初一数学整式规律探索含答案

规律探索

中考要求

重难点

1.能根据图，表，数，式中的排列特征，探究期中蕴藏的数式规律

课前预习

德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.

长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”.

他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.

这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好.。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.

还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样？”

老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了.

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的.”

数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n 的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了

例题精讲

模块一 规律探索

在解数学题时，往往从特殊的，简单的，局部的事例出发，探求一般的规律；或者从现有的结论，信息，通过观察，类比，联想，进而猜想未知领域的奥秘，这种思想方法叫归纳猜想.

归纳猜想是学习和研究数学的最基本而又十分重要的方法它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是探索解题思路的有效方法，也是科学发展史上的一种重要的方法.

注释：归纳猜想是建立在细致而深刻的观察基础上，解题中观察活动主要有三条途径； 1. 从数与式的特征观察； 2. 从几何图形的结构观察；

3. 通过对简单，特殊情况的观察，再推广到一般情况. 规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将今年中考规律类中考试题分析如下：

一、 设计类

【例1】 将连续的自然数1至36按如图的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形任意圈出其中的9个

数，设圈出的9个数的中心的数为a ，用含有a 的代数式表示这9个数的和为 .

【难度】1星

【解析】解决本题的关键是认真审题，仔细观察图形，找数字之间的关系，发现规律，利用代数式的规律

命题是近年来代数式命题的热点.

本题主要考察列代数式，寻找长方形中9个数之间的大小关系，若中心数为a ，则a 上方的数可记

为6a -，下方的数记为6a +,左边的数记为1a -，右边的数记为1a +，左上方的数记为7a -，右上方的数记为5a -，左下方的数记为5a +，右下方的数记为7a +，所以这九个数相加的和为

9a .

【答案】9a

【例2】 观察算式：

22222

11;132;1353;1357164;13579255=+=++=+++==++++==

用代数式表示这个规律（n 为正整数）()1357921n +++++

+-=____________

【难度】1星

【解析】用代数式表示数的规律，要认真观察特例，然后有特殊得到一般规律，特别注意n 的表示意义.

认真观察已知等式的数字变化规律，左边为从1开始的连续奇数的和，右边为数字个数的平方.

【答案】2n

【例3】 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图（1）；第2次把第1次铺的完

全围起来，如图（2）所示；第3次把第2次铺的完全围起来，如图（3）…… 依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数为

______________

【难度】1星

【解析】由图可知，可列表

由上表发现，后面每次镶嵌的木块都比前一次增加8块，即第n 次镶嵌木块数为()28186n n +-=+（块）观察图形变化可找规律，从表格中数量变化也可寻找规律，因此可以从“数”“形”两方面解 决此类问题。 【答案】86n +

【例4】 如图所示，下列每个图形都是由若干枚棋子围成的正方形图案，图案的每条边(包括两个顶点)上

都有n ()2n ≥枚棋子，每个图案中棋子总数为s ，则s 与n 之间的关系可以表示为 .

次数 1 2 3 …

… 木块

数

2 10 18 …

…

【难度】1星

【解析】由图(1)可知，2,4

n s

==；由图（2)可知，3,4442

n s

==+=⨯；由图(3)可知，4,44443

n s

==++=⨯；由图可知，5,444444

n s

==+++=⨯，…∴s与n之间的关系可用式子()

41

s n

=-表示.．

【答案】()

41

s n

=-

☞巩固练习

1.如图（1）所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图（2），再分别连接图（2）中间

的小三角形三边的中点，得到图（3），按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成下列问题

.

（1）将下表填写完整；

图形编号（1）（2）（3）（4）（5）

三角形个数 1 5 9

（2）在第n个图形中有个三角形

【难度】1星

【解析】略．

【答案】(1)13,17 (2)43

n-

2.(09梅州市）如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，

第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．

【难度】2星……

第1幅第2幅第3幅第n幅