2020年辽宁省沈阳市高三一模数学试题
【精校】2020年辽宁省沈阳市高考一模数学理
2020年辽宁省沈阳市高考一模数学理一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x(x-3)＜0}，B={-1，0，1，2，3}，则A ∩B=( ) A.{-1} B.{1，2} C.{0，3}D.{-1，1，2，3}解析：∵集合A={x|x(x-3)＜0}={x|0＜x ＜3}， B={-1，0，1，2，3}， ∴A ∩B={1，2}. 答案：B.2.已知i 是虚数单位，复数i ·z=1-2i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 答案：C.3.已知平面向量a r =(3，4)，b r =(x ，12)，若a r ∥b r ，则实数x 为( )A.-23B.23C.38D.-38解析：利用向量共线定理即可得出. 答案：C.4.命题p ：“∀x ∈N +，(12)x ≤12”的否定为( ) A.∀x ∈N +，(12)x ＞12 B.∀x ∉N +，(12)x ＞12C.∃x ∉N +，(12)x ＞12D. x∈N+，(12)x＞12解析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可. 答案：D.5.已知直线l：和圆C：x2+(y-1)2=1，若直线l与圆C相切，则k=( )A.0C.3或0解析：找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，即可求出k的值.答案：D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )C.54D.27解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案.答案：A.7.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( )A.1 2B.1 46D.18解析：先求出基本事件总数n=44A ，再利用列举法求出“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率. 答案：B.8.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N=n(modm)，例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于( )A.21B.22C.23D.24解析：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23. 答案：C.9.将函数f(x)=2sin(ωx+4π)(ω＞0)的图象向右平移4πω个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[-6π，3π]上为增函数，则ω的最大值为( ) A.3 B.2 C.324解析：根据平移变换的规律求解g(x)，结合三角函数g(x)在[-6π，3π]上为增函数建立不等式即可求解ω的最大值.答案：C.10.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=1，O 的表面积为4π，则SA=( ) A.2B.1 D.32解析：由已知中S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，易S 、A 、B 、C 四点均为长宽高分别SA ，AB ，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案. 答案：B.11.已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 与双曲线C的焦点不重合，点M 关于F1，F2的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在双曲线的右支上，若|AN|-|BN|=12，则a=( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析：根据已知条件，作出图形，MN 的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a ，求出||AN|-|BN||，可得结论. 答案：A.12.已知函数f(x)=()22212log 11x x x x +⎧⎪-⎪≤⎨⎩，，＞，则函数F(x)=f[f(x)]-2f(x)-32的零点个数是( ) A.4 B.5C.6D.7解析：令t=f(x)，F(x)=0，则f(t)-2t-32=0，分别作出y=f(x)和直线y=2x+32，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数.答案：A.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上) 13.二项式(x+12x)6的展开式中的常数项为_____. 解析：利用二项式展开式的通项公式，令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项. 答案：52.14.若实数x ，y 满足不等式组01030x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z=3x-y 的最大值为_____.解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案. 答案：1.15.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S=a 2-(b-c)2，b+c=8，则S 的最大值为_____.解析：满足S=a 2-(b-c)2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA=2bc-(b 2+c 2-a 2)=2bc-2bccosA ，化为sinA=1-cosA ，与sin 2A+cos 2A=1，解得sinA ，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出. 答案：8.16.设函数f(x)=g(2x )+x 2，曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x+y-1=0，则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为_____.解析：由题意求得g(1))=-8，g ′(1)=-9，对f(x)求导，注意复合函数的导数，求出f(2)，x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程. 答案：x+2y+6=0.三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1=1，且a 1，a 2，a 4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{b n }满足b n =2n an a +，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (Ⅱ)利用等差数列与等比数的求和公式即可得出.答案：(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，由题设，a22=a1a4，即(1+d)2=1+3d，解得d=0或d=1又∵d≠0，∴d=1，可以求得a n=n(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n=n+2n，T n=(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)=()12n n++2n+1-2.18.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人).(Ⅰ)据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？(Ⅱ)若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望.附：参考数据：(参考公式：X2=()2112212211212nn n n n nn n n-++++)解析：(Ⅰ)计算K2，根据临界值表作出结论；(Ⅱ)分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差.答案：(Ⅰ)Χ2=()2250363365030025 30202030302020302⨯-⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=12.5＞6.635∴有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关.(Ⅱ)估计该市的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为p=202 505=X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得X～B(3，25)，P(X=k)=332355k kkC-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(k=0，1，2，3)∴随机变量X的分布列为∴随机变量X 的数学期望E(X)=65.19.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C=AC=AB=BC=2，且点O 为AC 中点.(Ⅰ)证明：A 1O ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求二面角A-A 1B-C 1的大小.解析：(Ⅰ)推导出A 1O ⊥AC ，由此能证明A 1O ⊥平面ABC.(Ⅱ)以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A 1B-C 1的大小.答案：(Ⅰ)证明：∵AA 1=A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，又∵侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC.解：(Ⅱ)如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A 1(0，0，C 1(0，2)，0，0)∴AB u u u r1，0)，1A B u u u r，0，，11AC u u u u r =(0，2，0) 设平面AA 1B 的一个法向量为m u r=(x 1，y 1，z 1)，则有111110000y m AB m A B ⎧+=⋅=⎪⇒⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u ru r u u u r令x 1=1，得y 1z 1=1∴m u r=(1，，1)设平面A 1BC 1的法向量为n r=(x 2，y 2，z 2)，则有21122120000y m A C m A B ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨=⋅=⎪⎩u r u u u u r u r u u u r令x 2=1，则y 2=0，z 2=1，∴n r=(1，0，1)∴cos ＜m u r ，n r ＞=∴所求二面角的大小为arccos(-5).20.已知椭圆C ：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，0)，.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，设R(x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x-x 0)2+(y-y 0)2=4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，试问OP 2+OQ 2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 解析：(Ⅰ)由题意得，c ，a ，推出b ，即可得到椭圆的方程.(Ⅱ)由已知，直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，且与圆R 相切，列出方程，说明k 1，k 2是方程k 2-2x 0y 0k+y 02-4=0的两个不相等的实数根，推出k 1k 2=202044y x --，通过点R(x 0，y 0)在椭圆C 上，化简求解即可.(Ⅲ)OP 2+OQ 2是定值18.设直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x ，联立1221126y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()2122112112112k x y k ++=+同理，得()2222222212112k x y k ++=+，然后计算OP 2+OQ 2=x 12+y 12+x 22+y 22化简求解即可.答案：(Ⅰ)由题意得，，，解得，∴椭圆方程为22 126x y+=1.(Ⅱ)由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，=2，化简得(x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0同理(x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0，∴k1，k2是方程k2-2x0y0k +y02-4=0的两个不相等的实数根∴x02-4≠0，△＞0，k1k2=2244 yx--∵点R(x0，y0)在椭圆C上，所以22001126x y+=，即2200162y x=-∴k1k2=22121242xx-=--.(Ⅲ)OP2+OQ2是定值18.设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，k1·k2=-12，联立1221126y k xx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212122112112121212xkkyk⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩∴()21 22112112112k x yk+ +=+同理，得()22 22222212112k x yk+ +=+由OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=()()22122212 1211211212k kk k+++++，∴OP2+OQ2=()()()22222112112222212111112121211211211836121212121122kk k k kk k k kk⎛⎫⎛⎫+-⎪+++⎝⎭++=+= ++++⎛⎫+-⎪⎭⎝⎭⎪⎪⎝=18综上：OP2+OQ2=18.21.已知函数f(x)=e x -1-x-ax 2. (Ⅰ)当a=0时，求证：f(x)≥0；(Ⅱ)当x ≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于x 的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；(Ⅱ)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求得实数a 的取值范围.答案：(Ⅰ)a=0时，f(x)=e x-1-x ，f ′(x)=e x-1当x ∈(-∞，0)时，f ˊ(x)＜0； 当x ∈(0，+∞)时，f ˊ(x)＞0 故在单调递减，在单调递增， f(x)min =f(0)=0，∴f(x)≥0(Ⅱ)f ˊ(x)=e x -1-2ax ，令h(x)=e x -1-2ax ，则h ˊ(x)=e x-2a.1)当2a ≤1时，在[0，+∞)上，h ˊ(x)≥0，h(x)递增，h(x)≥h(0)， 即f ˊ(x)≥f ˊ(0)=0，∴f(x)在[0，+∞)为增函数， ∴f(x)≥f(0)=0，∴a ≤12时满足条件； 2)当2a ＞1时，令h ˊ(x)=0，解得x=ln2a ，当x ∈[0，ln2a)上，h ˊ(x)＜0，h(x)单调递减，∴x ∈(0，ln2a)时，有h(x)＜h(0)=0，即f ˊ(x)＜f ˊ(0)=0， ∴f(x)在区间(0，ln2a)为减函数， ∴f(x)＜f(0)=0，不合题意 综上得实数a 的取值范围为(-∞，12].请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22.以直角坐标系xOy 中，直线l ：y=x ，圆C ：12x cos y sin ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩(φ为参数)，以坐标原点为为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l 与圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求△CMN 的面积.解析：(Ⅰ)利用三种方程的互化方法，求直线l 与圆C 的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与圆C 的交点为M ，N ，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求△CMN 的面积.答案：(Ⅰ)将C 的参数方程化为普通方程为(x+1)2+(y+2)2=1，极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0直线l ：y=x 的极坐标方程为θ=4π(ρ∈R)，(Ⅱ)圆心到直线的距离2=，∴|MN|==∴△CMN 的面积S=11222=.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=|x-a|-12x ，(a ＞0). (Ⅰ)若a=3，解关于x 的不等式f(x)＜0； (Ⅱ)若对于任意的实数x ，不等式f(x)-f(x+a)＜a 2+2a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：(Ⅰ)将a 的值带入f(x)，两边平方求出不等式的解集即可；(Ⅱ)求出f(x)=|x-a|-|x|+2a ，原问题等价于|a|＜a 2，求出a 的范围即可. 答案：(Ⅰ)a=3时，f(x)=|x-3|-12x ＜0， 即|x-3|＜12x ， 两边平方得：(x-3)2＜14x 2， 解得：2＜x ＜6，故不等式的解集是{x|2＜x ＜6}；(Ⅱ)f(x)-f(x+a)=|x-a|-12x-|x|+12(x+a)=|x-a|-|x|+2a ， 若对于任意的实数x ，不等式f(x)-f(x+a)＜a 2+2a 恒成立， 即|x-a|-|x|+2a ＜a 2+2a 对x ∈R 恒成立， 即a 2＞|x-a|-|x|，而|x-a|-|x|≤|(x-a)-x|=|a|，原问题等价于|a|＜a 2，又a ＞0，∴a ＜a 2，解得a ＞1. 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
【2020年高考必备】辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)及解析
辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共60 分.在每题给出的四个.选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的1．（ 5 分）若会集 A={ x| x2﹣2x﹣ 3＜ 0} ，会集 B={ x| x＜1} ，则 A∩ B 等于（）A．（1，3） B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣ 1， 1）D．（﹣ 3，1）2．（5 分）已知i 为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5 分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．4．（5 分）已知 tan θ =2，则的值为（）A．B．C．D．5．（5 分）已知一个算法的程序框图以下列图，当输出的结果为0 时，输入的 x 的值为（）A．﹣ 3 B．﹣3 或 9 C．3 或﹣9 D．﹣ 9 或﹣ 36．（5 分）某四棱锥的三视图以下列图，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．（ 5 分）在等差数列 { a n} 中，若 S n为前 n 项和， 2a7 =a8+5，则 S11的值是（）A．55 B．11 C．50D．608．（5 分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同样；记者的年龄比乙小．依照以上情况，以下判断正确的选项是（）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师9．（5 分）已知函数，以下命题中假命题是（）A．函数 f （x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数 f（x）的图象可由 g（ x） =sin2x的图象向左平移个单位获取D．函数 f （x）在上是增函数10．（ 5 分）设函数 f （x）=xe x+1，则（）A．x=1 为 f（x）的极大值点B． x=1 为 f （x）的极小值点C．x=﹣1 为 f （x）的极大值点D． x=﹣1 为 f（ x）的极小值点11．（5 分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线C 的离心率为（）A．2B．C．D．12．（ 5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且f（x+2） =f（2﹣ x），当 x ∈ [ ﹣ 2，0] 时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（ x+2）=0 解的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题13．（5 分）设变量5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）x，y 满足拘束条件：，则z=x﹣3y的最小值为．14．（ 5 分）已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P（1，1）为中点，则弦AB所在直线方程是．15．（5 分）在数列 { a n} 中，a1=1，a2=2，a n+1=3a n﹣ 2a n﹣1（ n≥ 2），则 a n =．16．（ 5 分）已知正四棱锥 S﹣ABCD中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ ABC的面积；（2）若 b+c=6，求 a 的值．18．（12 分）高中生在被问及“家，朋友齐聚的地方，个人空间”三个场所中“感觉最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友齐聚的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友齐聚的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请依照以上检查结果将下面 2×2 列联表补充完满；并判断能否有 95%的掌握认为“恋家（在家里感觉最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其他场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被检查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步检查，再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感觉幸福的学生的概率．附：，其中 n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828 19．（ 12 分）如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PD⊥底面 ABCD，AB∥ CD， AB=2，CD=3，M 为 PC上一点，且 PM=2MC．（ 1）求证： BM∥平面 PAD；（ 2）若 AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．20．（ 12分）已知椭圆的左、右焦点分别为1、F2，点F在椭圆上，且有．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F2的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，求△ AOB面积的最大值．21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数 f（ x）图象经过的定点坐标；（2）当 a=1 时，求曲线 f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程及函数 f（x）单调区间；（3）若对任意 x∈[ 1， e] ，f （x）≤ 4 恒建立，求实数 a 的取值范围．.[选请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y﹣ 2）2 =4．以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ =α，（0＜α＜π）（ 1）求曲线 C1、C2的极坐标方程；（ 2）设点 A、 B 为射线 l 与曲线 C1、C2除原点之外的交点，求 | AB| 的最大值．[ 选修4-5：不等式选讲 ]23．已知函数 f （x）=| x﹣a|+ 3x，其中 a∈ R．（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥ 3x+| 2x+1| 的解集；（2）若不等式 f （x）≤ 0 的解集为 { x| x≤﹣ 1} ，求 a 的值．2018 年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（文科）参照答案与试题剖析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．（ 5 分）若会集 A={ x| x2﹣2x﹣ 3＜ 0} ，会集 B={ x| x＜1} ，则 A∩ B 等于（A．（1，3） B．（﹣∞，﹣ 1）C．（﹣ 1， 1）D．（﹣ 3，1））【解答】解： A={ x| x2﹣ 2x﹣3＜0} ={ x| ﹣1＜x＜3} ，会集 B={ x| x＜1} ，则 A∩B={ x| ﹣ 1＜ x＜1} =（﹣ 1，1），应选： C2．（5分）已知i 为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限【解答】解：∵B．第二象限=C．第三象限D．第四象限，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．应选： B．3．（5 分）已知平面向量，，且，则实数x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：依照题意，向量，，则﹣ =（﹣ 3， x﹣），又由，则（﹣）?=（﹣ 3）× 1+（x﹣）×=0，解可得 x=2，应选： B．4．（5 分）已知 tan θ =2，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵ tan θ=2，则=1++=1++= +=，应选： C．5．（5 分）已知一个算法的程序框图以下列图，当输出的结果为0 时，输入的 x 的值为（）A．﹣ 3 B．﹣3 或 9 C．3 或﹣9 D．﹣ 9 或﹣ 3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当： y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；当 y=2﹣log3x=0，解得 x=9．综上，有 x=﹣3，也许9．应选： B．6．（5 分）某四棱锥的三视图以下列图，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．【解答】解：由四棱锥的三视图获取该四棱锥是P﹣ABCD，其中，底面 ABCD是边长为 2 的正方形， PC⊥平面 ABCD，如图，PB=PD==2 ，∴该四棱锥的侧面积是：S=S△PBC+S△PDC+S△PAB+S△PCD==4+4．应选： A．7．（ 5 分）在等差数列 { a n} 中，若 S n为前 n 项和， 2a7 =a8+5，则 S11的值是（）A．55 B．11 C．50D．60【解答】解：设等差数列 { a n} 的公差为 d，∵ 2a7=a8+5，∴ 2a1+12d=a1+7d+5，∴a1+5d=5=a6，则 S116．==11a =55应选： A．8．（5 分）甲、乙、丙三人中，一人是教师、一人是记者、一人是医生．已知：丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同样；记者的年龄比乙小．依照以上情况，以下判断正确的选项是（）A．甲是教师，乙是医生，丙是记者B．甲是医生，乙是记者，丙是教师C．甲是医生，乙是教师，丙是记者D．甲是记者，乙是医生，丙是教师【解答】解：由甲的年龄和记者不同样，记者的年龄比乙小，获取丙是记者，从而消除 B 和 D；由丙的年龄比医生大，获取乙不是医生，从而乙是教师，甲是医生．应选： C．9．（5 分）已知函数，以下命题中假命题是（）A．函数 f （x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数 f（x）的图象可由 g（ x） =sin2x的图象向左平移个单位获取D．函数 f （x）在上是增函数【解答】解：关于 A，当 x=时，函数f（x）=sin（2×+）=1为最大值，∴ f（x）的图象关于直线对称，A正确；关于 B，当 x=﹣时，函数f（x）=sin（﹣2×+）=0，∴x=﹣是函数 f （x）的一个零点， B 正确；关于 C，函数 f （x） =sin（2x+ ）=sin2（x+ ），其图象可由 g（x）=sin2x 的图象向左平移个单位获取，∴ C错误；关于 D，x∈[ 0，] 时， 2x+∈ [，] ，∴函数 f（x）=sin（ 2x+）在上是增函数，D正确．应选： C．10．（ 5 分）设函数 f （x）=xe x+1，则（）A．x=1 为 f（x）的极大值点B． x=1 为 f （x）的极小值点C．x=﹣1 为 f （x）的极大值点D． x=﹣1 为 f（ x）的极小值点【解答】解：由于 f （x） =xe x，可得 f ′（x）=（x+1）e x，令 f ′（x） =（ x+1）e x=0 可得 x=﹣1，令 f ′（x） =（ x+1）e x＞0 可得 x＞﹣ 1，即函数在（﹣ 1，+∞）上是增函数令f ′（x） =（ x+1）e x＜0 可得 x＜﹣ 1，即函数在（﹣∞，﹣ 1）上是减函数因此 x=﹣ 1 为 f （x）的极小值点．应选： D．11．（5 分）已知双曲线，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，以 OF 为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A，若，则双曲线 C 的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：由直径所对的圆周角为直角，可得∠ OAF=90°，在△ OAF中，，可得 AF=OFcos30°=c，由 AF 为焦点（ c， 0）到渐近线 bx﹣ ay=0 的距离，即为==b，即有 b=c，e= ===2，应选 A．12．（ 5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且f（x+2） =f（2﹣ x），当 x ∈ [ ﹣ 2，0] 时，，则在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log8（ x+2）=0 解的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：关于任意的 x∈R，都有 f（ 2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4） =f[ 2+（x+2）] =f[ （ x+2）﹣ 2] =f（x），∴函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4．又∵当 x∈ [ ﹣ 2， 0] 时， f （x）=（）x﹣1，且函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（ 6） =1，则函数 y=f（x）与 y=log 8（x+2）在区间（﹣ 2，6）上的图象以以下列图所示：依照图象可得 y=f（x）与 y=log 8（ x+2）在区间（﹣ 2，6）上有 3 个不同样的交点．应选： C．．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．（ 5 分）设变量 x， y 满足拘束条件：，则z=x﹣3y的最小值为﹣10．【解答】解：画出拘束条件：可行域以以下列图，由 z=x﹣3y 得 y= x﹣；平移直线 y= x﹣，由图象可知当直线经过点 B 时，直线 y= x﹣的截距最大，此时z 最小，由解得，B（﹣ 1，3）；故此时 z=﹣1﹣3×3=﹣10；故答案为：﹣ 1014．（ 5 分）已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB 恰好以 P（1，1）为中点，则弦 AB 所在直线方程是 2x﹣y﹣1=0 ．【解答】解：设 A（ x1，y1），B（x2， y2），代入抛物线方程得y12=4x1，①， y22=4x2，②，①﹣②整理得 k===2，弦 AB 所在直方程y 1=2（ x 1），即 2x y 1=0．故答案： 2x y 1=0．15．（ 5 分）在数列 { a n} 中， a1=1，a2=2，a n+1=3a n 2a n﹣1（ n≥ 2）， a n= 2n﹣1（ n∈N*）．【解答】解：∵ a n+1=3a n2a n﹣1（n≥2），∴a n+1 a n=2a n 2a n﹣1=2（a n a n﹣1）（ n≥ 2），可得：a3a2=2（a2a1）a4a3=2（a3a2）⋯a n+1a n=2（a n a n﹣1）相加可得： a n+1a2=2（ a n a1），可得： a n+12=2（ a n1），即： a n+1=2a n，*∴数列 { a n} 是等比数列， n∈N ，∴．故答案： 2n﹣1（n∈N*）．16．（ 5 分）已知正四棱S ABCD中，它的高6．【解答】解：正四棱S ABCD ，那么当棱的体最大，的底面 a ，高h==，∴体 V= a2h=，y=108a4a6，35y′=432a 3a ，35由 y′=432a 3a =0，解得 a=0 或 a=12，∴当 a=12 ，体最大，此时 h==6，故答案为： 6．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．（12 分）在△ ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足，．（1）求△ ABC的面积；（2）若 b+c=6，求 a 的值．【解答】解：（1）由于，因此，．又由得 bccosA=3，因此 bc=5因此．（2）由（ 1）知， bc=5，又 b+c=6，由余弦定理，得，因此18．（12 分）高中生在被问及“家，朋友齐聚的地方，个人空间”三个场所中“感觉最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45 人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友齐聚的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：朋友齐聚的地方占、家占、个人空间占．（Ⅰ）请依照以上检查结果将下面2×2 列联表补充完满；并判断能否有95%的掌握认为“恋家（在家里感觉最幸福）”与国别有关；在家里最幸福在其他场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅱ）从被检查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步检查，再从 4 人中随机抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感觉幸福的学生的概率．附：，其中 n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）由已知得，在家里最幸福在其他场所幸福合计中国高中生223355美国高中生93645合计3169100∴=，∴有 95%的掌握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感觉幸福的有 3 人，在“个人空间”感觉幸福的有 1 人，分别设为 a1， a2，a3， b；∵Ω={（a1，a2），（a1， a3），（a1， b），（a2，a3），（a2，b），（ a3，b）} ，∴ n=6；设“含有在“个人空间”感觉幸福的学生”为事件 A，A={ （ a1，b），（a2， b），（a3，b）} ，∴ m=3；则所求的概率为．19．（ 12 分）如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中， PD⊥底面 ABCD，AB∥ CD，AB=2，CD=3，M 为 PC上一点，且 PM=2MC．（ 1）求证： BM∥平面 PAD；（ 2）若 AD=2，PD=3，，求三棱锥P﹣ADM的体积．【解答】（1）证明：法一、过M 作 MN∥CD交 PD 于点 N，连接 AN．∵ PM=2MC，∴．又∵，且AB∥CD，∴AB∥MN， AB=MN，则四边形 ABMN 为平行四边形，∴BM∥ AN．又∵ BM?平面 PAD，AN? 平面 PAD，∴BM∥平面 PAD．法二、过点 M 作 MN⊥ CD于点 N，N 为垂足，连接 BN．由题意， PM=2MC，则 DN=2NC，又∵ DC=3，DN=2，∴ AB=DN， AB∥DN，∴四边形 ABND为平行四边形，则BN∥AD．∵PD⊥平面 ABCD， DC? 平面 ABCD，∴ PD⊥DC．又 MN⊥DC，∴ PD∥MN．又∵ BN? 平面 MBN， MN? 平面 MBN，BN∩ MN=N；∵AD? 平面 PAD，PD? 平面 PAD，AD∩PD=D；∴平面 MBN∥平面 PAD．∵BM? 平面 MBN，∴ BM∥平面 PAD；（ 2）解：过 B 作 AD 的垂线，垂足为E．∵PD⊥平面 ABCD， BE? 平面 ABCD，∴ PD⊥ BE．又∵ AD? 平面 PAD，PD? 平面 PAD，AD∩PD=D．∴BE⊥平面 PAD．由（ 1）知， BM∥平面 PAD，∴ M 到平面 PAD的距离等于 B 到平面 PAD的距离，即 BE．在△ ABC中， AB=AD=2，，∴．∴．20．（ 12分）已知椭圆的左、右焦点分别为1、F2，点F在椭圆上，且有．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F2的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，求△ AOB面积的最大值．【解答】解：（1）由，得，∴．将代入，得 b2=1．∴椭圆 C 的方程为；（2）由已知，直线 l 的斜率为零时，不合题意；设直线方程为 x﹣1=my，点 A（x1， y1）， B（ x2，y2），联立，得（ m2+2） y2+2my﹣1=0，由韦达定理，得，∴=====，当且仅当，即 m=0 时，等号建立．∴△ AOB面积的最大值为．21．（ 12 分）已知函数 f （x）=（x+1）2﹣3alnx，a∈R．（1）求函数 f（ x）图象经过的定点坐标；（2）当 a=1 时，求曲线 f（x）在点（ 1，f（1））处的切线方程及函数 f（x）单调区间；（3）若对任意 x∈[ 1， e] ，f （x）≤ 4 恒建立，求实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）当 x=1 时， ln1=0，因此 f （1）=4，因此函数 f（ x）的图象无论 a 为何值都经过定点（ 1，4）．（ 2）当 a=1 时， f（ x）=（x+1）2﹣3lnx．f（1）=4，，f'（1）=1，则切线方程为 y﹣4=1×（ x﹣1），即 y=x+3．在 x∈（ 0，+∞）时，若是，即时，函数 f（x）单调递加；若是，即时，函数 f（ x）单调递减．（ 3），x＞0．当 a≤0 时， f'（x）＞ 0， f（x）在 [ 1，e] 上单调递加． f（ x）min=f（1）=4，f（x）≤ 4 不恒建立．当 a＞0 时，设 g（x）=2x2+2x﹣3a，x＞0．∵ g（ x）的对称轴为，g（0）=﹣3a＜0，∴ g（ x）在（ 0，+∞）上单调递加，且存在唯一 x0∈（ 0， +∞），使得 g（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）在（0，x0）上单调递减；∴当 x∈（x0， +∞）时， g（x）＞ 0，即 f'（x）＞ 0，f （x）在（ x0，+∞）上单调递加．∴f（x）在 [ 1，e] 上的最大值 f （x）max=max{ f（ 1），f （e）} ．∴解得，得（ e+1）2﹣3a≤ 4，．请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1的参数方程为（t为参数），曲线 C2的直角坐标方程为 x2+（y﹣ 2）2．以直角坐标原点O 为极点，=4x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ =α，（0＜α＜π）（1）求曲线 C1、C2的极坐标方程；（2）设点 A、 B 为射线 l 与曲线 C1、C2除原点之外的交点，求 | AB| 的最大值．【解答】解（ 1）由曲线 C1的参数方程（t为参数）消去参数t 得 x2+（y﹣ 1）2=1，即 x2+y2﹣2y=0，∴曲线 C1的极坐标方程为ρ=2sin．θ由曲线 C2的直角坐标方程 x2+（y﹣2）2 =4，得 x2+y2﹣4y=0，（ 2）联立，得 A（2sin α，α），∴ | OA| =2sin α，联立，得 B（ 4sin α，α），∴ | OB| =4sin α．∴| AB| =| OB| ﹣| OA| =2sin α．∵ 0＜α＜π，∴当时，| AB|有最大值2．[ 选修4-5：不等式选讲 ]23．已知函数 f （x）=| x﹣a|+ 3x，其中 a∈ R．（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）≥ 3x+| 2x+1| 的解集；（2）若不等式 f （x）≤ 0 的解集为 { x| x≤﹣ 1} ，求 a 的值．【解答】解：（1）a=1 时， f（x）=| x﹣1|+ 3x由 f（ x）≥ | 2x+1|+ 3x，得 | x﹣ 1| ﹣| 2x+1| ≥0，故 | x﹣1| ≥ | 2x+1| ，解得：﹣ 2≤x≤0，∴不等式的解集为 { x| ﹣2≤x≤ 0} ．（ 2）由 | x﹣a|+ 3x≤0，可得，或．即，或．①当 a＞0 时，不等式的解集为．由，得 a=2．②当 a=0 时，解集为 { 0} ，不合题意．③当 a＜0 时，不等式的解集为．由，得 a=﹣4．综上， a=2，或 a=﹣ 4．。
辽宁省沈阳市郊联体2020届高三数学第一次模拟考试试题 理(含解析)
辽宁省沈阳市郊联体2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．2.若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A. 3B.C.D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3.根据图给出的2000年至2020年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B. 2020年以来我国实际利用外资规模逐年增加C. 2020年我国实际利用外资同比增速最大D. 2020年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2020年比2020年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2020年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2020年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题．4.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅【答案】D【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5.函数f（x）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【详解】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题．7.设，是非零向量，则“”是“2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，则（）A. 曲线y＝f（x）+g（x）不是轴对称图形B. 曲线y＝f（x）﹣g（x）是中心对称图形C. 函数y＝f（x）g（x）是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．10.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为（）A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cos A，则sin A．在△ABC中，由正弦定理得2r，r，△ABC外接圆的半径，．故选：C．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B. （0，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本大题共4个小题。
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第1题5分已知集M={x|(x−2)2<4,x∈R}，N={−1,0,1,2,3}，则M∩N=（）．A. {0,1,2}B. {1,2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2,3}2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第2题5分若复数z满足(1−√3i)z=|√3+i|，则z的虚部为（）．A. √32B. √3C. −√32D. −√33、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第3题5分，则f(0)+f(1)=（）．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2+2xA. −2B. 0C. 1D. 24、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第4题5分)，则下列结论错误的是（）．设函数f(x)=cos(2x−π3A. f(x)的一个周期为−πB. y=f(x)的图像关于直线x=2π对称3C. f (x +π2)的一个零点为x =−π3D. f (x )在区间[π3,π2]上单调递减5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第5题5分2019~2020学年山西太原晋源区山西大学美术学院附属中学高一月考2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高三下学期期中2017~2018学年安徽合肥庐阳区合肥市第一中学高一下学期期中2018年高考真题天津卷文科已知a =log 372，b =(14)13，c =log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a >b >c B. b >a >c C. c >b >a D. c >a >b6、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第6题5分已知a 、b 、c ∈R ，则“b 2−4ac <0”是“函数f (x )=ax 2+bx +c 的图象恒在x 轴上方”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件7、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第7题5分已知函数f(x)=x 3+x +1+sinx ，若f(a −1)+f(2a 2)⩽2，则实数a 的取值范围是 （ ）．A. [−1,32]B. [−32,1]C. [−1,12]D. [−12,1]8、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第8题5分2017~2018学年10月山东济南历城区济南外国语学校高三上学期月考文科第8题5分2cos10°−sin20°sin70°的值是（）．A. 12B. √32C. √2D. √39、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第9题5分2020~2021学年宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三下学期开学考试理科第8题5分2019~2020学年12月北京西城区北京师范大学附属实验中学高三上学期月考第10题4分若a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，则1m +1n的取值范围是（）．A. (72,+∞)B. [1,+∞)C. (4,+∞)D. (92,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第10题5分2018~2019学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高三上学期期中理科第6题5分2018~2019学年重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三月考在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sinα−cosα= 2√33，则sin(α−β)=()A. 13B. −13C. −16D. 2√2311、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第11题5分2010年高考真题江西卷文科第11题5分四位同学在同一个平面直角坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y=sin2x，y=sin(x+π6)，y=sin(x−π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）．A.B.C.D.12、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第12题5分在△ABC中，a2+b2+c2=2√3absinC，则△ABC的形状是（）．A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第13题5分在△ABC中，a=3，b=2，A=30°，则cosB=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第14题5分2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末2017~2018学年云南玉溪峨山彝族自治县峨山彝族自治县第一中学高一上学期期末已知sinα+2cosα=0，则2sinαcosα−cos2α的值是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第15题5分已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)=1e ，对任意实数x都有f(x)−f′(x)>0，设F(x)=f(x)e x，则F(x)>1e2的解集为．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第16题5分设α∈(0,π2)，若cos(α+π6)=45，则sin(2α+π12)的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第17题已知学校高三年级有学生1000名．经调查研究，其中750名同学经常参加体有最炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学）．现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级学生中共抽查100名同学，测得这100名同学的身高（单位：cm）频率分布直方图如图：(1) 以同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160,170)的中点值为165）作为代表，计算这100名学生身高数据的平均值．(2) 如果以身高不低于170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生．得到以下列联表：完成上表，并判断是否有75%的把握认为体育锻炼与身高达标有关系（K2值精确到0.01）？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第18题如图所示，函数y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0⩽θ⩽π2)的图象与y轴交于点(0,√3)，且该函数的最小正周期为π．(1) 求θ和ω的值．(2) 已知点A(π2,0)，点P是该函数图象上的一点，点Q(x0,y0)是PA的中点，当y0=√32，x0∈[π2,π]时，求x0的值．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第19题在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a2c=b(a2+c2−b2)（其中b≠c）．(1) 求证：A=2B．(2) 若f(x)=sinx+cosx，求f(B)的取值范围．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第20题已知函数f(x)=lnx−a2x（a为常数）．(1) 讨论函数f(x)的单调性．(2) 设函数g(x)=xf(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第21题已知函数f(x)=(x+a−1)e x，g(x)=12x2+ax，其中a为常数．(1) 当a=2时，求函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 若对任意的x∈[0,+∞)不等式f(x)⩾g(x)恒成立，求实数a的取值范围．选做题：（本大题共2小题，选做1小题）[选修4-4：坐标系与参数方程]22、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第22题2017年辽宁沈阳高三三模文科第22题2019~2020学年5月陕西延安宝塔区陕西延安中学高三下学期月考理科第22题10分2017年辽宁沈阳高三三模理科第22题已知曲线C的参数方程为{x=2cosθy=√3sinθ（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换{x′=12xy′=√3得到曲线C′，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1) 求曲线C′的极坐标方程．(2) 若过点A(32,π)（极坐标）且倾斜角为π6的直线l与曲线C′交于M，N两点，弦MN的中点为P，求|AP||AM|⋅|AN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模文科第23题设函数f(x)=|x+1|+|x−4|−a．(1) 当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2) 若f(x)⩾4a+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 D;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 B;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】2√23;14 、【答案】 -1;15 、【答案】(−∞,1);16 、【答案】17√250;17 、【答案】 (1) 170cm．;(2) 有．;18 、【答案】 (1) 见解析;(2) 见解析;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 1<f(B)<√2．;20 、【答案】 (1) 若a⩽0，函数在(0,+∞)上单调递增；若a>0，函数在(0,2a )上单调递增，在(2a,+∞)上单调递减．;(2) (0,1)．;21 、【答案】 (1) 2x−y+1=0．;(2) [1,+∞)．;22 、【答案】 (1) C′:ρ=1．;(2) |AP||AM|⋅|AN|=3√35．;23 、【答案】 (1) f(x)min=4．;(2) a的取值范围为(−∞,0)∪{2}．;。
2020年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g （x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2020年7月29日第21页（共21页）。
辽宁省沈阳市2020届高三数学教学质量监测试题(一)文(含解析)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集•「一「；；,集合也-』.用，：：-门.七，则如图所示阴影区域表示的集合为（）
A.B.
C.廉同D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出■，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果.
【详解】全集--Pi:3,5,囲,集合—〕；，［拥
真假，原命题与逆否命题等价•
7.曲线的方程为，则曲线的离心率为（）
5
B.-
C.込
D.凹
4
1
7
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得•的值，再由（_亠炉求得•，则曲线*的离心率可求.
I22
【详解】因为曲线c的方程为〔丄 =1,
|169
所以护三id，於二9,
则r-
—；7,「「：，
双曲线的离心率e=~=\，故选A.
“”、“，”三个字母组成并且“側”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述
三个字母，那么他拼写正确的概率为（
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意列举出满足题意字母组合，即可求出结果•
【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是.疣耳，，，‘，拼写正确的组合只有
种弩:匸：r，所以概率为-
故选B.
【答案】C
6. 已知，是空间中的两条不同的直线, 的是()•
A.若曲:：姿，疔亿则陷岡.
B•若’,，则，.
C.若■:门I门，忖：：:詞，则：二」：；.
D.若悄―罠，，，则戸吏.
【答案】D
【解析】
【分析】 由直线计还可以在平面k内判断由直线胡还可以在平面'内判断：；由直线习还可以在平面k内，可以与平面k：斜交，或者与平面h平行判断〔；根据面面垂直的判定定理判断|冷
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模理科数学试卷-学生用卷
2020年辽宁沈阳浑南区沈阳东北育才学校高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第1题5分2020~2021学年10月天津河西区天津市第四中学高一上学期月考第6题4分2019~2020学年甘肃兰州城关区甘肃省兰州第一中学高二下学期期末第1题5分2019~2020学年10月福建厦门思明区福建省厦门双十中学高三上学期月考第1题5分2017~2018学年11月河北邯郸临漳县临漳县第一中学高三上学期月考文科第1题5分若集合A={x|x⩾0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）．A. {1,2}B. {x|x⩽1}C. {−1,0,1}D. R2、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第2题5分2015年山东高三一模复数z=|(√3−i)i|+i5 (i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为()A. 2−iB. 2+iC. 4−iD. 4+i3、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第3题5分2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科2017~2018学年河北邯郸邯山区河北省邯郸市第二中学高二上学期期中2017~2018学年辽宁沈阳皇姑区辽宁省实验中学高二上学期期末文科2017~2018学年辽宁高二上学期期末文科下列函数中，最小值为4的是()A. y=log3x+4log x3B. y=e x+4e−xC. y=sinx+4sin x(0<x<π)D. y=x+4x4、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第4题5分“cos2α=−√32”是“α=kπ+5π12，k∈Z”的（）．A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件5、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第5题5分设n=∫π20(5sinx+cosx)dx，则(x−1x)n的展开式中的常数项为（）．A. 20B. −20C. 120D. −1206、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第6题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考理科第2题5分2020~2021学年12月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二上学期月考理科第4题3分2017年江西鹰潭高三一模文科第5题5分2020~2021学年11月宁夏银川兴庆区宁夏回族自治区银川一中高三上学期月考文科第2题5分下列命题中错误的是（）．A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(¬q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题“若x2−x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2−x=0，则x≠0且x≠1”D. 命题p:∃x>0，sinx>2x−1，则¬p为∀x>0，sinx⩽2x−17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第7题5分已知函数f (x )=√1−x +√x +3的最大值为M ,最小值为m ,则m M 的值为( )A. √22B. √32C. 12D. √538、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第8题5分2018年河南开封高三一模文科第10题5分函数y =xln |x |的图象大致是( )．A.B.C.D.9、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第9题5分函数y =f (x )为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则y =f (2−x 2)的一个单调递增区间为（ ）．A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. [0,√2]D. [√2,+∞)10、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第10题5分2018~2019学年辽宁沈阳浑南区东北育才高中（本部）高一上学期期中第10题5分函数f (x )=e x +e −x e x −e −x ，若a =f (−12)，b =f (ln 2)，c =f (ln 13)，则有（ ）．A. c >b >aB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a11、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第11题5分若矩阵(a 1b 1a 2b 2a 3b 3a 4b 4)满足下列件列：①每行中的四个数均为集合{1,2,3,4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件矩阵的个数为（ ）．A. 48B. 72C. 144D. 26412、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第12题5分已知函数f(x)={|ln x |,x >0x +2,x ⩽0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1f(x 2)的取值范围是（ ）．A. [−2,0]B. [−1,0]C. [−23,0]D. [−12,0]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第13题5分求值：0.064−13−(−59)+[(−2)3]−43+16−0.75+0.0112=．14、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第14题5分甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4×100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒：丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒．老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是．15、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第15题5分2019~2020学年高一上学期期中已知函数f(x)满足f(−1+x)=f(1+x)，且f(1+x)=f(1−x)，(x∈R)，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，若曲线y=f(x)与直线y=k(x−1)有5个交点，则实数k的取值范围是．16、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第16题5分已知函数f(x)=x3−2ex2，g(x)=lnx−ax（a∈R），若f(x)⩾g(x)对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第17题设p ：实数a 满足不等式(13)a−3⩾1，q ：函数f(x)=19x 3+3−a 2x 2+3x 无极值点．(1) 若¬p ∧q 为假命题，¬p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围．(2) 若p ∧q 为真命题，并记为r ，且t:a >m +12或a <m ，若t 是¬r 的必要不充分条件，求m 的取值范围．18、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第18题已知函数f(x)=a x −a −x (a >0且a ≠0)，它的反函数图象过点(154,2). (1) 求实数a 的值．(2) 若2m 2+1)2t f(2t)+15mf(t)⩾0，对于∀t ∈[1,3]恒成立，求m 实数取值范围．19、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第19题已知向量a →=(sinx,−√3)，b →=(1,cosx )，且函数f (x )=a →⋅b →．(1) 若a →⊥b →，求tan2x 的值．(2) 在△ABC 中，AC =2且f (B )=0，求△ABC 面积的最大值．20、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第20题已知函数f(x)=ln x x −x ．(1) 求函数f (x )的单调区间．(2) 设0<t <1，求f(x)在区间[t,1t ]上的最小值．21、【来源】 2020年辽宁沈阳浑南区东北育才学校高三一模理科第21题已知函数f (x )=−ae x +x +a ．(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若函数f (x )恰好有2个零点，求实数a 的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。
2019年10月辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三上学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2019年10月第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =( )A. {0,1,2}B. {}1,2,3C. {1,0,1,2}-D. {1,0,2,3}- 【答案】B【解析】【分析】对集合M 进行化简，根据交集运算，得到答案.【详解】集合{}2|(2)4,M x x x R =-<∈， 解不等式()224x -<得04x << 即集合{}04M x x =<<，而集合{}1,0,1,2,3N =-所以{}1,2,3M N =故选B 项.【点睛】本题考查解不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.若复数z 满足(1)z i =，则z 的虚部为( )C. D.【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简计算，得到其标准形式，然后得到答案.【详解】()12z i -===12z ==+所以复数z 的虚部为2， 故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.3.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，22()f x x x=+，则(0)(1)f f +=( )A. 2-B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】 根据奇函数的性质计算出()()11f f =--，由()00f =，再相加得到答案.【详解】因为()f x 是定义域为R奇函数，所以()00f = ()()()2211111f f ⎡⎤=--=--+=⎢⎥-⎣⎦， 所以(0)(1)1f f +=故选C 项.。
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三(上)第一次模拟数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）第一次模拟数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={x|x 2<36}，N ={2,4，6，8}，则M ∩N =( )A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6} 2. (文)已知复数z =6+8i ，则−|z|=( )A. −5B. −10C. 149 D. −169 3. 定义在R 的奇函数f(x)，当x <0时，f(x)=−x 2+x ，则f(2)等于( )A. 4B. 6C. −4D. −64. 设函数f(x)=sin(x +π4)，则下列结论错误的是( )A. f(x)的一个周期为−2πB. f(x)的图象关于直线x =π4对称C. f(x)的图象关于(−π4,0)对称D. f(x)在(0,π2)单调递增5. 已知a =212，b =313，c =ln 32，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a6. “b =0”是“函数f(x)=ax 2+bx +c 为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 若函数f(x)=2x −sinx ，则满足f(2x −1)>f(x +1)的实数x 的取值范围是( )A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (−2,1)D. (2,+∞)8. 已知tan(α+β)=−1，tan(α−β)=12，则sin2αsin2β的值为( )A. 13B. −13C. 3D. −39. 已知a >1，设函数f (x )=a x +x −4的零点为m ，g (x )=log a x +x −4的零点为n ，则m +n =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知角α，β的始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，则sin(α−β)=( )A. √6−√24B. −√6−√24C. −√6+√24D. √6+√2411. 函数y =cos (2x −3π2)是( )A. 最小正周期为π2的奇函数 B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数12. 在△ABC 中，若c 2=a 2+b 2+ab ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. △ABC 中，已知a =4，b =6，sinB =34，则∠A = ______ ． 14. 已知tanα=2，则sinαcosα+2cos 2α= ______ ．15. 已知f′(x)是定义在R 上的函数f(x)的导数，且满足f′(x)+2f(x)>0，f(−1)=0，则f(x)<0解集为______ ．16. 已知sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，则cos(2α−2β)=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在一项研究中，为尽快攻克某一课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40个数据作为样本，并规定试验数据落在[495,510)之内的数据作为理想数据，否则为不理想数据．试验情况如表所示(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表；(2)判断是否有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关；说明你的理由；(下面的临界值表供参考)(参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n =a +b +c +d)18.如图，函数f(x)=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0,0≤θ≤π2)的图象与y轴相交于点(0,√3)，且该函数相邻两零点距离为π2．(Ⅰ)求θ和ω的值；(Ⅱ)若f(12x−π12)=85，x∈(0,π)，求sinx+sin2x1+cosx+cos2x值．19.在△ABC中，已知cosC+cosAcosB−√3sinAcosB=0(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若a+c=1，求b的取值范围．20.已知函数f(x)=lnx+2x −ae xx2(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，求实数a 的取值范围．21. 已知函数f(x)=lnx +ax 2−2ax(a ∈R)．(1)当a =1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)令g(x)=f(x)−12x 2，若x ∈(1,+∞)时，g(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知倾斜角为135°且过点P(1,2)的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|x+2|．(1)解不等式2f(x)<4−|x−1|；(2)已知m+n=1(m>0,n>0)，若关于x的不等式|x−a|−f(x)⩽1m +1n恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：【分析】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．直接利用复数的求模公式求解即可．【解答】解：复数z=6+8i，则−|z|=−√62+82=−10．故选B．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键，属较易题．根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵定义在R的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)=−x2+x，∴f(2)=−f(−2)=−[−(−2)2−2]=6，故选：B．4.答案：D解析：【分析】本题考查正弦函数的图像和性质，属于基础题．根据正弦函数的性质判断各选项即可．【解答】解：函数f(x)=sin(x+π4)，根据正弦函数的性质f(x)的周期为，k∈Z，令k=−1，则，∴A正确．当x=π4时，可得函数f(x)=sinπ2=1，∴f(x)的图象关于直线x=π4对称，∴B正确．当x=−π4时，可得函数f(x)=sin0=0，∴f(x)的图象关于(−π4,0)对称，∴C正确．当时，，此时函数f(x)不是单调函数，∴f(x)在(0,π2)单调递增不对．故选D．5.答案：C解析：【分析】本题考查比较大小，考查推理能力和计算能力，属于基础题．利用指数函数和对数函数的性质即可比较．【解答】解：因为a=212>20=1，b=313>30=1，且(212)6=8<9=(313)6，所以b>a，又，所以b>a>c，故选C．6.答案：C解析：解：由题意，得二次函数的图象关于y轴对称，则对称轴为x=−b2a=0，则b=0，故选C．通过“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数，”根据二次函数的对称性，得其对称轴是y轴，从而求得b.即可判断充要条件．本题考查函数的奇偶性，注意二次函数的对称轴是解题的关键．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的单调性，导数的知识，解答本题的关键是知道f′(x)=2−cosx>0，f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，x>2．【解答】解：f(x)=2x−sinx，f′(x)=2−cosx>0，∴f(x)是增函数，由f(2x−1)>f(x+1)得2x−1>x+1，∴x>2，∴实数x的取值范围是(2,+∞)，故选D．8.答案：A解析：【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角函数公式，由sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]化简即可得出结果．【解答】解：sin2αsin2β=sin[(α+β)+(α−β)]sin[(α+β)−(α−β)]=sin(α+β)cos(α−β)+cos(α+β)sin(α−β)sin(α+β)cos(α−β)−cos(α+β)sin(α−β)=tan(α+β)+tan(α−β) tan(α+β)−tan(α−β)=13．故选A．9.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的零点和方程的根的关系，函数与反函数图象间的关系，属于中档题．由题意可得，函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n.再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4．【解答】解：∵a>1，设函数f(x)=a x+x−4的零点为m，g(x)=log a x+x−4的零点为n，∴函数y=a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为m，函数y=log a x的图象和直线y=4−x的交点的横坐标为n，再根据函数y=a x和y=log a x互为反函数，可得点(m,4−m)与点(n,4−n)关于直线y=x对称，∴m+n2=4−m+4−n2，可得m+n=4，故m+n的值为4，故选C．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了三角函数中两角和与差的三角函数公式，属于基础题．由A(12,√32)和B(−√22,√22)，求出sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，进而求得答案．【解答】解：∵角α，β的始边与x轴的非负半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A(12,√32)和B(−√22,√22)，∴sin(α)=√32,cos(α)=12,sin(β)=√22,cos(β)=−√22，∴sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)=√32×(−√22)−12×√22=−√6+√24．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题主要考查了诱导公式和函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质.属于简单题．【解答】解：∵cos(2x−3π2)=−sin2x，∴函数是最小正周期为π的奇函数，选C项．故选C．12.答案：D解析：解：∵c2=a2+b2+ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，∴C=2π3为钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选：D．由c2=a2+b2+ab，利用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，即可得出．本题考查了利用余弦定理判定三角形的形状，属于基础题．13.答案：π6解析：解：∵由正弦定理可得：sinA=asinBb =4×346=12，∵a=4<b=6，∴由三角形中大边对大角可知A为锐角，∴可解得：A=π6．故答案为：π6．由正弦定理可得：sinA=asinBb =12，由三角形中大边对大角可知A为锐角，从而可解得A=π6．本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．14.答案：45解析：解：∵tanα=2，则sinαcosα+2cos2α=sinαcosα+2cos2αsinα+cosα=tanα+2tan2α+1=45，故答案为：45．由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinαcosα+2cos2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．15.答案：(−∞,−1)解析：解：设g(x)=e 2x f(x)，∴g′(x)=2e 2x f(x)+e 2x f′(x)=e 2x (f′(x)+2f(x))>0， ∴g(x)在R 上为增函数， ∵f(x)<0=f(−1) ∴g(x)<g(−1)∴x <−1，即f(x)<0解集为(−∞,−1)， 故答案为(−∞,−1)．设g(x)=e 2x f(x)，求导，判断出g(x)在R 上为增函数，利用单调性即可求出不等式的解集． 本题考查了导数的应用，关键是构造函数，利用导数判断函数的单调性，属于中档题．16.答案：−732解析： 【分析】本题主要考查了两角差的余弦公式和二倍角公式，是基础题．根据题意，两等式平方相加，可得cos(α−β)的值，再根据二倍角公式计算cos(2α−2β)的值． 【解答】解：sinα+sinβ=12，cosα+cosβ=−√22，∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=14， cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=12， ∴2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=34， ∴cosαcosβ+sinαsinβ=−58，∴cos(α−β)=−58，∴cos(2α−2β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−58)2−1=−732． 故答案为−732．17.答案：解：(I)根据以上统计数据完成2×2列联表，如下；k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=80×(120−360)266×14×40×40≈3.117>2.706，所以有90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关．解析：(I)根据题意填写列联表；(II)由表中数据计算K 2的值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题，是基础题． 18.答案：解：(1)由题意可得T =2πω=2×π2，∴ω=2.将x =0，y =√3代入函数f(x)=2cos(2x +θ)得cosθ=√32，因为0≤θ≤π2，所以θ=π6，∴f(x)=2cos(2x +π6). (2)∵sinx+sin2x1+cosx+cos2x =sinx(1+2cosx)cosx+2cos x=tanx ，又f(12x −π12)=85，由(1)可知2cos[2(x2−π12)+π6]=2cosx =85⇒cosx =45， 又x ∈(0,π)，∴x ∈(0,π2)，∴tanx =34，即sinx+sin2x1+cosx+cos2x =34．解析：(1)由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．(2)利用三角恒等变换可得要求的式子为tan x ，由条件求得cos x 的值，结合x 的范围，求得tan x 的值． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，三角函数的恒等变换，属于基础题．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图 求出φ的值，属于基础题．19.答案：解：(Ⅰ)由已知得cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，即cosAcosB +cos[π−(A +B)]=√3sinAcosB ． cosAcosB −cos(A +B)=√3sinAcosB ．所以sinAsinB =√3sinAcosB ，两边除以sin A cos B ，得，tanB =√3， ∴B =π3，(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =1−3ac ． ∵a +c =1≥2√ac ， ∴ac ≤14．∴b 2=1−3ac ≥14，即b ≥12．再由b <a +c =1，可得 12≤b <1，故边b 的取值范围是[12,1)．解析：(Ⅰ)利用两角和的余弦公式，将cosAcosB +cosC =√3sinAcosB ，变形为sinAsinB =√3sinAcosB ，即可求B ．(Ⅱ)由余弦定理可得b 2=1−3ac ，利用基本不等式求出b ≥12，再由b <a +c =1，求出边b 的取值范围．本题考查三角函数公式，余弦定理、基本不等式的综合灵活应用，考查转化变形、计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)因为a=0，所以f(x)=lnx+2x，所以f′(x)=1x −2x2，令f′(x)=0得x=2，列表如下：因此，当x=2时，f(x)有极小值f(2)=ln2+1，无极大值．(2)因为f′(x)=1x −2x2−ae x(x−2)x3=(x−ae x)(x−2)x3，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x)=1−ae x且a>0，令g′(x)=0，则x=−lna，①当−lna≤0，即a≥1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0,2)上单调递减，至多与x轴有一个交点，不满足题意；②当−lna≥2，即0<a≤1e2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，至多与x轴有一个交点，不满足题意；③当0<−lna<2，即1e2<a<1时，g(x)在(0,−lna)上单调递增，在(−lna,2)上单调递减；由g(0)=−a<0，要使g(x)在区间(0,2)内有两个零点，必须满足{g(x)max=g(−lna)=−lna−1>0, g(2)=2−ae2<0,解得2e2<a<1e．综上所述，实数a的取值范围是(2e2,1e )．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值、不等式恒成立问题，属于难题．(1)求出导数，利用f′(x)=0，求出x的值，列出表格即可求出结果；(2)求出导数，由0<x<2，得x−2x3<0，记g(x)=x−ae x,x∈(0,2)，因为f(x)在区间(0,2)内有两个极值点，所以g(x)在区间(0,2)内有两个零点，所以g′(x )=1−ae x 且a >0，g′(x )=0，则x =−lna ，分类讨论①当−lna ≤0，②当−lna ≥2，③当0<−lna <2，，即可求出结果．21.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=lnx +x 2−2x ，∴f′(x)=1x +2x −2，∴f′(1)=1+2−2=1，又f(1)=1−2=−1， ∴函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x −y −2=0． (2)∵g(x)=f(x)−12x 2=lnx +ax 2−2ax −12x 2， ∴g′(x)=1x +2ax −2a −x =2a(x −1)+(1−x)(1+x)x=(x−1)[(2a−1)x−1]x．①当a ≤12时，2a −1≤0，x ∈(1,+∞)时，恒有g′(x)<0， ∴函数g(x)在区间(1,+∞)上是减函数，∵g(x)≤0在x ∈(1,+∞)上恒成立，只需满足g(1)=−a −12≤0， 解得a ≥−12，∴−12≤a ≤12．②当12<a <1时，x ∈(12a−1,+∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(12a−1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(12a−1),+∞)，不合题意，③当a ≥1时，同理可知，g(x)在(1,+∞)上是增函数， ∴g(x)∈(g(1),+∞)，不合题意， 综上可知：a ∈[−12,12]．解析：(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最值，确定a 的范围即可．本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =3cosϕy =3+3sinϕ(φ为参数)，消去参数得曲线C 的普通方程为x 2+(y −3)2=9，即x 2+y 2−6y =0， 即x 2+y 2=6y ，即ρ2=6ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ=6sinθ． (Ⅱ)设直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，化简可得t 2−2√2t −7=0，显然△>0；设M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2，故{t 1+t 2=2√2t 1t 2=−7，∴1|PM|+1|PN|=|PM|+|PN||PM|⋅|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=67．解析：(Ⅰ)曲线C 的参数方程化为普通方程x 2+y 2−6y =0，由此能求出曲线C 的极坐标方程． (Ⅱ)直线l ：{x =1−√22ty =2+√22t (t 为参数)，将此参数方程代入x 2+y 2−6y =0中，得t 2−2√2t −7=0，由此能求出1|PM|+1|PN|的值．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段长的倒数和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．23.答案：解：(1)不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，即{x ⩽−2−2(x +2)−x +1<4或{−2<x <12(x +2)−x +1<4或{x ⩾12(x +2)+x −1<4, 解得−73<x ⩽−2或−2<x <−1或x ∈⌀， 所以不等式的解集为{x|−73<x <−1}；(2)因为|x −a|−f(x)=|x −a|−|x +2| ⩽|x −a −x −2|=|a +2|， 所以|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|， 又m +n =1(m >0,n >0)， 于是(1m +1n )(m +n)=nm +m n +2⩾2+2=4，当且仅当nm =mn ，即m =n =12时等号成立， 故1m +1n 的最小值为4，要使|x −a|−f(x)⩽1m +1n 恒成立， 则|a +2|⩽4，解得−6⩽a ⩽2， 故实数a 的取值范围是[−6,2]．解析：本题考查了不等式的恒成立问题，绝对值不等式求解，利用基本不等式求最值，属于中档题． (1)由已知不等式2f(x)<4−|x −1|等价于2|x +2|+|x −1|<4，分三种情况即可解出不等式的解集；(2)由已知得到|x −a|−f(x)的最大值是|a +2|，利用基本不等式求出1m +1n 的最小值，得到|a +2|⩽4，即可求出实数a 的取值范围．。
2020年3月辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三毕业班第六次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三毕业班第六次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)2020年3月一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i=（ ）A. 12i -B. 12i +C. 12i -+D. 12i -- 【答案】B【解析】【分析】 由已知求得z ，代入z i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+， 则22(2)()12z i i i i i i i-+-+-===+-． 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.已知集合(){},|20A x y x y =+=，(){},|10B x y x my =++=.若A B =∅，则实数m =（ ）A. 2-B. 12-C. 12D. 2【答案】C【解析】【分析】根据集合,A B 元素所表示的意义，以及集合,A B 关系，即可求解.【详解】因为A B =∅，所以直线20x y +=与直线10x my ++=平行，所以12m =. 故选:C .【点睛】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，属于基础题.3.在等比数列{}n a 中，已知36a =，35778a a a -+=，则5a =（ ）A. 12B. 18C. 24D. 36【答案】C【解析】【分析】根据题意，设{}n a 公比为q ，由等比数列的通项公式可得2466678q q -+=，解可得2q 的值，计算可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ，已知36a =，35778a a a -+=，则2466678q q -+=，解可得24q =或23q =-，舍；故25624a q ==， 故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．4.某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ）。
2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2020届高三年级上学期第一次高考模拟考试数学(理)试题(解析版)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R 【答案】A【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A考点：集合的交集．2.复数5(3)z i i i =+（i 为虚数单位）,则复数z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2i +C. 4i -D. 4i +【答案】A【解析】 试题分析：5(3)2z i i i i =-=-,所以复数z 的共轭复数为2i +,故选B. 考点：复数的运算与相关概念.3.下列函数中,最小值为4的是（ ）A. 3log 4log 3x y x =+B. 4x x y e e -=+C. 4sin sin y x x =+（0πx <<）D. 4y x x =+【答案】B【解析】【分析】对于A 可以直接利用基本不等式求解即可；对于B 根据基本不等式成立的条件满足时,运用基本不等式即可求出最小值; 对于C 最小值取4时sinx=2,这不可能；对于D,取特殊值x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4.【详解】A y=log 3x+4log x 3,当log 3x ＞0,log x 3＞0,∴y=log 3x+4log x 3≥4,此时x=9,当log 3x ＜0,log x 3＜0故不正确；B y=e x +4e ﹣x≥4,当且仅当x=ln2时等号成立．正确. 4 sin sin C y x x =+（0x π<<）,y=4 sin sin y x x =+≥4,此时sinx=2,这不可能,故不正确； ④4y x x=+,当x=﹣1时,y=﹣5显然最小值不是4,故不正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求函数的值域,解题的关键是最值能否取到,属于中档题．在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.4.“cos 2α=”是“5,12k k Z παπ=+∈”的( ) A. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 【答案】A【解析】【分析】由cos 22α=-,可得5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,利用充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】因为cos 2α=,所以5522,,612k k k z ππαπαπ=±=±∈,即cos 2α=不能推出5,12k k Z παπ=+∈,。
2020届沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)(有答案)(已审阅)
辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0 ⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…。
2020年沈阳市大东区高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．13．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．234．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.159．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1] 10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．111．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．15．若，则=．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．2020年辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}，则M∩（∁R N）=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合M，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2＞0}={x|x＞2或x＜1}，∴∁R N={x|1≤x≤2}，M∩（∁R N）={1，2}，故选：D．2．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】根据复数的运算法则，我们易将化为m+ni（m，n∈R）的形式，再根据|m+ni|=，我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．【解答】解：∵=1﹣ai∴||=|1﹣ai|==2即a2=3由a为正实数解得a=故选B3．已知向量，，则3|=（）A．83 B．63 C．57 D．23【考点】平面向量数量积的运算．【分析】直接利用数量积的坐标运算得答案．【解答】解：∵，，∴，，∴．故选：A．4．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a1=2a8﹣3a4，则=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】根据a1=2a8﹣3a4，求出等差数列的首项与公差的关系，再利用等差数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：设等差数列的公差为d，则∵a1=2a8﹣3a4，∴a1=2（a1+7d）﹣3（a1+3d），∴a1=，∴===．故选A．5．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为（）A．a1+x0（a3+x0（a0+a2x0））的值B．a3+x0（a2+x0（a1+a0x0））的值C．a0+x0（a1+x0（a2+a3x0））的值D．a2+x0（a0+x0（a3+a1x0））的值【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解．【解答】解：由秦九韶算法，S=a0+x0（a1+x0（a2+a3x0）），故选：C．6．如图（1），将水平放置且边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使C到C′位置．折叠后三棱锥C′﹣ABD的俯视图如图（2）所示，那么其主视图是（）A．等边三角形B．直角三角形C．两腰长都为的等腰三角形D．两腰长都为的等腰三角形【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三棱锥的俯视图确定三棱锥的主视图，根据主视图的结构计算腰长即可．【解答】解：由俯视图可知，平面C′BD⊥平面ABD，则其主视图如图所示，则为等腰三角形．其腰长为=，故选：C．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的取值范围是（）A．[﹣11，3）B．[﹣11，3]C．（﹣11，3）D．（﹣11，3]【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣4y的取值范围．【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：z=3x﹣4y，直线x﹣y+2=0与x+y﹣8=0交于点A（3，5），直线x+y﹣8=0与x﹣5y+10=0交于点B（5，3），分析可知z在点A处取得最小值，z min=﹣11，z在点B处取得最大值，z max=15﹣12=3，∴﹣11≤z＜3，故选：A．8．已知x、y取值如表：x 0 1 4 5 6 8y 1 3 5 6 7 8从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且=bx+0.6，则b=（）A．0.95 B．1.00 C．1.10 D．1.15【考点】线性回归方程．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求解b．【解答】解：由题意知，，，从而代入回归方程有b=1.10，故选C．9．设函数f（x）=，若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）B．[﹣1，2] C．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）D．[﹣2，1]【考点】函数的值域．【分析】根据分段函数的表达式，判断函数的单调性进行求解即可．【解答】解：当x＞2时，函数f（x）=2x+a为增函数，则f（x）＞f（2）=4+a，当x≤2时，函数f（x）=log（﹣x）+a2为增函数，则f（x）≤f（2）=log（﹣2）+a2=log+a2=2+a2，要使函数f（x）的值域为R，则4+a≤2+a2，即a2﹣a﹣2≥0，则a≥2或a≤﹣1，故选：A．10．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）A．B．C．D．1【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出正四棱柱的底面边长．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=4≥2ah，∴ah≤，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤4，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=，a=1，故选：D．11．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【考点】函数单调性的性质．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．12．已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|F1P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F2P|=m+2a，|F1Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得c=a，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸中横线上．13．过原点向圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0引切线，则切线方程为或x=0．【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆的标准方程，求出圆心和半径，根据直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，则圆心为（1，2），半径R=1，若切线斜率k不存在，即x=0时，满足条件．若切线斜率k存在，则设切线方程为y=kx，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d==1，得|k﹣2|=，平方得k2﹣4k+4=1+k2，即k=，此时切线方程为，综上切线方程为：或x=0，故答案为：或x=0．14．已知在△ABC中，AC=AB=4，BC=6，若点M在△ABC的三边上移动，则线段AM的长度不小于的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的长度，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：若线段AM的长度不小于，则M在线段BE，BF，CG，CD上，其中AE=AE=，∵AH=，∴FH===1，则FG=2，三角形的周长l=4+4+6=14，则BE+BF+CG+CD=14﹣﹣﹣2=12﹣4，则线段AM的长度不小于的概率P==，故答案为：15．若，则=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，故答案为：．16．已知{a n}为各项为正数的等比数列，其中S5=3，S15=21，则S20=45．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，即可解出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵S5=3，S15=21，∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10，S20﹣S15，成等比数列，∴，=（S10﹣S5）（S20﹣S15），∴，解得S10=9，∴（21﹣9）2=（9﹣3）×（S20﹣21），解得S20=45．故答案为：45．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）f（x）=在区间上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理求出C的值即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，并将函数f（x）化简，结合x的范围，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（Ⅰ）由（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，得：a2+b2﹣c2=ab，∴，∴在△ABC中，；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴===，∵，∴，∴，∴，∴函数f（x）的值域为．18．某区教育局对区内高三年级学生身高情况进行调查，随机抽取某高中甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（Ⅱ）计算甲班的样本方差；（Ⅲ）现从乙班身高不低于173cm的同学中选取两人，求身高176cm的同学被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．（Ⅱ）由已知先求出平均数，由此能求出甲班的样本方差．（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．利用列举法能求出身高176cm的同学被抽中的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知：乙班平均身高较高．…（Ⅱ）cm …甲班的样本方差为：s2=+2+2+2+2]=57.2…（Ⅲ）身高不低于173cm的情况分别是173cm、176cm、178cm、178cm、181cm．取出两人的基本事件空间为：Ω={，，，，，，，，，}，共10种情况．…身高176cm同学被抽到的事件空间为：{，，，}，共4中情况．∴所求事件的概率为．…19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，G、F分别为EO、EB中点，且AB=CE．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：CG⊥平面BDE；（Ⅲ）若AB=1，求三棱锥F﹣ACE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，由三角形的中位线定理可得OF∥DE，然后利用线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由EC⊥底面ABCD，得EC⊥BD，再由BD⊥AC，由线面垂直的判定得BD⊥平面ACE，进一步得到CG⊥BD，在正方形ABCD中，由线段间的长度关系得到CG⊥EO，再由线面垂直的判定得答案；（Ⅲ）由AB=1，求得，进一步得到EC⊥底面ABCD，然后利用等积法求得三棱锥F﹣ACE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结OF，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则O为BD的中点，又∵F是EB中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF∥DE，∵DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，∴DE∥平面ACF；（Ⅱ）∵EC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴EC⊥BD，∵BD⊥AC，且AC∩CE=C，∴BD⊥平面ACE，∵CG⊂平面ACE，∴CG⊥BD，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，且，∴，在△OCE中，G是EO中点，∴CG⊥EO，∵EO∩BD=E，∴CG⊥平面BDE；解：（Ⅲ）∵AB=1，∴，∵F是EB中点，且EC⊥底面ABCD，∴．20．椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点，且F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（2，0）且斜率为k的直线l与椭圆C交于D、E两点，点F2为椭圆的右焦点，求证：直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0），由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（1，0），设直线l：y=k（x﹣2），与椭圆联立，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C的焦距为2c，则F2（c，0）且a2=b2+c2，由点P，且F2在线段PF1的中垂线上，得|PF2|=|F1F2|，则，解得c=1，…又∵，∴，所以b=1，∴所求椭圆C的方程为．…证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知F2（1，0），由题意可设直线l：y=k（x﹣2）与椭圆的交点D（x1，y1）、E（x2，y2）…由，得，整理得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，则，且，…==…∵2x1x2﹣3（x1+x2）+4==…∴，即直线DF2与直线EF2的斜率之和为定值0．…21．已知函数，g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（4，f（4））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥0恒成立，求实数a的取值的集合M；（Ⅲ）当a∈M时，讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（4）=e2，又f（4）=e2，则函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据a的取值对函数的单调性加以判断，当a=1时，g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，对任意x∈（0，+∞），不等式g （x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，从而求出实数a的取值的集合M；（Ⅲ）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴f'（4）=e2，又∵f（4）=e2，∴函数f（x）在点（4，f（4））的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣4），即y=e2x﹣3e2；…（Ⅱ）由g（1）=0及题设可知，对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）恒成立，∴函数g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）必在x=1处取得极小值，即g'（1）=0，…∵g'（x）=lnx+1﹣a，∴g'（1）=1﹣a=0，即a=1，…当a=1时，g'（x）=lnx，∴x∈（0，1），g'（x）＜0；x∈（1，+∞），g'（x）＞0，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则g（x）min=g（1）=0…∴对任意x∈（0，+∞），不等式g（x）≥g（1）=0恒成立，符合题意，即a=1，∴M={1}；…（Ⅲ）由（Ⅱ）a=1，∴函数，其定义域为（0，+∞），求得，…令m（x）=h'（x），为区间（0，+∞）上的增函数，…设x0为函数m'（x）的零点，即，则，∵当0＜x＜x0时，m'（x）＜0；当x＞x0时，m'（x）＞0，∴函数m（x）=h'（x）在区间（0，x0）上为减函数，在区间（x0，+∞）上为增函数，∴，∴函数h（x）在区间（0，+∞）上为增函数．…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD于点E．（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD（Ⅱ）求证：AB•BE=AE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）根据BE为圆O的切线，证明∠EBD=∠BAD，AD平分∠BAC，证明∠BAD=∠CAD，即可证明∠EBD=∠CBD（Ⅱ）证明△EBD∽△EAB，可得AB•BE=AE•BD，利用AD平分∠BAC，即可证明AB•BE=AE•DC．【解答】证明：（Ⅰ）∵BE为圆O的切线，∴∠EBD=∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EBD=∠CAD，∵∠CBD=∠CAD，∴∠EBD=∠CBD；（Ⅱ）在△EBD和△EAB中，∠E=∠E，∠EBD=∠EAB，∴△EBD∽△EAB，∴，∴AB•BE=AE•BD，∵AD平分∠BAC，∴BD=DC，∴AB•BE=AE•DC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣cosθ=0，点．以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．斜率为﹣1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|．【解答】解：（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρsin2θ﹣cosθ=0得ρ2sin2θ=ρcosθ．∴y2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|•|MB|=|t1||t2|=|t1•t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣a|，a∈R．（1）当a=3时，解不等式f（x）＞0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）依题意知，a=3时，f（x）=，通过对x范围的分类讨论，解不等式f（x）＞0即可；（2）利用等价转化的思想，通过分离参数a，可知当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2或a＞x+2恒成立，从而可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=，…当x＞2时，1﹣x＞0，即x＜1，解得x∈∅；当≤x≤2时，5﹣3x＞0，即x＜，解得≤x＜；当x＜时，x﹣1＞0，即x＞1，解得1＜x＜；综上所述，不等式的解集为{x|1＜x＜}．…（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）＜0恒成立⇔2﹣x﹣|2x﹣a|＜0⇔2﹣x＜|2x﹣a|恒成立⇔2﹣x＜2x﹣a或2x﹣a＜x﹣2恒成立⇔x＞或x＜a﹣2恒成立，∴当x∈（﹣∞，2）时，a＜3x﹣2①或a＞x+2②恒成立，解①，a不存在；解②得：a≥4．综上知，a≥4．…2020年7月29日第21页（共21页）。
2020年哈师大附中、辽宁省实验中学、东北师大附中三校联考高考(理)数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．125．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣67．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．911．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为．15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），＝（0，1），A∪B＝B，则∁R（A∪B）＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0解：由z＝a+bi（a，b∈R），得＝，由题意，b﹣a＝0．故选：B．3．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：n＝13为奇数，则n＝13×3+1＝40，第二步，n＝40为偶数，则n＝，第三步，n＝20为偶数，则n＝＝10，第四步，n＝10为偶数，则n＝＝5，第五步，n＝5为奇数，则n＝5×3+1＝16，第六步，n＝16为偶数，则n＝，第七步，n＝8为偶数，则n＝＝4，第八步，n＝4为偶数，则n＝＝2，第九步，n＝2为偶数，则n＝＝1．∴取n＝13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A．5．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：a＝ln3＞1＞b＝log3e＞c＝logπe，∴a＞b＞c，故选：B．6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣6解：∵＝（）＝（+）•＝＝32+×3×3×cos120°＝6；故选：A．7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1），＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝0，∴S△ABF＝＝＝，设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴E到平面ABF的距离d＝＝，∴四面体A﹣BEF的体积为：V A﹣BEF＝V E﹣ABF＝＝＝．故选：B．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．解：把函数＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z．即φ＝﹣﹣，再令k＝﹣1，可得φ＝，故选：D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．解：设P（，y），由＝0，则＝（﹣c，y）+（﹣c，b）＝（﹣2c，y+b），＝（，y﹣b），所以由＝0，可得：（﹣2c）+（y+b）（y﹣b）＝0，可得：﹣2a2﹣b2＝﹣y2≤0，整理可得：a4﹣2a2c2﹣（a2﹣c2）c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得：≤e2，即≤e≤，由于椭圆的离心率小于1，所以≤e＜1，故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．9解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，而函数g（x）＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f（x）和g（x）图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和＝3×2+1＝7，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．解：由题意，设数列{a n}的前n项和为S n．∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，∴数列{a n}是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：a1+a2+…+a n＝S n＝4n+•2＝n2+3n．则第2行的所有项的和为：a2+a3+…+a n+1＝（a1+d）+（a2+d）+…+（a n+d）＝S n+nd；第3行的所有项的和为：a3+a4+…+a n+2＝（a1+2d）+（a2+2d）+…+（a n+2d）＝S n+2nd；•••第n行的所有项的和为：a n+a n+1+…+a2n﹣1＝[a1+（n﹣1）d]+[a2++（n﹣1）d]+…+[a n+（n﹣1）d]＝S n+（n﹣1）nd；∴b n＝（a1+a2+…+a n）+（a2+a3+…+a n+1）+（a3+a4+…+a n+2）+…+（a n+a n+1+…+a2n﹣1）＝S n+（S n+nd）+（S n+2nd）+…+[S n+（n﹣1）nd]＝nS n+[1+2+…+（n﹣1）]•nd＝n（n2+3n）+•n•2＝2n2（n+1）．＝＝＝（﹣）．∴数列的前2020项和为++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．解：设事件A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P（A）＝，P（AB）＝，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P（A|B）＝＝＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为（1，e2）．解：由题意可得，＝0在[0，1]上有变号零点，故a＝e2x在[0，1]上有变号零点，因为y＝e2x在[0，1]上单调，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案为：（1，e2）15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．解：∵a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）＝2S n2，整理得：S n﹣S n﹣1＝﹣2S n•S n﹣1（n≥2，n∈N*），∴﹣＝2（n≥2，n∈N*）∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴S n＝，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴a n＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当③a＝1，﹣2＜b＜0时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有⑦6个零点．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点解：可选③a＝1，﹣2＜b＜0，由f（x）＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|﹣b，令f（x）＝0，可得b＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|，即b＝|x2﹣1|2﹣3|x2﹣1|，可令t＝|x2﹣1|，可得b＝t2﹣3t，可设g（t）＝t2﹣3t，分别画出y＝g（t）和t＝|x2﹣1|的图象，由﹣2＜t2﹣3t＜0，即．可得0＜t＜1或2＜t＜3，当0＜t＜1时，t＝|x2﹣1|有4个零点；2＜t＜3时，t＝|x2﹣1|有2个零点，则函数f（x）共有6个零点．故答案为：③a＝1，﹣2＜b＜0，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．解：（I）由已知以及正弦定理，可得：2sin B cos C＝2sin A+sin C＝2sin（B+C）+sin C＝2sin BcoC+2cos B sin C+sin C，所以：2cos B sin C+sin C＝0，由于：0＜C＜π，sin C≠0，cos B＝﹣，因为B∈（0，π），解得：B＝；（Ⅱ）如图所示：，∵D为AC的中点，∴，两边平方得：，∴，∴，整理得：c2﹣2c﹣8＝0，解得：c＝4．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．解：（Ⅰ）取AA₁的中点G，连接DG，EG，则DG∥A₁C₁，E，G为中点，所以EG∥BA₁，DG⊄平面BA₁C₁，A₁C₁⊂平面BA₁C₁，故DG∥平面BA₁C₁，同理EG∥平面BA₁C₁，又DG∩EG＝G，故平面DEG∥平面BA₁C₁，DE⊂平面EDG，所以DE∥BA₁C₁；（II）以B为原点，BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B₁（0，3，0），A₁（2，3，0），C（0，0，1），C₁（0，3，1），设F（0，a，1），A（2，0，0），，平面ABB1A1所的法向量为，由cos＜＞＝，a＝2，故F（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，3，0），设平面FBA₁的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．解：（Ⅰ）设A＝{出现A症状的人}，B＝{出现B症状的人}，C＝{出现C症状的人}，card表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知card（A∩B）＝1.8万，card（A∩C）＝1万，card（B∩C）＝2万，card（A∩B∩C）＝0.5万，所以card（A∪B∪C）＝cardA+cardB+cardC﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B ∩C）]+card（A∩B∩C）＝8.5+9.3+6.5﹣（1.8+1+2）+0.5＝20万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，2×2列联表如下：失眠不失眠合计患心脑血管疾病5712不患心脑血管疾病157388合计2080100所以＞3.841，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x＝﹣相切，又与定圆F相外切，知x＞﹣，∴，化简得：y2＝4x，∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y＝kx+m（k ≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，联立方程，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，∵S1＝，S3＝，∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1）（）＝﹣×＝﹣×＝，∵直线MN的方程为：y＝kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，令y＝0得，x＝﹣，∴B（﹣，0），∴S2＝，∴＝（﹣+）2（y1﹣y2）2＝××＝××[4（x2+x1）﹣2y1y2]＝××＝，∵S22＝4S1S3，∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，∴4k2+16m2+16mk＝0，即k2+4m2+4km＝0，∴（k+2m）2＝0，∴k＝﹣2m，∴直线MN的方程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），∴直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）﹣ax＝g（x），（x∈（﹣1，+∞））．g′（x）＝﹣a，a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，g′（x）＝，∴f'（x）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．由（I）可得：a＞0，f′（0）＝0．令ln（x+1）﹣ax＝0，化为：a＝＝h（x），h′（x）＝．令u（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）＝0．u′（x）＝1﹣ln（x+1）﹣1＝﹣ln（x+1）＜0．∴u（x）＜u（0）＝0．∴h′（x）＜0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．x→0+时，h（x）→＝1．x→+∞时，h（x）→0．∴0＜a＜1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．解：（Ⅰ）参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C：；曲线D的极坐标方程为．转化为直角坐标方程为：；（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，当sin（θ+α）＝1时，d min＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＞5或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣4}（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝5．∵不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，∴|3m﹣2|≥f（x）min＝5，∴3m﹣2≥5或3m﹣2≤﹣5，∴，∴m的取值范围为．。
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数学试卷
选择题（12χ5分=60分）
1.从10个事件中任取一个事件,若这个事件是必然事件的概率为0.2,是不可能事件的概率为0.3,则这10个事件中随机事件的个数是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图(单位:分),其中甲班学生成绩的众数是85,乙班学生成绩的中位数是83,则x+y的值为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
3.①一次数学考试中,某班有10人的成绩在100分以上,32人的成绩在90～100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关情况;②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为( )
A. 简单随机抽样,简单随机抽样
B. 分层抽样,分层抽样
C.简单随机抽样,分层抽样
D.分层抽样,简单随机抽样
4．有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件E为“只订甲报纸”,事件F为“至少订一种报纸”,事件G为“至多订一种报纸”,事件H为“不订甲报纸”,事件I为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件,且是对立事件
C.F与G是互斥事件
D.G与I是互斥事件
5.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,则实数m等于 ( )
A.-
B.
C.-或
D.0
6.对于非零向量a,b,“a+2b=0”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则P点坐标( )
A.(3,1)
B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1)
D.无数多个
8.下列命题不正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若b是非零向量，a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c 是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
9.-630°化为弧度为（）
A.-
B.
C.
D.
10.是（）
A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
11.已知角的终边经过点P(3,-4),那么sin 的值为（）
A.-
B. -
C. -
D.
12.设（0，），若sin= ，则cos=（）
A. B. C. D.
一、填空题（4χ5分=20分）
13.若=(2,8),=(-7,2),则=________.
14.袋中有3只白球和a只黑球,从中任取1只,是白球的概率为,则a=________.
15.已知角为第二象限角，且sin+cos=,则sin cos=________.
16. 设向量b=(1,2),且a=2b,则a=________.
二、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题各12分）
17. (10分)甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:
(1)2人都射中目标的概率.
(2)2人至少有1人射中目标的概率.
18. (12分) 某公司为了了解一年内的用水情况,抽取了10天的用水量如表所示:
天数 1 1 1 2 2 1 2
用水量/
22 38 40 41 44 50 95
吨
(1)在这10天中,该公司用水量的平均数是多少?
(2)在这10天中,该公司每天用水量的中位数是多少?
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量?
19. (12分)在平行四边形ABCD中,=a,=b.E,F分别是BC,DC的中点,试用a,b分别表示,.
20. (12分)已知sin-cos=-,求tan
21. (12分)已知tan=-4，求下列各式的值。
（1）
（2）
22. (12分)已知A(-2,1),B(1,3),求线段AB的两个三等分点P,Q的
坐标。
答案：1-5CBDBC
6-10ACAAD
11-12BD
13(-3,-2)
14,18
15,-
16.(2,4)
17.(1)51
(2)42.5
(3)中位数
18.（1）0.72 （2）0.98
19.
20.或2
21.（2）
22.P(-1,) Q(0,)。