【高考冲刺】专题5 数列(二)-2020届高三数学三轮复习回归课本复习讲义

数 列(二) 等差数列与等比数列

热点一 等差数列、等比数列的运算 1．通项公式

等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ；等比数列：a n ＝a 1·q n －1. 2．求和公式

等差数列：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ；等比数列：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q

1－q (q≠1)．

3．性质

若m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ；在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 例1(1)(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于()

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

(2)设各项均为正数的等比数列{a n }中，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________.

及时归纳 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a 1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．

跟踪演练1 (1)设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A ．－2B ．－1C.12D.2

3

(2)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.①求{a n }的通项公式；②记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m.

热点二 等差数列、等比数列的判定与证明 证明数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法

(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n≥2，n∈N *)． (2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法：

①利用定义，证明a n ＋1a n (n∈N *)为一常数；②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n≥2，n∈N *)．

例2 已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝1

2

(3a n －1－b n －1)，b n ＝

－12(a n －1－3b n －1)，n∈N *

，n≥2.(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n .

及时归纳(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．

(2)a2n＝a n－1a n＋1(n≥2)是数列{a n}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．

跟踪演练2 已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且S n为a n与1

a n

的等差中项．

(1)求证：数列{S2n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)设b n＝(－1)n

a n

，求{b n}

的前n项和T n.

热点三等差数列、等比数列的综合问题

解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解．

例3 已知等差数列{a n}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.

(1)求数列{a n}的通项公式a n与其前n项和S n；

(2)将数列{a n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n}的前3项，记{b n}的前n项和为T n，若存在m∈N*，使得对任意n∈N*，总有S n

及时归纳 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便．

(2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解． 跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝32n n

a b ⋅⎛⎫ ⎪

⎝⎭

，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取

值范围． 课时作业

1．已知等差数列{a n }中，a 4＝9，S 4＝24，则a 7等于( ) A ．3B ．7C ．13

D ．15

2．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q≠－1，且a 5＋a 4＝3()a 3＋a 2，则

9

a 1a 2a 3…a 9

等于( )

A ．－9

B ．9

C ．－81

D ．81

3．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．8

4．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( ) A ．13B ．12C ．11

D ．10

5．已知数列{a n }满足15n a +＝25·5a n ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13

log (a 5＋a 7＋a 9)等于( )

A ．－3

B ．3

C ．－13D.13

6．已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.

7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝8，且S n ≤S 7，则公差d 的取值范围是________．

8．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n (n∈N *)均为等差数列，且a 1＝2，则a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 333＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪

⎫a n n n

＝____.

9．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n －1)＋F(n －2)(n≥3，n∈N *)，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}b n ，则b 2017＝________.

10．(2018·天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公