交比(射影几何)

P3 P1 1P2 , P4 P1 2P2.
则显然 1 1, 由
(P1P2 , P3P4 )

1 2

1
2

r.
可得 2 1/ r, 从而P4的坐标为(r,1,0).
注 若要求P1, 或P2的坐标, 则需先据交比性质交换点的位置, 使 得交换后第1,2位置为已知点, 再计算.
P1P3 P2 P3
1.
这表示P3为P1P2的中点.
推论3 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远 点，则P为P1P2的中点 (P1P2 , PP ) 1.
交比
例1 设1,2,3,4,5,6是6个不同的共线点. 证明：若(12,34)=(14,32), 则(13,24)= 1.
即
a ', b ', a ' 3 1 b ', a ' 4 1 b '.
2 3
2 4
由交比的定义, 有
(P1P2 ,
P3P4 )

(1 (2
3 )(2 3 )(1

4 ) 4 )
.
注 定理可以作为交比的一般定义.
交比
2. 性质 (1) 交比组合性质 定理2 设(P1P2,P3P4 )=r. 当改变这四点在交比符号中的次序
(12,34) r
已知四点相异
(14,32) r 由题设 r r
r 1
r 1
r2 2r
r0 r2
(13, 24) 1 r 1.
5. 交比的计算 (1) 由坐标求交比
交比 此步不可省！若不共线则交比无定义！
例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2).
交比
交比 — 最根本的射影不变量
一、点列中四点的交比
1. 定义
定义. 设P1, P2, P3, P4为点列l(P)中四点, 且P1 P2, 其齐次坐标
依次为a, b, a+1b, a+2b, 则记(P1P2,P3P4)表示这四点构成的一个
交比, 其定义为
(P1P2 , P3P4 )

1 2
rr
1 r r 1
不必背诵，但是要熟练掌握变化规律！
交比
(2) 交比的初等几何意义
如果限于通常平面, 则(2)式右边四个因式都是两点之间的有
向距离, 即
(P1P2 ,
P3P4 )

P1P3 P2P4 P2P3 P1P4
.
(4)
注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定： P2P 1. P1P
4. 调和比
点组P1,P2,P3,P4为调和点组
定义
若(P1P2,P3P4
)=
–1,
则称

点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和分离 点偶P1,P2,与P3,P4(相互)调和共轭
点P4为P1,P2,P3的第四调和点
推论1 若(P1P2,P3P4 )= –1, 则此四点互异.
推论2 相异四点P1, P2, P3, P4可按某次序构成调和比这四点
.
(1)
称P1, P2为基点偶, P3, P4为分点偶.
定理1. 设点列l(P)中四点Pi的齐次坐标为a+ib ( i=1,2,3,4 )，
则有
( P1 P2
,
P3 P4
)

(1 (2
3 )Hale Waihona Puke Baidu2 3 )(1

4 ) 4 )
.
(2)
交比
证明. 以P1, P2,为基点, 参数表示P3, P4. 设
定理4 设Pil(P) (i=1,2,3,4)，并已知
(P1P2 , P3P4 ) k,
(k 0,1, )
还已知其中三点的坐标，则第四点的坐标可唯一确定。
例3 已知P1, P2分别是x轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的 方向上的无穷远点，且(P1P2,P3P4)=r，求P4的坐标。
解：由题设知P1, P2, P3的坐标分别为(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)。设
的6个交比值只有3个：
1,
1,
2.
2
交比
调和比是最重要的交比！
对于(P1P2,P3P4 )= –1, 利用初等几何意义, 有
(P1P2 , P3P4 )
P1P3 P2 P3
P2P4 P1P4
1.
此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则
(P1P2 , P3P ) (P1P2P3 )
交比
推论4 设 P0 , P1, P* 为点列l(P)中取定的相异三点, Pl(P). 则
(P*P0 , P1P) : P
x
为点列l(P)与 R 之间的一个双射. 其中
P P* P P0

x
无穷远点
x 0 分别“相当于”拓广直线上的原点
时, 交比值变化规律如下：
(1).
不变
基点偶与分点偶交换 基点偶与分点偶的字母同换
rr
(2).
改变
基点偶或分点偶字母对换
r

1 r
换中间或首尾字母对换 r 1 r.
推论 由定理2, 相异的共线四点构成的24个交比只有6个不同
的值：
r, 1 , 1 1 ; 1 r, 1 , r .
于是有, (P1P2,P3P)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.
交比
3. 特殊情况
定理3 共线四点的交比值出现0, 1, 三者之一这四点中有 某二点相同.
证明 根据定理1，令P1=P2或P2=P3或P3=P4或P4=P1直接验证. 此时, 上述6个不同的交比值又只有3组：0, 1, .
a+1b=a', a+2b=b'.
从中解出a, b, 得
a a '2 b '1 , 2 1
b ' a '
b
.
2 1
于是, P1, P2, P3, P4的坐标可表示为 a ', b ', 2 3 a ' 3 1 b ', 2 4 a ' 4 1 b ' 2 1 2 1 2 1 2 1
解 第一步. 验证四点共线.
第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令
iQi P1 i P2.
i=1,2.
对于i=1, 有 1 3.
对于i=2, 同理求得 2 -3 . 于是，
(P1P2 , Q1Q2 )

1 2

1.
2 3.
交比
(2) 由交比求坐标