九年级数学圆课件课件

1．点P是半径为5的⊙O内的一点，且OP等于3， 则过点P的最短的弦长为 ，最长的弦长 为。
2．如图1，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交
AB于点C，设⊙O的半径为4，MN等于4，则圆
心O到弦MN的距离为
，∠ACM等于
。
3.如图1,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数为 ( ).
A.100° B.130° C.50° D.80° 4、如果⊙O的周长为10 cm那么它的半径为( ) A.5cm B. cm C.10cm D.5
A
●O
D
C
两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
A⌒mB
(用三个字母).
弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做
等弧.
5.圆心角
定义：顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
注意：因为圆心角的顶点在圆心，所以圆心角的两边一定和 圆相交. 定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数 相等 . 注意：1°的弧是指把圆心角360°分成360等份，那么 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，因此n°的圆心角就对 着n°的弧，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
CE=√ OC2-OE2 =2 。
的长
又由垂径定理可知CE=DE= 1 CD，
2
∴ CD=2CE=4
变式:
如图， AB为⊙O的直径，弦
CD⊥AB，E为垂足，若CD=6，
BE=1，则AB=
。
分析：求直径，先求半径。连接 OC， 注意：连接 OC后无法利用勾股 定理直接求出半径
设半径OC=x，则OE=x-1， 利用勾股定理列出方程即可 求解
垂径定理三种语言
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
• 垂径定理是 圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
垂径定理三角形
在a,d,r,h中，已知其中任意两 个量,可以求出其它两个量.
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两 条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对
应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
如由条件: ③AB=A′B′
可推出
┏
A′ D′ B′
①∠⌒AOB⌒=∠A′O′B′
②AB=A′B′
④ OD=O′D′
（一）圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系
OA=r, OE=d, AB=a, DE=h
C
⑴d + h = r
O
⑵ r2 d 2 (a)2
E
2
A
B
D
垂径定理的推论
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
解法1：连接BC， ∵ AB是直径∴ ∠ACB=90 ° 即 ∠ABC+ ∠ACB= 90 ° ∵CD⊥AB ∴ ∠ABD+ ∠BAD= 90 ° ∴ ∠ACB=∠BAD ∵点A是BP的中点，∴ AB=AP ∴ ∠ABE=∠ACB ∴ ∠ABE=∠BAE
( (
(
“见直径，构造直径所对的圆周角” 是常用的且重要的辅助线
船能过拱桥吗
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
• 相信自己能独立 完成解答.
船能过拱桥吗
• 解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
2、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它 的对称轴。 图形的对称轴是直线，而直径是线段。
圆的相关概念
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
A连B接”. 圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
E
•
m
直 圆径 (如小将弧于圆A半⌒分B圆C成)的.两弧部叫分做,每劣一弧部,如分记都作叫A⌒做B(半用
圆
一、圆的定义
（1）描述性定义 在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一端点P运动所形成的图形叫做 圆。定点O叫做圆心。线段OP叫做圆的半径。
（2）从集合观点定义
圆可以看作是平面内到定点距离等于定长 的点的集合，定点为圆心，定长为半径。
圆的对称性
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
垂径定理
做一做
• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
例3.已知：如图，在以O为圆心的两个同
心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD
O.
A CED B
注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法．
(
(
( ( ((
例4、如图，BC为⊙O的直 径，AD⊥BC于D，A是BP 的中点，连结PB交AD于点 E．求证：AE＝EB 思路分析1：
欲求AE＝EB，只需说明∠ABE=∠BAE，其
中 ∠ABE是AP所对的圆周角，而由条件可 知，AB=AP，因此只需找出AB所对的圆周 角是否与∠ABE相等即可，
而构造AB所对的圆周角，需连接AC，此时 恰好构造了直径BC所对的圆周角∠ACB
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ ①③⑤ ①③④
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
那该怎么 办呢？
解：连接 OC， ∵ OB⊥CD于点E
∴ CE = DE= 1 CD=3， 2
设半径OC=x，则OE=x-1，在Rt△OEC中 根据勾股定理得OE2+CE2=OC2，
（ x-1）2+32 =x2 解得x =5，
∴ AB=2OC=10
1、垂径定理的应用常与勾股定理相联系。
2、过圆心作弦的垂线段（弦心距） ，利 用垂径定理可得该垂线也平分弦，从而半 径、弦的一半和弦心距构成一个直角三角 形，这是我们解决圆中求弦长（半径、弦 心距）的常用方法。
思路分析2：
( ( (
( ( (
欲求AE＝EB，只需说明
∠ABE=∠BAE，其中
∠ABE对着AP，只需找出
∠BAE所对的弧与AP是否
H
相等即可。
延长AD交圆于H，利用圆的对称性 可得AB=BH，从而得到BH=AP,则 问题得解。
解法2：延长AD交圆于H ∵ AB是直径，CD⊥AB
(
(
∴ AB=HB
挑战自我垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
• 1、判断：
• ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（ ）
• ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
另一条弧.
（√ ）
• ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
• ⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
• ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ √ ）
例1 . 如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O 上一点，连接BD，AC，BD交于点E。
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B23的,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
∵点A是BP的中点，
((
((
∴ AB=AP
H
∴ BH=AP
∴ ∠ABE=∠BAE
（1）有关圆的题目，圆周角与它所对的弧常 相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证 “圆周角所对的弧相等”的问题来解决；弧相 等的条件可转化为它们所对的圆周角相等的结 论。这是一种重要的解题思路。
（2）在已知条件下，若有与半径或直径垂直 的线段，常延长此线段与圆相交，这样可利用 “垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的 弧”的性质得线段相等、弧相等。