第三章变额年金(2)

n
exp(
n)
exp( 2
n)
1
2
1
exp(
n)
n
exp(
n)
a nvn n
v e
11
连续递增年金的终值为
(Is )
(1 i)n (Ia)
s n n
n
n
12
例：一项10年期的连续递增年金，在时刻 t 的付款比率为 9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的现值。
解：可以将此项年金的现金流分解成两部分： 连续递增年金 连续等额年金
例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时 刻t的付款比率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项 年金在第7年末的终值。
解： 假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值 可表示为：
3(Is ) 4s
7
7
从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：
[3(Is ) 4s ]e0.06(72) [3(Is ) 4s ]e0.3
na n
n
n(1 vn ) a nvn
n
na
n
18
例：一份10年期的年金，在时刻 t 的付款比率为 10t， 假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和 在第10年末的终值。
n
(I a ) tetdt n 0
注意，此年金是连续递增并且连续支付的，因此
上式中字母 I 和 a 上都有横线。
10
上式右边可用分部积分法展开：
n
t exp( t)dt
0
n 0
t
dexp( t)
t
exp(
t
)
n 0
n 0
exp( t)dt
n
exp(
n)
1
2
exp(
t
)
n 0
3.4、每年支付m次的递增年金
假设支付n年，每年支付m次，那么总的付款次数为 m n。 如果每年支付m次，付款又是递增的，那么将会出现下
述两种情况： 同一年的每次付款相同 同一年的每次付款也是递增的
1
每年支付 m 次的递增年金：同一年的每次付款相同
现值： (Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
1
1
2
n 1
R(1 i)m 1 2vm 3vm mnv m
R
1
1
im
1
1
1
vm
2
vm
n 1
vm
mn
vn
ma(m) mnvn n
5
R
1
1
im
1
ma(m) n
mn vn
上式两边同时乘以m，则有
R i(m)
m2a(m) n
m2n vn
R
m2a(m) m2n vn n i(m)
因此其现值为：
9(Ia) 6a 928.088592 66.593670 292.36
10
10
其中： i e0.09 1 9.4174%
1 (1.094174)10
a
6.593670
10
0.09
6.593670 10(1.094174)10
(Ia)
28.088592
10
0.09
13
3
3.5、每年支付m次，每年递增m次的年金
现值：
I (m)a
(m) n
1 m2
1 vm
2
2vm
3
3vm
mn
v
n
4
I (m)a
(m) n
1 m2
1 vm
2
2vm
3
3vm
mn
பைடு நூலகம்
vn
1
2
3
令 R vm 2vm 3vm mn vn
1
在式两边同时乘以(1 i)m ，则有
每年支付 1次
(Ia) n|
a nvn n| i
s n
(Is) n
n
i
(Ia) 1 di
每年支付 m次
a nvn
(I a)(m) n|
n|
i(m)
s n
(Is)(m) n|
n|
i(m)
(Ia)(m) 1
di(m)
连续支付
a nvn
(I a) n
n
s n
(I s ) n
n
(I a) 1
n
1
注：见下页说明
2
第一年内所有付款的现值为 a(m) 1
第二年内所有付款的现值为 2va(m) 1
……
第n年内所有付款的现值为 nvn1a(m) 1
因此该项年金的现值为：
(Ia)(m) a(m) (1 2v 3v2 nvn1)
n
1
1 v i(m)
a n
nvn d
a nvn
n
i(m)
d
8
年金
每年支付 1次
现值
递减年金 累积值
na
(Da) n
n
i
n(1 i)n s
(Ds)
n
n
i
连续支付
na
(Da ) n
n
n(1 i)n s
(Ds )
n
n
9
3.7、连续支付连续递增年金
含义：连续支付，连续递增。
假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为，则
连续递增年金的现值为：
17
3.8、连续支付连续递减年金
连续支付，连续递减。假设某项年金的支付期为 n 年，在
时刻 t 的付款比率为 n t，固定利息力为，则称此年金为
一项连续递减年金，其现值用符号 (Da) 表示。 n
连续递减年金的现值公式：
n
(Da) (n t)etdt na (Ia)
n
n
n
0
a nvn
(Ia) lim(Ia)
n
n
a nvn lim n
n
1 (1 i)n nvn
lim
n
10 0
1
2
16
例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为 3t， 付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则 其现值为：
3( Ia )
3
1
ln(1.05)2
1260.25
所以
I (m)a
(m) n
R m2
a(m) nvn n i(m)
6
比较：
a nvn
(I a)(m) n|
n|
i(m)
(每年的付款是常数)
a(m) nvn
(I (m)a)(m) n|
n|
i(m)
(每年的付款递增)
请大家写出累积值的公式。
7
变额年金公式小结
年金
递增年金
现值
累积值
永续年金的 现值
2
2
2
2
因此，本例年金的终值为：
3(Is ) 4s [3(Is ) 4s ]e0.3
7
7
2
2
14
通过计算可得： i e0.06 1 6.1837%
(1.061837)7 1
s
8.699360
7
0.06
(Is ) 8.699360 7 28.322667
7
0.06
s (1.061837)2 1 2.124948
2
0.06
(Is ) 2.124948 2 2.082467
2
0.06
故本例年金的终值为：
3(Is ) 4s [3(Is ) 4s ]e0.3
7
7
2
2
3 28.322667 48.699360 (3 2.082467 4 2.124948)e0.3 53.21
15
连续递增的永续年金：在连续递增年金的现值公式中，令 n 趋于无穷大，则可以得到连续递增永续年金的现值公式：