ARMA现代谱估计
现代谱估计
由于存在这些问题，实际实现Wiener滤波时，并不是 直接计算得到最优Wiener滤波器的系数，而是代之以 LMS, RLS, Kalman等自适应滤波器。
23
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalman滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
2
内容
❖ 最优滤波理论与Wiener滤波器 ❖ 梯度下降算法 ❖ 横向LMS自适应滤波器 ❖ 横向RLS自适应滤波器 ❖ Kalቤተ መጻሕፍቲ ባይዱan滤波器 ❖ 自适应格型滤波器 ❖ 盲自适应滤波器 ❖ 自适应滤波器的应用
3
最优滤波理论与Wiener滤波器
❖ 最优预测和滤波 ❖ 最优滤波理论 ❖ 正交性原理 ❖ Wiener滤波器
(
M
1)
Ru,u (1) Ru,u (0)
Ru*,u (M 2)
Ru,u (M 1) Ru,u (M 2)
Ru,u (0)
定义输入与期望响应的互相关向量：
r E u(n)d*(n) Ru,d (0), Ru,d (1), , Ru,d (1 M ) T
21
Wiener-Hopf方程的解
• 估计误差e(n)定义为期望响应d(n)与滤波器输出y(n)之差, 即
e(n) d(n) y(n)
对滤波器要求是使估计误差在某种统计意义下“尽可能小”。
10
最优滤波理论
❖ 线性最优滤波器（续）
➢对滤波器的约束
• 滤波器是线性的。 一是为了使信号通过滤波器后不致于发生“畸变”； 二是为了便于对滤波器进行数学分析.
现代谱估计-有理谱估计
，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。
一种ARMA谱估计公式
一种ARMA谱估计公式的报告，800字
本文旨在介绍ARMA谱估计(Autoregressive Moving Average Spectrum Estimation)，它是一种用于分析和预测时间序列运动中可察觉的谱特征的有效工具。
ARMA谱估计是一种统计方法，可用于从一系列观察帧中估计出某个序列的声谱特征。
它通过计算自相关系数计算出一个位移系数和一个多项式系数，以此来精确表示时间序列的动态谱特征。
具体而言，ARMA谱估计首先使用位移系数来表示序列的模式，然后使用多项式系数来表示序列的振幅。
ARMA谱估计的公式可以表示为：
Y(t)=a_1X(t-1)+a_2X(t-2)+...+a_nX(t-n)+ξ(t),
其中Y(t)表示序列的当前值，X(t-1)表示序列的上一个值，以此类推，a_i表示该位移系数，而ξ(t)表示序列的误差项。
在实际应用中，ARMA谱估计是一种通过寻找最佳位移系数和多项式系数来描述序列的动态谱特征的有效方法。
它是根据序列的历史观察值建立的，可以有效地估计出未来的事件，从而为实时控制应用提供可靠的数据。
总之，ARMA谱估计是一种用于模拟时间序列数据的有效工具，它可以帮助我们对序列中可察觉的谱属性进行准确预测和分析，并有效解决实时控制难题。
ARMA谱估计与系统辨识 清华大学《现代信号处理》讲义-张贤达
Ax b
b
A
1 x
0
-b A+-e Ez = 0 或 B + Dz = 0
扰动矩阵
总体最小二乘TLS: Total Least Squares
思想：寻求一个解z，使得
m
n1
1/ 2
2
dij min
i1 j1
定义代价函数
Σ
diag(
2 11
,
2 22
,
,
2 nn
)
主奇异值：p个大的奇异值（p个信号分量的能量） 次奇异值：其它小奇异值（扰动或误差的能量）
信号与噪声的分离：
准则一：归一化比值
v(k)
2 11
2 11
2 kk
1/
2
2 nn
1/
2
1
若阈值=0.995，v(k)>阈值的最小整数k定为矩阵A的“有效秩”。
其中：A(z) 1 a1z1 apz p B(z) 1 b1z1 bq zq
ARMA模型描述的线性时不变（LTI）系统
e(n) hi x(n)
传递函数：
H (z)
B(z) A( z )
hi z i
i
x(n) e(k )hnk e(n) hn k
bq1bq
c1
2b0bq
cq
非线性方程，MA参数辨识 （Newton－Raphson迭代）
协方差函数的Fourier变换
Px (z)
AR模型和ARMA模型谱估计仿真
AR 模型和ARMA 模型谱估计仿真一、问题重述有两个ARMA 过程，其中信号1是宽带信号，信号2是窄带信号，分别用AR 谱估计算法、ARMA 谱估计算法和周期图法估计其功率谱。
产生信号1的系统函数为：H (z )=1+0.3544z −1+0.3508z −2+0.1736z −3+0.2401z −41−1.3817z −1+1.5632z −2−0.8843z −3+0.4906z −4激励白噪声的方差为1. 产生信号2的系统函数为：H (z )=1+1.5857z −1+0.9604z −21−1.6408z −1+2.2044z −2−1.4808z −3+0.8145z −4激励白噪声的方差为1.每次实验使用的数据长度为256.二、模型分析很多随机过程可以由或近似由均值为零、方差为δ2的白噪声序列u (n )经过具有有理想传输函数H(z)的ARMA 线性系统来得到。
称该随机过程为ARMA 过程。
H (z )=∑b i z −i q i=0∑a i z −i p i=0=B(z)A(z)P xx (w )=δ2∙|H(w)|2由上式可知只要估计出模型的参数（a i 和b i ），即可求出功率谱。
1.AR 模型的建立：AR 模型是一种特殊的ARMA 模型，利用AR （p ）模型，即：x (n )=−∑a i x (n −i )+u(n)pi=1逼近采样样本,此时功率谱表达式为：P̂x =δ2|1+∑a i e −jwi P i=1|2 需要求解得未知量为参数a i ，当阶数p 已知时，利用x(n)的自相关函数与AR 模型参数的关系，可建立Y -W 方程，解该方程，即可得到AR 参数。
{R x (m )+∑a i R x (m −i )=0 m =1,2……pp i=1R x (m )+∑a i R x (m −i )=δ2m =0p i=1X(z)[R(0)R(−1)R(1)R(0)…R(−p)R(1−p)⋮⋱⋮R(p)R(p −1)⋯R(0)]∙[1a 1⋮a p ]=[δ20⋮]对于(p+1)元线性方程，若采用matlab 中的函数，则使用的是高斯消去法运算量为p 3数量级。
现代谱估计计算机仿真实验报告
现代谱估计计算机仿真实验报告胡敏在许多工程应用中，利用观测到的一组样本数据估计并分析一个平稳随机信号的功率谱密度是十分重要的。
例如，在雷达信号处理中，由回波信号的功率谱密度、谱峰的宽度、高度和位置，可以确定目标的位距离和运动速度；在阵列信号处理中，空间功率谱描述了信号功率随空间角度的分布情况。
在许多信号处理应用中，谐波过程经常会遇到，它对应的功率谱为线谱，谐波过程的功率谱估计就是要确定谐波的个数，频率和功率（合称谐波恢复）。
为了更好的学习现代信号处理中该部分的内容，我们做了相应的计算机仿真实验。
1 实验目的1、深入理解现代谱估计和谐波恢复的基本理论，包括ARMA 模型，ARMA 谱估计，ARMA 模型识别，Pisarenko 谐波分解，信号子空间和噪声子空间，旋转不变技术(ESPRIT)；2、熟悉与上述谱估计和谐波恢复理论相关的数学方法以及各自的特点，包括最小二乘估计（LS ），奇异值分解（SVD ），总体最小二乘估计（TLS ），特征值分解和广义特征值分解；3、体会ARMA 功率谱估计中的Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子，ARMA 模型的识别方法，Pisarenko 谐波恢复方法，ARMA 建模谐波恢复方法，MUSIC 方法进行谐波恢复，两种ESPRIT 方法（LS-ESPRIT 和TLS-ESPRIT 进行谐波恢复；2 实验原理2.1 ARMA 谱估计相当多的平稳随机过程都可以通过用白噪声激励线性时不变系统来产生，而线性系统又可以用线性差分方程进行描述，这种差分模型就是自回归—滑动平均（ARMA ）模型。
而且，任何一个有理式的功率谱密度都可以用一个ARMA 随机过程的功率谱密度精确逼近。
ARMA 随机过程定义为服足下列线性差分方程的离散随机过程{})(n x ：∑∑==-+=-+qj jpi ij n e bn e i n x an x 11)()()()( （1）式中)(n e 是一离散白噪声；式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型，系统p a a ,1和q b b ,,1 分别称为自回归（AR ）参数和滑动平均（MA ）参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
作业——现代谱估计法
现代谱估计法（殷恒刚 107010254）1. 现代谱估计简介经典谱估计法可以利用FFT 计算，因而有计算效率高的优点，在谱分辨力要求不是太高的地方常用这种方法。
但频率分辨率地是经典谱估计的一个无法回避的缺点。
如周期图法在计算中把观测到的有限长的N 个数据以外的数据认为是零，而BT 法仅利用N 个有限的观测数据作自相关函数估计，实质上也就是假设除已知数据外的自相关函数全为零，这些显然都是与事实不符的。
为了克服以上缺点，人们提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。
但是，经典谱估计，始终无法解决，频率分辨率与谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录长度比较短时，这一矛盾尤其突出。
现代谱估计理论也就是在这种背景下产生的，以1967年Burg 提出的最大熵谱分析法为代表的现代谱估计法，不认为在观察到的N 个数据以外的数据全为零。
因此克服了经典法的这个缺点，提高了谱估计的分辨率。
后来发现线性预测自回归模型法(简称AR 模型法)与Burg 的最大熵谱分析法是等价的，它们都可归结为通过Yule-Walker 方程求解自回归模型的系数问题。
目前常用的求自回归模型系数的算法有三种：①为Levinson 递推算法；②为Burg 递推算法；③为正反向线性预测最小二乘算法。
2.现代谱估计的三种模型由信号与系统相关知识可知，任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白噪声激励一物理网络所形成。
如图一所示。
我们可以先假设一个模型，然后根据已记录数据估计参数值，这样就不用假设N 以外的所有数据全为零，这就克服了经典谱估计的缺点。
图1一个系统的Z 域传递函数的一般形式如下：00()()ba n jjj n i ii bzY z X z a z-=-==∑∑ (1.1)参数建模的任务也就是如何确定阶数a n 和b n 以及系统数组(1,,)i a a i n = 和(1,,)j b b i n = 。
第二章 现代谱分析
∑a e
k =0 k
N −1
−j
2π kl N
2
FFT计算 计算
只要求出AR模型参数 只要求出 模型参数ak ，k=1,2,……n，µ 2 ， σ 求出x(n)的AR谱。 求出 的 谱
就可以
2.3 AR模型谱的性质 模型谱的性质
模型的谱要比经典法的谱平滑， ⑴AR模型的谱要比经典法的谱平滑，这是由于 模 模型的谱要比经典法的谱平滑 这是由于AR模 型具有滤波意义 1、白化过程 、 2、x(n)=-a1x(n-1)-a2x(n-2)-……+µ(n) 、 3、a1, a2,……, ap 、 实际： 实际：
Pisarenko法 法 Prony法 法 MUSIC法 法
经典谱分析法不足的主要原因 • 方差性能差：不能求取定义中的均值和极限值； 方差性能差：不能求取定义中的均值和极限值； • 分辨率低：计算数据（包括自相关函数）以外的 分辨率低：计算数据（包括自相关函数） 值为零 现代谱分析方法 改善谱分析的性能 代表的主要方法： 代表的主要方法：ARMA谱分析 谱分析
2 jω ∗ jω
2
A(e ) A (e )
jω
∗
jω
=
A(e )
jω
2
=
σ µ 2 1 + ∑bk e− jωk
k =1
q
2
1 + ∑ ak e− jωk
k =1
p
2
分别为ARMA的模型参数 式中 ak ,bk 分别为 的模型参数
特别的， 特别的，对AR模型 模型
Px (e ) =
jω
σµ
p k =1
2.1 ARMA模型
• ARMA模型定义 模型定义
最大熵谱估计 清华大学《现代信号处理》讲义 -张贤达
P (ω ) =
1
k = p
∑
p
λk e
jω k
= λ k
∑
p
k e jω k
与AR功率谱等价 AR功率谱等价
Fejer-Riesz定理： 定理： 定理
W ( z) =
k = p
∑
p
k z k W (ω ) = →
z =e jω
k = p
∑
2
p
k e jω k
p
若 W (ω ) ≥ 0 ，则一定可以找到一个 A( z ) = ∑ a (i ) z i 满足
1 J (ω ) = 2π
1 ∫π log P (ω )dω + k∑p λk R ( k ) 2π =
π
p q
∫
π
－π
P (ω )e jω k d ω
1 + ∑ k C ( k ) 2π k = q
log P (ω )e jω k d ω ∫－π
π
P (ω ) =
k = q p
π
倒谱(cepstrum) ln P (ω )
∫ π log P (ω )dω
1 π 相关函数匹配： ∫ P (ω )e jω k d ω = R ( k ), k = 0, ±1,L , ± p 2π π 条件 倒谱匹配：1 π log P (ω )e jω k d ω = C ( k ), k = 0, ±1, L , ± p 2π ∫π
i=0
W ( z ) = A( z ) =
2
∑ a (i ) z
i =0
p
i
而且若 A( z ) = 0 的根全部在单位园内，则A(z)是唯一确定 的。故有
有理谱参数估计ARMA
ARMA模型法：
模型阶数p和q的选择： 用逆滤波器A(z)/B(z)对X(z)进行处理，判断输 出信号U(z)与白噪声的符合程度来选择模型阶 数。
ˆ Ru (k) Q = ∑ R (0) ˆ k =1 u
M 2
其中：M为某一常数，具体的值可以根据逆 滤波器A(z)/B(z)冲激响应的有效长度来选择。
k
ˆ ˆ 从而得A( z ) = 1 + ∑ ak z − k
k=1
p
ARMA模型法：
ˆ 求出 A( z ) 后估计如下功率谱密度：
X ( z) W ( z) B ( z ) / A( z )
p
ˆ A( z )
n = 0, 1 L N -1
V ( z)
ˆ v ( n) = x ( n) + ∑ α k x ( n - k ) ,
j =1 j =1 p q
ARMA模型法：
任何ARMA(p, q)模型可用某一AR(∞)模型描述：
1 + ∑ βk z -k 1 + ∑αk z
k =1 k =1 p -k q
H ARMA( p , q ) ( z ) =
H AR ( m ) ( z ) =
1 1 + ∑ α k z -k
k =1 m
k =1
k =1 p
k =0
m ≥ q +1
其中：h(n)为ARMA模型系统的冲激响应。
ARMA模型法：
-∑ α k R ( m - k ) + σ 2 ∑ β k + m h ( k ) , 0 ≤ m ≤ q
p q -m
R ( m) =
-∑ α k R ( m - k ) ,
现代谱估计
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
现代谱估计分析
现代谱估计实验报告1 实验目的功率谱估计在实际工程中有重要应用价值。
如在语音信号识别、雷达杂波分析、波达方向估计、地震勘探信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周期研究等许多领域发挥了重要作用。
本次实验的目的主要是深入理解现代谱估计的基本理论，包括ARMA 模型、ARMA 谱估计。
掌握现代谱估计的基本方法，包括SVD-TLS 算法等。
利用ARMA 功率谱估计中Cadzow 谱估计子和Kaveh 谱估计子来进行谱估计。
2 实验原理2.1 背景若离散随机过程{x(n)}服从线性差分方程)()()()(11j n e n e i n x n x q j j p i i b a -+=-+∑∑==（1）式中e （n ）是一离散白噪声，则称{x(n)}为ARMA 过程，而式（1）所示的差分方程称为ARMA 模型。
系数a 1,a 2……a p ,和b 1,b 2……b q ,分别称为自回归参数和滑动平均参数，而p 和q 分别叫做AR 阶数和MA 阶数。
式（1）所示的ARMA 过程，其功率谱密度为)()()()()(22e e P jw jw z x B B e z A z B w jw δδ=== （2）ARMA 谱估计的目的是使用N 个已知的观测数据x(0)，x(1)…..x(N-1)计算出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度估计。
在实际中，可以运用cadzow 谱估计子和kaveh 谱估计子来估计，cadzow 谱估计子秩序确定AR 阶数p 和估计AR 参数，而kaveh 谱估计子也只需要确定AR 阶数p 和估计AR 参数以及MA 阶数。
2.2 相关算法AR阶数p的确定用奇异值分解（SVD）,AR参数的估计用总体最小二乘法(TLS),即应用（SVD—TLS）算法来完成ARMA谱估计。
SVD—TLS算法：步骤1 计算增广矩阵B的SVD，并储存奇异值和矩阵V;步骤2 确定增广矩阵B的有效秩p；步骤3 计算矩阵S;步骤4 求S的逆矩阵S--,并计算出未知参数的总体最小二乘估计。
第三章 现代谱估计
将(3.4.2)与(3.4.5)相比较，可令 N ( z) A( z )
i n z i i a z i i 0 p i 0 p p
(k ) z k
i 0
两边同乘以 ai z i，可得
*
_
_
新的ARMA过程{x(n)}的功率谱密度为 P～ ( )
x
2
B( z ) A( z )
~
~
2
2
| (1 e
i 1 r i k 1
s
j
) | | (1 i e
2 i s 1 p
q
j
)|
2
| (1 k e
q
j
)|
1 i 1 i r 1 r p _
B ( z ) (1 k z ) (1 k z 1 )
1 k 1 k s 1
r
p
_
其中， i 1/ i , i r 1, , p; k 1/ k* , k s 1, , q.
k r 1
k r 1
结论：如果系统是非因果的或者是非最小相位的，利用功率 谱密度，只能辨识出|H(ej)|，而不能辨识出H(ej).
可利用互功率谱密度或高阶矩统计量辨识此类系统。
3.4 ARMA谱估计
问题:利用N个已知的观测数据x(0),x(1),…,x(N-1)估计出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度。直接使用式(3.3.6)估计时，需 要辨识出整个ARMA模型及激励噪声的方差。MA参数的 估计需要解非线性方程。 3.4.1 ARMA功率谱估计的两种线性方法
由于将x(n)视为周期函数(幅值谱离散，功率谱 为了减小偏差，可以采用窗函数对周期图进行平滑。 第一种窗函数直接加给样本数据，修正后的周期图为 1 N 1 Px ( ) | x(n)c(n)e jnT |2 NW n 0 1 N 1 1 2 2 W | c(n) | | C ( ) | d N n 0 2 N 另一种窗函数是加给样本自相关函数(Blackman -Tukey法)，功率谱为 PBT ( )
现代谱估计课件
N 1
E[Rˆx (m)]e jm
m( N 1)
N 1 m( N 1)
Rx
(m)
N
| N
m
|
e
jm
令w(m)为三角窗
w(m)
(N
|
m 0,
|)
/
N
,
| m | N 1 else
E[Sˆx (e j )] [Rx (m)w(m)]e jm m
E[Sˆx (e j )]
1
2
Sx (e j ) W (e j )
pxx3=abs(fft(xn(515:768),Nsec).^2)/Nsec; %第三段功率谱
pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec; %第四段功率谱
Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4); %平均得到整个序
列功率谱
f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx); %给出功率谱对应的频率
)
2
sin N
N (1
2
sin 1
2
2 2
)
2
令1=2=
2
4 x
[1
(
sin N )2 ] N sin
当N时，频谱估计方差2不趋向于零，而趋 18
向于
4 x
，因此经典频谱估计不是一致估计
经典谱估计的方差
若取1= 2k/N，2=2l/N，k、l是整数，则有：
Cov[ Sˆ x
5
0
-5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
现代谱估计
ARMA谱估计方法在电力系统低频振荡模式分析中的应用
) 阻尼比为： ξｉ ＝
－ σｉ ［１３］
２２
σｉ ＋ωｉ
２．３ 实例仿真
（ １） 简单信号
测试信号如式（ ７） 所示：
ｘ（ ｎ） ＝２ｅ－０．１ｎｓｉｎ（ ２π０．５ｎ） ＋ｅ－０．２ｎｓｉｎ（ ２π０．６ｎ） ＋ｋｗ（ ｎ） （ ７）
ｗ（ ｎ） ￣Ｎ（ ０， σ２ｗ） 为 高 斯 白 噪 声 ， ｋ＝０．１， ０．２， ０．３。 其 中 包 含 两 个 模 式 分 别 为 － ０．１０ ＋ｊ３．１４ 和 － ０．２０ ＋
２
ａ１， ａ２， …， ａｐ， σｗ ， 在获得了 ｘ（ ｎ） 的前 ｐ＋１ 个自相关函 数 ＲＸ（ ０） ， ＲＸ（ １） ， …， ＲＸ（ ｐ） 后， 由 Ｙｕｌｅ－ Ｗａｌｋｅｒ 方程 即可求出这 ｐ＋１ 个参数。然后由式特征方程解出系
统特征根：
λｉ ＝ σｉ ±ｊωｉ
（ ６）
相应的电力系统低频振荡模式频率为 ｆｉ＝ωｉ／２π，
２００７ 年第 １ 期
王晓华等： ＡＲ ＭＡ 谱估计方法在电力系统低频振荡模式分析中的应用
９
信号模型， 直接计算系统的特征根。
２ ＡＲＭＡ 模式分析方法
２．１ 功率谱估计
利用给定的 Ｎ 个样本数据估计一个平稳随机
信号的功率谱密度称为谱估计。功率谱密度定义为
协方差函数的傅立叶变换。目前， 功率谱估计方法
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｗｉｄｅ－ａｒｅａ Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ，ａｖｏｉｄｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｉｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｇｅｔｔｉｎｇ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．ＡＲＭＡ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｍｏｄｅｒｎ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ａｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＡＲＭＡ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｓｉｓ ｔｈｅ ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎ－ ｃｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｏｆ ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ ｃａｎ ｂｅ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ． Ｄｉｇｉｔａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｃａｎ ｇｉｖｅ ｇｏｏｄ ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｕｉｔａｂｌｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｗｅａｋ ｏｒ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｍｏｄｅ ｗｉｔｈ ｒａｎｄｏｍ ｓｔｉｍｕｌｉ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ： ＡＲＭＡ； ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ； ｐｏｗｅｒ ｓｙｓｔｅｍ； ｌｏｗ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ； ｄａｍｐｉｎｇ
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M
(2)求 ak , bk与 c k 之间的关系式
B( z ) 1 从关系式： 可以得到： A( z ) ( z ) C
k 0
ak z
p
k
( bk z )( c h z h ) k 0 h 0
k
q
M
(a0 c0 1)
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b1 c p 1 c p 2 q b2 c p 2 b cp q c p q
c p 1- q
当该矩阵是非奇异矩阵时，由上式可以求出系数{bk }的估 计值
jw
B (e ) B (e ) B (e )
2 * jw jw 2 jw
2
A (e ) A(e )
* jw jw
A(e jw )
2
( 4)
这样,如果激励白噪声的方差 2 及模型的参数a1......ap , b1......bq 已知，那么由上式可以求出X(n)的功率谱。
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10
MA(moving-average)模型
在(1)中，若 a1......a p 全为零；那么(1)(3)及(4)式分别变为：
x(n) u (n) bk u (n k )
k 1
p
H ( z ) B( z ) 1 bk z k
（2）对信号的AR模型，选择恰当的模型阶数p；
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9
AR（auto-regressive）模型
（3）利用Yule-Walker线性方程组求解该信号的AR模型参数 2 及 a1......a p ；
jw P ( e ) （4）根据下式计算信号的功率谱： x
不论X(n)是确定性信号还是随机信号，u(n)与X(n)之间 总有如下输入输出关系：
x(n) ak x(n k ) bk u(n k )
k 1 k 0
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p
q
（ 1 ）
4
平稳随机信号的参数模型
x ( n) h( k )u ( n k )
AR模型的自相关函数满足如下Yule-Walker方程：
ak Rx ( m k ), m 1 k 1 Rx ( m) p ak Rx ( k ) 2 , m 0 k 1
p
(8)
取m=0,1.....p,可得如下的矩阵方程：
Rx (1) Rx ( p) 1 2 Rx (0) R (1) a 0 R ( 0 ) R ( p 1 ) x x x 1 R ( p) R ( p 1) R (0) a x p 0 x x
x(n) ck x(n k ) u (n)
k 1
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15
ARMA模型的参数估计
利用前面求AR参数的方法，能求出 ck (1 k M ) 的估计c k ，得到：
C ( z ) 1 cz k
k 1
因为ARMA(p,q)模型常写成下列形式：
x(n) ak x(n k ) bk u (n k )
k 1 k 0
p
q
(10 )
其中 u (n k ) 是零均值，方差为 2 的白噪声，p,q分别为 自回归(AR)和滑动平均(MA)的阶数。
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k 0
( 2)
对(1)(2)是两边分别取Z变换，并假定 b0 =1，可得：
B( z ) H ( z) A( z )
其中：
(3)
A( z ) 1 ak z k
k 1
p
B ( z ) 1 bk z k
k 1
q
H ( z ) h( k ) z k
k 0
2
1 ak e
k 1
p
jwk
2
阶数p的选择一般依据三个准则，但是这三个准则也只是 为阶数选择提供一个依据，对所研究的某一个具体信号 X(n),究竟阶数取多少为好，还要在实践中对所得结果比较 之后确定。一般p太小，则图像过于平缓，p太大，可能出现 很多旁瓣，一般选择的阶数不能大于序列长度的一半。
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(9 )
8
AR（auto-regressive）模型
以上(8)(9)两式就是AR模型的正则方程，也被称为YuleWalker（尤尔-沃克）方程。 在实际计算中，已知长度为N的序列，可以估计其自相关 函数 ，再利用矩阵方程，直接求出参数a1......a p 及 2 ，于是 可以求出功率谱的估计值。综上所述，基本的AR谱估计的计 算方法为： （1）根据待估计信号的观测数据，估计出该信号的自相关 函数；
其中：
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13
ARMA模型的参数估计
从原理上讲，上式中各个系数 d k 可以直接用长除法从式 (11)中求得。于是：
C ( z ) A( z ) D( z ) ck z k
k 0
(13)
即各系数 ck 可以从上式乘法中直接求得。将式(12)(13) 回带到(11)，并求逆Z变换，容易得到：
{b k | 1 k q}
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18
ARMA模型的参数估计
(4)求{ak }的估计
q
由式14的前p个方程：an 矩阵方程：
bk c n k 1 n p c 0 1 可得下述 k 0
1
c1
a1 c1 a 2 c2 a p c p
16
ARMA模型的参数估计
令上式两端同幂次的系数相等，就有：
an bk c nk n 1,2... bo 1
k 0
q
(14 )
(3)求{bk }的估计
an 应为零，故在上式取 n p 1, p 2,..., p q 因为在n>p时， 时，共得q个方程：
k 0
p
q
函数变为： H ( z )
X ( z ) B( z ) (11) 将该式改写为如下形式 U ( z ) A( z ) 1 1 1 H ( z) (12 ) A( z ) / B( z ) A( z ) D( z ) C ( z )
1 D( z ) d k z k B( z ) k 0
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3
平稳随机信号的参数模型
H(z)是一个因果的线性移不变的离散时间系统，同时， 它也是一个稳定系统，其单位样值响应h(n)是确定性的。输 出序列X(n)可以是平稳的随机序列，也可以是确定的时间序 列。若X(n)是确定的，那么u(n)是一个冲激序列，若X(n)是 随机的，那么u(n)应该是一个白噪声序列。
ARMA谱估计
陈旭敏 邵海洋 曾俊璋 王逢 张钰
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14721063 14721062 14721060 14721059 14721061
现代谱估计简介
现代谱估计技术的研究和应用主要起始于20世纪60年代 ，在分辨率的可靠性和滤波性能方面有较大的进步。现代谱 估计从方法上大致可以分为参数模型估计和非参数模型估计 两种。 随机过程的参数模型方法是现代谱估计的主要方法之一 ，也称其为参数模型方法或者简称模型方法。基于参数建模 的功率谱估计是现代功率谱估计的重要内容，其目的就是为 了改善功率谱估计的频率分辨率，它主要包括AR模型，MA模 型，ARMA模型，其中基于AR模型的功率谱估计是现代功率谱 估计的最常用的一种方法，这是因为AR模型参数的精确估计 可以通过求解一组线性方程得到，而对于MA和ARMA来说，其 参数的精确估计需要求解一组高阶非线性方程。
12
ARMA模型的参数估计
对式 (10 ) 两端取Z变换后，得到：
k 0
ak z
p
k
X ( z ) bk z kU ( z )
k 0
q
(a0 b0 1)
则ARMA模型的离散传递
令 ：
A( z ) ak z ， B( z ) bk z k
k k 0 k 0
6
AR（auto-regressive）模型
在(1)中，若 b1......bq 全为零；那么(1)(3)及(4)式分别变为：
x(n) ak x(n k ) u (n)
k 1
p
(5)
1 1 H ( z) p A( z ) 1 ak z k
Px (e )
jw
bk c nk 0
q
( p 1 n p q)
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17
ARMA模型的参数估计
上式写成矩阵形式为：
cp c p 1 c p q 1