一类偏微分方程的几种并行迭代算法
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Ｆ ｂ． ０ｌ ｅ ２ １
文 章 编 号 ：０７—１４ ２ ｌ ） ｌ ０ ６ ０ １０ ４ ｘ（ｏ １ Ｏ 一 ０ ９— ４
文 献 标 志 码 ： Ａ
一
Байду номын сангаас
类 偏 微 分 方 程 的 几 种 并 行 迭 代 算 法
任 铭 ，张永 胜 ，景 元 萍
（． １ 西北 工 业 大 学 理学 院 ，陕 西 西安 ７￣ ７ ；． 阳 理 工 学 院 数 理 部 ， 南 洛 阳 ４ １２ ） １ ２ ２洛 河 ７０ ３
第３卷 第 １ ３ 期
２１ 年２ ０１ 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工 程 版
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｎ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ． １３ １
格 点 的值 已知 ， 因此 只需 采用从 左 至右 、 下 至上 从 的顺序 进行 编 号 ， 得 内部 网格 点 的值 。组 装 成 求
程 问题计 算需 求 的考 虑 ， 笔者 针 对 一 类偏 微 分 方
程 提 出了改进 的红 黑排 序法 和基 于投影 技术 的并 行算法 ， 并对 这些 算法 的收敛 速度 、 速 比等 进行 加
１ 偏 微 分 方 程 的离 散
偏微 分方 程离 散 求 解 时 ， 分格 式 是 最 常 用 差 的离散方 法 。考 虑 满足边 界条 件 的微分方 程 ：
Ｃ 麒 ＋Ｃ ＋ （ ｌｉ 叮 Ｃ ｎ２Ｔ Ｃ ） ＋ ｓ ＋ ２
２ 几 种 并 行 迭 代 算 法
２ １ ３种基 本并 行迭 代算法 ． 红黑 排序将 节 点分 成 红黑 两 类 ， 别用 足、 分 表 示 ， 按一 定方式 排序 ， 并 方程 组经 红黑排序 后 系
（ １＋ｈ ｉ ｗ ｈ ＋√一（ ｓ ２ ｉ） ｌ ｎ ４＋ｈ ｉ ｗ ｈ＋ ｓ ２ ｉ ｎ
角 系 统 线 性 方 程 组 求 解 并 行 算 法 ， ９６ 年 ， １７
Ｂ Ｎ Ｈ和 Ｒ Ｓ Ｕ Ｃ Ｏ Ｅ介绍 了预处 理共 轭斜 量 法 ， 年 近
ｓ ＂ｈ—ｈ ） ＋／一 ＋ ｉ ２ｒ ｎ ｒ ｊ Ｍ Ｚ１
．
，
（ １＋ｈ ｉ ＂ ｈ ｓ ２ｊ ） ｎ ｎ
１ １＝０ ＋Ｍ． ｆ 一
来， 又提 出了一 系列 针 对 多处 理 机 系 统 的 同 步 和 异 步 并 行 算 法 ， 并 行 波前 法 、 次 混 乱 松 弛法 如 逐 等 圳 。基 于单机 性能无 法满 足大 规模 科 学 与工
由于方程 的系数 变化 等对 并行 算法 的加 速影
响不大 ， 不妨取 Ｃ ＝Ｃ ＝Ｃ ＝Ｄ ＝Ｅ＝１ Ｃ ＝ ２ ｙ ｌ １ ，２ Ｄ ＝
０ 步长 ｈ＝１５ ， 用二 阶 中心差商 和一 阶 向前差 ， ／ １利
商将式 （ ） １ 离散 ， 得差分格 式（√＝ ，， ，０ 为 ： ｌ２ … ５ ）
根 据 区域分 解 法 ， 用界 面 点 把 整个 区域 分 先 解 成 多个子 区域 ， 对 各 子 区域 用 上 述格 式 计 算 再
所 得 的界面 值 作 为 Ｄｒｈｅ 边 界 条 件 ， 算 子 区 ｉｃｌ ｉ ｔ 计 域上 的问题 ， 得 其 并行 差 分 格 式 。 由于边 界 网 可
并 行计 算与并 行算 法是 大规模 科 学计算 的理 论基 础和 支持工 具 ， 而这 些 计算 多数 源 于 偏 微 分 方程离 散后 得 到 的 大 型稀 疏 线性 方程 组 。 因此 ， 这类 方程组 的求解 已成为数 值算 法研 究 的热 点 问 题 －］ ９ ３年 ，Ｔ Ｎ ３。１７ Ｓ Ｏ Ｅ提 出了一 组有 效 的 三对
（） １
度法 （ Ｇ） 。因具有较 好 的收敛 性 和对 存 储要 求 Ｃ ¨。
收稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ９—１ ． ８
作者简 介： 任铭（ ９ ３一）， ， １８ 女 湖南岳 阳人 ， 西北工业大学理学院硕士研究 生； 阳理工学院数理部助教． 洛 基金项 目： 河南省杰 出青年基金资助项 目（ ｏ ｌｏ ｌｏ ８ ； １４０ ５ ０ １ ） 河南省高校科 技创新人才支持计 划基金资助项 目（０ ８ Ａ ＴＴ ２ ； ２０ Ｈ Ｓ Ｉ０９） 河南省 教 育 厅科 技攻 关 基 金 资 助 项 目（ ０ ７２ ３ ） ２ ５０ ３ ．
数矩 阵便 具有适 合并 行计 算的 特殊 结 构。共 轭梯
（ ｎ２ｒ Ｄ１ｉ ， ｓ ｔ ｙ＋Ｄ ） ＋Ｅ ２ｕ ｕ：０ ０≤ ， ， Ｙ≤ １
／ ｌ ： Ｚ ｏ
ＭＩ ０ ：
ｕ Ｉ ： ＝ １ ＋ Ｃ Ｓ １ｙ １ ０ Ｏ Ｔ
ｌ ＝ ｌ ｙ １ ＋Ｃ Ｓ ０ Ｏ
术的并行算法 ， 通过程序设计对这些迭代算法 的加速 比、 并行效率等进行 了分析 ， 验证了算法具有 良好 的并行
性和有效性。
关键词 ： 红黑排序 ；共轭梯度 法 ； 多分裂迭代法 ； 投影技术
中图 分 类 号 ： １５ ２ Ｏ ７ ． Ｄ Ｉ１．９ ３ ｊｉ ｎ １０ Ｏ ：０ ３６ ／． ｓ．０ ７—１４ ２ １ ．１０ ８ ｓ ４ Ｘ．０ １０ ．１
摘
要： 许多工程和物理应用问题 的求解通常都归结为求微分方程数值解 ， 其核心是高效地求解线性方程组。
基于单机性 能不可能满足大规模科 学与工程 问题计算 需求的考虑 ， 针对一类偏 微分方程 ， 采用 区域 分解法给
出 了相 应 的 并 行 差 分 格 式 ， 在 ３种 基 本 并 行 迭 代 求 解 算 法 的基 础 上 提 出 了 改 进 的 红 黑 排序 法 和基 于投 影 技 并
了分析 和验证 。
线 性 方程组 Ａ ｂ 其 中 Ａ 是 以 ５ ５ ｘ＝ ， ０ｘ ０阶三对 角
阵 ｉ 主对 角 元 ，０× ０阶对 角 阵 Ｃ 、 为 上 、 为 ５ ５ Ａ 下 主对 角元 的块三 对角 阵 ， ＝１２ ，０， ｉ ， … ５ ｂ＝［ ｂ， ｂ ， ， ０ （ 。 ２ … ５］ ） ０
文 章 编 号 ：０７—１４ ２ ｌ ） ｌ ０ ６ ０ １０ ４ ｘ（ｏ １ Ｏ 一 ０ ９— ４
文 献 标 志 码 ： Ａ
一
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类 偏 微 分 方 程 的 几 种 并 行 迭 代 算 法
任 铭 ，张永 胜 ，景 元 萍
（． １ 西北 工 业 大 学 理学 院 ，陕 西 西安 ７￣ ７ ；． 阳 理 工 学 院 数 理 部 ， 南 洛 阳 ４ １２ ） １ ２ ２洛 河 ７０ ３
第３卷 第 １ ３ 期
２１ 年２ ０１ 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工 程 版
ＪＵ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （ Ｏ Ｍ ＴＯ Ｎ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ． １３ １
格 点 的值 已知 ， 因此 只需 采用从 左 至右 、 下 至上 从 的顺序 进行 编 号 ， 得 内部 网格 点 的值 。组 装 成 求
程 问题计 算需 求 的考 虑 ， 笔者 针 对 一 类偏 微 分 方
程 提 出了改进 的红 黑排 序法 和基 于投影 技术 的并 行算法 ， 并对 这些 算法 的收敛 速度 、 速 比等 进行 加
１ 偏 微 分 方 程 的离 散
偏微 分方 程离 散 求 解 时 ， 分格 式 是 最 常 用 差 的离散方 法 。考 虑 满足边 界条 件 的微分方 程 ：
Ｃ 麒 ＋Ｃ ＋ （ ｌｉ 叮 Ｃ ｎ２Ｔ Ｃ ） ＋ ｓ ＋ ２
２ 几 种 并 行 迭 代 算 法
２ １ ３种基 本并 行迭 代算法 ． 红黑 排序将 节 点分 成 红黑 两 类 ， 别用 足、 分 表 示 ， 按一 定方式 排序 ， 并 方程 组经 红黑排序 后 系
（ １＋ｈ ｉ ｗ ｈ ＋√一（ ｓ ２ ｉ） ｌ ｎ ４＋ｈ ｉ ｗ ｈ＋ ｓ ２ ｉ ｎ
角 系 统 线 性 方 程 组 求 解 并 行 算 法 ， ９６ 年 ， １７
Ｂ Ｎ Ｈ和 Ｒ Ｓ Ｕ Ｃ Ｏ Ｅ介绍 了预处 理共 轭斜 量 法 ， 年 近
ｓ ＂ｈ—ｈ ） ＋／一 ＋ ｉ ２ｒ ｎ ｒ ｊ Ｍ Ｚ１
．
，
（ １＋ｈ ｉ ＂ ｈ ｓ ２ｊ ） ｎ ｎ
１ １＝０ ＋Ｍ． ｆ 一
来， 又提 出了一 系列 针 对 多处 理 机 系 统 的 同 步 和 异 步 并 行 算 法 ， 并 行 波前 法 、 次 混 乱 松 弛法 如 逐 等 圳 。基 于单机 性能无 法满 足大 规模 科 学 与工
由于方程 的系数 变化 等对 并行 算法 的加 速影
响不大 ， 不妨取 Ｃ ＝Ｃ ＝Ｃ ＝Ｄ ＝Ｅ＝１ Ｃ ＝ ２ ｙ ｌ １ ，２ Ｄ ＝
０ 步长 ｈ＝１５ ， 用二 阶 中心差商 和一 阶 向前差 ， ／ １利
商将式 （ ） １ 离散 ， 得差分格 式（√＝ ，， ，０ 为 ： ｌ２ … ５ ）
根 据 区域分 解 法 ， 用界 面 点 把 整个 区域 分 先 解 成 多个子 区域 ， 对 各 子 区域 用 上 述格 式 计 算 再
所 得 的界面 值 作 为 Ｄｒｈｅ 边 界 条 件 ， 算 子 区 ｉｃｌ ｉ ｔ 计 域上 的问题 ， 得 其 并行 差 分 格 式 。 由于边 界 网 可
并 行计 算与并 行算 法是 大规模 科 学计算 的理 论基 础和 支持工 具 ， 而这 些 计算 多数 源 于 偏 微 分 方程离 散后 得 到 的 大 型稀 疏 线性 方程 组 。 因此 ， 这类 方程组 的求解 已成为数 值算 法研 究 的热 点 问 题 －］ ９ ３年 ，Ｔ Ｎ ３。１７ Ｓ Ｏ Ｅ提 出了一 组有 效 的 三对
（） １
度法 （ Ｇ） 。因具有较 好 的收敛 性 和对 存 储要 求 Ｃ ¨。
收稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ９—１ ． ８
作者简 介： 任铭（ ９ ３一）， ， １８ 女 湖南岳 阳人 ， 西北工业大学理学院硕士研究 生； 阳理工学院数理部助教． 洛 基金项 目： 河南省杰 出青年基金资助项 目（ ｏ ｌｏ ｌｏ ８ ； １４０ ５ ０ １ ） 河南省高校科 技创新人才支持计 划基金资助项 目（０ ８ Ａ ＴＴ ２ ； ２０ Ｈ Ｓ Ｉ０９） 河南省 教 育 厅科 技攻 关 基 金 资 助 项 目（ ０ ７２ ３ ） ２ ５０ ３ ．
数矩 阵便 具有适 合并 行计 算的 特殊 结 构。共 轭梯
（ ｎ２ｒ Ｄ１ｉ ， ｓ ｔ ｙ＋Ｄ ） ＋Ｅ ２ｕ ｕ：０ ０≤ ， ， Ｙ≤ １
／ ｌ ： Ｚ ｏ
ＭＩ ０ ：
ｕ Ｉ ： ＝ １ ＋ Ｃ Ｓ １ｙ １ ０ Ｏ Ｔ
ｌ ＝ ｌ ｙ １ ＋Ｃ Ｓ ０ Ｏ
术的并行算法 ， 通过程序设计对这些迭代算法 的加速 比、 并行效率等进行 了分析 ， 验证了算法具有 良好 的并行
性和有效性。
关键词 ： 红黑排序 ；共轭梯度 法 ； 多分裂迭代法 ； 投影技术
中图 分 类 号 ： １５ ２ Ｏ ７ ． Ｄ Ｉ１．９ ３ ｊｉ ｎ １０ Ｏ ：０ ３６ ／． ｓ．０ ７—１４ ２ １ ．１０ ８ ｓ ４ Ｘ．０ １０ ．１
摘
要： 许多工程和物理应用问题 的求解通常都归结为求微分方程数值解 ， 其核心是高效地求解线性方程组。
基于单机性 能不可能满足大规模科 学与工程 问题计算 需求的考虑 ， 针对一类偏 微分方程 ， 采用 区域 分解法给
出 了相 应 的 并 行 差 分 格 式 ， 在 ３种 基 本 并 行 迭 代 求 解 算 法 的基 础 上 提 出 了 改 进 的 红 黑 排序 法 和基 于投 影 技 并
了分析 和验证 。
线 性 方程组 Ａ ｂ 其 中 Ａ 是 以 ５ ５ ｘ＝ ， ０ｘ ０阶三对 角
阵 ｉ 主对 角 元 ，０× ０阶对 角 阵 Ｃ 、 为 上 、 为 ５ ５ Ａ 下 主对 角元 的块三 对角 阵 ， ＝１２ ，０， ｉ ， … ５ ｂ＝［ ｂ， ｂ ， ， ０ （ 。 ２ … ５］ ） ０