1．利用数列的前n 项和，111 , 1 , 2n nn a S n a S S n -==⎧=⎨-≥⎩方法叫 类型1 形如或者的形式 例1：S n ＝2n ＋1；并判断数列{}n a 是否为等比数列。
例2：S n ＝n 2＋n.练习1已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点),(n S n n 在直线21121+=x y 上.数列{b n }满足 11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153. （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57k T n >对一切*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.()n S f n =()n n S f a =练习2 【2016高考新课标3理数】已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （II ）若53132S = ，求λ．类型2 形如S n 的变形 或者的形式练习3数列{}n a 满足12211125222n n a a a n +++=+，，求n a类型3 公式逆用例5. 数列{}n a 前n 项和为且满足且。
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(3)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n －5； 又 n＝1 时，an＝4×1－5＝－1≠a1，
0，n＝1， ∴an＝4n－5，n≥2.
【变式训练】 2.由下列数列{an}的关系求数列{an}的通项公式， (1)a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)； (2)已知数列{an}前n项和为Sn，且Sn＝2·5n－2.
解析： (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…， a3－a2＝3，a2－a1＝2. 将上述各式累加得，an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，即 an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝nn2＋1， 故 an＝nn2＋1.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝2×5－2＝8. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2·5n－2－2·5n－1＋2 ＝8·51.
由前n项和Sn，求通项公式an
1．已知数列的递推公式求通项，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行适当处理，有时 借助拆分或取倒数等方法构造等差数列或等比数列，转化为等差数列或等比数列的通项问题．
2．由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时，要分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论，然后验证两种情况
可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为 an＝
S1
n＝1
Sn－Sn－1 n≥2 .
根据下列条件，确定数列{an}的通项公式． (1)已知数列{an}满足 an＋1＝an＋3n＋2，且 a1＝2，求 an. (2)a1＝1，an＝n－n 1an－1(n≥2)； (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n2－3n＋1.
解析： (1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2 ＝2＋32n－1×n＝n3n2＋1(n≥2)．
当 n＝1 时，a1＝12×(3×1＋1)＝2 符合公式， ∴an＝32n2＋n2. (2)∵an＝n－n 1an－1(n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2， … a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23…n－n 1＝an1＝1n.