饮酒驾车问题的数学模型原稿
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
1页
饮酒驾车问题的数学模型
【摘要】本问题是生活中的饮酒驾车问题,酒精对人体的作用过程实际上类似于生物医学中的药用过程,针对饮酒方式的不同,本文将饮酒过程分成快速饮酒、某时间段内匀速饮酒和周期饮酒三种形式来讨论。并分别建立了一室快速饮酒、二室匀速饮酒以及周期饮酒三种系统动力学模型,并运用非线性最小二乘法进行数据拟合得到相关参数,从而得到了血液中酒精含量与时间的函数关系。结合模型Ⅰ,运用MATLAB 工具得到了快速饮用三瓶啤酒时的违规时间分布,t:0.065—0.24小时内饮酒驾车;t:0.24—4.5小时内醉酒驾车;t:4.5—12小时内饮酒驾车。结合模型Ⅱ,得到了在2个小时内均匀饮用三瓶啤酒的违规时间分布,t:2—4.5小时内为醉酒驾车;当t 为4.5---12小时为饮酒驾车。模型Ⅲ的建立,使问题一以及问题三得到了较为确切的解释。
【关键词】动力学 吸收速率 消除速率 模型
一、问题重述
在2003年全国道路交通事故死亡人数中,饮酒驾车造成的占有相当比例,为此,国家发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准。在新标准下,大李在中午12点喝了一瓶啤酒,下午6点检查时符合标准,接着晚上又喝了一瓶,但凌晨2点检查时却被定为饮酒驾车,为什么喝同样多的酒,两次检查结果不一样?建立饮酒时人体内酒精含量与时间关系的数学模型,并讨论快速或慢速饮3瓶啤酒在多长时间内驾车就会违反新标准,估计血液中的酒精含量在什么时间最高,如果某人天天喝酒,是否还能开车,并根据你所做的结合新国家标准写一篇短文,给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
二、符号说明及模型假设
2.1符号说明
0x ---------人体饮入酒精总量
t----------饮用酒的时间
)(t x -------t 时刻血液中的酒精量
)(1t x ------t 时刻人体吸收的酒精量
M----------人的体重
λ---------人的体液占人的体重的百分含量
μ----------人的血液占人体重的百分含量
1k ----------酒精在人体中的吸收速率常数[1]
k ----------酒精在人体中的消除速率常数[1]
()t c --------t 时刻血液中的酒精浓度
F-------------酒精在人体中的吸收度
V-------------人体的血液体积
V 酒-----------喝酒的体积
ρ-------------酒中的酒精含量
2页
τ-------------饮酒持续时间
2.2基本假设
1. 酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同;
2. 每瓶啤酒的酒精含量、体积基本相同;
3. 酒精进入人体后,不考虑其他因素对酒精的分解作用;
4. 如果在很短时间内饮酒,认为是一次性饮入,中间的时间差不计;
5. 确定是否饮酒驾车或醉酒驾车以新的国家标准为界;
6. 不管喝的是什么酒,只以涉入的酒精总量纳入计算;
7. 酒精按一级吸收过程进入体内;
8. 正常情况下,酒精在各人体中的吸收和消除速率基本相同;
9. 将慢速饮酒看作是一个匀速过程。
三、问题分析与模型建立
3.1模型Ⅰ(快速饮酒模型)
同药物一样,酒精进入机体后,作用于机体而影响某些器官组织的功能;另一方面酒精在机体的影响下,可以发生一系列的运动和体内过程:自用药部位被吸收进入血液循环;然后分布于各器官组织、组织间隙或细胞内;有部分酒精则在血浆、组织中与蛋白质结合;或在各组织(主要是肝脏)发生化学反应而被代谢;最后,酒精可通过各种途径离开机体(排泄);即吸收、分布、代谢和排泄过程。它们可归纳为两大方面:一是酒精在体内位置的变化,即酒精的转运,如吸收、分布、排泄;二是酒精的化学结构的改变,即酒精的转化亦即狭义的代谢。由于转运和转化以致形成酒精在体内的量或浓度(血浆内、组织内)的变化,而且这一变化可随时间推移而发生动态变化。又因为酒精有促进血液循环的作用[2]。而药物动力学模型中的一室模型[3]是指给药后,药物一经进入血液循环,即均匀分布至全身,故快速饮酒情况可通过建立一室模型求解。
虽然酒精在体内的分布状况复杂,但酒精的吸收、分解等则都在系统内部进行,酒精进入人体后,经一段时间进入血液,进入血液后,当在血液中达最高浓度时,随后开始消除[3],把酒精在体内的代谢过程看为进与出的过程,这样便会使问题得到简化。用in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛和out
dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛分别表示酒精输入速率和输出速率。由于单位时间内血液中酒精的改变即变化率dt
dx 就等于输入与输出速率之差,所以其动力学模型为: dt dx =in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-out
dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛ (1) 又因为酒精在血液中的消除速率与当时血液内的药量成正比,所以out
dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=kt ,代入(1)式得: dt dx =in
dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-kt (2) 则由(2)式可知x(t)的变化规律由饮酒速率而定。而酒精在人体内的代谢可简单的由图一表示:
3页 1k
(图一)
则t 时刻吸收室的药量为x 1(t)
dt
dx =-k 1x 1 (3) 对于房室,in dt dx ⎪⎭⎫ ⎝⎛=11x k ,于是(2)式变为:kx x k dt dx -=111 (4) (3)、(4)两式构成一阶线性方程组,当t=0时,01)0(Fx x =,x(0)=0,解(2)式得: t k e Fx x 101-=,将其代入(4)式得一阶线性非齐次方程:t k e Fx k kx dt
dx 101-=+ 解之得:
从而,人体内酒精含量为:
在这种情况下,酒精含量最大值出现的时间:使
0=dt
dc 时t 的值。 一般情况下,又因为酒精在血液中的含量与在体液中的含量大至相同。 则有: μλM Fx M x 00= ⇒ λ
μ=F (F 为常数且0 )()()(111t k kt e e K K V V k t C ----=λμρ酒 (一般情况) 根据图一中酒精含量实测数据拟合,显然它无法化为线性最小二乘,我们直接作非线性最小二乘拟合[4]。用MATLAB 优化工具箱的Leastsq [5]计算,拟合参数),,(01V Fx k k x = 程序见:JM2004C1.m 。拟合得:1k =2.0079mg ·ml -1·h -1,k=0.1855mg ·ml -1·h -1,V Fx 0=11.2423(毫克/毫升),又由F V x ⨯=2423.110,得到问题中隐含的一瓶啤酒的酒精量约为:27543.635毫克。 虽然大李喝等量的酒,并且相隔的时间也相同的情况下,两次检查的结果不一样是因为第一次喝下去的酒,在6小时内并没有完全分解,还残留有相当一部分在血液中,并且这一部分在较长时间内不能完全分解。由图(二)喝一瓶啤酒的酒精含量随时间变化的函数图像可知,6小时后,第一次喝的酒的酒精含量约19.5毫克/百毫升。也就是说此时血液中已有一定的酒精量,这样虽然第二次喝的是同样多的酒,由于第一次残留部分的存在,相当于涉入的酒精量已增大了,使其同样再过6小时,酒精含将会大于20毫克/百毫升。这样大李碰到的情况也就很自然的解释了 (图二) 现通过实际计算证明: