数字信号处理课后答案第6章(高西全丁美玉第三版)

2
1 z 1e aT cos(bT ) H ( z) 1 2e aT cos(bT ) z 1 e2aT z 2
这样， 如果遇到将
sa H a (s) ( s a)2 b 2
用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时， 直接套用上面 的公式即可， 且对应结构图中无复数乘法器， 便于工程 实际中实现。
式中 Ωc=2πfc=2π×20×103=4π×104 rad/s
4. 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)如下： (1)
sa H a (s) ( s a)2 b 2
(2)
b H a (s) ( s a)2 b 2
式中a、 b为常数， 设Ha(s)因果稳定， 试采用脉冲响应不变 法将其转换成数字滤波器H(z)。
p s
c
s 5 3.2361 c s 4 5.2361 c2 s 3 5.2361 c3 s 2 3.2361 c4 s c5
c5
对分母因式形式， 则有
H a ( s) H a ( p) |
p
s
c
( s 2 0.6180 c s c2 )( s 2 1.6180 c s c2 )( s c )
1 3 j 2 T 2
1 3 j 2 T 2
z 1
将T=2代入上式， 得
3 3 j j 3 3 H ( z) 1 e 1 j 3 z 1 1 e1 j 3 z 1 2 3 z 1e1 sin 3 3 1 2 z 1e 1 cos 3 e 2 z 2
教材第6章习题与上机题解答
1． 设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求通带截止频率
fp=6 kHz，通带最大衰减ap=3 dB， 阻带截止频率fs=12kHz， 阻带最小衰减as=25 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)以 及实际滤波器的Ha(s)。 解: （1） 求阶数N。
N
lg ksp lg sp
所以取N=5（实际应用中， 根据具体要求， 也可能取N=4， 指标稍微差一点， 但阶数低一阶， 使系统实现电路得到 简化）。
（2） 求归一化系统函数G(p)。 由阶数N=5直接查教材
第157页表6.2.1, 得到五阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函
数G(p)为
1 G ( p) 5 p 3.236 p 4 5.2361 p3 5.2361 p 2 3.2361 p 1
k 1, 2,3, 4
π π p1 ch0.5580sin j ch0.5580 cos 0.4438 j1.0715 8 8 3π 3π p2 ch0.5580sin j ch0.5580 cos 1.0715 j0.4438 8 8 5π 5π p3 ch0.5580sin j ch0.5580 cos 1.0715 j0.4438 8 8 7π 7π p4 ch0.5580sin j ch0.5580 cos 0.4438 j1.0715 8 8
解: 该题所给Ha(s)正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型
形式。 所以， 求解该题具有代表性， 解该题的过程， 就是 导出这两种典型形式的Ha(s)的脉冲响应不变法转换公式。 设 采样周期为T。 (1)
sa H a (s) ( s a)2 b 2
Ha(s)的极点为 s1=－a+jb, s2=－a－jb
7.2687 1016 H a (s) 2 ( s 2 Re[ s1 ]s | s1 |2 )( s 2 2 Re[ s2 ]s | s2 |2 ) 7.2687 1016 ( s 2 1.6731104 s 4.7791108 )( s 2 4.0394 104 s 4.7790 108 )
100.1as p 1 102.5 1 ksp 17.794 0.1ap 0.3 10 1 10 s 1
s 2π 12 103 sp 2 3 p 2π 6 10
将ksp和λsp值代入N的计算公式, 得
lg17.794 N 4.15 lg 2
G ( p)
( p p )
k 0 k
4
最后代入pk值并进行分母展开， 便可得到与查表相同的结果。 （3） 去归一化（即LP-LP频率变换）， 由归一化系统 函数G(p)得到实际滤波器系统函数Ha(s)。
由于本题中ap=3 dB， 即Ωc=Ωp=2π×6×103 rad/s， 因此
H a ( s) H a ( p) |
所以， 取N=3， 查教材中表6.2.1， 得到三阶巴特沃斯归一
化低通G(p)为
G ( p) 1 p3 2 p 2 2 p 1
(4) 频率变换。 将G(p)变换成实际高通滤波器系统函数H(s)：
s3 H (s) G( p) | c 3 2 2 3 p s 2 s 2 s c c c s
s s 4 p
(4) 求阶数N和ε。
arch k N arch s
1
1
10 1 k 1456.65 0.1ap 10 1 arch 1456.65 N 3.8659 arch 4
0.1as
为了满足指标要求， 取N=4。
10
0.1ap
1 0.2171
1 H a (s) 2 s s 1
1 (2) H a ( s ) 2 2s 3s 1
试采用脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤
波器。 设T=2 s。
解: Ⅰ. 用脉冲响应不变法 (1)
1 H a (s) 2 s s 1
方法一 直接按脉冲响应不变法设计公式， Ha(s)的极点为
c5
如上结果中，Ωc的值未代入相乘， 这样使读者能清楚地
看到去归一化后，3 dB截止频率对归一化系统函数的改变作用。
2． 设计一个切比雪夫低通滤波器， 要求通带截止频率 fp=3 kHz，通带最大衰减αp=0.2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz, 阻带最小衰减αs=50 dB。 求出滤波器归一化系统函数G(p)和实 际的Ha(s)。 解: （1） 确定滤波器技术指标。 αp=0.2 dB, αs=50 dB, λp=1, Ωp=2πfp=6π×103 rad/s Ωs=2πfs=24π×103 rad/s
3 2
所以
1 2 3 H a (s) 2 2 2 s s 1 3 1 3 s 2 2
1 3 a , b 对比可知， ， 套用公式， 得 2 2
方法二 直接套用4题（2）所得公式。 为了套用公式，
先对Ha(s)的分母配方， 将Ha(s)化成4题中的标准形式：
b H a (s) c 2 2 ( s a) b
由于
2 2
c为一常数
2 2
1 3 1 3 s s 1 s s 2 4 2 2
1 3 1 3 s1 j , s2 j 2 2 2 2
3 3 j j 3 3 H a (s) 1 1 3 3 s j s j 3 2 2 2 H ( z) 1 e 3 j 3 z 1 1 e 3 j 3
b (2) H a ( s ) ( s a)2 b 2
Ha(s)的极点为 s1=－a+jb, s2=－a－jb
将Ha(s)部分分式展开：
j j 2 2 H a (s) s ( a j b ) s ( a jb )
套用教材（6.3.4）式， 得到
H ( z)
(4) 将G(p)去归一化， 求得实际滤波器系统函数Ha(s)：
H a ( s) Q( p) |
p sຫໍສະໝຸດ Baidu
p
4 p
1.7368 ( s p pk )
k 1
4

p4
1.7368 ( s sk )
k 1 4
其中， sk=Ωppk=6π×103pk, k=1, 2, 3, 4。 因为p4=p1*, p3=p2*, 所以， s4=s1*, s3=s2*。 将两对共轭极点对应的因子相乘， 得 到分母为二阶因子的形式， 其系数全为实数。
(3) 求归一化系统函数G(p)
Q( p) 1
2
N 1
( p p )
k 1 k
N

1 1.7368 ( p pk )
k 1 4
其中， 极点pk由教材（6.2.46）式求出如下：
(2k 1) π (2k 1) π pk ch sin jch cos 2N 2N 1 1 1 1 arsh arsh 0.5580 N 4 0.2171
比较分子各项系数可知， A1、 A2应满足方程：
A1 A2 1 A1s2 A2 s1 a
解之得， A1=1/2， A2=1/2， 所以
1/ 2 1/ 2 H a ( s) s (a jb) s (a jb)
套用教材（6.3.4）式， 得到
或
1 G( p) 2 ( p 0.618 p 1)( p 2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
pk e
1 2 k 1 jπ 2 2N
k 0,1, 2,3, 4
1
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
Ak 1/ 2 1/ 2 H ( z) s k T 1 ( a jb )T 1 ( a jb )T 1 1 e z 1 e z 1 e z k 1
按照题目要求， 上面的H(z)表达式就可作为该题的答案。 但在工程实际中， 一般用无复数乘法器的二阶基本节结构 来实现。 由于两个极点共轭对称， 所以将H(z)的两项通分 并化简整理， 可得
将Ha(s)部分分式展开（用待定系数法）：
A1 A2 sa H a (s) 2 2 ( s a) b s s1 s s2 A1 ( s s2 ) A2 ( s s1 ) ( s a)2 b2 ( A1 A2 ) s A1s2 A2 s1 ( s a)2 b2
也可得到分母多项式形式， 请读者自己计算。 3． 设计一个巴特沃斯高通滤波器， 要求其通带截止频率 fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB， 阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求： p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB (2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到 λp=1, ap=3 dB
p s 2, as=15 dB s
(3) 设计相应的归一化低通G(p)。 题目要求采用巴特沃斯 类型， 故
10 1 ksp 0.18 0.1as 10 1
0.1ap
s sp 2 p
lg 0.18 N 2.47 lg sp lg 2 lg ksp
1 e
( a jb )T
j 2
z
1

1 e( a jb )T z 1
j 2
通分并化简整理， 得到
z 1e aT sin(bT ) H ( z) 1 2e aT cos(bT ) z 1 e2aT z 2
5． 已知模拟滤波器的系统函数如下： (1)