函数与方程思想
函数与方程思想
数
的代数式 , 右边是一个 常数 , 边就可 以看作 是关 左
于这个变量 的一个 函数式 , 右边是这个 函数 的一个
函数值 ; 相反地 , 任何一个 函数令 它等 于其值域 内 的一个确定 的值 , 时 的“ 此 等式 ” 就成 为 方程 .因 此, 函数 与方程之 间有着较 为紧密 的关 系, 为我 也 们综合应用函数 、 方程 的概念 、 质解题创 造 了条 性 件 .所以 , 我们常常将这两种思想合称为函数 与方
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【 分析】 本题为方程 问题 , 利用三角公式可化 为一元 二次方 程 s z s x一口 1 , z∈ i z+ i n n ~ —0 当
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函数与方程的思想
函数与方程的思想函数与方程思想是最重要的一种数学思想,在高考中所占比重较大,综合知识多、题型多、应用技巧多。
函数思想是指用函数的概念、性质、图像去分析问题、转化问题和解决问题,具体体现在:①运用函数的性质解决数学问题;②用映射、函数的观点去观察、分析问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究,从而解决问题;③对解不等式、讨论方程的解的个数或分布、某些参数范围的讨论问题等可通过构造函数,利用函数的性质解决。
方程思想是分析数学问题中变量间的相等关系,从而建立方程(组)将问题解决的一种思想方法,具体体现在:①解方程及含参数方程的讨论;②可转化为方程(组)求解的讨论问题及构造方程(组)。
下面通过几个具体例题说明它们的应用。
一、运用函数、方程思想转化解决函数、方程和不等式问题【例】若a,b是正数,且满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。
思维精析把方程转化成关于ab的不等式。
解法一:(看成函数的值域):∵ab=a+b+3∴b=而b>0∴>0 即∵a>0 ∴a>1∴ab=a•==(a-1)++5≥9当且仅当a-1=,即a=3时取等号。
又a>3时,a-1++5是关于a的单调增函数,∴ab的取值范围是[9,+∞)。
解法二:(看成不等式的解集):∵a,b为正数,∴a+b≥2又ab=a+b+3∴ab≥2+3即( )2-2-3≥0即≥3或≤-1∴ab≥9解法三:解若设ab=t,则a+b=t-3∴a,b可看成方程x2-(t-3)x+t=0的两个正根△=(t-3)2-4t≥0a+b=t-3>0ab=t=>t≤1,t≥9t>3t>0 得t≥9 ,即ab≥9。
点拨:从以上解法可以看出,对于同一个问题,用不同的观点去看,会产生不同的想法,从而有不同的处理方法,解法一用函数观点去分析,则应将已知条件变形后去消元;解法二,解法三则利用题中和、积特征构造不等式、方程来求解,它们分别体现了用函数、用不等式、用方程来解决问题的意识,因此,在解题过程中,应多方位、多角度去思考、去探索,选用合理简明的解题途径,以求取得事半功倍之效。
函数与方程思想总结很好很面
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系;3.函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y =f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式;(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要;(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论;(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答:根据题意可令|x2-1|=t(t≥0),则方程化为t2-t+k=0,(*)作出函数t=|x2-1|的图象,结合函数的图象可知①当t=0或t>1时,原方程有两上不等的根,②当0<t<1时,原方程有4个根,③当t=1时,原方程有3个根.(1)当k =-2时,方程(*)有一个正根t =2,相应的原方程的解有2个;(2)当k =14时,方程(*)有两个相等正根t =12,相应的原方程的解有4个; (3)当k =0时,此时方程(*)有两个不等根t =0或t =1,故此时原方程有5个根;(4)当0<k <14时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于1,故相应的满足方程|x 2-1|=t 的解有8个答案:1234【例2】若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为_____________解答:1. 分离变量,有a≥-(x +1x ),x ∈(0,12]恒成立.右端的最大值为-52,a≥-52.2. 看成关于a 的不等式,由f(0)≥0,且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 3. 设f(x)=x 2+ax +1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. 4. f(x)=x 2+1,g(x)=-ax ,则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12),即a≥-52.【例3】 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x <0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为___________解析:以函数为中心,考查通性通法,设F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)为奇函数.又当x <0时,F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以x <0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x >0时,F(x)也为增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).如上图,是一个符合题意的图象,观察知不等式F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ,则a b +=_________ 解答:已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有 一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=, 根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+.函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+= 【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________解答: 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=,∴圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2,∴ 22|22|2a b a b ++≤,∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0, ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭,a k b =-,∴ 2323k -≤≤+, 直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________ 心,以3为半径的解答:根据已知等式,画出以()2,0为圆圆,则y x的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率.显然, y x 的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=. 于是,y x 的最大值是tan 33π= 【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根,那么过点和的直线与圆的位置关系是___________ 解答:由题意,, 因此和都在直线上,∴原点到该直线的距离,∴过的直线与单位圆相切. 【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答:画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f =x 2-1,对任意x ∈),23(+∞,)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立,则实数m 的取值范围是____________.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞ 解析:(解法1)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m +4m 2f(x)≥0, 即(x -1)2-1+4m 2-4-x 2m 2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0, 因为x 2>0,所以1-1m 2+4m 2≥2x +3x 2,设g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. 于是题目化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立的问题. 为此需求g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞的最大值.设u =1x ,则0<u ≤23. 函数g(x)=h(u)=3u 2+2u 在区间⎝⎛⎦⎥⎤0,23上是增函数,因而在u =23处取得最大值. h ⎝ ⎛⎭⎪⎫23=3×49+2×23=83,所以1-1m 2+4m 2≥g(x)max =83, 整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0,所以4m 2-3≥0,解得m ≤-32或m ≥32,因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. (解法2)(前面同解法1)原题化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立的问题. 为此需求g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞的最大值. 设t =2x +3,则t ∈[6,+∞).g(x)=h(t)=4t t 2-6t +9=4t +9t -6. 因为函数t +9t 在(3,+∞)上是增函数,所以当t =6时,t +9t 取得最小值6+32.从而h(t)有最大值46+32-6=83.所以1-1m 2+4m 2≥g max (x)=83,整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0,所以4m 2-3≥0,解得m ≤-32或m ≥32,因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. (解法3)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m +4m 2f(x)≥0,即 (x -1)2-1+4m 2-4-x 2m 2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0,令F(x)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3. 由于F(0)=-3<0,则其判别式Δ>0,因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到,所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞恒成立,必须使F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32为最小值, 即实数m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1-1m 2+4m 2>0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≥0,解得m 2≥34,因此实数m 的取值范围是m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞. 【例10】.某工厂2005年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答: 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ,每月的增加投入百分率为r .则每月的利润组成数列,每月投入资金组成数列, 如图,由两函数图象特点可知,有,可见,故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________.2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k =________.3.(2009·福建)若曲线f(x)=ax 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________.4.(2010·天津)设函数f(x)=x -1x ,对任意x ∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m 的取值范围是________.解答:1. (0,1) 解析:f(x)=2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x -1)3(x <2)单调递增且值域为(-∞,1),结合函数的图象可得f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是(0,1).2. 10 解析:S 9=S 4,9a 1+9×82d =4a 1+4×32d ,a 1=1,d =-16;由1+(k -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫-16+1+3×⎝ ⎛⎭⎪⎫-16=0,得k =10. 本题也可用数列性质解题,S 9=S 4a 7=0.3. (-∞,0) 解析:由题意可知f ′(x)=3ax 2+1x ,又因为存在垂直于y 轴的切线,所以3ax 2+1x ==-13x 3(x >∈(-∞,0).4. (-∞,-1) 解析:因为对任意x ∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)=2mx -1mx -m x <0恒成立,显然m ≠0.所以当m <0时,有2m 2x 2-1-m 2>0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,即2m 2×1-1-m 2>0,解得m 2>1,即m <-1;当m >0时,有2m 2x 2-1-m 2<0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,m 无解,综上所述实数m 的取值范围是m <-1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)=x|x 2-3|,x ∈[0,m],其中m ∈R ,且m>0(1) 若m<1,求证:函数f(x)是增函数;(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m 的取值范围;(3) 如果函数f(x)的值域是[0,λm 2],试求实数λ的最小值.解答:(1) 证明:当m<1时,f(x)=x(3-x 2)=3x -x 3,因为f ′(x)=3-3x 2=3(1-x 2)>0,所以f(x)是增函数,(2) 解:令g(x)=x|x 2-3|,x ≥0,则g(x)=⎩⎪⎨⎪⎧3x -x 3,0≤x ≤3,x 3-3x ,x> 3. 当0≤x ≤3时,g ′(x)=3-3x 2,由g ′(x)=0得x =1,所以g(x)在[0,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数.当x>3时,g ′(x)=3x 2-3>0,所以g(x)在[3,+∞)上是增函数,所以x ∈[0,3]时,g(x)max =g(1)=2,g(x)min =g(0)=g(3)=0,所以0<m<1不符合题意,1≤m ≤3符合题意.当m>3时,在x ∈[0,3]时,f(x)∈[0,2],在x ∈[3,m]时,f(x)∈[0,f(m)],这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2,即m 3-3m ≤2,(m -2)(m +1)2≤0,解得3<m ≤2.综上,m 的取值范围是[1,2].(3) 由(2)可知,0<m<1时,函数f(x)的最大值为f(m)=3m -m 3,当1≤m ≤2时,函数f(x)的最大值为f(1)=2.由题意知2=λm 2,即λ=2m 2,m ∈[1,2]时这是减函数,∴ λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2. 当m>2时,函数f(x)的最大值为f(m)=m 3-3m ,由题意知m 3-3m =λm 2,即λ=m -3m ,这是增函数,∴ λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞. 综上,当m =2时,实数λ取最小值为12.变式训练 已知函数g(x)=xlnx ,设0<a <b ,求证:0<g(a)+g(b)-2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2. 点拨:确定变量,构造函数证明不等式.证明:g(x)=xlnx ,g ′(x)=lnx +1.构造函数F(x)=g(a)+g(x)-2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +x 2, 则F ′(x)=g ′(x)-2⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +x 2′=lnx -ln a +x 2. 当0<x <a 时,F ′(x)<0,在此F(x)在(0,a)内为减函数;当x >a 时,F ′(x)>0,因此F(x)在(a ,+∞)上为增函数.从而,当x =a 时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,b >a ,所以F(b)>0,即0<g(a)+g(b)-2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2. 再构造函数G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G ′(x)=lnx -ln a +x 2-ln2=lnx -ln(a +x).当x >0时,G ′(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数.因为G(a)=0,b >a ,所以G(b)<0,即g(a)+g(b)-2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2. 综上得0<g(a)+g(b)-2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2<(b -a)ln2. 【例2】已知二次函数y =g(x)的导函数的图象与直线y =2x 平行,且y =g(x)在x =-1处取得最小值m -1(m ≠0).设函数f(x)=g ?x ?x .(1) 若曲线y =f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值(2) k(k ∈R )如何取值时,函数y =f(x)-kx 存在零点,并求出零点.解:(1) 设g(x)=ax 2+bx +c ,则g ′(x)=2ax +b ;又g ′(x)的图象与直线y =2x 平行,∴ 2a =2,a =1.(1分)又g(x)在x =-1取极小值,-b 2=-1,b =2,∴ g(-1)=a -b +c =1-2+c =m -1,c =m ;(2分)f(x)=g ?x ?x =x +m x +2,设P(x 0,y 0),则|PQ|2=x 20+(y 0-2)2=x 20+⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+m x 02=2x 20+m 2x 20+2m ≥22m 2+2m ,(4分) 当且仅当2x 02=m 2x 02时,|PQ|2取最小值,即|PQ|取最小值 2. 当m>0时,22m +2m =2,∴ m =2-1(6分)当m<0时,-22m +2m =2,∴ m =-2-1(7分)(2) 由y =f(x)-kx =(1-k)x +m x +2=0,得(1-k)x 2+2x +m =0. (*)当k =1时,方程(*)有一解x =-m 2,函数y =f(x)-kx 有一零点x =-m 2;(8分)当k ≠1时,方程(*)有二解=4-4m(1-k)>0,若m>0,k>1-1m ,函数y =f(x)-kx 有两个零点x =-2±4-4m ?1-k ?2?1-k ?=1±1-m ?1-k ?k -1;(10分) 若m<0,k<1-1m ,函数y =f(x)-kx 有两个零点,x =-2±4-4m ?1-k ?2?1-k ?=1±1-m ?1-k ?k -1;(12分) 当k ≠1时,方程(*)有一解=4-4m(1-k)=0,k =1-1m , 函数y =f(x)-kx 有一个零点,x =1k -1.(14分) 【例3】.对于定义域为D 的函数,若同时满足下列条件: ①f(x)在D 内单调递增或单调递减;②存在区间使f(x)在上的值域为;那么把叫闭函数.(1)求闭函数符合条件②的区间;(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;(3)若是闭函数,求实数k的范围.分析:这是一个新定义型的题目,要能从题中所给信息,进行加工提炼,得出解题的条件.解:(1)由题意,上递减,则解得所以,所求的区间为[-1,1].(2)当所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数.(3)若是闭函数,则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,函数f(x)的值域为[a,b],即,的两个实数根,即方程有两个不等的实根.设f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2.法一:当时有解得.当有此时不等式组无解.综上所述,.法二:只需满足方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两大于或等于k的不等实根,即:点评:在解数学题的过程中,寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键,本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】.设a>b>c,且a+b+c=0,抛物线被x轴截得的弦长为l,求证:.证明:,且.从而.故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程必有两个不相等的实数根,由韦达定理得..可见,是的二次函数.由及,得,解得.在上是减函数,,即.题型三函数与方程思想在三角函数中的应用【例5】.已知函数f(x)=x2-(m+1)x+m(m∈R).(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3;(3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.(1)证明:f(x)+4=0即x2-(m+1)x+m+4=0.依题意:又A、B锐角为三角形内两内角,∴<A+B<π.∴tan(A+B)<0,即.∴∴m≥5.(2)证明:∵f(x)=(x-1)(x-m),又-1≤cosα≤1,∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0.=3,∴m≥x max=3.即1≤x≤3时,恒有f(x)≤0即(x-1)(x-m)≤0,∴m≥x但xmax(3)解:∵f(sinα)=sin2α-(m+1)sinα+m=,且≥2,∴当sinα=-1时,f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8,∴m=3.题型四函数与方程思想在解析几何中的应用【例6】.直线和双曲线的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.解:由消去y,得.()因为直线m与双曲线的左支有两个交点,所以方程()有两个不相等的负实数根.所以解得.设,则由三点共线,得出.设,则在上为减函数,,且.,或,,或.题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】.如图,已知面,于D,.(1)令,,试把表示为x的函数,并求其最大值;(2)在直线PA上是否存在一点Q,使成立?解答:(1)∵面,于D,∴.∴..∵为在面上的射影.∴,即.∴.即的最大值为,等号当且仅当时取得.(2).令,解得:,与交集非空.∴满足条件的点Q存在.点评:本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求有一定的空间想象力,而且,做好问题的转化是解决此题的关键.。
函数与方程思想简单应用
数学思想方法的简单应用(1)一、函数与方程思想函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。
方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。
有时,还需要函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。
函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。
它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。
一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:y=f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。
在解决问题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。
另外,方程问题、不等式问题、集合问题、数列问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。
1.证明:若则为整数.解析:若x+y+z+t=0,则由题设条件可得,于是此时(1)式的值等于-4.若x+y+z+t≠0,则由此可得x=y=z=t.于是(1)式的值等于4.2.已知:函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数f(x)=.(1)求a、b的值及函数f(x)的解析式;(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]时恒成立,求实数k的取值范围;(3)如果关于x 的方程f (|2x ﹣1|)+t •(﹣3)=0有三个相异的实数根,求实数t 的取值范围.解:(1)g (x )=ax 2﹣2ax+1+b ,函数的对称轴为直线x=1,由题意得: ①得②得(舍去)∴a=1,b=0 ∴g (x )=x 2﹣2x+1,(2)不等式f (2x )﹣k •2x ≥0,即k设,∴,∴k ≤(t ﹣1)2 ∵(t ﹣1)2min =0,∴k ≤0 (3)f (|2x ﹣1|)+t •(﹣3)=0,即|2x ﹣1|++﹣3t ﹣2=0. 令u=|2x ﹣1|>0,则 u 2﹣(3t+2)u+(4t+1)=0记方程①的根为u 1,u 2,当0<u 1<1<u 2时,原方程有三个相异实根,记φ(u )=u 2﹣(3t+2)u+(4t+1),由题可知,或. ∴时满足题设. 3.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (1)若()0f x ≤ 恒成立,试确定实数k 的取值范围;(2)证明:ln 2ln 3ln 4ln (1)34514n n n n -++++<+(*n N ∈且1n >)解:(1)0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数;0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数;在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数;易知k>0,则max 1()(1)0f x f k =+≤即1k ≥; (2)令1k =则ln(1)2x x -≤-对()1,x ∈+∞恒成立, 即:ln 1x x ≤-对()0,x ∈+∞恒成立。
函数与方程思想
函数与方程的思想 函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时,起着重要作用;方程思想是解决各类计算问题的基本思想,是培养运算能力的基础,高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数是高中数学的主线,它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系,形成变量数学的一大重要基础和分支. 函数思想以函数知识做基石,用运动变化的观点分析、研究数学对象间的数量关系,使函数知识的应用得到极大的扩展,丰富并优化了数学解题活动,给数学解题带来很强的创新能力. 因此,函数思想是数学高考常考的热点. 函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用.方程的思想,就是分析数学问题中各个量及其关系,运用数学语言建立方程或方程组、不等式或不等式组或构造方程或方程组、不等式或不等式组,通过求方程或方程组、不等式或不等式组的解的情况,使问题得以解决.函数思想与方程思想的联系十分密切,解方程()0f x =就是求函数()y f x =当函数值为零时自变量x 的值;求综合方程()()f x g x =的根或根的个数就是求函数()y f x =与()y g x =的图像的交点横坐标或交点个数,正是这些联系,促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换,丰富了数学解题的思想宝库.函数与方程的思想在解题应用中主要体现在两个方面:(1) 借助有关初等函数的图象性质,解有关求值、解(证)方程(等式)或不等式,讨论参数的取值范围等问题;(2) 通过建立函数式或构造中间函数把所要研究的问题转化为相应的函数模型,由所构造的函数的性质、结论得出问题的解.由于函数在高中数学中的举足轻重的地位,因而函数与方程的思想一直是高考考查的重点,对基本初等函数的图象及性质要牢固掌握,另外函数与方程的思想在解析几何、立体几何、数列等知识中的广泛应用也要重视.一、函数思想的应用1.显化函数关系在方程、不等式、数列、圆锥曲线等数学问题中,将原有隐含的函数关系凸显出来,从而利用函数知识或函数方法解决问题.【例1】已知,,若点在线段上,则的最大值为()(2,5)A (4,1)B (,)P x y AB 2x y -A.−1B.3C.7D.8【分析】本题是解析几何问题,由所在直线方程可得x 与y 的函数关系,转化为函数求值域的问题。
函数与方程的思想
函数与方程的思想函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系,通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式,然后运用有关的函数知识解决问题。
如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来,则可把关系式看作一个方程,通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想,就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系,通过设未知数、列方程或方程组,解方程或方程组等步骤,达到求值目的的解题思路和策略,它是解决各类计算问题的基本思想,是运算能力的基础。
函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。
中考函数试题解法及新颖题目研究函数是初中代数的重点,也是难点,在中考的代数部分所占比重最大,综合题中离不开函数内容。
中考函数考察的重点是:函数自变量取值范围,正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质,画函数图像,求函数表达式。
近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。
中考的最后一道题,常常要用到多个数学思想方法,纵观近几年的中考题,基本上都是函数、方程、几何(主要是圆)的综合题。
1.初中函数知识网络2.命题思路与知识要点:2.1一般函数2.1.1考查要点:平面直角坐标系的有关概念;常量、变量、函数的意义;函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2.1.2考纲要求:理解平面直角坐标系的有关概念,掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征,会求对称点坐标,能确定函数自变量的取值范围。
2.1.3主要题型:填空题,选择题,阅读理解题。
2.1.4知识要点:(1)平面直角坐标系中,每一个点都与有序实数对一一对应;象限与坐标符号如图1。
(2)特殊位置上点的坐标特点:①点P(x ,y)在xy=0; 点P(x ,y)在y ; ②点P(x ,y)x=y ; 点P(x ,y)③点P(x ,y)关于x 轴对称的点的坐标是(x ,-y);点P(x ,y)关于y 轴对称的点的坐标是(-x ,y); 点P(x ,y)关于原点对称的点的坐标是(-x ,-y);确定函数自变量取值范围,就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。
函数与方程思想和数形结合思想
函数与方程思想和数形结合思想主干知识整合1.函数与方程思想(1)函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质,使问题得到解决;(2)方程思想的实质就是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决;(3)函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的,是相辅相成的,函数思想重在对问题进行动态的研究,方程思想则是在动中求静,研究运动中的等量关系.2.数形结合思想(1)根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面;(2)数形结合是数学解题中常用的思想方法,运用数形结合思想,使某些抽象的数学问题直观化、形象化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程;(3)数形结合的重点是研究“以形助数”,这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,做到心中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野. 【百度百科】函数思想/view/2045453.htm 【百度百科】属性结合/view/134322.htm 要点热点探究► 探究点一 列方程(组)解题例1 (1)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于( )A .18B .24C .60D .90(2)过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的长为8,则p =________.【分析】 (1)根据数列中的基本量方法,列方程组求数列的首项和公差;(2)根据弦长公式建立关于p 的方程.(1)C (2)2 【解析】 (1)由a 24=a 3a 7得(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+6d ),得2a 1+3d =0,再由S 8=8a 1+562d =32得2a 1+7d =8,则d =2,a 1=-3,所以S 10=10a 1+902d =60.故选C.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可知过焦点的直线方程为y =x -p2,联立有⎩⎪⎨⎪⎧y 2=2px ,y =x -p 2,消元后得x 2-3px +p 24=0.又|AB |=x 1+x 2+p =8,解得p =2.► 探究点二 使用函数方法解决非函数问题例2 (1)已知{a n }是一个等差数列,且a 2=1,a 5=-5,则数列{a n }前n 项和S n 的最大值是________.(2)长度都为2的向量OA →,OB →的夹角为60°,点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上,OC →=mOA →+nOB →,则m +n 的最大值是________.【分析】 (1)根据方程思想求出数列的首项和公差,建立S n 关于n 的函数;(2)将向量坐标化,建立m +n 关于动向量OC →的函数关系.(1)4 (2)233 【解析】 (1)设{a n }的公差为d ,由已知条件,⎩⎪⎨⎪⎧a 1+d =1,a 1+4d =-5,解出a 1=3,d =-2.S n =na 1+n (n -1)2d =-n 2+4n =4-(n -2)2.所以n =2时,S n 取到最大值4.(2)建立平面直角坐标系,设向量OA →=(2,0),向量OB →=(1,3).设向量OC →=(2cos α,2sin α),0≤α≤π3.由OC →=mOA →+nOB →,得(2cos α,2sin α)=(2m +n ,3n ),即2cos α=2m +n,2sin α=3n ,解得m =cos α-13sin α,n =23sin α.故m +n =cos α+13sin α=233sin ⎝⎛⎭⎫α+π3≤233. 变式题若a >1,则双曲线x 2a 2-y 2(a +1)2=1的离心率e 的取值范围是( )A .(1,2)B .(2,5)C .[2,5]D .(3,5)B 【解析】 e 2=⎝⎛⎭⎫c a 2=a 2+(a +1)2a 2=1+⎝⎛⎭⎫1+1a 2,因为1a 是减函数,所以当a >1时,0<1a<1,所以2<e 2<5,即2<e < 5.► 探究点三 联用函数与方程的思想例3 已知函数f (x )=x (x -a )2,g (x )=-x 2+(a -1)x +a (其中a 为常数).(1)设a >0,问是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-1,a3,使得f (x 0)>g (x 0)?若存在,请求出实数a 的取值范围,若不存在,请说明理由;(2)记函数H (x )=[f (x )-1]·[g (x )-1],若函数y =H (x )有5个不同的零点,求实数a 的取值范围.【解答】 (1)假设存在,即存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-1,a3,使得, f (x 0)-g (x 0)=x 0(x 0-a )2-[-x 20+(a -1)x 0+a ]=x 0(x 0-a )2+(x 0-a )(x 0+1)=(x 0-a )[x 20+(1-a )x 0+1]>0,当x 0∈⎝⎛⎭⎫-1,a3时,又a >0,故x 0-a <0, 则存在x 0∈⎝⎛⎫-1,a 3,使得x 20+(1-a )x 0+1<0, ①当a -12>a 3即a >3时,⎝⎛⎭⎫a 32+(1-a )⎝⎛⎭⎫a 3+1<0得a >3或a <-32,∴a >3; ②当-1≤a -12≤a 3即0<a ≤3时,4-(a -1)24<0得a <-1或a >3,∴a 无解.综上:a >3.(2)据题意有f (x )-1=0有3个不同的实根,g (x )-1=0有2个不同的实根,且这5个实根两两不相等.(i)g (x )-1=0有2个不同的实根,只需满足g ⎝⎛⎭⎫a -12>1⇒a >1或a <-3; (ii)f (x )-1=0有3个不同的实根,①当a3>a 即a <0时,f (x )在x =a 处取得极大值,而f (a )=0,不符合题意,舍;②当a3=a 即a =0时,不符合题意,舍;③当a 3<a 即a >0时,f (x )在x =a3处取得极大值,f ⎝⎛⎭⎫a 3>1⇒a >3322;所以a >3322; 因为(i)(ii)要同时满足,故a >3322.(注:a >334也对)下证:这5个实根两两不相等,即证:不存在x 0使得f (x 0)-1=0和g (x 0)-1=0同时成立; 若存在x 0使得f (x 0)=g (x 0)=1, 由f (x 0)=g (x 0),即x 0(x 0-a )2=-x 20+(a -1)x 0+a ,得(x 0-a )(x 20-ax 0+x 0+1)=0,当x 0=a 时,f (x 0)=g (x 0)=0,不符合,舍去; 当x 0≠a 时,即有x 20-ax 0+x 0+1=0 ①;又由g (x 0)=1,即-x 20+(a -1)x 0+a =1 ②; 联立①②式,可得a =0;而当a =0时,H (x )=[f (x )-1]·[g (x )-1]=(x 3-1)(-x 2-x -1)=0没有5个不同的零点,故舍去,所以这5个实根两两不相等.综上,当a >3322时,函数y =H (x )有5个不同的零点.变式题函数f (x )=(2x -1)2,g (x )=ax 2(a >0),满足f (x )<g (x )的整数x 恰有4个,则实数a 的取值范围是________.⎝⎛⎦⎤4916,8125 【解析】 在同一坐标系内分别作出满足条件的函数f (x )=(2x -1)2,g (x )=ax 2的图象,则由两个函数的图象可知,y =f (x ),y =g (x )的图象在区间(0,1)内总有一个交点,令:h (x )=f (x )-g (x )=(4-a )x 2-4(2x -1)2<ax 2的解集中的整数解恰有4个,则需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)<0,h (5)≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧49-16a <0,81-25a ≥0⇒4916<a ≤8125.► 探究点四 以形助数探索解题思路例4 (1)不等式|x +3|-|x -1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,-1]∪[4,+∞)B .(-∞,-2]∪[5,+∞)C .[1,2]D .(-∞,1]∪[2,+∞)(2)已知点P 在抛物线y 2=4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( )A .⎝⎛⎭⎫14,-1B .⎝⎛⎭⎫14,1 C .(1,2) D .(1,-2) 【分析】 (1)把不等式的左端看作一个函数,问题等价于这个函数的最大值不大于不等式右端的代数式的值,通过画出函数图象找到这个函数的最大值即可;(2)画出抛物线,根据抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,把问题归结为两点之间的距离.(1)A (2)A 【解析】 (1)f (x )=|x +3|-|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧-4(x <-3),2x +2(-3≤x <1),4(x >1).画出函数f (x )的图象,如图,可以看出函数f (x )的最大值为4,故只要a 2-3a ≥4即可,解得a ≤-1或a ≥4.正确选项为A.(2)点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离,如图,PF +PQ =PS +PQ ,故最小值在S ,P ,Q 三点共线时取得,此时P ,Q 的纵坐标都是-1,代入y 2=4x 得x =14,故点P 坐标为⎝⎛⎭⎫14,-1,正确选项为A.► 探究点五 数量分析解决图形问题(以数助形)例5 (1)下列四个函数图象,只有一个是符合y =|k 1x +b 1|+|k 2x +b 2|-|k 3x +b 3|(其中k 1,k 2,k 3为正实数,b 1,b 2,b 3为非零实数)的图象,则根据你所判断的图象,k 1,k 2,k 3之间一定成立的关系是( )图22-1A.k1+k2=k3B.k1=k2=k3 C.k1+k2>k3D.k1+k2<k3(2)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到达终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点……,用S1,S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()图22-2【分析】(1)含有绝对值问题的函数,常去绝对值,转化为分段函数来解决;(2)乌龟的速度是恒定的,表现在时间和路程的图象上是直线上升的,这个过程没有变化;兔子的速度也是恒定的,表现在时间与路程的图象上也是直线上升的,并且比乌龟的时间和路程的图象上升的要快,但中间一段时间内,函数图象是水平的.(1)A(2)B【解析】(1)当x足够小时,y=-(k1+k2-k3)x-(b1+b2-b3),当x足够大时,y=(k1+k2-k3)x+(b1+b2-b3),可见,折线的两端的斜率必定为相反数,此时只有③符合条件.此时k1+k2-k3=0.(2)根据时间和路程的关系以及乌龟首先达到目的地,故选B.规律技巧提炼1.在高中数学的各个部分,都有一些公式和定理,这些公式和定理本身就是一个方程,如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等,当试题与这些问题有关时,就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量.2.当问题中涉及一些变化的量时,就需要建立这些变化的量之间的关系,通过变量之间的关系探究问题的答案,这就需要使用函数思想.3.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以通过形分析这些数量关系,达到解题的目的.4.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量上的分析,通过数的帮助达到解题的目的.。
高中数学基本数学思想:函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想:函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发,知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数,等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题,常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用,仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析:一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式,前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型,通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a10=30,a20=50,(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242,求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30,a20=a1+19d=50,解得a1=12,因为n∈N*,所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中,如果求得a1和d(q),那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中,已知a6―a4=24,a3a5=64,求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64,得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1),得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1),得q=±2.当q=2时,a1=1,S8=255;当q=―2时,a1=―1,S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法,其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中,对任何正整数n都有:a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列,求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn,令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1,(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1,(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1,所以an=n (n≥2).当n=1,由题设式子可得a1=1,符合an=n.从而对一切n∈N*,都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列,求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1,a2,a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7,(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=2q,a3=2q.又S3=7,可知2q+2+2q=7,即2q2―5q+2=0,解得q1=2,q2=12.由题意得q>1,所以q=2.可得a1=1,从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d),前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n,当d≠0时,可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示了它们间的内在联系,从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中,Sn是关于n的二次函数,故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn,且S10=100,S100=10,求S110,并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0,所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0),则a×102+b×10=100,a×1002+b×100=10.解得a=―11100,b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*,所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数,求导判断函数的单调性,从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2),求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2),则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2,所以x1+x<1,ln(1+x)>1,所以f ′(x)<0.即f(x)在[2,+∞)上是单调减函数.故当n≥2时,an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列,bn=1+anan.(1)若a1=―52,求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征,一般可以从研究函数的单调性入手,用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72,所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7,可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时,f(x)为减函数,且f(x)<1;当x>72时,f(x)为减函数,且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3,最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*,都有bn≤b8成立,本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1,故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题,得an=n―1+a1,所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1,当x<1―a1时,f(x)为减函数,且f(x)<1;当x>1―a1时,f(x)为减函数,且f(x)>1.所以要使b8是最大项,当且仅当7<1―a1<8,所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1,a3=2,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项,观察前几项a1=1,a2=1,a3=2,a4=4,a5=1,a6=1,a7=2,a8=4,a9=1,…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明,我们可以发现,在数列的教学中,应重视方程函数思想的渗透,应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中,通过数列与函数知识的相互交汇,使学生的知识网络得以不断优化与完善,同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍,高中数学解题思想方法与讲解数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目,一般需要通过a,b,c之间的关系, 得出关于a,c的方程,经过恒等变形就可以求出离心率.
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在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为
3 15,b-c=2,cos A=-14,则 a=____8____.
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构造函数关系解决问题 在高考试题中,综合问题的比较大小、求最值等,一般均需利用构 造函数法才能完成.如何正确的构造出恰当的函数,是解决此类问题的 关键,因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系,通过类比、联 想、抽象、概括等手段,构造出恰当的函数,在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解,这是函数思想解题的更高层次的体现.
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系,反客为 主,主客换位,创设新的函数,并利用新函数的性质创造性地使原问题获解, 是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后,利用新建函数 y=x1+ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围.此法也叫主元法.
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已知函数 f(x)=33xx- +11+x+sin x,若存在 x∈[-2,1],使得 f(x2+x)+f(x-k) <0 成立,则实数 k 的取值范围是__(_-__1_,__+__∞__)__. 解析:由题意知,函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数. 又 f′(x)=(2l3nx+3·1)3x2+1+cos x>0 在 x∈[-2,1]上恒成立,函数 f(x)在 x∈[- 2,1]上单调递增.若存在 x∈[-2,1],使得 f(x2+x)+f(x-k)<0 成立,则 f(x2+x)<-f(x-k)⇒f(x2+x)<f(k-x)⇒x2+x<k-x,故问题转化为存在 x∈[-2,1],k>x2+2x,即 k>(x2+2x)min,当 x∈[-2,1]时,y=x2+2x= (x+1)2-1 的最小值为-1.故实数 k 的取值范围是(-1,+∞).
小学数学:方程和函数思想
方程和函数思想1.方程和函数思想的概念。
方程和函数是初等数学代数领域的主要内容,也是解决实际问题的重要工具,它们都可以用来描述现实世界的各种数量关系,而且它们之间有着密切的联系,因此,本文将二者放在一起进行讨论。
(1)方程思想。
含有未知数的等式叫方程。
判断一个式子是不是方程,只需要同时满足两个条件:一个是含有未知数,另一个是必须是等式。
如有些小学老师经常有疑问的判断题:χ=0 和χ=1是不是方程?根据方程的定义,他们满足方程的条件,都是方程。
方程按照未知数的个数和未知数的最高次数,可以分为一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、三元一次方程等等,这些都是初等数学代数领域中最基本的内容。
方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号(常用χ、y等字母)表示,根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。
方程思想体现了已知与未知的对立统一。
(2)函数思想。
设集合A、B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系?,如果对于集合A中的任意一个数χ,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称y是χ的函数,记作y=f(χ)。
其中χ叫做自变量,χ的取值范围A叫做函数的定义域;y叫做函数或因变量,与χ相对应的y的值叫做函数值,y的取值范围B叫做值域。
以上函数的定义是从初等数学的角度出发的,自变量只有一个,与之对应的函数值也是唯一的。
这样的函数研究的是两个变量之间的对应关系,一个变量的取值发生了变化,另一个变量的取值也相应发生变化,中学里学习的正比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数都是这类函数。
实际上现实生活中还有很多情况是一个变量会随着几个变量的变化而相应地变化,这样的函数是多元函数。
虽然在中小学里不学习多元函数,但实际上它是存在的,如圆柱的体积与底面半径r和圆柱的高的关系:V=πr2h。
半径和高有一对取值,体积就会相应地有一个取值;也就是说,体积随着半径和高的变化而变化。
函数与方程思想总结(很好很全面)
函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系;3.函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。
(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x),当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式;(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要;(4)函数f(x)=(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题;(5)解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论;(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
【例1】. 关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题是_____________解答:根据题意可令|x2-1|=t(t≥0),则方程化为t2-t+k=0,(*)作出函数t=|x2-1|的图象,结合函数的图象可知①当t=0或t>1时,原方程有两上不等的根,②当0<t <1时,原方程有4个根,③当t =1时,原方程有3个根. (1)当k =-2时,方程(*)有一个正根t =2,相应的原方程的解有2个; (2)当k =14时,方程(*)有两个相等正根t =12,相应的原方程的解有4个; (3)当k =0时,此时方程(*)有两个不等根t =0或t =1,故此时原方程有5个根; (4)当0<k <14时,方程(*)有两个不等正根,且此时方程(*)有两正根且均小于1,故相应的满足方程|x 2-1|=t 的解有8个答案:1234【例2】若不等式x 2+ax +1≥0对于一切x ∈(0,12]成立,则a 的最小值为_____________解答:1. 分离变量,有a≥-(x +1x ),x ∈(0,12]恒成立.右端的最大值为-52,a≥-52.2. 看成关于a 的不等式,由f(0)≥0,且f(12)≥0可求得a 的范围.3. 设f(x)=x 2+ax +1,结合二次函数图象,分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)=x 2+1,g(x)=-ax ,则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12),即a≥-52.【例3】 设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x <0时,f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为___________解析:以函数为中心,考查通性通法,设F(x)=f(x)g(x),由f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即F(x)为奇函数.又当x <0时,F′(x)=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,所以x <0时,F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同,所以x >0时,F(x)也为增函数.因为F(-3)=f(-3)g(-3)=0=-F(3).如上图,是一个符合题意的图象,观察知不等式F(x)<0的解集是(-∞,-3)∪(0,3)【例4】已知实数,a b 分别满足553,1532323=+-=+-b b b a a a ,则a b +=_________解答:已知的等式都是三次方程,直接通过方程解出,a b 有一定的困难,但是,题设的两个等式的左边的结构相同,使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式,对题设的两个等式变形为()()()()331212,1212a a b b -+-=--+-=,根据这两个等式的特征,构造函数()32f x x x =+. 函数()f x 是一个奇函数,又是R 上的增函数,则有 ()()12,12,f a f b -=--= 于是, ()()()111,f a f b f b -=--=-因而得 11.2.a b a b -=-+=【例5】 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是___________ 解答: 圆0104422=---+y x y x 整理为222(2)(2)(32)x y -+-=,∴圆心坐标为(2,2),半径为32,要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22,则圆心到直线0:=+by ax l 的距离应小于等于2,∴22|22|2a b a b ++≤,∴ 241a a b b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0, ∴ 2323a b ⎛⎫--≤≤-+ ⎪⎝⎭,a k b =-,∴ 2323k -≤≤+,直线l 的倾斜角的取值范围是51212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,【例6】如果实数,x y 满足等式()2223,x y -+=那么y x的最大值为___________解答:根据已知等式,画出以()2,0为圆心,以3为半径的圆,则yx的几何意义是圆上一点(),x y 与原点()0,0所连直线的斜率. 显然,yx的最大值是过原点()0,0与圆相切的直线OA 的斜率,由2,3OC CA ==可得3AOC π∠=.于是,y x 的最大值是tan 33π=【例7】设是方程0sin 1tan 12=-+θθx x 的两个不等实根,那么过点和的直线与圆的位置关系是___________解答:由题意,, 因此和都在直线上,∴原点到该直线的距离,∴过的直线与单位圆相切.【例8】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ,则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是__________解答:画出函数()x f 的图像,该图像关于对称,且()0≥x f ,令()t x f =,若0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解,则方程02=++c bt t 有2个不同实数解,且为一正根,一零根. 因此, 充要条件是0<b 且0=c【例9】. 设函数)(x f =x 2-1,对任意x ∈),23(+∞,)(4)1()(4)(2m f x f x f m mxf +-≤-恒成立,则实数m 的取值范围是____________. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤-∞,-32∪⎣⎡⎭⎫32,+∞解析:(解法1)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝⎛⎭⎫x m +4m 2f(x)≥0, 即(x -1)2-1+4m 2-4-x 2m2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝⎛⎭⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0, 因为x 2>0,所以1-1m 2+4m 2≥2x +3x 2,设g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞. 于是题目化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞恒成立的问题. 为此需求g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞的最大值.设u =1x ,则0<u ≤23. 函数g(x)=h(u)=3u 2+2u 在区间⎝⎛⎦⎤0,23上是增函数,因而在u =23处取得最大值. h ⎝⎛⎭⎫23=3×49+2×23=83,所以1-1m 2+4m 2≥g(x)max =83, 整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0,所以4m 2-3≥0,解得m ≤-32或m ≥32, 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤-∞,-32∪⎣⎡⎭⎫32,+∞.(解法2)(前面同解法1)原题化为1-1m 2+4m 2≥g(x),对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞恒成立的问题.为此需求g(x)=2x +3x 2,x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞的最大值. 设t =2x +3,则t ∈[6,+∞).g(x)=h(t)=4tt 2-6t +9=4t +9t-6. 因为函数t +9t 在(3,+∞)上是增函数,所以当t =6时,t +9t 取得最小值6+32.从而h(t)有最大值46+32-6=83.所以1-1m 2+4m 2≥g max (x)=83,整理得12m 4-5m 2-3≥0,即(4m 2-3)(3m 2+1)≥0,所以4m 2-3≥0,解得m ≤-32或m ≥32, 因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤-∞,-32∪⎣⎡⎭⎫32,+∞.(解法3)不等式化为f(x -1)+4f(m)-f ⎝⎛⎭⎫x m +4m 2f(x)≥0,即 (x -1)2-1+4m 2-4-x 2m2+1+4m 2x 2-4m 2≥0,整理得⎝⎛⎭⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3≥0,令F(x)=⎝⎛⎭⎫1-1m 2+4m 2x 2-2x -3.由于F(0)=-3<0,则其判别式Δ>0,因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得到,所以为使F(x)≥0对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32,+∞恒成立,必须使F ⎝⎛⎭⎫32为最小值, 即实数m 应满足⎩⎨⎧1-1m2+4m 2>0,F ⎝⎛⎭⎫32≥0,解得m 2≥34,因此实数m 的取值范围是m ∈⎝⎛⎦⎤-∞,-32∪⎣⎡⎭⎫32,+∞. 【例10】.某工厂2005年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润W 与全年总投入资金N 的大小关系是___________解答: 设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a ,每月的增加投入百分率为r.则每月的利润组成数列,每月投入资金组成数列, 如图,由两函数图象特点可知,有,可见,故W>N1. (2011·北京)已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f 若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是________.2.(2011·广东)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k =________.3.(2009·福建)若曲线f(x)=ax 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是________.4.(2010·天津)设函数f(x)=x -1x ,对任意x ∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m 的取值范围是________. 解答:1. (0,1) 解析:f(x)=2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1],f(x)=(x -1)3(x <2)单调递增且值域为(-∞,1),结合函数的图象可得f(x)=k 有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是(0,1).2. 10 解析:S 9=S 4,9a 1+9×82d =4a 1+4×32d ,a 1=1,d =-16;由1+(k -1)⎝⎛⎭⎫-16+1+3×⎝⎛⎭⎫-16=0,得k =10. 本题也可用数列性质解题,S 9=S 47=0.3. (-∞,0) 解析:由题意可知f ′(x)=3ax 2+1x ,又因为存在垂直于y 轴的切线,所以3ax 2+1x==-13x 3(x >∈(-∞,0).4. (-∞,-1) 解析:因为对任意x ∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)=2mx -1mx -mx<0恒成立,显然m ≠0.所以当m <0时,有2m 2x 2-1-m 2>0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,即2m 2×1-1-m 2>0,解得m 2>1,即m <-1;当m >0时,有2m 2x 2-1-m 2<0对任意x ∈[1,+∞)恒成立,m 无解,综上所述实数m 的取值范围是m <-1.解答题题型一 构造函数与方程思想【例1】 已知函数f(x)=x|x 2-3|,x ∈[0,m],其中m ∈R ,且m>0 (1) 若m<1,求证:函数f(x)是增函数;(2) 如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m 的取值范围;(3) 如果函数f(x)的值域是[0,λm 2],试求实数λ的最小值.解答:(1) 证明:当m<1时,f(x)=x(3-x 2)=3x -x 3, 因为f ′(x)=3-3x 2=3(1-x 2)>0,所以f(x)是增函数, (2) 解:令g(x)=x|x 2-3|,x ≥0,则g(x)=⎩⎨⎧3x -x 3,0≤x ≤3,x 3-3x ,x> 3.当0≤x ≤3时,g ′(x)=3-3x 2,由g ′(x)=0得x =1,所以g(x)在[0,1]上是增函数,在[1,3]上是减函数.当x>3时,g ′(x)=3x 2-3>0,所以g(x)在[3,+∞)上是增函数, 所以x ∈[0,3]时,g(x)max =g(1)=2,g(x)min =g(0)=g(3)=0, 所以0<m<1不符合题意,1≤m ≤3符合题意. 当m>3时,在x ∈[0,3]时,f(x)∈[0,2], 在x ∈[3,m]时,f(x)∈[0,f(m)],这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2,即m 3-3m ≤2,(m -2)(m +1)2≤0,解得3<m ≤2. 综上,m 的取值范围是[1,2].(3) 由(2)可知,0<m<1时,函数f(x)的最大值为f(m)=3m -m 3, 当1≤m ≤2时,函数f(x)的最大值为f(1)=2. 由题意知2=λm 2,即λ=2m 2,m ∈[1,2]时这是减函数,∴ λ∈⎣⎡⎦⎤12,2. 当m>2时,函数f(x)的最大值为f(m)=m 3-3m ,由题意知m 3-3m =λm 2,即λ=m -3m ,这是增函数,∴ λ∈⎝⎛⎭⎫12,+∞. 综上,当m =2时,实数λ取最小值为12.变式训练已知函数g(x)=xlnx ,设0<a <b ,求证:0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎫a +b 2<(b -a)ln2.点拨:确定变量,构造函数证明不等式.证明:g(x)=xlnx ,g ′(x)=lnx +1.构造函数F(x)=g(a)+g(x)-2g ⎝⎛⎭⎫a +x 2,则F ′(x)=g ′(x)-2⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫a +x 2′=lnx -ln a +x 2.当0<x <a 时,F ′(x)<0,在此F(x)在(0,a)内为减函数;当x >a 时,F ′(x)>0,因此F(x)在(a ,+∞)上为增函数. 从而,当x =a 时,F(x)有极小值F(a). 因为F(a)=0,b >a ,所以F(b)>0, 即0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎫a +b 2.再构造函数G(x)=F(x)-(x -a)ln2,则G ′(x)=lnx -ln a +x2-ln2=lnx -ln(a +x).当x >0时,G ′(x)<0.因此G(x)在(0,+∞)上为减函数. 因为G(a)=0,b >a ,所以G(b)<0, 即g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎫a +b 2<(b -a)ln2.综上得0<g(a)+g(b)-2g ⎝⎛⎭⎫a +b 2<(b -a)ln2.【例2】已知二次函数y =g(x)的导函数的图象与直线y =2x 平行,且y =g(x)在x =-1处取得最小值m -1(m ≠0).设函数f(x)=g (x )x.(1) 若曲线y =f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) k(k ∈R )如何取值时,函数y =f(x)-kx 存在零点,并求出零点. 解:(1) 设g(x)=ax 2+bx +c ,则g ′(x)=2ax +b ;又g ′(x)的图象与直线y =2x 平行,∴ 2a =2,a =1.(1分) 又g(x)在x =-1取极小值,-b2=-1,b =2,∴ g(-1)=a -b +c =1-2+c =m -1,c =m ;(2分) f(x)=g (x )x =x +mx+2,设P(x 0,y 0), 则|PQ|2=x 20+(y 0-2)2=x 20+⎝⎛⎭⎫x 0+m x 02=2x 20+m 2x 20+2m ≥22m 2+2m ,(4分) 当且仅当2x 02=m 2x 02时,|PQ|2取最小值,即|PQ|取最小值 2.当m>0时,22m +2m =2,∴ m =2-1(6分) 当m<0时,-22m +2m =2,∴ m =-2-1(7分) (2) 由y =f(x)-kx =(1-k)x +mx +2=0,得(1-k)x 2+2x +m =0. (*)当k =1时,方程(*)有一解x =-m 2,函数y =f(x)-kx 有一零点x =-m2;(8分)当k ≠1时,方程(*)有二解=4-4m(1-k)>0,若m>0,k>1-1m,函数y =f(x)-kx 有两个零点x =-2±4-4m (1-k )2(1-k )=1±1-m (1-k )k -1;(10分)若m<0,k<1-1m ,函数y =f(x)-kx 有两个零点,x =-2±4-4m (1-k )2(1-k )=1±1-m (1-k )k -1;(12分)当k ≠1时,方程(*)有一解=4-4m(1-k)=0,k =1-1m, 函数y =f(x)-kx 有一个零点,x =1k -1.(14分) 【例3】.对于定义域为D 的函数,若同时满足下列条件:①f(x)在D 内单调递增或单调递减;②存在区间使f(x)在上的值域为;那么把叫闭函数.(1)求闭函数符合条件②的区间;(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;(3)若是闭函数,求实数k的范围.分析:这是一个新定义型的题目,要能从题中所给信息,进行加工提炼,得出解题的条件.解:(1)由题意,上递减,则解得所以,所求的区间为[-1,1].(2)当所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数.(3)若是闭函数,则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,函数f(x)的值域为[a,b],即,的两个实数根,即方程有两个不等的实根.设f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2.法一:当时有解得.当有此时不等式组无解.综上所述,.法二:只需满足方程x2-(2k+1)x+k2-2=0有两大于或等于k的不等实根,即:点评:在解数学题的过程中,寻找一个命题A的等价命题B往往是解题的关键,本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】.设a>b>c,且a+b+c=0,抛物线被x轴截得的弦长为l,求证:.证明:,且.从而.故抛物线与x轴有两个不同的交点,即方程必有两个不相等的实数根,由韦达定理得..可见,是的二次函数.由及,得,解得.在上是减函数,,即.【例5】.已知函数f(x)=x2-(m+1)x+m(m∈R).(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根,A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证:m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0,证明m≥3;(3)在(2)的条件下,若函数f(sinα)的最大值是8,求m.(1)证明:f(x)+4=0即x2-(m+1)x+m+4=0.依题意:又A、B锐角为三角形内两内角,∴<A+B<π.∴tan(A+B)<0,即.∴∴m≥5.(2)证明:∵f(x)=(x-1)(x-m),又-1≤cosα≤1,∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0.=3,∴m≥x max=3.即1≤x≤3时,恒有f(x)≤0即(x-1)(x-m)≤0,∴m≥x但xmax(3)解:∵f(sinα)=sin2α-(m+1)sinα+m=,且≥2,∴当sinα=-1时,f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8,∴m=3.【例6】.直线和双曲线的左支交于A、B两点,直线l过点P(-2,0)和线段AB的中点M,求l在y轴上的截距b的取值范围.解:由消去y,得.()因为直线m与双曲线的左支有两个交点,所以方程()有两个不相等的负实数根.所以解得.设,则由三点共线,得出.设,则在上为减函数,,且.,或,,或.题型五函数与方程思想在立体几何中的应用【例7】.如图,已知面,于D,.(1)令,,试把表示为x的函数,并求其最大值;(2)在直线PA上是否存在一点Q,使成立?解答:(1)∵面,于D,∴.∴..∵为在面上的射影.∴,即.∴.即的最大值为,等号当且仅当时取得.(2).令,解得:,与交集非空.∴满足条件的点Q存在.点评:本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求有一定的空间想象力,而且,做好问题的转化是解决此题的关键.。
3-24函数与方程思想
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考情分析
化为方程模型加以解决.函数与方程思想几乎渗透到中 学数学的各个领域,在解题中有着广泛的应用.
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要点串讲
函数与方程思想是高中数学的一条主线,也是数学 最本质的思想之一.函数思想使常量数学进入了变量数 学,高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何 等问题都可以转化为函数与方程问题.
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[证明] 令 f(n)= (n=2,3,„). 则 f(n+1)=
1 1 1+ 1 1+ 1+ „ 3 5 2n-1
1+2n
1 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1+ „ 3 5 2n-1 2n+1
④
由③④可得所求实数 a 的取值范围是- 2 1- 10 ≤a≤ . 2
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[点评] 此类已知恒成立的不等式求参数的问题,常 见的解题思路: 一是分离参数与已知范围的变化, 通过求 函数最值来确定参数的取值范围; 二是数形结合, 寻找参 数满足的关系式, 进而求出参数的取值范围. 在解题过程 中注意区分以下情形: (1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max; (2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min; (3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min; (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.
方程思想涉及的知识点多、知识面广,在概念性、理解
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性、应用性等方面都有一定的要求,所以是高考考查的重 点.我们应用函数与方程思想解题时可以从以下几个方面去
函数与方程的思想
函数与方程的思想1、专题概述函数思想,就是通过建立函数关系式或构造函数,运用函数的概念和性质等知识去分析、转化和解决问题。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的特征,重在对问题的变量的动态研究。
方程的思想,就是分析变量间的等量关系,通过构造方程,从而建立方程〔组〕或方程与不等式的混合组,或运用方程的性质去分析、转化问题,使问题得以解决。
方程的思想与函数的思想是密切相关的,方程0)(=x f 的解,就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标,函数式)(x f y =也可以看作二元方程0)(=-x f y ;函数与不等式也可以相互转化,对于函数)(x f y =,当0>y 时,就化为不等式0)(>x f ,借助于函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题,而研究函数的性态,也离不开不等式。
这种函数与方程、不等式之间的关系表达了“联系和变化〞的辩证唯物主义观点,应注意函数思想与方程思想是相辅相成的。
利用函数思想方法解决问题,要求我们必须深刻理解掌握初等图像与性质,以及函数与反函数、最值或值域、图像的变换、函数图像的交点个数,这是必备的基础。
因此,在解题中要善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。
运用函数思想解题具体表现在:〔1〕遇到变量,构造函数关系,利用函数沟通知识间的联系;〔2〕有关的不等式恒成立、方程根的个数及其一元二次方程根的分布、最值、值域之类的问题转化为函数问题;〔3〕含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系,使问题得以解决;〔4〕等差、等比数列中,通项公式、前n 项和公式都可以看成关于自然数n 的函数,因此数列问题可以用函数思想解决;〔5〕解析几何中的直线与直线、直线与二次曲线的位置关系问题,需要通过方程或方程组解决;〔6〕利用函数)()()(+∈+=N n b a x f n 用赋值法或比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题;〔7〕通过构造函数〔或建立函数关系〕,解决实际或应用问题。
中学数学6大重要思想 强烈推荐
1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。这就是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
“构造”是一种重要而灵活的思维方式,它没有固定的模式,要想用好它,需要敏锐的观察、丰富的联想、创新性的思维等能力,故有一定的难度,高考中常见的构造对象有构造数学模型(即实际问题数学化)、构造方程、构造恒等式、构造函数、构造数列、构造图形、构造反例等。
六,整体的思想方法
人们在研究某些数学问题时,往往不是着眼于问题的各个组成部分,而是有意识地放大考察问题的“视角”,将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能、或作种种处理以后,达到顺利而以简捷地解决问题的目的,象这种从整体观点出发研究问题的思维活动过程,我们称它为“整体的思想方法”.
解题方法指导:1.运用整体的思想方法解题,要有强烈的整体意识,要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征,不拘泥于常规,不着眼于问题的各个组成部分,从整体上观察,从整体上分析,从整体结构及原有问题的改造、转化入手,寻找解题的途径.
2.运用整体的思想方法解题,在思维方向上,既有正向的,又有逆向的;在思维形态上,既有集中的又有发散的,既有直观的,又有抽象的.
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一体。
数学思想有哪些
数学思想有哪些数学思想包括:函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中,经过思维活动而产生的结果。
1、函数方程思想:指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。
例如:等差、等比数列中,前n项和的公式,都可以看成n的函数。
2、数形结合思想:利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易,化繁为简。
例如:求根号((a-1)^2+(b-1)^2)+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。
3、分类讨论思想:问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时,需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
例如:解不等式|a-1|>4的时候,就要分类讨论a的取值情况。
4、方程思想:一个问题可能与某个等式建立关联时,可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。
例如:证明柯西不等式的时候,就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。
5、整体思想:从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征。
例如:叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。
6、化归思想:在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的,熟悉的,简单的问题。
例如:三角函数,几何变换。
7、隐含条件思想:没有明文表述出来或者是没有明文表述,但是该条件是真理。
例如:一个等腰三角形,一条过顶点的线段垂直于底边,那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。
8、类比思想:把两个不同的数学对象进行比较,发现它们在某些方面有相同或类似之处,就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
9、建模思想:为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象,采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。
函数与方程思想专题
函数与方程思想专题淮南三中 蔡田1 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函 数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。
2方程的思想,是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决。
3函数思想与方程思想是密切相关的,如函数问题可以转化为方程问题来解决;方程问题也可以转化为函数问题加以解决,如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点,解不等式f(x)>0(或f(x)<0),就是求函数y=f(x)的正负区间,再如方程f(x)=g(x)的交点问题,也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x 轴交点问题,方程f(x)=a 有解,当且仅当a 属于函数f(x)的值域,函数与方程的这种相互转化关系十分重要。
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想,几乎渗透到中学数学的各个领域,在解题中有着广泛的应用,是历年来高考考查的重点。
例1.若a 、b 是正数,且满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。
解析:方法一:(看成函数的值域)∵3++=b a ab,∴()31+=-a a b ∵1=a 不满足上式,∴1≠a∴13-+=a ab ,由于0>b ,∴013>-+a a 可得1>a 或3-<a (舍) ∴514)1(14)1(5)1(131322+-+-=-+-+-=-+=-+⋅=a a a a a a a a a a a ab∵1>a ,∴01>-a 由基本不等式得9≥ab当且仅当14)1(-=-a a,即3=a 时,等号成立. ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 方法二(看成不等式的解集) ∵a 、b 为正数, ∴ab b a 2≥+,又因为3-=+ab b a∴ab ab 23≥- 即032)(2≥--ab ab解得3≥ab 或1-≤ab (舍去)∴9≥ab ,即ab 的取值范围是[9,+∞).例2:已知a ,b ,c R ∈,0=++c b a ,01=-+bc a ,求a 的取值范围。
高考数学解题思想:函数与方程思想
高考数学解题思想:函数与方程思想高考数学复习是有规律有内部联系的复习过程,在所有题型中一直串联着数学思想在里面,而不是单独的进行题海战术,做会一道题,完全把握解题思维好于单独做100道题。
数学网高考频道整理高考数学包蕴的六大数学思想,大题无外乎就这几类,吃透规律事半功倍。
高考数学解题思想:函数与方程思想函数思想是指运用运动变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。
利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。
例3 若曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范畴是_____ ___。
分析:本题从方程的角度动身可直截了当作出方程y=2x+1的方程y=b 的图像,观看即可得出结论,也可将“曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点”转化为判定方程b=2x+1何时无解的问题。
解:因为函数y=2x+1的值域为(1,+∞),因此当b≤1,即-1≤b≤1时,方程b=2x+1无解,即曲线y=2x+1与直线y=b没有公共点。
例4 设函数f(x)=log2(2x+1)的反函数为y=f-1(x),若关于x的方程f-1(x) =m+f(x)在[1,2]上有解,则实数m的取值范畴是。
分析:求出函数f(x)的反函数f-1(x)=log2(2x-1),可将方程转化为m=l og2(2x-1)-log2(2x+1),因此原问题转化为求函数y=log2(2x-1)-log2(2x+1),x ∈[1,2]的值域。
宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。
初中数学八大思想
初中数学八大思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,把某些式⼦或图形看成⼦个整体,把握它们之间的关联,进⼦有⼦的的、有意识的整体处理。
二、方程思想⼦程思想是指在确定变量后,找到它们之间的关系,将实际问题转化成⼦程或不等式,通过建⼦⼦程模型来解决实际问题,它可以让我们更加直观,清晰明了地了解题目。
三、函数思想函数的思想是⼦运动和变化的眼光,分析和研究数学中的数量关系,从⼦建⼦函数模型,如⼦次函数、反⼦例函数、⼦次函数等,解决实际问题。
比如当路程一定时,时间和速度成反比例关系;抛出的球时间和高度成二次函数关系,在解决一些问题时,借助函数图像,可以帮助我们快速地解决问题四、分类讨论思想分类讨论就是把研究对象按同⼦分类标准分成⼦个部分或⼦种情况,然后逐个解决,最后予以总结做出结论的思想⼦法,其实质是化整为零,各个击破,化⼦难为⼦难的策略,许多大题就会运用到这种思想比如这道题五、转换思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识,化繁为简,化未知为已知,从而解决实际问题。
六、类比思想把两个(或两类)不同的数学对象进行对比,如果发现它们有共同特质,可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。
例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用,类比研究反比例函数的图象、性质及应用。
七、分类讨论思想所谓分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论,最后整合结论得到完整解答。
分类时要做到不重不漏。
八、数形结合思想数形结合思想,其实质是将抽象的数学符号语言与直观图形结合起来。
可以“以形助数”,也可以“以数辅形”。
使代数问题和几何问题互化,达到精确和直观的统一。
九、方程与函数思想方程与函数是两种数学模型。
实际中的很多问题都可以用这两种模型加以解决。
十、转化与化归思想这是将待解决的问题通过变换使之转化为已解决的或更简单的问题,从而使问题得到解决。
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函数与方程思想1对任意a ∈[-1,1],函数f (x )=x 2+(a -4)x +4-2a 的值总大于零,则x 的取值范围是________.(-∞,1)∪(3,+∞)3.已知向量a =(3,2),b =(-6,1),而(λa +b )⊥(a -λb ),则实数λ=__________.4.方程m +1-x =x 有解,则m 的最大值为________.5.已知R 上的减函数y =f (x )的图象过P (-2,3)、Q (3,-3)两个点,那么|f (x +2)|≤3的解集为________.6.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围为__________.7.若关于x 的方程4cos x -cos 2x +m -3=0恒有实数解,则实数m 的取值范围是________.8.已知函数f (x )=(x -a )(x -b )-2,其中a <b ,且α,β(α<β)是函数f (x )的两个零点,则实数a ,b ,α,β的大小关系为________.9.已知等差数列{a n }共有10项,其奇数项的和为15,偶数项的和为30,则它的公差d =________.10.已知数列{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N *,a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是__________.11.若存在a ∈[1,3],使得不等式ax 2+(a -2)x -2>0成立,则实数x 的取值范围是____________.12.已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 2, -3≤x ≤3,x 2-6,x <-3或x >3,若0<m <n ,且f (m )=f (n ),则mn 2的取值范围是________.13.设P (x ,y )是椭圆x 24+y 22=1上的动点,定点M (12,0),求动点P 到定点M 距离的最大值与最小值.15.已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 为常数,且a ≠0)满足条件:f (x -1)=f (3-x ),且方程f (x )=2x 有等根.是否存在实数m ,n (m <n ),使f (x )定义域和值域分别为[m ,n ]和[4m,4n ],如果存在,求出m ,n 的值;如果不存在,说明理由.2或-124.1 5.[-4,1] 6.(-∞,-5] 7.[0,8]8.α<a <b <β 9.3 10.(-3,+∞)11.(-∞,-1)∪⎝⎛⎭⎫23,+∞ 12.(0,42] 13.解 由x 24+y 22=1得y 2=2-12x 2, PM 2=(x -12)2+y 2=x 2-x +14+2-12x 2=12(x 2-2x )+94=12(x -1)2+74,y 2=2-12x 2≥0, ∴-2≤x ≤2.当x =1时,PM 2取得最小值74,即PM 的最小值为72; 当x =-2时,PM 2取得最大值254,即PM 的最大值为52. 15.解 ∵方程ax 2+bx =2x 有等根,∴Δ=(b -2)2=0,得b =2.由f (x -1)=f (3-x )知此函数图象的对称轴方程为x =-b 2a=1得a =-1, 故f (x )=-x 2+2x =-(x -1)2+1≤1,∴4n ≤1,即n ≤14. 而抛物线y =-x 2+2x 的对称轴为x =1,∴n ≤14时,f (x )在[m ,n ]上为增函数. 若满足题设条件的m ,n 存在,则⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )=4m ,f (n )=4n , 即⎩⎪⎨⎪⎧ -m 2+2m =4m ,-n 2+2n =4n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m =0或m =-2,n =0或n =-2. 又m <n ≤14,∴m =-2,n =0, 这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0].由以上知满足条件的m ,n 存在,且m =-2,n =0.函数与方程的思想是中学数学中的基本思想,它在数学试题中占有较大比重,试题中的很多压轴题往往和函数与方程的思想有关.一个问题常常涉及到多个变量,这些变量之间相互关联,相互制约.为了解决问题,我们便把它们之间的这种制约关系用函数的形式反映出来,运用函数的知识来处理,这便是函数的思想;为确定某些未知量,常需建立量与量之间的等量关系,通过联立方程来求解,这便是方程思想.像这种利用函数与方程来解决问题的思想就是函数与方程思想,它在数学问题的解决中有着极为广泛的应用1.应用函数思想解题的关键——在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和活用函数的性质.这里所应用的函数性质包括:函数f (x )的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值以及图象变换等,要求我们熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的具体特性.2.应用函数思想的几种常见题型——遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识进行解答等差、等比数列中,通项公式、前n 项和公式,都可以看成n 的函数,数列问题也可以用函数知识加以解决。
3.应用方程思想应着重考虑——把问题中对立的已知量与未知量通过建立等量关系统一在方程中,通过解方程解决;从分析问题的结构入手,找出主要矛盾,抓住某一个关键变量,将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的方程,利用方程的特征解决;根据几个变量间的关系,判断符合哪些方程的性质和特征,通过研究方程所具有的性质和特征解决。
在中学数学中常见数学模型(如函数、曲线等),经常转化为方程问题去解决。
1.函数思想(1)利用函数的定义域和值域例1.设不等式2x-1>m(x2-1)对满足|m|≤2的一切实数m均成立,试求实数x的取值范围分析:由于思维定势,易把问题看成关于x的不等式而进行讨论.然而,若变换一个角度,以m为变量,问题就是:已知关于m的一次不等式(x2-1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立,试求实数x的取值范围.于是可设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时实数x应该满足的条件解析:问题可变成关于m的一次不等式:(x2-1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立.设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则解得x∈( )【点评】本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化;或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题.(2)利用函数的单调性例2.已知实数m,n满足m3-3m2+5m=1,n3_3n2+5n=5,则m+n为_________.分析:拟通过求出m、n的具体取值显然是困难的.而注意到题设两等式的特征,可使我们联想构造函数并利用函数的单调性加以求解解析:因为m3-3m2+5m=1,所以(m-1)3+2(m-1)+2=0.①又因为n3-3n2+5n=5,所以(1-n)3+2(1-n)+2=0.②设f(x)=x3+2x+2,则①等价于f(m-1)=0,②等价于f(1-n)=0,于是f(m-1)=f(1-n).又显然f(x)为R上的增函数,所以m-1=1-n,所以m+n=2.分析:方程左边两项均具有x(式,故可联想构造函数法来加以完成.解析:令f(x)=xf(x)=0.又易知f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,所以f(6x+5)=f(-x).另一方面,易证f(x)为增函数,所以6x+5=-x,所以x=-(2)0(2)0ff<⎧⎨-<⎩222212102210f x xf x⎧()=(-)-(-)<⎨(-)=-()-)<⎩1122,1(4)利用函数的有界性与连续性求证:方程x =a sin x +b (a >0,b >0)至少有例4 求证:方程x =a sin x +b (a >0,b >0)至少有一个正根,且它不超过a +b .证明:设f (x )=a sin x +b -x ,则f (x )在R 上是连续的且f (0)=b >0.又f (a +b )=a sin(a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0,则a +b 就是方程的根,且它不超过a +b ;若f (a +b )<0,又f (0)>0,故在区间(0,a +b )内至少存在一个实数x 0,使得f (x 0)=0,即x 0=a sin x 0+b .故方程x =a sin x +b 至少有一个正根,且它不超过a +b .【评析】从几何意义上来讲,这里用到的结论是:若函数 f (x )在区间[a ,b ]上连续,且f (a )f (b )<0,则函数f (x )的图象必在区间(a ,b )内至少要穿越x 轴一次.这便是根的存在性定理.(5)利用函数的周期性例5 已知函数f (x )满足f (x +1)= ,且f (1)=2,求f (2010)的值.2.方程思想(1)利用根与系数的关系构造方程例6 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列,且tan A ·tan CC 的对边c 上的高等于试求△ABC 的三边a 、b 、c 及三内角.11f x f x +()-()()1()π1tan()1()41tan tan 1tan ππ()tan ,4144,π44(2010).f x f x x f x x x x f x x f ++=+-+=-===⨯=由,联想到,注意到函数的周期为,故猜测周期为进而可求分析:()()1(1) 2111(1)1()111()1()()11()1(4)[(2)2]().(2)()4(2010)(2)1(1).1(1)3f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f f f +++=++=⎡⎤⎣⎦-+++-==-+--+=++=-=+=+==--因为(分析中所猜函数满足本性质)所以所以是以为周期的函数,进而解析:分析:已知了一个积式,考虑能否由其他已知得到 一 个和式,再用方程思想求解(2)运用根的判别式构造方程(3)直接利用条件构造方程分析:由于此题表面上重在“形”,因而本题容易走入误区:老是想在“形”上找解决问题的突破口,而忽略了“数”.本题的顺利求解可利用方程思想巧妙转化212π.3tan tan tan tan tan tan tan tan tan (tan tan 1)tan tan 2012πtan 18tan 245π,12A B C B ABC A B C A B C A C B A C A C x x x x A C A C A C a b c =++=⋅⋅+=⋅-=++++=======+===V 由、、成等差数列,可得在中,由,得所以、是方程的两根,解得,不妨设<,则,所以,由解析此容得到易:,.4+()()()()2110()12f xax bx c g x bx a b c a b c a b c a b c A B AB x A B =++=-++=∈R 已知二次函数和一次函数, 其中、、满足>>,,,. 求证:两函数的图象交于不同的两点、; 求线段在例8轴上的射影的长的取 值范围.()()()2222222221,20.4444434[()]24000.3004y ax bx c y ax bx c y bx b ac a c aca ac c c a c abc a b c a c c ⎧=++++=⎨=-⎩∆=-=---=++=++++=∆由,消去得 因为,>>,所以>,<所以>两函数的图象,所以>交于不同,解即析:的两点.()()()121221112121221222222222 220,2.24444()244134[()1]4[()].24ax bx c x x b c x x x x a a A B x x b c b ac x x x x a a a a c ac a c c c a a a ++=+=-==--=+-=--=(--)-==++=++设方程的两根为和则,(4)利用根的定义构造方程(5)由待求式构造方程 ()2111120001(2).2()4[()1]11(2)223,,.12a b c a b c a c c a a c c a c c c f a a a c c aa A B A B ++=--∈--=++=-∈--∈∈因为,>>,>,<,所以>>,解得,因为的对称轴方程是,且当,时,为减,故函数所以。