幂函数知识点

幂函数

1.幂函数：一般地，形如y=x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数.

要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：（1）幂函数具有严格的形式，形如 y=mx a， y=（mx）a， y=x a+m，y=（x+m）a（以上m均为不等于零的常数，且前两个函数中的m也不等于1）的函数都不是幂函数，二次函数中

只有y=x2是幂函数，其他的二次函数都不是幂函数，幂函数y=x a要满足三个特征：○1幂x a前的系数是1；○2底数只能是自变量x，指数是常数；○3项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数；（2）求函数解析式时，若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为f（x）=x a，根据条件求出a即可.（3）不要把幂函数与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反，底数为常数，指数为自变量.当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决.

2.幂函数在第一象限的图象：

幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝n／m (其中m∈N*，n∈Z且m，n互质)．

(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．

(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．

(3)当m为偶数，n为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．

3.幂函数当α＝1,2,3，0.5，－1时的图象与性质．(1)图象(如图所示)

(2)性质(如表)

4.幂函数的性质：(1)所有的幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都通过点（1,1）；(2)如果a＞0，则幂函数的图像过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数；(3)如果a＜0，则幂函数的图像在区间（0，+∞）上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于零时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x趋向于无穷大时，图像在x轴上方无限逼近x轴；（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数.(5)①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当Ol时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，y=x a表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1))

5.幂函数图象的其他性质：

(1)图象的对称性：把幂函数y=x a的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数y=x a的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，

(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数y=x a的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O

6.幂函数的单调性和奇偶性：

对于幂函数y=x a

（a ∈R)．

(1)单调性:当a>0时，函数y=x a 在第一象限内是增函数；当a<0时，函数y=x a

在第一象限内是减函数．

(2)奇偶性:①当a 为整数时，若a 为偶数，则y=x a 是偶函数；若a 为奇数，则y=x a

是奇函数;②当n 为分数，即

a=p ／q （p ，q 互素，p ，q ∈Z ）时，若分母q 为奇数，则分子p 为奇数时，y=x a 为奇函数；分子p 为偶数时，y=x

a

为偶函数， 若分母q 为偶数，则y=x a

为非奇非偶函数 7.比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性．(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性．(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个中间数作为桥梁来比较大小． 8.在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．对于幂函

数y ＝x

a

，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即a<0,01三种情况下曲线的基本形状，还要注意a ＝0，±1三个曲线的形状． 9.利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，具体方法如下： (1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较； (2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；

(3)当幂的底数和指数都不同时，一种方法是作商，通过商与1的大小关系确定两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性比较；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小．

(4)比较多个幂值的大小，一般也是运用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较，最后确定各数之间的大小关系．

例题部分

1.比较下列各组数的大小

（1）13

1.5，13

1.7，1 （2）()37

，(

3

7

，(

)

37

（3）23

2-

⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

，23

107-

⎛⎫

- ⎪⎝⎭，()431.1-- 解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题． ∵13

y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.5

1>>，∴1

13

3

1.7 1.51>>．

（2）底数均为负数，可以将其转化为()

)

337

7

=-

，(

)

)337

7=-

，())3377

=-． ∵3

7y x

=在

()

0,+∞上

单调递增，且

>>，∴)))3337

7

7

>>，

即

)

)

)

3337

7

7

-

<-

<-

，∴()()()

3337

7

7

<<．

（3）先将指数统一，底数化成正数．22

3

3

--

⎛= ⎝

⎭

⎝⎭

，223

3

101077--

⎛

⎫

⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

，()

()423

3

1.1 1.21-

-

-=．

∵2

3y x -=在()0,

+∞上单调递减，且7 1.2110

<

<，∴()2

2

32337 1.2110---⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎝⎭

，即：()

2

23

43

3

7 1.110-

-

-

⎛⎛⎫

->>- ⎪ ⎝⎭

⎝⎭

．

2.已知（m+4）-0.5

＜（3-2m ）-0.5

，求m 的取值范围

解：幂函数f （x ）=x -0.5

的定义域是（0，+∞），且在定义域上时减函数，所有0＜m ＜1.5 3.若()()1

13

3

132a a --

+<-，求实数a 的取值范围．

分析：若113

3

x

y -

-<，则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<．

解：根据幂函数的性质，有三种可能：10320

a a +<⎧⎨->⎩

或10

320132a a a a

+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩

或10

320132a a a a +>⎧⎪

->⎨⎪+>-⎩

，

4.已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值

解：∵幂函数2

23

m

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2

230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2

(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称，∴2

23m m --是奇数，∴0m =或2m =