公倍数和最小公倍数
最小公倍数什么意思
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数的公倍数中最小的那一个。
可以这样理解：对于两个整数A和B，它们的最小公倍数是它们能够同时被整除的最小的正整数。
换句话说，最小公倍数就是能够同时整除两个整数的最小正整数。
例如，对于整数8和12，它们的公倍数包括24、48、72等。
在这些公倍数中，24是最小的，因此24是8和12的最小公倍数。
下面是最小公倍数的一些详细解释和例子，希望能够帮助您理解。
首先，让我们来理解一下“公倍数”的概念。
“公倍数”指的是能够同时被两个整数整除的数。
例如，对于整数8和12，它们的公倍数包括24、48、72等。
这些数都能够同时被8和12整除。
“最小公倍数”则是指两个整数的公倍数中最小的那一个。
例如，对于整数8和12，它们的公倍数包括24、48、72等。
在这些公倍数中，24是最小的，因此24是8和12的最小公倍数。
下面是几个关于最小公倍数的例子，希望能够帮助您更好地理解这个概念。
例1：求整数8和12的最小公倍数。
解：8和12的公倍数包括24、48、72等。
在这些公倍数中，24是最小的，因此24是8和12的最小公倍数。
例2：求整数15和20的最小公倍数。
解：15和20的公倍数包括60、120、180等。
在这些公倍数中，60是最小的，因此60是15和20的最小公倍数。
例3：求整数6和9的最小公倍数。
解：6和9的公倍数包括18、。
关于倍数,公倍数和最小公倍数的规律
关于倍数,公倍数和最小公倍数的规律示例文章篇一：《倍数、公倍数和最小公倍数的规律》嘿，小伙伴们！今天咱们来好好唠唠倍数、公倍数和最小公倍数的那些事儿。
这倍数啊，就像是一群小跟班一样。
比如说3的倍数，那就是3、6、9、12……就好像3后面带着一群小伙伴，这些小伙伴都是3乘以某个数得到的呢。
你看，这多有趣啊。
那公倍数又是啥呢？咱先想两个数，就说4和6吧。
4的倍数有4、8、12、16 (6)的倍数有6、12、18、24……你看啊，这里面都有12呢。
这个12就是4和6的公倍数。
就好比两个人，他们都有自己的一群小伙伴（倍数），但是中间有几个小伙伴是他们俩共有的，这共有的小伙伴就是公倍数啦。
那除了12，还有没有其他的呢？当然有啦，24也是呀。
那这公倍数是不是有好多好多呢？这就像两个队伍，中间有好多重合的成员呢。
再来说说最小公倍数。
这最小公倍数啊，就像是在公倍数这个大家庭里最小的那个宝贝。
还拿4和6来说，它们的公倍数有12、24等等，可是12就是最小的那个，所以12就是4和6的最小公倍数。
这就好像在两个队伍重合的成员里，找出那个最先出现的，那就是最小公倍数啦。
我和同桌有一次就讨论这个呢。
同桌说：“我觉得找公倍数好麻烦啊，要一个一个数。
”我就说：“那可不一定呢。
要是两个数是倍数关系，比如说2和4，那4就是它们的最小公倍数啦。
”同桌眼睛一亮：“真的呀，那要是两个相邻的数呢？”我笑着说：“你想想看，像3和4，它们的最小公倍数就是3乘以4等于12呢。
”同桌就像突然明白了一个大秘密一样：“哇，好神奇啊。
”咱们再深入一点哦。
要是有三个数呢，比如2、3和4。
先找2和3的最小公倍数，2的倍数有2、4、6、8……3的倍数有3、6、9……所以2和3的最小公倍数是6。
然后再找6和4的最小公倍数，6的倍数有6、12、18……4的倍数有4、8、12……所以6和4的最小公倍数是12，那12就是2、3和4的最小公倍数啦。
这就像是一场接力赛，先把前面两个数的关系搞定，再把这个结果和第三个数去找关系。
公倍数与最小公倍数知识点
公倍数与最小公倍数知识点公倍数与最小公倍数是数学中的重要概念，它们在数论、代数等领域中具有广泛的应用。
本文将从概念定义、性质特点以及实际应用等方面进行介绍和解析。
一、公倍数的概念与性质公倍数，顾名思义，就是能够同时被几个数整除的数。
具体来说，对于给定的两个或多个整数，它们的公倍数就是能够同时被这些整数整除的数。
例如，对于整数3和4来说，它们的公倍数有12、24、36等等。
公倍数的性质可以总结为以下几点：1. 公倍数必定是给定的整数的倍数，即公倍数必然能够整除这些整数。
2. 公倍数中最小的那个数就是它们的最小公倍数。
二、最小公倍数的概念与计算方法最小公倍数，简称最小公倍数，是指能够同时整除给定的两个或多个整数的最小的正整数。
例如，对于整数3和4来说，它们的最小公倍数是12。
最小公倍数的计算方法有多种，其中最常用的一种方法是通过求解最大公约数来得到。
具体步骤如下：1. 首先，找到给定整数的所有质因数分解。
2. 然后，将所有质因数分别按照最高次幂的形式相乘，得到的结果就是最小公倍数。
例如，对于整数3和4来说，它们的质因数分解分别为3=3，4=2^2，因此它们的最小公倍数为3×2^2=12。
三、公倍数与最小公倍数的应用公倍数与最小公倍数在生活中具有广泛的应用。
以下将从数论、代数等多个角度进行介绍。
1. 数论中的应用在数论中，公倍数与最小公倍数是研究整数性质的重要工具。
通过研究整数的公倍数与最小公倍数，可以得到诸如整数的因子分解、最大公约数等性质。
2. 代数中的应用在代数中，公倍数与最小公倍数是求解方程、整理表达式等问题的基础。
通过求解公倍数与最小公倍数，可以简化方程的运算步骤，使问题的解得到简化。
3. 最小公倍数在分数运算中的应用在分数运算中，最小公倍数是进行分数加减、比较大小等问题的基础。
通过求解分数的最小公倍数，可以将分数的分母统一，从而方便进行加减运算。
4. 公倍数与最小公倍数在工程中的应用在工程中，公倍数与最小公倍数常常用于设计和规划。
公倍数和最小公倍数
公倍数和最小公倍数引言公倍数和最小公倍数是数学中比较基础的概念，对于小学数学以及初中数学都有涉及。
在教学实践中，如何让学生深入理解公倍数和最小公倍数的概念，掌握正确的计算方法，是需要我们重点关注的问题。
因此，本文将针对公倍数和最小公倍数的教学进行设计和探讨。
教学目标本教学旨在通过设计课程、构思教学方案等方法，让学生：•掌握公倍数和最小公倍数的概念•理解公倍数和最小公倍数的计算方法•能够应用公倍数和最小公倍数解决实际问题•提升数学思维能力和解决问题的能力教学内容知识点•公倍数的概念和计算方法•最小公倍数的概念和计算方法•公倍数和最小公倍数的联系和区别教学方法•演示法：通过具体生活和实际问题，介绍公倍数和最小公倍数的概念和应用方法，以及计算公倍数和最小公倍数的技巧和步骤。
•讨论法：引导学生通过课堂讨论和小组合作等形式，共同解决一些公倍数和最小公倍数的实际问题，从而提高数学思维和解决问题的能力。
•多元化教学法：通过结合PPT、视频、互动课堂、课外习题等多种教学手段，来增加学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的学习效果。
教学流程教学环节教学内容教学方法Step 1 引入上板书“公倍数”、“最小公倍数”，问学生是否知道这两个概念，并让学生举一些实例。
Step 2 展现问题给出一个真实问题：小明家里有两个电器，一台电视机要在10秒钟内完成自检，一台烤箱要在15秒钟内完成预热，问小明最少需要等多少秒才能同时使用这两个电器？Step 3 引入公倍数概念问学生如果小明要同时使用这两个电器，需要等多久？如果要求同时使用这两个电器时，电视机自检的时间和烤箱预热的时间需要相等，那么需要等多久？Step 4 教授公倍数的计算方法让学生先计算电视机的自检时间的前几个倍数，再计算烤箱的预热时间的前几个倍数，这些倍数中最小的一个即为小明所需等待的时间，即最小公倍数。
Step 5 举一反三设计实际问题，让学生掌握公倍数和最小公倍数的计算方法和应用能力。
公倍数和公因数
公倍数和公因数基础知识回顾1、公倍数和最小公倍数的意义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
2、公倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，因此两个数的公倍数的个数也是无限的。
只有最小公倍数，没有最大公倍数。
3、求两个数的最小公倍数的两种特殊情况：1）如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最小公倍数就是它们的乘积。
4、公因数和最大公因数的意义：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
5、公因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，因此两个数的公因数的个数也是有限的。
最小的公因数是1.6、求两个数的最大公因数的特殊情形：1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数；较大数就是这两个数的最小公倍数。
2）如果两个数只有公因数1，那么这两个数的最大的公因数是1；最小公倍数是它们的乘积。
3）假如两个数都是质数或者两个数是继续的天然数，那末这两个数的乘积就是它们的最小公倍数。
7、公倍数是最小公倍数的倍数，最小公倍数是公倍数的因数。
8、素数：一个数，如果只有1和它本身两个因数的数叫做素数。
合数：除了1和它本身外另有别的的因数叫做合数。
9、公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是它们的最小公倍数。
例如：6和8都是合数，6的质因数有2、3；8的质因数有：2、2、2；6和8的最小公倍数是2*3*2*2=2424是它们的最小公倍数。
10、两个合数，如果它们只有公因数1，那么最大公因数也是1.11、1与任意非零天然数的公因数只要1个，就是1.12、用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，一般用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数乘起来，就得到这两个数的最大公因数。
而把所有的除数与它们只有公因数1时的数相乘就是它们的公倍数。
小学数学中的公倍数和最小公倍数
例子：求3和5的最小公倍数
公倍数和最小公倍数的应用
03
公倍数在日常生活中的应用
购物：计算不同商品的价格，找出公倍数以便于付款
交通：规划出行路线，选择公倍数时间以避免交通拥堵
体育：安排比赛时间，选择公倍数时间以适应不同队伍的赛程安排
约会：安排约会时间，选择双方都有空的公倍数时间
最小公倍数在日常生活中的应用
购物：计算不同商品的最小公倍数，以便找到合适的购物时间
交通：计算不同交通工具的行程时间，以便找到最快的出行方式
饮食：计算不同食物的营养成分，以便找到最健康的饮食搭配
约会：计算不同人的空闲时间，以便找到合适的约会时间
举例说明公倍数和最小公倍数的实际应用场景
购物：在超市购物时，如果商品价格是5元和10元的公倍数，那么可以使用5元和10元的钞票进行支付，避免找零。
最后，将15的倍数作为3和5的公倍数，即15,30,45,60,75,90等。
然后，将15分解为3和5的倍数，即3*5=15。
首先，找出3和5的最小公倍数，即15。
最小公倍数的概念和计算方法
02
什么是最小公倍数
最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。
例如，3和5的最小公倍数是15，因为15是3和5的公共倍数，且没有比15更小的公共倍数。
如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最小公倍数。
然后，将两个数的乘积除以最大公约数，得到的结果就是最小公倍数（LCM）。
首先，找出两个数的最大公约数（GCD）。
举例说明如何判断两个数的最小公倍数
例子：判断6和8的最小公倍数
添加标题
方法：首先找出6和8的公倍数，然后找出其中最小的一个
添加标题
公倍数和最小公倍数
公倍数和最小公倍数公倍数和最小公倍数是数学中常见且重要的概念，可以帮助我们解决各种实际问题。
在本文中，我将介绍公倍数和最小公倍数的定义、求解方法以及其在实际应用中的重要性。
一、公倍数的定义和求解方法公倍数指的是两个或多个数同时拥有的整数倍数。
具体而言，如果一个数既是数a的倍数，又是数b的倍数，那么它就是a和b的公倍数。
求解公倍数的方法有以下两种：1. 列举法：通过列举数a和数b的倍数，找出它们共有的倍数即可得到公倍数。
例如，求解7和9的公倍数可以按照以下步骤进行： - 列举7的倍数：7、14、21、28、35、42、49、...- 列举9的倍数：9、18、27、36、45、54、63、...- 找出它们共有的倍数：63、126、189、...2. 公式法：通过数学公式计算得到公倍数。
设a和b分别为两个数，则它们的公倍数可以表示为a×b的倍数。
例如，求解15和20的公倍数可以使用公式法进行计算：- 公倍数 = 15 × 20 = 300二、最小公倍数的定义和求解方法最小公倍数是指两个或多个数公有的最小的倍数。
最小公倍数的求解涉及到质数分解和公式计算。
具体而言，最小公倍数的求解方法有以下两种：1. 质因数分解法：将两个数进行质因数分解，并提取出每个质因子的最高次数，然后将各个质因子相乘即可得到最小公倍数。
例如，求解12和18的最小公倍数可以按照以下步骤进行：- 将12进行质因数分解：12 = 2^2 × 3^1- 将18进行质因数分解：18 = 2^1 × 3^2- 提取各个质因子的最高次数：2^2 × 3^2 = 36- 得到最小公倍数：362. 公式法：利用最小公倍数和两数的关系进行计算。
设a和b分别为两个数，则它们的最小公倍数可以表示为a ×b ÷最大公约数。
例如，求解24和36的最小公倍数可以使用公式法进行计算：- 最小公倍数 = 24 × 36 ÷最大公约数(24,36)- 最大公约数(24,36) = 12- 最小公倍数 = 24 × 36 ÷ 12 = 72三、公倍数和最小公倍数的实际应用公倍数和最小公倍数在实际问题中有着广泛应用，尤其是在数学和自然科学领域。
公倍数和最小公倍数
6厘米
6厘米
8厘米
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺下面的 两个正方形。可以正好铺满哪个正方形？
2厘米 2厘米
3厘米
6厘米
6厘米
8厘米
6÷ 2=3 6÷ 3=2
8÷ 2=4 8÷ 3=2…… 2
先找9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。
18、 36、 54、 63 …… 9的倍数: 9、 27、 45、 其中 18、36、54…… 最小的公倍数是 18 也是6的倍数。 6和9的公倍数有 18、36、54……
6的倍数 6 12 18 30 36 42
6和8的公倍数
找出每组数的最小公倍数。
6和10
2和 4
4和7
8和 1
6和10的最小公倍数是30。
2和4的最小公倍数是4。
4和7的最小公倍数是28。 8和1的最小公倍数是8。
3和 6 4和 6 8和5 1和12 6和 7
4厘米
3厘米
6厘米
6厘米Biblioteka 用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺下面的 两个正方形。可以正好铺满哪个正方形？
最小的公倍数是 18
先找6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。
18、 36、 54、 60 …… 6的倍数: 6、 12、 24、 30、 42、 48、 其中 18、36、54 …… 也是9的倍数。 6和9的公倍数有 18、36、54 …… 最小的公倍数是 18
先找9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。
（苏教版）义务教育课程标准实验教材
公倍数与最小公倍数
执教：马衙中心小学 夏欢
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺下面的 两个正方形。可以正好铺满哪个正方形？
公倍数与最小公倍数的关系
公倍数与最小公倍数的关系
嘿，你问公倍数与最小公倍数的关系啊？那咱就来唠唠。
公倍数呢，就是几个数公有的倍数。
比如说 2 和3，它们的公倍数有6、12、18 等等。
就像几个好朋友都有的共同的玩具一样。
公倍数有很多个呢，只要是能同时被这几个数整除的数都是公倍数。
最小公倍数呢，那就是这些公倍数里面最小的那个数。
还是拿 2 和 3 来说，它们的最小公倍数就是6。
就像在一堆玩具里面找那个最小最好玩的玩具。
最小公倍数是公倍数里面最特别的一个，它是所有公倍数的起点。
公倍数和最小公倍数的关系可密切啦。
最小公倍数是公倍数的基础哇。
所有的公倍数都是最小公倍数的倍数。
就像一个家族里面，最小公倍数是老祖宗，其他公倍数都是老祖宗的后代。
比如说 6 的倍数12、18、24 等等都是 2 和 3 的公倍数。
而且呢，知道了最小公倍数，就可以很容易地找到其他公倍数。
只要不断地给最小公倍数乘以不同的整数，就可以得到所有的公倍数。
就像你有了一把钥匙，就可以打开很多
扇门。
比如说我有个小侄子，他在学公倍数和最小公倍数的时候可头疼了。
我就给他举例子，比如说 4 和6，它们的最小公倍数是12。
然后我告诉他，12 的倍数24、36、48 等等都是 4 和 6 的公倍数。
他一下子就明白了。
所以啊，公倍数和最小公倍数的关系就是这样，相互依存，又各有特点。
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数
公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。
掌握这些概念和求法是非常重要的。
最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。
例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。
短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。
我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。
然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。
除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。
最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。
例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。
通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。
12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。
两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。
需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。
在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。
公倍数与最小公倍数
公倍数与最小公倍数在数学中，最小公倍数和公倍数是两个常用的概念。
它们可以用于求解多个数的约数、倍数等问题。
本文将分别介绍最小公倍数和公倍数的定义、计算方法、应用及注意事项。
一、公倍数定义公倍数是指多个数中同时能够整除的最小正整数。
例如，数a和数b的公倍数是一个数c，当且仅当c能同时整除a和b。
计算方法计算几个数的公倍数有多种方法，这里介绍两种较常用的方法：1.分解质因数法：将每个数分解质因数后，找出它们共同拥有的因数，乘在一起即可得到这些数的公倍数。
例如，求2、3、4的公倍数，先分解质因数如下：2 = 23 = 34 = 2 * 2所以它们的公倍数为2 * 2 * 3 = 12。
2.倍数法：从其中一个数开始，不断加上这个数的值，直到所得的数同时能够整除所有给定的数字。
例如，求2、3、4的公倍数，从4开始往上不断加4，直到得到一个同时能够整除2、3、4的数字，即为它们的公倍数。
应用求几个数的公倍数在数学中是一个常见的问题。
它可以用于求多项式的最小公倍式，以及在分式约简和分数加减等问题中的应用。
注意事项1.公倍数可能不止一个，但是它们之间的最小值才是最小公倍数。
2.只要存在一个数不为0，那么它们的公倍数就是无限的。
二、最小公倍数定义最小公倍数是指多个数的公倍数中最小的那个数。
它是求多项式的最小公倍式、分式约分、分数加减、化简代数分式等问题的基础。
计算方法计算多个数的最小公倍数有很多种方法，这里介绍常用的两种方法：1.分解质因数法：将每个数分解质因数后，找出它们各自拥有的因数和不同的因数，然后将它们的因数乘在一起即可得到多个数的最小公倍数。
例如，求2、3、4的最小公倍数，先分解质因数如下：2 = 23 = 34 = 2 * 2拥有的因数和不同的因数分别为2、3和2 * 2，将它们乘在一起得到最小公倍数为2 * 2 * 3 = 12。
2.逐个乘积法：将多个数逐个相乘，若相乘后的数不是其公倍数，则继续相乘，直到得到的数同时为所有给定数的公倍数。
最小公倍数_课件
8和10 6和15 6和9 4和15 1和7 4和10
8和10(40) 6和15(30) 6和9(18) 4和15(60) 10(20)
1和7(7) 4和
3、下面每组数的公倍数中有没有36，有没有48，有没有84 ？
6和18 21和14 12和8 9和24 有公倍数36的是：6和18 有公倍数48的是：12和8 有公倍数84的是：21和 14
…… 8的倍数：8，16，24，32，40，48 ……
②筛选法：6的6和倍8数的：公6倍，数12：，2148，，4284…，…30最，小36公，倍4数2，是4284。 ……
其中24，48也是8的因数，其中24最小。
两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系呢
？ 请你自己举例验证一下
。
求6和8的最小公倍数？
4. 下面的说法正确吗？说一说你的理由。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大 。 不正确。例如：1和5的最小公倍数是
5. （2）正两确个。数的积一定是这两个数的公倍数。
8、写出每组分数的两个分母的最小公倍数 。
12
24
18
9、下列各数中有没有公因数2？有没有公因数3？有没有公因数5 ？
6和9 10和18 15和30 20和8 有公因数2的有:10和18 20 和8
100以内6的倍数： 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96. 100以内10的倍数：10,20,30,40,50,60,70,80,90. 100以内6和10的公倍数：30,60,90. 100以内6和10的最小公倍数：30
2、求下列每组数的最小公倍数。
教学重点
建立两个数的公倍数的概念，理解最小公倍数的概念 。
公倍数和最小公倍数
与反思
3、学生独立做。
在小组里交流解题方法和思考过程。
集体交流。
预设学生先到的方法可能有：
①依次分别写出6和9的倍数，然后找出它们的公倍数。
②先找出6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。
③先找出9的倍数，再从9的倍数中找出6的倍数。
三、分层练习，内化提升
（预设10分钟）
1完成书本23页“练一练”
2、教师组织学生集体交流。
教师根据学生回答即时点拨：我们就说6是3和2的公倍数。板书：
3和2的公倍数：6
教师追问：那像长3厘米宽2厘米的长方形还能铺满边长多少的正方形呢？
教师根据学生回答板书，追问：这些正方形的边长都和长方形的长和宽有什么关系呢？
师手指这些公倍数，问：那最小的公倍数是几呢？
学程预设
导航策略
预习作业设计
1.写出50以内6的倍数：
2.写出50以内4的倍数：
3．准备8张长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，边长6厘米和边长8厘米的正方形各一个。用小长方形分别去铺两个正方形，能正好铺满哪个边长的正方形，想想为什么？
学程预设
导航策略
调整与反思
一、游戏导入，揭示课题（预设5分钟）
学生活动。
预设学生在活动中会出现争朋友的情况，如收12、24号的学号牌时。
师：你们为什么要争朋友？
师根据学生回答，谈话：像12、24既是4的倍数又是6的倍数的数，我们把它叫做4和6的公倍数。今天这堂课，我们就来研究公倍数。
揭示课题，板书：公倍数。
【板块二】
师：课前我们将长3厘米、宽2厘米的长方形去铺边长8厘米和边长6厘米的正方形，结果怎样呢？你有什么发现呢？下面请大家在小组里交流。
3.让学生在参与学习活动的过程中，体验学习和探索活动的乐趣，增强对数学学习的信心。
公倍数和最小公倍数
《公倍数和最小公倍数》导学案学习内容：公倍数和最小公倍数。
教科书第22-23页的例1、例2和“练一练”，练习四的第1-4题。
学习目标：1、在具体的操作活动中，认识公倍数和最小公倍数，会在集合图中分别表示两个数的倍数和它们的公倍数。
2、学会用列举的方法找到10以内两个数的公倍数和最小公倍数，并能在解决问题的过程中主动探索简捷的方法，进行有条理的思考。
3、在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验。
学习准备：长3厘米、宽2厘米的长方形纸片，边长6厘米、8厘米的正方形纸片；23页练一练中的数字表格。
导学卡导学卡一（课前预习）自己动手制作：长3厘米、宽2厘米的长方形纸片20个，边长6厘米、8厘米的正方形纸片各一个。
（要严格按照标准制作），教材23页练一练的数字表格一张。
一、看算式填空20÷5=4 14 ÷7=2由以上算式可知：20既是5的倍数，20也是4的倍数，14既是（）的倍数，也是（）的倍数。
你能举出两个关于倍数关系的算式吗？写在下面然后说说哪一个是哪一个的倍数。
二、仔细阅读课文22页的内容，思考并完成以下问题；1、用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺边长6厘米、8厘米的正方形，能铺满哪个正方形？用你剪的图形，动手拼一拼。
2、用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片铺边长6厘米的正方形，每条边各铺了几次？怎样用算式表示？3、铺边长8厘米的正方形呢？每条边都能正好铺满吗？相关的算式写在下面4、根据刚才铺正方形的过程，在头脑里想一想，用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片还能正好铺满边长多少厘米的正方形？你是怎样想的？5、用3厘米、宽2厘米的长方形纸片不能正好铺满边长8厘米的正方形，说明什么？为什么？导学卡二（自主探究）6和9的公倍数有哪些？其中最小的公倍数的几？你能试着找一找吗？先和小组的同学说一说怎么找，然后一起合作完成。
完成后说说你们是怎么找到的，用的是什么方法。
最小公倍数
公有质因数
独有的全部 都写出来
4和6的最小公倍数：2×2×3＝12 和 的最小公倍数 的最小公倍数： × × ＝
找出8和 的最小公倍数 找出 和20的最小公倍数
8＝2×2×2 ＝ × × 20＝2×2×5 ＝ × × 8和20的最小公倍数：2×2×2×5＝40 和 的最小公倍数 的最小公倍数： × × × ＝
联系最大公因数的求法，你能说说怎么找两个 联系最大公因数的求法， 数的最小公倍数吗？ 数的最小公倍数吗？ 分别写出两个数的倍数，找其中相同的。 分别写出两个数的倍数，找其中相同的。 可以用集合法表示也可以用列举法。 可以用集合法表示也可以用列举法。
的公倍数： ， ， 观察 3和4的公倍数：12，24，36······ 和 的公倍数 36后面那个数是多少，你有什么发现？ 后面那个数是多少，你有什么发现？ 后面那个数是多少
试一试：找出12和18的最小公倍数 试一试：找出 和 的最小公倍数
12＝2×2×3 ＝ × × 18＝2×3×3 ＝ × ×
12和18的最小公倍数：2×3×2×3＝36 和 的最小公倍数 的最小公倍数： × × × ＝
最小公倍数
公倍数和最小公倍数的定义。 公倍数和最小公倍数的定义。 公倍数和最小公倍数的关系。 公倍数和最小公倍数的关系。 求最小公倍数的方法。 求最小公倍数的方法。
有最大 公倍数 12，24···是3和4的公倍数， 的公倍数， ， 是 和 的公倍数 吗？ 其中最小的12是最小公倍数。 其中最小的再次相遇。 分钟时 爸爸和妈妈在起点再次相遇。
此时，爸爸跑了几圈？妈妈跑了几圈呢？
12÷3＝4 ÷ ＝ 12÷4＝3 ÷ ＝ 爸爸跑了四圈，妈妈跑了三圈。 爸爸跑了四圈，妈妈跑了三圈。
最小公倍数
公倍数和最小公倍数
公倍数和最小公倍数在数学中，公倍数是指两个或多个数同时具有的倍数，而最小公倍数则是指能被这些数同时整除的最小的正整数。
公倍数的概念给定两个数a和b，它们的公倍数是同时是它们两个数的倍数的数。
例如，对于数字3和4，它们的公倍数包括6、12、18等。
换句话说，公倍数是这两个数的倍数的整数集。
当然，不仅仅可以找到两个数字的公倍数，还可以找到多个数字的公倍数。
无论是两个数字还是多个数字，它们都有共同的公倍数。
而公倍数的求解，通常是找出两个数字的倍数，然后寻找它们的公共部分。
最小公倍数的概念最小公倍数，简称LCM（Least Common Multiple），指能被两个或多个整数整除的最小正整数。
它是多个数的公倍数中最小的那个数。
对于两个数来说，最小公倍数可以通过它们的乘积除以最大公约数（GCD）来计算得到。
即LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)。
这个公式也可以扩展到多个数的情况，即LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)。
最小公倍数在数学中有广泛的应用，特别是在分数的合并、分数的四则运算、等比例和等差数列等相关问题中。
公倍数和最小公倍数的计算方法求解公倍数的方法1.列出数字的倍数：列出两个数的倍数，直到找到其中的公共倍数。
也可以针对多个数字进行同样的操作。
2.找到共同的倍数：从两个数的倍数中找到它们的公共倍数，即同时是两个数的倍数的数字。
对于多个数字，需要找到它们的共同倍数。
3.找到最小的公倍数：从公共倍数中找到最小的数作为最小公倍数。
这个数是同时是多个数的倍数，且是不小于其他公共倍数的最小整数。
求解最小公倍数的方法1.列出数字的倍数：列出两个数的倍数，直到找到其中的公共倍数。
也可以针对多个数字进行同样的操作。
2.找到最小的公倍数：从公共倍数中找到最小的数作为最小公倍数。
这个数是同时是多个数的倍数，且是不小于其他公共倍数的最小整数。
3.使用最大公约数求解：最小公倍数可以通过两个数的最大公约数求解。
公倍数和最小公倍数
2dm
„„ „„
3dm 2dm
6dm
6dm
8dm
8dm
1．用长3分厘米、宽2厘米的长方形分别铺下面的两个正方形。
3cm
2cm 3cm 2cm
6cm
6cm 8cm 2．观察并思考： (1)不能正好铺满边长 厘米的正方形。为什么？ (2)可以正好铺满边长 厘米的正方形。这个正方形的边长与 长方形的长有什么关系？与宽呢？ 3．讨论： 这样的长方形还能正好铺满边长是（ ）厘米、（ ）厘米 的正方形？为什么？
1. 把50以内6和8的倍数、公倍数分别填在下面的圈里，再找 出它们的最小公倍数。
6的倍数 8的倍数 6的倍数 8的倍数
2. 找出每组数的最小公倍数 2和4 4和7
1. 五（1）班的同学在活动课上分组活动，每4人一组，没有 剩余；每6人一组，也没有剩余。五（1）班可能有多少人？
”
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
2和5的公倍数有 10、20、30 ，最小公倍数是 10 。
1、把50以内的6和8的倍数、公倍数分别填
在下面的圈里， 再找出它们的最小公倍数。
6的倍数
6 12 18 24 30 36 42 48
2和 4 4和 7
6和10
8和 1
4、红棋每次走3格，黄棋每次走4格。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 30 31 32 33 34 35 36
你能在两种棋都走到的 方格里涂上颜色吗？
8cm
用长3厘米、宽2厘米的长方形纸片分别铺右 边的两个正方形。
公倍数和最小公倍数
A独有的 质因数
公有的 质因数
公有的 质因数
B独有的 质因数
判断
两个数的积一定是这两个数的公倍数．（ √ ）
两个数的积一定是这两个数的最小公倍数．
（× ） 例如：2和4的积是8，但是2和4的最小公倍数是4
二、合作探索
用6个小正方形，可以摆出边长是6厘米的大正方形。
← 3cm → ← 3cm → ←2cm→ ←2cm→ ←2cm→ 返回
×
A＝2×2
B＝2×2×3
A和B的最小公倍数是 2×2×3＝12
例题
求18和30的最小公倍数
2
3
1 8
9 3
3 0 1 5
用公有的质因数2除 用公有的质因数3除
5
除到两个商是互质数为止
18和30的最小公倍数是 2×3×3×5＝90
小结
求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的
质因数连续去除（一般从最小的开始），一直
起点再次相遇? 此时刘翰、李瑶分
别跑了多少圈? 3的倍数有：3,6,9, 12, 15,18,21，24,27 … 4 的倍数有：4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 3和4的最小公倍数是12。
· · ·
12÷4=3（圈） 12÷3=4（圈） 答：至少12分钟后两人在起点再次相遇。 刘翰跑了4圈，李瑶跑了3圈。
两个数有没有最大的公倍数？
因为每一个数的倍数的个数都是无限的，所以两个数 的公倍数的个数也是无限的．因此，两个数没有最大 的倍数．
50以内6和8的公倍数有几个？最大的是几？ 50以内6和8的公倍数有2个：24 48 最大的是：48 如果给定一个范围，最大公倍数是存在的
例题
求18和30的最小公倍数 2 1 8 9 3 3 3 0 3 1 5 5
公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义
公倍数公因数最大公因数最小公倍数的定义1. 引言1.1 什么是公倍数公倍数是指两个或多个数同时存在的倍数。
换句话说，公倍数就是能同时整除这些数的数。
2和3的公倍数包括6、12、18等等。
公倍数是数学中常见的概念，它在简化分数、求解方程等问题中起着重要作用。
通过找到两个数的公倍数，我们可以简化计算过程，使问题变得更加简单。
在求解两个数的最小公倍数时，我们只需要找到它们的公倍数中最小的那个数即可。
这样一来，我们可以节省时间和精力，提高计算的效率。
通过理解和掌握公倍数的概念，我们可以更好地理解数学中的相关知识，提高解决问题的能力。
掌握公倍数这一概念对于数学学习和应用来说是非常重要的。
希望大家能够认真学习公倍数的概念，并灵活运用于实际问题的解决中。
这样一来，我们能更好地理解数学，提高数学水平。
1.2 什么是公因数公因数，顾名思义是指能够同时整除两个或多个数的数。
换句话说，如果一个数能够同时整除两个数，那么这个数就是这两个数的公因数。
公因数在数学中具有重要的作用，它可以帮助我们简化分数、化简多项式、求解方程等。
对于数字12和18，它们的公因数包括1、2、3、6。
因为这些数字都可以整除12和18，所以它们是12和18的公因数。
而最大的公因数就是能够同时整除两个数中最大的那个数，即12和18的最大公因数是6。
公因数的概念在数学中有着广泛的应用，特别是在分解质因数、求解最大公约数等方面。
通过寻找两个或多个数的公因数，我们可以更快地找到它们的最大公因数，从而简化计算过程。
公因数是能够同时整除两个或多个数的数，它在数学中扮演着重要的角色，能够帮助我们简化计算、解决问题。
通过深入理解公因数的概念，我们可以更好地应用它们在数学中的各种场景中，提高计算效率，优化解决方案。
1.3 什么是最大公因数最大公因数是指一组数中可以同时整除这组数的最大整数。
换句话说，最大公因数是该组数的所有公因数中最大的一个。
最大公因数的概念在数论和代数中非常重要，它可以帮助我们简化分式运算、化简等式以及解决整数问题。
最小公倍数
最小公倍数学习目标1、理解公倍数、最小公倍数意义。
2、明确倍数、公倍数、最小公倍数3者的联系和区别。
3、经历求两数公倍数、最小公倍数方法的探究过程。
自学提纲看书68、69页思考：1、什么叫公倍数？什么叫最小公倍数？2、两个数有没有最大公倍数？为什么？3、求两个数最小公倍数的方法有哪些？4、两个数公倍数和最小公倍数之间有什么关系？自学检测100以内10和8的公倍数有几个？最小的是几？合作探究1、求下面每组数的最小公倍数3和6 ( ) 2和8 ( )3和6是（）关系，2和8也是（）关系。
（）关系的两个数最小公倍数是（）的那个数。
2、求下面每组数的最小公倍数5和6（） 4和9（）5和6是（）关系，4和9也是（）关系。
（）关系的两个数最小公倍数是（）3、36可能是（）和（）的最小公倍数？你能找出( )组。
堂清检测1、求下面每组数的最小公倍数。
10和8 30和40 36和24 21和142、判断。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大（）（2）两个数的积一定是这两个数的最小公倍数（）3、我会选。
（1）如果两个数成倍数关系，那么其中较（）数就是它们的最大公因数，较（）数就是它们的最小公倍数。
Ａ.大 B.小（2）如果两个数只有公因数1 ，那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（）Ａ.1 B.两个数的积思考题：人民公园是1路和6路汽车的起点站。
1路汽车每3分钟发车一次，6路汽车每5分钟发车一次。
这两路汽车同时发车以后，至少再过多久又同时发车？最小公倍数（二）学习目标1、进一步巩固求两个数的最小公倍数的方法2、能把求几个数的最小公倍数应用到实际问题中自学提纲看书第70页例3思考下列问题1、例3中要用整块的这种长方形墙砖铺出一个正方形，正方形的边长必须既是3的（），又是2的（），只要找出2和3的（）和（），就能知道所铺的正方形的边长和最小边长。
2、解决这个问题的关键是把铺砖问题转化成（）的问题自学检测一堆萝卜，平均分给小兔子，无论是8个兔子或是12个兔子都刚好分完。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
公倍数和最小公倍数答案知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1．20和30的公倍数有无数个．√．考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：20和30的最小公倍数是60，所以它的公倍数有60n（n是非零的自然数）个如：60，120，180…据此解答．解答：解：20和30的公倍数有无数个．正确．故答案为：√．点评：本题主要考查了学生对公倍数知识的掌握情况．例2．如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积．正确．考点：公倍数和最小公倍数．分析：互质的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；据此进行判断．解答：解：如果A和B是互质数，那么A和B的最小公倍数是它们的乘积；故答案为：正确．点评：此题考查了互质的两个自然数的最大公因数和最小公倍数的求法．例3．一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它截成边长是最大的正方形纸片，一共可以截多少块？考点：公倍数和最小公倍数；长方形、正方形的面积．分析：要把它截成边长是最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为长方形长与宽的最大公约数，求出正方形的边长，然后计算长与宽里面分别有几个边长，相乘的积就是要截的正方形的个数．解答：解：要把它截成边长是最大的正方形，纸片的边长应是28与40的最大公约数为4厘米，28÷4=7，40÷4=10，7×10=70．答：一共可以截70块．点评：此题是把实际问题转化为求最大公约数问题．例4．五年级A班在分组进行大扫除时，8人一组或6人一组都刚好分完．如果这个班人数在50人以内，那么，五年级A班可能是多少人？考点：公倍数和最小公倍数．分析：要求五年级A班可能是多少人，即求8和6的公倍数是多少，先根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；先求出最小公倍数，然后结合题意，得出结论．解答：解：8=2×2×2，6=2×3，8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24；50以内8和6的公倍数有24，24×2=48；所以可能是24人，也可能是48人；答：五年级A班可能是24人，还可能是48人．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．例5．在□里填上合适的数，组成四位数，使它有因数2，且是3和5的公倍数．162□5□2□14□□考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：既有因数3，又是2和5的公倍数的数，就是同时是2、3、5的公倍数，要想满足是3的倍数，个位上可以是0、3、6、9，而0、3、6、9中只有0能满足同时是2和5的倍数，即个位上是0即可满足同时是2、3、5的公倍数；由此解答即可．解答：解：1620，是2、3、5的倍数；5220，是2、3、5的倍数；1440，是2、3、5倍数．故答案为：0，2、0，4、0．点评：本题主要考查2、3、5的倍数特征，注意个位上是0的数同时是2和5的倍数．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共18小题）1．（2014•东莞）有两个两位数的自然数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，这两个数的和是（）A．96 B．48 C．60考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．专题：数的整除．分析：先将6和90分解质因数，求得符合条件的两个两位数，再相加即可求解．解答：解：6=2×3，90=2×3×3×5，一个数是：2×3×3=18，另一个数是：2×3×5=30，这两个数的和是：18+30=48．故选：B．点评：此题考查了合数分解质因数和求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数的乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的乘积是最小公倍数．2．（2013•南京）任意两个数的（）的个数是无限的．A．公倍数B．公因数C．最小公倍数D．最大公因数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，由此解决问题即可．解答：解：由分析可知：任意两个数的公倍数的个数是无限的；故选：A．点评：本题主要考查公因数、公倍数、最小公倍数的意义．3．（2012•白云区）红星小学六年级四个班的学生人数在165到170之间，其中男女人数的比是3：4，那么六年级学生的总人数是（）A．166 B．167 C．168 D．169考点：公倍数和最小公倍数；找一个数的倍数的方法．专题：压轴题；数的整除．分析：男女人数的比是3：4，六年级学生的总人数一共占7份，所以学生总人数一定是7的倍数，在165到170之间找出7的倍数即可．解答：解：3+4=7，168÷7=24，168是7的倍数，答：六年级学生的总人数是168人．故选：C．点评：此题主要利用找一个数的倍数的方法解决问题．4．（2012•德江县模拟）32以内3和5的公倍数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出32以内的公倍数，数出即可．解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，32以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，共有2个．故选：B．点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．5．（2012•静宁县模拟）两个数的（）的个数是无限的．A．公因数B．公倍数C．最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公因数，公倍数、最小公倍数的意义解答．解答：解：公因数是两个数公有的因数，公因数的个数是有限的，公倍数是两个数公有的倍数，公倍数的个数是无限的，公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数；故选：B．点评：本题主要考查公因数，公倍数、最小公倍数的意义．6．（2012•儋州模拟）a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是（）A．a b B．2ab C．a+b D．a b÷2考点：公倍数和最小公倍数．分析：首先理解偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数．再根据公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．解答：解：相邻的偶数相差2，根据求两个数的最小公倍数的方法，先把这两个数分解质因数，公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．例如：4和6的最小公倍数，4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是：2×2×3=12.12是4和6的乘积的一半．所以，a、b是相邻的两个偶数（a、b均不为0），a和b的最小公倍数数是ab÷2．故选：D．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．7．（2011•来安县）323至少要加上（）才是2和3的公倍数．A．1B．2C．3D．4考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：根据“个位上的数字是0、2、4、6、8的数字能被2整除”，所以323加1、3、5、7、9…才是2的倍数，能被3整除的数的特征是：“各个数位上的数字之和是3的倍数的数”，由此即可解答．解答：解：323+1=324，3+2+4=9，所以324也是3的倍数，答：323至少加上1才是2和3的公倍数．故选：A．点评：解答此题的关键：（1）能被2整除的数的特征；（2）能被3整除的数的特征．8．（2010•大安区）a、b、c是非零自然数，a×b=c，下面的说法正确的是（）A．a是b的最大公因数B．b是a和c的公因数C．c是a和b的公倍数D．c是a和b的最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：根据公倍数的意义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，进行解答即可．解答：解：a、b、c是非零自然数，a×b=c，即a和b是c的约数，c是a和b的公倍数；故选：C．点评：此题考查公倍数的意义，应明确其意义，并能灵活运用．9．（2008•扬州）同学们去社区做好事，每组6人或9人，都正好不多也不少．去社区做好事的同学至少有（）人．A．3B．9C．18 D．54考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数既是3的倍数也是9的倍数，即是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数，据此解答．解答：解：6的倍数有6，12，18，24，30，36，42…，9的倍数有：9，18，27，36，45…，6和9的最小公倍数是18；故选：C．点评：解答本题关键是由每组6人或9人，都正好不多也不少，可知去社区做好事的同学数是6和9的公倍数，要求至少就是求6和9的最小公倍数．10．（2008•金坛市）下面四句话中，表述正确的语句共有（）（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大．（2）两个数的公倍数一定比这两个数都大．（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一（4）若干个相同的梯形一定能够进行图形密铺．A．1句B．2句C．3句D．4句考点：公倍数和最小公倍数；图形的密铺；正方形的周长；圆、圆环的周长；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积；圆柱的侧面积、表面积和体积；圆锥的体积．专题：压轴题．分析：根据题意，对各题进行依次分析，进而得出结论．解答：解：（1）周长相等的正方形和圆，圆的面积大，说法正确；（2）因为当两数是倍数关系时，较小的数是他们的最大公约数，较大的数是他们的最小公倍数；所两个数的公倍数一定比这两个数都大，说法错误；（3）圆锥体的体积是与它等底等高圆柱体体积的三分之一，属于理解和掌握的知识，应牢记；说法正确；（4）当拼接点处几个角的和为360度时，若干个相同的梯形可以进行图形密铺，但不是一定，故说法错误；故选：B．点评：此题涉及的面较广，解答此题的关键是对各题进行依次分析，通过分析，得出结论．11．m与n都是非零的自然数，m=12n，m和n的最小公倍数是（）A．12 B．m C．n考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：m与n都是非零的自然数，m=12n，则：m÷n=12，数m是数n的12倍，属于倍数关系，m＞n，所以，m和n的最小公倍数是m；故选：B．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．12．71以内3和5的公倍数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：互质数的最小公倍数是它们的乘积，3和5是互质数，据此求出它们的最小公倍数，然后用最小公倍数求出71以内的3和5的公倍数，数出即可．解答：解：3和5是互质数，它们的最小公倍数是：3×5=15，71以内3与5的公倍数有：15×1=15，15×2=30，15×3=45，15×4=60，共有4个．故选：D．点评：本题主要考查两个数的最小公倍数的求法，注意互质数的最小公倍数是它们的乘积．13．有任何两个自然数的（）的个数是无限的．A．公倍数B．公因数C．倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公约数和公倍数的意义可知；公约数是两个数的公有的质因数，有最大公因数个数是有限的，公倍数是两个数共有的质因数和各自独有的质因数的乘积，有最小公倍数，个数是无限的，据此解答．解答：解：如4，84，8的公因数有1，2，44，8的公倍数有8，16，24，32…有无数个，所以任何两个自然数的公倍数的个数是无限的故选：A点评：主要考查公倍数的意义，有最小而没有最大的．14．48是6和8的（）A．最大公约数B．公倍数C．最小公倍数考点：公倍数和最小公倍数．分析：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，因为48既是6的倍数，又是8的倍数，而6和8不是互质数，所以48是6和8的公倍数，但不是最小公倍数．解答：解：因为48既是6的倍数，又是8的倍数，且6和8不互质，所以48是6和8的公倍数．故选B．点评：此题主要考查公倍数和最小公倍数的意义．15．下面各组数中公倍数有36的是（）A．12和8 B．21和14 C．6和18 D．8和9考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，以此即可推出答案．解答：解：A、36是12的倍数，但不是8的倍数．B、36既不是21的倍数也不是14的倍数．C、36既是6的倍数又是18的倍数．D、36是9的倍数，但不是8的倍数．故选C．点评：此题主要考查倍数与公倍数的意义．16．同时是2、3、5的倍数的两位数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：就是求两位数据的2、3、5的公倍数，2、3、5两两互质，这三个数的只是2×3×5=30，30扩大2倍，3倍都是两位数的2、3、5的倍数．解答：解：2×3×5=30，30×2=60，30×3=90，即在两位数中，同时是2、3、5的倍数的数有30、60、90三个．故选：C．点评：本题也可根据2、3、5的倍数特征来解答，这个数的个位上的数字一定是0，各位上的数字之和是3的倍数．17．24是8和12的（）A．公因数B．最小公倍数C．最大公因数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据公倍数和最小公倍数的意义，两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个叫做这两个数的最小公倍数．由此解答．解答：解：根据分析，24是8和12的最小公倍数．故选：B．点评：此题的解答主要明确公倍数和最小公倍数的概念及意义．18．六（1）班的学生数在30～60人之间，其中喜爱跳绳，同学喜爱跳皮筋，六（1）班有（）人．A．21 B．42 C．49 D．63考点：公倍数和最小公倍数．分析：首先六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数，且范围为30～60人之间，写出3和7的公倍数，找出答案即可．解答：解：因为人数为整数，六（1）班的学生数的和都是整数，所以六（1）班的学生数一定是3和7的公倍数；3和7的公倍数有：21，42，63…，而学生数在30～60人之间，故选B．点评：此题考查运用求公倍数的方法来解决有关整数的实际问题，解答时注意所求数的范围，选择合理的方法．二．填空题（共9小题）19．（2013•龙海市模拟）50以内6和8的公倍数有24、48，6和8的最小公倍数是24；9和27的公因数有1、3、9，9和27的最大公因数是9．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．专题：数的整除．分析：（1）公倍数是两个数公有的倍数，先找出找出两个数的倍数，从中找出公有的倍数；（2）公倍数中最小的一个就是这两个数的最小公倍数，据此找出6和8的最小公倍数；（3）公因数是两个数公有的因数，据此求出两个数的公因数找出公有的因数即可；（4）公因数中最大的一个就是这两个数的最大公因数，据此找出9和27的最大公因数．解答：解：（1）50以内6和8的倍数是：6的倍数是：6、12、18、24、30、36、42、48，8的倍数是：8、16、24、32、40、48，50以内6和8的公倍数有：24、48；（2）50以内6和8的公倍数24、48中，24是最小的，所以6和8的最小公倍数是：24；（3）9的因数有：1、3、9，27的因数有：1、3、9、27，9和27的公因数有：1、3、9；（4）9和27的公因数1、3、9中，9是最大的，所以9和27的最大公因数是9．故答案为：24、48；24；1、3、9；9．点评：本题主要考查公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义和求法．20．（2012•南安市）能同时被2、3、5整除的最大三位数是990．考点：公倍数和最小公倍数；数的整除特征．分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．解答：解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．故答案为：990．点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．21．（2012•白云区）两个数的乘积一定是这两个数的公倍数．正确．（判断对错）考点：公倍数和最小公倍数；因数和倍数的意义．分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．解答：解：比如4和12，12×4=48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；故答案为：正确．点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．22．（2012•无棣县）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4．这个两位数与16的最大公因数是8．考点：公倍数和最小公倍数；求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和16的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．解答：解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和16分解质因数：24=2×2×2×3；16=2×2×2×2；24和16的最大公因数是：2×2×2=8；故答案为：4，8．点评：此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．23．（2012•鞍山）A=2×2×3，B=2×2×2×2．A和B的最大公约数是4，最小公倍数是48．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：根据求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法可得出答案．解答：解：（1）求A和B的最大公约数，是求公约数中最大的，它就必须包含A和B全部公有的质因数2和2，2×2=4，所以A和B的最大公约数是4．（2）求A和B的最小公倍数，只要包含它们全部公有的质因数（2个2），以及各自独有的质因数（1个3和2个2）就可以了．即2×2×3×2×2=48，所以A和B的最小公倍数是48．故答案为：4，48．点评：求两个数的最大公约数的方法是把两个数全部公有的质因数相乘即可；求两个数的最小公倍数的方法是把两个数全部公有的质因数以及各自独有的质因数相乘即可．24．（2012•海门市）两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4，这个两位数与36的最大公因数是12．考点：公倍数和最小公倍数；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据同时是2和3的倍数的数的特征，个位必须是偶数，且个位和十位上的数字之和是3的倍数，由此确定个位上的数字是4；求24和36的最大公因数，首先把这两个数分别分解质因数，公有质因数的积就是它们的最大公因数．由此解答．解答：解：根据分析，两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4；把24和36分解质因数：24=2×2×2×3；36=2×2×3×3；24和36的最大公因数是：2×2×3=12；故答案为：4，12．点评：此题主要考查了：同时是2和3的倍数的特征和求两个数的最大公因数的方法．25．（2012•武汉模拟）甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为150和225．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的乘积．设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，若要它们差最小，就应使两个数离的最近，所以当a=75×2，b=75×3时，它们的差最小．解答：解：设这两个数为a、b，则a×b=450×75=75×75×2×3，当a=75×2=150，b=75×3=225时，它们的差最小．故答案为：150、225．点评：本题从两个数的最大公约数和最小公倍数之间的关系入手比较简单．26．（2011•富源县）能同时被2、3、5整除的最大两位数是90，将它分解质因数为90=3×3×5×2．考点：公倍数和最小公倍数；合数分解质因数．分析：本题可先求出2、3、5的最小公倍数是多少，然后再求出能同时被2、3、5整除的两位数是多少，最后分解质因数就可以了．解答：解：（1）2、3、5最小公倍数为：2×3×5=30；（2）能同时被2、3、5整除的最大两位数是：30×3=90；（3）90=3×3×5×2．故答案为：90，90=3×3×5×2．点评：分解质因数可利用短除法．27．（2011•合川区）如果a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是6，最小公倍数是210．考点：公倍数和最小公倍数；因数、公因数和最大公因数．分析：两个数的最大公约数是这两个数全部公有质因数的乘积，最小公倍数是把各自独有的质因数全部乘进去，所得的积就是这两个数的最小公倍数．解答：解：a=2×3×7，b=2×3×5，那么a和b的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×5×7=210；故答案为：6，210．点评：解答此题应根据最大公约数和最小公倍数的方法进行解答即可．三．解答题（共1小题）28．（2014•台湾模拟）求最小整数，被三除余二，被五除余三，被七除余四？考点：公倍数和最小公倍数；同余定理．专题：数的整除．分析：由“一个整数被三除余二，被五除余三，被七除余四”可知，将这个整数乘2后得：被3除余1，被5除余1，被7除余1；由此可见将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除，由此即可求出．解答：解：将乘2后的数减去1就同时能被3，5，7整除；3，5，7的最小公倍数为3×5×7=105，（105+1）÷2=53；答：这个整数最小是53．点评：此题属于同余除法，应明确这个整数乘2后的数减去1能被3、5、7整除，是解答此题的关键．B档（提升精练）一．选择题（共15小题）1．两个数的（）的个数是无限的．A．最大公因数B．最小公倍数C．公因数D．公倍数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：一个数的约数是有限的，所以两个数的公约数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可．解答：解：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的，但两个数的最大公约数和最小公倍数只有一个；故选：D．点评：此题考查两个数的公约数和公倍数的个数：两个数的公约数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题．2．在A×B=12中，12肯定是A、B的（）A．最小公倍数B．最大公因数C．公倍数考点：公倍数和最小公倍数．专题：数的整除．分析：根据公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．解答：解：根据分析：如果A×B=12，那么12肯定是A、B的公倍数．故选：C．点评：此题考查的目的是理解公倍数的意义，两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数．其中最小的一个就是这两个数的最小公倍数．3．某班的学生不论分成4人一组还是6人一组，都正好分完．下列数据中（）可能是这个班的人数．A．40 B．36 C．30考点：公倍数和最小公倍数．分析：即求4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，然后写出4和6的公倍数，然后进行选择即可．解答：解：4=2×2，6=2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3=12，4和6的公倍数有12，24，36，48…；故选：B．点评：此题考查的是求两个数的公倍数，应掌握求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．4．大于而小于的分数有（）个．A．1B．2C．无数考点：公倍数和最小公倍数．分析：先求出一个大于而小于的同分母的分数=，然后根据分数的基本性质把和的分子分母扩大若干倍，得出分数无数个大于而小于的分数，不是1个和2个，据此解答．解答：解：大于而小于的分数同分母的有=，根据分数的基本性质把和的分子分母扩大2倍，得到，，三个大于而小于的分数，这时就得到5个大于而小于的分数；然后在把和的分子分母3倍，4倍，5倍…，即得到无数个大于而小于的分数；所以大于而小于的分数不是1个，也不是2个，…而是有无数个；故选：C．点评：解答本题关键是利用分数的基本性质把和的分子分母同时扩大2倍，3倍，4倍，5倍…，从而得到无数个大于而小于的分数．5．两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的（）A．公倍数B．最小公倍数C．公约数D．最大公约数考点：公倍数和最小公倍数．分析：根据因数和倍数的意义，以及研究因数和倍数时，为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）．由此解决问题．解答：解：两个数（不为0的自然数）的积一定是这两个数的公倍数．故选A．点评：此题主要考查因数和倍数、公倍数和最小公倍数、公约数和最大公约数的意义．。