第5章 均衡纯保费与毛保费

死亡保险和生存保险
K
K+1
T(x)
1
T(x)=t
均衡纯保费的分类
期缴保费收入精算现值： 连续缴费 && ax 离散缴费：期初缴 1 期末缴 (x) 保险金给付精算现值： Ax
死亡即刻给付 死亡年末给付
1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
T(x)
1
各种期限险种： 死亡保险：即期和延期的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次性受益的生存保险和在保险期
P k +1 P )v − d d
P k +1 P P P 1 )v − ]k q0 = 0 ⇒ [(1 + )a4 0.06 − 4 ] = 0 d d 4 d d
P = 6.478 ⇒ P = 0.3667 d P k +1 P 2 (2)Var ( L) = E[(1 + )v − ] d d P 2 P P P 2 1 1 = (1 + ) a4 12.36% − 2 (1 + ) a4 6% + ( ) = 0.17788 4 d 4 d d d ⇒
按保费的构成分：
纯保费：保单受益的精算现值 毛保费：纯保费＋附加费用（与保费相关费用的精算现值）
按保费缴纳的方式分：
趸缴（纯/毛）保费：一次性缴纳 期缴（纯/毛）保费：按相等的时间间隔以被保人的生存为条 件的方式缴纳，如均衡纯保费
常见险种的趸缴纯保费
纯寿险趸缴纯保费 连续型寿险（死亡受益、死亡即刻支付）
半连续均衡纯保费
保险金死亡即刻给付 保费离散缴费（期初缴付）
均衡纯保费的核心原理
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系
E（均衡纯保费现值）=趸缴纯保费 在缴费期缴纳均衡纯保费的生存年金＝所购险各种的趸缴纯保费
连续缴费 期初缴费 死亡即刻给付 死亡年末给付
& Px ⋅ a&x 期缴保费收入精算现值
(x) 0
Ax
& 由 1）变形得： 1 = d a&x + A x 2 1 − v K +1 1 Ax − Ax2 && 2) Var[aK +1 ] = Var = d 2 Var[ zk ] = d 2 d
&& 1 = da x + Ax = ia x + (1 + i ) Ax = δa x + Ax
二、限期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人 寿保险，被保险人从保单生效起按年连续 交付保费，限期缴费期限为h年。（给付连 续，缴费也连续） 厘定过程：
1 1 && n Px： = Ax： a x： = Dx + n ( N x − N x + n ) n n
1 && && && P ( m a x ) = Ax:m a x + m a x:h = Dx + m N x + m ( N x − N x + h ) h|
例5.1.5（P103）
设20年限期缴费的30年两全保费，于25 岁时签发，保险金额为1000元，试求其 年缴均衡纯保费。
三、常见险种完全离散均衡纯保费总结
险种
终身人寿保险 n年定期寿险 n年两全保险 h年缴费终身人寿保险 h年缴费n年两全保险 n年生存保险 限期h年缴费延期m年 的终身生存年金
h
保费公式
&& Px = Ax a x = M x N x
&& n Px1： = A1： a x： = ( M x − M x + n ) ( N x − N x + n ) n xn
年金和寿险关系
•以死亡年末给付的终身寿险和期初给付的 终身生存年金为例
&& ax
1 1 1 1 1
K K+1 T(x)=t
K +1
(x)
Ax
T(x)
1
1 − v K +1 1 − E (v 1) Ax − Ax − 1 &&x = E[aK +1 ] = E && = = 1) a = d E[ zk ] = d d d d
Ax
1
完全连续年缴均衡纯保费的厘定（终身寿险）
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1
P ( Ax ) ⋅ a t |
2
P(Ax )
T(x)=t
at | =
T(x)
1− v t
δ
Ax
1⋅ vt
1
（1） L = l (T ) = v t − P ( A x ) a t Ax ( 2 ) E ( L ) = 0 ⇒ Ax − P ( Ax ) a x = 0 ⇒ P ( Ax ) = ax ( 3 )Var ( L ) = Var [ v t (1 + P
二、全期缴费定期寿险
条件：（x）死亡年末给付1单位的n年定期人寿保险， 被保险人从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 此时均衡纯保费记为 1 Px:n | 厘定过程：
P
1 x :n |
&& ⋅ a x :n |
(x) 0
Px1:n | Px1:n Px1:n | |
1 2
Px1:n |
K K+1
限内的生存期间受益的生存年金
均衡纯保费的种类
完全连续均衡纯保费
保险金死亡即刻给付 保费连续缴费 各种期限险种： 死亡保险：即期和延期 的终身、定期、两全保险 生存保险：生存时一次 性受益的生存保险和在保 险期限内的生存期间受益 的生存年金
完全离散均衡纯保费
保险金死亡年末给付 保费离散缴费（期初缴付）
n T(x)
A 1 :n | x
T(x)=t K(x)=k
1
例5.1.3（P101）
设年龄为25岁的人，购买15年定期寿险， 保险金额为1000元，试求其自然纯保费 与年缴均衡纯保费。 分析自然纯保费与年缴均衡纯保费，你 得到什么结论？
例5.1.4（P102）
记全离散n年期两全保险的保险人损失随机变 量L： （1）写出L的表达式； （2）求全离散n年期两全保险的均衡纯保费； （3）写出L的方差表达式。
（2）生存年金（在保险期限内的生存期间受益） 连续型生存年金：
a x， m | a x， a x:n |
m|
ax:n |
m|
m|
离散型生存年金（期初支付和期末支付）
&& && && a x， m| a x， a x:n | a x， m| a x， a x:n |
年付h次的生存年金
(h) x (h) x
δ
)−
P
δ
] = (1 +
P
δ
) 2 [ 2 Ax − ( Ax ) 2 ]
2 Ax − ( Ax ) 2 δ a x + Ax 2 2 2 = （ ）[ A x − ( A x ) ] = δa x (δ a x ) 2
例5.2.1（P104）
已知利息力为0.05，死亡力为0.04，求
(1) P ( Ax ) (2)Var ( L)
h x
限期缴费终身寿险均衡纯保费的厘定
h
&& Px ⋅ a x:h |
Px h Px (x) 0 1
h h
Px 0 h-1 h
0
K K+1 T(x)
Ax
T(x)=t K(x)=k
1
厘定过程：
Ax h Px = && a x:h |
例5.1.2（P100）
假设终身寿险保单于30岁签发，保险金额 为20000元，试求： （1）普通终身寿险的年缴均衡纯保费； （2）限期20年缴费终身寿险的年缴均衡纯 保费； （3）65岁缴清终身寿险的年缴均衡纯保费。
k =0 3
P k +1 P 或 Var ( L ) = Var [(1 + )v − ] d d P 2 P 2 2 k +1 = (1 + ) Var (v ) = (1 + ) ( Ax − Ax2 ) d d P 2 1 1 = (1 + ) [ a 4 12.36% − ( a 4 6% ) 2 ] = 0.17788 d 4 16
&&x 期缴保费收入精算现值 Px ⋅ a
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
保险理赔支出精算现值
T(x)=t K(x)=k
1
全期缴费的终身寿险均衡纯保费厘定过程
&& Px ⋅ a x
(x) 0
Ax Px Px Px Px Px
K K+1 T(x)
1
2
厘定过程：
&& (1) L = v K +1 − Px aK +1 , K = 0,1,2,L
第三节 完全连续年缴均衡纯保费的厘定
一、全期缴费终身人寿保险
条件：（x）死亡即刻给付1单位的终身人寿保险，被保险人从保单 生效起按年连续交付保费。（给付连续，缴费也连续） 记 P 表示以被保人生存为条件的年缴均衡纯保费，则有 厘定过程：
P ( Ax ) ⋅ a x
(x) 0 1 2
P(Ax )
T(x)=t T(x)
( &&( = d ( h ) a xh ) + Ax h )
二、均衡纯保费
均衡纯保费的含义 若保费的缴付以被保人的生存为条件，在 约定的缴费期内，从投保时刻起每期缴付相 等的金额，直至被保人死亡或约定的缴费期 界满为止。 特点：在生存的缴费期内，每时点缴付金额 相等。
均衡纯保费厘定原则
纯保费厘定原则——平衡原则：
Px
Px
Px
Px
Px
K K+1 T(x) T(x)=t K(x)=k
1
2
保险理赔支出精算现值
1
第二节
完全离散纯均衡纯保费厘定
一、终身寿险 1、全期缴费终身寿险 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿保险，被保险人 从保单生效起按年期初缴费，年实质利率i。 记均衡纯保费为Px 精算等价原理的图示过程：
例5.1.1 P99页
设 k | q x = c ( 0 . 96 ) k + 1 , k = 0 ,1, 2 ,...。其中， c = 0 . 04 / 0 . 96 பைடு நூலகம் i = 6 % ，试求 P x 和 Var ( L )。
2、限期缴费终身寿险
限期缴费终身寿险，指在规定的年限内， 按年缴费直至被保险人死亡或缴费期限届 满时停止。 条件：（x）死亡年末给付1单位终身人寿 保险，保费限期h年缴清，按年期初缴费。 此时，均衡纯保费记为： P
T(x)=t K(x)=k
1
dAx Mx Ax && (2) E ( L) = 0 ⇒ Ax − Px a x = 0 ⇒ Px = = = && a x 1 − Ax Nx
2 Px 2 2 Ax − ( Ax ) 2 (3)Var ( L) = (1 + ) [ Ax − ( Ax ) 2 ] = && d ( da x ) 2
&& ax:n |
a x :n |
(h) x :n | (h) x :n |
&& && && a ， m| a ， a
(h) x
( &&x:hn)| m| a ( a x:hn)| m|
a ， m| a ， a
(h) x
两全保险趸缴纯保费（死亡受益、死亡即刻（年末）支付， 生存受益期末支付） Ax:n ( Ax:n )
Ax， m | Ax， A
1 x :n |
Ax1:n| m| A1:n| m| x
离散型寿险（死亡受益、死亡年末支付）
Ax， m | Ax， A1:n | x
生存险趸缴纯保费
（1）生存保险（一次性生存受益，期末支付）
Ax:n | = Ax:n |
1 1
m| Ax: n |
1
（2）生存年金：
常见险种的趸缴纯保费
保险人的潜在亏损均值为零，即E（L）=0。 L=给付金现值-纯保费现值 E（纯保费现值）=E（给付金现值）
均衡纯保费与趸缴纯保费的关系 E（均衡纯保费现值） =E（给付金现值） = 趸缴纯保费
对保险人而言： 期缴保费收入精算现值 保费收入精算现值： 趸缴和期缴 (x) 保险金给付精算现值： 保险理赔支出精算现值
第五章 均衡纯保费与毛保费
本章学习的目的和要求 理解均衡纯保费的意义 掌握均衡纯保费的计算原理及常见险种 均衡纯保费的计算 掌握毛保费的构成、确定原理和计算方 法
第一节 保费简介
一、保费的分类 按保险的种类分：
只覆盖死亡的保险：纯寿险保费 只覆盖生存的保险：生存险保费（一次性受益和生存年金） 既覆盖死亡又覆盖生存的保险：两全险保费
练习
设一个0岁生命的整值剩余寿命服从概率 函数为 1
k
q0 =
4
k = 0,1,2,3
在其死亡年末赔付1单位的保单，每年年 初缴付保费P。当保费按平衡原理决定时， 计算保险人亏损现值的期望值与方差 （i=6%）。
练习答案
&& (1) L = v k +1 − Pak +1 = (1 + E ( L) = 0 ⇒ ∑ [(1 +
&& n Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + n ) n n
h
&& h Px = Ax a x： = M x ( N x − N x + h )
&& h Px： = Ax： a x： = ( M x − M x + n + Dx + n ) ( N x − N x + h ) n n