初中数学直角三角形基础习题含答案
初中数学解直角三角形练习题及答案
初中数学解直角三角形练习题及答案直角三角形是初中数学中的重要内容,解直角三角形的练习题能够帮助学生巩固知识并提高解题能力。
以下是一些常见的直角三角形练习题及答案供参考:1. 问题:已知直角三角形ABC中,∠C为直角,∠A=30°,斜边AB的长度为10单位。
求∠B和边BC的长度。
解答:由直角三角形的性质可知,∠A + ∠B + ∠C = 180°,且∠C = 90°。
代入已知条件可得∠B + 30° + 90° = 180°,化简得∠B = 60°。
根据正弦定理,可以得出sin 30°/10 = sin 60°/BC。
化简运算可得BC = 10√3 单位。
答案:∠B = 60°,BC = 10√3 单位。
2. 问题:在直角三角形ABC中,∠C为直角,AB = 5单位,AC = 12单位。
求∠A和∠B的大小。
解答:根据勾股定理可得 AC^2 = AB^2 + BC^2,代入已知条件可得 12^2 = 5^2 + BC^2。
化简运算可得BC = √119 单位。
由正弦定理可得 sin A/5 = sin 90°/12,化简运算可得 sin A = 5/12。
通过查表或计算器可以得到∠A 的近似值为 24.6°。
∠B = 90° - ∠A - ∠C = 90° - 24.6° - 90° = 65.4°。
答案:∠A 约等于 24.6°,∠B 约等于 65.4°。
3. 问题:在直角三角形ABC中,AC = 8单位,BC = 15单位。
求∠A和边AB的长度。
解答:根据勾股定理可得 AC^2 + BC^2 = AB^2,代入已知条件可得 8^2 + 15^2 = AB^2。
化简运算可得AB = √289 = 17 单位。
由正弦定理可得 sin A/8 = sin 90°/15,化简运算可得 sin A = 8/15。
直角三角形练习题及答案
直角三角形练习题及答案一、选择题1. 直角三角形中,直角边长分别为3厘米和4厘米,斜边长是多少?A. 5厘米B. 6厘米C. 7厘米D. 8厘米2. 在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,求AB的长度。
A. 13B. 15C. 20D. 263. 直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边为c,根据勾股定理,正确的表达式是:A. a² + b² = cB. a² + b² = c²C. a² - b² = cD. a² + c² = b二、填空题4. 直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为5,另一条直角边的长度是________。
5. 如果直角三角形的一条直角边长为x,另一条直角边长为2x,斜边长为3x,那么x的值是________。
三、解答题6. 已知直角三角形的两条直角边分别为6厘米和8厘米,求斜边的长度。
7. 一个直角三角形的斜边长为10厘米,一条直角边长为6厘米,求另一条直角边的长度。
8. 直角三角形的高为4厘米,底为6厘米,求斜边的长度。
答案:一、选择题1. A2. B3. B二、填空题4. 12厘米5. 3三、解答题6. 根据勾股定理,斜边长度为√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10厘米。
7. 根据勾股定理,另一条直角边的长度为√(10²-6²)=√(100-36)=√64=8厘米。
8. 根据勾股定理,斜边长度为√(4²+6²)=√(16+36)=√52厘米。
以上练习题及答案旨在帮助学生加深对直角三角形及其性质的理解,通过实际计算来掌握勾股定理的应用。
自学初中数学资料 直角三角形(资料附答案)
自学资料一、直角三角形【知识探索】1.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等,那么这两个直角三角形全等.(简记为:H.L).【错题精练】例1.如图,在直线l上依次摆放着七个正方形,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44,正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4=______.【解答】解:由勾股定理的几何意义可知:S1+S2=1,S2+S3=1.21,S3+S4=1.44,∴S1+S2+S3+S4=2.44.第1页共41页自学七招之日计划护体神功:每日计划安排好,自学规划效率高非学科培训故填:2.44.【答案】2.44例2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,将边AB沿AE翻折,使点B落在BC上的点D处,再将边AC沿AF翻折,使点C落在AD延长线上的点C′处,两条折痕与斜边BC分别交于点E,F,则线段C′F的长为()A. 85B. √32C. 35D. 45【解答】解:∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴BC=10,∵将边AB沿AE翻折,使点B落在BC上的点D处,∴∠AEC=∠AEB,∠BAE=∠DAE,∵∠BED=180°,∴∠CEA=90°,即CE⊥AE,∵S△ABC=12AB×AC=12AE×BC,∴AE=4.8,在Rt△ACE中,CE=√AC2−AE2=6.4,∵将边AC沿AF翻折,使点C落在AD延长线上的点C′处,∴CF=C'F,∠CAF=∠C'AF,∵∠BAE+∠DAE+∠CAF+∠C'AF=∠BAC=90°,∴∠EAF=45°,且CE⊥AE,∴∠EAF=∠EFA=45°,∴AE=EF=4.8,∵CF=CE-EF=6.4-4.8=1.6,∴C'F=1.6=85,故选:A.【答案】A第2页共41页自学七招之智慧树神拳:知识内容体系化,思维导图来助力非学科培训例3.如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.【答案】解:(1)Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,∴∠B=∠C=45°.∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.又∵∠ADE=45°,∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.∴∠EDC=∠BAD.∴△ABD∽△DCE.(2)①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意.②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,于是AB=AC=2,BC=22,AE=AC-EC=2-BD=2-(22-2)=4-22,③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.第3页共41页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=12AC=1.例4.△ABC是⊙O的内接三角形;(1)如图1,若BC=4√2,AC=7,∠ACB=45°,求⊙O的半径.(2)如图2,若AB=7,BC=5,AC=8,求∠C的度数及⊙O的半径.(3)如图3,△ABC是⊙O的内接三角形,BE是AC边上的高,连结BO.①请证明:∠CBE=∠ABO;②若AB=7,BC=6,AC=8,请求出⊙O的半径.【答案】解:(1)作直径BD,BH⊥AC于H,连结AD,如图1,在Rt△BCH中,CH=BH=√22BC=√22•4√2=4,∴AH=AC-CH=7-4=3,在Rt△ABH中,AB=√AH2+BH2=5,∵BD为直径,∴∠BAD=90°,第4页共41页自学七招之智慧树神拳:知识内容体系化,思维导图来助力非学科培训∵∠D=∠ACB=45°,∴△ABD为等腰直角三角形,∴BD=√2AB=5√2,∴⊙O的半径为5√22;(2)作直径BD,BH⊥AC于H,连结AD,如图2,设CH=a,BH=b,则AH=AC-CH=8-a,在Rt△BCH中,a2+b2=52①,在Rt△BAH中,(8-a)2+b2=72②,①-②得-64+16a=-24,解得a=52,在Rt△BCH中,∵BC=5,CH=52,∴∠CBH=30°,∴∠C=60°,∵BD为直径,∴∠BAD=90°,∵∠D=∠ACB=60°,∴AD=√33AB=7√33,∴BD=2AD=14√33∴⊙O的半径为7√33;(3)①证明:作直径BD,连结AD,如图3,∵BE⊥AC,∴∠CBE+∠C=90°,∵BD为直径,∴∠BAD=90°,∴∠D+∠ABD=90°,∵∠D=∠ACB,∴∠CBE=∠ABO;②设CE=a,BE=b,则AE=AC-CE=8-a,在Rt△BCE中,a2+b2=62①,第5页共41页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训在Rt△BAE中,(8-a)2+b2=72②,①-②得-64+16a=-13,解得a=5116,在Rt△BCE中,∵BC=6,CE=5116,∴BE=√BC2−CE2=21√1516,∵∠CBE=∠ABD,∴Rt△ABD∽Rt△EBC,∴BDBC =AB BE,∴BD=6×721√1516=32√1515,∴⊙O的半径为16√1515.例5.如图,AB是圆O的直径,CD是圆O的一条弦,且CD⊥AB于点E.(1)若∠A=48°,求∠OCE的度数;(2)若CD=4√2,AE=2,求圆O的半径.【答案】解:(1)∵CD⊥AB,∠A=48°,∴∠ADE=42°.∴∠AOC=2∠ADE=84°,∴∠OCE=90°-84°=6°;(2)解:因为AB是圆O的直径,且CD⊥AB于点E,所以CE=12CE=12×4√2=2√2,在Rt△OCE中,OC2=CE2+OE2,设圆O的半径为r,则OC=r,OE=OA-AE=r-2,所以r2=(2√2)2+(r-2)2,解得:r=3.所以圆O的半径为3.第6页共41页自学七招之智慧树神拳:知识内容体系化,思维导图来助力非学科培训例6.如图,点D在半圆O上,半径OB=√61,AD=10,点C在弧BD上移动,连接AC,H是AC上一点,∠DHC=90°,连接BH,点C在移动的过程中,BH的最小值是()A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解:如图,取AD的中点M,连接BD,HM,BM.∵DH⊥AC,∴∠AHD=90°,∴点H在以M为圆心,MD为半径的⊙M上,∴当M、H、B共线时,BH的值最小,∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴BD=√(2√61)2−102=12,BM=√BD2+DM2=√122+52=13,∴BH的最小值为BM-MH=13-5=8.故选:D.【答案】D例7.如图所示,P、Q分别是Rt△ABC两直角边AB、AC上两点,M为斜边BC的中点,且PM⊥QM,MD⊥AB于点D,ME⊥AC于点E.求证:(1)△MPD∽△MQE;(2)AD•PD=AE•EQ:(3)PB2+QC2=PM2+QM2.【答案】证明:(1)∵MD⊥AB于点D,ME⊥AC,∠A=90°,∴∠MDP=∠MEA=∠A=90°,∴四边形ADME是矩形,∴AD=EM,AE=DM,∠DME=90°,∵PM⊥QM,第7页共41页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训∴∠PMQ=90°,∴∠DMP=∠EMQ,∴△MPD∽△MQE;(2)∵△MPD∽△MQE,∴PDEQ =DMEM,∵AD=EM,AE=DM,∴PDEQ =AEAD,∴AD•PD=AE•EQ;(3)如图,以M点为中心,△MCQ顺时针旋转180°至△MBN,∴△MCQ≌△MBN,∴BN=QC,MN=MQ,∠MBN=∠C,连接PN,PQ,∵PM⊥QM,∴PM垂直平分NQ,∴PN=PQ,∵△ABC是直角三角形,BC是斜边,∴∠ABC+∠C=90°,∴∠ABC+∠MBN=90°,即△PBN是直角三角形,根据勾股定理可得,PN2=PB2+BN2,∴PQ2=PB2+QC2,∵PQ2=PM2+QM2,∴PB2+QC2=PM2+QM2.例8.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为()cm2.A. 3cm2B. 4cm2C. 7cm2D. 49cm2第8页共41页自学七招之智慧树神拳:知识内容体系化,思维导图来助力非学科培训【解答】解:∵所有的三角形都是直角三角形,所有的四边形都是正方形,∴正方形A的面积=a2,正方形B的面积=b2,正方形C的面积=c2,正方形D的面积=d2,又∵a2+b2=x2,c2+d2=y2,∴正方形A、B、C、D的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2.故选:D.【答案】D例9.如图,点E是Rt△ABC、Rt△ABD的斜边AB的中点,AC=BC,∠DBA=20°,那么∠DCE的度数是______.【解答】解:∵点E是Rt△ABD的斜边AB的中点,AB,∴ED=EB=12∴∠EDB=∠DBA=20°,∴∠DEA=∠EDB+∠DBA=40°,∵点E是Rt△ABC的斜边AB的中点,AC=BC,AB,CE⊥AB,∴EC=12∴∠DEC=130°,ED=EC,∴∠DCE=25°,故答案为:25°.【答案】25°例10.如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,求AM的最小值.第9页共41页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训【答案】解:∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,∴AB2+AC2=BC2,即∠BAC=90°.又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP.∵M是EF的中点,∴AM=12EF=12AP.当AP⊥BC时,AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高125,∴AM的最小值是65.例11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则CD的长为______.【解答】解:连接CD,∵∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,第10页共41页自学七招之智慧树神拳:知识内容体系化,思维导图来助力非学科培训∴∠B=60°,BC=12AB=2,∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,∴△BCD是等边三角形,∴CD=BC=2,故答案为:2.【答案】2例12.(1)如图1是一家唇膏卖家的礼品装,卖家采用了正三梭柱形盒子,里面刚好横放一支圆柱形唇膏,右图是其横载面,△ABC为正三角形.求这个包装盒空间的最大利用率(圆柱体积和纸盒容积的比);(2)一个长宽高分别为l,b.h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2.求纸箱空间的利用率(易拉罐总体积和纸箱容积的比);(3)比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大?【答案】解:(1)由题意,⊙O是△ABC内接圆,D为切点,如图1,连结OD,OC.设⊙O半径为r,纸盒长度为h',则CD=√3r,BC=2√3r则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为:πr2ℎ′√34(2√3r)2ℎ′=√39π(若设△ABC的边长为a,则圆柱型唇膏和纸盒的体积比为112πa2ℎ′√34a2ℎ′=√39π)(2)易拉罐总体积和纸箱容积的比:l2r•b2r•πr2ℎlbℎ=π4;(3)∵√39ππ4=4√39=√4881<1∴第二种包装的空间利用率大.例13.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN.(1)求证:BM=MN;(2)∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.【答案】(1)证明:在△CAD中,∵M、N分别是AC、CD的中点,∴MN∥AD,MN=12AD,在RT△ABC中,∵M是AC中点,∴BM=12AC,∵AC=AD,∴MN=BM.(2)解:∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°,由(1)可知,BM=12AC=AM=MC,∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°,∵MN∥AD,∴∠NMC=∠DAC=30°,∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°,∴BN2=BM2+MN2,由(1)可知MN=BM=12AC=1,∴BN=√2例14.如图,点D为线段AB延长线上一点,△ABC和△BDE分别是以AB,BD为斜边的等腰直角三角形.连接CE并延长,交AD的延长线于F,△ABC的外接圆圆O交CF与点M.若AB=6,BD=2.(1)求CE长度;(2)证明:AC2=CM•CF;【答案】解:(1)∵△ABC 和△BDE 等腰直角三角形,AB=6,BD=2.∴BC=√22AB=3√2,BE=√22BD=√2,∠ABC=∠EBD=45°,∴∠CBE=90°,∴CE=√CB 2+BE 2=2√5;(2)证明:连接AM ,则∠AMC=∠ABC=∠CAF=45°,∵∠ACM=∠FCA∴△ACM ∽△FCA ,∴AC CF =CM AC ,∴AC 2=CM•CF ;(3)∵∠ABC=∠BDE ,∴DE ∥BC ,∴△EDF ∽△CBF ,∴DF BF =DE BC =EF CF ,∴EF EF+CE =DF BD+DF =√23√2=13,∴BF=3,CF=3√5,∵BF•AF=FM•CF ,∴FM=9√55, ∴CM=3√5-9√55=6√55.例15.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点A 在第一象限,点B ,C 的坐标为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC ,直线AB 交x 轴于点P .若△ABC 与△A'B'C'关于点P 成中心对称,则点A'的坐标为______.【解答】解:如图:点B,C的坐标为(2,1),(6,1),得BC=4.由∠BAC=90°,AB=AC,得AB=2√2,∠ABD=45°,∴BD=AD=2,A(4,3),设AB的解析式为y=kx+b,将A,B点坐标代入,得{2k+b=14k+b=3,解得{k=1b=−1,AB的解析式为y=x-1,当y=0时,x=1,即P(1,0),由中点坐标公式,得x A′=2x P-x A=2-4=-2,y A′=2y A′-y A=0-3=-3,A′(-2,-3).故答案为:(-2,-3).【答案】(-2,-3)例16.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2.以AC为一边,在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为______.【解答】解:①以A为直角顶点,向外作等腰直角三角形DAC,∵∠DAC=90°,且AD=AC,∴BD=BA+AD=2+2=4;②以C为直角顶点,向外作等腰直角三角形ACD,连接BD,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACD=90°,∴∠DCE=45°,又∵DE⊥CE,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=45°,∴CE=DE=2×√2=√2,2在Rt△BAC中,BC=√22+22=2√2,∴BD=√BE2+DE2=√(2√2+√2)2+(√2)2=2√5;③以AC为斜边,向外作等腰直角三角形ADC,∵∠ADC=90°,AD=DC,且AC=2,∴AD=DC=ACsin45°=2×√2=√2,2又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形,∴∠ACB=∠ACD=45°,∴∠BCD=90°,又∵在Rt△ABC中,BC=√22+22=2√2,∴BD=√BC2+CD2=√(2√2)2+(√2)2=√10.故BD的长等于4或2√5或√10.【答案】4或2√5或√10【举一反三】1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,BC=4√3,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置,B'D交AB于点F.若△AB'F为直角三角形,则AE的长为______.【解答】解:①如图1中,当∠AFB′=90°时.在Rt△ABC中,∵∠B=30°,AC=4,∴AB=2AC=8,∵BD=CD,∴BD=CD=12BC=2√3,由折叠的性质得:∠BFD=90°,B'E=BE,∴∠BDF=60°,∴∠EDB=∠EDF=30°,∴∠B=∠EDB=30°,∴BE=DE=B'E,∵∠C=∠BFD=90°,∠DBF=∠ABC=90°,∴△BDF∽△BAC,∴BFBC =BDAB,即BF4√3=2√38,解得:BF=3,设BE=DE=x,在Rt△EDF中,DE=2EF,∴x=2(3-x),②如图2中,当∠AB′F=90°时,作EH⊥AB′交AB′的延长线于H.设AE=x.∵AD=AD,CD=DB′,∴Rt△ADC≌Rt△ADB′(HL),∴AC=AB′=4,∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,∴∠EB′H=60°,在Rt△EHB′中,B′H=12B′E=12(8-x),EH=√3B′H=√32(8-x),在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2,∴[√32(8-x)]2+[4+12(8-x)]2=x2,解得:x=285,综上所述,满足条件的AE的值为6或285.故答案为:6或285.【答案】6或2852.如图,已知∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC的边AB,BC,CA为一边向△ABC外作正方形ABDE,正方形BCMN,正方形CAFG,连接EF,GM,设△AEF,△CGM的面积分别为S1,S2,则下列结论正确的是()A. S1=S2B. S1<S2C. S1>S2D. S1≤S2【解答】解:过E作ER⊥AF,交FA的延长线于R,设△ABC的三边BC,AC,AB的长分别为a、b、c,∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,∵AE=AB,∠ARE=∠ACB=90°,∠EAR=∠CAB,∴△AER≌△ABC,∴ER=BC=a,而FA=b,1∵CG=b ,CM=a ,∴S 2=12ab ,∴S 1=S 2,故选:A .【答案】A3.如图,在△AOB 中,已知∠AOB=90°,AO=3,BO=4.将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转α(0°<α<90°)到△A 1OB 1处,此时线段OB 1与边AB 的交点为点D ,则在旋转过程中,线段B 1D 长的最大值为( )A. 4.5B. 5C. 125D. 85【解答】解:因为OB 1的长度是定值,所以当OD 最短即可OD ⊥AB 时,B 1D 长的取最大值.∵如图,在△AOB 中,已知∠AOB=90°,AO=3,BO=4,∴AB=√OA 2+OB 2=√32+42=5,则12OA•OB=12AB•OD ,OD=OA•OB AB =3×45=125. 由旋转的性质知:OB 1=OB=4,∴B 1D=OB 1-OD=4-125=85.即线段B 1D 长的最大值为85.【答案】D4.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)求证:PD=PF;(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半径和DE的长.【答案】(1)证明:∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA,∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA,∵AB是⊙O的直径,DE⊥AB,∴∠ADB=∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=90°,∠DBA+∠DAE=90°,∴∠ADE=∠DBA,∴∠DAC=∠ADE,∴∠DAC=∠DBA;(2)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵DE⊥AB于E,∴∠DEB=90°,∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC=90°,又∵∠ADE=∠DAP,∴∠PDF=∠PFD,∴PD=PF;(3)解:连接CD,∵∠CBD=∠DBA,∵CD=3,∴AD=3,∵∠ADB=90°,∴AB=5,故⊙O的半径为2.5,∵DE×AB=AD×BD,∴5DE=3×4,∴DE=2.4.即DE的长为2.4.5.如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC,OE⊥BC,OE=1BC.2(1)求∠BAC的度数;(2)将△ACD沿AC折叠为△ACF,将△ABD沿AB折叠为△ABG,延长FC和GB相交于点H;求证:四边形AFHG是正方形;(3)若BD=6,CD=4,求AD的长.【答案】(1)解:连接OB和OC;∵OE⊥BC,∴BE=CE;BC,∵OE=12∴∠BOC=90°,∴∠BAC=45°;(2)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°;由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90°,∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD,∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°;∴四边形AFHG是正方形;(3)解:由(2)得,∠BHC=90°,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4;设AD的长为x,则BH=GH-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4.在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,∴(x-6)2+(x-4)2=102;解得,x1=12,x2=-2(不合题意,舍去);∴AD=12.6.如图所示的“勾股树”中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为12cm,则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为______cm2.【解答】解:如右图所示,根据勾股定理可知,S正方形2+S正方形3=S正方形1,S正方形C+S正方形D=S正方形2,S正方形A+S正方形B=S正方形3,∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形1=122=144.故答案是144.【答案】1447.已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=√2,点D位于边BC的中点上,点E在AB上,点F 在AC上,∠EDF=45°.(1)求证:∠DFC=∠EDB;(2)求证:CF•BE=1;(3)当BE=1时,求△FCD的面积.【答案】(1)证明:∵∠EDF=45°,∴∠EDB+∠FDC=135°,∵∠B=∠C=45°,∴∠DFC+∠FDC=135°,∴∠BDE=∠DFC;(2)证明:∵∠B=∠C,∠BED=∠FDC,∴△BDE∽△CFD,∴BDFC =BECD,∴CF•BE=BD•CD=1,(3)解:∵△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=√2,∴BC=2,∵点D位于边BC的中点上,∴BD=DC=BE=1,∠B=∠C=45°,∴∠BDE=67.5°,∠EDF=45°,∴∠FDC=∠DFC=67.5°,CF=CD=1,∴DC边上的高是√22,∴S△CDF=12×1×√22=√24.8.如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,E为AD上一点,将△ABE沿BE折叠,点A恰好落在对角线BD上的点F处,则折线BE的长为()A. 2√5B. 3√3C. 3√5D. 6√3【解答】解:在Rt△BCD中,利用勾股定理得BD=10,设AE=x,则EF=x,DE=8-x,在Rt△DEF中,∵BF=AB=6,∴DF=10-6=4.则(8-x)2=x2+42,解得x=3,在Rt△ABE中,BE=√AB2+AE2=√32+62=3√5.故选:C.【答案】C9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若CF=6,AC=AF+2,则四边形BDFG的周长为()A. 9.5B. 10C. 12.5D. 20【解答】解:∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,又∵点D是AC中点,AC,∴BD=DF=12∴四边形BGFD是菱形,设AF=x,则AC=x+2,FC=6,∵在Rt△ACF中,∠CFA=90°,∴AF2+CF2=AC2,即x2+62=(2+x)2,解得:x=8,故AC=10,故四边形BDFG的周长=4BD=2×10=20.故选:D.【答案】D10.如图,BC是半圆O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,CE=√5,CD=2.(1)求直径BC的长;(2)求弦AB的长.【答案】解:(1)∵BC是半圆O的直径,∴∠BDC=90°,由CE=√5,CD=2,得DE=1,∵△ADE∽△BCE,∴ADBC =DECE,∴BC=2√5.(2)∵△ABE∽△DCE,∴AEAB =DEDC=12,设AE=x,∵AB2+AC2=BC2,∴(x+√5)2+(2x)2=(2√5)2,解得:x=−2√5±8√510,∵x>0,∴x=35√5,∴AB=2x=65√5.11.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB 于点D,则CD̂的长为()A. 16π B. 13πC. 23π D. 2√33π【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=4,∠A=30°,∴∠B=60°,BC=2∴CD̂的长为60π×2180=2π3, 故选:C .【答案】C12.如图,△ABC 中,∠C=90°,CA=CB ,E 、F 分别为CA 、CB 上一点,CE=CF ,M 、N 分别为AF 、BE 的中点.求证:AE=√2MN .【答案】证明:如图,取AB 的中点G ,连接MG 、NG ,∵M 、N 分别为AF 、BE 的中点,∴NG=12AE ,NG ∥AE ,MG=12BF ,MG ∥BF ,∵CE=CF ,∠C=90°,∴AE=BF ,∠MGN=∠C=90°,∴MG=NG ,∴△MNG 是等腰直角三角形,∴NG=√22MN ,∴AE=2NG=NG=√22×2MN=√2MN ,即AE=√2MN .13.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,点D 是BC 上一动点,连接AD ,将△ACD 沿AD 折叠,点C 落在点E 处,连接DE 交AB 于点F ,当△DEB 是直角三角形时,DF 的长为______.【解答】解:①如图1中,当∠EDB=90°,四边形ACDE是正方形,此时CD=AC=6,∵BC=√AB2−AC2=8,∴BD=BC-CD=8-6=2,∵tan∠ABC=DFBD =AC BC,∴DF2=6 8,∴DF=32.②如图2中,当∠DEB=90°时,AC=AE=6,则BE=4,设CD=DE=x,在Rt△BDE中,(8-x)2=x2+42,∴x=3,综上所述,满足条件的DF的值为3或32.故答案为3或32.【答案】3或3214.在Rt△ABC中,AB=5,BC=3,则斜边中线长为______.【解答】解:在Rt△ABC中,AB=5,BC=3,①AB为斜边时,斜边中线长为12AB=2.5;②AB和BC为直角边长时,由勾股定理得:斜边长=√52+32=√34,则斜边中线长为12AC=√342;故答案为:2.5或√342.【答案】2.5或√34215.已知如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是斜边AB的中点,D是线段AC延长线上的一点,连结DB、DE,DE与BC交于点G.给出下列结论:①若AD=BD,则AC•AD=AE•AB;②若AB=BD,则DG=2GE;③若CD=BE,则∠A=2∠ADE.其中正确的是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解:①∵AD=BD,E是斜边AB的中点,∴DE⊥AB,又∠ACB=90°,∠A=∠A,∴△AED∽△ACB,∴ACAE =ABAD,即AC•AD=AE•AB,①正确;②∵AB=BD,∠ACB=90°,∴BC是△ABD的中线,又DE是△ABD的中线,∴点G是△ABD的重心,∴DG=2GE,②正确;③连接CE,∵∠ACB=90°,E是斜边AB的中点,∴EC=EA=EB,∴∠A=∠ECA,CD=CE,∴∠CDE=∠CED,∵∠ECA=∠CDE+∠CED=2∠ADE,∴∠A=2∠ADE,③正确;故选:D.【答案】D16.已知:Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,点M、N分别在边AB、AC上,将△AMN沿直线MN折叠,点A落在点P处,且点P在射线CB上,当△PNC为直角三角形时,PN的长为______.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=√32+42=5,设AN=PN=x,则CN=5=x①当∠NPC=90°时,如图1,∵∠NPC=∠B=90°,∠C=∠C,∴△NPC ∽△ABC ,∴PN AB =CNAC ,∴x 4=5−x 5, x=209,即PN=209;②当∠PNC=90°时,如图2,∵∠PNC=∠ABC=90°,∠C=∠C∴△NPC ∽△ABC ,∴PN AB =NC AC ,∴x 4=5−x 3, x=207,即PN=207;综上,PN 的长为209或207.故答案为:209或207.【答案】209或207.1.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其中的“面积法”给了李明灵感,他惊喜地发现;当两个全等的直角三角形如图(1)摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理,过程如下如图(1)∠DAB=90°,求证:a 2+b 2=c 2证明:连接DB ,过点D 作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F ,则DF=b-aS四边形ADCB=S△ADC+S△ABC=-12b2+12abS四边形ADCB=S△ADB+S△BCD=12c2+12a(b-a)∴12b2+12ab=12c2+12a(b-a)化简得:a2+b2=c2请参照上述证法,利用“面积法”完成如图(2)的勾股定理的证明如图(2)中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2【答案】证明:连结BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a(b-a),∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a(b-a),∴a2+b2=c2.2.如图,已知在Rt△ABC中,E,F分别是边AB,AC上的点,AE=13AB,AF=13AC,分别以BE、EF、FC为直径作半圆,面积分别为S1,S2,S3,则S1,S2,S3之间的关系是()A. S1+S3=2S2B. S1+S3=4S2C. S1=S3=S2D. S2=13(S1+S3)【解答】解:∵在Rt△ABC中,AE=13AB,AF=13AC,∴AE=12BE,AF=12CF,EF2=AE2+AF2,∴EF2=14BE2+14CF2.∴12π•14EF2=18π•(14BE2+14CF2),即S2=14(S1+S3).∴S1+S3=4S2.故选:B.【答案】B3.如图,沿折痕AE叠矩形ABCD的一边,使点D落在BC边上的点F处,若AB=8,且△ABF的面积为24,求EC的长.【答案】解:∵S△ABF=24,AB=8,∴BF=6.∴AF=10=AD.∴FC=4.设EC=x,则EF=DE=8-x.根据勾股定理,得CF2+CE2=EF2即16+x2=(8-x)2,∴x=3.即EC=3.4.如图,已知⊙O的半径为5,弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,且∠AOB与∠COD互补,弦CD=8,则弦AB的长为()A. 6B. 8C. 5√2D. 5√3【解答】解:解:如图,延长AO交⊙O于点E,连接BE,则∠AOB+∠BOE=180°,又∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠BOE=∠COD,∴BE=CD,∵AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∴AB=√AE2−BE2=√102−82=6,故选:A.【答案】A5.△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,BC=4,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D,则AE的长为()A. 95B. 125C. 185D. 365【解答】解:在Rt△ABC中,∵AC=3,BC=4,∴AB=√32+42=5.过C作CM⊥AB,交AB于点M,如图所示,由垂径定理可得M为AE的中点,∵S△ABC=12AC•BC=12AB•CM,且AC=3,BC=4,AB=5,∴CM=125,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AC2=AM2+CM2,即9=AM2+(125)2,解得:AM=95,∴AE=2AM=185.故选:C.【答案】C6.如图,已知平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF交于H,BF、AD的延长线交于G,下面结论正确的是()①DB=√2BE;②∠A=∠BHE;③连CG,则四边形BCGD为平行四边形;④AD2+DH2=2DC2.A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ②③④【解答】解:∵∠BDE=45°,DE⊥BC,∴DB=√2BE,BE=DE.∵DE⊥BC,BF⊥CD,∴∠BEH=∠DEC=90°.∵∠BHE=∠DHF,∴∠EBH=∠CDE,∴△BEH≌△DEC,∴∠BHE=∠C,BH=CD,EH=EC,∵▱ABCD中,∴AD=BC,∠A=∠C,∴∠A=∠BHE,∴AD2+DH2=BC2+DH2=(BE+EC)2+(DE-HE)2=(BE+HE)2+(BE-HE)2=2BE2+2HE2=2(BE2+HE2)=2BH2=2DC2,∴正确的有①②④.故选:C.【答案】C7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若FG=5,CF=6,则四边形BDFG的面积为______.【解答】解:∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形,∵CE⊥BD,∴CE⊥AG,又∵BD为AC的中线,AC,∴BD=DF=12∴四边形BDFG是菱形,过点B作BH⊥AG于点H,∵四边形BDFG是菱形,∴GF=DF=5,∵∠BEF=∠EFH=∠BHF=90°,∴四边形BHFE是矩形,∴BH=EF=1CF=3,2∴S菱形BDFG=GF•BH=15.故答案为:15.【答案】158.已知△ABC中,∠BAC=60°,D是线段BC上一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E、F.(1)如图1,若AD=4,求EF的长;(2)如图2,若∠ABC=45°,AB=2√2,求EF的最小值.【答案】解:(1)作直径EP,连结PF,如图1,∵EP为⊙O的直径,∴∠EFP=90°,∵∠P=∠EAF=60°,∴∠PEF=30°,∴PF=12PE,EF=√3PF=√32EP,∵EP=AD=4,∴EF=√32×4=2√3;(2)∵EF=√32EP=√32AD,∴当AD最小时,EF最小,当AD⊥BC时,AD最小,如图2,∵∠ABC=45°,AB=2√2,∴AD=√2AB=2,2∴EF=√3×2=√3,2即EF的最小值为√3.9.如图,Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点D在边BC 上,以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形,求BD的长.【答案】解:∵Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=10,∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D,∴BD=DB′,AB′=AB=10.如图1所示:当∠B′DE=90°时,过点B′作B′F⊥AF,垂足为F.设BD=DB′=x,则AF=6+x,FB′=8-x.在Rt△AFB′中,由勾股定理得:AB′2=AF2+FB′2,即(6+x)2+(8-x)2=102.解得:x1=2,x2=0(舍去).∴BD=2.如图2所示:当∠B′ED=90°时,C与点E重合.∵AB′=10,AC=6,∴B′E=4.设BD=DB′=x,则CD=8-x.在Rt△′BDE中,DB′2=DE2+B′E2,即x2=(8-x)2+42.解得:x=5.∴BD=5.综上所述,BD的长为2或5.10.如图,AB是⊙O的直径,AB=10,P是半径OA上的一动点,PC⊥AB交⊙O于点C,在半径OB 上取点Q,使得OQ=CP,DQ⊥AB交⊙O于点D,点C,D位于AB两侧,连结CD交AB于点E.点P从点A出发沿AO向终点O运动,在整个运动过程中,△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是()A. 一直减小B. 一直不变C. 先变大后变小D. 先变小后变大【解答】解:连接OC,OD,PD,CQ.设PC=x,OP=y.延长CP 与圆交于点F,∵PC⊥AB,QD⊥AB,∴∠CPO=∠OQD=90°,∵PC=OQ,OC=OD,∴Rt△OPC≌Rt△DQO,∴Rt△OPC≌Rt△DQO,∴∠FOD=90°,∴∠PCE=45°,∴OP=DQ=y,∴△CEP与△DEQ的面积和为S=(x2+y2)÷2=OD2÷2=12.5.故选:B.【答案】B11.如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连接AD.(1)求证:AD=AN;(2)若AB=8,ON=1,求⊙O的半径.【答案】(1)证明:∵CD⊥AB∴∠CEB=90°∴∠C+∠B=90°,同理∠C+∠CNM=90°∴∠CNM=∠B∵∠CNM=∠AND∴∠AND=∠B,∵AĈ=AĈ,∴∠D=∠B,∴∠AND=∠D,∴AN=AD;(2)解:设OE的长为x,连接OA∵AN=AD,CD⊥AB∴DE=NE=x+1,∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1,∴OA=OD=2x+1,∴在Rt△OAE中OE2+AE2=OA2,∴x2+42=(2x+1)2.解得x=53或x=-3(不合题意,舍去),∴OA=2x+1=2×53+1=133,即⊙O的半径为133.12.如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连结CD.(1)若∠A=28∘,求∠ACD的度数.(2)设BC=a,AC=b.①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根吗?说明理由.②若AD=EC,求ab的值.【解答】(1)解:∵∠ACB=90∘,∠A=28∘,∴∠B=62∘,∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=59°,∴∠ACD=90∘−∠BCD=31∘;(2)解:①由勾股定理得,AB=√AC2+BC2=√a2+b2,∴AD=√a2+b2−a,解方程x2+2ax−b2=0得,x=−2a±√4a2+4b22=±√a2+b2−a,∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根;②∵AD=AE,∴AE=EC=b2,由勾股定理得,a2+b2=(12b+a)2,整理得,ab =34.【答案】(1)∠ACD=31∘;(2)①线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根;②ab =34.13.(1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D在BC上,且BD=BA,点E在BC的延长线上,且CE=CA,求∠DAE的度数;(2)如果把第(1)题中“AB=AC”条件删去,其余条件不变,那么∠DAE的度数改变吗?试证明;(3)如果把(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC>90°”,其余条件不变,试探究∠DAE与∠BAC非学科培训∠BAC.理由:设∠CAE=x,∠BAD=y,则∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,∴∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=2y-x-y=y-x,∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,∴∠DAE=12∠BAC.第41页共41页自学七招之错题本锁骨术:巧用智能错题本,错题定期反复练非学科培训。
九年级数学三角形练习题及答案
九年级数学三角形练习题及答案题目一:判断正误1. 一个等边三角形的三个角都是60度。
()2. 一个等腰直角三角形的两个锐角相等。
()3. 一个钝角三角形的两个锐角相等。
()4. 一个直角三角形的两个锐角之和是90度。
()5. 一个等腰三角形的底边与两腰的夹角相等。
()答案一:1. 正确2. 正确3. 错误4. 正确5. 正确题目二:计算未知角度1. 在直角三角形ABC中,∠C=90度,∠A=35度,求∠B。
2. 在锐角三角形DEF中,∠D=45度,∠E=60度,求∠F。
3. 在钝角三角形GHI中,∠G=100度,∠I=30度,求∠H。
答案二:1. ∠B=90度-35度=55度2. ∠F=180度-45度-60度=75度3. ∠H=180度-100度-30度=50度题目三:计算三角形边长1. 在锐角三角形ABC中,∠A=30度,∠B=60度,已知AC=5cm,求BC的长度。
2. 在钝角三角形DEF中,∠D=100度,∠E=35度,已知DF=8cm,求EF的长度。
3. 在等边三角形GHI中,已知GH=6cm,求HI的长度。
答案三:1. 根据正弦定理和∠A=30度,∠B=60度,可以得到BC=AC*sin60度/sin30度=5cm*√3/0.5=10√3cm。
2. 根据正弦定理和∠D=100度,∠E=35度,可以得到EF=DF*sin35度/sin100度=8cm*sin35度/sin80度≈7.82cm。
3. 由于等边三角形的三边长度相等,所以HI=GH=6cm。
题目四:计算三角形面积1. 在直角三角形ABC中,AC=8cm,BC=15cm,求三角形ABC的面积。
2. 在锐角三角形DEF中,DE=5cm,EF=7cm,∠E=45度,求三角形DEF的面积。
3. 在钝角三角形GHI中,GH=12cm,HI=10cm,∠H=120度,求三角形GHI的面积。
答案四:1. 三角形ABC的面积=AC*BC/2=8cm*15cm/2=60cm²。
初中数学直角三角形练习题
初中数学直角三角形练习题1. 如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC,则能直接判断Rt△ABD≅Rt△CDB的理由是()A.HLB.ASAC.SASD.SSS2. 下列说法中:①如果两个三角形可以依据“”来判定全等,那么一定也可以依据“”来判定它们全等;②如果两个三角形都和第三个三角形全等,那么这两个三角形也一定全等;③要判断两个三角形全等,给出的条件中至少要有一对角对应相等.正确的是()A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③3. “赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形,如图,其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,则小正方形与大正方形的面积比是()A.1:2B.1:3C.1:4D.1:54. 如图,若AB=AD,则添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≅△ADC的是( )A.CB=CDB.∠BCA=∠DCAC.∠BAC=∠DACD.∠B=∠D=90∘5. 下列条件中能判定△ABC≅△DEF的一组是( )A.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠FB.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DC.△ABC的周长等于△DEF的周长D.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF6. 如图,在△ABC中,∠C=90∘,∠B=30∘,AD是∠CAB的角平分线,DE⊥AB,垂足于E,DE=1,则BC等于()A.1B.2C.3D.47. 如图所示,在△ABC中,∠ACB=90∘,∠B=15∘,DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6cm,则AC等于( )A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm8. 如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED 的面积分别为40和28,则△EDF的面积为( )A.5B.6C.7D.89. 如图,矩形ABCD的边长AD=3,AB=2,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE,DB相交于点M,N,则MN的长为________.10. 边长为6cm的等边三角形的高是________cm.11. 如图,在⊙O中,两条弦BA和CD的延长线交于E点,已知AB=CD,∠E=20∘,则∠B的大小为________.12. 如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件________,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.13. 如图,已知正方形ABCD的边长为4,点M和点N分别从点B、C同时出发,以相同的速度分别沿BC、CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为________.14. (1分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90∘,点D为斜边BC上一点,且BD=BA,过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的角平分线上.15.(5分) 如图,在▱ABCD中,∠ABC=60∘,BC=2AB,点E,F分别是BC,DA的中点.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=2,求BD的长.16.(5分)(1)如图,在△ABC中,∠BAC=120∘,AB=3,AC=2,CD是AB边上的高,求sin B 的值;(2)如图,在△ABC中,∠A=30∘,∠B=45∘,BC=2,求AB的长.参考答案与试题解析初中数学直角三角形练习题一、选择题(本题共计 8 小题,每题 2 分,共计16分)1.【答案】A【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】全等三角形的判定全等三角形的性质直角三角形全等的判定【解析】熟练综合运用判定定理判断,做题时要结合已知与全等的判定方法逐个验证.【解答】解:因为两个三角形的两个角对应相等,根据内角和定理,可知另一对对应角也相等,那么总能利用AAS来判定两个三角形全等,故选项①正确;如果两个三角形都和第三个三角形全等,那么这两个三角形也一定全等,故选项②正确;判定两个三角形全等时,依据SSS来判定时没有用到角相等,故选项③错误;故选A.3.【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】根据题意求得小正方形的边长,根据勾股定理求出大正方形的边长,由正方形的面积公式即可得出结果.【解答】解:∵直角三角形的两条直角边的长分别是2和4,∴小正方形的边长为2,根据勾股定理得:大正方形的边长=√22+42=2√5,∴小正方形面积大正方形面积=2(2√5)2=420=15.故选D.4.【答案】B【考点】全等三角形的判定【解析】本题要判定△ABC≅△ADC,已知AB=AD,AC是公共边,具备了两组边对应相等,故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90∘后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≅△ADC,而添加∠BCA=∠DCA后则不能.【解答】解:A、添加CB=CD,根据SSS,能判定△ABC≅△ADC,故A选项不符合题意;B、添加∠BCA=∠DCA时,不能判定△ABC≅△ADC,故B选项符合题意;C、添加∠BAC=∠DAC,根据SAS,能判定△ABC≅△ADC,故C选项不符合题意;D、添加∠B=∠D=90∘,根据HL,能判定△ABC≅△ADC,故D选项不符合题意.故选B.5.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL,结合选项逐一检验.【解答】解:A,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F,三个角相等不能判定两三角形全等,故A不符合题意;B,AB=DE,BC=EF,∠A=∠D,因为角不是两边的夹角,所以不能判定两三角形全等,故B不符合题意;C,△ABC的周长等于△DEF的周长,三边不一定相等,故C不符合题意;D,∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF,符合ASA,能判定两三角形全等,故D符合题意. 故选D.6.【答案】C【考点】角平分线的性质含30度角的直角三角形等腰三角形的判定与性质【解析】根据角平分线的性质即可求得CD的长,然后在直角△BDE中,根据30∘的锐角所对的直角边等于斜边的一半,即可求得BD长,则BC即可求得.【解答】解:∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∠C=90∘,∴CD=DE=1,又∵直角△BDE中,∠B=30∘,∴BD=2DE=2,∴BC=CD+BD=1+2=3.故选C.7.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质含30度角的直角三角形【解析】根据三角形内角和定理求出∠BAC,根据线段垂直平分性质求出BE=AE=6cm,求出∠EAB=∠B=15∘,求出∠EAC,求出∠AEC,根据含30∘角的直角三角形性质求出即可.【解答】解:∵在△ABC中,∠ACB=90∘,∠B=15∘,∴∠BAC=90∘−15∘=75∘.∵DE垂直平分AB,交BC于点E,BE=6cm,∴BE=AE=6cm,∴∠EAB=∠B=15∘,∴∠EAC=75∘−15∘=60∘.∵∠C=90∘,∴∠AEC=30∘,∴AC=12AE=12×6=3cm.故选D.8.【答案】B【考点】角平分线的性质全等三角形的性质与判定【解析】过点D作DH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH,然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等,根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH,设面积为S,然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.【解答】解:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中,{DE=DGDF=DH,∴Rt△DEF≅Rt△DGH(HL),∴S△EDF=S△GDH,设面积为S,同理Rt△ADF≅Rt△ADH,∴S△ADF=S△ADH,即28+S=40−S,解得S=6.故选B.二、填空题(本题共计 5 小题,每题 1 分,共计5分)9.【答案】920√2【考点】勾股定理全等三角形的性质【解析】首先过F作FH⊥AD于H,交ED于O,于是得到FH=AB=2,根据勾股定理求得AF,根据平行线分线段成比例定理求得OH,由相似三角形的性质求得AM与AF的长,根据相似三角形的性质,求得AN的长,即可得到结论.【解答】解:过F作FH⊥AD于H,交ED于O,则FH=AB=2∵BF=2FC,BC=AD=3,∴BF=AH=2,FC=HD=1.∴AF=√FH2+AH2=√22+22=2√2.∵OH // AE,∴HOAE =DHAD=13.∴OH=13AE=13.∴OF=FH−OH=2−13=53.∵AE // FO,∴△AME∽FMO.∴AMFM =AEFO=35,∴AM=38AF=3√24.∵AD // BF,∴△AND∽△FNB.∴ANFN =ADBF=32,∴AN=35AF=6√25.∴MN=AN−AM=6√25−3√24=9√220.故答案为:920√2.10.【答案】3√3【考点】勾股定理含30度角的直角三角形等边三角形的性质【解析】如图:由等边三角形的边长为6cm,可得AB=AC=BC=6cm,∠B=60∘,又由AD⊥BC,利用三角函数的知识即可求得AD的值.【解答】解:如图所示,AD为△ABC的高,∵等边三角形的边长为6cm,∴AB=AC=BC=6cm,∠B=60∘,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90∘,在Rt△ABD中,∠BAD=30∘,∴BD=12AB=3(cm),由勾股定理得AD=3√3(cm).∴其高为3√3cm.故答案为:3√3.11.【答案】80∘【考点】全等三角形的性质与判定三角形内角和定理圆的有关概念【解析】连接OA,OB,OC,OD,可证△AOB≅△DOC(SSS),可得∠ABO=∠OCD,由OB=OC得∠OBC=∠OCB,则∠EBC+∠BCE=160∘,即∠EBO+∠OBC+∠BCO=160∘,2(∠EBO+∠OBC)=160∘,∠B=∠EBO+∠OBC得解.【解答】解:连接OA,OB,OC,OD,∵ AB=CD,AO=OB=OC=OD,∴ △AOB≅△DOC(SSS),∴ ∠ABO=∠OCD∵ OB=OC,∴ ∠OBC=∠OCB,∵ ∠E=20∘,∴ ∠EBC+∠BCE=160∘,即2(∠EBO+∠OBC)=160∘,则∠B=∠EBO+∠OBC=80∘.故答案为:80∘.12.【答案】AB=ED【考点】直角三角形全等的判定【解析】本题是一道开放型的题目,答案不唯一,可以是AB=ED或BC=DF或AC=EF或AE=CF,只要符合全等三角形的判定定理即可.【解答】解:添加的条件是:AB=ED,理由是:∵在Rt△ABC和Rt△EDF中{∠B=∠D, AB=ED,∠A=∠DEF,∴Rt△ABC≅Rt△EDF(ASA).故答案为:AB=ED.13.【答案】2√5−2【考点】正方形的性质【解析】此题暂无解析【解答】略三、解答题(本题共计 3 小题,共计11分)14.【答案】证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90∘.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∵{BE=BE ,BA=BD,∴ Rt△ABE≅Rt△DBE(HL),∴∠ABE=∠DBE,∴点E在∠ABC的角平分线上.【考点】直角三角形全等的判定角平分线的定义【解析】可通过证明Rt△ABE≅Rt△DBE从而得到结论.【解答】证明:连接BE,∵ED⊥BC,∴∠BDE=∠A=90∘.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∵{BE=BE ,BA=BD,∴ Rt△ABE≅Rt△DBE(HL),∴∠ABE=∠DBE,∴点E在∠ABC的角平分线上.15.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC//AD,BC=AD.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴BE=CE=12BC,AF=12AD,∴CE=AF.又∵CE//AF,∴四边形AECF是平行四边形.∵BC=2AB,∴AB=BE.∵∠ABC=60∘,∴△ABE是等边三角形,∴AE=BE=CE,∴平行四边形AECF是菱形.(2)解:作BG⊥DA的延长线于点G,如图所示:则∠ABG=90∘−∠ABC=30∘,∴AG=12AB=1,BG=√22−12=√3.∵AD=BC=2AB=4,∴DG=AG+AD=5,∴BD=√BG2+DG2=√(√3)2+52=2√7.【考点】菱形的判定勾股定理含30度角的直角三角形【解析】无无【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC//AD,BC=AD.∵E,F分别是BC,AD的中点,∴BE=CE=12BC,AF=12AD,∴CE=AF.又∵CE//AF,∴四边形AECF是平行四边形.∵BC=2AB,∴AB=BE.∵∠ABC=60∘,∴△ABE是等边三角形,∴AE=BE=CE,∴平行四边形AECF是菱形.(2)解:作BG⊥DA的延长线于点G,如图所示:则∠ABG=90∘−∠ABC=30∘,∴AG=12AB=1,BG=√22−12=√3.∵AD=BC=2AB=4,∴DG=AG+AD=5,∴BD=√BG2+DG2=√(√3)2+52=2√7.16.【答案】解:(1)∵∠BAC=120∘,∴∠ACD=120∘−90∘=30∘,∴AD=12AC=1,CD=√3AD=√3,由勾股定理得:BC=2+CD2=√42+(√3)2=√19,∴sin B=CDBC =√3√19=√5719;(2)过C作CD⊥AB于D,在Rt△BCD中,CD=DB=BC⋅sin45∘=√2,在Rt△ACD中,AD=CDtan30=√6,∴AB=AD+DB=√6+√2.【考点】锐角三角函数的定义勾股定理含30度角的直角三角形【解析】此题暂无解析【解答】解:(1)∵∠BAC=120∘,∴∠ACD=120∘−90∘=30∘,∴AD=12AC=1,CD=√3AD=√3,由勾股定理得:BC=2+CD2=√42+√32=√19,∴sin B=CDBC =√3√19=√5719.(2)过C作CD⊥AB于D,在Rt△BCD中,CD=DB=BC⋅sin45∘=√2,在Rt△ACD中,AD=CDtan30∘=√6,∴AB=AD+DB=√6+√2.。
《常考题》初中八年级数学上册第十一章《三角形》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1.将一副直角三角板如图放置,使两直角重合DFB ∠的度数为( )A .145︒B .155︒C .165︒D .175︒C解析:C【分析】 根据三角形的内角和定理可求45E ∠=︒,利用补角的定义可求120FBE ∠=︒,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出DFB ∠的度数【详解】解:在DEC ∆中∵90C ∠=︒,45CDE ∠=︒∴45E ∠=︒又∵60ABC ∠=︒∴120FBE ∠=︒由三角形的外角性质得DFB E FBE ∠=∠+∠45120=︒+︒165=︒故选:C【点睛】本题考查了三角形的内角和定理,互为补角的定义及三角形的外角性质,解题的关键是掌握三角形的外角性质2.如图,AD 是ABC 的外角CAE ∠的平分线,35B ∠=︒,60=︒∠DAC ,则ACD ∠的度数为( )A .25︒B .85︒C .60︒D .95︒D解析:D【分析】根据角平分线的定义可得∠DAC =∠DAE ,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠D ,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.【详解】解:∵AD 是∠CAE 的平分线,60=︒∠DAC ,∴∠DAC =∠DAE =60°,又∵35B ∠=︒由三角形的外角性质得,∠D =∠DAE−∠B =60°−35°=25°,∴在△ACD 中,∠ACD =180°−∠DAC -∠D =180°−60°−25°=95°.故选:D .【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.3.下列长度的线段能组成三角形的是( )A .2,3,5B .4,6,11C .5,8,10D .4,8,4C解析:C【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析.【详解】解:A 、2+3=5,不能组成三角形,不符合题意;B 、4+6<11,不能组成三角形,不符合题意;C 、5+8>10,能组成三角形,符合题意;D 、4+4=8,不能够组成三角形,不符合题意.故选:C .【点睛】此题考查了三角形的三边关系.判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.4.若多边形的边数由3增加到n (n 为大于3的正整数),则其外角和的度数( ) A .不变B .减少C .增加D .不能确定A 解析:A【分析】利用多边形的外角和特征即可解决问题.【详解】解:因为多边形外角和固定为360°,所以外角和的度数是不变的.故选:A .【点睛】此题考查多边形内角与外角的性质,容易受误导,注意多边形外角和等于360°. 5.已知直线//a b ,含30角的直角三角板按如图所示放置,顶点A 在直线a 上,斜边BC与直线b交于点D,若135∠=︒,则2∠的度数为()A.35︒B.45︒C.65︒D.75︒C解析:C【分析】如图,根据三角形外角的性质可得出∠3,再根据平行线的性质可得出∠2.【详解】解:如图,∠=︒,∠B=30°∵135∴∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°a b∵//∴∠2=∠3=65°故选:C【点睛】此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质.解题时注意掌握平行线的性质以及三角形外角的性质的应用.6.将下列长度的三根木棒首尾顺次连接,不能组成三角形的是()A.4、5、6 B.3、4、5 C.2、3、4 D.1、2、3D解析:D【分析】根据三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边进行分析即可.【详解】D、4+5>6,能组成三角形,故此选项错误;B、3+4>5,能组成三角形,故此选项错误;A、2+3>4,能组成三角形,故此选项错误;D、1+2=3,不能组成三角形,故此选项正确;故选:D.【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理,在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.7.下列四个图形中,线段CE 是ABC 的高的是( )A .B .C .D . B解析:B【分析】利用三角形高的定义逐一判断选项,可得答案.【详解】A .CE 不垂直AB ,故CE 不是ABC 的高,不符合题意,B .CE 是ABC 中AB 边上的高,符合题意,C .CE 不是ABC 的高,不符合题意,D .CE 不是ABC 的高,不符合题意.故选B .【点睛】此题主要考查了三角形的高,关键是掌握从三角形的一个顶点向对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.8.设四边形的内角和等于a ,五边形的外角和等于b ,则a 与b 的关系是( ). A .a b =B .180a b =+°C .180b a =+︒D .360b a =+︒A 解析:A【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论.【详解】∵四边形的内角和等于a ,∴a=(4-2)•180°=360°;∵五边形的外角和等于b ,∴b=360°,∴a=b .故选:A .【点睛】本题考查了多边形的内角与外角,熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键. 9.某多边形的内角和是其外角和的3倍,则此多边形的边数是( )A .5B .6C .7D .8D 解析:D【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理,列出方程即可解决问题.【详解】解:根据题意,得:(n-2)×180=360×3,解得n=8.故选:D .【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和,解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理,利用方程法求边数.10.如图,在ABC 中,70B ∠=,D 为BC 上的一点,若ADC x ∠=,则x 的度数可能为( )A .30°B .60°C .70°D .80°D解析:D【分析】 根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD ,得到x >70°,根据平角的概念得到x <180°,计算后进行判断得到答案.【详解】解:∵∠ADC=∠B+∠BAD ,∴x >70°,又x <180°,∴x 的度数可能为80°,故选:D .【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.二、填空题11.如图,点D ,E ,F 分别是边BC ,AD ,AC 上的中点,若图中阴影部分的面积为3,则ABC 的面积是________.8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分S △ABD=S △ACD=S △ABCS △BDE=S △ABDS △ADF=S △ADC 再得到S △BDE=S △ABCS △DEF=S △ABC 所以S △ABC=解析:8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,S △ABD =S △ACD =12S △ABC ,S △BDE =12S △ABD ,S △ADF =12S △ADC ,再得到S △BDE =14S △ABC ,S △DEF =18S △ABC ,所以S △ABC =83S 阴影部分.【详解】解:∵D 为BC 的中点,∴12ABD ACD ABC S S S ==△△△, ∵E ,F 分别是边,AD AC 上的中点, ∴111,,222BDE ABD ADF ADC DEF ADF SS S S S S ===, ∴111,448BDE ABC DEF ADC ABC S S S S S ===, ∵113488BDE DEF ABC ABC ABC S SS S S S =+=+=阴影部分, ∴888333ABC S S ⨯===阴影部分, 故答案为:8.【点睛】本题考查了三角形的面积:三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即S △=12×底×高.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.12.已知三角形三边长分别为m ,n ,k ,且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=,则这个三角形最长边k 的取值范围是________.【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解:由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边解析:914k ≤<【分析】根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长,根据三角形三边关系求出k 的取值范围,再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值.【详解】解:由题意得n-9=0,m-5=0,解得 m=5,n=9,∵m ,n ,k ,为三角形的三边长,∴414k ≤<,∵k 为三角形的最长边,∴914k ≤<.故答案为:914k ≤<【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性,三角形的三边关系,根据题意求出m 、n 的长是解题关键,确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件.13.如果一个多边形所有内角和与外角和共为2520°,那么从这个多边形的一个顶点出发共有_________条对角线11【分析】先根据题意求出多边形的边数再根据从n 边形一个顶点出发共有(n-3)条对角线即可解答【详解】设多边形的边数为n 则有(n-2)•180+360=2520解得:n=1414-3=11即从这个多解析:11【分析】先根据题意求出多边形的边数,再根据从n 边形一个顶点出发共有(n-3)条对角线即可解答.【详解】设多边形的边数为n ,则有(n -2)•180+360=2520,解得:n =14,14-3=11,即从这个多边形的一个顶点出发共有11条对角线,故答案为11.【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线,得到多边形的边数是解本题的关键.14.一个三角形的三条高的长都是整数,若其中两条高的长分别为4和12,则第三条高的长为_____.5或4【分析】先设长度为412的高分别是ab 边上的边c 上的高为h △ABC 的面积是S 根据三角形面积公式可求结合三角形三边的不等关系可得关于h 的不等式组解即可【详解】解:设长度为412的高分别是ab 边上 解析:5或4.【分析】先设长度为4、12的高分别是a ,b 边上的,边c 上的高为h ,△ABC 的面积是S ,根据三角形面积公式,可求222,,412S S S a b c h===,结合三角形三边的不等关系,可得关于h 的不等式组,解即可.【详解】解:设长度为4、12的高分别是a ,b 边上的,边c 上的高为h ,△ABC 的面积是S ,那么 222,,412S S S a b c h===, 又∵a-b <c <a+b , ∴2222412412S S S S c -<<+, 即2233S S S h <<,解得3<h<6,∴h=4或h=5,故答案为:5或4.【点睛】本题考查了三角形面积、三角形三边之间的关系、解不等式组.求出整数值后,能根据三边关系列出不等式组是解题关键.15.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________.360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及多边形的内角和即可求解【详解】解:∵∠1=∠A+∠B∠2=∠C+∠D∠3=∠E+∠F∠4=∠G+∠H∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E +∠F+解析:360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和,以及多边形的内角和即可求解.【详解】解:∵∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F,∠4=∠G+∠H,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4,又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.故选:D..【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理,正确转化为多边形的外角和是关键.16.如图,△ABC 的面积为1,分别倍长(延长一倍)AB ,BC ,CA 得到△A 1B 1C 1,再分别倍长A 1B 1,B 1C 1,C 1A 1得到△A 2B 2C 2.…按此规律,倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____.72020【分析】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等可得=7S △ABC 由此即可解题【详解】连接AB1BC1CA1根据等底等高的三角形面积相等△A1BC △A1B1C △AB1C △AB1C解析:72020【分析】连接AB 1、BC 1、CA 1,根据等底等高的三角形面积相等,可得111A B C S △=7S △ABC ,由此即可解题.【详解】连接AB 1、BC 1、CA 1,根据等底等高的三角形面积相等,△A 1BC 、△A 1B 1C 、△AB 1C 、△AB 1C 1、△ABC 1、△A 1BC 1、△ABC 的面积都相等,所以,111A B C S △=7S △ABC ,同理222A B C S △=7111A B C S △=72S △ABC ,依此类推,△A 2020B 2020C 2020的面积为=72020S △ABC ,∵△ABC 的面积为1,∴202020202020A S B C ∆=72020.故答案为:72020.【点睛】本题考查了三角形的面积,根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键.17.ABC 中,,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ,,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ,若=125CGB ∠︒,则CFB ∠=______.110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC +∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC +∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE 解析:110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC +∠GCB ,根据角平分线的定义求出∠ABC +∠ACB ,从而求出∠A ,根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°,然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ,最后利用三角形外角的性质即可求出结论.【详解】解:∵=125CGB ∠︒∴∠GBC +∠GCB=180°-∠CGB=55°∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ,∴∠ABC=2∠GBC ,∠ACB=2∠GCB∴∠ABC +∠ACB=2∠GBC +2∠GCB=2(∠GBC +∠GCB )=110°∴∠A=180°-(∠ABC +∠ACB )=70°∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ,∴∠AEC=∠FDC=90°,∴∠ACE=180°-∠AEC-∠A=20°∠=∠FDC+∠ACE=110°∴CFB故答案为:110°.【点睛】此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线,掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键.18.已知等腰三角形的一边长等于11cm,一边长等于5cm,它的周长为______.【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况:当腰为11时11+11>511-11<5所以能构成三解析:27cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.【详解】分两种情况:当腰为11时,11+11>5,11-11<5,所以能构成三角形,周长是:11+11+5=27cm;当腰为5时,5+5<11,所以不能构成三角形,故答案为:27cm.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.19.如图,把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放,若∠=︒∠=︒,则3150,222∠=_______.30°【分析】通过正三角形正四边形正五边形的内角度数结合三角形内角和定理进行计算即可;【详解】等边三角形的内角的度数是60°正方形的内角度数是90°正五边形的内角的度数是:(5﹣2)×180°=10解析:30°【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数,结合三角形内角和定理进行计算即可;【详解】等边三角形的内角的度数是60°,正方形的内角度数是90°,正五边形的内角的度数是:15(5﹣2)×180°=108°,则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2==360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°. 故答案是:30°.【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用,准确分析图形中角的关系式解题的关键.20.如图,ABC ∆的面积是2,AD 是BC 边上的中线,13AE AD =,12BF EF =.则DEF ∆的面积为_________.【分析】直接根据高相等的三角形面积之比等于底之比【详解】解:∵是边上的中线∴BD=DC 又∵的面积是2和的高相等∴∵和的高相等∴∴又∴同理:故答案为:【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形面积之比等于解析:49【分析】直接根据高相等的三角形,面积之比等于底之比.【详解】解:∵AD 是BC 边上的中线∴BD=DC又∵ABC ∆的面积是2,D AB ∆和D A C ∆的高相等∴D DC S =S =1AB A ∆∆∵13AE AD = E AB ∆和BDE ∆的高相等∴E BDE ABD 11S =S =S 23AB ∆∆∆ ∴BDE 2S =3∆ 又12BF EF =,∴1B 3BF E =,同理: DEF BFD BDE 24S =2S =S =39∆∆∆ 故答案为:49. 【点睛】此题主要考查根据高相等的三角形,面积之比等于底之比求三角形的面积,解题的关键是正确理解高相等的三角形之间的关系.三、解答题21.△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,AE 是△ABC 的高.(1)如图1,若∠B =40°,∠C=60°,求∠DAE 的度数;(2)如图2,∠B <∠C ,则DAE 、∠B ,∠C 之间的数量关系为___________;(3)如图3,延长AC 到点F ,∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ,求∠G 的度数.解析:(1)10°;(2)∠DAE =12(∠C−∠B);(3)45°. 【分析】 (1)根据三角形的内角和定理可求得∠BAC =80°,由角平分线的定义可得∠CAD 的度数,利用三角形的高线可求∠CAE 得度数,进而求解即可得出结论;(2)根据(1)的推理方法可求解∠DAE 、∠B 、∠C 的数量关系;(3)设∠ACB =α,根据角平分线的定义得∠CAG =12∠EAC =12(90°−α)=45°−12α,∠FCG =12∠BCF =12(180°−α)=90°−12α,再利用三角形外角的性质即可求得结果.【详解】解:(1)∵∠B =40°,∠C =60°,∠BAC +∠B +∠C =180°,∴∠BAC =80°,∵AD 平分∠BAC ,∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC=40°,∵AE是△ABC的高,∴∠AEC=90°,∵∠C=60°,∴∠CAE=90°−60°=30°,∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=10°;(2)∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C,∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD=12∠BAC,∵AE是△ABC的高,∴∠AEC=90°,∴∠CAE=90°−∠C,∴∠DAE=∠CAD−∠CAE=12∠BAC−(90°−∠C)=12(180°−∠B−∠C)−90°+∠C=1 2∠C−12∠B,即∠DAE=12(∠C−∠B).故答案为:∠DAE=12(∠C−∠B).(3)设∠ACB=α,∵AE⊥BC,∴∠EAC=90°−α,∠BCF=180°−α,∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G,∴∠CAG=12∠EAC=12(90°−α)=45°−12α,∠FCG=12∠BCF=12(180°−α)=90°−12α,∵∠FCG=∠G+∠CAG,∴∠G=∠FCG −∠CAG=90°−12α−(45°−12α)=45°.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识,熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键.22.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=310°,CF平分∠DCB,FC的延长线与五边形ABCDE外角平分线相交于点P,求∠P的度数解析:∠P=25°.【分析】延长ED ,BC 相交于点G .由四边形内角和可求∠G=50°,由三角形外角性质可求∠P 度数.【详解】解:延长ED ,BC 相交于点G .在四边形ABGE 中,∵∠G=360°-(∠A+∠B+∠E )=50°,∴∠P=∠FCD-∠CDP=12(∠DCB-∠CDG ) =12∠G=12×50°=25°. 【点睛】本题考查了三角形内角和定理,三角形角平分线性质,外角的性质,熟练运用外角的性质是本题的关键.23.在ABC ∆中,已知3,7AB AC ==,若第三边BC 的长为偶数,求ABC ∆的周长. 解析:周长为16或18.【分析】利用三角形三边关系定理,先确定第三边的范围,再根据第三边BC 的长为偶数求出符合条件的BC 值,即可求出周长.【详解】 解:在ABC ∆中,3,7AB AC ==,∴第三边BC 的取值范围是:410,BC <<∴符合条件的偶数是6或8,∴当6BC =时,ABC ∆的周长为:36716++=;当8BC =时,ABC ∆的周长为:37818++=.ABC ∆∴的周长为16或18.【点睛】此题主要考查了三角形三边关系,要注意三角形形成的条件:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.24.如图,在ABC 中,30A ∠=︒,80ACB ∠=︒,ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E .(1)求CBE ∠的度数;(2)过点D 作//DF BE ,交AC 的延长线于点F ,求F ∠的度数.解析:(1)55CBE ∠=︒;(2)25F ∠=︒.【分析】(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可;(2)根据三角形外角的性质和两直线平行,同位角相等求解.【详解】(1)在ABC 中,30A ∠=︒,80ACB ∠=︒,3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒, BE 是CBD ∠的平分线, 111105522CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒;(2)80ACB ∠=︒,55CBE ∠=︒,805525CEB ACB CBE ∴∠=∠--︒∠=︒=︒,//DF BE ,25F CEB ∴∠=∠=︒.【点睛】本题考查了运用三角形外角性质,角平分线性质,平行线的性质求角的度数,熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.25.已知,a,b,c为ABC的三边,化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|.解析:﹣2a+4b﹣2c【分析】根据三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,来判定绝对值里的式子的正负值,然后去绝对值进行计算即可.【详解】解:∵a,b,c为ABC的三边,∴a+b>c,b+c>a,a+c>b∴|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|=|a-(b+c)|-2|b-(c+a)|+ |a+b﹣c|=﹣[a﹣(b+c)]+2[b﹣(c+a)]+(a+b﹣c)=-a+(b+c)+2b-2(c+a)+a+b-c=﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c=﹣2a+4b﹣2c.【点睛】此题主要考查了三角形三边关系,以及绝对值的性质,关键是掌握三边关系定理.26.如图,直线AB与直线MN相交,交点为O,OC⊥AB,OA平分∠MOD,若∠BON=20°,求∠COD的度数.解析:∠COD=70°【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数,再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可.【详解】解:∵∠BON=20°,∴∠AOM=20°,∵OA平分∠MOD,∴∠AOD=∠MOA=20°,∵OC⊥AB,∴∠AOC=90°,∴∠COD=90°﹣20°=70°.【点睛】本题考查了垂线,关键是掌握对顶角相等,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.27.如图,已知:点P 是ABC ∆内一点.(1)求证:BPC A ∠>∠;(2)若PB 平分ABC ∠,PC 平分ACB ∠,40A ︒∠=,求P ∠的度数.解析:(1)证明见解析;(2)110°【分析】(1)延长BP 交AC 于D ,根据△PDC 外角的性质知∠BPC >∠1;根据△ABD 外角的性质知∠1>∠A ,所以易证∠BPC >∠A .(2)由三角形内角和定理求出∠ABC +∠ACB =140°,由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果.【详解】(1)延长BP 交AC 于D ,如图所示:∵∠BPC 是△CDP 的一个外角,∠1是△ABD 的一个外角,∴∠BPC >∠1,∠1>∠A ,∴∠BPC >∠A ;(2)在△ABC 中,∵∠A=40°,∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°,∵PB 平分∠ABC ,PC 平分∠ACB ,∴∠PBC=12∠ABC ,∠PCB=12∠ACB , 在△PBC 中,∠P=180°﹣(∠PBC+∠PCB ) =180°﹣(12∠ABC+12∠ACB ) =180°﹣12(∠ABC+∠ACB ) =180°﹣12×140° =110°.【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义;熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键.28.观察探究及应用.(1)如图,观察图形并填空:一个四边形有_______条对角线;一个五边形有_______条对角线;一个六边形有_______条对角线;(2)分析探究:由凸n边形的一个顶点出发,可作_______条对角线,多边形有n个顶点,若允许重复计数,共可作_______条对角线;(3)结论:一个凸n边形有_______条对角线;(4)应用:一个凸十二边形有多少条对角线?解析:(1)2;5;9;(2)(n-3);n(n-3);(3)(3)2n n-;(4)54【分析】(1)根据图形数出对角线条数即可;(2)根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线,进而可得共可作n(n-3)条对角线;(3)由(2)可知,任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-,即可解答;(4)把n=12代入(3)计算即可.【详解】解:(1)根据图形数出对角线条数,一个四边形有2条对角线,一个五边形有5条对角线,一个六边形有9对角线;故答案为:2;5;9;(2)∵从凸4边形的一个顶点出发,可作1条对角线,从凸5边形的一个顶点出发,可作2条对角线,从凸6边形的一个顶点出发,可作3条对角线,从凸7边形的一个顶点出发,可作4条对角线,…∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线,若允许重复计数,共可作n(n-3)条对角线;故答案为:(n-3);n(n-3).(3)由(2)可知,任意凸n边形的对角线有条(3)2n n-,故答案为:(3)2n n-.(4)把n=12代入(3)2n n-计算得:1292⨯=54.故一个凸十二边形有54条对角线.【点睛】本题考查了多边形的对角线,解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条.。
湘教版数学八年级下册第一章《直角三角形》基础卷(含答案)
初中数学试卷 金戈铁骑整理制作湘教版八年级数学(下)第一章《直角三角形》基础卷(含答案)一、选择题(30分)1、在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =30°,斜边AB 的长为2cm ,则AC 的长为( )A. 4 cm ;B. 2cm ;C. 1 cm ;D. 12cm ; 2、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( )A. 3,4,4;B. 3,4,5;C. 3,4,6;D. 3,4,7;3、如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =1,AB 在数轴上,若以点A 为圆心,对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ,则点M 所表示的实数为( )A. 2;B. 5-1;C. 10-1;D.5;4、如图,公路AC 、BC 互相垂直,公路AB 的中点M 于点C 被湖隔开,若测得AM 的长为1.2km ,则M ,C 两点间的距离为( )A. 0.5km ;B. 0.6km ;C. 0.9km ;D. 1.2km ;5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的平方是( )A. 25;B. 14;C. 7;D. 7或25;6、下列条件:①∠A+∠B=∠C ;②∠A ︰∠B ︰∠C=1︰2︰3;③∠A=90°-∠B ;④∠A=∠B=12∠C ,其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )A. 1个;B. 2个;C. 3个;D. 4个;7、如图,若BE ⊥CD ,BE=CD ,BC=DA ,则∠CFD ( )A.大于90°;B. 等于90°;C. 小于90°;D. 不确定;8、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为 ( )A. 43;B. 3;C. 23;D. 3;9、如图,已知△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,DE 是 AC 的垂直平分线,DE 交AB 于点D ,连接CD ,则CD=( ) A. 3; B. 4; C.4.8; D. 5;10、如图,分别以直角三角形的三边为边长向外作正方 形,然后分别以正方形的中心为圆心,正方形的边长 0 -1 1 AB C D M 第3题 AB C M 第4题 A B C D E F 第7题 A BC D E 第9题一半为半径作圆,记三个圆的面积分别为S 1 ,S 2, S 3 则S 1 ,S 2, S 3之间的关系是( )A. S 1+S 2>S 3;B. S 1+S 2=S 3;C. S 1+S 2<S 3;D. 无法确定;二、填空题(24分)11、如图,为测得池塘两岸点A 和点B 间的距离, 一个观测者在C 点设桩,使∠ABC=90°,并测 得AC 长50m ,BC 长40m ,则A 、B 两点间的距离是 。
鲁教版七年级直角三角形练习50题及参考答案(难度系数0.62)
七年级直角三角形(难度系数0.62)一、单选题(共20题;共40分)1.有一个三角形两边长为3和4,要使三角形为直角三角形,则第三边长为()A. 5B.C. 5或D. 不确定【答案】C【考点】勾股定理2.图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为()A. B. C. D.【答案】 D【考点】勾股定理的应用3.如图所示,在△ABC中,D为AB的中点,BE⊥AC,垂足为点E,若DE=4,AE=6,则BE的长度是()A. 10B. 2C. 8D. 2【答案】 D【考点】直角三角形斜边上的中线,勾股定理4.如图所示,A是斜边长为m的等腰直角三角形,B,C,D都是正方形。
则A,B,C,D的面积的和等于( )A. 94m2 B. 52m2 C. 114m2 D. 3m2【答案】A【考点】勾股定理,等腰直角三角形5.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的取值范围是()A. 12cm≤h≤19cmB. 12cm≤h≤13cmC. 11cm≤h≤12cmD. 5cm≤h≤12cm【答案】C【考点】勾股定理6.如图,AC=BC,AE=CD,AE⊥CE于点E,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE的长是()A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B【考点】直角三角形全等的判定7.如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点得△ABC,则AC边上的高是().A. 310√5 B. 32√2 C. 45√5 D. 35√5【答案】 D【考点】勾股定理8.以a.b.c为边的三角形是直角三角的为()A. a=2,b=3,c=4B. a=1,b= ,c=2C. a=4,b=5,c=6D. a=2,b=2,c=【答案】B【考点】勾股定理的逆定理9.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中不能构成直角三角形的是()A. 3,4,5B. √3,√4,√5C. 6,8,10D. 9,12,15 【答案】B【考点】勾股定理的逆定理10.下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是( )A. 30,40,50B. 7,12,13C. 5,9,12D. 3,4,6【答案】A【考点】勾股定理的逆定理11.如图,以直角三角形a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【考点】勾股定理,勾股定理的应用12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,点D为斜边AB上的中点,DE⊥CD交AC于点E,则∠AED的度数为()A. 105°B. 110°C. 115°D. 125°【答案】C【考点】直角三角形斜边上的中线13.如图,一根长5米的竹竿AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为4米,如果竹竿的顶端A沿墙下滑1米,竹竿底端B外移的距离BD()A. 等于1米B. 大于1米C. 小于1米D. 以上都不对【答案】A【考点】勾股定理的应用14.如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S 1、S 2、S 3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S 4、S 5、S 6。
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)
八年级数学下册《直角三角形》练习题与答案(湘教版)一、选择题1.小明同学把一个含有450角的直角三角板在如图所示的两条平行线m,n上,测得,则的度数是( )A.450B.550C.650D.7502.如图,图中直角三角形共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.下列三角形中,可以构成直角三角形的有( )A.三边长分别为2,2,3B.三边长分别为3,3,5C.三边长分别为4,5,6D.三边长分别为1.5,2,2.54.在Rt△ABC中,∠C=90°.如果BC=3,AC=5,那么AB=( )A.34B.4C.4或34D.以上都不对5.如图, OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,且OD=OE,则△AOD与△AOE全等的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.HL6.如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,那么在下列各条件中,不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,则AB等于 ( )A.2B.3C.4D.68.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)9.如图,在平面直角坐标系中,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以M、N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P,若点P的坐标为(6a,2b-1),则a和b的数量关系为( )A.6a-2b=1B.6a+2b=1C.6a-b=1D.6a+b=110.如图所示,在Rt△ABC中,AD是斜边上的高,∠ABC的平分线分别交AD、AC于点F、E,EG⊥BC于G,下列结论正确的是( )A.∠C=∠ABCB.BA=BGC.AE=CED.AF=FD11.如图,已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AB=6,AC=3,则BE=( )A. 6B. 3C. 2D. 1.512.如图,任意画一个∠A=60°的△ABC,再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD,BE和CD 相交于点P,连接AP.有以下结论:①∠BPC=120°;②AP平分∠BAC;③AP=PC;④BD+CE=BC;⑤S△PBD +S△PCE=S△PBC.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题13.如图,在Rt△ABC中,∠B的度数是________度.14.等腰三角形一底角是30°,底边上的高为9 cm,则其腰长为________,顶角为________.15.已知等腰直角三角形的面积为2,则它的周长为.(结果保留根号)16.如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.17.如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,DE⊥AC于E,AC=4,S=6,则点D到AB的距△ADC离是________.18.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和38,则△EDF的面积为.三、作图题19.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,BC=3.①在BC、BA上分别截取BD、BE,使BD=BE;②分别以D、E为圆心、以大于0.5DE的长为半径作圆弧,在∠ABC内两弧交于点O;③作射线BO交AC于点F.若点P是AB上的动点,则FP的最小值为.四、解答题20.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接AD.(1)若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形;(2)若△ACD为直角三角形,求∠BAD的度数.21.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上一点,且AE=BC,∠1=∠2.求证:△ADE≌△BEC.22.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠B=60°,∠C=45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC=2,求AD的长.23.在△ABC中,∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,已知它的周长为626且c=26.(1)比较大小:6____26.(2)求△ABC的面积.24.如图,在△ABC中,AD是BC边的中线,∠BAD=90°,AB=2,AC=11,求BC的长.25.如图,C为线段BD上的一个动点,分别过点B,D在BD两侧作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC.已知AB=5,DE=9,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC+CE的长.(2)请问:点C满足什么条件时,AC+CE的值最小?(3)根据(2)中的结论,请构图求出代数式x2+4+(12-x)2+9的最小值.参考答案1.D.2.C3.D.4.A.5.D.6.B.7.C8.D9.B10.B11.D.12.C13.答案为:25.14.答案为:18 cm 120°15.答案为:4+2 2.16.答案为:8.17.答案为:3.18.答案为:6.19.答案为1.20.证明:(1)∵AB=AC,∠B=30°∴∠B=∠C=30°∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°∵∠BAD=45°∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣45°=75°,∠ADC=∠B+∠BAD=75°∴∠ADC=∠CAD∴AC=CD,即△ACD为等腰三角形;(2)解:有两种情况:①当∠ADC=90°时∵∠B=30°∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=90°﹣30°=60°;②当∠CAD=90°时,∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣90°=30°;即∠BAD的度数是60°或30°.21.证明:∵∠1=∠2∴DE=EC.又∵∠A=∠B=90°,AE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).22.解:(1)∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°;(2)∵AD⊥BC∴△ADC是直角三角形∵∠C=45°∴∠DAC=45°∴AD=DC∵AC=2∴AD= 2.23.解:(1)>;(2)∵∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c它的周长为6+26且c=26∴a+b=6,a2+b2=c2=26∴(a+b)2=36∴a2+b2+2ab=36∴2ab=10∴12ab=52,即△ABC的面积为52.24.解:延长AD至点E,使AD=ED,连结CE.∵D 是BC 的中点,∴BD =CD.在△ABD 和△ECD 中∵⎩⎨⎧AD =ED ,∠ADB =∠EDC ,BD =CD ,∴△ABD ≌△ECD(SAS)∴EC =AB = 2 ∴∠CED =∠BAD =90°.在Rt △AEC 中,∵AE 2=AC 2﹣EC 2∴AE =(11)2-(2)2=3∴AD =12AE =32. 在Rt △ABD 中,∵BD 2=AB 2+AD 2∴BD =172 ∴BC =2BD =17.25.解:(1)AC +CE =(8-x )2+25+x 2+81.(2)当A ,C ,E 三点共线时,AC +CE 的值最小.(3)如图,作BD =12,过点B 作AB ⊥BD ,过点D 作ED ⊥BD(点A 与点E 在BD 的异侧),使AB =2,ED =3,连结AE 交BD 于点C设BC =x ,则AE 的长即为x 2+4+(12-x )2+9的最小值.过点E 作EF ⊥AB ,交AB 的延长线于点F.在Rt △AEF 中,易得AF =2+3=5,EF =12∴AE =13x 2+4+(12-x )2+9的最小值为13.。
历年初三数学中考解直角三角形练习题及答案
在Rt∆ADC中tanD=tan150=
评注: 利用含300角的直角三角形巧妙地构造出含150角的直角三角形,从而求出150角的三角函数值。利用此图还可以求出750的各三角函数值。
强化训练
一、填空题:
⒈ 在∆ABC中,若AC= 。BC= AB=3,则cosA=____________.
∴AB=4BD
在Rt∆ABD中,AD=
∴ sinB=
cosB=
tanB=
cotB=
[例4]计算
分析:本题主要是考察特殊角的三角函数值和分母有理化知识
解:原式= .
= =
=
[例5] 要求tan300的值.可构造如图19-5所示的直角三角形进行计算,作Rt∆ABC,使C=900,斜边AB=2,直角边AC=1,那么BC= ∠ABC=300,所以 tan300=
在此图的基础上,通过添加适当的辅助线,可求出tan150的值。请你就此图添加辅助线,并求出tan150的值。
分析:只需找出一个150的角,并放入一个可求出各边长的直角三角形中。
解:延长CB至D,使BD=AB。连结AD,如图19-6
A A
2 1
2 1
300
B C D B C
图19-5 图19-6
则BD=2,D=150
6、用计算器计算:sin56050/+cos39030/-tan46010/=_______
分析会用计算器求任意一个锐角的三角函数值,然后进行计算。原式=0.5671.
7、已知方程4x2-2(m+1)x+m=0的两根恰为一个直角三角形两锐角的余弦,则m=______
分析设这个直角三角形的两个锐角分别为α、β,且α+β=900。cosβ=sinα.由一元二次方程根与系数的关系得:cosα+cosβ= ,cosαcosβ=
(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(1)
(易错题精选)初中数学三角形基础测试题及解析(1)一、选择题1.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A.23B.13C.4 D.32【答案】B【解析】【分析】如下图,作AD⊥BC,设半径为r,则在Rt△OBD中,OD=3-1,OB=r,BD=3,利用勾股定理可求得r.【详解】如图,过A作AD⊥BC,由题意可知AD必过点O,连接OB;∵△BAC是等腰直角三角形,AD⊥BC,∴BD=CD=AD=3;∴OD=AD-OA=2;Rt△OBD中,根据勾股定理,得:22+BD OD13故答案为:B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用,解题关键是利用等腰直角三角形ABC判定点O在AD上.2.把一副三角板如图甲放置,其中∠ACB=∠DEC=90°,∠A-45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1(如图乙),此时AB与CD1交于点O,则线段AD1的长度为()A.32B.5 C.4 D.31【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°,若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt△ABC中,AB=6,则AC=BC=32.同理可求得:AO=OC=3.在Rt△AOD1中,OA=3,OD1=CD1-OC=4,由勾股定理得:AD1=5.故选B.3.AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是()A.4 B.3 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S△ABC=S△ABD+S△ACD及三角形的面积公式得出结果.【详解】解:AD是△ABC中∠BAC的平分线,∠EAD=∠FADDE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F ,∴DF=DE,又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为:B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4.如图,在△ABC 中,AC =BC ,D 、E 分别是AB 、AC 上一点,且AD =AE ,连接DE 并延长交BC 的延长线于点F ,若DF =BD ,则∠A 的度数为( )A .30B .36C .45D .72【答案】B【解析】【分析】 由CA=CB ,可以设∠A=∠B=x .想办法构建方程即可解决问题;【详解】解:∵CA=CB ,∴∠A=∠B ,设∠A=∠B=x .∵DF=DB ,∴∠B=∠F=x ,∵AD=AE ,∴∠ADE=∠AED=∠B+∠F=2x ,∴x+2x+2x=180°,∴x=36°,故选B .【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.5.如图,折叠直角三角形纸片的直角,使点C 落在AB 上的点E 处,已知BC=24,∠B=30°,则DE 的长是( )A .12B .10C .8D .6【答案】C【解析】【分析】 由折叠的性质可知;DC=DE ,∠DEA=∠C=90°,在Rt △BED 中,∠B=30°,故此BD=2ED ,从而得到BC=3BC ,于是可求得DE=8.【详解】解:由折叠的性质可知;DC=DE ,∠DEA=∠C=90°,∵∠BED+∠DEA=180°,∴∠BED=90°.又∵∠B=30°,∴BD=2DE .∴BC=3ED=24.∴DE=8.故答案为8.【点睛】本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质,根据题意得出BC=3DE 是解题的关键.6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,以点B 为圆心,适当长为半径的画弧,分别交BA ,BC 于点M 、N ;再分别以点M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线BP 交AC 于点D ,则下列说法中不正确的是()A .BP 是∠ABC 的平分线B .AD=BDC .:1:3CBD ABD S S V V D .CD=12BD【答案】C【解析】【分析】A 、由作法得BD 是∠ABC 的平分线,即可判定;B 、先根据三角形内角和定理求出∠ABC 的度数,再由BP 是∠ABC 的平分线得出∠ABD =30°=∠A,即可判定;C ,D 、根据含30°的直角三角形,30°所对直角边等于斜边的一半,即可判定.【详解】解:由作法得BD 平分∠ABC ,所以A 选项的结论正确;∵∠C =90°,∠A =30°,∴∠ABC =60°,∴∠ABD =30°=∠A ,∴AD =BD ,所以B 选项的结论正确;∵∠CBD =12∠ABC =30°, ∴BD =2CD ,所以D 选项的结论正确;∴AD =2CD ,∴S △ABD =2S △CBD ,所以C 选项的结论错误.故选:C .【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质,尺规作图(作角平分线),解题关键在于利用三角形内角和进行计算.7.将一个边长为4的正方形ABCD 分割成如图所示的9部分,其中ABE △,BCF V ,CDG V ,DAH V 全等,AEH △,BEF V ,CFG △,DGH V 也全等,中间小正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等,且ABE △是以AB 为底的等腰三角形,则AEH △的面积为( )A .2B .169C .32D .2【答案】C【解析】【分析】【详解】 解:如图,连结EG 并向两端延长分别交AB 、CD 于点M 、N ,连结HF ,∵四边形EFGH 为正方形,∴EG FH =,∵ABE △是以AB 为底的等腰三角形,∴AE BE =,则点E 在AB 的垂直平分线上,∵ABE △≌CDG V ,∴CDG V 为等腰三角形,∴CG DG =,则点G 在CD 的垂直平分线上,∵四边形ABCD 为正方形,∴AB 的垂直平分线与CD 的垂直平分线重合,∴MN 即为AB 或CD 的垂直平分线,则,EM AB GN CD ^^,EM GN =,∵正方形ABCD 的边长为4,即4AB CD AD BC ====,∴4MN =,设EM GN x ==,则42EG FH x ==-,∵正方形EFGH 的面积与ABE △面积相等,即2114(42)22x x ?-,解得:121,4x x ==,∵4x =不符合题意,故舍去,∴1x =,则S 正方形EFGH 14122==⨯⨯=V ABE S , ∵ABE △,BCF V ,CDG V ,DAH V 全等,∴2====V V V V ABE BCF CDG DAH S S S S ,∵正方形ABCD 的面积4416=⨯=,AEH △,BEF V ,CFG △,DGH V 也全等, ∴1(4=V AEH S S 正方形ABCD − S 正方形EFGH 134)(16242)42-=⨯--⨯=V ABE S , 故选:C .【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和等腰三角形的性质,解题的关键是求得ABE △的面积.8.图中的三角形被木板遮住了一部分,这个三角形是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .以上都有可能【答案】D【解析】 从图中,只能看到一个角是锐角,其它的两个角中,可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角,故选D .9.把一副三角板如图(1)放置,其中∠ACB =∠DEC =90°,∠A =45°,∠D =30°,斜边AB =4,CD =5.把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1(如图2),此时AB 与CD 1交于点O ,则线段AD 1的长度为( )A 13B 5C .22D .4【答案】A【解析】 试题分析:由题意易知:∠CAB=45°,∠ACD=30°.若旋转角度为15°,则∠ACO=30°+15°=45°.∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°.在等腰Rt △ABC 中,AB=4,则AO=OC=2.在Rt △AOD 1中,OD 1=CD 1-OC=3,由勾股定理得:AD 1=13. 故选A.考点: 1.旋转;2.勾股定理.10.如图,在四边形ABCD 中,,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ,连接,AC BD ,以BD 为直径的圆交AC 于点E .若3DE =,则AD 的长为( )A .55B .45C .35D .25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似,求出BD ,最后用勾股定理即可得出结论.【详解】如图1,在Rt △ABC 中,AB=5,BC=10,∴AC=55,连接BE ,∵BD 是圆的直径,∴∠BED=90°=∠CBA ,∵∠BAC=∠EDB ,∴△ABC ∽△DEB ,∴AB AC DE DB= , ∴5355DB= , ∴DB=35在Rt △ABD 中,AD=2225BD AB -= ,故选:D .【点睛】此题考查勾股定理,相似三角形的判定和性质,正确作出辅助线是解题的关键.11.等腰三角形有一个是50°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )A .25°B .40°C .25°或40°D .50°【答案】C【解析】∵等腰三角形有一个是50°∴有两种可能①是三个角为50°、50°、80°;②是三个角为50°、65°、65°分情况说明如下: ①当三个角为50°、50°、80°时,根据图①,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=40°;②当三个角为50°、65°、65°,根据图②,可得其一条腰上的高与底边的夹角∠DAB=25°故故选:C① ②点睛:本题主要考查三角形内角和定理:三角形内角和为180°.12.如图,在ABC V 中,90C ∠=︒,60CAB ∠=︒,按以下步骤作图:①分别以A ,B 为圆心,以大于12AB 的长为半径画弧,两弧分别相交于点P 和Q . ②作直线PQ 交AB 于点D ,交BC 于点E ,连接AE .若4CE =,则AE 的值为( ) A .6B .2C .43D .8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线,进而得出∠EAB=∠CAE=30°,即可得出AE的长.【详解】由题意可得出:PQ是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∵在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠CBA=30°,∴∠EAB=∠CAE=30°,∴CE=12AE=4,∴AE=8.故选D.【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中,30°所对直角边等于斜边的一半,根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键.13.如图,赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形两条直角边长分别为a和b.若8ab ,大正方形的边长为5,则小正方形的边长为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【详解】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,∵每一个直角三角形的面积为:12ab=12×8=4,∴根据4×12ab+(a﹣b)2=52=25,得4×4+(a﹣b)2=25,∴(a﹣b)2=25﹣16=9,∴a﹣b=3(舍负),故选:C.【点睛】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型.14.如图,△ABC的角平分线CD、BE相交于F,∠A=90°,EG∥BC,且CG⊥EG于G,下列结论:①∠CEG=2∠DCB;②∠ADC=∠GCD;③CA平分∠BCG;④∠DFB=12∠CGE.其中正确的结论是( )A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】B【解析】【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案.【详解】①∵EG∥BC,∴∠CEG=∠ACB,又∵CD是△ABC的角平分线,∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB,故正确;②∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠ADC+∠BCD=90°.∵EG∥BC,且CG⊥EG,∴∠GCB=90°,即∠GCD+∠BCD=90°,∴∠ADC=∠GCD,故正确;③条件不足,无法证明CA平分∠BCG,故错误;④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,∠DCB+∠ABC=∠ADC,∴∠AEB+∠ADC=90°+12(∠ABC+∠ACB)=135°,∴∠DFE=360°-135°-90°=135°,∴∠DFB=45°=12∠CGE ,,正确. 故选B .【点睛】本题主要考查了角平分线的定义,平行线的性质,三角形内角和定理及多边形内角和,三角形外角的性质,熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键.15.如图,在菱形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1, 则菱形ABCD 的周长等于( )A .5B .43C .45D .20【答案】C【解析】【分析】 如下图,先求得点A 的坐标,然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长,进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图,连接AC 、BD ,交于点E∵四边形ABCD 是菱形,∴DB ⊥AC ,且DE=EB又∵B ()4,1,D ()0,1∴E(2,1)∴A(2,0)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为:45故选:C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质,解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标,从而求得菱形周长.16.如图,在菱形ABCD 中,60BCD ∠=︒,BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ,垂足为E ,连接BF 、DF ,则DFC ∠的度数是( )A .130︒B .120︒C .110︒D .100︒【答案】A【解析】【分析】 首先求出∠CFB=130°,再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题;【详解】∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ACD =∠ACB =12∠BCD=25°, ∵EF 垂直平分线段BC ,∴FB=FC ,∴∠FBC=∠FCB=25°,∴∠CFB=180°-25°-25°=130°,根据对称性可知:∠CFD=∠CFB=130°,故选:A .【点睛】此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.17.如图,在ABC ∆中,AB 的垂直平分线交AB 于点D ,交BC 于点E .ABC ∆的周长为19,ACE ∆的周长为13,则AB 的长为( )A.3B.6C.12D.16【答案】B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D,∴AE=BE,∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13,△ABC的周长=AC+BC+AB=19,∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6,故答案为:B.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.18.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,3),点C的坐标为(12,0),点P为斜边OB上的一个动点,则PA+PC的最小值为( )A.132B.312C.192D.7【答案】B【解析】如图,作点A关于OB的对称点点D,连接CD交OB于点P,此时PA+PC最小,作DN⊥x 轴交于点N,∵B (3,3),∴OA =3,AB =3,∴OB =23,∴∠BOA =30°,∵在Rt △AMO 中,∠MOA =30°,AO =3,∴AM =1.5,∠OAM =60°,∴∠ADN =30°, ∵在Rt △AND 中,∠ADN =30°,AD =2AM =3,∴AN =1.5,DN =332, ∴CN =3-12-1.5=1, ∴CD 2=CN 2+DN 2=12+(332)2=314,∴CD =31. 故选B. 点睛:本题关键在于先借助轴对称的性质确定出P 点的位置,然后结合特殊角30°以及勾股定理计算.19.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?( ).A .0根B .1根C .2根D .3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B20.如图,直线a b ∥,点A 、B 分别在直线a 、b 上,145∠︒=,若点C 在直线b 上,105BAC ∠︒=,且直线a 和b 的距离为3,则线段AC 的长度为( )A .32B .33C .3D .6【答案】D【解析】【分析】 过C 作CD ⊥直线a ,根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论.【详解】过C作CD⊥直线a,∴∠ADC=90°.∵∠1=45°,∠BAC=105°,∴∠DAC=30°.∵CD=3,∴AC=2CD=6.故选D.【点睛】本题考查了平行线间的距离,含30°角的直角三角形的性质,正确的理解题意是解题的关键.。
新版北师大初中数学九年级(下册)第一章直角三角形的边角关系练习题【含答案】
北师大版初中数学 九(下) 第一章直角三角形的边角关系 分节练习(带答案)第1节 锐角三角函数1、【基础题】在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =3,tan A =125,求AC . ★ 1.1、【基础题】在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =54,BC =20,求△ABC 的周长和面积. ★ 1.2、【基础题】在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A 和cos B 有什么关系?2、【综合Ⅰ】在等腰三角形ABC 中,AB =AC =5,BC =6,求sin B ,cos B ,tan B . ★2.1【综合Ⅰ】已知∠A 是锐角,cos A =53,求sin A 和tan A . 2.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是中线,BC =8,CD =5,求sin ∠ACD ,cos ∠ACD 和tan ∠ACD .2.3【综合Ⅰ】如图,点P 是∠α的边OA 上一点,且点P 的坐标为(4,3),则sin α和cos α的值分别是( )A. 34,35B. 54,53C. 53,54D. 34,432.4、【综合Ⅲ】如右图,在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,AD =8,BD =4,求tan A 的值. ☆第2、3节 30°,45°,60°角的三角函数值 & 三角函数的计算3、【基础题】计算:(1)sin 30°+cos 45°; (2)2sin 60°+2cos 60°-tan 45°.3.1、【综合Ⅱ】 化简2)130(tan - = ( ) A. 331- B. 13- C. 133- D. 13-3.2、【综合Ⅱ】 △ABC 中,∠A ,∠B 均为锐角,且有2|tan 2sin 0B A +=(,则△ABC 是( )A .直角(不等腰)三角形B .等腰直角三角形C .等腰(不等边)三角形D .等边三角形4、【基础题】用计算器求下列锐角的三角函数值(结果保留4个有效数字)(1)sin 72°; (2)cos 36.43°; (3)tan 38° 24'25".4.1、【基础题】如左下图,河岸AD 、BC 互相平行,桥AB 垂直于两岸,桥AB 长12 m ,在C 处看桥两端A 、B ,夹角∠BCA =60°,求B 、C 间的距离(结果精确到1 m ).4.2、【基础题】如右图,AB =20 m ,∠CAB =50°,∠DAB =56°,求避雷针CD 的长度(结果精确到0.01 m )5、【基础题】根据下列条件利用计算器求∠A 的度数(用度、分、秒表示).(1)cos A =0.6753; (2)sin A =0.4553; (3)tan A =87.545.1、【基础题】一梯子斜靠在墙上,已知梯长4 m ,梯子位于地面上的一端离墙2.5 m ,求梯子与地面所成的锐角.第4节 解直角三角形6、【基础题】在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ,根据下列条件求出直角三角形的其他元素. ★(1)5=a ,25=c ; (2)34=c ,∠A =60°第5节 三角函数的应用7、【综合Ⅱ】如左下图,小李想测量塔CD 的高度,他在A 处仰望塔顶,测得仰角是30°,再往塔的方向前进50 m至B 处,测得仰角是60°,那么该塔有多高?(小李的身高忽略不计,结果精确到1 m ) ★7.1、【综合Ⅱ】如右上图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30º,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得A 点的仰角为60º,则物体AB 的高度为( ) ★B.10米7.2【综合Ⅱ】(2012年陕西数学中考20题)如图,小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离,他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向,然后,他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处,测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向(点A B C 、、在同一水平面上).请你利用小明测得的相关数据,求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离(结果精确到1米).(参考数据:sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈,,,,cos 650.4226tan 65 2.1445︒≈︒≈,)8、【综合Ⅱ】如左下图,大楼AD 高30 m ,远处有一塔BC ,某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°,爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°,求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC (结果精确到0.01 m ).8.1【基础题】如图,线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高,某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的 高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β. 已知甲、乙两建筑物之间的 距离BC 为m . 请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.2,则AB的长是_________. ☆9、【综合Ⅲ】如左下图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=39.1、【综合Ⅲ】如右上图,在四边形ABCD中,AD=30 m,DC=50 m,CB=20 m,AB=50 m,∠A=60°,m)∠C=60°,求此四边形ABCD的面积(结果精确到0.01 210、【综合Ⅰ】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. 求(1)A、C两港之间的距离(结果精确到0.1 km);(2)确定C港在A港的什么方向.10.1、【综合Ⅲ】如图,一艘船以每小时36海里的速度向正北航行到A处,发现它的东北方向有灯塔B,船继续向北航行2小时到达C处,发现灯塔B此时在它的北偏东75°方向,求此时船与灯塔的距离(结果保留根号).第6节利用三角函数测高11、【综合Ⅱ】如图,∠MCE=α,∠MDE=β,AC=BD=a,AB=b,那么物体MN的高度如何表示?九(下) 第一章直角三角形的边角关系 分节练习答案1、【答案】 AC =536 1.1、【答案】 周长60,面积150. 1.2、【答案】 相等 2、【答案】 sin B =54,cos B =53,tan B =34. 2.1【答案】 sin A =54,tan A =34. 2.2、【答案】 sin ∠ACD =54,cos ∠ACD =53,tan ∠ACD =34. 2.3【答案】 选C 2.4、【答案】 tan A =22 3、【答案】(1)221+; (2)0. 3.1、【答案】选A 3.2、【答案】选D 4、【答案】(1)sin 72°≈0.9511; (2)cos 36.43°≈0.8046; (3)tan 38° 24'25"≈0.79284.1、【答案】 BC =34≈7(m ) 4.2、【答案】 CD ≈5.82 m5、【答案】 (1)∠A ≈47° 31'21"; (2)∠A ≈27° 5'3"; (3)∠A ≈89° 20'44".5.1【答案】 梯子与地面所成的锐角是51° 19'4"6、【答案】 (1)5=b ,∠A =∠B =45°; (2)∠B =30°,6=a ,32=b .7、【答案】 CD ≈43 m 7.1、【答案】 选A 7.2【答案】 207米8、【答案】 用方程来解,设AC =x ,则DE =x , 可列方程 tan 60°·x -tan 30°·x =30,解得x =153≈25.98, BC =153×tan 60°=45.008.1【答案】 CD =BC ·tan α=m ·tan α, AB =m ·(tan α-tan β). 9、【答案】 33+9.1【答案】四边形ABCD 的面积是1082.53 2m 10、【答案】(1)14.1 km ; (2)北偏东15°方向. 10.1、【答案】11、【答案】 MN =a b +-αββαtan tan tan tan。
新初中数学三角形基础测试题及答案
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断出△ABC与△DBE相似,求出BD,最后用勾股定理即可得出结论.
【详解】
如图1,
在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,
∴AC= ,
连接BE,
∵BD是圆的直径,
∴∠BED=90°=∠CBA,
A.30°B.25°C.20°D.15°
【答案】B
【解析】
试题分析:∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°
∵OB=OD∴∠ABD=∠ODB∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.
考点:圆的基本性质.
15.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?().
A.0根B.1根C.2根D.3根
【答案】B
【解析】
三角形具有稳定性,连接一条对角线,即可得到两个三角形,故选B
16.满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()
A.有一边相等的两个等边三角形
B.有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形
C.周长相等的两个三角形
D.斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形
是明确题意,利用数形结合的思想解答.
7.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点M,若CD=8 cm,MB=2 cm,则直径AB的长为()
A.9 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
由CD⊥AB,可得DM=4.设半径OD=Rcm,则可求得OM的长,连接OD,在直角三角形DMO中,由勾股定理可求得OD的长,继而求得答案.
直角三角形的性质经典题 (所有题目都有答案有知识点归纳)
第1章直角三角形1.1直角三角形的性质和判定(Ι)第1课时直角三角形的性质和判定要点感知1直角三角形的性质:(1)直角三角形的两个锐角__________.(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________.预习练习1-1在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°1-2如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,点D为AB的中点,则CD=__________cm.要点感知2直角三角形的判定:有两个角__________的三角形是直角三角形.预习练习2-1在△ABC中,∠A=70°,∠B=20°,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定知识点1直角三角形的两个锐角互余1.若直角三角形中的两个锐角之差为22°,则较小的一个锐角的度数是()A.24°B.34°C.44°D.46°2.如图,某同学在课桌上无意中将一块三角板叠放在直尺上,则∠1+∠2等于()A.60°B.75°C.90°D.105°3.如图,在△ABC中,CE、BF是两条高,若∠A=65°,∠BCE=35°,则∠ABF的度数是__________,∠FBC的度数是__________.4.过△ABC的顶点C作边AB的垂线,如果这垂线将∠ACB分为40°和20°的两个角,那么∠A、∠B中较小的角的度数是__________.知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形5.若一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形6.下列条件:(1)∠A=25°,∠B=65°;(2)3∠A=2∠B=∠C;(3)∠A=5∠B;(4)2∠A=3∠B=4∠C中,其中能确定△ABC是直角三角形的条件有()A.1个B.2个C.3个D.4个知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半7.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=20°,则∠BDC=()A.30°B.40°C.45°D.60°8.如果一个三角形一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形为__________三角形.9.如图,Rt△ABC中,DC是斜边AB上的中线,EF 过点C且平行于AB.若∠BCF=35°,求∠ACD的度数.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高线,图中与∠A互余的角有()A.0个B.1个C.2个D.3个11.如图,AB∥DF,AC⊥BC于点C,BC与DF交于点E,若∠A=20°,则∠CEF等于()A.110°B.100°C.80°D.70°12.如果一个三角形的一个内角等于其他两个内角的差,那么这个三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,P点是BD的中点,若AD=6,则CP的长为()A.3B.3.5C.4D.4.514.如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是__________.15.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E分别是BC、AC的中点,AB=8,求DE的长.16.如图,在△ACD与△ABC中,∠ABC=∠ADC=90°,E 是AC的中点.(1)试说明DE=BE;(2)图中有哪些等腰三角形,请写出来.(不需要证明)17.如图,AD∥BC,∠DAB和∠ABC的平分线相交于AB. CD边上的一点E,F为AB边的中点.求证:EF=1218.如图,已知M是Rt△ABC斜边AB的中点,CD=BM,DM与CB的延长线交于点E.求证:∠E=1∠A.详细答案在后面,所有题目都有答案,所有大题都有规范详细过程,同学们可以模仿学习。
初中数学三角形基础测试题含答案解析
初中数学三角形基础测试题含答案解析一、选择题1.如图,在菱形ABCD 中,点A 在x 轴上,点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1, 则菱形ABCD 的周长等于( )A .5B .43C .45D .20【答案】C【解析】【分析】 如下图,先求得点A 的坐标,然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长,进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图,连接AC 、BD ,交于点E∵四边形ABCD 是菱形,∴DB ⊥AC ,且DE=EB 又∵B ()4,1,D ()0,1∴E(2,1)∴A(2,0)∴()()2220015-+-=∴菱形ABCD 的周长为:5故选:C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质,解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标,从而求得菱形周长.2.长度分别为2,7,x 的三条线段能组成一个三角形,的值可以是( )A .4B .5C .6D .9 【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围,进而可得答案.【详解】解:由三角形三边关系定理得7-2<x <7+2,即5<x <9.因此,本题的第三边应满足5<x <9,把各项代入不等式符合的即为答案.4,5,9都不符合不等式5<x <9,只有6符合不等式,故选C .【点睛】本题考查的是三角形的三边关系,属于基础题型,掌握三角形的三边关系是解题的关键.3.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( )A .4B .3C .6D .2【答案】B【解析】【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果.【详解】解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F ,∴DF=DE ,又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4,11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为:B本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.4.如图,在矩形ABCD 中, 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上,得到折痕,AE 那么BE 的长度为( )A .1B .2C .32D .85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度,由折叠的性质,AF=AB=3,则CF=2,设BE=EF=x ,则CE=4x -,利用勾股定理,即可求出x 的值,得到BE 的长度.【详解】解:在矩形ABCD 中,3,4AB BC ==,∴∠B=90°, ∴22345AC =+=,由折叠的性质,得AF=AB=3,BE=EF ,∴CF=5-3=2,在Rt △CEF 中,设BE=EF=x ,则CE=4x -,由勾股定理,得:2222(4)x x +=-, 解得:32x =; ∴32BE =. 故选:C .【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,矩形的性质,折叠的性质,以及勾股定理的应用,解题的关键是熟练掌握所学的性质,利用勾股定理正确求出BE 的长度.5.等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm ,则这个三角形的周长为( )A .16cmB .21cm 或 27cmC .21cmD .27cm【解析】【分析】分两种情况讨论:当5是腰时或当11是腰时,利用三角形的三边关系进行分析求解即可.【详解】解:当5是腰时,则5+5<11,不能组成三角形,应舍去;当11是腰时,5+11>11,能组成三角形,则三角形的周长是5+11×2=27cm.故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系,掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键.6.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中正确的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形,这里给出三边的长,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.【详解】A、72+242=252,152+202≠242,(7+15)2+202≠252,故A不正确;B、72+242=252,152+202≠242,故B不正确;C、72+242=252,152+202=252,故C正确;D、72+202≠252,242+152≠252,故D不正确,故选C.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:若三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.7.如图,11∥l 2,∠1=100°,∠2=135°,则∠3的度数为( )A .50°B .55°C .65°D .70°【答案】B【解析】【分析】 如图,延长l 2,交∠1的边于一点,由平行线的性质,求得∠4的度数,再根据三角形外角性质,即可求得∠3的度数.【详解】如图,延长l 2,交∠1的边于一点,∵11∥l 2,∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°,由三角形外角性质,可得∠2=∠3+∠4,∴∠3=∠2﹣∠4=135°﹣80°=55°,故选B .【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质,熟练运用平行线的性质是解决问题的关键.8.如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,90ABC ∠=︒,CA x ⊥轴,点C 在函数()0k y x x=>的图象上,若1AB =,则k 的值为( )A .1B .22C .2D .2【答案】A【解析】【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长,从而可以求得点 C 的坐标,进而求得 k 的值,本题得以解决.【详解】Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,90ABC ∠=︒,CA ⊥x 轴,1AB =,45BAC BAO ︒∴∠=∠=,2OA OB ∴==,2AC =, ∴点C 的坐标为2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝,Q 点C 在函数()0k y x x=>的图象上, 2212k ∴=⨯=, 故选:A .【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形,解答本题的关键 是明确题意,利用数形结合的思想解答.9.如图,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ,若BF=6,AB=5,则AE 的长为( )A .4B .8C .6D .10【答案】B【解析】【分析】【详解】 解:设AG 与BF 交点为O ,∵AB=AF ,AG 平分∠BAD ,AO=AO ,∴可证△ABO ≌△AFO ,∴BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90º,AB=5,∴AO=4,∵AF ∥BE ,∴可证△AOF ≌△EOB ,AO=EO ,∴AE=2AO=8,故选B .【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质.10.如图,在ABC ∆中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A .1B .2C .3D .4【答案】D【解析】【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线,①正确;∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°,②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a在△ADB 中,DB=AD=2a∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯,13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=,④正确故选:D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.11.如图,△ABC≌△A E D,∠C=40°,∠E AC=30°,∠B=30°,则∠E AD=();A.30°B.70°C.40°D.110°【答案】D【解析】【分析】【详解】∵△ABC≌△AED,∴∠D=∠C=40°,∠C=∠B=30°,∴∠E AD=180°-∠D-∠E=110°,故选D.12.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D在BC上,BD=3,DC=1,点P是AB上的动点,则PC+PD的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】试题解析:过点C作CO⊥AB于O,延长CO到C′,使OC′=OC,连接DC′,交AB于P,连接CP.此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小.∵DC=1,BC=4,∴BD=3,连接BC′,由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°,∴∠CBC′=90°,∴BC′⊥BC,∠BCC′=∠BC′C=45°,∴BC=BC′=4,根据勾股定理可得DC′=22+=22'BC BD+=5.故选B.3413.下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是()A.三条边的比为2∶3∶4 B.三条边满足关系a2=b2﹣c2C.三条边的比为1∶1∶2D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法,对选项进行一一分析,排除错误答案.【详解】A、三条边的比为2:3:4,22+32≠42,故不能判断一个三角形是直角三角形;B、三条边满足关系a2=b2-c2,即a2+c2=b2,故能判断一个三角形是直角三角形;C、三条边的比为1:1:2,12+12=(2)2,故能判断一个三角形是直角三角形;D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A,则∠A为90°,故能判断一个三角形是直角三角形.故选:A.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用.解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可;若已知角,只要求得一个角为90°即可.14.如图,在△ABC中,点D为BC的中点,连接AD,过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E,下列说法错误的是()A.△ABD≌△ECD B.连接BE,四边形ABEC为平行四边形C.DA=DE D.CE=CD【答案】D【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B=∠DCE,∠BAD=∠E,然后根据AAS证得△ABD≌△ECD,得出AD=DE,根据对角线互相平分得到四边形ABEC为平行四边形,CE=AB,即可解答.【详解】∵CE∥AB,∴∠B=∠DCE,∠BAD=∠E,在△ABD 和△ECD 中,===B DCE BAD E BD CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ECD (AAS ),∴DA=DE ,AB=CE ,∵AD=DE ,BD=CD ,∴四边形ABEC 为平行四边形,故选:D .【点睛】此题考查平行线的性质,三角形全等的判定和性质以及平行四边形的性判定,解题的关键是证明△ABD ≌△ECD .15.满足下列条件的是直角三角形的是( )A .4BC =,5AC =,6AB =B .13BC =,14AC =,15AB = C .::3:4:5BC AC AB =D .::3:4:5A B C ∠∠∠= 【答案】C【解析】【分析】要判断一个角是不是直角,先要知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是.【详解】A .若BC=4,AC=5,AB=6,则BC 2+AC 2≠AB 2,故△ABC 不是直角三角形; B.若13BC =,14AC =,15AB =,则AC 2+AB 2≠CB 2,故△ABC 不是直角三角形; C .若BC :AC :AB=3:4:5,则BC 2+AC 2=AB 2,故△ABC 是直角三角形;D .若∠A :∠B :∠C=3:4:5,则∠C <90°,故△ABC 不是直角三角形;故答案为:C .【点睛】 本题主要考查了勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.16.如图,AD ∥BC ,∠C =30°, ∠ADB:∠BDC= 1:2,则∠DBC 的度数是( )A .30°B .36°C .45°D .50°【解析】【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB 的度数,即可得出答案.【详解】∵AD ∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°,∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°,故选D. 【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.17.如图,ABC V 中,5AB AC ==,AE 平分BAC ∠交BC 于点E ,点D 为AB 的中点,连接DE ,则DE 的长为( )A .2B .2.5C .3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度.【详解】解:∵5AB AC ==,AE 平分BAC ∠,∴AE ⊥BC ,又∵点D 为AB 的中点,∴1 2.52DE AB ==,【点睛】本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线.熟练掌握相关定理,并能正确识图,得出线段之间的关系是解题关键.18.一个等腰三角形的顶角为钝角,则底角a的范围是()A.0°<a<9 B.30°<a<90° C.0°<a<45° D.45°<a<90°【答案】C【解析】:∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选:C19.对于图形的全等,下列叙述不正确的是()A.一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等B.一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等C.一个图形放大后得到的图形,与原来的图形全等D.一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;B. 一个图形经过中心对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意;C. 一个图形放大后得到的图形,与原来的图形不全等,故错误,符合题意;D. 一个图形经过轴对称后得到的图形,与原来的图形全等,正确,不符合题意,故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识,解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形,而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形,得不到全等图形.20.如图,赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设ab ,大正方形的边长为5,则小正方形的直角三角形两条直角边长分别为a和b.若8边长为()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】【分析】由题意可知:中间小正方形的边长为a﹣b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.【详解】解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,∵每一个直角三角形的面积为:12ab=12×8=4,∴根据4×12ab+(a﹣b)2=52=25,得4×4+(a﹣b)2=25,∴(a﹣b)2=25﹣16=9,∴a﹣b=3(舍负),故选:C.【点睛】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型.。
直角三角形练习题(含答案)
直角三角形练习题(含答案)题目一:已知直角三角形ABC,其中∠B = 90°,AB = 5 cm,BC = 12 cm。
请计算AC的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件,AB和BC分别为直角三角形ABC的两条直角边,可以带入勾股定理公式进行计算。
AC的长度可以计算如下:AC² = AB² + BC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169AC = √169 = 13 cm因此,AC的长度为13 cm。
题目二:直角三角形DEF中,∠D = 90°,DE = 8 cm,DF = 15 cm。
请计算EF的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件,DE和DF分别为直角三角形DEF的两条直角边,可以带入勾股定理公式进行计算。
EF的长度可以计算如下:EF² = DE² + DF² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289EF = √289 = 17 cm因此,EF的长度为17 cm。
题目三:已知直角三角形GHI,其中∠G = 90°,GH = 9 cm,HI = 12 cm。
请计算GI的长度。
解答:根据勾股定理,直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和。
根据已知条件,GH和HI分别为直角三角形GHI的两条直角边,可以带入勾股定理公式进行计算。
GI的长度可以计算如下:GI² = GH² + HI² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225GI = √225 = 15 cm因此,GI的长度为15 cm。
题目四:直角三角形JKL中,∠J = 90°,JK = 6 cm,KL = 8 cm。
九年级解直角三角形经典习题汇编附答案(超经典)
解直角三角形命题人:申老师1、已知:如图,在ΔABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,若∠B =30°,CD =6,求AB 的长.2、我国为了维护队钓鱼岛P 的主权,决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航.在一次巡航中,轮船和飞机的航向相同(AP ∥BD ),当轮船航行到距钓鱼岛20km 的A 处时,飞机在B 处测得轮船的俯角是45°;当轮船航行到C 处时,飞机在轮船正上方的E 处,此时EC =5km .轮船到达钓鱼岛P 时,测得D 处的飞机的仰角为30°.试求飞机的飞行距离BD (结果保留根号).3、如图,某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米,坡角为︒55,路基高度为5.8米,求路基下底宽(精确到0.1米).C AD B4、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。
在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵树AB ,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处,从C 点测得树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°.问:距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?5、如图,某一水库大坝的横断面是梯形ABCD ,坝顶宽CD =5米,斜坡AD =16米,坝高 6米,斜坡BC 的坡度3:1=i .求斜坡AD 的坡角∠A (精确到1分)和坝底宽AB .(精确到0.1米)6. 在一次实践活动中,某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下的方案(如图1所示):(1) 在测点A 处安置测倾器,测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE =α ; (2) 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN =m; (3) 量出测倾器的高度AC =h 。
根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN 。
如果测量工具不变,请参照上述过程,重新设计一个方案测量某小山高度(如图2)1)在图2中,画出你测量小山高度MN 的示意图2)写出你的设计方案。
初二数学直角三角形试题答案及解析
初二数学直角三角形试题答案及解析1.已知点A的坐标为(﹣3,4),则A点到原点O的距离为()A.﹣1B.1C.﹣5D.5【答案】D【解析】易得点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形,利用勾股定理求解即可.解:点A的坐标为(﹣3,4)到原点O的距离:OA==5,故选D.2.如图,已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点,AB⊥x轴于点B,点C在x轴的负半轴上,且OA=OC,△AOB的面积为,则AC的长为()A.B.C.D.4【答案】B【解析】先根据△AOB的面积求出k的值进而求出反比例函数的解析式,根据正比例函数与反比例函数有交点可求出A点坐标,利用两点间的距离公式可求出OC的长,由OA=OC可求出C点的坐标,再利用两点间的距离公式即可解答.解:∵A点在反比例函数的图象上,∴设A点的横坐标为x,则纵坐标为,∵△AOB的面积为,即x•==,∴k=,∴此反比例函数的解析式为y=,∵一次函数的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点,∴x=,∴x=1或x=﹣1(舍去),∴A点坐标为(1,),∴OA==2,∵OA=OC,∴C点坐标为(﹣2,0),∴AC==2.故选B.3.点P在第三象限内,P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2:1,到原点的距离为,则点()A.(﹣1,2)B.(﹣2,﹣1)C.(﹣1,﹣2)D.(1,﹣2)【答案】C【解析】应先判断出点P的横纵坐标的符号,进而根据点P到坐标轴的距离,到原点的距离判断具体坐标.解:∵点P在第三象限内,∴点P的横纵坐标的符号为(﹣,﹣),∵P到X轴的距离与到y轴的距离之比为2:1,∴可设P的横坐标为x,纵坐标为2x,∵点P到原点的距离为,∴x2+(2x)2=5,∴x=±1,∴x=﹣1,∴点P的坐标为(﹣1,﹣2).故选C.4.如图,点M(﹣3,4)到原点的距离是()A.3B.4C.5D.7【答案】C【解析】根据点在平面直角坐标系中的坐标的几何意义,及两点间的距离公式便可解答.解:∵点M的坐标为(﹣3,4),∴点M离原点的距离是=5.故选C.5.点M(﹣6,8)离原点的距离是几单位长度()A.3B.4C.5D.10【答案】D【解析】由题意知原点坐标为(0,0),直接利用两点间的距离公式求解即可.解:∵M(﹣6,8),原点O坐标为(0,0),∴OM===10.故选D.6.点M(﹣3,4)离原点的距离是多少单位长度()A.3B.4C.5D.7【解析】根据两点间的距离公式即可直接求解.解:设原点为O(0,0),根据两点间的距离公式,∴MO===5,故选C.7.如图在直角坐标中,点A,点B的坐标分别为(﹣4,0),(0,3),则AB的长为()A.2B.2.4C.5D.6【答案】C【解析】直接根据两点间的距离公式解答即可.解:∵点A,点B的坐标分别为(﹣4,0),(0,3),∴AB===5.故选C.8.如图,A、B两点的坐标分别为A(﹣4,1),B(﹣1,5),则线段AB的长为()A.3 B.4 C.5 D.9【答案】C【解析】直接根据两点间的距离公式进行解答即可.解:∵A、B两点的坐标分别为A(﹣4,1),B(﹣1,5),∴AB===5.故选C.9.已知平面内有一点P,它的横坐标与纵坐标互为相反数,且与原点的距离是2,则P点的坐标为()A.(﹣1,1)或(1,﹣1)B.(1,﹣1)C.(﹣,)或(,﹣)D.(,﹣)【答案】C【解析】根据勾股定理知识解答.解:设点P的横坐标与纵坐标分别为x、﹣x,所以x2+(﹣x)2=22,解得,,,所以,,所以P点的坐标为(,﹣),(﹣,).故选C.10.点M(2,3),N(﹣2,4),则MN应为()A.17B.1C.D.【答案】C【解析】根据两点间的距离公式计算.解:MN==.故选C.11.在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,2),则线段AB的中点到原点的距离是()A.2B.1C.D.2【答案】C【解析】根据点A、B的坐标易求线段AB中点的坐标是(1,1),然后由两点间的距离公式求得该点到原点的距离.解:∵在直角坐标系中,点A(2,0),点B(0,2),∴线段AB中点的坐标是(1,1),∴线段AB的中点到原点的距离是:=.故选:C.12.如图,在平面直角坐标系中,有A(1,2),B(3,3)两点,现另取一点C(a,1),当a=时,AC+BC的值最小.【答案】【解析】先作出点A关于y=1的对称点A′,再连接A'B,求出直线A'B的函数解析式,再把y=1代入即可得.解:作点A关于y=1的对称点A'(1,0),连接A'B交y=1于C,∴,解得:,∴直线A'B的函数解析式为:y=x﹣,把C的坐标(a,1)代入解析式可得,a=.故答案为:.13.已知点A(﹣3,1),点B在y轴正半轴上,且AB=5,则点B的坐标为:.【答案】(0,5)【解析】首先根据点B在y轴正半轴上设点B的坐标为(0,x),根据两点间的距离公式列出一元二次方程解得即可.解:∵点B在y轴正半轴上,设点B的坐标为(0,x),AB=5,∴=5,解得x=5或﹣3,∵点B在y轴正半轴上,∴x=5.故答案为(0,5).14.已知在y轴的正半轴上有一点P,它与点(﹣3,2)的距离是5,那么点P的坐标是.【答案】(0,6)【解析】根据题意设P(0,y)(y>0),然后利用两点间的距离公式d=填空.解:∵在y轴的正半轴上有一点P,∴设P(0,y)(y>0),又∵点P与点(﹣3,2)的距离是5,∴=5,解得,y1=6,y2=﹣2(不合题意,舍去);∴点P的坐标是(0,6).故答案是:(0,6).15.平面直角坐标系内点P(﹣2,0),与点Q(0,3)之间的距离是.【答案】【解析】依题意得OP=2,OQ=3,在直角三角形OPQ中,由勾股定理得PQ==.解:在直角坐标系中设原点为O,三角形OPQ为直角三角形,则OP=2,OQ=3,∴PQ==.故答案填:.16.在直角坐标平面中,如果线段AB的两个端点的坐标分别为(3,5)和(﹣1,2),那么线段AB的长为.【答案】5【解析】直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算即可.解:∵线段AB的两个端点坐标分别为(3,5)和(﹣1,2),∴AB==5.故答案是:5.17.如图,已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点,其中点B的坐标为(3,0),线段AB的垂直平分线b交y轴于点C(0,1),则AC的长为.【答案】【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段上两端点的距离相等知AC=CB;然后根据两点间距离公式求得BC=,即AC=.解:∵线段AB的垂直平分线是b,∴AC=CB;又∵CB==;∴AC=.故答案是:.18.在直角坐标平面中,如果线段AB的两个端点坐标分别为(4,﹣1)和(1,3),那么线段AB的长为.【答案】5【解析】直接根据直角坐标系中两点的距离公式计算即可.解:∵线段AB的两个端点坐标分别为(4,﹣1)和(1,3),∴AB==5.故答案为5.19.点A(2,m)与点B(﹣1,0)之间的距离是5,那么m的值为.【答案】﹣4或4【解析】直接利用两点间的距离公式可求解.解:∵点A(2,m)与点B(﹣1,0)之间的距离是5,∴5=,即m2=16,解得,m=4或m=﹣4,故答案是:﹣4或4.20.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(﹣3,﹣4)的距离等于5的点的坐标是.【答案】(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0)【解析】由P(﹣3,﹣4)可知,P到原点距离为5,而以P点为圆心,5为半径画圆,圆经过原点分别与x轴、y轴交于另外一点,共有三个.解:∵P(﹣3,﹣4)到原点距离为5,而以P点为圆心,5为半径画圆,圆经过原点且分别交x轴、y轴于另外两点(如图所示),∴故坐标轴上到P点距离等于5的点有三个:(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0).故答案是:(0,0)或(0,﹣8)或(﹣6,0).。
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)
九年级数学解直角三角形同步练习题(含答案)一、选择题(本大题共15小题,共45.0分)1.若角α的余角是30∘,则cosα的值是()A. 12B. √32C. √22D. √332.在Rt▵ABC中,∠C=90∘,sinA=35,则cosB的值是()A. 45B. 35C. 34D. 433.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=45,则BD的长度为()A. 94B. 125C. 154D. 44.已知a,b,c是△ABC的∠A,∠B,∠C的对边,且a:b:c=1:√2:√3,则cos B的值为()A. √63B. √33C. √22D. √245.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cosA=45,以点B为圆心,r为半径作⊙B,当r=3时,⊙B与AC的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定6.如图,数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度,在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°,测角仪CD的高度为1米,其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米,设旗杆AB的高度为x米,则下列关系式正确的是()A. tan55°=B. tan55°=C. sin55°=D. cos55°=7.如图,已知点A、点B是同一幢楼上的两个不同位置,从A点观测标志物C的俯角是65°,从B点观测标志物C的俯角是35°,则∠ACB的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 65°8.在Rt△ABC中,已知∠C=90∘.若AC=2BC,则sin∠A的值是()A. 12B. 2 C. √55D. √529.△ABC中,∠C=90°,若∠A=2∠B,则cosB等于()A. √3B. √33C. √32D. 1210.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=2√3,∠B=30°,S△ABC=10√3,则tanC的值为()A. 13B. 12C. √33D. √3211.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=12,cosA=1213,则tanA等于()A. 513B. 1312C. 125D. 51212.如图,点A、B、C均在小正方形的顶点上,且每个小正方形的边长均为1,则cos∠BAC的值为()A. 12B. √22C. 1D. √213.从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是()A. 42√3米B. 14√3米C. 21米D. 42米14.如图,在8×4的正方形网格中,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为()A. 13B. √1010C. 12D. √2215.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A的余弦值()A. 不变B. 缩小为原来的13C. 扩大为原来的3倍D. 扩大为原来的9倍二、填空题(本大题共1小题,共3.0分)16.计算:√27+(13)−2−3tan60°+(π−√2)0=______.三、计算题(本大题共1小题,共6.0分)17.如图,在A的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A沿着北偏东55°方向巡逻,到达C时接到命令,立刻从C沿南偏东60°方向以20海里/小时的速度航行,从C到B航行了3小时.求A,B间的距离(结果保留整数).(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43,√3≈1.73)四、解答题(本大题共5小题,共40.0分)18.如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221m,∠ACB=45°,∠ABC=58°.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数).参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60.19.如图,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sin∠BOA=.(1)求点B的坐标;(2)求tan∠BAO的值.)−1+√18−6sin45°.20.计算:(1221.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(√3取1.7).22.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,AE=6,cosA=3.5(1)求CD的长;(2)求tan∠DBC的值.1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题.先根据题意求得α的值,再求它的余弦值.【解答】解:因为角α的余角是30∘,所以α=90°−30°=60°,则.故选A.2.【答案】B【解析】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=sinA=,故选:B.3.【答案】C【解析】解:∵∠C=90°,AC=4,cosA=45,∴AB=ACcosA=5,∴BC=√AB2−AC2=3,∵∠DBC=∠A.∴cos∠DBC=cosA=BCBD =45,∴BD=3×54=154,故选:C.在△ABC中,由三角函数求得AB,再由勾股定理求得BC,最后在△BCD中由三角函数求得BD.本题主要考查了勾股定理,解直角三角形的应用,关键是解直角三角形.4.【答案】B【解析】解:∵,∴△ABC为直角三角形.cosB==.故选:B.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,注意:直线和圆有三种位置关系:相切、相交、相离.根据三角函数的定义得到AC,根据勾股定理求得BC,和⊙B的半径比较即可.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cosA=45,∴ACAB =AC5=45,∴AC=4,∴BC=√AB2−AC2=3,∵r=3,∴⊙B与AC的位置关系是相切,故选:B.6.【答案】B【解析】【解析】解:∵在Rt△ADE中,DE=6,AE=AB−BE=AB−CD=x−1,∠ADE=55°,∴sin55°=,cos55°=,tan55°=,故选:B.7.【答案】B【解析】【解析】解:根据题意可知:∠ACD=65°,∠BCD=35°,∴∠ACB=∠ACD−∠BCD=30°.故选:B.8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了锐角三角函数的求法,属于基础题.可先求出斜边AB,然后根据正弦的定义求出角A的正弦即可.【答案】解:∵AC=2BC,由勾股定理可得:AB=√AC2+BC2=√(2BC)2+BC2=√5BC,∴sin∠A=BCAB =√5=√55,故选C.9.【答案】C【解析】解:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∵∠A=2∠B,∴∠B=30°,∴cosB=cos30°=√32,故选:C.根据直角三角形的性质求出∠B,根据30°的余弦值是√32解答.本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质,熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.10.【答案】D【解析】解:∵在△ABD中,∠ADB=90°,AD=2√3,∠B=30°,∴BD=ADtanB =√3√33=6.∵S△ABC=12BC⋅AD=10√3,∴12BC⋅2√3=10√3,∴BC=10,∴CD=BC−BD=10−6=4,∴tanC=ADCD =2√34=√32.故选:D.首先解直角△ABD,求得BD,再根据S△ABC=10√3,求出BC,那么CD=BC−BD,然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tanC的值.本题考查了解直角三角形,三角形的面积,锐角三角函数定义,解题的关键是求出CD的长.【解析】解:∵cosA=ACAB =1213,AC=12,∴AB=13,BC=√AB2−AC2=5,∴tanA=BCAC =512.故选:D.根据cosA=1213求出第三边长的表达式,求出tanA即可.本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义.12.【答案】B【解析】解:连接BC,∵每个小正方形的边长均为1,∴AB=√5,BC=√5,AC=√10,∵(√5)2+(√5)2=(√10)2,∴△ABC是直角三角形,∴cos∠BAC=ABAC =√5√10=√22,故选:B.根据题目中的数据和勾股定理,可以求得AB、BC、AC的长,然后根据勾股定理逆定理可以判断△ABC的形状,从而可以求得cos∠BAC的值.本题考查解直角三角形、勾股定理与逆定理,解答本题的关键是明确题意,判断出△ABC 的形状,利用锐角三角函数解答.13.【答案】A【解析】解:根据题意可得:船离海岸线的距离为42÷tan30°=42√3(米)故选:A.在直角三角形中,已知角的对边求邻边,可以用正切函数来解决.本题考查解直角三角形的应用−仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.【解析】【分析】本题主要考查正切值的求法,解题的关键是构造直角三角形.作AH⊥CB,交CB延长线于H点,∠ACB的正切值是AH与CH的比值.【解答】解:如图,作AH⊥CB,交CB延长线于H点,则tan∠ACB=AHHC =26=13.故选A.15.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义,掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.根据相似三角形的性质解答.【解答】解:三边的长度都扩大为原来的3倍,则所得的三角形与原三角形相似,∴锐角A的大小不变,∴锐角A的余弦值不变,故选:A.16.【答案】10【解析】解:原式=3√3+9−3√3+1=10.故答案为:10.直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案.此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键.17.【答案】解:如图,过点C作CD⊥AB于点D,由题意可知:∠ACD=55°,∠BCD=60°,BC=20×3=60(海里),BC=30(海里),BD=30√3(海里),在Rt△BCD中,CD=12在Rt△ADC中,AD=CD⋅tan55°=30×1.43≈42.90(海里),∴AB=AD+BD=42.90+30√3≈95(海里).答:A,B间的距离为95海里.【解析】过点C作CD⊥AB于点D,根据三角函数分别求出CD、BD、AD的长,进而可求出A、B间的距离.本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题,解决本题的关键是掌握方向角的定义.18.【答案】解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,∵∠ACB=45°,∴AD=CD,设AB=x,在Rt△ADB中,AD=AB⋅sin58°≈0.85x,BD=AB⋅cos58°≈0.53x,又∵BC=221,即CD+BD=221,∴0.85x+0.53x=221,解得,x≈160,答:AB的长约为160m.【解析】通过作高,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,列方程求解即可.本题考查直角三角形的边角关系,掌握直角三角形的边角关系,即锐角三角函数,是正确解答的前提,通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法.19.【答案】解:(1)如图,过点B作BH⊥OA于点H,∵OB=5,sin∠BOA=,∴BH=3,OH=4,∴点B的坐标为(4,3),(2)∵OA=10,∴AH=OA−OH=10−4=6,∴在Rt△AHB中,tan∠BAO===.【解析】解答案20.【答案】解:(12)−1+√18−6sin45°=2+3√2−6×√2 2=2+3√2−3√2=2.【解析】首先计算负整数指数幂、开方和特殊角的三角函数值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可.此题主要考查了实数的运算,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.21.【答案】解:如图,过点B作BE⊥CD于点E,根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.∵AB⊥AC,CD⊥AC,∴四边形ABEC为矩形.∴CE=AB=12m.在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE,CE∴BE=CE⋅cot30°=12×√3=12√3.在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,得DE=BE=12√3.∴CD=CE+DE=12(√3+1)≈32.4.答:楼房CD的高度约为32.4m.【解析】首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,本题要求学生借助俯角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.22.【答案】解:(1)在Rt△ADE中,∠AED=90°,AE=6,cosA=3,5∴AD=AE=10,cosA∴DE=√AD2−AE2=√102−62=8.∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC,∴CD=DE=8;(2)由(1)AD=10,DC=8,∴AC=AD+DC=18,在△ADE与△ABC中,∵∠A=∠A,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,∴DEBC =AEAC,即8BC=618,BC=24,∴tan∠DBC=CDBC =824=13.【解析】(1)在Rt△ADE中,根据余弦函数的定义求出AD,利用勾股定理求出DE,再由角平分线的性质可得DC=DE=8;(2)由AD=10,DC=8,得AC=AD+DC=18.由∠A=∠A,∠AED=∠ACB,可知△ADE∽△ABC,由相似三角形对应边成比例可求出BC的长,根据三角函数的定义可求出tan∠DBC=13.本题考查了解直角三角形,角平分线的性质、相似三角形的判定与性质,三角函数的定义,求出DE是解第(1)小题的关键;求出BC是解第(2)小题的关键.。
初中数学:三角形(含答案)
三角形一、选择题1.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A2.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=10,那么BC的取值范围是()A.8<BC<10B.2<BC<18C.1<BC<8D.1<BC<9【答案】D3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为()A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°【答案】B4.如图,BE∥AF,点D是AB上一点,且DC⊥BE于点C,若∠A=35°,则∠ADC的度数()A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°【答案】C5.如图,在Rt ABC中,∠ACB=900,BC=2.将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△,使点B’落在AC边上.设M是的中点,连接BM,CM,BCM的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A6.如图,ABC中,正方形DEFG的顶点D,G分别在AB,AC上,顶点E,F在BC上.若△ADG、△BED、△CFG的面积分别是1、3、1,则正方形的边长为()A. B. C. 2 D. 2【答案】C7.如图,点P为⊙O外一点,PA为⊙0的切线,A为切点,PO交⊙0于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为().A. 3B.C. 6D. 9【答案】A8.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠B=40°,AC边的垂直平分线交BC于点E,连接AE,则∠BAE的度数是()A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°【答案】D9.在矩形ABCD中,AC,BD相交于O,AE⊥BD于E,OF⊥AD于F,若BE:ED=1:3,OF=3cm,则BD的长是()cm.A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D10.如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,DE∥BC,若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数是()。
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直角三角形的性质一.选择题(共35小题)1.如图是“人字形”钢架,其中斜梁AB=AC,顶角∠BAC=120°,跨度BC=10m,AD 为支柱(即底边BC的中线),两根支撑架DE⊥AB,DF⊥AC,则DE+DF等于()A.10m B.5m C.2.5m D.9.5m2.如图,等腰△ABC底边BC上的高AD等于腰AB长度的一半,则它的顶角∠BAC的度数为()A.60°B.90°C.100°D.120°3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于点O.如果AB=AC,那么图中全等的直角三角形的对数是()A.1B.2C.3D.44.在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=16,CD⊥AB,垂足为D,则BD的长为()A.6B.5C.4D.35.如果一个直角三角形的两边分别是6,8,那么斜边上的中线长为()A.4B.5C.3或5D.4或56.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,点P是AC边上的动点,则BP的最小值为()A.1B.2C.3D.47.直角三角形的斜边长为6cm,则斜边上的中线长为()A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm8.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是()A.一组锐角和斜边分别对应相等B.两个锐角分别对应相等C.两组直角边分别对应相等D.斜边和一组直角边分别对应相等9.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为()A.1.5B.2C.3D.410.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,点D在线段AB的垂直平分线上,若AD =6,则CD的长为()A.6B.4C.3D.211.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB,垂足为点D,则AD与BD之比为()A.2:1B.3:1C.4:1D.5:112.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4cm,则最长边AB的长为()A.8cm B.6cm C.cm D.5cm13.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,则∠B为()A.15°B.30°C.50°D.60°14.在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,则这个锐角的度数是()A.30°B.45°C.60°D.40°15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP的长可能是()A.5B.6.2C.7.8D.816.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6cm,D为AB的中点,则CD等于()A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm17.在△ABC中,∠C=90°,AB=c,∠A=30°,则AC=()A.c B.c C.2c D.c18.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是边AB的中点,AB=10,DE=4,则S△AEC=()A.8B.7.5C.7D.619.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BC的垂直平分线交AC于点D,并交BC于点E,若ED=3,则AC的长为()A.3B.3C.6D.920.如图,△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB的垂直平分线DE交AC于D点,交AB于E点,则下列结论错误的是()A.AD=BC B.AD=DB C.DE=DC D.BC=AE21.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB,垂足为E,点D是边AB的中点,AB=20,S△CAD=30,则DE的长度是()A.6B.8C.D.922.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,如果CE =8,则ED的长为()A.2B.3C.4D.623.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于点D,DE恰好是AB的垂直平分线,垂足为E.若BC=6,则AB的长为()A.3B.4C.8D.1024.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,若AE=4,则EC的长是()A.4B.3C.2D.125.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,若AE=1,则BE的长为()A.2B.C.D.126.如图,CD是直角△ABC斜边AB上的高,CB>CA,图中相等的角共有()A.2对B.3对C.4对D.5对27.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.则以下AE与CE的数量关系正确的是()A.AE=CE B.AE=CE C.AE=CE D.AE=2CE 28.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,观察图中尺规作图的痕迹,则AD的长是()A.B.4C.D.229.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,DE是斜边AC的垂直平分线,分别交AB、AC于D、E两点,若BD=2,则AC的长是()A.4B.4C.8D.830.如图,已知A(3,6)、B(0,n)(0<n≤6),作AC⊥AB,交x轴于点C,M为BC的中点,若P(,0),则PM的最小值为()A.3B.C.D.31.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,CE是AB边上的中线,AD=3,CE=5,则CD等于()A.3B.4C.D.32.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D是AC边的中点,DE⊥AC于点D,交AB于点E,若AB=16,则DE的长是()A.8B.6C.4D.233.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,若∠A=26°,则∠BDC的度数是()A.26°B.38°C.42°D.52°34.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E、F为直角边BC、AC的中点,且AE=3,BF=4,则AB=()A.2B.3C.2D.535.到直角三角形的三个顶点距离相等的点()A.是该三角形三个内角平分线的交点B.是斜边上的中点C.在直角三角形的外部D.在直角三角形的内部二.填空题(共10小题)36.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,CD=3cm,则AB=______.37.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACD=132°,∠A=______.38.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BCD=60°,若BD=3cm,则AD=______cm.39.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足是点E,若BD =8cm.则AC的长是______.40.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=48°,将其折叠,E是点A落在边BC上的点,折痕为CD,则∠EDB的度数为______.41.△ABC中,∠A=24°,∠C=66°,AC=8cm,则AC边上的中线长为______cm.42.等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为20,则底边上的高AD的长为______.43.如图是一个中心对称图形,A为对称中心,若∠C=90°,∠B=30°,BC=1,则BB′的长为______.44.若直角三角形斜边上的高是4m,斜边上的中线是5m,则这个直角三角形的面积是______.45.如图,在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=120°,AD是△ABC的中线,AE是∠BAD 的角平分线,DF∥AB交AE的延长线于点F,则DF的长为______.三.解答题(共5小题)46.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,过点C作CD⊥AB于D,∠A=30°,BD=1,求AB的值.47.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,∠BCD=∠A=30°,BC=4cm,求AD的长.48.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于G,CD =AE.(1)求证:CG=EG.(2)已知BC=13,CD=5,连结ED,求△EDC的面积.49.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DE⊥AC,垂足为E,CD=5,DE=4,求△ABC的面积.50.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°.(Ⅰ)求∠BCD的度数;(Ⅱ)若BD=a,求AB的长度(用a表示).直角三角形的性质参考答案与试题解析一.选择题(共35小题)1.解:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足为E,F,∴DE=BD,DF=DC,∴DE+DF=BD+DC=(BD+DC)BC.∴DE+DF=BC=×10=5m.故选:B.2.解:∵AD⊥BC,AD=AB,∴∠B=30°,∵AB=AC,∴∠C=30°,∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°.故选:D.3.解:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠ADC=∠AEB=90°,∵在△ADC和△AEB中,,∴△ADC≌△AEB(AAS);∴AD=AE,∠C=∠B,∵AB=AC,∴BD=CE,在△BOD和△COE中,,∴△BOD≌△COE(AAS);∴OB=OC,OD=OE,在Rt△ADO和Rt△AEO中,,∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL);∴共有3对全等直角三角形,故选:C.4.解:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠BCD=∠A=30°,∴BC=AB=8,∠B=60°,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠DCB=30°,BD=BC=4,故选:C.5.解:当一个直角三角形的两直角边分别是6,8时,由勾股定理得,斜边==10,则斜边上的中线=×10=5,当8是斜边时,斜边上的中线是4,故选:D.6.解:∵∠C=90°,∠A=30°,AB=4,∴BC=AB==2,∵点P是AC边上的动点,则当P与C重合时,BP的值最小为2,故选:B.7.解:直角三角形的斜边长为6cm,则斜边上的中线长为3cm,故选:C.8.解:A、若一组锐角和斜边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项A不符合题意;B、若两个锐角分别对应相等,不能证明这两个直角三角形全等,故选项B符合题意;C、若两组直角边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项C不符合题意;D、若斜边和一组直角边分别对应相等,可证这两个直角三角形全等,故选项D不符合题意;故选:B.9.解:∵∠DBC=60°,∠C=90°,∴∠BDC=90°﹣60°=30°,∴BD=2BC=2×1=2,∵∠C=90°,∠A=15°,∴∠ABC=90°﹣15°=75°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=75°﹣60°=15°,∴∠ABD=∠A,∴AD=BD=2.故选:B.10.解:△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∵点D在线段AB的垂直平分线上,∴DB=DA=6,∴∠DBA=∠A=30°,∴∠DBC=30°,∴CD=BD=3,故选:C.11.解:∵在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A=30°,CD⊥AB,∴2BD=BC,2BC=AB,∴AB=4BD,∴AD:BD=3:1,故选:B.12.解:设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x,则x+2x+3x=180°,解得,x=30°,即∠A=30°,∠C=3x=90°,∴AB=2BC=8(cm),故选:A.13.解:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,则x+2x=90°.x=30°.所以2x=60°,即∠B为60°.故选:D.14.解:设一个锐角的度数为x,则另一个锐角的度数为x,则x+x=90°,解得,x=60°,故选:C.15.解:根据垂线段最短,可知AP的长不能小于3;∵△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,∴AB=6,∴AP的长不能大于6.故选:A.16.解:∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AB=×6=3cm.故选:C.17.解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴BC=AB=c,由勾股定理得,AC==c,故选:B.18.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,C点E是边AB的中点,∴AE=BE=CE=AB=5,∵CD⊥AB,DE=4,∴CD==3,∴S△AEC=S△BEC=BE•CD=3=7.5,故选:B.19.解:∵DE是线段BC的垂直平分线,∴DC=DB,DE⊥BC,∵∠C=30°,∴BD=DC=2DE=3,∴∠DBC=∠C=30°,在△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=60°﹣30°=30°,∴AD=BD=3,∴AC=DC+AD=9,故选:D.20.解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,AB=2BC,∵DE是AB的垂直平分线,∴DA=DB,故B正确,不符合题意;∵DA=DB,BD>BC,∴AD>BC,故A错误,符合题意;∴∠DBA=∠A=30°,∴∠DBE=∠DBC,又DE⊥AB,DC⊥BC,∴DE=DC,故C正确,不符合题意;∵AB=2BC,AB=2AE,∴BC=AE,故D正确,不符合题意;故选:A.21.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,点D是边AB的中点,AB=20,∴CD=AD=BD=10,∵S△CAD=30,CE⊥AB,垂足为E,∴S△CAD=AD•CE=30∴CE=6,∴DE===8,故选:B.22.解:∵DE垂直平分BC,∴BE=CE=8.在Rt△BED中,∠B=30°,BE=8,∴ED=BE=4.故选:C.23.解:∵AD是∠CAB的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵DE是AB的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠BAD=∠DBA,∴∠BAD=∠DBA=∠CAD,∵∠C=90°,∴∠BAD=∠DBA=∠CAD=30°,∴AB=2AC,由勾股定理得,AB2﹣AC2=BC2,解得,AB=4,故选:B.24.解:如图,连接BE,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,在△ABC中,∠CBE=180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠C=180°﹣30°﹣30°﹣90°=30°,∴CE=BE=×4=2,故选:C.25.解:∵在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,∴BE=CE,∴∠B=∠DCE=30°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°.在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,∴CE=2AE=2,∴BE=2.故选:A.26.解:∵CD是直角△ABC斜边AB上的高,∴∠ACB=∠ADC=∠CDB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∴∠A=∠DCB,同理得:∠B=∠ACD,∴相等的角一共有5对,故选:D.27.解:连接BE,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE,∴AE=2CE,故选:D.28.解:连接CD,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,∴AB=8,∵BD=CD,∴∠B=∠BCD=30°,∴∠DCA=60°,∵∠A=60°,∴△ACD是等边三角形,∴CD=AD=BD=AB=4,故选:B.29.解:∵∠B=90°,∠ACB=60°,∴∠A=30°,∵DE是斜边AC的垂直平分线,∴DA=DC,∴∠DCA=∠A=30°,∴∠DCB=30°,∴DC=2BD=4,由勾股定理得,BC==2,∴AC=2BC=4,故选:B.30.解:如图,作AH⊥y轴于H,CE⊥AH于E,作MN⊥OC于N.则四边形CEHO是矩形,OH=CE=6,∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°,∴∠ABH+∠HAB=90°,∠HAB+∠EAC=90°,∴∠ABH=∠EAC,∴△AHB∽△CEA,∴=,∴=,∴AE=2BH,设BH=x,则AE=2x,∴OC=HE=3+2x,OB=6﹣x,∴B(0,6﹣x),C(3+2x,0)∵BM=CM,∴M(,),∵P(,0),∴PN=ON﹣OP=﹣=x,∴PM2=PN2+MN2=x2+()2=x2﹣3x+9=(x﹣)2+,∴x=时,PM2有最小值,最小值为,∴PM的最小值为=.故选:D.31.解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为AB边上的中线,CE=5,∴AE=CE=5,∵AD=3,∴DE=2,∵CD为AB边上的高,∴在Rt△CDE中,CD==,故选:C.32.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=16,∴BC=AB=8,∵DE⊥AC,∠C=90°,∴DE∥BC,∵D是AC边的中点,∴AD=CD,∴AE=BE,∴DE=BC=4,故选:C.33.解:∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴BD=CD=AD,∴∠A=∠DCA=26°,∴∠BDC=∠A+∠DCA=26°+26°=52°.故选:D.34.解:设BE=EC=x,CF=F A=y,∵∠C=90°,AE=3,BF=4,则有,解得x2=,y2=,∴AB===2,故选:C.35.解:∵在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,∴直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点,故选:B.二.填空题(共10小题)36.解:∵∠ACB=90°,D是AB的中点,CD=3cm,∴AB=2CD=6cm.故答案为:6cm.37.解:∠ACD的△ABC的一个外角,∴∠A=∠ACD﹣∠B=132°﹣90°=42°,故答案为:42°.38.解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠BCD=60°,BD=3cm,∴BC=2CD,可得:BC2﹣CD2=4CD2﹣CD2=9,解得:CD=cm,∴BC=2cm,∴AC=cm,∴AB=4cm,∴AD=4﹣3=1cm.故答案为:139.解:∵DE垂直平分AB,∴BD=AD=8cm,∴∠BDA=∠BAD=15°,∴∠ADC=30°,又∵∠C=90°,故答案为:4cm.40.解:∵∠ACB=90°,∠A=48°,∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣48°=42°,∵△CDE是△CDA翻折得到,∴∠CED=∠A=48°,在△BDE中,∠CED=∠B+∠EDB,即48°=42°+∠EDB,∴∠EDB=6°.故答案为:6°.41.解:∵∠A=24°,∠C=66°,∴∠B=180°﹣∠A﹣∠B=90°,∴AC边上的中线长为AC==4(cm),故答案为:4.42.解:如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠B=(180°﹣120°)=30°,∴Rt△ABD中,AD=AB=×20=10,即底边上的高为10,故答案为:10.43.解:在Rt△ABC中,∠B=30°,∴AB=2AC,由勾股定理得,AC2+BC2=AB2,即(AB)2+1=AB2,解得,AB=,∵图形是一个中心对称图形,A为对称中心,故答案为:.44.解:∵直角三角形斜边上的中线长是5m,∴斜边长为10m,∵直角三角形斜边上的高是4m,∴这个直角三角形的面积=×10×4=20(m2).故答案为:20m2.45.解:∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°,∵AE是∠BAD的角平分线,∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°,∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°,∴∠DAE=∠F=30°,∴AD=DF,∵∠B=90°﹣60°=30°,∴AD=AB=×8=4,∴DF=4,故答案为:4.三.解答题(共5小题)46.解:∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,又CD⊥AB,∴∠BCD=30°,在Rt△BCD中,∠BCD=30°,BD=1,可得BC=2BD=2,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,则AB=2BC=4.47.解:∵△ABC中∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4cm,∴AB=2BC=8cm,∠B=60°,∵∠BCD=∠A=30°,∴∠B+∠BCD=60°+30°=90°,∴∠CDB=90°,∴BD=BC=2cm,∴AD=AB﹣BD=8cm﹣2cm=6cm.48.(1)证明:连接DE,在Rt△ADB中,点E是AB的中点,∴DE=AB=AE,∵CD=AE,∴DE=DC,又DG⊥CE,∴CG=EG.(2)解:作EF⊥BC于F,∵BC=13,CD=5,∴BD=13﹣5=8,∵DE=BE,EF⊥BC,∴DF=BF=4,∴EF===3,∴△EDC的面积=×CD×EF=×5×3=7.5.49.解:∵CD是斜边AB上的中线,∴AB=2CD=10,∵∠BCA=90°,DE⊥AC,∴BC∥DE,又点D是AB的中点,∴BC=2DE=8,由勾股定理得,AC===6,∴△ABC的面积=×6×8=24.50.解:(Ⅰ)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD=90°﹣60°=30°;(Ⅱ)∵∠BDC=90°,∠BCD=30°,BD=a,∴BC=2BD=2a,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC=4a.。