高一数学11月阶段性考试试题及答案
山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一上学期11月期中考试 数学含解析
2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1x M y y x ==≤，{N x y ==，则M N ⋃等于（）A .∅B.{}2 C.[]0,2 D.(],2-∞2.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，命题p ：“函数()f x 的最小值为3”，则p ⌝是（）A.对任意x ∈R ，都有()3f x <B.存在x ∈R ，使得()3f x <C.对任意x ∈R ，都有()3f x ≠D.“‘存在x ∈R ，使得()3f x <’或‘对任意x ∈R ，都有()3f x ≠’”3.如图所示是函数mn y x =（m 、*n ∈N 且互质）的图象，则（）A.m ，n 是奇数且1m n< B.m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C.m 是偶数，n 是奇数，且1m n> D.m ，n 是偶数，且1m n>4.若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5.函数()2333x xx f x -=+的图象大致是（）A. B.C. D.6.已知函数()3xy f =的定义域为[]1,2，则函数()12f x y x +=-的定义域为（）A.[)1,1- B.[]0,1 C.(]2,8 D.[)(]0,22,3 7.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A .16小时B.20小时C.24小时D.28小时8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M⊆ C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð10.若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论正确的是（）A.ad bc <B.0a d d c+> C.a c b d->- D.()()a d cb dc ->-11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为()R 1,Q0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.x ∀∈R ，()()1f f x =C.11|()|()22x f x x f x ⎧⎫⎧⎫<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭D.对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()2f x g x ax x +=-，若对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.2- B.1C.2D.0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________.x 1234f(x)1313g(x)323214.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_________15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数．16.已知a b >，c d >，设不等式()()0x a x b x ---<的解集为{}x d x c <<，则不等式()()0x c x d x --+>的解集为______．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知()()11f x a x x=++（a R ∈）．（1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]2,4x ∈时，()0f x =有实数解，求a 的范围．18.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[]3,43=，[]4,25-=-，不等式516x +<≤的解集为A ，不等式2 23200x x --≤的解集为B ．（1）求A B ⋃，()R A Bð（2）已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求44a a b+的最小值．19.已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合50x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭．（1）设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1}，且C ⊆（A ∩B ），求a 的取值范围：（2）设m 为实数，集合2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，若x ∈（A ∪B ）是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．20.已知函数()131xm f x =+-（R m ∈）（1）判断函数()f x 在(),0∞-内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()()g x xf x =为偶函数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式：讨论()g x 的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．22.设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已1416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且01x <<时，()0f x >（1）求()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递减；（3）解不等式()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭2023-2024学年度高一学业水平阶段性检测一数学试题考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1x M y y x ==≤，{N x y ==，则M N ⋃等于（）A.∅B.{}2 C.[]0,2 D.(],2-∞【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质求值域可得集合M ，根据函数定义域求解一元二次不等式得集合N ，再根据并集的概念运算即可.【详解】由于函数2x y =在(],1-∞上递增，所以当1x ≤时，02y <≤，即(]0,2M =又函数y =的定义域满足20x x -≥，解得01x ≤≤，故[]0,1N =，所以M N ⋃=[]0,2.故选：C.2.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，命题p ：“函数()f x 的最小值为3”，则p ⌝是（）A.对任意x ∈R ，都有()3f x <B.存在x ∈R ，使得()3f x <C.对任意x ∈R ，都有()3f x ≠D.“‘存在x ∈R ，使得()3f x <’或‘对任意x ∈R ，都有()3f x ≠’”【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定即可求解.【详解】命题p ：“函数()f x 的最小值为3”是一个全称命题，故其否定是一个特称命题.所以p ⌝是函数()f x 的最小值不是3，即“存在x ∈R ，使得()3f x <”或“对任意x ∈R ，都有()3f x ≠”.故选：D.3.如图所示是函数mn y x =（m 、*n ∈N 且互质）的图象，则（）A.m ，n 是奇数且1m n< B.m 是偶数，n 是奇数，且1m n<C.m 是偶数，n 是奇数，且1m n> D.m ，n 是偶数，且1m n>【答案】B 【解析】【分析】根据图象得到函数的奇偶性及()0,∞+上单调递增，结合m 、*n ∈N 且互质，从而得到答案.【详解】由图象可看出m ny x =为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，故()0,1mn∈且m 为偶数，又m 、*n ∈N 且互质，故n 是奇数.故选：B4.若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B.3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据二次函数性质运算求解即可【详解】因为函数()2211y x a x =+-+开口向上，对称轴为12x a =-，若函数()2211y x a x =+-+在区间()2,+∞上是增函数，则122a -≤，所以32a ≥-，故实数a 的取值范围是3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；故选：A ．5.函数()2333x xx f x -=+的图象大致是（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到函数()f x 为偶函数，且当0x >时，()0f x >，结合选项，即可求解.【详解】由函数()2333x x x f x -=+，可得其定义域为R ，且()()223()33333x x x xx x f x f x ----===++，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，又由0x >时，()0f x >，结合选项，只有B 项符合题意.故选：B.6.已知函数()3xy f =的定义域为[]1,2，则函数()12f x y x +=-的定义域为（）A.[)1,1- B.[]0,1 C.(]2,8 D.[)(]0,22,3 【答案】C 【解析】【分析】先由函数()3xy f =的定义域得函数()f x 的定义域，从而进一步可求出函数()12f x y x +=-的定义域.【详解】函数()3xy f =的定义域为[]1,2，易知3xy =是增函数，[]1,2x ∈时，[]33,9x∈.所以函数()f x 的定义域为[]3,9.于是函数()12f x y x +=-的定义域为31920x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，即(]2,8x ∈.故选：C.7.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时【答案】C 【解析】【分析】将两组数据代入解析式可得111e 2k=，192e b =，当33x =时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间.【详解】由已知得192e b =①，222248e e e k b k b +==⋅②，将①代入②得221e4k=，则111e 2k=．当33x =时，333331e ee 192242k bkby +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C ．8.已知函数()221ax bxf x x +=+在其定义域内为偶函数，且()112f =，则()()()111122023202320222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （）A.40452B.40432C.2021D.0【答案】A 【解析】【分析】根据条件先求解出,a b 的值，然后分析()1f x f x ⎛⎫+⎪⎝⎭的取值特点，从而求解出结果.【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()=f x f x -，所以()()()222211a xb x ax bx x x -+-+=+-+，所以20bx =且x 不恒为0，所以0b =，()221axf x x =+又因为()112f =，所以122a =，所以1a =，所以()221x f x x =+，又因为()2222222111111111x x x f x f x x x x x⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭+，所以()()()111140451220232022120232022222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选锗的得0分．9.若非空集合M ，N ，P 满足：M N N ⋂=，M P P = ，则（）A.⋃=N P PB.P M⊆ C.N P N=∩ D.()P N M =∅ð【答案】ACD 【解析】【分析】先根据交集、并集运算的结果得到,N M M P ⊆⊆，然后再逐项进行判断.【详解】因为M N N ⋂=，M P P = ，所以,N M M P ⊆⊆，所以N M P ⊆⊆，对于A ：因为N P ⊆，所以⋃=N P P ，故正确；对于B ：因为M P ⊆，所以P M ⊆不一定成立，故错误；对于C ：因为N P ⊆，所以N P N =∩，故正确；对于D ：因为N M ⊆，()P M M =∅ ð，所以()P N M =∅ ð，故正确；故选：ACD.10.若0a b a >>>-，0c d <<，则下列结论正确的是（）A.ad bc< B.0a dd c+> C.a c b d->- D.()()a d cb dc ->-【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质逐项进行判断.【详解】A ：因为0,0,0,0a b c d ><<<，所以0ad bc <<，故正确；B ：因为2a d ac d d c cd++=，其中2ac d +的正负无法确定，故错误；C ：因为0c d <<，所以c d ->-，所以a c a d ->-，又因为a b >，所以a d b d ->-，所以a c b d ->-，故正确；D ：因为0c d <<，所以0d c ->，又因为0a b >>，所以()()a d c b d c ->-，故正确；故选：ACD.11.狄利克雷函数是一个经典的函数，其解析式为()R 1,Q0,Qx f x x ∈⎧=⎨∈⎩ð，则下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（）A.()f x 是偶函数B.x ∀∈R ，()()1f f x =C.11|()|()22x f x x f x ⎧⎫⎧⎫<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭D.对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=【答案】ABD 【解析】【分析】根据给定的函数求函数值域，判断奇偶性，求函数值逐项判断即可．【详解】当Q x ∈，则x -∈Q ，所以()()1f x f x -==，当R Q x ∈ð，则R Q x -∈ð，所以()()0f x f x -==，又()f x 的定义域为R ，故()f x 是偶函数，故A 正确；由函数()f x 的值域是{0,1}知道，0,1Q ∈，所以x ∀∈R ，(())1f f x =，故B 正确；由1()2f x <，所以()0f x =，所以R Q x ∈ð，1()2f x >，所以()1f x =，所以Q x ∈，所以11{|()}()22x f x x f x ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭，故C 错误；因为2Q x ∈，所以当1Q x ∈时，12Q x x +∈，()()1211f x x f x +==当1x ∈R Q ð时，12R Q x x +∈ð，()()1210f x x f x +==，故对任意1R x ∈，都存在2Q x ∈，()()121f x x f x +=，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()2f x g x ax x +=-，若对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，则实数a 可以为（）A.2-B.1C.2D.0【答案】BC 【解析】【分析】结合函数奇偶性得到()2g x ax =，题目条件变形后得到()()112244g x x g x x ->-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则()h x 在()2,+∞上单调递增，分0a =和0a ≠两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出1a ≥，得到答案.【详解】()()2f xg x ax x +=-①中将x 换为x -得，()()2f xg x ax x -+-=+，又()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()()(),f x f x g x g x -=--=，故()()2x f x g x a x -+=+②，①＋②得，()2g x ax =，对于任意122x x >>，都有()()12124g x g x x x ->-，故()()121244g x g x x x ->-，即()()112244g x x g x x ->-，令()()244h x g x x ax x =-=-，则()h x 在()2,+∞上单调递增，若0a =，则()4h x x =-，不满足在()2,+∞上单调递增，舍去，若0a ≠，则要满足0422a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，故AD 错误，BC 正确.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________.x 1234f(x)1313g(x)3232【答案】2或4【解析】【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值.【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题.14.李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元．②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为_________【答案】①.90②.10【解析】【分析】（1）根据题意可得顾客需要支付的费用；（2）设M 是总价，据题意，在80M ≥时，列出不等式0.8()0.7M x x -≥，解之可得，注意分类讨论．【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒，得总价为4060100+=元.因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元1001090-=（元）；（2）设订单总价为M ，若080M <<，没有优惠，符合题意；若80M ≥，则0.8()0.7M x M -≥，8Mx ≤，而801088M ≥=，所以10x ≤，最大值为10．故答案为：（1）90；（2）10.15.写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =______．①()()()1212f x x f x f x =；②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【解析】【分析】根据性质①②③找出符合题意的一个()2f x x =.【详解】由性质②()f x 在()0,x ∈+∞单调递增；③()f x 是偶函数，可以取二次函数()2f x x =，经检验，对性质①()()()1212f x x f x f x =也符合.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16.已知a b >，c d >，设不等式()()0x a x b x ---<的解集为{}x d x c <<，则不等式()()0x c x d x --+>的解集为______．【答案】{|x x b <或}x a >【解析】【分析】利用韦达定理可得a 、b 、c 、d 的关系，代入目标不等式求解可得.【详解】由题知，,c d 为方程()()0x a x b x ---=的两根，因为()()2(1)0x a x b x x a b x ab ---=-+++=所以1,c d a b cd ab+=++=所以()()220(1)0()0x c x d x x c d x cd x a b x ab --+>⇔-+-+>⇔-++>解方程2()0x a b x ab -++=得，12,x a x b==因为a b >，所以不等式()()0x c x d x --+>的解集为{|x x b <或}x a >.故答案为：{|x x b <或}x a >四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知()()11f x a x x=++（a R ∈）．（1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集；（2）若[]2,4x ∈时，()0f x =有实数解，求a 的范围．【答案】（1）{}10x x -<<（2）11,620⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）将1a =代入得()11f x x x=++，再代入不等式移项通分，进而解分式不等式得到答案.（2）由题意得()11a x x =-+，令()()11g x x x =-+，进而利用单调性和不等式的性质求()g x 的值域，于是得到a 的范围.【小问1详解】当1a =时，()11f x x x=++.代入原不等式：1111111x x x x +++<++++，即111x x <+，移项通分()101x x <+，解得10x -<<.∴原不等式的解集为{}10x x -<<【小问2详解】由于()()110f x a x x=++=在[]2,4x ∈上有解，所以()11a x x =-+，即求()()11g x x x =-+在[]2,4x ∈值域，由于()1y x x =+在[]2,4x ∈单调递增，所以()[]16,20x x +∈，于是()111,1620x x ⎡⎤-∈--⎢⎥+⎣⎦，即()11,620g x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.所以11,620a ⎡⎤∈--⎢⎣⎦．18.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[]3,43=，[]4,25-=-，不等式516x +<≤的解集为A ，不等式2 23200x x --≤的解集为B ．（1）求A B ⋃，()R A Bð（2）已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求44a a b+的最小值．【答案】（1）5|52A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，(){}R |45A B x x ⋂=<<ð（2）5【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式得集合A ，由一元二次不等式可得集合B ，再根据集合的并集及补集与交集的运算即可；（2）根据集合与元素的关系可得[]4a b x +==，再利用基本不等式即可得最值.【小问1详解】不等式516x +<≤，解得45x ≤<，即{}|45A x x =≤<，223200x x --≤，解得542x -≤≤，即5|42B x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以5|52A B x x ⎧⎫⋃=-≤<⎨⎬⎩⎭，由于R 5{|2B x x =<-ð或4}x >，所以(){}R |45A B x x ⋂=<<ð.【小问2详解】因为{}|45x x x ∈≤<，所以[]4a b x +==，因为0a >，0b >，所以0ba>，40a b >444415a a b a b a a b a b a b++=+=++≥，当且仅当4b a a b =即43a =，83b =时，44a a b+取得最小值，最小值为5．19.已知集合A ＝{x ||x |－2≤0}，集合50x B xx ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭．（1）设a 为实数，若集合C ＝{x |x ≥3a 且x ≤2a ＋1}，且C ⊆（A ∩B ），求a 的取值范围：（2）设m 为实数，集合2112022D x x m x m m ⎧⎫⎛⎫⎛⎫=-+++≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，若x ∈（A ∪B ）是x ∈D 的必要不充分条件，判断满足条件的m 是否存在，若存在，求m 的取值范围：若不存在，请说明理由．【答案】（1）()1(0,1,2+∞ ；（2）存在；92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据解绝对值不等式的公式，结合分式的性质、交集的定义、子集的性质进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的定义，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】20222x x x -⇔⇔-≤≤≤≤，所以[]2,2A =-，()0500550x x x x x x ≠⎧-≤⇒⇒<≤⎨-≤⎩，所以(]0,5B =，（1）由已知得(]0,2A B = ，①C =∅时，2131a a a +<⇒>，此时满足题意；②C ≠∅时，1a ≤，要满足题意需21210302a a a +≤⎧⇒<≤⎨>⎩综上所述，a 的取值范围是()1(0,]1,2+∞ ；【小问2详解】由已知得[]2,5A B ⋃=-，由题意得D 是()A B 的真子集()21111202222x m x m m x m x m m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++=---⇒+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤≤≤，所以1,2D m m ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，要满足题意需2152m m ≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩（等号不同时成立）922m ⇒-≤≤答：满足条件的m 存在，取值范围是92,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．20.已知函数()131xm f x =+-（R m ∈）（1）判断函数()f x 在(),0∞-内的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()()g x xf x =为偶函数？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）函数()f x 在(),0∞-内单调递减，证明见解析（2）存在；12m =【解析】【分析】（1）结合指数运算利用单调性定义证明单调性即可；（2）根据偶函数的定义列方程求解即可得m 的值.【小问1详解】函数()f x 在(),0∞-内单调递减，理由如下：任取1x ，()2,0x ∈-∞，且12x x <则()()()()21121212113331313131x x x x x x f x f x m m -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭由于120x x <<，可得120331x x <<<，所以21330x x ->，1310x -<，2310x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以当m 取任意实数时，函数()f x 在(),0∞-内单调递减【小问2详解】假设存在m ，使得函数()g x 为偶函数，()g x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以由()()g x g x -=，即()()xf x xf x --=，即()()f x f x -=-，可得113131x x m m -+=----，解得12m =因此，存在12m =，使得()()g x xf x =为偶函数21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x %（0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式：讨论()g x 的单调性，说明其实际意义并结合实际意义给出合理建议．【答案】（1）45100x <<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解即可得答案；（2）根据实际意义得函数()g x 的表达式，再根据分段函数确定函数单调性即可得结论.【小问1详解】由题意得180029040x x+->且30100x <<．化简得2659000x x -+>，即()()45200x x -->．所以20x <或45x >．综上所述，当45100x <<时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．【小问2详解】①若030x <≤，则()304011001004010x x S S x g x S ⎛⎫⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭==-．②若30100x <<，则()21800290401113100100585010x x x S S x g x x S ⎛⎫⎛⎫+-⋅⋅+⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+．所以()2340,0301011358,301005010x x g x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩．当030x <≤时，()g x 单调递减；所以()37g x ≥当30100x <<时，()2113585010g x x x =-+的对称轴为0652x =，所以6530,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减且()37g x <，65,1002⎛⎫⎪⎝⎭单调递增．综上所述，650,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，65,1002⎛⎫⎪⎝⎭单调递增即：当S 中的自驾人数比例在()0,32.5%时，人均通勤时间随着成员自驾的比例增加而减少；当S 中的自驾人数比例在()32.5%,100%时，人均通勤时间随着成员自驾比例增加而增加，当S 中32.5%的成员自驾时，该地上班族S 的人均通勤时间达到最小值36.875分钟．实际意义是：自驾人数在一定范围内增加时，交通顺畅；当随着范围进一步增加，交通拥堵，导致通勤时间增多．所以，对该地区要限制自驾人数．22.设函数()f x 的定义域是()0,∞+，且对任意的正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已1416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且01x <<时，()0f x >（1）求()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递减；（3）解不等式()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭【答案】（1）()10f =，112f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）4423x x x ⎧⎫><<⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】（1）根据抽象函数的性质结合1416f ⎛⎫=⎪⎝⎭，采用赋值法求解()1f 与12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值即可；（2）设120x x >>，则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据01x <<时，()0f x >可得()()21f x f x -的符号，从而证得单调性；（3）结合抽象函数的性质将不等式转化为213242f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合单调性解不等式即可得x 的取值集合.【小问1详解】令1x =，1y =，则()()()111f f f =+，故()10f =令14x y ==，则可得11114216444f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令12x y ==，得1111214222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，【小问2详解】设120x x >>，则()()2121x f x f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵2101x x <<，故210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()21f x f x >，故()f x 在()0,∞+上单调递减【小问3详解】由于()131222f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以()132222f x f f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以132222f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即213242f x f x ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为()f x 在()0,∞+上单调递减，所以2132042x x >->，解得>4x 或423x <<，所以不等式的解为：4423x x x⎧⎫><<⎨⎬⎩⎭或.。
2024-2025学年江西省部分高中学校高一上学期十一月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省部分高中学校高一上学期十一月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣9−x>2},B={x∣x≥3}，则A∩B=( )A. [3,7)B. (3,7)C. [3,+∞)D. (7,+∞)2.命题“小数都是无理数”的否定为( )A. 所有小数都不是无理数B. 有些小数是无理数C. 有些小数不是无理数D. 所有小数都是无理数3.若幂函数f(x)的图象经过点(2,8)，则f(−4)=( )A. 16B. −16C. 64D. −644.若a=x2+3x+5，b=3x+4，则( )A. a<bB. a>bC. a=bD. a，b的大小关系无法确定5.若关于x的不等式−12x2+ax−7≤0恒成立，则a的取值范围为( )A. (−14,14)B. [−14,14]C. (−∞,−14)∪(14,+∞)D. (−∞,−14]∪[14,+∞)6.若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=x|x|+1B. f(x)=x2+1|x|+1C. f(x)=x2−1|x|+1D. f(x)=x2−3|x|+17.已知函数f(x−1x)=2x−1x(x>0)，则f(x)=( )A. 3x−x2+12B. 3x−x2+42C. 3x+x2+12D. 3x+x2+428.已知函数f(x)={ax,x≤−3,−x2+2ax−3,x>−3,若对任意x1≠x2，f(x2)−f(x1)x2−x1<0恒成立，则a的取值范围为( )A. [−3,0)B. (0,3]C. [−4,−3]D. (−4,−3]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，两个函数为同一函数的是( )A. f(x)=35x−3，g(t)=35t−3B. f(x)=x 3x ，g(x)=x 2C. f(x)=x 2+12，g(x)=|x|+12D. f(x)=x 2+1，g(x)=x 4+110.已知集合A ={x|2a ≤x ≤3a−1}，B ={x|x 2−12x +32<0}，且A 是B 的真子集，则a 的值可以是( )A. 12B. 1C. 2D. 5211.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x +2)为偶函数，且f (2)=10，则( )A. f (4)=−10B. f (x )的图象关于直线x =2对称C. f (x )的 图象关于点(4,0)中心对称D. f (206)=−10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024-2025学年度第一学期高一11月阶段性模拟试题 数学(A3版)
2024-2025学年度第一学期高一11月阶段性模拟试题 数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合1{|0},{N |||2}2x M x Q x x x -=≤=∈≤+，则M Q ⋂=（ ） A ．{1,0,1}-B ．[0,1]C ．(2,1]-D ．{0,1}2．已知命题p ：0x ∀≥，3x x ≥，命题q ：0x ∃<，210x ，则（ ）A ．p ⌝：0x ∃<，3x x <B ．p ⌝：0x ∃≥，3x x <C ．q ⌝：0x ∀≥，210x +≤D ．q ⌝：0x ∃<，210x +≤3．若,,R a b c ∈，且,0,a b c a b c >>++>则下列命题正确的是（ ） A ．11a b> B ．11b ba a+<+ C ．33c a < D ．若0ac <，则22cb ab <4．若函数()2y f x =+关于2x =-对称，且在区间[]0,3上单调递减，则（ ） A ．()()()123f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >->D ．()()()321f f f >>-5．已知函数()244x x f x x++=，定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．函数的最大值是8B ．函数的最小值是8C ．函数的最大值是232D ．函数的最小值是2326．已知函数53()8f x x ax bx =++-，若(3)10f -=，则(3)f = A ．-26 B ．26C ．18D ．107．若函数()2,1,1x x f x a x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩的值域为()0,∞+，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．(]0,1B ．()1,0-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞8．若函数()y f x =的图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则称点对[,]A B 为()y f x =的“基点对”，点对[,]A B 与[,]B A 可看作同一个“基点对”若24,0()10x x f x ax ax x x +≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩，恰好有两个“基点对”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(4,1)-B ．(6-+C ．(66---+D ．(6--二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()f x 是一次函数，满足()()49f f x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()23f x x =+ B ．()29f x x =-- C ．()22f x x =-D ．()24f x x =-+10．已知正数a ，b 满足412a b ab ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．ab 的最大值为4B ．4a b +的最小值为8C ．a b +的最小值为3D ．111a b ++的最小值3411．已知函数()2221,021,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．对任意12,R x x ∈，则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦C ．对任意R x ∈，则有()()2f x f x +-=D ．关于x 的方程()()225R f x x a a +-=∈可能有4个不同的解．第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}240,2101A x x x B x a x a =->=-<<+．若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．13．函数245y x x =-++的单调递增区间是 ．14．已知函数()2121xf x x =-+，若()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．记函数()f x =M ，函数2()23g x x x =-+的值域为集合N ，求： (1)求M ，N ； (2)求M N ⋃，()M N R.16．已知函数()311f x x x =-++． (1)解不等式()2f x ≤；(2)记函数()()21g x f x x =++的最小值为22a b +，求证：22143112a b +≥++．17．已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==． (1)求()f x 的解析式；(2)当1[,2]2x ∈-时，()2f x m >恒成立，求实数m 的取值范围． (3)若()f x 在区间[2,21]a a +上不单调，求实数a 的取值范围；18．已知函数()24ax b f x x +=+是定义在()2,2-上的奇函数，且()115f =. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()2,2-上的单调性，并用定义证明； (3)求函数()f x 在[)1,2-上的值域 .19．已知函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，且()()()f xy f x f y =+．当(0,1)x ∈时，()0f x <． (1)求(1)f ；(2)证明：函数()y f x =在(0,)+∞为增函数；(3)如果112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解不等式1()()32f x f x -≥-．。
高一数学11月阶段检测试题含解析 试题
创作；朱本晓2022年元月元日2021-2021学年高一数学11月阶段检测试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合，，且，那么a满足A. B. C. D.2.集合，那么集合A的真子集的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.，那么A. 0B.C.D. 44.函数，，假设，那么a等于A. B. C. 1 D. 25.函数的定义域为A. B.C. D.6.，那么A. B. C. D.7.是定义域为R上的增函数，那么a的取值范围是A. B. C. D.8.假设函数是定义R在上的偶函数，在上是减函数，且，那么使得的x的9.取值范围是A. B.C. D.10.设，，，那么创作；朱本晓2022年元月元日A. B. C. D.11.在函数，，，，，中，是幂函数的是A. B. C. D.12.，设，，，那么a，b，c的大小关系是A. B. C. D.13.函数的单调减区间为A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题〕14.设且，，那么______，______．15.函数且的图象恒过定点的坐标为______．16.函数的值域是______．17.集合，集合，集合，假设，那么实数m的范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题〕18.求以下各式的值19.；20.．21.22.23.24.25.26.创作；朱本晓2022年元月元日27.28.函数的定义域为集合A，集合，，29.求集合；30.假设，求a的取值范围31.32.33.34.35.36.37.38.实数x满足条件，求函数的值域．39.40.41.42.43.44.45.46.幂函数的图象经过点．47.试求m的值并写出该函数的解析式；48.试求满足的实数a的取值范围．创作；朱本晓2022年元月元日49.50.51.52.53.54.55.56.函数．57.假设函数是奇函数，求a的值；58.证明不管a为何值，函数在上为减函数．59.60.61.62.63.64.65.66.函数且．67.当时，求函数的定义域；68.当时，讨论的单调性并证明；69.当时，求关于x的不等式的解集．70.创作；朱本晓2022年元月元日71.72.73.74.75.创作；朱本晓2022年元月元日76.答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，或者．，．应选：A．由集合，，先求出或者再由，能求出a的取值范围．此题考察实数值的求法，考察并集、补集等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．2.【答案】C【解析】解：集合，集合A的真子集的个数为．应选：C．先求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．此题考察集合的真子集个数的求法，考察子集定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．3.【答案】C【解析】解：，创作；朱本晓2022年元月元日．应选：C．由，得，由此能求出结果．此题考察函数值的求法，考察函数性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.【答案】B【解析】解：，，，，，应选：B．由题意可得，然后代入，代入结合即可求解．此题主要考察了函数值的求解，属于根底试题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，，解可得，，或者，即函数的定义域为应选：D．由题意可得，，解不等式即可求解．创作；朱本晓2022年元月元日此题考察了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是根底题目．6.【答案】A【解析】解：令，求得，代入式子，可得，故有，应选：A．令，求得，代入式子，可得的解析式，从而得到的解析式．此题主要考察用换元法求函数的解析式，属于根底题．7.【答案】D【解析】解：是R上的增函数，可得：，解得．那么a的取值范围是．应选：D．利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．此题考察分段函数的单调性的应用，列出不等式组是解题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：构造特殊函数，满足在R上的偶函数，在上是减函数，且，，创作；朱本晓2022年元月元日，应选：B．构造特殊函数法求解．考察函数的奇偶性，单调性及其应用，根底题．9.【答案】A【解析】解：，，．应选：A．可以得出，从而可得出a，b，c的大小关系．此题考察了对数函数、指数函数的单调性，增函数、减函数的定义，考察了计算才能，属于根底题．10.【答案】B【解析】解：根据幂函数的定义，在函数，，，，，中，是幂函数的有，应选：B．由题意利用幂函数的定义，得出结论．此题主要考察幂函数的定义，属于根底题．11.【答案】A【解析】解：在上单调递增，，，，创作；朱本晓2022年元月元日且，，应选：A．根据在上单调递增，且，可判断a，b，c的大小关系．此题主要考察对数函数的单调性的应用，属于根底题．12.【答案】D【解析】解：函数的单调减区间，即函数在满足的条件下，函数y的减区间．再利用二次函数的性质可得在满足的条件下，函数y的减区间为，应选：D．由题意利用复合函数的单调性，此题即求函数在满足的条件下，函数y的减区间；再利用二次函数的性质得出结论．此题主要考察复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：，，或者是方程的解，，解得，．故答案为：4，．根据题意可知或者是方程的解，分别带入方程即可得出关于m，n的二元一次方程组，解出m，n即可．此题考察了真子集的定义，元素与集合的关系，考察了计算才能，属于根底题．创作；朱本晓2022年元月元日14.【答案】【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过定点的坐标为，故答案为：．令真数等于1，求得x、的值，可得函数的图象恒过定点的坐标．此题主要考察对数函数的图象经过定点问题，属于根底题．15.【答案】【解析】解：，故函数的值域是，故答案为：．求出函数的范围，根据指数函数的性质求出函数的值域即可．此题考察了二次函数以及指数函数的性质，是一道根底题．16.【答案】【解析】解：，，，且，，，即，时，，那么，解得，时，，那么，解得，综上得，实数m的范围是．创作；朱本晓2022年元月元日故答案为：．进展并集的运算求出，根据可判断，讨论m：时，可得出；时，可得出，解出m的范围即可．此题考察了描绘法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考察了计算才能，属于根底题．17.【答案】解：，，；．，．【解析】直接利用对数的运算性质及对数恒等式即可求解；利用指数的运算性质即可求解．此题考察的知识点是指数与对数的运算性质，换底公式，对数恒等式，纯熟掌握对数的运算性质及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．18.【答案】解：函数的定义域为集合A，，或者，集合，集合或者．，，，，创作；朱本晓2022年元月元日当时，，解得，当时，，解得．综上，a的取值范围是【解析】先求出集合A，从而求出，再由集合，能求出集合．推导出，当时，，当时，，由此能求出a的取值范围．此题考察补集、并集、实数的取值范围的求法，考察补集、并集、子集的定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．19.【答案】解：由，得，即，，解得；因；，，当，即时，，当，即时，．函数的值域是．【解析】问题转化为，求出x的范围；将的解析式配方，结合二次函数的性质求出的最大值和最小值即可创作；朱本晓2022年元月元日此题考察了求指数型复合函数的值域，把作为一个整体，求它的范围，利用指数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考察了整体思想和转化思想．20.【答案】解：幂函数的图象经过点，可得，，．由此解得，或者，故．由可得在上单调递减，故有，求得，故实数a的取值范围为．【解析】由题意利用函数的图象经过点，求得m的值，可得的值．由题意利用函数的单调性和定义域，求出a的范围．此题主要考察幂函数的定义和性质，属于根底题．21.【答案】解：函数是奇函数，，所以，所以，，证明：对任意的，，且，，因为，所以，，，所以，所以函数在上为减函数．创作；朱本晓2022年元月元日【解析】利用，求出a；利用函数单调性的定义证明．考察函数的奇偶性和函数的单调性，根底题．22.【答案】解：因为：；当时，；因为；函数的定义域时：．当时，；在定义域上单调递增；证明：因为以及都是单调递增，所以由复合函数的单调性即可得在定义域上单调递增；因为；且当时，以及都是单调递增的函数，由复合函数的单调性即可得在定义域上单调递增；．不等式的解集是．【解析】直接把参数的值代入根据真数大于0纠结即可；直接把参数的值代入根据复合函数的单调性即可得证；根据复合函数的单调性即可求解．此题主要考察指对数函数不等式的解法以及函数单调性的应用，属于根底题目．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
山西省太原市2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
2024~2025学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试卷（答案在最后）（考试时间：上午7:30－9:00）说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.题号一二三四总分得分一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = A.{}2,3 B.{}0,1,2,3,4 C.[]2,3 D.[]0,42.已知a b >，则下列结论正确的是A.ac bc > B.22a b> C.1a b >- D.11b a>3.函数()ln f x x =的定义域是A.()0,+∞ B.(]0,2 C.()()0,22,+∞ D.[)2,+∞4.“0xy =”是“0x =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数()11x f x a -=-（0a >，且1)a ≠的图象必经过的定点是A.()1,0 B.()1,1- C.()1,0- D.()1,1--5.已知不等式2220kx kx +-<对于一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是A.()2,0- B.(]2,0- C.()0,2 D.[)0,26.已知函数()()1,bf x ax a b x=++∈R ，且()10f -=，则()1f =A.－1B.1C.－2D.27.已知0,0x y >>，且满足2x y xy +=，若228x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是A.()1,9- B.()9,1- C.()(),19,-∞-+∞ D.()(),91,-∞-+∞ 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知幂函数()f x 的图象经过点(，则下列结论正确的是A.()2f -= B.()f x 是增函数C.()f x 是偶函数D.不等式()1f x <的解集为{}01x x <<10.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-，则下列结论正确的是A.()00f = B.()1f -是函数()f x 的最大值C.当0x <时，()22f x x x=-+ D.不等式()0f x >的解集是()()2,02,-+∞ 11.已知函数()f x 对于一切实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=，当0x >时，()01f x <<，()113f =，则下列结论正确的是A.()01f = B.若()9f m =，则2m =C.()f x 是增函数D.()0f x >三、填空题（本题共3小题，每小题3分，共9分）12.命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是________13.已知函数()2,0,1,0x a x f x ax x ⎧-=⎨-<⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围________.14.对实数a 和b ，定义运算“◎”：,1,,1,a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩◎，设函数()()222f x x x =+◎，x ∈R .若函数()y f x m =-的图象与x 轴恰有2个公共点，则实数m 的取值范围是________.四、解答题（本题共5小题，共49分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.计算下列各式的值（每小题4分，共8分）（1）12023489-⎛⎫--⎪⎝⎭；（2）21151133662262a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.16.（本小题满分8分）已知全集U =R ，{}260A x x x =+-<，1282xB x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}212C x m x m =+<<-.（1）求()U A B ð；（2）若()A B C ⊆ ，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分10分）已知函数()21xf x x =+.（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）根据定义证明：()f x 在()1,1-上单调递增.18.（本小题满分10分）实行垃圾分类，保护生态环境，促进资源再利用。
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A.20,310x x x ∃>--≤B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A.B.C.D.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为410.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923xxf x =-⋅，()22223xf x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xxm f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.福建省厦门2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2.选择题答案必须用2B 铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式作答无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1},{2}M xx N x x =≥=<∣∣，则R ()M N ⋂=ð（）A.[1,2)B.(,1)[2,)-∞+∞ C.[0，1]D.(,0)[2,)-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合运算的定义计算．【详解】由已知{|12}M N x x =≤< 所以R (){|1M N x x ⋂=<ð或2}x ≥，故选：B ．2.命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是（）A .20,310x x x ∃>--≤ B.20,310x x x ∃≤--≤C.20,310x x x ∀>--≤ D.20,310x x x ∀≤--≤【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.【详解】命题“20,310x x x ∃>-->”的否定是“20,310x x x ∀>--≤”.故选：C3.函数()22()log 2f x x x =--的单调递减区间是（）A.1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.(,1)∞-- C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.(2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得.【详解】由题意可得()()22210x x x x --=-+>，解得2x >或1x <-，由2219224y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则其在(),1∞--上单调递减，在()2,∞+上单调递增，又2log y x =为单调递增函数，故()22()log 2f x x x =--的单调递减区间(),1∞--.故选：B.4.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】由图可得101b a <-<<<，计算出()0g 并结合指数函数性质即可得解.【详解】由图可得101b a <-<<<，则有()0010g a b b =+=+<，且该函数为单调递减函数，故B 、C 、D 错误，A 正确.故选：A.5.已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（）．A.a b c >> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ．考点：比较大小6.“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为R ”是“04a <<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】若函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为，则当0a =，()lg10f x ==，符合要求；当0a ≠时，有2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上所述，04a ≤<，故“函数()2()lg 1f x ax ax =-+的定义域为”是“04a <<”的必要不充分条件.故选：B .7.若函数)3()ln1f x mx n x =++（m ，n 为常数）在区间[]1,3上有最大值7，则()f x 在区间[3,1]--上（）A.有最大值6B.有最大值5C.有最小值5- D.有最小值7-【答案】C【解析】【分析】构造新函数()()1g x f x =-为奇函数，利用奇函数求解．【详解】设3()()1)g x f x mx n x =-=+，则333()))()g x mx n x mx n mx n x g x -=-+-=-+=--+=-，所以()g x 是奇函数，()f x 在[1,3]上有最大值7，则()g x 在[1,3]上有最大值6，所以()g x 在[3,1]--上有最小值6-，于是()f x 在区间[3,1]--上有最小值5-，故选：C ．8.已知函数()f x 对于任意x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，且当0x >时，()2f x >，若已知()23f =，则不等式()()226f x f x +->的解集为（）A.()2,∞+ B.()1,+∞ C.()3,+∞ D.4,+∞【答案】A 【解析】【分析】设()()2g x f x =-，分析出函数()g x 为R 上的增函数，将所求不等式变形为()()324g x g ->，可得出324x ->，即可求得原不等式的解集.【详解】令()()2g x f x =-，则()()2f x g x =+，对任意的x 、R y ∈，总有()()()2f x f y f x y +=++，则()()()g x g y g x y +=+，令0y =，可得()()()0g x g g x +=，可得()00g =，令y x =-时，则由()()()00g x g x g +-==，即()()g x g x -=-，当0x >时，()2f x >，即()0g x >，任取1x 、2x R ∈且12x x >，则()()()12120g x g x g x x +-=->，即()()120g x g x ->，即()()12g x g x >，所以，函数()g x 在R 上为增函数，且有()()2221g f =-=，由()()226f x f x +->，可得()()2246g x g x +-+>，即()()()2222g x g x g +->，所以，()()()32224g x g g ->=，所以，324x ->，解得2x >.因此，不等式()()226f x f x +->的解集为()2,∞+.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设正数m ，n 满足1m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3+ B.+C.的最大值为14D.44m n +的最小值为4【答案】ABD 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的活用可得A ；由1m n +=+出后利用基本不等式计算可得B ；直接运用基本不等式可得C ；结合基本不等式与同底数幂的乘法运算可得D.【详解】由m ，n 为正数，且满足1m n +=，则有：对A ：()121221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2n mm n=，即2n ==-时，等号成立，故A 正确；对B ：21m n +=-，则22122⎛++-= ⎝⎭，当且仅当12m n ==时，等号成立，即22≤+≤，故B 正确；对C ：1m n +=≥，当且仅当12m n ==时，等号成立，12≤，故C 错误；对D ：444m n ≥==+，当且仅当12m n ==时，等号成立，故D 正确.故选：ABD.10.声强级Li （单位：dB ）与声强I （单位：2/m ω）之间的关系是：010lgILi I =⨯，其中0I 指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为21/m ω，对应的声强级为120dB ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[]70,80（单位：dB ）．下列选项中正确的是（）A.闻阈的声强为1210－2/m ωB.声强级增加10dB ，则声强变为原来的2倍C.此歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2/m ω）D.如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB 【答案】ACD 【解析】【分析】依题意求出0I ，即可判断A ；将70Li =、80Li =代入求声强范围判断C ；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，依题意得到方程，解得k ，即可判断B 、D.【详解】解：由题意0110lg120I =，即01lg 12I =，所以120110I =，所以12010I -=2ω/m ，故1210lg(10)12010lg Li I I ==+，故A 正确；若70Li =dB ，即10lg 50I =-，则510I -=2ω/m ；若80Li =dB ，即10lg 40I =-，则410I -=2ω/m ，故歌唱家唱歌时的声强范围5410,10--⎡⎤⎣⎦（单位：2ω/m ），C 正确；设声强变为原来的k 倍，对应声强级增加10dB ，则()()12010lg 12010lg 10kI I +-+=，解得10k =，即如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB ，故D 正确，B 错误；故选：ACD11.已知函数()21,2,5,2,xx f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则下列说法正确的是（）A.1c ≥ B.0a c +<C.25a d < D.222ab d ++的取值范围为()18,34【答案】CD 【解析】【分析】作出函数图像判断A ，举反例判断B ，转化为一元函数，利用二次函数的性质判断C ，指数函数的性质判断D 即可.【详解】结合函数()f x 的图象可知，()0,01,4,5a b d <<<∈，由c b >，得不出1c ≥，故A 错误，令1,2a c =-=，此时()()132f a f c =<=，但是0a c +>，故B 错误.因为215a d -=-，所以125a d -=-，所以24a d =-，则()24a d d d =-，又()4,5d ∈，所以()2244()a d d d d d f d =-=-=，由二次函数性质得()f d 在()4,5上单调递增，故()(5)5f d f <=，所以C 正确.因为2121a b-=-，所以222a b +=，故22222a b d d =+++，令2()2d g d +=，由指数函数性质得()g d 在()4,5上单调递增，所以222a b d ++的取值范围为(18,34)，故D 正确.故选：CD【点睛】关键点点睛：本题考查求多变元表达式的范围，解题关键是合理利用函数图像找到变量关系，构造一元函数，然后利用指数函数的性质得到所要求的取值范围即可．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数()y f x =的图象过点(，则()16f =______．【答案】4【解析】【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求(16)f 的值【详解】解：由题意令()a y f x x ==，由于图象过点，2a =，12a =12()y f x x∴==12(16)164f ∴==故答案为：4．【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题．13.411log 2324lg lg245(64)49---+-=__________.【答案】3-【解析】【分析】根据条件，利用指对数的运算法则，即可求出结果.【详解】因为4411log 1log 232214lg lg245(64)44lg 2lg 49(lg 5lg 49)44(lg 2lg 5)43492---+-=⨯-+-+-=⨯-+-=-，故答案为：3-.14.已知()f x 是定义在上的偶函数，且对x ∀∈R ，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______.2a ≤<【解析】【分析】先根据题意分析函数()f x 的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数()f x 在[]2,6-上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可.【详解】由(2)(2)f x f x -=+，可得：()()4f x f x -=+，又因为()f x 是定义在R 上的偶函数，则−=，且函数()f x 图象关于y 轴对称，所以()()4f x f x +=，即()f x 的周期为4，作出函数1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]2,0x ∈-上的图象，根据()f x 对称性及周期为4，可得出()f x 在[]2,6-上的图象：令()()()log 21a g x x a =+>，若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则函数()f x 与函数()log (2)(1)a g x x a =+>在(2,6]-上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点，所以()()()()2266g f g f ⎧≤⎪⎨>⎪⎩，即()()log 223log 623a a ⎧+≤⎪⎨+>⎪⎩2a ≤<.2a ≤<.【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数()f x 的对称性及周期性，并作出()f x 和()g x 图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在①A B A = ，②A B A = ，③A B =∅ 这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合{}123A x a x a =-<<+，{}2280B x x x =--≤（1）当2a =时，求A B ；（2）若，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件解答按第一个解答计分．【答案】（1）{}27A B x x ⋃=-≤<（2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入a 的值表示出A ，求解出一元二次不等式的解集表示出B ，根据并集运算求解出结果；（2）若选①：根据条件得到A B ⊆，然后分类讨论A 是否为空集，由此列出不等式组求解出结果；若选②：根据条件得到B A ⊆，然后列出不等式组求解出结果；若选③：根据交集结果分析,A B 集合的端点值的关系，列出不等式并求解出结果.【小问1详解】当2a =时，{}17A x x =<<，{}{}228024B x x x x x =--≤=-≤≤，因此，{}27A B x x ⋃=-≤<．【小问2详解】选①，因为A B A = ，可得A B ⊆．当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A B =∅⊆，合乎题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，由A B ⊆可得12234a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得112a -≤≤，此时112a -≤≤．综上所述，实数a 的取值范围是{4a a ≤-或112a ⎫-≤≤⎬⎭；选②，因为A B A = ，可得B A ⊆．可得12234123a a a a -≤-⎧⎪+≥⎨⎪-<+⎩，此时不等式组无解，所以实数a 的取值范围是∅；选③，当123a a -≥+时，即当4a ≤-时，A =∅，A B =∅ ，满足题意；当123a a -<+时，即当4a >-时，A ≠∅，因为A B =∅ ，则232a +≤-或14a -≥，解得52a ≤-或5a ≥，此时542a -<≤-或5a ≥，综上所述，实数a 的取值范围是52a a ⎧≤-⎨⎩或}5a ≥．16.已知函数()()log 1a f x x a =>，关于x 的不等式()1f x <的解集为(),m n ，且103m n +=.（1）求a 的值；（2）是否存在实数λ，使函数()()()2123,,93g x f x f x x λ⎡⎤⎡⎤=-+∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦的最小值为34？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）3a =（2）138λ=-或32【解析】【分析】（1）先根据()1f x <，求出不等式的解，结合103n m +=可得a 的值；（2）利用换元法，把函数()g x 转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.【小问1详解】由log 1a x <可得1log 1a x -<<，又1a >，所以1x a a <<，又因为()1f x <的解集为(),m n ，所以1,n a m a ==，因为103n m +=，所以1103a a +=，即()()231033130a a a a -+=--=，解得3a =或13a =，因为1a >，所以3a =；【小问2详解】由（1）可得()()2331log 2log 3,,93g x x x x λ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，令31log ,,93t x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则[]1,2t ∈-，设()[]223,1,2h t t t t λ=-+∈-，①当1λ≤-时，()h t 在[]1,2-上单调递增，则()()min 31424h t h λ=-=+=，解得138λ=-，符合要求；②当12λ-<<时，()h t 在[]1,λ-上单调递减，在[],2λ上单调递增，()()22min 3234h t h λλλ==-+=，解得32λ=±，又12λ-<<，故32λ=；③当2λ≥时，()h t 在[]1,2-上单调递减，()()min 324434h t h λ==-+=，解得25216λ=<，不合题意；综上所述，存在实数138λ=-或32符合题意.17.已知()()()1m g x f x g x -=+的定义在上的奇函数，其中()g x 为指数函数，且()g x 的图象过点()2,9.（1）求实数m 的值，并求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性的定义加以证明.（3）若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，()1313xxf x -=+（2）()f x 在R 上单调递减，证明见解析（3）178m ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出()g x 的表达式，结合奇函数性质计算即可得解；（2）设12x x <，从而计算()()12f x f x -的正负即可得证；（3）由奇函数性质结合函数单调性可得212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，构造二次函()()21284h t t m t =+-+，结合二次函数性质可得()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，解出即可得.【小问1详解】设()()0,1x g x a a a =>≠，由()g x 的图象过点()2,9，可得29a =，∴3a =（负值舍去），即()3x g x =，故函数()()()3113xxm g x m f x g x --==++，由()f x 为奇函数，可得()()()01001011m g m f g --===++，∴1m =，即()1313xx f x -=+,满足()()13311313x x x x f x f x -----===-++，即()f x 为奇函数，故1m =；【小问2详解】()f x 在R 上单调递减，证明如下：()()2131321131313x x x x x f x -+-===-+++，设12x x <，则12033x x <<，则()()()()()211212122332213131313x x x x x x f x f x --=-=++++，结合12033x x <<，可得()212330x x ->，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，故()f x 在R 上单调递减；【小问3详解】由()2132104f t t f mt ⎛⎫--+-≤ ⎪⎝⎭且()f x 为奇函数，所以()212134f mt f t t ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭，又()f x 在R 上单调递减，所以212134mt t t -≥+对[]1,2t ∈恒成立，所以()212840t m t +-+≤对[]1,2t ∈恒成立，令()()21284h t t m t =+-+，所以有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，即1128404241640m m +-+≤⎧⎨+-+≤⎩，解得178m ≥.18.随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,030R 80,30120150x v k k x x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）【答案】（1）车流密度x 的取值范围是(]0,90（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.【解析】【分析】（1）根据题意得2400k =，再根据分段函数解不等式即可得答案；（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，再根据基本不等式求解最值即可得答案.【小问1详解】解：由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150k v x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.所以，若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.【小问2详解】解：由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，()()2150180150450024004500808080180150150150150x x x y x x x xx --+--⎡⎤⎛⎫=-==--+ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎣⎦4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.19.若函数()f x 与区间D 同时满足：①区间D 为()f x 的定义域的子集，②对任意x D ∈，存在常数0M ≥，使得()f x M ≤成立，则称()f x 是区间D 上的有界函数，其中M 称为()f x 的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）（1）试判断函数()1923x x f x =-⋅，()22223x f x x x =-+是否为R 上的有界函数？并说明理由.（2）已知函数()121log 1x g x x +=-是区间[]2,3上的有界函数，设()g x 在区间[]2,3上的上界为M ，求M 的取值范围；（3）若函数()2313xx m f x m +⋅=+⋅，问：()f x 在区间[]0,1上是否存在上界M ？若存在，求出M 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1f x 不是R 上的有界函数，()2f x 是R 上的有界函数（2）[)2log 3,+∞（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据有界函数的定义，分别计算出()1f x 及()2f x 的值域即可判断；（2）先求解函数()g x 的值域，进而求解()g x 的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M 的取值范围；（3）先求解函数()f x 及()f x ，再根据有界函数的定义，讨论m 取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围.【小问1详解】()()21923311x x x f x =-⋅=-- ，()1f x ∴的值域为[)1,-+∞()1f x ∴不是R 上的有界函数；()22223x f x x x =-+，则()200f =，当0x ≠时，()22223232x f x x x x x ==-++-，当0x >时，3x x +≥=x =则()2102f x <≤，当0x <时，33x x x x ⎛⎫+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，当且仅当x =则()2102f x ->≥，综上可得，()211,22f x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即有()212f x +≤在R 上恒成立，()2f x ∴是R 上的有界函数；【小问2详解】()112212log log 111x g x x x +⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，易知()g x 在区间[]2,3上单调递增，∴()[][]2log 3,1,2,3g x x ∈--∈，∴()[]1221log 1,log 31x g x x +=∈-，所以上界M 构成的集合为[)2log 3,+∞；【小问3详解】()23113311x x x m f x m m +⋅==++⋅+⋅，当0m =时，()2f x =，()2f x =，此时M 的取值范围是[)2,+∞，当0m >时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递减函数，其值域为()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，故()232,131m m f x m m ++⎡⎤∈⎢⎥++⎣⎦，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，当0m <时，[]1331,1xm m m +⋅∈++，若()f x 在[]0,1上是有界函数，则区间[]0,1为()f x 定义域的子集，所以[]31,1m m ++不包含0，所以310m +>或10+<m ，解得：1m <-或103m -<<，0m <时，()1311x f x m =++⋅在[]0,1上是单调递增函数，此时()f x 的值域为232,131m m m m ++⎡⎤⎢⎥++⎣⎦，①232311m m m m ++≥++，即33m --≤或103m -<<时，()32323131m m f x m m ++≤=++，此时M 的取值范围是32,31m m +⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭，②232311m m m m ++<++，即313m --<<-时，()2211m m f x m m ++≤=-++，此时M 的取值范围是2,1m m +⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭，综上：当0m ≥时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当13m ≤--或103m -<<时，存在上界M ，32,31m M m +⎡⎫∈+∞⎪⎢+⎣⎭；当113m --<<-时，存在上界M ，2,1m M m +⎡⎫∈-+∞⎪⎢+⎣⎭，当113m -≤≤-时，此时不存在上界M ．【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试题高一数学 2024.11试卷满分:150分，考试时间:120分钟注意事项:1.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(用2B 铅笔填涂)，非选择题一律在答题卡上作答（用0.5mm 黑色签字笔作答），在试卷上答题无效。
3.考试结束后，请将答题卡交监考人员。
一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每题给出的四个选项中只有一项是最符合题意的。
1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 或2. 已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D.43.设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）A. B. C. D. 4．函数的值域为（ ）A. B. C. D. 5.已知函数的定义域为，则函数）A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）{|02}A x x =<<{|14}B x x =<<A B = {|02}x x <<{|24}x x <<{|04}x x <<{2|x x <4}x >a {}260A x x x =+-=∣{20}B x ax =-=∣B A ⊆a ()f x 0x ≥()2f x x x =+0x <()f x =2x x +2x x -2x x --2x x -+x x y 211-++=(]2，∞-()2，∞-()20，[)∞+，2(2)f x +(3,4)-()g x =(1,6)(1,2)(1,6)-(1,4)20ax bx c ++>{}12x x -<<()()2112a x b x c ax ++-+>A. B. 或C. 或 D. 7.命题在单调增函数，命题在上为增函数，则命题是命题的（ ）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要8. 已知,则的最大值为（ ）A. B. C. D.二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分。
高一上数学2023-2024学年度上半学期11月份阶段性测试(一)原卷答案
2023-2024学年度上半学期11月份阶段性测试（一）答案考试范围：第四章指数函数、对数函数与幂函数考试时间：100分钟����总分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
未命名
一、单选题
．．．．
则()y f x =的图像与y a =的图像交点个数不可能为即方程()(),f x a a R =∈的实根个数不可能为故选：A
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题
二、多选题
未命名三、填空题
由二次函数的对称性可知，()2
4x m -=即438x x =-且334x <<，
()()()()
343333x x x x --=
--
四、解答题
．已知为
）可看出在
试卷第11页，共11页减．解：（Ⅰ）∵
f （x ）为R 上的偶函数；∴f （﹣1）=f （1）；
∴
；
∴a=0；
（Ⅱ）函数
在[0，+∞）上单调递减；证明：设x 2＞x 1≥0，则：=
=
；∵x 2＞x 1≥0；
∴x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2＞0，，；∴
；
即f （x 2）﹣f （x 1）＜0；
∴f （x 2）＜f （x 1）；∴函数f （x ）在[0，+∞）上是单调递减函数．
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．。
高一数学上学期期中11月段考试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校第三二零二零—二零二壹高一数学上学期期中〔11月段考〕试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题〕1.集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，那么A∪B=〔〕A. B. C.3,4,5, D.2,3,4,2.以下函数中是偶函数的是〔〕A. B. C. D.3.函数的定义域为〔〕A. B. C. D.4.函数在区间[2，6]上的最大值为〔〕A.1B.C.D.5.函数y=log2〔x+1〕的图象大致是〔〕A. B.C. D.6.函数f〔x〕是定义在R上的偶函数，x＜0时，f〔x〕=x3，那么f〔2〕的值是〔〕A.8B.C.D.7.函数f〔x〕=x2-2x在区间[-1，t]上的最大值为3，那么实数t的取值范围是〔〕A. B. C. D.8.设，那么〔〕A. B. C. D.9.函数f(x)=()x-1+b的图像不经过第一象限,那么实数b的取值范围是( )A. B. C. D.10.假设函数f〔x〕=的定义域为实数集R，那么实数a的取值范围为〔〕A. B.C. D.,11.函数，当x1≠x2时，，那么实数a的取值范围是〔〕A. B. C. D.12.当x∈〔1，2〕时，不等式〔x-1〕2＜log a x恒成立，那么a的取值范围是〔〕A. B. C. D.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕13.集合A={-2，0，3，5}，那么A的子集个数为______．14.函数的值域是______．15.函数f〔x〕=x|x|-4x的单调递增区间是______．16.，假设f〔x〕≤t2-2at+1对于所有的x∈〔0，+∞〕，a∈[-1，1]恒成立，那么实数t的取值范围是______．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕17.计算以下各式的值⑴;⑵.18.设全集为R，集合A={x|-3＜x＜4}，B={x|1≤x≤10}．〔1〕求A∪B，A∩〔∁R B〕；〔2〕集合C={x|2a-1≤x≤a+1}，假设C∩A=C，务实数a的取值范围．19.f〔x〕是奇函数，且x≥0时，f〔x〕=x2-4x+3．求：〔1〕f〔x〕的解析式．〔2〕t＞0，求函数f〔x〕在区间[t，t+1]上的最小值．20.二次函数f〔x〕满足条件f〔0〕=1，及f〔x+1〕-f〔x〕=2x．〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕在区间[-1，1]上，y=f〔x〕的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．21.函数且a≠1〕〔1〕求f〔x〕的解析式并判断f〔x〕的奇偶性；〔2〕解关于x的不等式．22.定义域为R的函数是奇函数．〔1〕求a，b的值；〔2〕判断函数f〔x〕的单调性〔只写出结论即可〕；〔3〕假设对任意的t∈[-1，1]不等式f〔t2-2t〕+f〔k-t2〕＜0恒成立，务实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}．应选：D．利用并集定义直接求解．此题考察并集的求法，考察并集定义等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．2.【答案】C【解析】解：y=x+1，y=2x和y=x3+1都是非奇非偶函数，y=x2是偶函数．应选：C．判断每个选项函数的奇偶性即可．此题考察了奇函数、偶数和非奇非偶函数的定义及判断，考察了推理才能，属于根底题．3.【答案】B【解析】解：由题意得：，应选：B．利用分母不为0，偶次根式非负，求函数的定义域即可．考察函数求定义域，根底题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，函数在区间[2，6]上单调递减，所以当x=2时，f〔x〕取最大值f〔2〕=1，应选：A．根据题意，分析可得函数函数在区间[2，6]上单调递减，进而分析可得答案．此题考察函数的单调性以及应用，注意分析函数的单调性，属于根底题，5.【答案】B【解析】【分析】函数y=log2〔x+1〕的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，由此可得结论．此题主要考察对数函数的图象与性质，函数图象的变换，属于根底题．【解答】解：函数y=log2〔x+1〕的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的，定义域为〔-1，+∞〕，过定点〔0，0〕，在〔-1，+∞〕上是增函数，应选B．6.【答案】B【解析】解：∵当x＜0时，f〔x〕=x3，∴f〔-2〕=-8，又∵f〔x〕是定义在R上的偶函数，∴f〔2〕=f〔-2〕=-8，应选：B．由可得f〔2〕=f〔-2〕，结合当x＜0时，f〔x〕=x3，可得答案．此题考察的知识点是函数求值，函数的奇偶性，难度根底．7.【答案】D【解析】【分析】此题考察二次函数的性质以及应用，考察计算才能，难度较小.求出函数的对称轴，判断开口方向，然后通过函数值求解即可.【解答】解：函数f〔x〕=x2-2x的对称轴方程为：x=1，开口向上，而且f〔-1〕=3，函数f〔x〕=x2-2x在区间[-1，t]上的最大值为3，又f〔3〕=9-6=3，那么实数t的取值范围是〔-1，3].应选D.8.【答案】B【解析】解：∵1=log44＜log45＜log416=2，∴1＜a＜2；；．∴b＜a＜c．应选：B．利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0、1和2的大小得答案．此题考察对数值的大小比较，考察有理指数幂与对数的运算性质，是根底题．9.【答案】C【解析】【分析】此题主要考察指数函数的图象和性质，比较根底．根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：∵函数f〔x〕为减函数，∴假设函数f〔x〕=〔〕x-1+b的图象不经过第一象限，那么满足f〔0〕=2+b≤0，即b≤-2；应选：C．10.【答案】B【解析】解：由题意得：ax2+ax+1≥0，a=0时，复合题意，a＞0时，△=a2-4a≤0，解得：0≤a≤4，应选：B．根据二次根式，二次函数的性质值得到答案．此题考察了二次根式的性质，二次函数的性质，是一道根底题．11.【答案】A【解析】解：因为当x1≠x2时，，所以f〔x〕为定义域内单调性减函数，因此，应选：A．根据题意，判断函数为减函数，列出不等式组，求出a．考察函数的单调性，分段函数求参数范围，中档题．12.【答案】B【解析】解：∵函数y=〔x-1〕2在区间〔1，2〕上单调递增，∴当x∈〔1，2〕时，y=〔x-1〕2∈〔0，1〕，假设不等式〔x-1〕2＜log ax恒成立，那么a＞1且1≤log a2即a∈〔1，2]，答案为：〔1，2]．应选B．根据二次函数和对数函数的图象和性质，由中当x∈〔1，2〕时，不等式〔x-1〕2＜log ax恒成立，那么y=log ax必为增函数，且当x=2时的函数值不小于1，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到答案．此题考察的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合条件构造关于a的不等式，是解答此题的关键．13.【答案】16【解析】解：∵集合A={-2，0，3，5}，∴A的子集个数为：24=16．故答案为：16．假设集合A中有n个元素，那么集合A有2n个子集．此题考察集合的子集个数的求法，考察子集等根底知识，考察运算求解才能，考察函数与方程思想，是根底题．14.【答案】〔0，9]【解析】解：∵，∵x2-2x-1=〔x-1〕2-2≥-2，∴=9，∴函数的值域是〔0，9]．故答案为：〔0，9]．先根据二次函数的性质求出x2-2x-1=〔x-1〕2-2≥-2，然后根据指数函数的单调性即可求解．此题考察指数函数的单调性求解函数的值域，属于函数函数性质应用题，较容易．15.【答案】〔-∞，-2]和[2，+∞〕【解析】解：当x≥0时，f〔x〕=x2-4x，在区间[0，2]上单调递减，在区间[2，+∞〕上单调递增；当x＜0时，f〔x〕=-x2-4x，在区间〔-∞，-2]上单调递增，在区间[-2，0〕上单调递减．故函数f〔x〕的增区间为[2，+∞〕和〔-∞，-2]，故答案为：〔-∞，-2]和[2，+∞〕．当x≥0时，f〔x〕=x2-4x，利用二次函数的性质求出它的增区间；当x＜0时，f〔x〕=-x2-4x，利用二次函数的性质求出它的增区间，综合可得结论．此题主要考察复合函数的单调性，二次函数、绝对值的性质，属于中档题．16.【答案】t≤-2或者t≥2或者t=0【解析】解：容易得出，即f〔x〕的最大值为1，那么f〔x〕≤t2-2at+1对于所有的x∈〔-1，+∞〕，a∈[-1，1]恒成立⇔1≤t2-2at+1对于所有的a∈[-1，1]恒成立，即2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，令g〔a〕=2ta-t2，只要，∴t≤-2或者t≥2或者t=0．故答案为：t≤-2或者t≥2或者t=0．求出函数的最大值，利用恒成立转化得到2ta-t2≤0对于所有的a∈[-1，1]恒成立，利用分段函数转化求解即可．此题考察函数恒成立条件的转化与应用，根本不等式的应用，考察计算才能，是中档题．17.【答案】解：〔1〕〔2〕-〔〕0-〔〕+〔〕-2==；〔2〕log3+lg25+lg4+=．【解析】〔1〕直接由分数指数幂的运算性质求解即可；〔2〕直接由对数的运算性质求解即可．此题考察了有理指数幂的化简求值，考察了对数的运算性质，是根底题．18.【答案】解：〔1〕∵A={x|-3＜x＜4}，B={x|1≤x≤10}，∴A∪B={x|-3＜x≤10}，∁R B={x|x＜1或者x＞10}，A∩〔∁R B〕={x|-3＜x＜1}；〔2〕∵C∩A=C，∴C⊆A，且C={x|2a-1≤x≤a+1}，∴C=∅时，2a-1＞a+1，解得a＞2，C≠∅时，，解得-1＜a≤2，综上得，实数a的取值范围为〔-1，+∞〕．【解析】〔1〕进展交集、并集和补集的运算即可；〔2〕根据C∩A=C即可得出C⊆A，从而可讨论C是否为空集：C=∅时，2a-1＞a+1；C≠∅时，，解出a 的范围即可．此题考察了描绘法的定义，交集、并集和补集的运算，子集、交集的定义，空集的定义，考察了计算才能，属于根底题．19.【答案】解：〔1〕∵f〔x〕是奇函数∴f〔-x〕=-f〔x〕对任意的x都成立〔1分〕又x≥0时，f〔x〕=x2-4x+3．∴x＜0时，-x＞0∴f〔x〕=-f〔-x〕=-[〔-x〕2-4〔-x〕+3]=-x2-4x-3…〔5分〕∴f〔x〕=〔6分〕〔2〕∵t＞0∴当x∈[t，t+1]时，f〔x〕=x2-4x+3=〔x-2〕2-1开口向上且关于x=2对称…〔7分〕①当t+1≤2时，函数f〔x〕在[t，t+1]上单调递减∴g〔t〕=f〔t+1〕=〔t-1〕2-1=t2-2t〔9分〕②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内∴g〔t〕=f〔2〕=-1〔11分〕③当t≥2时，函数f〔x〕在[t，t+1]上单调递增∴g〔t〕=f〔t〕=t2-4t+3〔13分〕综上所述，【解析】〔1〕当x＜0时，-x＞0，而f〔x〕=-f〔-x〕可求f〔x〕〔2〕由题意可得函数f〔x〕[t，t+1]上f〔x〕=x2-4x+3=〔x-2〕2-1开口向上且关于x=2对称①当t+1≤2时，函数f〔x〕在[t，t+1]上单调递减，g〔t〕=f〔t+1〕②当t＜2＜t+1时即1＜t＜2时，对称轴在区间内，g〔t〕=f〔2〕③当t≥2时，函数f〔x〕在[t，t+1]上单调递增，g〔t〕=f〔t〕此题主要考察了利用奇函数的性质求解函数的解析式，二次函数在闭区间上的最值的求解，要注意解题中的分类讨论思想的应用．20.【答案】解：〔1〕令x=0，那么∵f〔x+1〕-f〔x〕=2x，∴f〔1〕-f〔0〕=0，∴f〔1〕=f〔0〕∵f〔0〕=1∴f〔1〕=1，∴二次函数图象的对称轴为．∴可令二次函数的解析式为f〔x〕=．令x=-1，那么∵f〔x+1〕-f〔x〕=2x，∴f〔0〕-f〔-1〕=-2∵f〔0〕=1∴f〔-1〕=3，∴∴a=1，∴二次函数的解析式为〔2〕∵在区间[-1，1]上，y=f〔x〕的图象恒在y=2x+m的图象上方∴x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立∴x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立令g〔x〕=x2-3x+1，那么g〔x〕=〔x-〕2-∴g〔x〕=x2-3x+1在[-1，1]上单调递减∴g〔x〕min=g〔1〕=-1，∴m＜-1【解析】〔1〕根据二次函数f〔x〕满足条件f〔0〕=1，及f〔x+1〕-f〔x〕=2x，可求f〔1〕=1，f 〔-1〕=3，从而可求函数f〔x〕的解析式；〔2〕在区间[-1，1]上，y=f〔x〕的图象恒在y=2x+m的图象上方，等价于x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，等价于x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立，求出左边函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．此题重点考察二次函数解析式的求解，考察恒成立问题的处理，解题的关键是将在区间[-1，1]上，y=f〔x〕的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化为x2-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立．21.【答案】解：〔1〕设由，令x2-1=t，易知-1＜t＜1由得故，而，故f〔x〕是奇函数；〔2〕由〔1〕当a＞1时，不等式等价于，即不等式解集为[0，1〕；当0＜a＜1时，不等式等价于，即不等式解集为〔-1，0]．【解析】〔1〕根据换元法求出函数的解析式，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；〔2〕通过讨论a的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．此题考察了对数函数的性质，考察函数的单调性问题以及不等式的解法，是一道中档题．22.【答案】解：〔1〕∵f〔x〕在R上是奇函数，∴f〔0〕=0，∴，∴a=1，∴，∴f〔-1〕=-f〔1〕，∴，∴b=2，∴，经检验知：f〔-x〕=f〔x〕，∴a=1，b=2．〔2〕由〔1〕可知，在R上减函数．〔3〕∵f〔t2-2t〕-f〔k-t2〕＜0对于t∈[-1，1]恒成立，∴f〔t2-2t〕＜-f〔k-t2〕对于t∈[-1，1]恒成立，∵f〔x〕在R上是奇函数，∴f〔t2-2t〕＜f〔t2-k〕对于t∈[-1，1]恒成立，又∵f〔x〕在R上是减函数，∴t2-2t＞t2-k，即k＞2t对于t∈[-1，1]恒成立，而函数g〔x〕=2t在[-1，1]上的最大值为2，∴k＞2，∴实数k的取值范围为〔2，+∞〕．【解析】〔1〕根据f〔0〕=0，f〔-1〕=-f〔1〕联立解得a=1，b=2，再验证f〔x〕的奇偶性；〔2〕别离常数后可判断出单调递减；〔3〕经过函数的奇偶性和单调性，将函数不等式变成一次不等式后，用最值解决．此题考察了不等式恒成立．属中档题．。
2024-2025学年湖北省新高考高一上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
注意事项1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年湖北省新高考高一上学期11月期中考试数学检测试题.1. 下列关系中，正确的个数为（ ）R ；②1Q 3∈；③{}00=；④0N ∉；⑤πQ ∈；⑥1Z -∈.A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】根据元素和集合的关系进行判断，得到答案.R ，①正确；1Q 3∈，②正确；0为元素，{}0为集合，两者不能用等号连接，应{}00∈，③错误；0N ∈，④错误；πQ ∉，⑤错误；1Z -∈，⑥正确.故选：A 2. 已知集合(){},20A x y x y =-=，(){},30B x y x y =+=，则A B ⋂为（）A. 0x =，0y = B. ()0,0C. {}0,0D.(){}0,0【答案】D 【解析】【分析】解方程组2030x y x y -=⎧⎨+=⎩，由集合交集的定义可得集合A B ⋂.【详解】因为集合(){},20A x y x y =-=，(){},30B x y x y =+=，解方程组2030x y x y -=⎧⎨+=⎩，得0x y ==，因此，(){}0,0A B ⋂=.故选：D.3. 下列含有量词的命题中为真命题的是（ ）A. 任意实数的平方都大于0B. N m ∃∈NC. 存在整数,x y ，使得243x y +=D. a ∀∈R ，一元二次方程210x ax -+=有实根【答案】B 【解析】【分析】AB 选项可举出反例；C 选项，,x y 均为整数，则2x y +为整数，故不存在整数,x y ，使得243x y +=，C 错误；D 选项，由根的判别式进行判断.【详解】A 选项，0的平方等于0，A 错误；B 选项，当0m =1N =∈，满足要求，B 正确；C 选项，324322x y x y +=⇔+=，,x y 均为整数，则2x y +为整数，故不存在整数,x y ，使得243x y +=，C 错误；D 选项，当22a -<<时，()22Δ440a a =--=-<，此时一元二次方程210x ax -+=无实根，D 错误.故选：B4. 已知a 、b 、R c ∈，则下列结论中正确的有（ ）A. 若a b >且11a b>，则0ab >B. 若0c a b >>>，则a bc a c b>--C. 若0a b c >>>，则a a cb b c+<+D. 若a b >，则22ac bc >【答案】B 【解析】【分析】利用作差法可判断ABC 选项；利用特殊值法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若a b >且11a b >，则110a b b a ab--=<，可得0ab <，A 错；对于B 选项，因为0c a b >>>，则0a b ->，0c a ->，0c b ->，则()()()()()()()0a c b b c a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==>------，即a bc a c b>--，B 对；对于C 选项，因为0a b c >>>，则0a b ->，则()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，即a a cb b c+>+，C 错；对于D 选项，因为a b >，当0c =时，22ac bc =，D 错.故选：B.5. 已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，()10f =，则不等式()0xf x >的解集为（ ）A. ()1,0-B. ()1,+∞C. ()1,1-D. ()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性，得到()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()10f -=，得到()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >，当()1,1x ∈-时，()0f x <，分0x >和0x <两种情况，求出不等式解集.【详解】因为()f x 是定义域在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减，()10f =，所以()f x 区间()0,∞+上单调递增，()10f -=，故当()(),11,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x >，当()1,1x ∈-时，()0f x <，()0xf x >，当0x >时，()0f x >，故1x >，当0x <时，()0f x <，10x -<<，故不等式()0xf x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故选：D6. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积，一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为()1λλ≠，一位顾客到店里购买20克黄金，售货员先将10克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将10克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金重量（ ）A. 大于20克B. 小于20克C. 等于20克D. 当1λ>时，大于20克；当()0,1λ∈时，小于20克【答案】A 【解析】【分析】设第一次取出的黄金质量为a 克，第二次黄金质量为b 克，根据题意得出a 、b 关于λ的关系式，利用基本不等式比较a b +与20的大小，即可得出结论.【详解】设第一次取出黄金质量为a 克，第二次黄金质量为b 克，由题意可得10a λ=，10b λ=，可得10b λ=，易知0λ>且1λ≠，所以，10110101020a b λλλλ⎛⎫+=+=+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当()10,1λλλλ=>≠时，等号成立，在的事实上，1λλ≠，等号不成立，则20a b +>.因此，顾客购得的黄金重量大于20克.故选：A.7. 函数()[]f x x =在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]1.51=，[]2.33-=-，[]33=，()f x 与函数()1g x x =-的交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】A 【解析】【分析】画出两函数图象，数形结合得到交点个数.【详解】画出()f x 与()1g x x =-的两函数图象，如下：可以看出两函数图象无交点，故交点个数为0.故选：A8. 已知集合{}*6U x x =∈≤N ，若A U ⊆，且同时满足：①若x A ∈，则3x A ∉；②若U x A ∈ð，则3U x A ∉ð.则集合A 的个数为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】分析可知，1、3不同在集合A 或U A ð中，2、6不同在集合A 或U A ð中，而4、5无限制，列举出满足条件的集合A ，即可得解.【详解】因为{}{}*61,2,3,4,5,6U x x =∈≤=N ，A U ⊆，由题意可知，若1A ∈，则3A ∉，若1U A ∈ð，则3U A ∉ð，若2A ∈，则6A ∉，若2U A ∈ð，则6U A ∉ð，4、5没有限制，综上所述，满足条件的集合A 可为：{}1,2、{}1,2,4、{}1,2,5、{}1,2,4,5、{}1,6、{}1,6,4、{}1,6,5、{}1,6,4,5、{}2,3、{}2,3,4、{}2,3,5、{}2,3,4,5、{}3,6、{}3,6,4、{}3,6,5、{}3,6,4,5，共16个，故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于分析出元素与集合的关系，然后利用列举法求解.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域内对任意的1x 、2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭的函数是（ ）A. ()f x ax b =+ B. ()2f x x ax b=++C. ()f x =D. ()3f x x =，()0,x ∈+∞【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设条件逐项验证即可.【详解】对于A 选项，函数()f x ax b =+的定义域为R ，对任意的1x 、2x ∈R ，()()1212121222222f x f x x x x x ax b ax b f a b +++++⎛⎫=⋅+=+= ⎪⎝⎭，A 选项中的函数满足条件；对于B 选项，函数()2f x x ax b =++的定义域为R ，对任意的1x 、2x ∈R ，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()222121122122222a x x x ax b x ax b x x b ⎡⎤++++++⎛⎫=+-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()222112212112044x x x x x x =-+=-≥，所以，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，B 选项中的函数满足条件；.对于C 选项，函数()f x =的定义域为[)0,∞+，则012f +⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为()()01122f f +=，则()()010122f f f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，C 选项中的函数不满足条件；对于D 选项，对于函数()3f x x =，x ∈(0,+∞)，任取1x 、()20,x ∞∈+，则33223121211212233228x x x x x x x x x x f +++++⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()()333223322312121211212211212233333322288f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++++--+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭()()()()()()222221212112212121233330888x x x x x x x x x x x x x x ------+===≥，所以，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，D 选项中的函数满足条件.故选：ABD.10. 定义运算()()a ab a b b a b ⎧≥⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()()()211f x x x =+⊕+，则下列命题正确的有（ ）A. ()f x 的定义域为R B. ()f x 的值域为RC. ()f x 的单调递减区间为(],1-∞-D. 不等式()1f x >的解集为{2x x <-或}0x >【答案】ACD 【解析】【分析】化简函数()f x 的解析式，作出该函数的图象，可判断ABC 选项；分1x ≤-或0x ≥、10x -<<两种情况解不等式，可判断D 选项.【详解】由()211x x +≥+得()10x x +≥，解得1x ≤-或0x ≥，由()211x x +<+得()10x x +<，解得10x -<<.所以，()()()()221,10111,10x x x f x x x x x ⎧+≤-≥⎪=+⊕+=⎨+-<<⎪⎩或，作出函数()f x 的图象如下图所示：对于A 选项，易知函数()f x 的定义域为R ，A 对；对于B 选项，由图可知，()f x 的值域为[)0,∞+，B 错；对于C 选项，由图可知，函数()f x 的单调递减区间为(],1-∞-，C 对；对于D 选项，当1x ≤-或0x ≥时，由()()211f x x =+>，可得220x x +>，解得2x <-或0x >，此时，2x <-或0x >，当10x -<<时，()()()10,1f x x =+∈，此时，不等式()1f x >无解综上所述，不等式()1f x >的解集为{2x x <-或}0x >，D 对.故选：ACD.11. 已知()3f x x x x =+，若正实数a 、b 满足()()210f a f b +-=，则（ ）A. ab 的最大值为14B. 224a b +的最小值为12C. ()a a b +的最大值为14D.11631a b ++的最小值为1【答案】BD 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性与奇偶性，结合已知条件求出21a b +=，利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为函数()3f x x x x =+定义域为R ，()()33f x x x x x x x f x -=---=--=-，即函数()f x为奇函数，.的且()223,033,0x x x f x x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，函数()f x 在R 上单调递增，由()()210f a f b +-=得()()()211f a f b f b =--=-，所以，21a b =-，即21a b +=，且a 、b 都为正数，对于A选项，由基本不等式可得12a b =+≥，得81ab ≤，即18ab ≤，当且仅当212a b b a +=⎧⎨=⎩时，即当1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，故ab 的最大值为18，A 错；对于B 选项，因为()()22222124424a b a b ab a b=+=++≤+，则22142ab +≥，当且仅当212a b b a +=⎧⎨=⎩时，即当1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，故224a b +的最小值为12，B 对；对于C 选项，由基本不等式可得()2211224a a b a a b ++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a a b =+时，即当0b =时，等号成立，但b 为正数，故等号不成立，即()14a ab +<，C 错；对于D 选项，因为21a b +=，则633a b +=，即()6314a b ++=，所以，()111111631631263146314316a b a b a b a b b a +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=++⋅+=+⋅ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭1214⎛≥+= ⎝，当且仅当631316210,0ab b aa b a b +⎧=⎪+⎪+=⎨⎪>>⎪⎩时，即当13a b ==时，等号成立，故11631a b ++的最小值为1，D 对.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知88M x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，则集合M 的真子集的个数是______.【答案】15【解析】【分析】利用列举法表示集合M ，确定集合M 的元素个数，即可得出集合M 的真子集的个数.【详解】当x ∈N 时，0x ≥，则88x -≤，若使得88x∈-N ，则(){}81,2,4,8x -∈，所以{}0,4,6,7M =，即集合M 的元素个数为4，因此集合M 的真子集个数为42115-=.故答案为：15.13. 学校举办运动会时，高一（1）班共有36名同学参加比赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛.同时参加游泳和球类比赛的有______人.【答案】8【解析】【分析】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A 、B 、C ，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x 人，作出韦恩图，根据题意可得出关于x 的方程，解出x 的值即可.【详解】设高一（1）班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A 、B 、C ，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x 人，由题意作出如下韦恩图，由题意可得265494436x x +++-=-=，解得8x =.因此，同时参加游泳和球类比赛的有8人.故答案为：8.14. 已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，若关于x 的不等式()()()2220f x a f x a ⎡⎤-++<⎣⎦恰有一个整数解，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)(]0,13,8 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，求出方程()f x 的解，由已知可得出()()20f x f x a ⎡⎤⎡⎤-⋅-<⎣⎦⎣⎦，对实数a 的取值进行分类讨论，确定满足不等式()()20f x f x a ⎡⎤⎡⎤-⋅-<⎣⎦⎣⎦的整数解，结合图象可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+≥=⎨-<⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：当0x ≥时，()()222111f x x x x =-+=--+≤，当0x <时，由()222f x x x =-=，即2220x x --=，解得1x =1x =（舍），由()()()2220f x a f x a ⎡⎤-++<⎣⎦可得()()20f x f x a ⎡⎤⎡⎤-⋅-<⎣⎦⎣⎦，若2a >，则有()2f x a <<，且110-<-<，若使得满足不等式()2f x a <<恰有一个整数解，则该整数解为1x =-，则()()12f a f -<≤-，即38a <≤；若2a =，则()220f x ⎡⎤-<⎣⎦，无解；若2a <，则有()2a f x <<，由图可知，则满足不等式()2a f x <<的整数解为1x =，所以，()01a f ≤<，即01a ≤<.综上所述，实数a 的取值范围是[)(]0,13,8⋃.故答案为：[)(]0,13,8⋃.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知集合{}211A x m x m =-≤≤+，{}25B x x =-≤≤.（1）当3m =时，求A B ，A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}25A B x x ⋂=≤≤，{}210A B x x ⋃=-≤≤（2）{}12m m -≤≤【解析】【分析】（1）当3m =时，写出集合A ，利用并集和交集的定义可得出集合A B ，A B ⋂；（2）根据题意可知A B ,分析可知，A ≠∅，根据集合的包含关系可得出关于m 的不等式组，解出m 的取值范围，再对m 的取值范围的端点值进行检验即可得解.【小问1详解】当3m =时，{}{}211210A x m x m x x =-≤≤+=≤≤，又因为{}25B x x =-≤≤，则{}25A B x x ⋂=≤≤，{}210A B x x ⋃=-≤≤.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A B ,因为()22217112024m m m m m ⎛⎫+--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则211m m +>-，则A ≠∅，由题意可得21215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，检验：当1m =-时，{}22A x x =-≤≤B ，合乎题意，当2m =时，{}15A x x =≤≤B ，合乎题意.综上所述，实数m 的取值范围是{}12m m -≤≤.16. 定义在R 上的单调函数()f x 满足对任意x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+，且()11f =.（1）求()0f 的值，判断并证明()f x 的奇偶性；（2）判断函数单调性，求()f x 在区间[]3,3-上的最小值.【答案】（1）()00f =，()f x 为奇函数，理由见解析（2）()f x 单调递增，理由见解析，最小值为3-.【解析】【分析】（1）令0x y ==得()00f =，令y x =-得()()0f x f x +-=，得到函数的奇偶性；（2）根据()()10f f >得到()f x 单调递增，()f x 的最小值为()3f -，赋值法得到答案.【小问1详解】()()()f x y f x f y +=+中，令0x y ==得，()()020f f =，解得()00f =，()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-得()()()00f x f x f +-==，且f (x )的定义域为R ，故()f x 为奇函数；【小问2详解】()()110f f =>，()f x 为单调函数，故()f x 只能单调递增，()f x 在区间[]3,3-上的最小值为()3f -，()()()f x y f x f y +=+中，令1,1x y ==-得()()()110f f f +-=，故()()()101011f f f -=-=-=-，令1x y ==-得()()2212f f -=-=-，令1,2x y =-=-得()()()3123f f f -=-+-=-，故()f x 在区间[]3,3-上的最小值为3-.17. 如图，某学校为庆祝70周年校庆，准备建造一个八边形的中心广场，广场的主要造型是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2100m 的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为2900元2/m ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地面，造价为350元2/m ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元2/m .设总造价为W （单位：元），AD 长为x （单位：m ）.（1）当4m x =时，求草坪面积；（2）当x 为何值时，W 最小?并求出这个最小值.【答案】（1）2441m 8（2）故52x =m 时，W 最小，最小值为65000元.【解析】【分析】（1）求出等腰直角三角形的直角边长为214m ，得到草坪面积；（2）表达出22100000256033000W x x ++=，利用基本不等式求出最小值及52x =m.【小问1详解】四个直角三角形均为等腰直角三角形，直角边长为21004x x-，当4x =时，21002144x x -=m ，故草坪面积为221214414m 248⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】花坛的造价为22900x 元，四个相同的矩形总造价为()2350100x -元，四个直角三角形为等腰直角三角形，直角边长为21004x x-，故草坪的总造价为22242110010000020001080424x x x x x ⎛⎫--+⨯⨯= ⎪⎝⎭元，故()242221000002000102900350100W x x x x x -++=-+221000002560330003300065000x x ++≥==元，当且仅当221000002560x x =，即52x =时，等号成立，故52x =时，W 最小，最小值为65000元.18. 已知函数()222f x kx kx =++，R k ∈.（1）若1k =，当1x >时，求()631f x x z x -+=-的最小值；（2）关于x 的不等式()0f x >对一切实数x 恒成立，求k 的取值范围；（3）当0k <时，已知{}11A x x =-≤≤，(){}0B x f x =>，若A B ⊆，求k 的取值范围.【答案】（1）3（2）016k ≤< （3）203k -<<【解析】【分析】（1）换元后得到122z t t =+-，1x >，由基本不等式得到最小值；（2）2220kx kx ++>，分0k =和0k ≠两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出016k ≤<；（3）()222f x kx kx =++开口向下，要想A B ⊆，数形结合得到不等式，求出答案.【小问1详解】1k =时，22226325151x x x x x z x x ++-++-==--，1x >，令10x t -=>，则1x t =+，()()222151522221t t t t z t t t t+-++-+===+-，由基本不等式得21132z t t =+-≥-=，当且仅当22t t=，即1t =时，等号成立.【小问2详解】()0f x >，即2220kx kx ++>，当0k =时，20>，满足要求，当0k ≠时，需满足220Δ160k k k >⎧⎨=-<⎩，解得016k <<，故k 的取值范围是016k ≤<；【小问3详解】0k <，()222f x kx kx =++开口向下，{}11A x x =-≤≤，要想A B ⊆，需满足()()1010f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩，结合0k <，解得203k -<<，k 的取值范围是203k -<<.19. 教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.已知()3233f x x x x =-+.（1）利用上述材料，求函数()f x 图象的对称中心；（2）利用函数单调性的定义，证明函数()3g x x =在区间(),-∞+∞上是增函数.类比推理()f x 的单调性（不需要证明）；附立方差公式：()()3322a b a b a ab b -=-++.（3）也有同学发现可以将其推广为：若函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称，则()()22f a x f x b -+=，请根据该结论求不等式()()22f x f x +>的解集.【答案】（1）()1,1（2）证明见解析，()f x 在(),-∞+∞上是增函数（3）()(),10,-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，根据题中定义可得出()()20f a x f a x b -++-=，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数()f x 图象的对称中心坐标；（2）任取1x 、2x ∈R 且12x x >，作差()()12g x g x -，因式分解后判断()()12g x g x -的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立；然后类比函数()g x 的单调性可得出函数()f x 的单调性；（3）由已知可得出()()22f x f x +-=，将所求不等式变形为()()2f xf x >-，结合函数()f x 的单调性可得出关于x 的不等式，解之即可.【小问1详解】设函数()f x 图象的对称中心为(),a b ，则函数()()h x f a x b =+-为奇函数，则()()h x h x -=-，即()()0h x h x -+=，即()()20f a x f a x b -++-=，因为()()()()()()()()32323333f a x f a x a x a x a x a x a x a x -++=---+-++-+++()()()()322322322322333233326a a x ax x a ax x a a x ax x a ax x a =-+---+++++-+++()()232662662a x a a a b =-+-+=，所以，326602266a b a a a -=⎧⎨=-+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以，函数()f x 图象的对称中心为()1,1.【小问2详解】任取1x 、2x ∈R 且12x x >，则()()()()()223322221212121122121324x x g x g x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-=-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，若222213024x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则212020x x x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可得120x x ==，不合乎题意，所以222213024x x x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以，()()()2222121213024x x g x g x x x x ⎡⎤⎛⎫-=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则()()12g x g x >，故函数()3g x x =在区间(),-∞+∞上是增函数.因为()()()()3211131311f x x x x +-=+-+++-()()()3223331321311x x x x x x x =+++-++++-=，则()()11g x f x =+-，则()()11f x g x =-+，即将函数()g x 的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数.【小问3详解】因为函数()f x 的图象关于点()1,1对称，且该函数的定义域为R ，对任意的x ∈R ，()()22f x f x +-=，由()()22f x f x +>可得()()()()2f x f x f x f x +>+-，即()()2f x f x >-，因为函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则2x x >-，即20x x +>，解得1x <-或0x >，故不等式()()22f x f x +>的解集为()(),10,-∞-⋃+∞.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义得出结论.即取值→作差→变形→定号→下结论.。
2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期11月期中考试数学检测试题(解析)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共402024-2025学年江苏省无锡市高一上学期11月期中考试数学检测试题分．1 设集合{}1,2A =，{}1,2,3,4B =，则B A =ð（ ）A. {}1,2B. {}2C. {}1,2,3,4D. {}3,4【答案】D 【解析】【分析】由补集的定义求解.【详解】集合{}1,2A =，{}1,2,3,4B =，则B A =ð{}3,4.故选：D2. 函数()f x = ）A. (]2,4-B. (]4,2-- C. [)2,4- D. []4,2--【答案】C 【解析】【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得2+x ≥016−x 2>0，解得24x -≤<，故定义域为[)2,4-.故选：C3. 已知函数()()()201x x f x g x f x x x⎧≤⎪==-⎨->⎪⎩，，则函数()g x 的图像是（ ）A. B..C. D.【答案】D 【解析】【分析】由()()g x f x =-可知 ()g x 图像与()f x 的图像关于x 轴对称，由 ()f x 的图像即可得出结果.【详解】因为()()g x f x =-，所以 ()g x 图像与()f x 的图像关于x 轴对称，由()f x 解析式，作出()f x 的图像如图.从而可得()g x 图像为D 选项.故选：D.4. 已知函数()23,01,0x a x f x x ax x -+≥⎧=⎨-+<⎩在定义域R 上是减函数，则实数a 的取值可以为（ ）A.13B.12C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】结合二次函数性质与分段函数的单调性定义计算即可得.【详解】由题意可得20203001aa a ⎧≥⎪⎨⎪-+≤-⨯+⎩，解得103a ≤≤，故选项中A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A.5. 已知296m n ==，则21m n+=（）A. 6log 18B. 6log 5C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.【详解】由296m n ==，可得2log 6m =，9log 6n =，所以66666292112log 2log 9log log log 62log 69lo 243g 6m n +=+=+=+==.故选：D.6. “1n =”是“幂函数()()22333n f x n n x-=-+在()0,∞+上是减函数”的一个（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为()()22333n f x n n x-=-+是幂函数，所以2331n n -+=即2320n n -+=解得1n =或2n =，当1n =时，()11f x xx-==在()0,∞+上是减函数，当2n =时，()f x x =在()0,∞+上是增函数，所以“1n =”是“幂函数()()22333n f x n n x-=-+在()0,∞+上是减函数”的充要条件，故选:C.7. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E =（ ）A. 1.0510 B. 1.05C. 0.7510 D. 0.75【答案】C 【解析】【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】lg 4.8 1.5E M =+ ，∴1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，2lg 4.8 1.57.516.05E =+⨯=，∴16.8110E =，16.05210E =，∴0.751210E E =，故选：C8. 若关于x 的方程124210x x a a ++⋅-+=，有一个正实数根和一个负实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()1,1-+ B. ()1-- C. ()1- D.)1,∞+【答案】A 【解析】【分析】令2x t =,得到22210t at a +-+=有两个根12,t t ，其中1121xt =>，()2220,1xt =∈，令()2221h t t at a =+-+，得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】令2x t =，12224210210x x a a t at a ++⋅-+=⇒+-+=，设关于x 的方程124210x x a a ++⋅-+=有一个正实数根1x 和一个负实数根2x ，故22210t at a +-+=有两个根12,t t ，其中1121xt =>，()2220,1xt =∈，令()2221h t t at a =+-+，则ℎ(0)=−a 2+1>0ℎ(1)=1+2a−a 2+1<0，解得11a -<<故实数a 的取值范围是()1,1-.故选：A二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9. 设正实数,x y 满足21x y +=，则（ ）A. xy 的最大值是18B.112x y+的最小值为4C. 224x y +最小值12D. 212x y x+最小值为2【答案】ABC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，利用完全平方式的性质即可求解C ，将“1”代换，即可由基本不等式求解D.详解】对于A，21x y +=≥18xy ≤，当且仅当212x y x y+=⎧⎨=⎩，即14x =，12y =时等号成立，故A 正确；对于B，41112()(2)212222y xx y x y x y x y+=++=++≥+=，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，22214(2)4142x y x y xy xy +=+-=-≥，当且仅当14x =，12y =时等号成立，C 正确；对于D，21221132222x x x x y x y x y x y y +=+=+≥+++=，当且仅当2221y xxy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即11,42x y ==时等号成立，故D 错误．故选：ABC ．10. 下列四个结论中，正确的结论是（ ）A. =y与y =表示同一个函数B. 定义在R 上的偶函数()f x 满足：f (3)=0，且对任意[)()12120,x x x x ∞∈+≠，，都有()()21210f x f x x x -<-，则()()210x f x ->的解集是()13,3,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭C. 设函数()21f x x =+，则对12,x x ∀∈R ，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立D. 已知23,21a b <<-<<-，则ab的取值范围是()3,1--【答案】ACD为【【解析】【分析】A 选项，求出两函数的定义域相同，对应法则相同，为同一函数；B 选项，根据函数的奇偶性和单调性得到()3,3x ∈-时，()0f x >，当()(),33,x ∈-∞-+∞ 时，()0f x <，从而解不等式，求出解集；C 选项，作差法比较大小；D 选项，求出1112b <-<，利用同号可乘性得到13a b <-<，求出a b的取值范围是(31)--，.【详解】A 选项，=y 中，令1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，y =中，令210t -≥，解得11t -≤≤，故两函数定义域相同，又y ==故两函数对应法则相同，所以两函数为同一函数，A 正确；B 选项，由题意得()f x 在[)0,+∞上单调递减，偶函数()f x 满足()30f =，则()30f -=，且()f x 在(],0-∞上单调递增，所以当()3,3x ∈-时，()0f x >，当()(),33,x ∈-∞-+∞ 时，()0f x <，()()210x f x ->，若()0f x >，则210x ->且()3,3x ∈-，得到1,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，若()0f x <，则210x -<且()(),33,x ∈-∞-+∞ ，解得(),3x ∈-∞-，综上，不等式解集为()1,3,32x ⎛⎫∈-∞-⋃⎪⎝⎭，B 错误；C 选项，()21f x x =+，对12,x x ∀∈R ，()()12221212122212222f x f x x x x x f x x +++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-()22222212121221212122204244x x x x x x x x x x x x -+-=-++-+-==-≤，当且仅当12x x =时，等号成立，故()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，C 正确；D 选项，已知21b -<<-，所以1112b -<<-，1112b<-<，又23a <<，故12132ab ⨯<-<⨯，即13a b<-<，所以31ab -<<-，a b的取值范围是(31)--，，D 正确.故选：ACD11. 已知集合{}22|,,M x x m n m n ==-∈Z ，则（ ）A. 26M∈ B. 32∈MC. 41,,x k k x M ∀=-∈∈ΖD. ,,x y M xy M∀∈∈【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件得()()22x m n m n m n =-=+-，从而有x 为奇数或4的倍数，即可判断选项A 和B的正误；根据()2241221k k k -=--（），可判断选项C 的正误；由条件知,x y 为奇数或4的倍数，分,x y 中至少有一个为4的倍数和,x y 都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解.【详解】由()()22x m n m n m n =-=+-，则m n +，m n -同为奇数或同为偶数，所以x 为奇数或4的倍数，故A 错误；B 正确；对于选项C ，因为()2241221k k k -=--（），故C 正确；对于选项D ，由,x y M ∈，则,x y 为奇数或4的倍数，当,x y 中至少有一个为4的倍数时，则xy 为4的倍数，所以xy M ∈，当,x y 都为奇数时，则可令121221,21,,Ζx k y k k k =+=+∈，所以()()()121212122121221,,Ζxy k k k k k k k k =++=+++∈，所以xy M ∈，故,,x y M xy M ∀∈∈，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点晴：本题的关键在于()()22x m n m n m n =-=+-，从而得出x 为奇数或4的倍数，即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分．12. 计算：204382024ln e ++=________．【答案】9【解析】【分析】利用指数运算和对数运算法则得到答案.【详解】()220433382024ln e 2144149++=++=++=.故答案为：913. 已知函数()f x 是偶函数，当0x <时，3()31f x x x =-+，则当0x >时，()f x =________．【答案】331x x -++【解析】【分析】根据偶函数的性质求解即可.【详解】若0x >，则0x -<，当0x <时，3()31f x x x =-+，所以3()31f x x x -=-++，又因函数()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-所以当0x >时，()331f x x x =-++，故答案为：331x x -++14. 我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数.据此，对于函数()323151248g x x x x =-+-，其图象的对称中心是_____________，且有1232022202320242024202420242024g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭___________.【答案】 ①. 13,22⎛⎫⎪⎝⎭②.60692【解析】【分析】根据条件分析得到()()g x a b g x a b -++=-+-，由此列出关于,a b 的方程并求解出,a b 的值，则对称中心坐标可知；根据条件可得()()13g x g x -+=，然后根据函数值的对称特点求解出原式的值.【详解】设()g x 的对称中心为(),a b ，则()y g x a b =+-为奇函数，所以()()g x a b g x a b -++=-+-，即()()()()()()323231513151248248x a x a x a b x a x a x a b -+++-+++=-+--++-+--，化简可得()232151********a x a a ab -+-+--=，所以32630151232024a a a a b -=⎧⎪⎨-+--=⎪⎩，解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以()g x 图象的对称中心为13,22⎛⎫⎪⎝⎭；因为()g x 图象的对称中心为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以13132222g x g x ⎛⎫⎛⎫-++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11322g x g x ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()13g x g x -+=，所以12023220223202110111013320242024202420242024202420242024g g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原式101213606931011303330332024222g g ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13,22⎛⎫⎪⎝⎭；60692.【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下：（1）若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-或()()2f a x f x -=或()()2f a x f x +=-，则()f x 的一条对称轴为x a =；（2）若函数()f x 满足()()2f a x f a x b ++-=或()()22f a x f x b -+=或()()22f a x f x b ++-=，则()f x 的一个对称中心为(),a b .四、解答题：本题共5小题，共77分．15. 设集合R U =，{}03A x x =≤≤，{}21R B x m x m m =≤≤+∈，．（1）2m =，求A B ；（2）若A B B = ，求m 的取值范围．【答案】（1）{}05A B x x ⋃=≤≤ （2）()[],10,1-∞-⋃【解析】【分析】（1）求出{}25B x x =≤≤，根据并集概念求出答案；（2）根据交集结果得到B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况，得到不等式，求出答案.小问1详解】当2m =时，{}25B x x =≤≤，因为{}03A x x =≤≤，所以{}05A B x x ⋃=≤≤．【小问2详解】由题意得B A ⊆，①若B =∅，则21m m >+，解得1m <-；②若B ≠∅，需满足210213m m m m ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，解得01m ≤≤，综合①②得：m 的取值范围是()[],10,1-∞-⋃．16. （1）函数y =f (x )是一次函数，且()98f f x x ⎡⎤=+⎣⎦，求()f x 的解析式；（2）已知函数()24axf x x =+的定义域为()2,2-，且14217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，判断()f x 的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．【答案】（1）()32f x x =+或()34f x x =--；（2）函数()f x 在区间()2,2-上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）设()f x ax b =+，得到()()f f x a ax b b ⎡⎤=++⎣⎦，从而对照系数，得到方程组，求出,a b ，得到解析式；（2）根据14217f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出2a =，得到()224x f x x =+，定义法求解函数单调性步骤，取点，作差，变形【判号，下结论.【详解】（1）设()f x ax b =+，则()()()f f x f ax b a ax b b ⎡⎤=+=++⎣⎦，∴298a x ab b x ++=+，∴298a ab b ⎧=⎨+=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，或34a b =-⎧⎨=-⎩，∴()32f x x =+或()34f x x =--；（2）14217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即214217142a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故2a =，故()224x f x x =+，函数()f x 在区间()2,2-上单调递增，理由如下：()12,2,2x x ∀∈-，且12x x <，有()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444222444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫-=-=⋅=⋅ ⎪++++++⎝⎭，由于−2<x 1<x 2<2,∴x 2−x 1>0,x 1x 2−4<0,∴f (x 1)−f (x 2)<0，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递增．17. 已知函数()f x x a =-，()221g x x x =-++．（1）x ∀∈R ，用()m x 表示()()f x g x ，中的最小者，记作()()(){}min ,m x f x g x =，当1a =时，分别用图象法和解析法表示函数()m x ，并写出()m x 的单调递增区间；（2）设()()()[]21,1h x f x g x x =-∈-，，求ℎ(x )的最小值()aϕ．【答案】（1）答案见解析（2）()2222332331221 1.a a a a a a a a a a ϕ⎧++≤-⎪--⎪=-<<⎨⎪--≥⎪⎩，，，，【解析】【分析】（1）1a =时，()1f x x =-，先求出两函数的交点坐标，从而得到函数图象，并根据图象写出解析式；（2）得到()22123222a a a h x x +--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，根据对称轴，分112a +≤-，1112a +-<<和112a +≥三种情况，结合函数单调性得到最小值，得到答案.【小问1详解】1a =时，()1f x x =-，当1x >时，2211x x x -++=-，解得2x =，负值舍去，当1x <时，2211x x x -++=-，解得0x =或3x =（舍去），画出()()(){}min ,m x f x g x =的图象，如图所示，解析法表示，()2221,01,0221,2x x x m x x x x x x ⎧-++<⎪=-≤≤⎨⎪-++>⎩，由图象可得，单调递增区间(),0∞-和()1,2；【小问2详解】()()222222123212211222a a a h x x a x x x a x a x +--⎛⎫=-+--=-++-=-+ ⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-，为①当112a +≤-，即3a ≤-时，此时最小值为()2123h a a -=++，②当1112a +-<<，即31a -<<时，此时最小值为212322a a a h +--⎛⎫= ⎪⎝⎭，③当112a +≥，即1a ≥时，此时最小值为()2121h a a =--，综上所述：()2222332331221 1.a a a a a a a a a a ϕ⎧++≤-⎪--⎪=-<<⎨⎪--≥⎪⎩，，，，，18. 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的十字形地域．四个小矩形AMQD 、MNFE 、BCPN 、PQHG 与小正方形MNPQ 面积之和为2400m ，且3AM ME NB ==．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为1000元2/m ；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为400元2/m ；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为200元2/m ．设AD 长为x （单位：m ）．（1）用x 表示AM 的长度，并写出x 的取值范围；（2）用x 表示花坛与地坪的造价之和；（3）设总造价为()C x 元，当AD 长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．【答案】（1）24004x AM x-=，020x << （2）2600160000y x =+（3）当AD =时，总造价最小为240000元【解析】【分析】（1）根据题意结合矩形AMQD 的面积分析求解.（2）根据题图列出式子即可表示出总造价.（3）由（2）问的结果再根据基本不等式求解即可.【小问1详解】由题意：矩形AMQD 的面积为203408x -（），因此234008x AM x-=⋅，因为0AM >，所以020x <<．【小问2详解】2221000400(400)600160000y x x x =+⨯-=+.【小问3详解】由题意可得：222216914001000400(400)2009642x y x x x ⎛⎫-=+⨯-+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2225400001001400004x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，（020x <<）由基本不等式100140000240000y ≥⨯+=，当且仅当2225400004x x =，即x =时，等号成立，所以当x =时，总造价y 最小，最小值为240000元．19. 已知函数8e ()e 1xx f x m =++是奇函数．（e 是自然对数的底）（1）求实数m 的值；（2）若0x >时，关于x 的不等式(2)2()f x kf x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；（3）设()4()4()f xg x f x +=-，对任意(0,]a b c t ∈,,，若以a ，b ，c 为长度的线段可以构成三角形时，均有以()g a ，()g b ，()g c 为长度的线段也能构成三角形，求实数t 的最大值．【答案】（1）4-（2）1k ≥（3）2ln 2【解析】【分析】（1）根据()00f =求出k ，再检验()f x 的奇偶性.（2）若0x >，将关于x 的不等式()()2f x mf x ≤恒成立，转化为22(e 1)e 1x x m +≥+恒成立，利用基本不等式得22(e 1)2e 1x x +<+，从而可得2m ≥.（3）化简()x g x e =，设0a b c t <≤≤≤，得a b c +>，且e e e a b c ≤≤，根据题意得e e 1a c b c --+>恒成立，根据基本不等式得2e e 2ea b c a c b c +---+>，由22e 1a b c +-≥求出的最大值即为t 的最大值.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，且定义域为R ，所以(0)0f =，即008e 0e 1k +=+，解得4k =-．经检验，此时()f x 是奇函数所以4k =-．【小问2详解】由（1）知8e 4e 4()4e 1e 1x x x x f x -=-=++，由0x >时，(2)2()f x kf x ≤恒成立，得22e 1e 148e 1e 1x x x x k --≤⋅++，因为e 10x ->，所以()22e 12e 1x x k +≥+，设()22222e 1e 2e 12e 2()111e 1e 1e 1e e x x x x x x x x x h x +++===+=+++++，因为1e 2e x x +≥，当且仅当0x =时，等号成立，又0x >，所以1e 2ex x +>，故()22e 122()1121e 12e e xx x x h x +==+<+=++，所以1k ≥．【小问3详解】由题意得：4e 44()4e 1()e 4e 44()4e 1x x x x x f x g x f x -+++===---+不妨设0a b c t <≤≤≤，则e e e a b c ≤≤，由a ，b ，c 为长度的线段可以构成三角形，则a b c +>，以()g a ，()g b ，()g c 为长度的线段也能构成三角形，则e e e a b c +>恒成立，得e e 1a c b c --+>恒成立即a b c +>时，e e 1a c b c --+>恒成立，又222e e 2e2e a b c c a c b c +----+≥=>，仅当a b =时前一个等号成立，所以22e 1c -≥，即12ln 2ln 22c ≤-=，于是t 的最大值为2ln 2．。
河北省保定市部分高中2024-2025学年高一(1+3)上学期11月期中考试数学试题含答案
高一1+3期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（）A.2B.12C.2- D.12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2.若cos 4t =，则tan 4=（）A.1t t- B.1t tC. D.【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4t==-.故选：A3.已知角θ的终边经过点3,−4，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（）A.17-B.7C.17D.7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点3,−4，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4.水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（）A.8π3+B.4π3+C.8π3D.4π3+【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应的圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+故选：C5.已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.B.-C.36-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可知15sin cos cos 222ααα-=，即sin 3cos 2αα=，则tan α=.故选：D.6.若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为,22⎡-⎢⎣⎦C.函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122b =-+，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos ,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7.已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO += ，则sin BOG ∠=（）A.72 B.378C.4D.78【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++= ，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故4s 7in BOG ∠==故选：C8.已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（）A.1014πB.3040π3C.2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C.若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a- D.20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b a aaθ⋅⋅=⋅；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C,向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a a aaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10.已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（）A.3sin cos 5αβ= B.1sin cos 10βα=C.4sin 2sin 225αβ=D.π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11.已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B.若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C.若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D.若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅= ，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -=，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心；C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA +=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上.D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-uu u r uu r uu u r uu r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++= ，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，故:1:3BOC ABC S S = ，A正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE =，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ：,AB CA AB CA分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C 错误.D 选项，设BG 中点为O，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12.已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513.在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA =，若6AM BN ⋅=- ，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 2222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sin cos 2cos 12sin cos 222222222αααααα⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭31ππππ4cos sin cos cos cos sin 2263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sinθcosθ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sinθcosθ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tanθ-1)(tanθ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16.如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+ ，进而得到1136MN AN AM b a =-=+；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+- ）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17.已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos3022︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+-=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 2222αααααα⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πxmπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(2)6f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(4)3g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3,32g x x ⎡=-∈-⎢⎣⎦，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19.已知平面直角坐标系中，点s 0，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（22220292a b +1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+，∴16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.。
河北省张家口市2021-2022高一数学11月阶段检测试题(含解析).doc
河北省张家口市2021-2022高一数学11月阶段检测试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，且，则a满足A. B. C. D.2.已知集合，则集合A的真子集的个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.已知，则A. 0B.C.D. 44.已知函数，，若，则a等于A. B. C. 1 D. 25.函数的定义域为A. B.C. D.6.已知，则A. B. C. D.7.已知是定义域为R上的增函数，则a的取值范围是A. B. C. D.8.若函数是定义R在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是A. B.C. D.9.设，，，则A. B. C. D.10.在函数，，，，，中，是幂函数的是A. B. C. D.11.已知，设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.12.函数的单调减区间为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.设且，，则______，______．14.函数且的图象恒过定点的坐标为______．15.函数的值域是______．16.已知集合，集合，集合，若，则实数m的范围是______．三、解答题（本大题共6小题）17.求下列各式的值；．18.已知函数的定义域为集合A，集合，，若，求a的取值范围19.已知实数x满足条件，求函数的值域．20.已知幂函数的图象经过点．试求m的值并写出该函数的解析式；试求满足的实数a的取值范围．21.已知函数．若函数是奇函数，求a的值；证明不论a为何值，函数在上为减函数．22.已知函数且．当时，求函数的定义域；当时，讨论的单调性并证明；当时，求关于x的不等式的解集．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，，或．，．故选：A．由集合，，先求出或再由，能求出a的取值范围．本题考查实数值的求法，考查并集、补集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：集合，集合A的真子集的个数为．故选：C．先求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．本题考查集合的真子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：，．故选：C．由，得，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：B．由题意可得，然后代入，代入结合已知即可求解．本题主要考查了函数值的求解，属于基础试题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得，，解可得，，或，即函数的定义域为故选：D．由题意可得，，解不等式即可求解．本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．6.【答案】A【解析】解：令，求得，代入已知式子，可得，故有，故选：A．令，求得，代入已知式子，可得的解析式，从而得到的解析式．本题主要考查用换元法求函数的解析式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：是R上的增函数，可得：，解得．则a的取值范围是．故选：D．利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可．本题考查分段函数的单调性的应用，列出不等式组是解题的关键，是中档题．8.【答案】B【解析】解：构造特殊函数，满足在R上的偶函数，在上是减函数，且，，，故选：B．构造特殊函数法求解．考查函数的奇偶性，单调性及其应用，基础题．9.【答案】A【解析】解：，，．故选：A．可以得出，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数、指数函数的单调性，增函数、减函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据幂函数的定义，在函数，，，，，中，是幂函数的有，故选：B．由题意利用幂函数的定义，得出结论．本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：在上单调递增，，，，且，，故选：A．根据在上单调递增，且，可判断a，b，c的大小关系．本题主要考查对数函数的单调性的应用，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：函数的单调减区间，再利用二次函数的性质可得在满足的条件下，函数y的减区间为，故选：D．由题意利用复合函数的单调性，本题即求函数在满足的条件下，函数y的减区间；再利用二次函数的性质得出结论．本题主要考查复合函数的单调性、二次函数、对数函数的性质，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：，，或是方程的解，，解得，．故答案为：4，．根据题意可知或是方程的解，分别带入方程即可得出关于m，n的二元一次方程组，解出m，n即可．本题考查了真子集的定义，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过定点的坐标为，故答案为：．令真数等于1，求得x、的值，可得函数的图象恒过定点的坐标．本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，故函数的值域是，故答案为：．求出函数的范围，根据指数函数的性质求出函数的值域即可．本题考查了二次函数以及指数函数的性质，是一道基础题．16.【答案】【解析】解：，，，且，，，即，时，，则，解得，时，，则，解得，综上得，实数m的范围是．故答案为：．进行并集的运算求出，根据可判断，讨论m：时，可得出；时，可得出，解出m的范围即可．本题考查了描述法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．17.【答案】解：，，；．，．【解析】直接利用对数的运算性质及对数恒等式即可求解；利用指数的运算性质即可求解．本题考查的知识点是指数与对数的运算性质，换底公式，对数恒等式，熟练掌握对数的运算性质及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．18.【答案】解：函数的定义域为集合A，，或，集合，集合或．，，，，当时，，解得，当时，，解得．综上，a的取值范围是【解析】先求出集合A，从而求出，再由集合，能求出集合．推导出，当时，，当时，，由此能求出a的取值范围．本题考查补集、并集、实数的取值范围的求法，考查补集、并集、子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：由，得，即，，解得；因；，，当，即时，，当，即时，．函数的值域是．【解析】问题转化为，求出x的范围；将的解析式配方，结合二次函数的性质求出的最大值和最小值即可本题考查了求指数型复合函数的值域，把作为一个整体，求它的范围，利用指数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想．20.【答案】解：幂函数的图象经过点，可得，，．由此解得，或，故．由可得在上单调递减，故有，求得，故实数a的取值范围为．【解析】由题意利用函数的图象经过点，求得m的值，可得的值．由题意利用函数的单调性和定义域，求出a的范围．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．21.【答案】解：函数是奇函数，，所以，所以，证明：对任意的，，且，，因为，所以，，，所以，所以函数在上为减函数．【解析】利用，求出a；利用函数单调性的定义证明．考查函数的奇偶性和函数的单调性，基础题．22.【答案】解：因为：；当时，；因为；函数的定义域时：．当时，；在定义域上单调递增；证明：因为以及都是单调递增，所以由复合函数的单调性即可得在定义域上单调递增；因为；且当时，以及都是单调递增的函数，由复合函数的单调性即可得在定义域上单调递增；．不等式的解集是．【解析】直接把参数的值代入根据真数大于0纠结即可；直接把参数的值代入根据复合函数的单调性即可得证；根据复合函数的单调性即可求解．本题主要考查指对数函数不等式的解法以及函数单调性的应用，属于基础题目．。
2024学年西南大学附属中学高一数学上学期11月期中试卷及答案解析
西南大学附中高2027届高一上定时检测（二）数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）2024年11月注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效，保持答卷清洁、完整.3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}02M x x =<£，{}14N x x =<<，则M N È=（ ）A. {}04x x << B. {}12x x <£C. {}1,2,3 D. R【答案】A 【解析】【分析】利用集合的并集运算求解.【详解】解：因为集合{}02M x x =<£，{}14N x x =<<，所以M N È={}04x x <<，故选：A2. 已知函数()()21,02,0x x f x f x x -<ì=í-³î，则()2024f 的值是（ ）A. 4043B. 4047C. 1- D. 5-【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的性质，代入求解即可.【详解】因为函数()()21,02,0x x f x f x x -<ì=í-³î，所以0x ³时，()()2f x f x =-，则周期2T =，所以()()20240f f =，当0x <时，()21f x x =-，所以()()025f f =-=-.故选：D3. 下列函数中，既是奇函数又在()0,¥+上单调递增的是（ ）A. ()2f x x= B. ()13f x x x=-C. ()12f x x x=+ D. ()4f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案.【详解】对于A ，定义域为x ∈R ，关于原点对称，因为()()2f x x f x -==，所以()2f x x =为偶函数，故A 错误；对于B ，定义域为{}0x x ¹，关于原点对称，因为()()13f x x f x x-=-+=-，所以()2f x x =为奇函数，因为13,y x y x==-在(0,+∞)上单调递增，所以()13f x x x=-在(0,+∞)上单调递增，故B 正确；对于C ，由对勾函数的性质知，()12f x x x =+在æççè上单调递减，在¥ö+÷÷ø上单调递增，故C 错误；对于D ，()4f x x=在(0,+∞)上单调递减，故D 错误.故选：B .4. 两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“平行”函数，给出三个函数：()11f x x=，()221f x x =-，()311x f x x -=+，则此三个函数中的“平行”函数是（ ）A. ()1f x 与()2f xB. ()1f x 与()3f xC. ()2f x 与()3f xD. 以上均不对【答案】C 【解析】【分析】将()3f x 变形为()3211f x x =-++，即可结合选项，根据平移的性质求解.【详解】由于()()312121111x x f x x x x -++-===-++++，对于A ，由于()1f x 与()2f x 的系数分别为1和2，系数不一样，所以无法平移重合，故A 错误，对于B ，由于()1f x 与()3f x 的系数分别为1和2，系数不一样，所以无法平移重合，故B 错误，对于C ，将()221f x x =-的图象向左平移2个单位可得21y x =+，再向下平移1个单位可得()3f x ，故C 正确，故选：C5. 命题，“关于x 方程210ax x +-=的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，（ ）A. 0a = B. 0a £C 104a -££ D. 104a -£<【答案】B 【解析】【分析】根据方程210ax x +-=的根为正实数，求得104a -££，即可根据真子集关系求解.【详解】关于x 的方程210ax x +-=的根为正实数，则需满足0a =或0Δ14010a a aìï¹ï=+³íïï->î，解得104a -££，因此“关于x 的方程210ax x +-=的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件设为p ，则104a a ìü-££íýîþ{}()a a p a Î，结合选项可知0a £满足，的.6. 当0x >时，21x ax x ++>恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. 13a -<< B. 13a -££ C. 1>-a D. 2a >-【答案】C 【解析】【分析】问题转化为2111x x a x x x -+->=-+-恒成立，再结合基本不等式求解即可；【详解】当0x >时，21x ax x ++>恒成立，等价于2111x x a x x x-+->=-+-恒成立，又1111x x --+£-+=-，当且仅当1x x =即1x =时取等号，所以1>-a ，故选：C.7. 已知函数)11122fx =++，则下列说法正确的是（ ）A. ()102f =-B. ()f x 的定义域是[)0,+¥C. 函数()212x f x x=- D. ()f x 的最小值为12-【答案】D 【解析】1t +=，利用换元法求出()f x ，再逐项判断即可；1t +=，则()21,1x t t =-³，所以()()()22111111112222f t t t t t t =-+--+=--，即()211122f x x x =--，对于A ，()0f 不存在，故A 错误；对于B ，定义域为1x ³，故B 错误；对于C ，()211122f x x x =--，故C 错误；对于D ，由复合函数的单调性可得()f x 在定义域上为增函数，所以()f x 的最小值为()112f =-，故D故选：D.8. 定义集合运算{},,A B m m x y x A y B ==-ÎÎe ．已知非空集合A 和B ，且{}1,2,3,4,5A B ÍU ，若A B B Íe ，则满足题意的不同的B 的个数为（ ）A. 1 B. 4C. 7D. 8【答案】D 【解析】【分析】结合集合新定义，讨论B 中元素个数即可；【详解】由题意{},,A B m m x y x A y B ==-ÎÎe ，又非空集合A 和B ，且{}1,2,3,4,5A B ÈÍ，若A B B Íe ，当B 中有一个元素时：{}1B =，{}2A =；{}2B =，{}4A =；当B 中有两个元素时：{}1,2B =，{}3A =；{}1,3B =，{}4A =；{}1,4B =，{}5A =；{}2,3B =，{}5A =；当B 中有三个元素时：{}1,2,3B =，{}4A =；当B 中有四个元素时：{}1,2,3,4B =，{}5A =；当B 中有五个元素时，集合A 不存在，所以满足条件的不同的B 的个数为8个，故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列四个结论中，正确的结论是（ ）A. y =与y =B. 函数()f x 的定义域为()3,3-，则函数()21f x -的定义域为()1,2-C. 函数()22f x x ax =++的单调减区间为(),3-¥-，则实数a 的值为6-D. 函数()2f x x =+的值域为[)2,+¥【答案】BD 【解析】【分析】由两个函数定义域不同可判断A ；由抽象函数的定义域求法可判断B ；根据二次函数的单调性可判断C ；由换元法求值域可判断D .【详解】对于A，函数y =的定义域为[)3,+¥，函数y =的定义域为(][),33,¥¥--È+，定义域不同，所以不是同一函数，故A 不正确；对于B ，因为函数()f x 的定义域为()3,3-，所以33x -<<，所以3213x -<-<，即12x -<<，所以函数()21f x -的定义域为()1,2-，故B 正确；对于C ，因为函数()22f x x ax =++的单调减区间为(),3-¥-，所以32a-=-，所以6a =，故C 不正确；对于D，设t =，0t ³，所以21x t =+，所以()()2224221f t t t t =++=+，0t ³，当0t =时，()f t 取得最小值，最小值为()02f =，所以函数()2f x x =+值域为[)2,+¥，故D 正确.故选：BD .10. 已知正实数a ，b ，则下列说法正确的是（ ）A.的最小值是2B. 若3210a b +=的最大值是C. 若1a b +=，则21a b+的最小值是3+D. 若412a b ab ++=，则111a b ++的最小值是34【答案】BCD的的【解析】“1”的妙用求解判断BCD.【详解】对于A 2+³==，1=1³>，因此不能取等号，A 错误；对于B ，由3210a b +==£=，当且仅当325a b ==时取等号，B 正确；对于C ，由1a b +=，得21212()33)(b a a b b a a a bb +=+=³++++当且仅当2a ==时取等号，C 正确；对于D ，由412a b ab ++=，得(1)(4)16a b ++=，即111164b a =++，因此111113116444b a b b +=++³+=+，当且仅当4b =时取等号，D 正确.故选：BCD11. 已知集合A B ==N ，定义集合A 到B 的函数:f x x ®除以3的余数，下列说法正确的是（ ）A. ()()()202403ff f =B. 12,x x "ÎN ，()()()1212f x x f x f x +£+C. 12,x x $ÎN ，()()()1212f x x f x f x >D. 函数()f x 的图像与21343y x x =-+的图像有且仅有一个交点【答案】ABD 【解析】【分析】由函数的新定义可得A 正确；设{}11122212123,3,,,,0,1,2x k r x k r k k r r =+=+ÎÎN ，由函数新定义可得B 正确，C 错误；令21343(0,1,2)x x r r -+==，求解整数解验证可得D 正确.【详解】对于A ，由题意可得()00f =，所以()()00ff =，又()202430f =故A 正确；对于B ，12,x x "ÎN ，设{}11122212123,3,,,,0,1,2x k r x k r k k r r =+=+ÎÎN ，则()1212123x x k k r r +=+++，所以()1212()f x x f r r +=+，()()()()11221212,,f x r f x r f x f x r r ==+=+，1212,,r r r r +所有取值情况如下表：由列表结合定义可知，当1202r r £+£时，1212()f r r r r +=+； 当123r r +³时，1212()1f r r r r +£<+；综上所述，1212()f r r r r +£+，即()()()1212f x x f x f x +£+，故B 正确；对于C ，命题“12,x x $ÎN ，()()()1212f x x f x f x >”的否定为“12,x x "ÎN ，()()()1212f x x f x f x £”.下面证明命题：“12,x x "ÎN ，()()()1212f x x f x f x £”为真命题.证明：12,x x "ÎN ，设111222123,3,,x k r x k r k k =+=+ÎN ，则{}12,0,1,2r r Î.则()121212211293x x k k k r k r r r =+++，所以()1212()f x x f r r =，()()1212f x f x r r =，1212,,r r r r 所有取值情况如下表：当1202r r ££，1212()f r r r r =，即()()1212()f x x f x f x =； 当124r r =，1212()1f r r r r =<，即()()1212()f x x f x f x <；综上所述，12,x x "ÎN ，()()1212()f x x f x f x £，得证.即命题“1x $，2x ÎN ，()()()1212f x x f x f x >”是假命题，故C 错误；对于D ，设2()1343g x x x =-+，设{}3,,0,1,2x k r k r =+ÎÎN ，则()f x r =，设两函数交点为(,)x y ，则0y =或1或2.①当0y =时，令213430x x -+=，则Δ1694430=-´<，方程无解，即此时两图象不相交；②当1y =时，令213431x x -+=，即213420x x -+=解得6x =，或7x =.当6x =时，(6)0f =，而(6)1(6)g f =¹，即此时两函数图象不相交；当7x =时，(7)1f =，且(7)1g =，故(7,1)是两函数图象的交点；③当2y =时，令213432x x -+=，即213410x x -+=，此时Δ1694415=-´=，解得x =N ，方程无自然数解，即此时两函数图象也不相交.综上所述，(7,1)是两函数图象的唯一交点，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：余数问题的常用处理方法就是按余数的不同进行分类讨论，当研究两个变量的余数时可利用表格分析求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 函数y =的增区间为__________．【答案】[)0,¥+【解析】【分析】由复合函数的单调性求解即可；【详解】令()22f x x x =+，由220x x +³可得0x ³或2x £-，又y =为增函数，()f x 的对称轴为1x =-，开口向上，所以函数y =[)0,¥+或(0,+∞)，故答案为：[)0,¥+.13. 已知函数y =f (x )是定义在[]1,1-上的偶函数，且在[0,1]上单调递减，则不等式()()12f x f x +<的解集为__________．【答案】1,03æù-çúèû【解析】【分析】根据函数为偶函数可得()f x 在[]1,0-上单调递增，由()()12f x f x +<得到关于x 的不等式组，解不等式组即可得到结果.【详解】由题意得，函数()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,0-上单调递增，由()()12f x f x +<得，11112112x x x x ì-£+£ï-££íï+>î，由111x -£+£得，20x -££，由121x -££得，1122x -££，由12x x +>得，()()2212x x +>，即23210x x --<，解得113-<<x ，故不等式的解集为1,03æù-çúèû.故答案为：1,03æù-çúèû.14. 已知函数()21,021,0x f x x x x x ì-<ï=íï-++³î，设方程()()f f x a =（a 为常数）的实数解的个数为n ，则n的取值构成的集合为__________．【答案】{}1,2,4,6【解析】【分析】画出()f x 的图象，讨论0a <，0a =，1a =，01a <<，12,2,2a a a <<=>，结合函数图象求解.【详解】作出()f x 的图象如下：当2a >时，若()()ff x a =，则()102f x -<<，此时满足()102f x -<<的有一个实数根，所以1n =，当2a =时，若()()ff x a =，则()1f x =或()12f x =-，此时满足()1f x =有3个实数根，满足()12f x =-的有1个实数根，故共有4个实数根，所以4n =，当12a <<时，若()()f f x a =，则()112f x -<<-或()01f x <<，或()12f x <<，满足()112f x -<<-有1个实数根，满足()01f x <<有2个实数根，满足()12f x <<有3个实数根，故此时满足条件的共有6个实数根，所以6n =，当1a =时，若()()ff x a =，则()1f x =-或()0f x =，或()2f x =，满足()1f x =-有1个实数根，满足()0f x =有1个实数根，或()2f x =有2个实数根，此时满足条件的共有4个实数根，所以4n =，当01a <<时，若()()ff x a =，则()1f x <-或()21f x <<()1f x <-有1个实数根，满足()21f x <<1个实数根，故满足条件的共有2个实数根，所以2n =，当0a =时，若()()f f x a =，则()1f x =+，此时满足条件的有1个实数根，所以1n =，当0a <时，若()()ff x a =，则()1f x >+，此时满足条件的有1个实数根，所以1n =，综上可得n 的取值集合为{}1,2,4,6，故答案为：{}1,2,4,6四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知集合{}2650A x x x =-+³，{}26B x x =-££，{}123,R C x k x k k =+££+Î．（1）求A B Ç，()A B R U ð；（2）若A C A È=，求实数k 的取值范围．【答案】（1）{21A B x x Ç=-££或}56x ££，(){}R 26A B x x È=-££ð （2）{|2k k £-或}2k ³【解析】【分析】（1）由一元二次不等式得到集合A ，再由交并补混合运算计算即可；（2）分集合C 是否为空集时讨论，由集合间包含关系计算即可；【小问1详解】∵()()2651501x x x x x -+=--³Þ£或5x ≥，∴{|1=£A x x 或}5x ³，则{}R 15A x x =<<ð，又∵{}26B x x =-££，∴{|21A B x x Ç=-££或}56x ££，(){}R26A B x x È=-££ð，【小问2详解】∵A C A È=，C A Í，①当C =Æ时，312k k +<+，2k >，②当C ¹Æ时，2k £，（ⅰ）若31k +≤，则2k £-，（ⅱ）若125k +≥，则2k ³，2k =，∴实数k 的取值范围为{|2k k £-或}2k ³.16. 已知函数()23f x x ax =-+-．（1）若函数()f x 在[]1,3单调递减，求a 的取值范围；（2）当2a =时，设函数()f x 在[]0,t 上的最小值为()g t ，求()g t 的函数表达式．【答案】（1）2a £（2）()23,0223,2t g t t t t -<£ì=í-+->î【解析】【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算即可；（2）先求出对称轴，分02t <£和2t >两种情况讨论，求最小值即可.【小问1详解】因为二次函数()f x 开口向下，对称轴为2ax =，所以函数()f x 单调递减区间为,2a éö+¥÷êëø，因为函数()f x 在[]1,3单调递减，所以12a£，解得2a £；【小问2详解】当2a =时，()223f x x x =-+-，开口向下，对称轴为1x =，当0110t t ì-³-í>î，即02t <£时，()()min 03f x f ==-，当0110t t ì-<-í>î，即2t >时，()()2min 23f x f t t t ==-+-，综上所述，()23,0223,2t g t t t t -<£ì=í-+->î.17. “新能源汽车”是如今社会热门话题，截止到2024年9月，中国新能源汽车市场的渗透率达到了53.3%．某汽车厂商计划引进新能源汽车生产设备，生产某款汽车每月需投入固定成本8000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x （万元），且()210700,06050000150518000,601202x x x f x x x x ì+<<ï=í+-££ï-î．每辆汽车售价15万元，当月生产的汽车全部销售完．（1）求出月利润()g x （万元）关于月产量x （百辆）的关系；（2）当月产量为多少百辆时，企业所获的月利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）()2108008000,06050000510000,601202x x x g x x x x ì-+-<<ï=í--+££ï-î的（2）月产量为102百辆时，月利润最大，最大为8990万元.【解析】【分析】（1）根据题意，由()()15008000g x x f x =--求解；（2）根据（1）的结论，分060x <<和60120x ££利用二次函数和基本不等式求解.【小问1详解】解：由题意得：()()2108008000,0601500800050000510000,601202x x x g x x f x x x x ì-+-<<ï=--=í--+££ï-î，∴月利润和月产量的关系表达式为()2108008000,06050000510000,601202x x x g x x x x ì-+-<<ï=í--+££ï-î.【小问2详解】由（1）得：()()2108008000,0601500800050000510000,601202x x x g x x f x x x x ì-+-<<ï=--=í--+££ï-î，①当060x <<时，()()2210800800010408000g x x x x =-+-=--+，∴当月销量为40百辆时，月利润最大为8000万元；②当60120x ££时，()()500005000051000052999022g x x x x x =--+=---+--99908990£-+=，∴当且仅当102x =时，()8990g x =，∴当月销量为102百辆时，月利润最大为8990万元，又∵89908000>，∴当月产量为102百辆时，月利润最大，最大为8990万元.18. 已知函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，且x "ÎR ，()()211x f x g x x ++=+．（1）求函数()f x 的解析式和最值；（2）已知函数()h x 满足,x y ÎR ，都有()()()2h x y h x h y xy -=+-成立；若[]2,2x $Î-，使得()20mh x x m -+≤成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()21xf x x =+，最大值为12，最小值为12-； （2）1m ≤.【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性，可联立方程组221()()11()()()1x f x g x x x f x g x x +ì+=ï+ïí-+ï-+-=-+ïî，即可解得()f x 的解析式；利用基本不等式，可求得()f x 的最值.（2）利用已知等式，可求得()h x 的解析式，若[]2,2x $Î-，使得()20mh x x m -+≤成立，则需2max21x m x æö£ç÷+èø，即可得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意()()f x f x -=-，()()g x g x -=，因为x "ÎR ，()()211x f x g x x ++=+①所以()()()()211xf xg x g x f x x --+-==-+②由①②可得()21xf x x =+，当0x >，()11f x x x =+，因为12x x+³所以11012x x<£+，当且仅当1x =取等，当0x =，()00f =，当0x <，()11f x x x =+，因为12x x æö-+-³ç÷èø所以11012x x -£<+，当且仅当1x =-取等，综上()f x 的最大值为12，最小值为12-.【小问2详解】令0x y ==，()()()00020h h h =+-×得()00h =令x y =，()()()202h h x h x x =+-×得()2h x x=若[]2,2x $Î-，使得()20mh x x m -+≤成立即2max21x m x æö£ç÷+èø由（1）可知，当1x =，2max211x x æö=ç÷+èø，所以1m ≤.19. 已知函数()2a f x x x=+（0a >），()11x g x x -=+．（1）证明：函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),a +¥上单调递增；（2）设()()h x f g x =éùëû，①当1a =时，求()h x 在()1,1-上的最小值；②若对任意实数r ，s ，11,33t éùÎ-êúëû，()()()h r h s h t -<恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1（2）①2；②4æ-ççè.【解析】【分析】（1）由题意()2a f x x x=+（0a >），利用函数的单调性定义证明；（2）①()12111x g x x x -==-++，得到()()0,g x ¥Î+，再令()t g x =，由()1p t t t=+求解；②将()()()h r h s h t -<恒成立，转化为()()()max min min h x h x h x -<，即()()max min 2h x h x <求解.【小问1详解】由题意可得()2a f x x x=+（0a >）.任取1x ，()20,x ¥Î+，且12x x <，则()()()()222122*********a x x a a f x f x x x x x x x x x -æö-=+-+=-+ç÷èø()()2212212112121x x a a x x x x x x x x æö-=--=-ç÷èø，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，当120x x a <<<时，()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，故()f x 在区间()0,a 上单调递减；当21x x a >>时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()f x 在区间(),a ¥+上单调递增，所以函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),a ¥+上单调递增.【小问2详解】①()12111x g x x x-==-++，易知()g x 在(―1,1)上单调递减，故()()0,g x ¥Î+，令()t g x =，则()1p t t t =+，所以()12p t t t=+³，当且仅当1t t=，即1t =时取等号，故()()min 02h x h ==；②因为()()()h r h s h t -<恒成立，故()()()max min min h x h x h x -<，即()()max min 2h x h x <，由①知，当11,33x éùÎ-êúëû时，()1,22g x éùÎêúëû，令()1,22t g x éù=Îêúëû，令()2a m t t t=+，由（1）知，()m t 在()0,a 上单调递减，在(),a ¥+上单调递增，当2a ³时，()m t 在1,22éùêúëû上单调递减，故()()2max max11222h x m t m a æö===+ç÷èø，()()()2min min222a h x m t m ===+，故22122222a a æö+<+ç÷èø，得a <<，所以a ÎÆ；当122a <<时，()m t 在1,2a æöç÷èø上单调递减，在(),2a 上单调递增，此时()()()12222m m a m m a ìæö<ïç÷èøíï<î，即221242242a a a a ì+<ïïíï+<ïî，得4a -<<；当102a <£时，()m t 在1,22éùêúëû上单调递增，故22122222a a æö+<+ç÷èø，得227a >，即a >或a <，所以a ÎÆ综上，实数a 的取值范围为4æ-ççè.【点睛】方法点睛：()()()h r h s h t -<恒成立，则()()()min max h r h s h t -<，转化为()()()max min min h x h x h x -<，即()()max min 2h x h x <而得解.。
江西省部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题
分不必要条件，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． (2,3)
B． (2,6)
C．[2, +¥)
D．(2, +¥)
6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、
环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 N 满足关系
试卷第11 页，共33 页
N
=
1000v 0.4v2 + 0.6v
13．若关于 x 的不等式 mx2 - x + m ³ 0 在 R 上恒成立，则实数 m 的取值范围为 .
14．已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，若 "x1 ， x2 Î(0, +¥ )( x1 ¹ x2 ) ，不等式
( ) x2
f
( x1 ) - x1
x1 - x2
f
( x2
)
>
0
试卷第41 页，共33 页
(2)求
1 a
+
2 b
的最小值.
19．已知二次函数 f ( x) 的最小值为 0，且 f (-1) = 1， f (2) = 4 .
(1)求 f ( x) 的解析式；
(2)若函数 f ( x) 为偶函数，函数 g ( x) = a x -1 .
x （i）关于 的方程
f
( x) -1
h(x) =
对 D：
3x - a
=
ì ïï
3x
-
a,
x
³
a 3
í ïïî-3x
+
a,
x
<
a 3
，故
h
(
x
)的单调递增区间为源自é êëa 3,
江西省部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学含答案
江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学（答案在最后）试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集}{1,2,3,4,5U =，集合2}{1,M =，}2,{3,4N =，则()U M N = ðA.{2,3,4,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}2.已知命题:1p x ∃>，320x ->，则p ⌝为A.1x ∀，320x -> B.1x ∀，320x - C.1x ∀>，320x -< D.1x ∀>，320x -3.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，31()1f x x x =-+，则(1)f -=A.12-B.12C.32-D.324.已知92()(4)m f x m x -=-是幂函数，若()2f a =，则a =A.12B.2C.4D.65.若1a <-=A.5(1)a -+ B.5(1)a + C.6(1)a -+ D.6(1)a +6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(5)(5)f x f x +=-，且12,(5,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠，121[(()()x x x f --2]()0f x >，则A.(5.5)(4.5)f f >B.(2.7)(3.2)f f <C.(7.3)(7.9)f f > D.(2.7)(5.2)f f >7.若关于x 的不等式220()21x m x m m +-+-<的解集为12(,)x x ，且12112x x +=，则实数m 的值为A.-4B.-1C.1D.48.已知函数23,2,(),2,x ax a x f x a x ⎧-++>⎪=若存在实数x ，使()0f x <，则实数a 的取值围为A.(,1)-∞- B.(,2)(6,)-∞-+∞ C.(,6)(1,)-∞--+∞ D.(,1)(6,)-∞-+∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是A.1144-=2=±C.23(8)4-= D.23184-=10.使3a b c ->成立的一个充分条件可以是A.a c >且2b c >- B.2a c >且b c >-C.2a c >且b c >- D.3a c >且2b c>11.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)4y f x =+-的图象关于原点对称，(4)4y f x x =++的图象关于y 轴对称，则A.(2)4f = B.(6)12f =-C.函数()f x 是增函数D.(8)(4)824f x f x x -+-=-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数30,()()1,0,x f x g x x x x ==-<⎪⎩ ，则((1))g f -=________.13.已知幂函数()m f x x =的图象过点3(3,3，则3[(2)]f =________.14.对于任意实数x ，()x 表示不小于x 的最小整数，例如(1.2)=2，(0.2)0-=，[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，0.21[]-=-.已知定义在R 上的函数()(2)[3]f x x x =⋅，若集合4|(),23A y y f x x ⎧⎫==-<-⎨⎬⎩⎭，则集合A 中所有元素的和为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数()af x b x=+在(0,)+∞上单调递减，其中24a =，且(1)1f =.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数2()2()[()]g x f x f x =+，[1,4]x ∈的值域.16.（15分）已知集合(4,29]A m =+，{|2233}B x m x m =-+，且12B ∈.（1）当16A ∉时，求实数m 的取值范围；（2）设:p t A ∈；:q t B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（15分）已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足()()2||2f x g x x x +=++，若()()()h x f x g x =⋅.（1）求()h x 的解析式；（2）求关于x 的不等式2(3)(3)0h x tx h x t -+-<的解集.18.（17分）某糕点连锁店现有五家分店，出售A ，B 两款糕点，A 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售.已知用16000元购进A 糕点与用22000元购进B 糕点的重量相同，且B 糕点每斤的进价比A 糕点每斤的进价多6元.（1）求A ，B 两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，B 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售.则B 糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖B 糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的A 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A 糕点.已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A 糕点n 个月（*n ∈N ）所用的原材料之外的各种费用总计为211324n n +万元，若只考虑A 糕点，记该连锁店前n 个月的月平均利润为z 万元，求z 的最大值.19.（17分）对非空数集A 及实数k ，定义2{|,}A k x x a k a A ==-∈ ，{|,}A k x x k a a A ⊗==-∈，已知A k A k =⊗ .（1）当1k =时，若集合A 为单元素集，求A ；（2）当3k =时，若集合{,}A a b =，求ab 的所有取值构成的集合；（3）若A 中有3个元素，求实数k 的取值范围.江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】{3,4,5}{2,3,4}{2,3,4,5}()U M N == ð，故选A.2.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得:1p x ⌝∀>，320x -.故选D.3.【答案】B【解析】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以311(1)(1)1112f f ⎛⎫-=-=--= ⎪+⎝⎭.故选B.4.【答案】C【解析】因为92()(4)m f x m x -=-是幂函数，所以41m -=，得5m =，故12()f x x =，2=时，4a =.故选C.5.【答案】C【解析】当1a <-时，10a +<3(1)a =--，3(1)a =+=336(1)(1)(1)a a a --+=-+.故选C.6.【答案】D【解析】由题意得函数()f x 在(,5)-∞上单调递减，在(5,)+∞上单调递增.对选项A ，(5.5)(50.5)f f =+=(50.5)(4.5)f f -=，A 错误；对选项B ，因为函数()f x 在(,5)-∞上单调递减，所以(2.7)(3.2)f f <，B 错误；对选项C ，因为函数()f x 在(5,)+∞上单调递增，所以(7.3)(7.9)f f >，C 错误；对选项D ，因为(5.2)(5f f =+0.2)(50.2)(4.8)f f =-=，函数()f x 在(,5)-∞上单调递减，故(2.7)(4.8)(5.2)f f f >=，D 正确.故选D.7.【答案】B【解析】因为关于x 的不等式220()21x m x m m +-+-<的解集为12(,)x x ，所以关于x 的方程220()21x m x m m +-+-=有两个不相等的实数根12,x x ，所以22[2(1)]41()440m m m m ∆=--⨯⋅-=-+>，解得1m <，且122(1)x x m +=--，212x x m m =-，所以1221212112(1)2x x m x x x x m m+--+===-，解得1m =-.故选B.8.【答案】D【解析】当2x >时，230x ax a -++<，即23(1)x a x +<-，因为2x >，所以11x ->，故231x a x +>-有解，即2min 31x a x ⎛⎫+> ⎪-⎝⎭，因为223(11)341226111x x x x x x +-++==-+++=---，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立，故6a >；当2x0a +<有解，即a <有解，也即max (a <，因为y =单调递增，故2x =时，y =取最大值-1，故1a <-.综上，实数a 的取值范围为(,1)(6,)-∞-+∞ .故选D.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，1144-=，A 正确；对于B2=，B 错误；对于C，23(8)4-=，C 正确；对于D，232311848-==，D 正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】充分性成立，即选项能推出3a b c ->，对于A ，22b c b c <-⇒->，又a c >，同向不等式相加得3a b c ->，A 成立；对于B ，令3a =，7b =，1c =-，满足2a c >且b c >-，但433a b c -=-<-=，B 不成立；对于C ，b c b c <-⇒->，又2a c >，同向不等式相加得，3a b c ->，C 成立；对于D ，令5a =，8b =，1c =-，满足3a c >且2b c >，但33a b c -=-=，D 不成立.故选AC.11.【答案】ABD （每选对1个得2分）【解析】A 选项，()f x 的定义域为R ，因为(2)4y f x =+-的图象关于原点对称，所以(2)4y f x =+-为奇函数，所以(2)4(2)40f x f x --++-=，故(2)(2)8f x f x -++=，令0x =，得(2)4f =，A 正确；B 选项，由(4)4y f x x =++的图象关于y 轴对称，得(4)4y f x x =++为偶函数，所以(4)4(4)4f x x f x x --=++，即(4)(4)8f x f x x -=++，令2x =，得4(2)(6)16f f ==+，得(6)12f =-，B 正确；C 选项，因为(2)(6)f f >，C 错误；D 选项，因为(2)(2)8f x f x -++=，所以()8(4)f x f x =--，因为(4)(4)8f x f x x -=++，令4x t -=，得()(8)328f t f t t =-+-，即()(8)328f x f x x =-+-，故8(4)(8)328f x f x x --=-+-，(8)(4)824f x f x x -+-=-，D 正确.故选ABD.12.【答案】-8【解析】(1)112f -=--=-，3((1))(2)(2)8g f g -=-=-=-.13.【答案】64【解析】由333m =，得3m =-，所以3()f x x =333(3(36[(2)](22264f ⨯====.14.【答案】67【解析】当2x =-时，()(4)[6](4)(6)24f x =-⋅-=-⨯-=；当523x -<<-时，10423x -<<-，(2)3x =-，635x -<<-，[3]6x =-，()(2)[3](3)(6)18f x x x =⋅=-⨯-=；当5332x -- 时，10233x -- ，(2)3x =-，9532x -- ，[3]5x =-，()(2)[3](3)(5)15f x x x =⋅=-⨯-=；当3423x -<<-时，8323x -<<-，(2)2x =-，9342x -<<-，[3]5x =-，()(2)[3](2)(5)10f x x x =⋅=-⨯-=.综上，{24,18,15,10}A =，集合A 中所有元素的和为67.15.解：（1）由24a =得2a =±，（2分）因为函数()af x b x=+在(0,)+∞上单调递减，所以0a >，故2a =.（5分）由(1)21f b =+=得1b =-，所以2()1f x x=-.（7分）（2）222424()2()[()]211g x f x f x x x x ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭，（10分）当[1,4]x ∈时，2[1,16]x ∈，241,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2131,34x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以函数2()2()[()]g x f x f x =+，[1,4]x ∈的值域为3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（13分）【评分细则】值域写成集合或区间形式均给分.16.解：（1）因为12B ∈，所以221233m m -+，得37m ，（2分）又因为16A ∉，所以2916m +<，即72m <，（5分）故当16A ∉时，m 的取值范围是73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（7分）（2）因为37m，所以A O ≠，B O ≠，若p 是q 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，（10分）故224,3329,m m m ->⎧⎨++⎩ （12分）解得36m <.故实数m 的取值范围是(3,6].（15分）【评分细则】结果写成集合或区间或不等式形式均给分.17.解：（1）因为()()2||2f x g x x x -+-=-+-+，即()()2||2f x g x x x -+=-++，又()()2||2f x g x x x +=++，得()2f x x =，()||2g x x =+，（4分）所以()()()2(||2)h x f x g x x x =⋅=+.（5分）（2）因为()2()(||2)2(||2)()h x x x x x h x -=--+=-+=-，所以()h x 为奇函数，（7分）又当0x时，2()24h x x x =+单调递增，故函数()h x 在R 上单调递增.（9分）则不等式2(3)(3)0h x tx h x t -+-<，可化为2(3)(3)(3)h x tx h x t h t x -<--=-，即23(3)0x t x t +--<，即(3)(1)0x t x -+<，（11分）①若13t <-，即3t <-时，13tx <<-；②若13t=-，即3t =-时，不等式无解；③若13t >-，即3t >-时，13t x -<<，综上，当3t <-时，解集为|13t x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭，当3t =-时，解集为∅，当3t >-时，解集为|13t x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.（15分）【评分细则】1.第一问求出()f x 和()g x 的解析式分别给2分；2.第一问结果写成分段函数形式不扣分；3.第二间结果不写成集合或区间形式扣1分，未总结，但结果正确均给满分，三种情况每少一种情况扣1分.18.解：（1）设A 糕点每斤的进价为a 元，B 糕点每斤的进价为(6)a +元，所以16000220006a a =+，解得16a =，所以A 糕点每斤的进价为16元，B 糕点每斤的进价为22元.（4分）（2）设B 糕点每斤涨价(8)x x - 元，蛋糕店通过B 糕点获得的月利润为y 元.由题意22(3022)(3120120)120216024960120(9)34680y x x x x x =+--=-++=--+，（6分）当9x =时，y 有最大值.（8分）所以B 糕点每斤定价为39元时，月利润最大，最大为34680元.（9分）（3）设前n 个月的总利润为w ，因为A 糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则22*111311685050()324324w n n n n n n n ⎛⎫=--+-=-+-∈ ⎪⎝⎭N ，（12分）月平均利润503131215.2532444w n z n n ==--+-+== 万元，（15分）当且仅当5032n n=，即40n =时等号成立，（16分）所以z 的最大值为5.25.（17分）【评分细则】1.第二问未配方，只要结果正确，就给分；2.第三问未说明等号成立条件扣1分.19.解：（1）1k =时，设{}A a =，由11A A =⊗ ，得2{1}{1}a a -=-，所以211a a -=-，即220a a +-=，得2a =-或1，故{2}A =-或1}{A =.（4分）（2）3k =时，{,}A a b =，由33A A =⊗ ，得22{3,3}{3,3}a b a b --=--，得2233,33a a b b ⎧-=-⎨-=-⎩或2233,33,a b b a ⎧-=-⎨-=-⎩即2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩或226,6,a b b a ⎧=-⎨=-⎩（5分）当2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩时，,a b 是方程260x x +-=的两根，故6ab =-，（6分）当226,6a b b a⎧=-⎨=-⎩时，两式相减得22a b a b -=-，由集合中元素的互异性得a b ≠，所以1a b +=，故266(1)5a b a a =-=--=+，即250a a --=，同理250b b --=，故,a b 是方程250x x --=的两根，所以5ab =-，（7分）故ab 的所有取值构成的集合为{6,5}--.（8分）（3）设{,,}A a b c =，由A k A k =⊗ ，得222{,,}{,,}a k b k c k k a k b k c ---=---，①若222,,,a k k a b k k b c k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩故,,a b c 是方程220x x k +-=的三个不等的实数根，而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；（11分）②若222,,,a k kb b k k ac k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩，当2c k k c -=-时，220c c k +-=，令180k ∆=+，得18k - ，（12分）对2a k k b -=-，2b k k a -=-，两式相减得22a b a b -=-，因为a b ≠，所以1a b +=，代入2a k k b -=-，得2120a a k -+-=，同理2120b b k -+-=，故,a b 为方程2120x x k -+-=的两个不相等的实根，令14(12)0k '∆=-->，得38k >，（13分）当38k >时，2120x x k -+-=与220x x k +-=均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；（14分）③若222,,,a k k b b k k c c k k a ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩则2222a b b c c a k +=+=+=，根据集合中元素的互异性，,,a b c 两两不相等，不妨设a b c >>，（ⅰ）当0a b c >>>时，22a b >，又b c >，所以22c a b b ++>，这与22c a b b ++=矛盾，故不成立；（ⅱ）当0a b c >>>时，22a b >，又b c >，所以22c a b b ++>，这与22c a b b ++=矛盾，故不成立；（ⅲ）当0a b c >>>时，22b c <，又c a <，所以22b c a c ++<，这与22b c a c ++=矛盾，故不成立；（ⅳ）当0a b c >>>时，22b c <，又c a <，所以22b c a c ++<，这与22b c a c ++=矛盾，故不成立.（16分）综上，实数k 的取值范围是3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（17分）【评分细则】1.第一问只得出一种情况，扣2分；结果不写成集合形式，扣1分；2.第二问求出ab 的一个值，给2分，最后结果不写成集合形式，扣1分；3.第三问结果写成不等式、集合或区间形式，结果正确即给满分.。
山东省青岛市黄岛区2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案
2024-2025学年度第一学期期中考试高一数学（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}12B x x =-<<，则A B ⋂为（）A.∅B.{}0 C.{}1 D.{}0,1【答案】D 【解析】【分析】由集合交集的运算定义即可得结果.【详解】{}0,1A B = 故选：D2.下列各组函数与()f x x =表示同一函数的是（）A.()f x =B.()2x f x x=C.()f x =D.()2f x =【答案】C 【解析】【分析】利用函数的定义逐项判断.【详解】解：()f x x =的定义域为R ，()f x x ==，解析式不同，故不是同一函数，故A 错误；B.()2x f x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数定义域不同，故B 错误；()f x x ==的定义域为R ，故C 正确；()2f x =的定义域为{}|0x x ≥，故D 错误.故选：C3.下列命题为真命题的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b <<D.若0a b <<，则11a b<【答案】B 【解析】【分析】通过举反例排除A,C 两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D 项，证得B 项.【详解】对于A,当0c =时，显然22ac bc >不成立，故A 错误；对于B ，由0a b >>，利用不等式的性质易得22a b >，故B 正确；对于C ，当0a b <<时，取2,1a b =-=-，则242a ab =>=，故C 错误；对于D ，当0a b <<时，0ab >，由不等式的性质，可得11b a<，故D 错误.故选：B.4.在周长为定值P 的扇形中，面积最大时扇形的半径为（）A.P 2B.3P C.4P D.5P 【答案】C 【解析】【分析】用半径表示出面积，结合函数知识得结论.【详解】设扇形半径为r ，则扇形面积为22211(2)()22416P P S r P r r rP r =-=-+=--+，所以4Pr =时，S 取得最大值.故选：C5.命题:2p x ∀>，210x ->，则命题p 的否定形式是（）A.2x ∀>，210x -≤B.2x ∀≤，210x ->C.2x ∃>，210x -≤D.2x ∃≤，210x -≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论．【详解】命题:2p x ∀>，210x ->，为全称量词命题，则该命题的否定为：2x ∃>，210x -≤.故选：C ．6.某中学的学生积极参加美育活动，其中有98%的学生喜欢美术或音乐，76%的学生喜欢美术，83%的学生喜欢音乐，则该中学既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为（）A.61%B.62%C.76%D.83%【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集的定义求解.【详解】由题意既喜欢美术又喜欢音乐的学生数占该校学生总数的比例为：76%83%98%61%+-=，故选：A 7.“函数()f x =(),1-∞上单调递减”是“0a <”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定即可.【详解】先判定充分性，若()f x =(),1∞-上单调递减，由幂函数及复合函数的单调性可知，则00111a a a<⎧⎪⇒>≥-⎨-≥⎪⎩，满足充分性；再判定必要性，可举反例，若2a =-，则1y ax =+单调递减，此时()f x =的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，此时()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，不满足必要性，综上“函数()f x =(),1∞-上单调递减”是“0a <”的充分不必要条件.故选：B8.用()(){}max ,f x g x 表示()f x ，()g x 中的最大者，用()(){}min ,f x g x 表示()f x ，()g x 中的最小者，若函数(){}231min max ,,h x x xx ⎧⎫=⎨⎩⎭在()0,a 上有最大值，则（）A.()h x 是奇函数B.()h x 在()0,a 上最大值是2C.()h x 的值域是()[],10,1-∞-⋃D.a 的取值范围是()1,+∞【答案】D 【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数231,,y x y x y x===的图象，进而得到函数ℎ的图象，利用图象分别判断四个选项即可.【详解】ℎ定义域(,0)(0,)-∞+∞ ，在同一坐标系中分别作出函数231,,y x y x y x===的图象，取2y x =与3y x =的图象中较高的曲线段，再与1y x=的图象对比取较低的曲线段，得到函数ℎ的图象，如图所示，因为图象不关于坐标原点对称，所以ℎ不是奇函数，故A 错误；因为ℎ在()0,a 上有最大值，所以1a >，故D 正确，且ℎ在()0,a 上最大值是1，故B 错误；由图象知ℎ的值域是(),0(0,1]∞-⋃，故C 错误；故选：D .【点睛】方法点睛：在研究函数()(){}max ,y f x g x =和函数y =()(){}min ,f x g x 的性质时，通常先画出函数图象，利用数形结合分析函数性质.二、多项选择题：本大题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错的得0分.9.下列函数既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.()1f x x=B.()f x x =C.()2f x x = D.()f x =【答案】BC 【解析】【分析】根据偶函数定义和单调性概念判断即可.【详解】因为函数()f x =[0,)+∞，所以函数()f x =函数()1f x x=的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，又()11()f x f x x x -==-=--，所以函数()1f x x=为奇函数；函数()f x x =的定义域为(,)-∞+∞，且()()f x x x f x -=-==，所以函数()f x x =为偶函数，又因为(0,)x ∈+∞时，()f x x x ==在(0,)+∞上单调递增；函数()2f x x =的定义域为(,)-∞+∞，且()22()()f x x x f x -=-==，所以函数()2f x x =为偶函数，()2f x x =在(0,)+∞上单调递增.故选：BC.10.定义()()11x y x y ⊗=-+，则（）A.x y y x ⊗=⊗B.928x x ⊗≤C.()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗D.若x ，y 都是正数，()2x y xy -⊗=+，则11944x y +≥【答案】BD 【解析】【分析】根据新定义进行去体验判断AC ，用新定义转化为结合二次函数性质判断B ，用新定义转化后，利用基本不等式判断D.【详解】选项A ，1)(1)1,(1)(1)1x y x y x y xy y x y x x y xy ⊗=-+=-+-⊗=-+=+--（，只有x y =时，两者才相等，A 错；选项B ，221992(1)(12)212()488x x x x x x x ⊗=-+=-++=--+≤，当且仅当14x =时等号成立，B 正确；选项C ，()123[(11)(12)]303(10)(13)4⊗⊗=-+⊗=⊗=-+=，()123(11)(123)04⊗⊗=-+⊗=≠，C 错；选项D ，()(1)(1)12x y x y x y xy xy -⊗=++=+++=+，则1x y +=，又0,0x y >>，所以1111559()(444444x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当4x y y x =，即21,33x y ==时等号成立，D 正确.故选：BD【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是利用新定义把问题进行转化，一是直接利用新定义进行运算，二是进行转化转化为函数知识求解，转化为基本不等式问题求解等.11.定义域为的函数()f x ，同时满足：①当0x y +=时，()()0f x f y +=；②[],1,1x y ∀∈-，当0x y +>时，()()0f x f y +>；③()()2f x f x =-.则（）A.()f x 是奇函数B.()f x 在1,2上单调递减C.函数=的图像关于点1,0中心对称D.()()()()01230f f f f +++=【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意，结合函数的单调性、奇偶性、对称性，依次分析选项是否正确，即可得答案．【详解】对于A ，因为()f x 的定义域为R ，且当0x y +=时有()()0f x f y +=，即()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，故A 正确；对于B 、C ，因为()(2)f x f x =-，所以()f x 关于1x =对称，故C 错误，因为对[],1,1x y ∀∈-，当0x y +>即x y >-时，()()0f x f y +>，即()()f x f y >-，结合奇函数的性质可得()()f x f y >-，所以当[]1,1x ∈-时，()f x 为增函数，结合()f x 关于1x =对称的条件可知，当[]1,2x ∈时，()f x 为减函数，故B 正确；对于D ，结合①，令0x y ==可得(0)(0)0f f +=，所以(0)0f =，因为()f x 关于1x =对称，所以(2)0f =，结合③，因为()(2)f x f x =-，令3x =可得(3)(1)(1)f f f =-=-结合奇偶性可得()(2)f x f x =-，所以(3)(1)f f =，所以(1)(1)f f -=，解得(1)0f =，所以(3)(1)0f f ==，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，故D 正确，故选：ABD .三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}{}30,0,,1m m ⊆，则实数m 的取值集合为______.【答案】{}1-【解析】【分析】利用集合间的基本关系及集合元素的互异性计算即可.【详解】因为{}{}30,0,,1mm ⊆，所以01m m ≠⎧⎨≠⎩，则31m m m =⇒=-，所以实数m 的取值集合为{}1-.故答案为：{}1-13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()()1f x x x =-.则当0x >时，函数()f x 的解析式为______.【答案】()()1(0)f x x x x =+>【解析】【分析】根据奇函数的定义求解.【详解】0x >时，0x -<，()(1)f x x x -=-+，所以()()(1)f x f x x x =--=+.故答案为：()()1(0)f x x x x =+>.14.已知a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 是在集合{}7,5,3,2,2,4,6,13----中的不同数，则()()22a b c d e fg h +++++++的最小值为______.【答案】34【解析】【分析】记,a b c d M e f g h N +++=+++=，根据条件将所求式子表示为()22432M -+，先分析4M =的可行性，然后确定出最小值即可.【详解】不妨设,a b c d M e f g h N +++=+++=，因为7532246138a b c d e f g h +++++++=----++++=，所以8M N +=，所以()()()()222222282432a b c d e f M g N M h M M =+++++++==-+-++，若要()22432M -+值最小，则4M =，下面分析4M =的可能性：当4M =时，则a b c d ,,,四个数全为偶数，或全为奇数，或两奇两偶，若四个数全为偶数，则和的结果为224610-+++=，不满足要求；若四个数全为奇数，则和的结果为753132---+=-，不满足要求；若四个数两奇两偶，其中两个奇数之和可能为{}12,10,6,8,8,10---，两个偶数之和可能为{}0,2,4,6,8,10，此时两奇两偶的四个数之和不可能等于4，所以4M =不成立，所以当32263M a b c d =+++=--++=时，此时()22432M -+取值最小，最小值为34，故答案为：34.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是对所给表达式能利用已知关系进行化简变形，将双变量转化为单变量；另一方面是对于二次函数取最小值的可行性分析，此处无法直接确定4M =成立.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合{}1A x a x a =≤≤+，{}2340B x x x =--≤.（1）若2a =，求()R A B ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(){R 34A B x x ⋂=<≤ð或}12x -≤<.（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）确定集合,A B ，由交集、补集运算即可；（2）由条件确定A B ≠⊂，构造不等式组求解即可.【小问1详解】由2a =可得：=2≤≤3，所以{R 2A x x =<ð或}3x >，又{}{}234014B x x x x x =--≤=-≤≤，所以(){R 34A B x x ⋂=<≤ð或}12x -≤<.【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ≠⊂，所以141a a +≤⎧⎨≥-⎩解得：13a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,3-16.若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（1）求a ，b ；（2）求不等式12a b axx +>+的解集.【答案】（1）2a =-，3b =.（2）{}1x x >-【解析】【分析】（1）由题意可知，1,12为方程210+-=ax bx 的两根，且0a <，由根与系数的关系即可求出答案.（2）将,a b 的值代入不等式，解不等式即可.【小问1详解】由题意可知，1,12为方程210+-=ax bx 的两根，且0a <，所以1121112b aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得：23ab =-⎧⎨=⎩.【小问2详解】由（1）可得不等式为1212xx x ->=-+，所以()211110111x x x x x x x x +++++==>+++，因为22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以10x +>，解得：1x >-.所以不等式的解集为：{}1x x >-.17.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形地域.计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为24200/m 元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为2210/m 元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为280/m 元.设总造价为S （单位：元），AD 长为x （单位：m）（1）请用x 表示DQ 的长；（2）请写出S 关于x 的函数关系式；（3）若总造价S 不超过138000元，求x 的取值范围.【答案】（1）504x Q x D =+(0x <<（2）(224000004000380000S x x x =++<<，（3）【解析】【分析】（1）设DQ y =，根据十字形地域的面积得出,x y 的关系式，即可求解；（2）由（1）可求得DQ ，从而可求出各个图形的的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；.（3）根据不等式求解可求得x 的取值范围.【小问1详解】设DQ y =，因为两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m ，所以可得24200xy x +=，解之可得504x y x =-，且0y >所以(5004D x x x Q -<<=，【小问2详解】由（1）知504x Q x D =-，所以221150224DQH x S DQ x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭矩形ADQM 的面积为2505044x x xy x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭正方形MNPQ 为2x ，所以2221504200450210480424x x S x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222400000420042000210400010x x x x =+-+-+(224000004000380000x x x =++<<，.【小问3详解】由（2）知(224000004000380000S x x x =++<<，，若总造价不超过138000元，即22400000400038000138000S x x =++≤化简可得2210025x x+≤，即()()4222251002050x x x x -+=--≤，解之可得x ≤≤，所以x的取值范围.18.已知函数()4f x x a a x=--+，[]1,4x ∈.（1）若1a =，试判断()f x 的单调性并用定义法证明；（2）若()1,4a ∈，求函数()f x 的最大值的表达式()M a .【答案】（1）()f x 在区间[1,4]上单调递增；（2）()73,1,2724,,42a M a a a ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩【解析】【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先化简函数4,(,4]()42,[1,]x x a x f x a x x a x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，再利用单调性分别求()f x 在区间[1,]a 和(,4]a 上的最大值，取较大者即可.由于42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增，在区间[2,4]上单调递减，需对区间[1,]a 中的a 分类讨论.【小问1详解】()f x 在区间[1,4]上单调递增，证明如下：若1a =，因为[]1,4x ∈，所以()44f x x a a x x x=--+=-，12,[1,4]x x ∀∈，且12x x <，有1212121212212144114()()()()()4()()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x -=---=-+-=-+.因为12[1,4]x x ∈,，且12x x <，所以120x x >，120x x -<.于是12214()(1)0x x x x -+<，即12()()f x f x <.故()f x 在区间[1,4]上单调递增；【小问2详解】若()1,4a ∈，则()4f x x a a x =--+4,(,4]42,[1,]x x a x a x x a x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，先判断42y a x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在[1,4]上的单调性，由于1212124422y y a x a x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭212144x x x x =+--()211241x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1221124x x x x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，当12,[1,2]x x ∀∈，且12x x <时，1204x x <<，210x x ->，所以()12211240x x x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12y y <，故42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增；当12,[2,4]x x ∀∈，且12x x <时，12416x x <<，210x x ->，所以()12211240x x x x x x ⎛⎫-->⎪⎝⎭，即12y y >，故42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[2,4]上单调递减；综上，42y a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间[1,2]上单调递增，在区间[2,4]上单调递减.①当(,4]x a ∈时，由（1）知，()f x 在区间(,4]a 上单调递增，所以()max (4)3f x f ==；②当[1,]x a ∈时，（i ）若(]1,2a ∈，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,]a 上单调递增，所以()max 44()2032f x f a a a ==-≤-=<，所以函数()f x 的最大值()3M a =；（ii ）若72,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,2]上单调递增，在[2,)a 上单调递减，所以()max (2)243f x f a ==-≤，所以函数()f x 的最大值()3M a =；（iii ）若7,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[1,2]上单调递增，在[2,)a 上单调递减，所以()max (2)243f x f a ==->，所以函数()f x 的最大值()24M a a =-；综上()73,1,2724,,42a M a a a ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩.19.定义：x 表示实数x 到与它最近整数的距离.（1）求0.14，3.14，0.86-的值；（2）求证：()Z x n x n +=∈；（3）给定正整数r ，函数(){}min ,f x x rx =，用{}min ,a b 表示a ，b 中的最小者.（ⅰ）若r 为奇数，求证：()f x 的最大值为12；（ⅱ）若r 为偶数，求()f x 的最大值.【答案】（1）||0.14||0.14=;||3.14||0.14=;||0.86||0.14-=.（2）证明见解析（3）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）2(1)r r +.【解析】【分析】（1）对于第一问，根据x 的定义，直接计算实数到与其最近整数的距离.（2）第二问要证明||||||||(Z)x n x n +=∈，需要根据整数n 与x 的关系，结合定义来证明.（3）第三问中，对于r 为奇数和偶数的情况分别讨论()f x 的最大值.需要分析||||x 和||||rx 的取值情况，根据min{,}a b 的定义来求解.【小问1详解】对于||0.14||，0.14到最近整数0的距离为|0.140|0.14-=，所以||0.14||0.14=.对于||3.14||，3.14到最近整数3的距离为|3.143|0.14-=，所以||3.14||0.14=.对于||0.86||-，0.86-到最近整数1-的距离为|0.86(1)||0.861|0.14---=-+=，所以||0.86||0.14-=.【小问2详解】设x m a =+，其中m ∈Z ，01a ≤<.当m ∈Z 时，()x n m n a +=++.如果00.5a ≤<，则||||x a =；如果0.51a ≤<，则||||1x a =-.对于x n +，如果00.5a ≤<，()x n m n a +=++到最近整数m n +的距离为a ，即||||x n a +=；如果0.51a ≤<，()x n m n a +=++到最近整数1m n ++的距离为1a -，即||||1x n a +=-.所以||||||||x n x +=成立.【小问3详解】由（2）可知()Z x n x n +=∈；则可取[]0,1x ∈即可.（ⅰ）若r 为奇数，则21,r k k =+∈N ，令12x =，则()1121,22rx k k k =+=+∈N ，可得1||||2x =，111||||||||||||222rx k =+==，所以1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；考虑()f x 的定义，()f x 取||||x 和||||rx 中的较小值，显然对任意x ∈R ，1||||2x ≤，则1||||2rx ≤，可得()12f x ≤；综上所述：()f x 的最大值为12；（ⅱ）不妨取112,()min{||||,||1||}022r f ===，1121()min{||||,||||}3333f ==，2241()min{||||,||||}5555f ==，551(min{||||,||||}121261210f ==.猜想(){}2,min ,r f x x rx ==最大值为13.不妨取114,()min{||||,||2||}022r f ===，1141()min{||||,||||}3333f ==，2282()min{||||,||||}5555f ==，551(min{||||,||||}121231220f ==.猜想(){}4,min ,r f x x rx ==最大值为25.继续猜想当r 为偶数时，(){}min ,f x x rx =最大值为2(1)r r +.当r 为偶数时，2r 为正整数，注意到2min ,min ,2(1)2(1)2(1)2(1)22(1)2(1)r r r r r r r f r r r r r r ⎧⎫⎛⎫⎧⎫==-=⎨⎬⎨⎬ ⎪++++++⎝⎭⎩⎭⎩⎭.下证().2(1)r f x r ≤+假设存在0x ，使得()0.2(1)r f x r >+0[0,1]x ∈.则()00.2(1)r x f x r ≥>+从而()()()()22002,1,.21212121r r r r r x rx r r r r ⎛⎫⎛⎫+∈-∈⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又()()()()222,2122121221r r r r r r r r r r r +=-=+++++，且*N 2r ∈.则0||||2(1)r rx r <+与()002(1)r rx f x r ≥>+矛盾，因此假设不成立.则当r 为偶数时，(){}min ,f x x rx =最大值为2(1)r r +.。
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福建省三明市第一中学-高一上学期阶段性考试数学试题(考试时间：120分钟 满分：100分)一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 ( ) A.｛0，1｝ B ．｛-1，0，1｝ C ．｛0，1，2｝ D.｛-1，0，1，2｝ 2．若角α的终边过点，则αcos 等于（ ）A ．53 B ．43- C ．54- D ．543．若0tan >θ，则θ是（ ）A ．第一、二象限角B ．第一、三象限角C ．第一、四象限角D ．第二、四象限角 4．函数)1ln()(+=x x f 的定义域为（ )A ．()∞+∞-,B ．(]1,-∞-C ．()∞+-,1D ．[)∞+-,1 5．函数1+=xa y (0>a 且a ≠1) 的图象必过定点（ ） A ．(1，1+a ) B ．（0，1）C ．（0，2）D ．(0，0)6．函数的零点所在的大致区间是 ( ) A ． B ． C ． D ．()∞+,e7．已知函数)(x f =⎩⎨⎧≤+>，，0,10,2x x x x 若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于( )A ．3-B ．1-C ． 1D ．38．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则 这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A ．10%B ．15%C ．18%D ．20% 9． 函数lg ||x y x=的图象大致是（ ） (3,4)P -xx x f 2ln )(-=（1，2）（2，3）（3，4）A B C D 10．若对于任意()2,2-∈x 都有1)(2<-a x x成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)B ．(47，＋∞) C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，47 D ．(－6，＋∞)二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请把答案填在答题卷相应位置上） 11．6cosπ= ．12．若幂函数()1m f x x-=在(0，∞+)上是减函数，则实数m 的取值范围是 ．13．若2log 31x =，则x 3的值为 .14. 已知函数1)(2-+=ax x x f 的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a 的取值范围是 ．15．对于实数b a ，，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*ba ab b ba ab a b a ,,22，设)1()12()(-*-=x x x f ，且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321x x x ，，，则321x x x ++的取值范围是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分7分）已知集合{}1log |3<=x x A ，{}42|>=xx B ，R U =，求B A C U ⋃．17．（本小题满分8分）已知一个扇形的周长为498+π，圆心角为π94，求这个扇形的面积． 18．（本小题满分10分） 计算下列各式的值：（1）5lg )4lg 3(lg 24lg ++-； （2）已知2tan =α，求)cos()sin()cos()3sin(απααππα+--+++的值.19．（本小题满分8分）已知函数)(x f 为定义在()1,1-上的奇函数，当()1,0∈x 时，xx x f 222)(-=，求)(x f 在()1,1-上的解析式．20．（本小题满分10分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过40辆/千米时，车流速度为80千米/小时．研究表明：当20040≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当2000≤<x 时，求函数)(x v 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/小时）)()(x v x x f ⋅= ])200,0((∈x 可以达到最大，并求出最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数)(2)(*2N c a c x ax x f ∈++=、满足：①5)1(=f ；②11)2(6<<f . （1）求c a 、的值；（2）设，是否存在实数使为偶函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（平行班做）(3)设m x x f x h +-=2)()(，若函数)(log x h y m =在区间[]4,2-上单调递增，求实数m 的取值范围；（特保班做）（3）设函数)]([log )(2x f n x h -=，讨论此函数在定义域范围内的零点个数． 福建省三明市第一中学2013-2014学年高一上学期阶段性考试数学参考答案一、选择题：二、填空题： 11．23； 12．()1,∞-； 13．2； 14．()0,∞-； 15．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,435． 三、解答题：16．解：依题意有{}30|<<=x x A ，； )()(b x f x g +=b )(x g b{}30|≥≤=∴x x x A C U 或；{}20|>≤=⋃∴x x x B A C U 或．…………………………………7分17．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+ππ94982r l r l ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==298r l π，ππ982982121=⨯⨯==∴lr S ；即这个扇形的面积为π98．………………………………………8分18．（1）解：原式15lg 2lg 5lg 12lg 24lg =+=+-=；…………………5分（2）解：原式31tan 1tan cos sin cos sin =-+=+---=αααααα．……………………10分19．解：当01<<-x 时，10<-<x ， xx x f 222)(+=-∴．又)(x f 是定义在()1,1-上的奇函数， ∴)()(x f x f -=-，0)0(=f ， xx x f 222)(+-=∴)01(<<-x ．故⎪⎩⎪⎨⎧<<=<<--=-+.10,2,0,0,01,2)(2222x x x x f xx x x …………………………………………8分20．解：（1）由题意：当400≤<x 时，)(x v ＝80；当20040≤≤x 时，设b ax x v +=)(， 再由已知得⎩⎨⎧=+=+,8040,0200b a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.100,21b a故函数)(x v 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<=.20040,10021,400,80)(x x x x v (5)分（2）依题意并由（1）可得⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<=.20040,10021,400,80)(2x x x x x x f当400≤<x 时，)(x f 为增函数，故当40=x 时，其最大值为32004080=⨯； 当20040≤<x 时，5000)100(21)(2+--=x x f ； ∴当100=x 时，)(x f 有最大值5000．综上，当100=x 时，)(x f 在区间(]200,0上取得最大值5000．即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值为5000辆/小时． ………………………………………………………………………………………10分21．解：（1）52)1(=++=c a f ，a c -=∴3 ①又11)2(6<<f ，即11446<++<c a ，② 将①式代入②式，得3431<<-a ，又∵*N c a ∈、， ∴1=a ，2=c ． ……………………………………………4分 （2）由（1）得1)1(22)(22++=++=x x x x f ， 1)1()()(2+++=+=∴b x b x f x g ， 假设存在实数使为偶函数，则有)()(x g x g =-，即1)1(1)1(22+++=+++-b x b x ，可得1-=b ． 故存在实数1-=b 使为偶函数．……………………………………8分平行班（3）依题意有m x x h ++=22)(， )(x h ∴在区间[]4,2-上单调递增，若函数)(log x h y m =在区间[]4,2-上单调递增，则b )(x g )(x g1>m 且0)(>x h 在区间[]4,2-上恒成立，⎩⎨⎧>>∴0)(1min x h m ，即⎩⎨⎧>++->0241m m 解得2>m ；故实数m 的取值范围是()∞+,2．……………………………………12分特保班（3）方法1 ∵ 函数)]([log )(2x f n x h -=， ∴0)(>-x f n 有解，即min )(x f n > 又∵ 1)1(22)(22++=++=x x x x f ， ∴ )(x f 的最小值为1， ∴ 1>n ；又⇔=-0)]([log 2x f n 1)(=-x f n ， 即0322=-++n x x ， （*） 84)3(44-=--=∆n n∴当2>n 时，方程（*）有2个不同的实数根； 当2=n 时，方程（*）有1个实数根； 当2<n 时，方程（*）没有实数根．综上，当2>n 时，函数)(x h 在定义域范围内有2个零点； 当2=n 时，函数)(x h 在定义域范围内有1个零点；当21<<n 时，函数)(x h 在定义域范围内没有零点．…………12分方法2∵ 函数)]([log )(2x f n x h -=， ∴0)(>-x f n 有解，min )(x f n > 又∵ 1)1(22)(22++=++=x x x x f ， ∴ )(x f 的最小值为1， ∴ 1>n ；又⇔=-0)]([log 2x f n 1)(=-x f n ， 即1)(+=x f n 2)1(3222++=++=x x x∴当2>n 时，直线n y =与抛物线2)1(+=x y 有2个不同的交点； 当2=n 时，直线n y =与抛物线2)1(+=x y 有1个交点； 当2<n 时，直线n y =与抛物线2)1(+=x y 没有交点．综上，当2>n 时，函数)(x h 在定义域范围内有2个零点； 当2=n 时，函数)(x h 在定义域范围内有1个零点；当21<<n 时，函数)(x h 在定义域范围内没有零点．………………12分。