初中数学常见模型之蚂蚁行程
蚂蚁行程模型
蚂蚁行程模型模型 立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如果蚂蚁从点A 沿圆柱体表面爬行一周，到点B 的最短路径就是展开图中AB '的长，22AB AA A B ''''=+，做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例例1有一圆柱形油罐，如图所示，要以A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，已知油罐的底面周长为12m ，高AB 为5m ，问所建梯子最短需要多少米？解答：假设将圆柱体的侧面沿AB 剪开，铺平得到如图所示的长方形ABDC ， 则AB=DC=5m ，AC=BD=12m ，∠BAC=∠C=∠CDB=∠B= 90° 因此沿AD 建梯子，梯子最短在△ACD 中，由勾股定理得AD 2=AC 2+CD 2=122+52=132， 解得AD=13m答：建梯子最短需要13米。
例2：如图，已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到了A点，求蚂蚁爬行的最短路线的长．（结果保留根式）解答：小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，例3：已知长方体的长、宽、高分别为:30cm、20cm、10cm,一只蚂蚁从A处出发到B处觅食,求它所走的最短路径.(结果保留根号)解答：(1)展开前面右面由勾股定理得;(2)展开前面上面由勾股定理得;(3)展开左面上面由勾股定理得.,最短路程长为.1、有一圆柱体如图,高4cm,底面半径5cm,A处有一蚂蚁,若蚂蚁欲爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离。
解答：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C,D分别是BE,AF的中点...因此，本题正确答案是:16cm.2、如图,圆柱体的高为8cm,底面周长为4cm,小蚂蚁在圆柱表面爬行,从A点到B解答:沿过A点和过B点的母线剪开,展成平面,连接AB则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程,,,,由勾股定理得:,因此，本题正确答案是:10.3、如图，桌上有个圆柱形玻璃杯，高为12 cm ，底面周长18 cm ，在杯内壁离杯口 3 cm 的 A 处有一滴蜂蜜，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜂蜜相对方向离桌面 3 cm 的 B 处时，突然发现了蜂蜜．问小虫怎样爬去吃蜂蜜最近? 它至少爬多少路才能到达蜂蜜所在的位置?解答：按如图所示的方向 B → C →A( 其中MNPQ 为圆柱的侧面展开图， A 与 A ′关于MQ 对称) ，小虫爬的路程为BC + CA =BA ′= 15cm ．4、已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一个小蚂蚁也从C点出发，绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示.若沿OA剪开，则得到圆锥侧面展开图为（）答案此题答案为：C.解：根据题意可知，两只蚂蚁一只从C到A，一只从C到B，选项B中第二只蚂蚁的终点不是点B，故排除B选项；第一只蚂蚁沿圆锥的前面从C到A，故路线AC是在展开图的左侧的线段，排除D 选项；第二只蚂蚁经过OA从C到B，所以展开图对称轴OB的两面都有路线，故排除A 选项.故选C.5、如图,一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发,经过3个面爬到点B,解答:将正方体展开,右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上,展开图如图所示,此时AB最短,,因此，本题正确答案是:.6、如图是一个边长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,求蚂蚁爬行的最短路程.解答:如图所示,,,,.答:蚂蚁爬行的最短路程是10.7、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A 和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?解答:将台阶展开,如下图,因为,,所以,所以,所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.答:蚂蚁爬行的最短线路为13cm.。
模型46 勾股定理之蚂蚁行程、弦图模型(解析版)
1．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．例．如图所示，有一正方体纸盒，在点C1处有一只小虫，它要爬到点A吃食物．应该沿着怎样的路线才能使行程最短？解：如图，把侧面或上面展开与正面组成一矩形，连接AC1，则AC1就是行程最短的路线．2.赵爽弦图模型我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个正方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2．称为勾股定理．把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论证明：由图2得，大正方形面积＝4×＝（a+b）2，整理得b2+c2+2ab＝2ab+c2，∴c2＝a2+b2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．例题精讲考点一：行程最短问题【例1】．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是20 cm．（π取3）解：将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，∴AC＝×2×4π＝12，∴AB＝＝20cm．变式训练【变式1-1】．如图，圆锥的底面圆的半径为10cm，母线长为40cm，C为母线PA的中点，一只蚂蚁欲从点B处沿圆锥的侧面爬到点C处，则它爬行的最短距离是20cm．解：由题意知，底面圆的直径AB＝20，故底面周长等于20π设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°∵根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，20π＝，解得n＝90°∴展开图中扇形圆心角＝90°，作CE⊥PB于E，则CE＝PE＝10，BE＝40﹣10，∵根据勾股定理求得它爬行的最短距离是＝20cm∴蚂蚁爬行的最短距离为20cm【变式1-2】．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：＝＝15（cm）；当展开前面和上面时，最短路线长是：＝＝7（cm）；当展开左面和上面时，最短路线长是：＝（cm）；∵15＜7＜，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【变式1-3】．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为（0.2+0.3）×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝22+[（0.2+0.3）×3]2＝2.52，解得x＝2.5．考点二：弦图模型的应用【例2】．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若AE＝5，AB＝13，则中间小正方形EFGH的面积是49．解：∵AE＝5，AB＝13，∴BF＝AE＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝12，∴小正方形的边长EF＝12﹣5＝7，∴小正方形EFGH的面积为7×7＝49．故答案为：49．变式训练【变式2-1】．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝2.5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，若△BCD的周长是15，则这个风车的外围周长是38．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，AC＝y，则x2＝4y2+2.52，∵△BCD的周长是15，∴x+2y+2.5＝15则x＝6.5，y＝3．∴这个风车的外围周长是：4（x+y）＝4×9.5＝38．故答案是：38．【变式2-2】．如图，在弦图中，正方形ABCD的对角线AC与正方形EFHI的对角线EH交于点K，对角线AC交正方形EFHI于G，J两点，记△GKH面积为S1，△JIC面积为S2，若AE＝12，CD＝4，则S1+S2的值为16．解：由题意可得，AF＝CI，∠AFG＝∠CIJ＝90°，FH∥EI，∵∠AGF＝∠HGK，∠IJC＝∠KJE，∵FH∥EI，∴∠HGK＝∠KJE，∴∠AGF＝∠IJC，在△AFG和△CIJ中，，∴△AFG≌△CIJ（AAS），∴FG＝IJ，∵四边形EFHI为正方形，∴EI﹣IJ＝FH﹣FG，即HG＝EJ，在△GHK和△JEK中，，∴△GHK≌△JEK（AAS），∴HK＝EK，即点K为正方形EFHI的中心，如图，过点K作KM⊥FH于点M，∵AE＝12，CD＝4，∴BF＝12，AD＝，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝4，∴AF＝DE＝4，EF＝AE﹣AF＝12﹣4＝8，则FH＝8，KM＝4，设GH＝a，FG＝b，则a+b＝FH＝8，∴＝，＝＝2b，∴S1+S2＝2a+2b＝2（a+b）＝16．故答案为：16．1．如图所示，一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发，经过每个面的中心点后，又回到A点，蚂蚁爬行最短程S满足（）A．5＜S≤6B．6＜S≤7C．7＜S≤8D．8＜S≤9解：正方体展开图形为：则蚂蚁爬行最短程S＝5+＝5+．即6＜S≤7．故选：B．2．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan ∠ADE的值为（）A．B．C．D．解：设小正方形EFGH面积是a2，则大正方形ABCD的面积是13a2，∴小正方形EFGH边长是a，则大正方形ABCD的边长是a，∵图中的四个直角三角形是全等的，∴AE＝DH，设AE＝DH＝x，在Rt△AED中，AD2＝AE2+DE2，即13a2＝x2+（x+a）2解得：x1＝2a，x2＝﹣3a（舍去），∴AE＝2a，DE＝3a，∴tan∠ADE＝＝，故选：C．3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12B．15C．20D．30解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．4．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为4，大正方形面积为74，直角三角形中较小的锐角为θ，那么tanθ的值是（）A．B．C．D．解：由已知条件可知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2＝（）2，解得x＝5．则较长边的边长为x+2＝5+2＝7．故tanθ＝＝．故选：B．5．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将EG延长交CD于点I．记小正方形EFGH的面积为S1，大正方形ABCD的面积为S2，若DI＝2，CI＝1，S2＝5S1，则GI的值是（）A．B．C．D．解：如图，连接DG，∵赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，∴AE＝BF＝CG＝DH，AF＝BG＝CH＝DE，CH⊥DE，∵DI＝2，CI＝1，∴CD＝DI+CI＝2+1＝3，∵大正方形ABCD的面积为S2，∴S2＝CD2＝32＝9，又∵小正方形EFGH的面积为S1，S2＝5S1，∴S1＝，∴EF＝FG＝GH＝HE＝，∵将EG延长交CD于点I，∴∠HGE＝45°，在Rt△EHG中，由勾股定理得：EG＝＝，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，则AF＝BG＝CH＝DE＝x+，在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD2＝DH2+CH2，即9＝x2+（x+）2，解得：x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去），即AE＝BF＝CG＝DH＝x＝，∴DH＝EH＝，∴CH垂直平分ED，∴DG＝EG＝，∴∠DGH＝∠HGE＝45°，∴∠DGE＝45°+45°＝90°，∴∠DGI＝90°，在Rt△DGI中，由勾股定理得：GI＝＝＝，故选：A．6．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1的端点A到达A1，若圆柱底面半径为，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为13．解：因为圆柱底面圆的周长为2π×＝12，高为5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为＝13．故蚂蚁爬行的最短距离为13．7．如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是．解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π＝，解得n＝90°，所以展开图中圆心角为90°，根据勾股定理求得到点A的最短的路线长是：＝＝4．8．将四个全等的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2．则S1﹣S2＝12．解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），根据图1得：a+b＝6，根据图2得：a﹣b＝2，联立解得：，∴S1＝16，S2＝4，则S1﹣S2＝12．故答案为：12．9．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为16．解：由题意作出如下图，得AC＝，BD＝2，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝34，△ADC面积＝（5×3﹣2×3）＝4.5，阴影部分的面积S＝34﹣4×4.5＝16，故答案为：16．10．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用2.5秒钟．解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面右面由勾股定理得AB＝＝cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB＝＝5cm；所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2＝2.5秒．11．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E 的边长为7cm，则图中五个正方形A、B、C、D、E的面积和为98cm2．解：设正方形A、B、C、D的边长分别是a、b、c、d，则正方形A的面积＝a2，正方形B的面积＝b2，正方形C的面积＝c2，正方形D的面积＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y2，∴正方形A、B、C、D、E的面积和＝（a2+b2）+（c2+d2）+72＝x2+y2+72＝72+72＝98（cm2）．即正方形A，B，C，D、E的面积的和为98cm2．故答案为：98．12．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）．图2为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径作，再以CD为直径作半圆交于点E，若边长AB＝10，则△CDE的面积为20．解：如图，取CD的中点F，连接BF、BE、DE、EF，由题意可得，FE＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分线，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，＝×CE×DE＝×4×2＝20，∴S△CDE故答案为：20．13．图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为．解：如图，过点A作AM⊥EG的延长线于点M，过点F作FR⊥GH于点R，过点B作BN⊥GH，过点F作FN∥GH，延长GH交CK于K，∵四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形，∴AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH，∠AGF＝∠BFH＝90°＝∠AMG＝∠FRG＝∠BNF ＝∠CKH，∴∠AGM+∠FGM＝∠FGR+∠FGM，∴∠AGM＝∠FGR，∴△AGM≌△FGR（AAS），∴AM＝FR，GM＝GR，同理，△BFN≌△HFR≌△CHK（AAS），∴FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH2＝x2+y2，FG2＝x2+z2，GH＝y+z，根据题意，得：FH2+FG2＝GH2，∴x2+z2+x2+y2＝（y+z）2，∴x2＝yz①，∵AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11，∴2x+y+z＝9②，x+2y+z＝11③，②﹣③，得：x﹣y＝﹣2，即y＝x+2④，②×2﹣③，得：3x+z＝7，即z＝7﹣3x⑤，将④⑤代入①，得：x2＝（x+2）（7﹣3x），解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去），∴y＝4，z＝1，∴GH＝5，FG2＝5，FH2＝20，∴勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+××2＝55，∵教具的厚度等于木盒的内高，∴盒子的空间利用率为：＝，故答案为：．14．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连接AC，交BG于点P，交DE﹣S△CGP＝，③DH+HC＝4，④HC＝2+，于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP以上说法正确的是①③④.（填写序号）解：∵Rt△BCG≌Rt△DAE，∴CG＝AE，∠CGP＝∠AEM，∵CH∥AF．∴∠GCP＝∠MAE，∴△CGP≌△AEM（ASA），＝S△AEM，CP＝ME，∴S△CGP﹣S△CGP＝S四边形MEFP∴S△AFP∵HE＝GF，∴HM＝PF，＝S四边形MHGP＝S正方形EFGH＝1，∴S四边形MEFP﹣S△CGP＝1，∴S△AFP∵DH2+CH2＝DC2＝9，∴（DH+CH）2＝DH2+CH2+2DH•CH＝9+2DH•CH，∵CH﹣DH＝HG，∴（CH﹣DH）2＝HG2＝2，∴CH2+DH2﹣2DH•CH＝2，∴2DH•CH＝7，∴（DH+CH）2＝9+7＝16，∴DH+CH＝4，∵CH﹣DH＝，∴HC＝＝2+，故答案为：①③④．15．一个长方体盒子，它的长是12dm，宽是4dm，高是3dm，（1）请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？（1）如果有﹣只蚂蚁要想从D处爬到C处，求爬行的最短路程．解：（1）如图1，连接BD，∵AD＝12，AB＝4，∴BD2＝AD2+AB2＝122+42＝160，∴CD＝＝＝13（dm）．∵13dm＞12.5dm，∴长为12.5dm的铁棒能放进去；（2）如图2所示，CD＝＝dm．如图3所示，CD＝＝dm，如图4所示，CD＝＝dm，∵＞＞，∴爬行的最短路程是dm．16．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，可以验证勾股定理；（2）如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝．（1）证明：，另一方面，即a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2；（2）解：设正方形MNKT的面积为x，八个全等的直角三角形的面积均为y，∵S1+S2+S3＝16，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝12y+3x＝16，∴4y+x＝，∴S2＝4y+x＝．故答案为：．17．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．解：（1）在Rt△ABC中，由面积的两种算法可得：，解得：CD＝．（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得＝．。
初二数学蚂蚁绕圆柱问题
初二数学蚂蚁绕圆柱问题蚂蚁绕圆柱问题是初中数学中一个经典的几何问题。
它考察了学生对立体几何、视角和空间方向的理解与运用能力。
这个问题可以通过应用几何思维和空间想象力来解决，让我们一起来进行探讨。
问题描述：假设有一个半径为r的圆柱体，高度为h。
在圆柱体的最上方，有一只蚂蚁。
蚂蚁以固定速度匀速沿着圆柱体的表面爬行，它同时在水平方向和垂直方向都保持匀速运动。
当蚂蚁从最上面开始运动时，求它在整个圆柱体表面上总共走过的路程。
解题思路：要解决这个问题，我们需要先了解蚂蚁爬行的路径形式。
由于蚂蚁同时以匀速在水平和垂直方向移动，所以我们可以将问题简化为一个二维平面上的运动问题。
首先考虑在水平方向上的运动。
当蚂蚁从最上面开始向下移动时，它会遍历整个圆柱底部边缘的距离为2πr。
而当它再次回到圆柱顶部时，它在水平方向上又遍历了一次2πr的距离。
所以蚂蚁在水平方向上走过的总路程为4πr。
接下来考虑在垂直方向上的运动。
蚂蚁从最上面开始向下移动，经过了整个圆柱体的高度h。
当它再次回到最顶端时，它在垂直方向上又走过了一段等于h的距离。
所以蚂蚁在垂直方向上走过的总路程为2h。
综合考虑水平和垂直两个方向，我们可以得出结论：蚂蚁在整个圆柱体表面上总共走过的路程为4πr+2h.实际应用：这个问题看似简单，但涉及到几何思维和空间想象力。
学生通过解决这个问题能够锻炼自己对立体几何概念的理解和运用能力。
此外，这个问题也有一定的实际应用价值。
例如，在建筑设计中，我们需要计算建筑物外墙表面材料或者油漆需要多少来做预算，并且还需要考虑施工队伍和材料供应商的配合等实际因素。
通过解决这个问题，学生可以培养几何思维、空间想象力和创新能力。
同时，因为它涉及到多个数学概念的综合应用，也有助于学生全面理解和掌握这些数学概念。
拓展思考：除了蚂蚁绕圆柱体问题，我们还可以进一步讨论其他几何问题。
例如，在三维空间中如何计算球体、锥体或者棱柱的表面积和体积等等。
总结回顾：在初二数学中，蚂蚁绕圆柱问题是一个经典而有趣的几何问题。
专题24 勾股定理中的蚂蚁爬行模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(学生版)
专题24勾股定理中的蚂蚁爬行模型【模型】如图，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将上图正方体展开如图24-1，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：bcc b a c b a EC 2)(22222+++=++=【模型变式1】如图24-2，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将图24-2中的正方体展开如图24-4，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：ab c b a c b a EC 2)(22222+++=++=。
【模型变式2】如图24-3，已知在一个长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表面爬行，求蚂蚁从点E 到点C 的最短路径。
【证明】将图24-3中的正方体展开如图24-5，可知点E 到点C 的最短路径为图24-1中的线段EC 的长度。
根据勾股定理可得：ac c b a b c a EC 2)(22222+++=++=。
【例1】如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A ．35B ．1055C ．25D ．21【例2】如图，在圆柱的截面ABCD中，AB＝16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为_____．【例3】如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm(1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？(2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm?(结果可保留根号)一、单选题1．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB＝3cm，BC＝5cm，BF＝6cm，则最短的爬行距离是（）A．10B．14C D2．如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是（）A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．18cm3．如图所示，圆柱的高AB ＝3，底面直径BC ＝6，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱侧面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（）A ．B ．C ．9D ．4．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm ，A 和B 是这个台阶相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到B 处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为（）A ．25dmB ．26dmC ．24dmD ．27dm5．图，长方体的长为8，宽为10，高为6，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B 处有一滴糖浆，容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm ，宽为4cm ，高为3cm ，点A 距底部2cm ，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）A ．B ．10cmC ．D ．二、填空题7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____．8．如图，一只蚂蚁沿长方体的表面从顶点A 爬到另一顶点M ，已知AB ＝AD ＝2，BF ＝3．这只蚂蚁爬行的最短距离_____．9．如图，圆柱形容器外壁距离下底面3cm 的A 处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面3cm 的B 处的米粒，若圆柱的高为12cm ，底面周长为24cm ．则蚂蚁爬行的最短距离为_______．10．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm ．11．如图一只蚂蚁从长为4cm ，宽为3cm ，高为2cm 的长方体纸箱A 点沿纸箱爬到B 点，那么它爬行的最短路线的长是_________cm12．在底面周长为6cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为_________．三、解答题13．如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长80cm AD =，高60cm AB =，水深为40cm AE =，在水面上紧贴内壁G 处有一鱼饵，G 在水面线EF 上，且60cm EG =；一小虫想从鱼缸外的A 点沿壁爬进鱼缸内G 处吃鱼饵，求小动物爬行的最短距离．（鱼缸厚度忽略不计）14．(1)如图1，长方体的长、宽、高分别为3m ，2m ，1m ，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C ，那么所用细线最短需要______m ；(2)如图2，长方体的棱长分别为6cm AB BC ==，114cm AA =，假设昆虫甲从盒内顶点1C 开始以1cm/s 的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？15．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ，8cm ，30cm ．(1)在AB 的中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？16．如图①，长方体长AB 为8cm ，宽BC 为6cm ，高BF 为4cm ．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？(1)蚂蚁从点A 爬行到点G ，且经过棱EF 上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长．(2)设该长方体上底面对角线EG 、FH 相交于点O （如图②），则OE ＝OF ＝OG ＝OH ＝5cm ．①蚂蚁从点B 爬行到点O 的最短路径的长为cm ；②当点P 在BC 边上，设BP 长为a cm ，求蚂蚁从点P 爬行到点O 的最短路的长（用含a 的代数式表示）．17．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A ，C 嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？18．在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．我们将从一个格5．．．．．（1）在图15（2）在图2中有一只电子小马从格点M出发，经过跳马变换到达与其相对的格点N，则最少需要跳马变换的次数是次．的正方形网格中，一只电子小马从格点S经过若干次跳马变换到达（3）如图3，在2020与其相对的格点T，则它跳过的最短路程为．19．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，为了吃到蜂蜜，蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处．（1）右图是杯子的侧面展开图，请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A-P-B路线爬行，距离最短．（2）结合右图，求出蚂蚁爬行的最短路径长．20．现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．(1)求线段BG的长；(2)现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)。
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题
勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题一、勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题蚂蚁是一种非常有趣的昆虫，它们在寻找食物的过程中，会形成一条长长的队伍，这条队伍就像一条直线一样，非常整齐。
那么，为什么蚂蚁会形成这样的队伍呢？这与勾股定理有着密切的关系。
勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的一个定理，它告诉我们：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
这个定理在很多领域都有着广泛的应用，比如建筑、地理、物理等。
而在蚂蚁寻找食物的过程中，勾股定理也起到了关键的作用。
二、勾股定理在蚂蚁寻找食物中的应用1.1 蚂蚁的行进路线规划蚂蚁在寻找食物的过程中，会先释放一种叫做信息素的物质，这种物质可以帮助它们找到食物的方向。
当一只蚂蚁找到了食物后，它会回到巢穴，并释放更多的信息素。
其他蚂蚁在接收到这些信息素后，就会沿着这条路线前进，最终找到食物。
在这个过程中，蚂蚁需要选择一条最优的行进路线。
而这条路线就是由勾股定理来决定的。
具体来说，假设有一只蚂蚁A从巢穴出发，它需要走一段距离才能释放信息素。
这段距离可以看作是一个直角三角形的斜边。
那么，根据勾股定理，这段距离的平方等于A到巢穴的距离和A到食物的距离的平方和。
因此，A会选择一条使得这个等式成立的路线，这样才能使得整个队伍的行进速度最快。
1.2 蚂蚁之间的协作在蚂蚁寻找食物的过程中，并不是每只蚂蚁都能独立地找到食物。
有时候，它们需要和其他蚂蚁一起合作才能找到食物。
这时候，勾股定理同样发挥了重要的作用。
假设有一只蚂蚁B和一只蚂蚁C同时找到了食物。
那么，它们需要将食物带回巢穴。
在这个过程中，B和C之间需要保持一定的距离，以免发生碰撞。
这个距离也可以看作是一个直角三角形的斜边。
根据勾股定理，这个距离的平方等于B到食物的距离和C到食物的距离的平方和减去(B到C的距离)^2。
因此，B和C需要选择一条使得这个等式成立的路线，这样才能保证它们能够安全地将食物带回巢穴。
三、结论通过以上分析，我们可以看出，勾股定理在蚂蚁寻找食物的过程中发挥了非常重要的作用。
初中数学解题模型专题讲解12---蚂蚁行程
初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解专题12 12 蚂蚁行程蚂蚁行程蚂蚁行程模型模型 1 1 立体图形展开的最短路径立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点 A 沿圆柱表面爬行一周，到点 B 的最短路径就是展开图中 AB′的长。
做此类题目的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之 和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例模型实例例 1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是 12m，高 AB 是 5m，要从点 A 处 开始绕油罐一周建造房子，正好到达 A 点的正上方 B 处，问梯子最短有多长？例 2．如图，一直圆锥的母线长为 QA=8，底面圆的半径r =2，若一只小蚂蚁从 A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是多少？例3．已知长方体的长、宽、高分别为 30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从 A处出发到 B 处觅食，求它所走的最短路径。
（结果保留根号）模型练习模型练习1．有一个圆锥体如图，高 4cm，底面半径 5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧 面爬行到 C 处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为 8cm，底面周长为 4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从 A 点到 B 点，路线如图，则最短路程是多少？3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为 12 厘米，底面周长 18 厘米，在杯口 内壁离杯口距离 3 厘米的 A 处有一滴蜜糖，一只小虫 22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面 3 厘米的 B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．已知 O 为圆锥顶点，OA、OB 为圆锥的母线，C 为 OB 的中点，一只小蚂蚁 从点 C 开始沿圆锥侧面爬行到点 A，另一只小蚂蚁也从 C 点出发绕着圆锥侧面爬行到点 B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿 OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）5．如图，一只蚂蚁沿着边长为到点 B，如果它运动的路径是6．如图是一个边长为 6 的正蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬7．如图，是一个三级台阶，边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 路径是最短的，则最短距离为多少？的正方体木箱，点 Q 在上底面的棱上，AQ=2表面爬行到点 Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
蚂蚁怎样走最近 (题型全面)
B
A
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱 内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要 爬多远？
.B
C
40
.A
50 30
D
.B
40
.A
C
30 50
B
40
A C
D
30
D
50
80 40 8000 图①
2 2
C
40
50
.B
B
50
. A
C
30
D
2
C
40
30 90 9000 A 30
B
A
以小组为单位, 研究蚂蚁爬行的最 短路线
A
B
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B B
A
A
怎样计算AB？
A’ r O B A’ B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(π r)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径 为3cm，π取3，则:
2
D
图②
C
40
30
.B
B
30
.A
D
C 50
C
40
D 50 70 7400
2 2
50
A
图③
小 结：
把几何体适当展开成平面图形，再利 用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂 线段最短”等性质来解决问题。
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 = 12， 2
北师大版八年级数学上册《蚂蚁怎样走最近》课件
A
我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！
利用勾股定理解答最短路径问题
想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:
侧面展开图
小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？
解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为 x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米， 有x2=1.52+22 ,x =2.5
B
3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km．此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.
解：因为出发2小时，A组行了12×2=24(km)， B组行了9×2=18(km)， 又因为A，B两组相距30km， 且有242+182=302， 所以A，B两组行进的方向成直角．
（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？
解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，
得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
解:在AD上取点M,使AM=9, 在AB上取点N使AN=12, 测量MN是否是15，是，就是垂直； 不是，就是不垂直.
初中数学常见模型之蚂蚁行程
蚂蚁行程模型1 立体图形展开的最短路径模型分析上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。
到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。
做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有 多长？例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径2r =， 若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 。
例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm 、20cm 、10cm ，一只蚂蚁从A 处出发到B 处觅食，求它所走的最短路径。
（结果保留根号）热搜精练1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为。
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。
5．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
6．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
蚂蚁爬行问题 概率统计
蚂蚁爬行问题概率统计
这是一个经典的数学问题，通常被称为“蚂蚁爬杆问题”。
假设一个长度为L的直杆，一只蚂蚁从一端开始爬行，目标是到达另一端。
蚂蚁每次向上或向下爬行的距离为1，并且每次爬行的方向都是随机的。
我们需要计算蚂蚁到达杆的另一端的概率。
首先，我们定义以下变量：
L：杆的长度（一个正整数）
n：蚂蚁需要爬行的步数（一个正整数）
p：蚂蚁到达杆的另一端的概率
根据题目，我们知道每次蚂蚁向上或向下爬行的距离为1，所以n次爬行后，蚂蚁可能到达的位置范围是1到n。
因此，蚂蚁到达杆的另一端的条件是：
n mod L = 0
这意味着n是L的倍数。
因此，我们可以计算概率p为：
p = 1/L
现在我们可以进行计算。
计算结果为：p = 0.1
所以，蚂蚁到达杆的另一端的概率为：0.1。
八年级数学蚂蚁怎样走最近
B B
A
A
下一页>>
怎样计算AB？
A’
r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径 为3cm，π取3，则:
AB 12 (3 3) AB 15
2 2 2
A 12
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
A
A
你学会了吗?
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
根新生的芦苇，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇垂直拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边的水面，
中国古代人民 的聪明才智真 是令人赞叹 !
请问这个水池的深度和这根芦苇
的长度各是多少？
举一反三
练习1 练习2
解：设水池的水深AC为x尺，则 这根芦苇长为 AD=AB=（x+1）尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得:BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2 x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13
B 东
A
在Rt△ABC中
BC 2 AC 2 AB2 52 122 169 132
八年级数学蚂蚁怎样走最近
B B
A
A
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怎样计算AB？
A’
r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径 为3cm，π取3，则:
AB 12 (3 3) AB 15
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
3．有一个高为1.5米，半径是1米
的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一
小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒
在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒 有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x米,则 最长时: 2 2 2
x 1.5 2 x 2.5
你能画出示意 图吗?
∴最长是2.5+0.5=3(米) 最短时:
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
1．甲、乙两位探险者到沙漠 进行探险，某日早晨8：00甲先 出发，他以6km/h的速度向正东 行走，1小时后乙出发，他以 5km/h的速度向正北行走。上午 10：00，甲、乙两人相距多远？
北 C
解:如图:已知A是甲、乙的出发点， 10:00甲到达B点,乙到达C点.则: AB=2×6=12(千米) AC=1×5=5(千米)
B 东
A
在Rt△ABC中
BC 2 AC 2 AB2 52 122 169 132
∴BC=13(千米) 即甲乙两人相距13千米
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
2．如图，台阶A处的蚂蚁要 爬到B处搬运食物，它怎么走最 近？并求出最近距离。
初中数学31个几何模型之蚂蚁行程和中点四大模型
初中数学31个几何模型之蚂蚁行程和中点四大模型
蚂蚁行程就是求蚂蚁在杯壁中爬行觅食，求它爬行的最短距离，这种题型实际上是轴对称模型的一种变式应用。
这种题型有两种形式，一种是蚂蚁沿着立体图形的表面进行爬行，一种是从外表面爬行到内壁觅食。
第一种只需要把例题图形展开，沿对角线爬行即最短路径；第二钟是用轴对称的知识来找到最短路径，然后再计算。
这种题型在中考中考查的比较少，但是在刚学轴对称之后用的比较多，需要和“勾股定理”一起使用，求最短距离的长度。
中点的四大模型，包含中线倍长、等腰三角形三线合一、中位线定理、直角三角形斜边中线，这在八年级几何中非常的常见，也非常的重要，主要是构造全等三角形。
在九年级几何当中也是比较重要的，有的同学在刚学全等三角形的时候，老师由于这种类型讲的比较多，用起来还比较的顺手，但到了九年级这种题型讲的少了，遇到中点的问题就又忘了怎么做了。
所以我把几何模型归纳后，掌握几何模型比较重要的。
初中数学勾股定理之“蚂蚁爬行”模型 (解析版)
勾股定理之“蚂蚁爬行”模型【知识梳理】蚂蚁爬行的最值问题是非常经典的一类最值问题，我们如果能够记住最值的特点，那么解题将会更高效.【考点剖析】一、单选题1(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3πcm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是( )cm．A.5B.5πC.3+4πD.3+8π【答案】A【分析】如图，先把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如图示：可得线段AB的长度为所求的最短距离，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：把圆柱体沿着直线AC剪开，得到矩形如下：则线段AB的长度为所求的最短距离.由题意得圆柱的高为：4cm, 底面半径为3πcm，∴AC=4,BC=12C底面圆=12×2π×3π=3,∴AB=AC2+BC2=32+42=5,所以蚂蚁至少要爬行5cm路程才能吃到食物.故选：A【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，弄懂圆柱展开图是长方形，根据两点之间线段最短是解题的关键．2(2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习)如图，长方体的高为9dm，底面是边长为6dm的正方形.一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为()A.10dmB.12dmC.15dmD.20dm【答案】C【分析】将立体图形展开，有三种不同的展法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可．【详解】解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，AB=122+92=15dm；③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，DB=62+152=329dm；∵15<329，所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．故选：C．【点睛】本题考查的是平面展开--最短路径问题，此类问题先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径一般情况是利用两点之间，线段最短．关键是在平面图形上构造直角三角形解决问题．3(2022秋·浙江·九年级专题练习)如图，圆柱的底面周长为16，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为()A.10B.12C.14D.20【答案】A【分析】由于圆柱的高为12cm，S为BC的中点，故BS=6cm，先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长．【详解】解：沿着S所在的母线展开，如图，连接AS，则AB=12×16=8，BS=12BC=6，在Rt△ABS中，根据勾股定理AB2+BS2=AS2，即82+62=AS2，解得AS=10．∵A，S两点之间线段AS最短，∴点A到点S移动的最短距离为AS=10cm．故选：A．【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，在长方体透明容器(无盖)内的点B处有一滴糖浆，容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为6cm，宽为4cm，高为3cm，点A距底部2cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是(容器壁厚度不计)A.229cmB.10cmC.62cmD.45cm【答案】B【分析】沿着上面的棱将A点翻折至A'处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可．【详解】解：沿着上面的棱将A点翻折至A'处，则新长方体的长、宽、高依次为6cm，4cm，4cm，若蚂蚁的行走路线为后壁和下壁，则最短路径为：62+82=10cm，若蚂蚁的行走路线为左壁和下壁，则最短路径为：102+42=229cm，若蚂蚁的行走路线为左壁和前壁，则最短路径为：102+42=229cm，∵10<229，∴最短路径为：10cm．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，求算术平方根．能分类讨论是解题关键．5(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别是20dm,3dm,2dm，A和B是这个台阶相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到B处去吃食物，则这只蚂蚁爬行的最短距离为()A.25dmB.26dmC.24dmD.27dm【答案】A【分析】先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得x=25．故选：A．【点睛】本题的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题6(2022秋·福建宁德·九年级校考期中)如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC=12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为()A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm【答案】B【分析】把圆柱的侧面展开，连接AP，利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【详解】解：如图：展开后线段AB 的长度是圆柱中半圆AB 的周长，∵圆柱底面直径16πcm 、高BC =12cm ，P 为BC 的中点，∴BP =6cm ，∴AB =12×π×16π=8cm,在Rt △ABP 中，AP =AB 2+PB 2=82+62=10(cm )，∴蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离为10cm ，故选：B ．【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．7(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处，若AB =3cm ，BC =5cm ，BF =6cm ，则最短的爬行距离是()A.10B.14C.106D.130【答案】A 【分析】把长方体展开，根据两点之间线段最短得出最短路线AG ，根据勾股定理，即可求出AG 长度；【详解】把长方体展开有三种情况：当蜘蛛从A 出发到EF 上再到G 时，如下图所示∵BC=5cm，∴FG=BC=5cm，∴BG=5+6=11(cm)，在Rt△ABG中，AG=32+112=130(cm)；当蜘蛛从A出发到BF上再到G时，如下图所示∵AB=3cm，BC=5cm，∴AG=3+5=8(cm)，∵BF=6cm，∴CG=BF=6cm，在Rt△ABG中，AG=82+62=10(cm)，当蜘蛛从A出发到EH上再到G时，如下图所示∵AE=6cm，EF=3cm FG=5cm，∴AF=9cm，在Rt△AFG中，AG=92+52=106(cm)，∵130>106>10．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握两点之间线段最短是解题的关键．8(2022秋·江西萍乡·八年级统考期中)如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C 为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是()A.529cmB.25cmC.537cmD.16cm【答案】B【分析】分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较．【详解】把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1，AB=(10+20)2+52=925=537(cm)把上面展开到正面上，连结AB，如图2，把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，AB=102+(20+5)2=725=529(cm)．∵925>725>25所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm．故选：B．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．9(2023春·八年级课时练习)如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是()A.73厘米B.10厘米C.82厘米D.8厘米【答案】B【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【点睛】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.10(2021春·山东临沂·八年级统考期中)如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是()A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm【答案】A【分析】在侧面展开图中，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=A′E，A′P=AP，∴AP+PC=A′P+PC=A′C，×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，∵CQ=12在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=122+92=15cm，故选：A．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，同时也考查了学生的空间想象能力．将图形侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．二、填空题11(2023秋·河南南阳·八年级统考期末)如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．【答案】1【分析】画出容器侧面展开图(见详解)，作点A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B为最短距离．由题意知，A′D=0.6m，A′E=AE=0.2m，∴BD=0.9-0.3+0.2=0.8m，∴A′B=A D2+BD2=0.62+0.82=1(m)．故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将圆柱的侧面展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．12(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ= 2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为．【答案】10【分析】将正方体上表面如图展开(见详解)，根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q 的最短路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，∵PB=AB=6，AQ=2，∴BQ=6+2=8，∴PQ=PB2+BQ2=62+82=10．∴蚂蚁爬行的最短路程10．故答案为：10．【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键.13(2023秋·江西宜春·八年级校考期末)如图，长方体的长BE=15cm，宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM=5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是cm．【分析】首先将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM；或将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，或将长方体沿AB、AF、EF剪开，向下翻折，使面CBEH和下面在同一个平面内，连接AM，然后分别在Rt△ADM与Rt△ABM与Rt△ACM，利用勾股定理求得AM的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将长方体沿CH、HE、BE剪开，向右翻折，使面ABCD和面BEHC在同一个平面内，连接AM，如图1，由题意可得：MD=MC+CD=5+10=15cm，AD=20cm，在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM=152+202=25cm；将长方体沿CH、GD、GH剪开，向上翻折，使面ABCD和面DCHG在同一个平面内，连接AM，如图2，由题意得：BM=BC+MC=20+5=25(cm)，AB=10cm,在Rt△ABM中，根据勾股定理得：AM=252+102=529cm,连接AM，如图3，由题意得：AC=AB+CB=10+20=30(cm)，MC=5cm,在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AM=302+52=537cm,∵25<529<537，则需要爬行的最短距离是25．【点睛】此题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．14(2022秋·广东揭阳·八年级统考期末)如图，在圆柱的截面ABCD中，AB=16π，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离为．【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可得出AS 的长．【详解】如图所示，将其展开，∵在圆柱的截面ABCD 中：AB =16π，BC =12，∴AB =12×π×16π=8，BS =12BC =6，将其展开可得如下的矩形，在Rt ΔABS 中，∴AS =82+62=10．故答案为：10．【点睛】题目主要考查弧长公式、勾股定理及其在圆柱展开展开中的应用，能想到将圆柱展开应用勾股定理是解题关键．三、解答题15(2022秋·陕西咸阳·八年级校考阶段练习)如图，有一个高为10dm ，底面周长为48dm 的圆柱形水桶，水桶的底端A 处有一只蚂蚁，它准备沿水桶的侧面爬行到对角B 处去吃一滴蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路线长．【答案】蚂蚊爬行的最短路线长为26dm ．【分析】先把水桶的侧面展开图如图所示．确定AD 为半周长，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：水桶的侧面展开图如图所示．由题意，易得BD =10dm ，AD =24dm ，由勾股定理得，AB =AD 2+BD 2=242+102=26dm ，即蚂蚊爬行的最短路线长为26dm ．【点睛】本题考查最短路径问题，掌握圆柱侧面展开图，确定点B 是半周长的山边缘，用勾股定理求解是解题关键．16(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，一只螳螂在树干的点A 处，发现它的正上方点B 处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10cm ，A ，B 两点的距离为45cm，求螳螂爬行的最短距离(π取3)．【答案】75cm【分析】将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离，利用勾股定理即可求出AB．【详解】解：将圆柱形树干的侧面如图所示展开，根据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距离AF=2π×10≈60cm，BF=45cm∴AB=AF2+BF2=602+452=75cm答：螳螂爬行的最短距离为75cm．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解直角三角形和两点之间线段最短是解题关键．17(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图，是用棱长为1cm的两个正方体拼成的新几何体，求一只蚂蚁从顶点A出发沿着新几何体的表面爬行到顶点B的最短路程是多少cm？【答案】22cm【分析】根据两点之间线段最短，将组合体图形转化为平面图形，进而勾股定理求解即可【详解】解：如图，将组合体的上底面展开，点B到了点B 的位置，蚂蚁沿A→D→B所在的直线运动到B 路程最短，∴AB=AC2+B C2=22+22=22．若按以下方式展开，则AB =1+32=10∵10>22即蚂蚁从顶点A出发到顶点B的最短路程是22cm．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，将立体图形转化为平面图形是解题的关键．【过关检测】一．选择题(共7小题)18(2022秋•市中区期中)正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为()A.13B.17C.5D.2+5【分析】把此正方体的点M所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点M间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于2长，另一条直角边长等于3，利用勾股定理可求得．【解答】解：展开正方体的点M所在的面，∵BC的中点为M，所以MC=12BC=1，在直角三角形中AM=22+1+22=13．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．19(2022秋•清新区期中)如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程(π取3)是()A.12cmB.10cmC.14cmD.无法确定【分析】根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知．【解答】解：如图所示：可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长BC=4π2=2π=6，矩形的宽AC=8，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理得：AB=2π2+64≈10．故选：B．【点评】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算．20(2022春•思明区校级期中)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是()A.521B.25C.105+5D.35【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解答】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，(1)如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=AD2+BD2=152+202=625=25．(2)如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=AC2+BC2=52+302=925=537．(3)只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=BD2+AD2=102+252=529；由于25<529<537，故选：B．【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．21(2021秋•金水区校级月考)如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约()A.10cmB.12cmC.19cmD.20cm【分析】根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．【解答】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．故选：A．【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．22(2021春•宣化区期中)如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的侧面爬行到点C的最短路程大约是()A.6cmB.12cmC.13cmD.16cm【分析】根据题意，先将圆柱体展开，再根据两点之间线段最短．【解答】解：将圆柱体展开，连接DC，圆柱体的底面周长为24cm，则DE=12cm，根据两点之间线段最短，CD=52+122=13(cm)．而走D-B-C的距离更短，∵BD=5，BC=24π，∴BD+BC≈13．故选：C．【点评】本题考查了平面展开--最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．23(2022春•璧山区期中)如图，一圆柱体的底面周长为10cm，高AB为12cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为()A.17cmB.13cmC.12cmD.14cm【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm，则AD=10×12=5(cm)．又因为CD=AB=12cm，所以AC=52+122=13(cm)．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．故选：B．【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的计算，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键．24(2021秋•通川区校级月考)如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()A.(3+213)cmB.97cmC.85cmD.109cm【分析】作此题要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是42+92=97；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是72+62=85；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是32+102=109；三种情况比较而言，第二种情况最短．故选：C．【点评】此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．二．填空题(共8小题)25(2022春•凉州区期末)如图一只蚂蚁从长为5cm、宽为3cm，高是4cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是74cm．【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．(1)展开前面右面由勾股定理得AB2=(5+3)2+42=80；(2)展开前面上面由勾股定理得AB2=(4+3)2+52=74；(3)展开左面上面由勾股定理得AB2=(5+4)2+32=90．所以最短路径的长为AB=74(cm)．故答案为：74．【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题及勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．26(2021秋•将乐县期中)如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为15cm．(π取3)【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．【解答】解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=122+3π2=122+92=225=15cm．故蚂蚁经过的最短距离为15cm．【点评】解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．27(2021•南岗区校级开学)一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是10．【分析】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．【解答】解：如图(1)所示：AB=32+8+32=130；如图(2)所示：AB=62+82=10．由于130>10，所以最短路径为10．【点评】本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．28(2021秋•浚县期末)如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm．【分析】根据题意，过A点和B点的平面展开图分三种情况，再根据两点之间线段最短和勾股定理可以分别求得三种情况下的最短路线，然后比较大小，即可得到A点到B点的最短路线，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：7+52+92=225=15(cm)；当展开前面和上面时，最短路线长是：72+9+52=245=75(cm)；当展开左面和上面时，最短路线长是：52+9+72=281(cm)；∵15<75<281，∴一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是15cm，故答案为：15．【点评】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，利用分类讨论的方法解答．29(2022春•芙蓉区校级期末)如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是45cm．【分析】根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离．【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长，∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm，∴AB=82+42=45cm．故蚂蚁沿正方体的最短路程是45cm．【点评】本题的关键是将蚂蚁所走的最短路程转化为求矩形的对角线的长．30(2022春•重庆月考)如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是10．【分析】根据题意画出图形，求出AC、BC的长，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：有两种情况，如图所示：连接AB，求出AB的长就可以，(1)由题意知AC=4，BC=6+4=10，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=116；(2)由题意知：AC=4+4=8，BC=6，由勾股定理得：AB=AC2+BC2=100=10，(3)如图3，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=100=10；∵116>100，∴最短是10．故答案为：10．【点评】本题主要考查对平面展开-最短路线问题，勾股定理等知识点的理解和掌握，知道求出AB的长度是本题的结果是解此题的关键．31(2022秋•薛城区校级月考)如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 2.5米．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为2，宽为(0.2+0.3)×3，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[(0.2+0.3)×3]2=2.52，解得x=2.5．【点评】本题用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．32(2021秋•城阳区校级月考)如图，有一个圆柱形仓库，它的高为10m，底面半径为4m，在圆柱形仓库下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃相对一侧中点B处的食物，蚂蚁爬行的速度是50cm/min，那么蚂蚁吃到食物最少需要26min．(π取3)【分析】要想求得最少时间，则需要求得最短路程．首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形．此时AB所在的三角形的直角边分别是5m，12m，根据勾股定理求得AB的长．再根据时间=路程÷速度，求得蚂蚁吃到食物最少需要的时间．【解答】解：首先展开圆柱的半个侧面，即是矩形．此时AB所在的三角形的直角边分别是5m，12m．根据勾股定理求得AB=13m=1300cm，故蚂蚁吃到食物最少需要的时间是1300÷50=26min．【点评】此题的难点在于求得最短路径．是中等题．三．解答题(共2小题)33(2021秋•七里河区校级期末)如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请利用侧面展开图计算所用细线最短为多少．。
初中数学 最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径(无答案)
最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。
1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm第2题4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是（）A．A⇒P⇒B B．A⇒Q⇒B C．A⇒R⇒B D．A⇒S⇒B5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）第8题7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。
1AB A 1B 1DC D 1C 1248. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟．第9题 第10题 第11题 第12题10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
2023年中考数学复习讲义：第六章 勾股定理 (二十七)——蚂蚁爬行模型
第六章.勾股定理模型（二十七）——蚂蚁爬行模型【模型1】蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从A到B的最短路径：AB min＝√最长边2+(最短边＋较短边)2【模型2】蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从A到B的最短路径：①同测全周长＝√(2πr)2+ℎ2②异测半周长＝√(πr)2+ℎ2【模型3】蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从A沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B的最短路径.【作法】如图，首先找到 A关于杯子上沿的对称点A′点，设A′到B的垂直距离为h，则问题转化为异侧半周长的问题.由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 A´B＝√(πr)2+ℎ2典例1 ☆☆☆☆☆如图，长方体的长为15，宽为10，高为 20，点B 到点C 的距离为5一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬行到点B ，则需要爬行的最短距离是________。
【答案】25【解析】本题可看成蚂蚁是在长为5，宽为 10，高为 20 的长方体表面爬行，根据蚂蚁沿长方体表面爬行的结论∶d min ＝ √最长边2+(最短边＋较短边)2知 d min ＝ √202+(10＋5)2 ＝25 典例2 ☆☆☆☆☆如图，一圆柱高为8cm ，底面半径为2 cm ，一只蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点 A 爬到点 B 处觅食，则要爬行的最短路程（π取 3）是（ ）A.20 cmB.10 cmC.14 cmD. 无法确定【答案】B【解析】根据蚂蚁在圆柱表面爬行的结论，可知d min＝√(πr)2+ℎ2＝√(3×2)2+82＝10(cm).典例3 ☆☆☆☆☆如图所示，圆柱形容器高为6cm，底面周长为6cm，在容器内壁离底部2cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿2cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁 A处到达内壁 B 处的最短距离为______cm.【答案】3√5【解析】如图，将容器侧面展开，作 A关于EF（容器上沿）的对称点A´，连接A´B，过 B作 BC上FA 于点C，A´B＝√(A´C)2+BC2＝√(6−2+2)2+32＝3√5（cm）.即蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为3√5cm.1.（★★★☆☆）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9 cm，BC=6cm，BF=5cm，点 M在棱AB上，且AM＝3 cm，N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点 M爬行到点 N，则它需要爬行的最短路程为（）A.10 cmB.√106 cmC.(6-√34)cmD.9cm2.（★★★☆☆）如图，正四棱柱的底面边长为5 cm，侧棱长为6 cm，一只蚂蚁从四棱柱底面上的点 A 沿着棱柱表面爬到点C´处，求蚂蚁需要爬行的最短路径的长。
《蚂蚁怎样走最近》勾股定理PPT课件
A
在Rt△ABC中
BC 2 AC 2 AB2 52 122 169 132
∴BC=13(千米) 即甲乙两人相距13千米
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
2．如图，台阶A处的蚂蚁要 爬到B处搬运食物，它怎么走最 近？并求出最近距离。
20 3 2 B
A
AB2 152 202 625 252
AD2 AB2 302 402 2500 BD2 2500 AD 2 AB 2 BD 2
∴AD和AB垂直
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？ （3）小明随身只有一个长度为 20厘米的刻度尺，他能有办法 检验AD边是否垂直于AB边吗？ BC边与AB边呢？
2 2 2
A 12
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
A
A
你学会了吗?
李叔叔想要检测雕塑底座正 面的AD边和BC边是否分别垂直于 底边AB，但他随身只带了卷尺， （1）你能替他想办法完成任务 吗？ （2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
O
B B
A
A
怎样计算AB？
A’
r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2
专题20 蚂蚁爬行模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破(解析版)
专题20 蚂蚁爬行模型蚂蚁爬行模型的概述：蚂蚁在某几何体的一个顶点，爬行到另外一个相对的顶点去吃食物，求所走的最短路径是多少。
蚂蚁爬行模型的实质：两点之间，线段最短。
模型一：蚂蚁沿着长方体表面爬行，从点A 到点B 的最短距离：解题方法：在长方体问题中，我们需要将长方体展开，然后利用两点之间线段最短画图求解。
如果长方体的长、宽、高各不相同，一般分三种情况讨论。
模型二：蚂蚁沿着圆柱表面爬行，求最短距离：解题方法：在圆柱体中爬行，要分两种情况，圆柱的侧面展开图是长方形，可能爬行了长方形的一半，也有可能爬行了整个长方形分类讨论示意图展开图最短距离爬行半圈最短距离=（Πr ）2+h 2爬行一圈最短距离=（2Πr ）2+h 2模型三（蚂蚁吃蜂蜜问题）：求蚂蚁从点A 沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到点B 蜂蜜处的最短距离。
示意图展开图作法最短距离点A’为点A 关于圆柱上沿的对称点，若点A’与点B 的垂直距离为h ，则问题转化为将军饮马问题求解AB=（Πr ）2+h 2模型四：蚂蚁爬楼梯问题模型五：蚂蚁爬圆锥问题【培优过关练】1．（2022秋·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是（ ）．A．B．4C．D．6【答案】C【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【详解】解：圆锥主视图是边长为的正三角形，圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．如图，在圆锥侧面展开图中，，度．在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：C．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．2．（2022春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，点是棱长为的正方体的一个顶点，点是一条棱的中点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中两点间的距离为（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】连接，根据和勾股定理可得出两点间的距离．【详解】解：如图，在中，，∴，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，得出正方体上两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．3．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径，母线，为底面直径，为底面圆周上一点，，为上一点，，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A．B．C．D．【分析】首先得到弧的长，然后求得弧所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得的长即可．【详解】解：如图：∵，∴设弧所对的圆心角的度数为n，∴，解得，∴，∴．故选：D．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．4．（2022春·九年级课时练习）如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC 上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（）cm．A．14B．12C．10D．8【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出AB的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出DB的值，再在Rt△ABD 中，根据勾股定理求出AD 的长，即可得答案．【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示，∵圆柱的底面周长为12cm，∴AB =6cm，∵BC=10cm，DC=2cm，∴DB=8，在Rt△ABD 中，( cm )，即蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10cm，故选： C ．【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．5．（2022·山东淄博·统考二模）如图，一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，沿圆柱侧面爬到与相对的上底面的点，圆柱底面直径为4，母线为6，则蚂蚁爬行的最短路线长为（）A．B．C．D．10【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理来求．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC＝6，AC为底面半圆弧长，AC＝2π，所以AB＝．故选：B．【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算．6．（2022·山东东营·统考二模）如图一个圆柱，底圆周长10cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行（）cm ．A．9B．14C．D．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：∵底面⊙O的周长为10cm，∴AC=5cm，∵高BC=4cm，∴AB==cm．【点睛】此题考查了圆柱的平面展开---最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径．7．（2022春·九年级课时练习）已知圆锥底面半径为1，母线长为4，地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A 出发沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，连接AB，根据展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长求得扇形的圆心角，进而解三角形即可求解．【详解】解：根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离．∵点B是母线PA的中点，，∴，∵圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，又∵圆锥底面半径为1，∴扇形的弧长=圆锥底面周长，即，扇形的半径=圆锥的母线=PA=4，由弧长公式可得：∴扇形的圆心角，在Rt△APB中，由勾股定理可得：，所以蚂蚁爬行的最短路程为，故选：C．【点睛】.本题考查平面展开--最短路径问题、圆的周长计算公式、弧长计算公式，勾股定理等知识，解题的关键是“化曲为直”，将立体图形转化为平面图形．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．cm B．13cm C．cm D．cm【答案】B【分析】将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短即可知A′B的长度即为最短距离．利用勾股定理求出A′B即可．【详解】如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，∴A′D＝5cm，A′E=AE=3，BD＝12﹣3+A′E＝12cm，∴A′B＝＝＝13cm．故选：B．【点睛】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．9．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】将长方体侧表面剪开与前面、上面、后面侧面分别形成一个长方形，分别利用勾股定理计算出AB 的距离即可解答.【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：因为长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，所以BD=CD+BC=10+5=15，AD=20在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：此时BD=CD+BC=20+5=25,所以同理与后面侧面所在构成一个长方形，如图3，可求因为所以选B.【点睛】本题考查的是两点之间线段最短和勾股定理，本题关键是将长方体侧面展开，利用两点之间线段最短解答.10．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）A．B．C．D．2【答案】A【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为，连接，．线段与的交点为，线段是最短路程．【详解】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形，则线段为所求的最短路程．设．，即．为弧中点，，，，最短路线长为．故选：A．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，扇形的面积和特殊值的三角函数等问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形．11．（2021春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为和和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（ ）A．B．C．D．【答案】B【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．12．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，一只蚂蚁沿着边长为的正方体表面从点出发，经过个面爬到点，如果它运动的路径是最短的，则的长为____．【答案】【分析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时最短，根据，由相似比可得，求出的长，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短，，，，，即，即，，在中，根据勾股定理得：，故答案为：．【点睛】此题考查了平面展开图—最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出的长是解本题的关键．13．（2022春·广东茂名·九年级统考期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．【答案】15【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；∵底面周长为24cm，∴∵，∴cm，∴cm，故答案为：15．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．14．（2022秋·山东临沂·九年级统考期末）如图，已知长方体的长为5cm，宽为4cm，高为3cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面A点爬到C点，那么这只蚂蚁需要走的最短路程为___________．【答案】cm【分析】根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵长方体的长为5cm，宽为4cm，∴AB＝4cm，BC＝5cm，∴AC＝＝＝（cm），故答案为：cm．【点睛】本题主要考查了平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．15．（2022·山东临沂·校考二模）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．【答案】30π厘米【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π；又∵圆柱高为18π，∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π；根据勾股定理求得AC=CD=DB==10π；∴AC+CD+DB=30π．故答案为：30π厘米．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．16．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是_____.【答案】61【详解】解: 如图①:AM2=AB2+BM2=16+(5+2)2=65;如图②:AM2=AC2+CM2=92+4=85;如图③:AM2=52+(4+2)2=61.∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是:61.故答案为:61.17．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示的长方体的长、宽、高分别为厘米、厘米、厘米．若一只蚂蚁从点出发沿着长方体的表面爬行到棱的中点处．则蚂蚁需爬行的最短路程是_______________厘米．【答案】【分析】先把长方体展开，分类讨论，分别根据勾股定理求出AM的长比较即可．【详解】解：长方体部分展开如图所示，连接AM，则线段AM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程，根据已知数据可得，AN=4cm，MN=4cm，AM=，如图，如图，最短距离为故答案为：．【点睛】此题考查了几何体的展开图的应用，以及线段的性质：两点之间，线段最短，解决立体几何两点间的最短距离时，通常把立体图形展开成平面图形，转化成平面图形两点间的距离问题来求解．18．（2022春·陕西西安·九年级校考期中）如图，有一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆周长为24cm，如果在盒外AD的中点P处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为2cm/s，它想吃到点B处（点A、B正好相对）的食物，那么它至少需要爬行_____s．【答案】【分析】按不同的展开方式，分类讨论：第一种情况：蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，利用勾股定理即可求解；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，此时爬行的距离为AP 加上底面圆的直径；最后比较两种方式所用的时间即可求解．【详解】分两种情况讨论：第一种情况，蚂蚁沿着圆柱体的侧面直接到达B点，此时：将圆柱体的侧面展开，连接PB，即PB为最短路径，如图，根据题意有：AD=10，AB为底面圆周长的一半，即AB=24÷2=12，∵P点为AD中点，∴AP=5，在Rt△APB中，（cm），∵蚂蚁的速度为2cm/s，∴蚂蚁需要的时间为：13÷2=6.5（s），即此时蚂蚁需要6.5s；第二种情况：蚂蚁由P点直接到达A点，再由A点经过底面圆直达B点，连接AB，可知AB为底面圆的直径，圆柱体展开如图，∵底面圆的周长为24，∴底面圆的直径AB=，∵AP=5，∴此时蚂蚁行走的距离为AP+AB=+5（cm），∴此时蚂蚁需要的时间为：（s），∵，∴蚂蚁需要的最短时间为：s，故答案为：．【点睛】本题考查了圆柱体中的最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”．解答此题时，注意分类讨论．19．（2023秋·广东佛山·八年级佛山市高明区沧江中学校考期末）如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，则它爬行的最短距离为_____．【答案】13m##13米【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：如图所示，台阶平面展开图为长方形，，，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：，即，，故答案为：m．【点睛】本题主要考查了平面展开图—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．20．（2022秋·河北邢台·九年级金华中学校考期末）一个几何体的三视图如图所示，如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点出发，沿表面爬到的中点，请你求出这条线路的最短路径．【答案】【分析】根据三视图可知这个几何体是圆柱，画出侧面展开图，然后根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据三视图可知这个几何体是圆柱，侧面展开图如图，∵底面直径为，∴，∵，∴，在中，，即这条线路的最短路径为．【点睛】本题考查了三视图，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．21．（2022秋·九年级单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？【答案】【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可．【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是，宽是3时，．如图2，当爬的长方体的长是，宽是4时，．如图3，爬的长方体的长是，宽是6时，．，它需要爬行的最短路径是．【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径．22．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？(2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【答案】(1)50cm(2)300cm【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为的长，圆柱的高即为的长，求出的长即为葛藤绕树的最短路程．（2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高．【详解】（1）解：如图，树干的周长即底面圆的周长为30cmcm葛藤升高40cmcm由勾股定理得cm所以，葛藤爬行的路程是50cm（2）解：树干的周长即底面圆的周长为40cmcm葛藤绕一圈爬行50cmcm由勾股定理得绕行1圈的高度爬行10圈到达树顶树干高cm所以，树干高为300cm【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边的长．23．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为的正方形，高为；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）【答案】(1)图见详解，(2)图见详解，【分析】（1）从底面点开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点，相当于直角三角形的两条直角边分别是60和10，再根据勾股定理求出斜边长即可；（2）求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【详解】（1）解：如图，将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求的彩带长，，，，答：彩带的长度是；（2）解：当上面的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时；当右边的面与前面的面展成一个平面时，如图，此时；当上面的面与左边的面展成一个平面时，如图，此时；由上可知小刚所需要的彩带最短是．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出平面图形是解此题的关键，利用了数形结合思想．24．（2022秋·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）如图1，等腰三角形中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值也就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如．(1) ， ，的取值范围是 ；(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，）【答案】(1)(2)20.7【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；（2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答．【详解】（1）解：如图1，，则，∴，如图2，，作于D，则，∴，∴，∴；∵，∴，∴．故答案为：．（2）解：∵圆锥的底面直径，∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为，设扇形的圆心角为，则，解得，∵，∴蚂蚁爬行的最短路径长为．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键．25．（2022·江苏·九年级专题练习）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径；设∠AOC=n°，∵圆锥的母线长为，的长为，∴，∴；连接OA、CA，∵，∴是等边三角形，∵B为母线的中点，∴，∴．（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l②蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h，OB=b，由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，作BE⊥OG，垂足为E，因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．26．（2022秋·浙江·九年级专题练习）李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个。
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蚂蚁行程
模型1 立体图形展开的最短路径
模型分析
上图为无底的圆柱体侧面展开图，如图蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬行一周。
到点B 的最短路径就是展开图中AB ′的长，22''''AB AA A B =+。
做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。
模型实例
例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子
最短有 多长？
例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径2r =， 若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短
路线长是 。
例3．已知长方体的长、宽、高分别为30cm 、20cm 、10cm ，一只蚂蚁从A 处出发到B 处觅食，求它所走的最短路径。
（结果保留根号）
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1．有一个圆锥体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲沿侧面爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。
2．如图，圆锥体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图，则最短路程为。
3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫22 杯子外壁，当它正好在蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
4．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。
5．如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。
6．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm、3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？。